2012届高考数学第一轮专项复习教案9

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2012届高考数学第一轮不等式的解法专项复习教案6.4不等式的解法（一）●知识梳理1.一元一次不等式的解法.任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b（a≠0）的形式.当a＞0时，解集为{x|x＞}；当a＜0时，解集为{x|x ＜}.2.一元二次不等式的解法.任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax2+bx+c＞0（或＜0）（其中a＞0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”.思考讨论用“数轴标根法”解高次、分式不等式时，对于偶次重根应怎样处理?●点击双基1.（2004年全国Ⅳ，5）不等式＜0的解集为A.{x|x＜－2或0＜x＜3}B.{x|－2＜x＜0或x＞3}C.{x|x＜－2或x＞0}D.{x|x＜0或x＞3}解析：在数轴上标出各根.答案：A2.（2003年北京）若不等式|ax+2|＜6的解集为（－1，2），则实数a等于A.8B.2C.－4D.－8解析：由|ax+2|＜6得－6＜ax+2＜6，即－8＜ax＜4.∵不等式|ax+2|＜6的解集为（－1，2），易检验a=－4.答案：C3.（2003年重庆市诊断性考试题）已知函数f（x）是R 上的增函数，A（0，－1）、B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|＜1的解集是A.（1，4）B.（－1，2）C.（－∞，1］∪［4，+∞）D.（－∞，－1］∪［2，+∞）解析：由题意知f（0）=－1，f（3）=1.又|f（x+1）|＜1 －1＜f（x+1）＜1，即f（0）＜f（x+1）＜f（3）.又f（x）为R上的增函数，∴0＜x+1＜3.∴－1＜x＜2.答案：B4.（理）（2003年山东潍坊市第二次模拟考试题）不等式x2－|x－1|－1≤0的解集为____________.解析：当x－1≥0时，原不等式化为x2－x≤0，解得0≤x≤1.∴x=1；当x－1＜0时，原不等式化为x2+x－2≤0，解得－2≤x≤1.∴－2≤x＜1.综上，x≥－2.答案：{x|－2≤x≤1}（文）不等式ax2+（ab+1）x+b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则a+b=_______.解析：∵ax2+（ab+1）x+b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，∴解得或∴a+b=－或－3.答案：－或－35.不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式ax2－bx+c＞0的解集为_______.解析：令f（x）=ax2+bx+c，其图象如下图所示，再画出f（－x）的图象即可.答案：{x|－3＜x＜－2}●典例剖析【例1】解不等式＜－1.剖析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x的多项式的商，而右边是非零常数，故需移项通分，右边变为零，再利用商的符号法则，等价转化成整式不等式组.解：原不等式变为＋1＜0，即＜0 －1＜x＜1或2＜x＜3.∴原不等式的解集是｛x｜－1＜x＜1或2＜x＜3｝.【例2】求实数m的范围，使y=lg［mx2+2（m+1）x+9m+4］对任意x∈R恒有意义.剖析：mx2+2（m+1）x+9m+4＞0恒成立的含义是该不等式的解集为R.故应解：由题意知mx2+2（m+1）x+9m+4＞0的解集为R，则解得m＞.评述：二次不等式ax2+bx+c＞0恒成立的条件：若未说明是二次不等式还应讨论a=0的情况.思考讨论本题若要使值域为全体实数，m的范围是什么?提示：对m分类讨论，m=0适合.当m≠0时，解m即可.【例3】若不等式2x－1＞m（x2－1）对满足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范围.剖析：对于m∈［－2，2］，不等式2x－1＞m（x2－1）恒成立，把m视为主元，利用函数的观点来解决.解：原不等式化为（x2－1）m－（2x－1）＜0.令f（m）=（x2－1）m－（2x－1）（－2≤m≤2）.则解得＜x＜.深化拓展1.本题若变式：不等式2x－1＞m（x2－1）对一切－2≤x≤2都成立，求m的取值范围.2.本题若把m分离出来再求m的范围能行吗?●闯关训练夯实基础1.（2004年重庆，4）不等式x+ ＞2的解集是A.（－1，0）∪（1，+∞）B.（－∞，－1）∪（0，1）C.（－1，0）∪（0，1）D.（－∞，－1）∪（1，+∞）解法一：x+ ＞2 x－2+ ＞0 ＞0 x（x－1）（x+1）＞0 －1＜x＜0或x＞1.解法二：验证，x=－2、不满足不等式，排除B、C、D.答案：A2.设f（x）和g（x）都是定义域为R的奇函数，不等式f（x）＞0的解集为（m，n），不等式g（x）＞0的解集为（，），其中0＜m＜，则不等式f（x）•g（x）＞0的解集是A.（m，）B.（m，）∪（－，－m）C.（，）∪（－n，－m）D.（，）∪（－，－）解析：f（x）、g（x）都是定义域为R的奇函数，f（x）＞0的解集为（m，n），g（x）＞0的解集为（，）.∴f（－x）＞0的解集为（－n，－m），g（－x）＞0的解集为（－，－），即f（x）＜0的解集为（－n，－m），g（x）＜0的解集为（－，－）.由f（x）•g（x）＞0得或.又0＜m＜，∴m＜x＜或－＜x＜－m.答案：B3.若关于x的不等式－x2+2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，则实数m的值为_______.解析：由题意，知0、2是方程－x2+（2－m）x=0的两个根，∴－=0+2.∴m=1高考数学高考数学不等式。

2012届高考理科数学第一轮总复习导数及其应用教案第三导数及其应用高考导航考试要求重难点击命题展望1导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景；(2)理解导数的几何意义2导数的运算(1)能根据导数定义，求函数＝(为常数)，＝x，＝x2，＝x3，＝，＝的导数；(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数3导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；(2)了解函数在某点取得极值的必要条和充分条；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)4生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；(2)了解微积分基本定理的含义本重点：1导数的概念；2利用导数求切线的斜率；3利用导数判断函数单调性或求单调区间；4利用导数求极值或最值；利用导数求实际问题最优解本难点：导数的综合应用导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一般、更有效的方法因此，本知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所体现，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力考题可能以选择题或填空题的形式考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义，而以解答题的形式综合考查学生的分析问题和解决问题的能力知识网络3 