(文理通用)2019届高考数学大二轮复习 第1部分 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的概念与性质、

第一部分 专题六 第三讲A 组1．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( A )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线[解析] 设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧ λ1＝y ＋3x 10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x 10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线．故选A ．2．过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( B )A ．10B ．13C ．16D ．19[解析] 由题意可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)，因此|PM |2－|PN |2＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13. 故选B ．3．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2，若P 是该双曲线右支上的一点，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，则△PF 1F 2面积的最大值是( B )A ．1B ．43C ．53D ．2 [解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，设∠F 1PF 2＝θ，∴cos θ＝16a 2＋4a 2－42×4a ×2a＝5a 2－14a 2，∴S 2△PF 1F 2＝(12×4a ×2a ×sin θ)2 ＝16a 4(1－25a 4－10a 2＋116a 4) ＝169－9(a 2－59)2≤169， 当且仅当a 2＝59时，等号成立，故S △PF 1F 2的最大值是43. 故选B ．4．已知双曲线M 的焦点F 1，F 2在x 轴上，直线7x ＋3y ＝0是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且PF 1→·PF 2→＝0，如果抛物线y 2＝16x 的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么|PF 1→|·|PF 2→|＝( B )A ．21B ．14C ．7D ．0[解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵直线7x ＋3y ＝0是双曲线M 的一条渐近线，∴b a ＝73，① 又抛物线的准线为x ＝－4，∴c ＝4②又a 2＋b 2＝c 2.③∴由①②③得a ＝3.设点P 为双曲线右支上一点，∴由双曲线定义得|||PF 1|－|PF 2|＝6④又PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在Rt △PF 1F 2中|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝82⑤联立④⑤，解得|PF 1→|·|PF 2→|＝14.5．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 的值为( D )A ．13B ．23C ．23D ．223[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，。

（四）平面解析几何初步1.直线与方程（1）在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.（4）掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.3.空间直角坐标系（1）了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.（2）会推导空间两点间的距离公式.（十五）圆锥曲线与方程（1）了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.（3）了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质.（4）理解数形结合的思想.（5）了解圆锥曲线的简单应用.预计2019年的高考中，对平面解析几何部分的考查总体保持稳定，其考查情况的预测如下： 直线和圆的方程问题单独考查的几率很小，多作为条件和圆锥曲线结合起来进行命题；直线与圆的位置关系是命题的热点，需给予重视，试题多以选择题或填空题的形式命制，难度中等及偏下.样题4 （2018浙江）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，，所以，因为A ，B 在椭圆上，所以，，所以，所以224x +，与对应相减得234my +=，，当且仅当5m =时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.样题5 （2018新课标全国Ⅱ文科）双曲线A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．y = 【答案】A样题6 （2018新课标全国Ⅲ文科）已知双曲线则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C ．2D ．【答案】D 【解析】，1ba∴=，所以双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，所以点(4,0)到渐近线的距离，故选D ．考向三 直线与圆锥曲线样题7 （2017新课标全国II 文科）过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M在x 轴的上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为A B ．