2011年高考数学二轮考点专题突破：圆锥曲线的概念及性质

2011山东数学圆锥曲线（实用版）目录一、2011 年山东高考数学圆锥曲线题目概述二、圆锥曲线的基本概念和性质1.圆锥曲线的定义2.圆锥曲线的分类3.圆锥曲线的性质三、2011 年山东高考数学圆锥曲线题目解析1.题目描述2.解题思路3.题目答案四、圆锥曲线在高考数学中的重要性五、总结正文【一、2011 年山东高考数学圆锥曲线题目概述】2011 年山东高考数学题目中，圆锥曲线题型成为了一大亮点。

圆锥曲线作为高中数学的一个重要知识点，一直以来都是高考数学的热点。

在2011 年的山东高考数学试题中，圆锥曲线题型的出现，充分体现了高考对数学基础知识的考察，以及对学生综合运用数学知识的能力的考查。

【二、圆锥曲线的基本概念和性质】【1.圆锥曲线的定义】圆锥曲线是一个广泛的曲线类别，它包括椭圆、双曲线、抛物线和它们的简化形式：圆和直线。

这些曲线都可以通过一个圆锥与一个平面相交得到，因此得名圆锥曲线。

【2.圆锥曲线的分类】圆锥曲线主要分为两类：一类是椭圆、双曲线和抛物线，它们是圆锥曲线的基本形式；另一类是圆和直线，它们是圆锥曲线的特殊形式。

【3.圆锥曲线的性质】圆锥曲线具有很多重要的性质，这些性质对于理解和解决圆锥曲线题型非常重要。

例如，椭圆的离心率、双曲线的渐近线、抛物线的焦点等，都是圆锥曲线的重要性质。

【三、2011 年山东高考数学圆锥曲线题目解析】【1.题目描述】在 2011 年的山东高考数学试题中，圆锥曲线题型主要涉及到了椭圆、双曲线和抛物线的相关知识。

题目要求考生根据所给条件，判断圆锥曲线的类型，并求解相关问题。

【2.解题思路】针对这类题目，首先要对圆锥曲线的基本概念和性质有深入了解，然后根据题目所给条件，判断出圆锥曲线的类型。

接着，利用圆锥曲线的性质和公式，解决相关问题。

【3.题目答案】由于题目的具体答案需要根据题目的具体内容来求解，这里无法给出具体的答案。

但是，通过对圆锥曲线题型的练习和掌握，相信考生可以轻松应对这类题目。

高考数学中的圆锥曲线基本概念及相关性质圆锥曲线是高中数学中非常重要的一个概念，与其相关的知识点在高考中也是经常出现的考点。

本文将介绍圆锥曲线的基本概念以及其相关性质，希望能对正在备考高考数学的同学有所帮助。

一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由圆锥面和一个平面相交而形成的曲线。

根据平面与圆锥面相交的位置和方向不同，可以分为四种圆锥曲线，分别是椭圆、抛物线、双曲线和圆。

1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中比较常见的一种曲线。

它可以由一个平面沿着圆锥面的两个平行直母线截取而成。

椭圆有两个焦点和一条长轴和短轴，其特点是离焦点的距离之和等于常数，即椭圆的离心率小于1。

2. 抛物线抛物线是另一种常见的圆锥曲线。

它可以由一个平面沿着圆锥面的一条直母线截取而成。

抛物线有一个焦点和一条准轴，其特点是离焦点的距离等于离准轴的距离。

3. 双曲线双曲线和椭圆和抛物线不同，它可以由一个平面沿着圆锥面的两个非平行直母线截取而成。

双曲线有两个焦点和两条渐近线，其特点是离焦点的距离之差等于常数，即双曲线的离心率大于1。

4. 圆圆是圆锥曲线中最简单的一种曲线，它可以由一个平面与圆锥面的一个直母线相交而得到。

圆是只有一个焦点的特殊情况，它的离心率等于0。

二、圆锥曲线的相关性质除了基本概念之外，圆锥曲线还有一些重要的性质，在高考中也是需要掌握的知识点。

1. 椭圆的性质（1）椭圆的两个焦点与中心三点共线；（2）椭圆的长轴与短轴的长度之比等于焦距之和与焦距之差的比；（3）椭圆的离心率等于焦距之长除以长轴的长度。

2. 抛物线的性质（1）抛物线的对称轴垂直于准轴；（2）抛物线的焦点在准轴上的中点。

3. 双曲线的性质（1）双曲线的两条渐近线一定是不相交的；（2）双曲线的离心率等于距离两个焦点最远的点与焦点之间的距离之比。