C ．D ．【答案】C样题8 （2018新课标全国Ⅱ文科）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 【答案】（1）y =x –1；（2）或．【解析】（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得．，故．所以．由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩，因此所求圆的方程为或．样题9 （2017新课标全国Ⅰ文科）设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【解析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则12x x ≠，2114x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率．【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，主要利用根与系数的关系：因为直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题、弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．考向四 圆锥曲线的其他综合问题样题10 （2018新课标全国Ⅲ文科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．线段AB 的中点为．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且．证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析.（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，， 则．由（1）及题设得，．又点P 在C 上，所以34m =， 从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ． 于是，同理2||=22xFB -uu r ，所以，故．样题11 设椭圆的右焦点为1F 1F 且与x 轴垂直的直线（1）求椭圆C 的方程；（2）若24y x =上存在两点M N 、，椭圆C 上存在两个点P Q 、满足： 1P Q F 、、三点共线，1M N F 、、三点共线且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.（2）当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，此时；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为，联立24y x =，得，设,M N 的横坐标分别为,M N x x ，则，∴MN =，由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程为，联立椭圆C 的方程，消去y ，得，设,P Q 的横坐标分别为,P Q x x ，则P Q x x ∴，,令，则，综上，.。

2019 年考试纲领解读6平面分析几何（四）平面分析几何初步1.直线与方程(1)在平面直角坐标系中 , 联合详细图形 , 确立直线地点的几何因素 .(2)理解直线的倾斜角和斜率的观点 , 掌握过两点的直线斜率的计算公式 .(3)能依据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直 .(4)掌握确立直线地点的几何因素 , 掌握直线方程的几种形式 ( 点斜式、两点式及一般式 ), 认识斜截式与一次函数的关系 .(5)能用解方程组的方法求两条订交直线的交点坐标 .(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式 , 会求两条平行直线间的距离 . 2. 圆与方程(1)掌握确立圆的几何因素 , 掌握圆的标准方程与一般方程 .(4)初步认识用代数方法办理几何问题的思想 . 3.空间直角坐标系(1)认识空间直角坐标系 , 会用空间直角坐标表示点的地点 .(2)会推导空间两点间的距离公式 .（十五）圆锥曲线与方程1.圆锥曲线(1)认识圆锥曲线的实质背景 , 认识圆锥曲线在刻画现实世界和解决实质问题中的作用 .(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)认识双曲线的定义、几何图形和标准方程 , 知道它的简单几何性质 .(4)认识圆锥曲线的简单应用 .(5)理解数形联合的思想 .2.曲线与方程认识方程的曲线与曲线的方程的对应关系 .估计 2019 年的高考取，对平面分析几何部分的考察整体保持稳固，其考察情况的展望以下：直线和圆的方程问题独自考察的几率很小，多作为条件和圆锥曲线联合起来进行命题；直线与圆的地点关系是命题的热门，需赐予重视，试题多以选择题或填空题的形式命制，难度中等及偏下 .圆锥曲线为每年高考考察的热门，题目一般为“一小 ( 选择题或填空题）一大（解答题 ) ”或“两小一大”，小题多是考察圆锥曲线的标准方程和几何性质，解答题般作为压轴题出现，考察直线与圆锥曲线的地点关系、定点、定值、范围及探究性问题等，此中以对椭圆和抛物线的有关知识的考察为主，题目难度较大，考向一圆与方程样题 1（2018 新课标Ⅲ理）直线分别与 x 轴，y轴交于A，B两点，点 P 在圆上，则△ ABP 面积的取值范围是A． 2 ，6B． 4 ，8C．，D．2 2，2 3 2 3 2【答案】 A【分析】直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，,则AB 2 2 .点 P 在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线的距离.故点 P 到直线的距离d 2 的范围为，则2 ,3 2.故答案为 A.【名师点睛】此题主要考察直线与圆，考察了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题 . 先求出A，B两点坐标获得AB ，再计算圆心到直线的距离，获得点 P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.样题 2 （2018江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，A为直线 l : y 2 x 上在第一象限内的点， B(5,0)，以 AB为直径的圆 C与直线 l 交于另一点 D．若AB CD0 ，则点A 的横坐标为________．【答案】 3【名师点睛】以向量为载体求有关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相联合的一类综合问题 . 经过向量的坐标运算，将问题转变为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这种问题的一般方法. 考向二圆锥曲线的简单几何性质样题 3 （2018 新课标全国Ⅱ理科） 已知 F 1，F2是椭圆的左、右焦点， A 是 C 的左极点，点 P 在过 A 且斜率为3的直线上， △ PF 1 F 2 为等腰三6角形， ，则 C 的离心率为A ． 2B ． 13 2C ．1D ．13 4【答案】 D【分析】因为△ PF 1F 2 为等腰三角形，，因此，由 AP 的斜率为36可得，因此，，由正弦定理得，因此，因此 a4c ， e1 ，应选 4D ．所以，则．进而综上，，故MA ，MB 的倾斜角互补，因此．．考向四曲线方程的求解样题9已知抛物线C ： y 22x的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1 ，l 2 分别交C于 A ，B两点，交C的准线于 P ，Q两点．（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR FQ；（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．【答案】（1）看法析；（2）看法析 .【分析】由题可知 F ( 1,0) ．设l1: y a，l2: y b ，则 ab0 ，2且 A( a2, a) ， B(b211, a) ， Q (．, b) ， P(, b) ，2222记过 A，B两点的直线为l，则直线l的方程为．（1）因为F在线段AB上，故1 ab0 ．记 AR的斜率为 k1， FQ 的斜率为k2，则，因此ARFQ ．（2）设l与x轴的交点为D(x1,0)，则，．由题设可得，因此 x10 (舍去)或 x1 1．设知足条件的 AB 的中点为 E( x, y) ．当 AB 与x轴不垂直时，由k AB k DE，可得，而 a b y ，因此．2当 AB 与x轴垂直时，E 与 D 重合，因此所求轨迹方程为 y2x 1．考向五圆锥曲线的其余综合问题样题 10（2018 新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k的直线l与椭圆交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为．（1）证明：k12；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且．证明：FA，FP，FB 成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）看法析；（2）看法析 .【分析】（1）设，则．两式相减，并由由题设知y1y2k 得．x1x2，于是 k3．由题设得 0 m3，故 k 1 ．4m22设该数列的公差为d，则．①将 m 3代入k3得k1，因此l的方程为y x7 ，44m4代入 C的方程，并整理得，故，代入①解得 | d |3 21，因此该数列的公差为 3 21 或 321 ．282828样题 11设椭圆的右焦点为 F1，离心率为2，过点 F1且与 x 2轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 2 .（1）求椭圆C的方程；（2）若y24x上存在两点M、N，椭圆C上存在两个点P、Q知足：P、Q、F1三点共线， M 、 N、 F1三点共线且 PQ MN ，求四边形 PMQN 的面积的最小值.【分析】（ 1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为 2 ，∴2b2，2a∵离心率为 2 ，∴ c 2，又 a2b2c2，解得．∴椭圆 C 的2a2方程为 x2y2 1 .2（2）当直线MN的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，此时；当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为，联立 y24x ，得，设 M , N 的横坐标分别为x M , x N，则，∴ MN，由 PQ MN 可得直线 PQ 的方程为，联立椭圆C的方程，消去y ，得，设 P, Q 的横坐标分别为 x P , x Q，则x P x Q22k 2，2k 2∴，,令，则，综上，.。

专题解析几何
一、直线和圆
.如何判断两条直线平行与垂直?
()两条直线平行
对于两条不重合的直线,其斜率分别为,则有⇔∥.特别地,当直线的斜率都不存在时与平行.
()两条直线垂直
若两条直线的斜率都存在,分别为,则·⇔⊥,当一条直线的斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直.
.如何判断直线与圆的位置关系?
设圆的半径为,圆心到直线的距离为.
方法
位置关系
几何法代数法
相交<Δ>
相切Δ
相离>Δ<
.如何判断圆与圆的位置关系?
设两个圆的半径分别为>,圆心距为,则两圆的位置关系可用下表来表示:
位
置关系相离外切相交内切内含
几
何特征>
<
<
<
代
数特征无实
数解
一组
实
数解
两组
实
数解
一组
实
数解
无实
数解
公
切
线
条
数
.如何求直线与圆相交得到的弦长?
()几何法,直线被圆截得的半弦长,弦心距和圆的半径构成直角三角形,即;
()代数法,联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于或的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长·或··.
二、圆锥曲线
.椭圆的标准方程怎么求?几何性质有哪些?