4. 圆的性质（1）圆的任何直径经过圆心；（2）圆的内切和外切线垂直于半径并且相切于切点。

总结圆锥曲线作为高中数学中的一个重要概念，其基本概念和相关性质都需要仔细掌握。

圆锥曲线的基本概念与性质1. 圆锥曲线的基本概念与性质圆锥曲线是高中数学中非常重要的一个概念，它是由平面与圆锥相交而产生的曲线。

本文将详细介绍圆锥曲线的基本概念和性质。

1.1 椭圆椭圆是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥不垂直于母线的相交曲线。

椭圆具有以下性质：- 椭圆是一个闭曲线，即从椭圆上的任意一点到椭圆的另一点的距离之和是一个常数，即椭圆的周长。

- 椭圆有两个焦点，对于椭圆上的任意一点，到两个焦点的距离之和等于一个常数。

- 椭圆是一个中心对称图形，它的中心是圆心。

1.2 双曲线双曲线也是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥不垂直于母线的相交曲线。

双曲线具有以下性质：- 双曲线是一个开曲线，即从双曲线上的任意一点到双曲线的另一点的距离之差等于一个常数的绝对值，即双曲线的离心率。

- 双曲线有两个焦点，对于双曲线上的任意一点，到两个焦点的距离之差等于一个常数。

- 双曲线是一个中心对称图形，它的中心是圆锥的顶点。

1.3 抛物线抛物线也是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥平行于母线的相交曲线。

抛物线具有以下性质：- 抛物线是一个开曲线，它有一个焦点和一个直线称为准线。

- 抛物线的焦点到任意一点的距离等于准线到该点的距离。

- 抛物线是一个轴对称图形，它的轴对称于对称轴。

2. 圆锥曲线的应用圆锥曲线在几何学以及其他学科领域中都有广泛的应用。

2.1 几何学在几何学中，圆锥曲线被广泛用于描述平面上的点与直线之间的关系。

例如，在解决两点之间的最短路径问题时，可以利用椭圆的性质来确定最短路径。

2.2 物理学在物理学中，圆锥曲线被应用于描述天体运动、光的传播以及其他各种物理现象。

例如，开普勒行星运动定律中的椭圆轨道就是以椭圆为基础建立的。

2.3 工程学在工程学中，圆锥曲线被广泛应用于建筑设计、桥梁设计等领域。

通过合理利用椭圆和抛物线的性质，可以设计出更加稳定和美观的建筑结构。

3. 结论圆锥曲线是数学中一个重要的概念，在几何学、物理学和工程学等不同领域都有广泛的应用。

2011年高考数学高频考点8、圆锥曲线命题动向根据2010年的《考试大纲》，并结合近年高考试题，可以发现高考对本部分的考查重点突出.从考查的形式看，常常为1道选择题或填空题，1道解答题；从考查的内容看，常常重视考查几个方面：一是圆锥曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识；二是曲线的方程与轨迹，虽然对这方面的要求有所降低，但也不能掉以轻心；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题及其综合性问题，这类问题常常是视角别致，情境新颖，且常常与函数、方程、不等式、数列、三角函数、平面向量、圆等知识相交汇，形成综合性问题，多涉及圆锥曲线中的定值问题、最值问题、范围问题等，用来考查考生综合运用知识去分析问题和解决问题的能力.从考查的难度看，题目多以中档题为主，也不排除高档题.押猜题13 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 和双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点、F 12F ，以线段1F 2F 为边作正1F ∆M F 2，若椭圆与双曲线的一个交点P 恰好是1MF 的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为T e 和,S e 则T e ·S e 等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2解析 设椭圆和双曲线的焦点坐标为).0,(),0,(21c F c F -M F F 21∆ 是正三角形，.3,,22121c PF c PF c F F ===∴ 由椭圆的定义，得,13132,2312-=+==∴=+=+椭椭a c e a c c PF PF T 由双曲线的定义，得.13132,2312+=-==∴=-=-双双a c e a c c PF PF S 于是，.2)13()13(=+⋅-=⋅S T e e 故选D.点评 本题将椭圆与双曲线结合起来命题，以椭圆与双曲线有相同的焦点为桥梁，以椭圆与双曲线的第一定义为解题工具，去计算它们的离心率.高考在设计圆锥曲线的客观题时，一般都是小型综合题，命题的基本方向是：挖掘图形中的几何背景，回归圆锥曲线的第一、第二定义，考查准线方程和离心率的大小或范围.押猜题14如图，抛物线)0(22>=p px y 的焦点为M F ,的其准线l 上一点，直线MF 与抛物线相交于A 、B 两点，令O FB AF ,λ=是坐标原点，K 是准线l 与x 轴的交点.（1）当4=λ时，求直线AB 的斜率；（2）设1S 与2S 分别表示AOB ∆和MOK ∆的面积，当]223,32[,2++∈λ=p 时，求⋅1S 2S 的取值范围.解析 （1）λ= ,设),,(),,(2211y x B y x A 又),0,2(p F ).,2(),2(2211y p x y x p -λ=--∴即⎪⎩⎪⎨⎧λ=--λ=-.),2(22121y y p x x p ②① 把②两边平方得.22221y y λ=又,2,2222121px y px y ==代入上式得.221x x λ=③ 把③代入①得),2(2222p x x p -λ=λ- 解之得).1(2,2,22112λ+λ=+∴λ=λ=p x x p x p x 设直线AB 的方程为),2(p x k y -=则由⎪⎩⎪⎨⎧=-=,2),2(2px y p x k y 消去y 并整理得.04)2(22222=++-p k x p p k x k 根据韦达定理得.4,22212221p x x k p p k x x =+=+ 从而有.4212)1(22222kk k p p k p +=λ+λ⇒+=λ+λ 由于,41742,422=+∴=λk k 解得,34±=k 即直线AB 的斜率为.34± （2）设直线AB 的倾斜角为α，根据对称性只需研究α是锐角的情形，不妨设α是锐角，则.0tan >α=k α⋅==∆sin 211AB OF S S AOB α⋅α⋅⋅=sin sin 22212p p .sin 2sin 22sin 222α=α=α=p .tan tan 42tan 4tan 22121222α=α=α=α⋅⋅=⋅==∆p p p KM OK S S KOM 从而.12tan 12cos 2tan sin 22221k S S +=α+=α=α⋅α=⋅ 根据（1）知，.14222λ+λ=+k k 令),,1(,1)(+∞∈λλ+λ=λϕ下面证明)(λϕ是增函数. 任取),,1(,21+∞∈λλ且21λ<λ,则,)1)(()1()1()()(212121221121λλ-λλλ-λ=λ+λ-λ+λ=λϕ-λϕ ,0,01,0,121212121>λλ>-λλ<λ-λ∴λ<λ<0)()(21<λϕ-λϕ∴,即).()(21λϕ<λϕ∴函数)(λϕ在),1(+∞上是增函数. 由于],223,32[++∈λ)223()()32(+ϕ≤λϕ≤+ϕ∴ 即,2231223132132+++≤λ+λ≤+++ 即,614≤λ+λ≤ 从而,642422≤+≤kk ,212≤≤∴k,3122≤+≤∴k.3212222≤+≤∴k 即.322221≤⋅≤S S因此,21S S ⋅的取值范围是].32,22[点评 解析几何的主干知识，一是圆锥曲线定义的应用，二是圆锥曲线性质的应用，还有就是直线与圆锥曲线的位置关系的探究.本题借助于几何元素，最终将问题转化成了函数与不等式问题，充分彰显了解析几何的精髓——数形结合.。