标准
方程(>>) (>>)
图形
范围≤≤
≤≤
≤≤
≤≤。

第2讲 综合大题部分1．已知椭圆C ：x 2a＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2，长轴的长为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点F 1的直线l 与椭圆C 交于E ，D 两点，试问：在x 轴上是否存在定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为椭圆C 的焦距为2，长轴的长为4， 所以2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m,0)．易知F 1(－1,0)，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝－8k 24k ＋3，x 1x 2＝4k 2－124k ＋3.又y 1y 2＝k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝k 2(4k 2－124k 2＋3－8k24k 2＋3＋1)＝－9k 24k 2＋3， 直线ME ，MD 的斜率k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m，则k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m＝y 1y 2x 1－mx 2－m＝y 1y 2x 1x 2－m x 1＋x 2＋m 2＝－9k 24k 2＋34k 2－124k 2＋3－m －8k 24k 2＋3＋m 2＝－9k24k 2＋34k 2－12＋8mk 2＋4m 2k 2＋3m24k 2＋3＝－9k2m 2＋8m ＋k 2＋3m 2－12.要使直线ME ，MD 的斜率之积为定值，需3m 2－12＝0， 解得m ＝±2. 当m ＝2时，k ME ·k MD ＝－9k 2m 2＋8m ＋k 2＝－9k 236k 2＝－14； 当m ＝－2时，k ME ·k MD ＝－9k2m 2＋8m ＋k 2＝－9k 24k 2＝－94. 当直线l 的斜率不存在时， 不妨设E (－1，32)，D (－1，－32)，此时，当m ＝2时，M (2,0)，k ME ·k MD ＝－14；当m ＝－2时，M (－2,0)，k ME ·k MD ＝－94.综上，在x 轴上存在两个定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值． 当定点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14；当定点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.2．(2018·高考浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求 △PAB面积的取值范围．解析：(1)证明：设P (x 0，y 0)，A (14y 21，y 1)，B (14y 22，y 2)．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程(y ＋y 02)2＝4·14y 2＋x 02即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根． 所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴． (2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝2y 20－4x 0. 因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，因此，△PAB 面积的取值范围是[62，15104]．3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，过右焦点F 且垂直于x 轴的弦长为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，求△MFN 的面积取最大值时m 的值．解析：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，2b2a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－4＝0， Δ＝16m 2－12(2m 2－4)＝－8m 2＋48>0， ∴|m |< 6.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－43，∴|MN |＝2|x 1－x 2|＝2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×－4m 32－m 2－3＝46－m 23. 又点F (2，0)到直线MN 的距离d ＝|2＋m |2，∴S △FMN ＝12|MN |·d＝23|2＋m |·6－m 2(|m |<6)． 令u (m )＝(6－m 2)(m ＋2)2(|m |<6)， 则u ′(m )＝－2(2m ＋32)(m ＋2)(m －2)， 令u ′(m )＝0，得m ＝－322或m ＝－2或m ＝2，当－6<m <－322时，u ′(m )>0；当－322<m <－2时，u ′(m )<0；当－2<m <2时，u ′(m )>0； 当2<m <6时，u ′(m )<0. 又u (－322)＝34，u (2)＝32，∴u (m )max ＝32，∴当m ＝2时，△MFN 的面积取得最大值，最大值为23×32＝83. 4．(2018·高考北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．解析：(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)． 从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)． 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2. 同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1k －x 1＋x 2－1k －x 2＝1k －1·2x 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值．。

第一部分 专题六 第二讲A 组1．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( B )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x[解析] 依题意，设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，所以|MF |＝2p ，即x ＋p2＝2p ，解得x ＝3p2，y ＝3p .又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4.所以抛物线方程为y 2＝8x .2．若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝ ( D )A ．m 2－a 2B ．m －aC ．12(m －a )D ．m －a[解析] 不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 在双曲线的右支上，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，故|PF 1|·|PF 2|＝m －a .3．(文)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )A ．73B ．54C ．43D ．53[解析] 由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a ，b 的关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2，∴e ＝c a ＝53，故选D ．(理)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( D )A ．x 24－3y 24＝1B ．x 24－4y 23＝1C ．x 24－y 24＝1D ．x 24－y 212＝1[解析] 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b2＝2b ，解得b 2＝12， 故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D ．4．(2018·重庆一模)已知圆(x －1)2＋y 2＝34的一条切线y ＝kx 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( D )A ．(1，3)B ．(1,2)C ．(3，＋∞)D ．(2，＋∞) [解析] 由题意，圆心到直线的距离d ＝|k |12＋k 2＝32，所以k ＝±3， 因为圆(x －1)2＋y 2＝34的一条切线y ＝kx 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有两个交点， 所以b a >3，所以1＋b 2a2>4，所以e >2.5．(2018·济南一模)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( B )A ．72B ．3C ．52D ．2[解析] 如图所示，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ ||PF |＝34，过点Q 作QM ⊥l 垂足为M ，则MQ ∥x 轴，所以|MQ |4＝|PQ ||PF |＝34，所以|MQ |＝3，由抛物线定义知|QF |＝|QM |＝3.6．(2018·泉州一模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与点C 的一个交点为点B ，若AM →＝MB →，则p ＝2.[解析] 设直线AB ：y ＝3x －3，代入y 2＝2px 得： 3x 2＋(－6－2p )x ＋3＝0，又因为AM →＝MB →，即M 为A ，B 的中点，所以x B ＋(－p 2)＝2，即x B ＝2＋p2，得p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2，p ＝－6(舍去)．7．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为－2.[解析] 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即P A 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.8．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝12.[解析] 取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF |1＋|GF |2)＝4a ＝12.9．(2018·郴州三模)已知抛物线E ：y 2＝8x ，圆M ：(x －2)2＋y 2＝4，点N 为抛物线E 上的动点，O 为坐标原点，线段ON 的中点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0，y 0)(x 0≥5)是曲线C 上的点，过点Q 作圆M 的两条切线，分别与x 轴交于A ，B 两点，求△QAB 面积的最小值．[解析] (1)设P (x ，y )，则点N (2x,2y )在抛物线E ：y 2＝8x 上，所以4y 2＝16x ， 所以曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 令y ＝0，可得x ＝x 0－y 0k，圆心(2,0)到切线的距离d ＝|2k ＋y 0－kx 0|12＋k2＝2，整理可得(x 20－4x 0)k 2＋(4y 0－2x 0y 0)k ＋y 20－4＝0，设两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2＝2x 0y 0－4y 0x 20－4x 0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4x 0，所以△QAB 面积S ＝12|(x 0－y 0k 1)－(x 0－y 0k 2)|y 0＝2·x 20x 0－1＝2(x 0－1)2＋2(x 0－1)＋1x 0－1＝2[(x 0－1)＋1x 0－1＋2]．设t ＝x 0－1∈[4，＋∞)，则f (t )＝2(t ＋1t ＋2)在[4，＋∞)上单调递增，所以f (t )≥252，即△QAB 面积的最小值为252.B 组1．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(2，2 )C ．(1，2)D ．(1,2) [解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. ∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a 2<2，∴1<e < 2.故选C ．2．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( A )A ．13B ．12C ．23D ．34[解析] 解法一：设E (0，m )，则直线AE 的方程为－x a ＋ym ＝1，由题意可知M (－c ，m－mc a )，(0，m 2)和B (a,0)三点共线，则m －mc a －m 2－c ＝m 2－a ，化简得a ＝3c ，则C 的离心率e ＝ca ＝13. 解法二：如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)．由PF ⊥x 轴得P (－c ，b2a )．设E (0，m )，又PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m (a －c )a.①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m (a ＋c )2a.②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，所以e ＝c a ＝13.故选A ．3．(文)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( B )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A (4p ，22)，D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.故选B ．(理)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( A )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1[解析] 由于m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，则m 2－n 2＝2，故m >n ，又(e 1e 2)2＝m 2－1m 2·n 2＋1n2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2>1，所以e 1e 2>1.故选A ． 4．