圆锥曲线的基本概念与性质解析圆锥曲线是数学中的一个重要概念，通过对锥体的切割而得到的曲线形状。

它包括椭圆、抛物线和双曲线三种基本形式，并具有各自独特的性质和特点。

本文将对圆锥曲线的基本概念进行详细解析，并探讨它们的性质。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是指通过对一个圆锥体进行切割而产生的曲线。

切割方式可以是与锥轴平行的切割、与锥轴垂直的切割或者与锥轴倾斜的切割。

二、椭圆椭圆是一个重要的圆锥曲线，它的定义是所有到两个给定点（称为焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。

椭圆具有以下性质：1. 焦点之间的距离等于椭圆的长度。

2. 椭圆的离心率小于1，且离心率越小椭圆越接近于圆形。

3. 对称轴是通过两个焦点和中心点的直线。

4. 焦点到椭圆上任一点的距离相等。

三、抛物线抛物线是另一种重要的圆锥曲线，它的定义是所有到一个给定点（称为焦点）的距离等于给定直线（称为准线）的距离的点的轨迹。

抛物线具有以下性质：1. 抛物线的焦点与准线距离相等。

2. 对称轴是通过焦点和抛物线上顶点的直线。

3. 抛物线的离心率等于1，离心率大于1的曲线不属于抛物线。

四、双曲线双曲线是圆锥曲线中的另一种形式，它的定义是所有到两个给定点（焦点）的距离之差等于常数的点的轨迹。

双曲线具有以下性质：1. 双曲线的离心率大于1。

2. 焦点之间的距离等于双曲线的长度。

3. 双曲线有两条渐近线，它们与双曲线的曲线趋于无限远时趋于平行。

五、圆锥曲线的应用圆锥曲线在几何学和物理学等领域有广泛的应用。

椭圆的形状在天体运动等领域有重要意义，抛物线的形状广泛应用于抛射物的运动分析，双曲线则在电磁波传播等方面有重要应用。

结论圆锥曲线是通过对圆锥体进行切割而得到的曲线形状，包括椭圆、抛物线和双曲线三种基本形式。

它们具有各自独特的性质和特点，广泛应用于数学、几何学和物理学等领域。

通过对圆锥曲线的深入理解和研究，我们可以进一步探索其在实际问题中的应用和意义。

方法技巧专题7 圆锥曲线的概念及其几何性质 解析版一、 圆锥曲线的概念及其几何性质知识框架二、圆锥曲线的定义、方程【一】圆锥曲线的定义1、椭圆（1）秒杀思路：动点到两定点(距离为2c )距离之和为定值(2a )的点的轨迹；（2）秒杀公式：过抛圆的一个焦点作弦AB ,与另一个焦点F 构造FAB ∆，则FAB ∆的周长等于a 4。

（3） ①当c a 22>时，表示椭圆；②当c a 22=时，表示两定点确定的线段；③当c a 22<时，表示无轨迹。

2、双曲线（1）秒杀思路： ①双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数2a ;②注意定义中两个加强条件:（I ）绝对值; （II ）22a c <； ③加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值表示一支(或一条);（2）秒杀公式：过双曲线的一个焦点作弦AB （交到同一支上），与另一个焦点F 构造FAB ∆，则FAB ∆的周长等于AB a 24+。