已知M (x 0，y 0)是曲线C ：x 22－y ＝0上的一点，F 是曲线C 的焦点，过M 作x 轴的垂线，垂足为点N ，若MF →·MN →<0，则x 0的取值范围是( A )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－1,1)[解析] 由题意知曲线C 为抛物线，其方程为x 2＝2y ，所以F (0，12)．根据题意，可知N (x 0,0)，x 0≠0，MF →＝(－x 0，12－y 0)，MN →＝(0，－y 0)，所以MF →·MN →＝－y 0(12－y 0)<0，即0<y 0<12.因为点M 在抛物线上，所以有0<x 202<12.又x 0≠0，解得－1<x 0<0或0<x 0<1.故选A ．5．已知椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点A (0,23)，当△APF 的周长最大时，△APF 的面积等于( B )A ．1134B ．2134C ．114D ．214[解析] 由椭圆x 29＋y 25＝1知a ＝3，b ＝5，c ＝a 2－b 2＝2，Rt △AOF 中，|OF |＝2，|OA |＝23，则|AF |＝4.设椭圆的左焦点为F 1，则△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a －|PF 1|＝4＋6＋|P A |－|PF 1|≤10＋|AF 1|(当且仅当A ，P ，F 1三点共线，P 在线段AF 1的延长线上时取“＝”)．此时直线AF 1的方程为x －2＋y23＝1，与椭圆的方程为5x 2＋9y 2－45＝0联立并整，得32y 2－203y －75＝0，解得y P ＝－538(正值舍去)，则△APF 的周长最大时，S △APF ＝12|F 1F |·|y A －y P |＝12×4×|23＋538|＝2134.故选B ．6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C [解析] 设双曲线方程：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意可知，将x ＝c 代入，解得：y ＝±b 2a ，则|AB |＝2b 2a ，由|AB |＝2×2a ，则b 2＝2a 2，所以双曲线离心率e ＝ca＝1＋b 2a2＝ 3. 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为点C ，若S △ABC ＝3S △BCF 2，则椭圆5[解析] 如图所示，因为S △ABC ＝3S △BCF 2，所以|AF 2|＝2|F 2C |.A (－c ，b 2a )，直线AF 2的方程为：y －0＝b 2a－0－c －c (x －c )，化为：y ＝－b 22ac (x －c )，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，可得：(4c 2＋b 2)x 2－2cb 2x ＋b 2c 2－4a 2c 2＝0， 所以x C ·(－c )＝b 2c 2－4a 2c 24c 2＋b 2，解得x C ＝4a 2c －b 2c4c 2＋b 2.因为AF 2→＝2F 2C →，所以c －(－c )＝2(4a 2c －b 2c4c 2＋b 2－c )，化为：a 2＝5c 2，解得e ＝55. 8．设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，AF 1⊥AB 且AF 1＝AB ，则椭圆C [解析] 设|AF 1|＝t ，则|AB |＝t ，|F 1B |＝2t ，由椭圆定义有：|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以|AF 1|＋|AB |＋|F 1B |＝4a ， 化简得(2＋2)t ＝4a ，t ＝(4－22)a ， 所以|AF 2|＝2a －t ＝(22－2)a ， 在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝(2c )2， 所以[(4－22)a ]2＋[(22－2)a ]2＝(2c )2， 所以(ca)2＝9－62＝(6－3)2，所以e ＝6－ 3.9．(文)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．[解析] (1)由|AF 1|＝3|F 1B |及|AB |＝4得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1， 又∵△ABF 2的周长为16，∴由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. ∴|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， 由椭圆定义知：|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ，在△ABF 2中，由余弦定理得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，∴(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0， ∴a ＝3k ，于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ， ∴|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2 ∴F 2A ⊥AB ，F 2A ⊥AF 1， ∴△AF 1F 2是等腰直角三角形， 从而c ＝22a ，所以椭圆离心率为e ＝c a ＝22. (理)设点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1→·PF 2→的最小值为0.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，作F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l 分别交直线l 于M ，N 两点，求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．[解析] 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式．(1)设P (x ，y )，则PF 1→＝(－c －x ，－y )， PF 2→＝(c －x ，－y )，∴PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2＝a 2－1a2x 2＋1－c 2，x ∈[－a ，a ]，由题意得，1－c 2＝0，c ＝1，则a 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)将直线l 的方程l ：y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，由直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知 Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0， 化简得：m 2＝2k 2＋1. 设d 1＝|F 1M |＝|－k ＋m |k 2＋1，d 2＝|F 2N |＝|k ＋m |k 2＋1. ①当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1－d 2|＝|MN |·|tan θ|， ∴|MN |＝1|k |·|d 1－d 2|，∴S ＝12·1|k |·|d 1－d 2|·(d 1＋d 2)＝2|m |k 2＋1＝4|m |m 2＋1＝4|m |＋1|m |，∵m 2＝2k 2＋1，∴当k ≠0时，|m |>1，|m |＋1|m |>2，即S <2.②当k ＝0时，四边形F 1MNF 2是矩形，此时S ＝2. ∴四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2.。