（3） ①当22a c <时，表示双曲线； ②当22a c =时，表示以两定点为端点向两侧的射线；③当22a c >时，无轨迹； ④当20a =时表示两定点的中垂线。

3、抛物线（1）秒杀思路：到定点(焦点)距离等于到定直线(准线)距离。

所以，一般情况下,抛物线已知到焦点的距离需转化为到准线的距离,已知到准线的距离需转化为到焦点的距离。

（2）秒杀公式一：焦点在x 轴上的圆锥曲线,曲线上的点到同一个焦点的距离成等差数列，则横坐标成等差数列，反过来也成立。

（3）秒杀公式二：作过抛物线焦点且倾斜角为︒60或︒120的弦,两段焦半径分别为:32,2pp .1. 例题【例1】设P 是椭圆2212516x y +=上的点,若21,F F 是椭圆的两个焦点,则12PF PF +等于 ( )A.4B.5C.8D.10【解析】利用椭圆的定义得12PF PF +=102=a ,选D 。

【例2】已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为B A ,,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .【解析】如图,22QF BN =,12QF AN =,||||AN BN +=124)(221==+a QF QF .【例3】已知双曲线122=-y x ,点21,F F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若21PF PF ⊥,则21PF PF +的值为_______.【解析】,8,2222121=+=-r r r r 得21PF PF +=32. 【例4】设椭圆1C 的离心率为135,焦点在x 轴上且长轴长为26,若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为 ( )A.1342222=-y xB.15132222=-y xC.1432222=-y xD.112132222=-y x【解析】由双曲线定义得4=a ，5=c ，3=b ，选A 。

2011届山东新课标高考数学权威预测：圆锥曲线的定义、性质和方程(二)【例5】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，向量与OM 是共线向量。

（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围；解：（1）∵a b y c x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-=。

∵AB OM a b k AB 与,-=是共线向量，∴ab ac b -=-2，∴b=c,故22=e 。

（2）设1122121212,,,2,2,FQ r F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π∈。

【例6】设P 是双曲线116422=-y x 右支上任一点. （1）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E ，F ，求||||⋅的值；（2）过点P 的直线与两渐近线分别交于A 、B 两点，且AOB ∆=求,2的面积.解：（I ）设16414),,(20202000=-⇒=y x x y x P 则 ∵两渐近线方程为02=±y x由点到直线的距离公式得（II ）设两渐近线的夹角为α，【例7】如图，已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线的离心率．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴． 因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称． 依题意，记A (－c ，0)，C (2c ，h )，B (c ，0)，其中c 为双曲线的半焦距，c =21|AB |，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为c c c x E 19711812118-=+⨯+-=，h hy E19811811180=+⨯+=． 设双曲线的方程为12222=-b y a x ，则离心率ace =．由点C 、E 在双曲线上，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-⋅=-⋅.136********,14122222222b h a c b h a c 由①式得1412222-⋅=a c b h 代入②式得922=ac 所以，离心率322==ac e 【例8】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A,B 两点（A,B 不是左右顶点），且以AB 为直径的图过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：（I ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-= ∴椭圆的标准方程为22143x y += （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22 1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，， 1AD BD k k ∴=-，即1212122y yx x ∙=---，1212122()40y y x x x x ∴+-++=，① ②2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--∴+++=+++，2271640m mk k ∴++= 解得：12m k =-，227k m =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭， ★★★自我提升1.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是(C)（A ）2（B ）6（C ）4（D ）122．如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（C ）A ．36B ．4C ．2D ．13．抛物线y =4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是(B) (A)1617(B)1615(C)87(D)0 4．双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，F 1、F 2分别是它的左，右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB|为（A ）.A 、28B 、24C 、22D 、85．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是221164+=y x ． 6．过椭圆左焦点F ，倾斜角为60?的直线交椭圆于A 、B 两点，若|FA |=2|FB |，则椭圆的离心率为(B)(B)23(C)127．椭圆+=1的离心率e=，则m=___________m=8或2。