1导数的概念与运算典例精析题型一导数的概念【例1】已知函数f(x)＝2ln 3x＋8x，求f(1－2Δx)－f(1)Δx的值【解析】由导数的定义知：f(1－2Δx)－f(1)Δx＝－2 f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f′(1)＝－20【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx→0时，平均变化率ΔΔx的极限【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量()与时间t(in)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝t2100，则在时刻t＝10 in的降雨强度为()A1 /inB14 /in12 /inD1 /in【解析】选A题型二求导函数【例2】求下列函数的导数(1)＝ln(x＋1＋x2)；(2)＝(x2－2x＋3)e2x；(3)＝3x1－x【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则(1)′＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)′＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2(2)′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x＝2(x2－x＋2)e2x(3)′＝13(x1－x 1－x＋x(1－x)2＝13(x1－x 1(1－x)2＝13x (1－x)【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段AB，其中A、B、的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝；f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(用数字作答)【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，由导数定义f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1)当0≤x≤2时，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2题型三利用导数求切线的斜率【例3】已知曲线：＝x3－3x2＋2x，直线l：＝x，且l与切于点P(x0，0) (x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标【解析】由l过原点，知＝0x0 (x0≠0)，又点P(x0，0) 在曲线上，0＝x30－3x20＋2x0，所以0x0＝x20－3x0＋2而′＝3x2－6x＋2，＝3x20－6x0＋2又＝0x0，所以3x20－6x0＋2＝x20－3x0＋2，其中x0≠0，解得x0＝32所以0＝－38，所以＝0x0＝－14，所以直线l的方程为＝－14x，切点坐标为(32，－38)【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数列方程，即可求得切点的坐标【变式训练3】若函数＝x3－3x＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程【解析】设切点为P(x0，0)，则由′＝3x2－3得切线的斜率为＝3x20－3所以函数＝x3－3x＋4在P(x0，0)处的切线方程为－0＝(3x20－3)(x－x0)又切线经过点(－2,2)，得2－0＝(3x20－3)(－2－x0)，①而切点在曲线上，得0＝x30－3x0＋4，②由①②解得x0＝1或x0＝－2则切线方程为＝2 或9x－＋20＝0总结提高1函数＝f(x)在x＝x0处的导数通常有以下两种求法：(1) 导数的定义，即求ΔΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的值；(2)先求导函数f′(x)，再将x＝x0的值代入，即得f′(x0)的值2求＝f(x)的导函数的几种方法：(1)利用常见函数的导数公式；(2)利用四则运算的导数公式；(3)利用复合函数的求导方法3导数的几何意义：函数＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是函数＝f(x)的曲线在点P(x0，0)处的切线的斜率导数的应用(一)典例精析题型一求函数f(x)的单调区间【例1】已知函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间【解析】函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定义域是(1，＋∞)f′(x)＝2x－a－ax－1＝2x(x－a＋22)x－1，①若a≤0，则a＋22≤1，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)②若a＞0，则a＋22＞1，故当x∈(1，a＋22]时，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≤0；当x∈[a＋22，＋∞)时，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≥0，所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，a＋22]，f(x)的增区间为[a＋22，＋∞)【点拨】在定义域x＞1下，为了判定f′(x)符号，必须讨论实数a＋22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键【变式训练1】已知函数f(x)＝x2＋ln x－ax在(0,1)上是增函数，求a 的取值范围【解析】因为f′(x)＝2x＋1x－a，f(x)在(0,1)上是增函数，所以2x＋1x－a≥0在(0,1)上恒成立，即a≤2x＋1x恒成立又2x＋1x≥22(当且仅当x＝22时，取等号)所以a≤22，故a的取值范围为(－∞，22]【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时ͤf′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时ͤf′(x)≤0在(a，b)上恒成立然后就要根据不等式恒成立的条求参数的取值范围了题型二求函数的极值【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1(1)试求常数a，b，的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋因为x＝±1是函数f(x)的极值点，所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋＝0的两根由根与系数的关系，得又f(1)＝－1，所以a＋b＋＝－1 ③由①②③解得a＝12，b＝0，＝－32(2)由(1)得f(x)＝12x3－32x，所以当f′(x)＝32x2－32＞0时，有x＜－1或x＞1；当f′(x)＝32x2－32＜0时，有－1＜x＜1所以函数f(x)＝12x3－32x在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1【点拨】求函数的极值应先求导数对于多项式函数f(x)讲，f(x)在点x＝x0处取极值的必要条是f′(x)＝0但是，当x0满足f′(x0)＝0时，f(x)在点x＝x0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值【变式训练2】定义在R上的函数＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，(x－32)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，则有()A f(x1)＜f(x2)B f(x1)＞f(x2)f(x1)＝f(x2)D不确定【解析】由f(3－x)＝f(x)可得f[3－(x＋32)]＝f(x＋32)，即f(32－x)＝f(x＋32)，所以函数f(x)的图象关于x＝32对称又因为(x－32)f′(x)＜0，所以当x＞32时，函数f(x)单调递减，当x＜32时，函数f(x)单调递增当x1＋x22＝32时，f(x1)＝f(x2)，因为x1＋x2＞3，所以x1＋x22＞32，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以f(x1)＞f(x2)故选B题型三求函数的最值【例3】求函数f(x)＝ln(1＋x)－14x2在区间[0,2]上的最大值和最小值【解析】f′(x)＝11＋x－12x，令11＋x－12x＝0，化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去又由f′(x)＝11＋x－12x＞0，且x∈[0,2]，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理，得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以f(1)＝ln 2－14为函数f(x)的极大值又因为f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1＞0，f(1)＞f(2)，所以，f(0)＝0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln 2－14为函数f(x)在[0,2]上的最大值【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a，b]上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在[a，b]上的最值【变式训练3】(2008江苏)f(x)＝ax3－3x＋1对x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝【解析】若x＝0，则无论a为何值，f(x)≥0恒成立当x∈(0,1]时，f(x)≥0可以化为a≥3x2－1x3，设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝3(1－2x)x4，x∈(0，12)时，g′(x)＞0，x∈(12，1]时，g′(x)＜0因此g(x)ax＝g(12)＝4，所以a≥4当x∈[－1,0)时，f(x)≥0可以化为a≤3x2－1x3，此时g′(x)＝3(1－2x)x4＞0，g(x)in＝g(－1)＝4，所以a≤4综上可知，a＝4总结提高1求函数单调区间的步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域D；(2)求导数f′(x)；(3)根据f′(x)＞0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递增区间；根据f′(x)＜0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递减区间2求函数极值的步骤是：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)判断f′(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值3求函数最值的步骤是：先求f(x)在(a，b)内的极值；再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值33导数的应用(二)典例精析题型一利用导数证明不等式【例1】已知函数f(x)＝12x2＋ln x(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的值域；(2)求证：x＞1时，f(x)＜23x3【解析】(1)由已知f′(x)＝x＋1x，当x∈[1，e]时，f′(x)＞0，因此f(x)在[1，e]上为增函数故f(x)ax＝f(e)＝e22＋1，f(x)in＝f(1)＝12，因而f(x)在区间[1，e]上的值域为[12，e22＋1](2)证明：令F(x)＝f(x)－23x3＝－23x3＋12x2＋ln x，则F′(x)＝x＋1x －2x2＝(1－x)(1＋x＋2x2)x，因为x＞1，所以F′(x)＜0，故F(x)在(1，＋∞)上为减函数又F(1)＝－16＜0，故x＞1时，F(x)＜0恒成立，即f(x)＜23x3【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法【变式训练1】已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时()Af′(x)＞0，g′(x)＞0Bf′(x)＞0，g′(x)＜0f′(x)＜0，g′(x)＞0Df′(x)＜0，g′(x)＜0【解析】选B题型二优化问题【例2】(2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为26万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为万元(1)试写出关于x的函数关系式；(2)当＝640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝，即n＝x－1所以＝f(x)＝26n＋(n＋1)(2＋x)x＝26(x－1)＋x(2＋x)x＝26x＋x＋2－26(2)由(1)知f′(x)＝－26x2＋12x ＝2x2(x －12)令f′(x)＝0，得x ＝12所以x＝64当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x＝64处取得最小值此时n＝x－1＝64064－1＝9故需新建9个桥墩才能使最小【变式训练2】(2010上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用96米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到001平方米)【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则由已知可得4(4r＋2h)＝96，所以2r＋h＝12S＝24πr－3πr2，h＝12－2r＞0，所以r＜06所以S＝24πr－3πr2(0＜r＜06)令f(r)＝24πr－3πr2，则f′(r)＝2 4π－6πr令f′(r)＝0得r＝04所以当0＜r＜04，f′(r)＞0；当04＜r＜06，f′(r)＜0所以r＝04时S最大，Sax＝11题型三导数与函数零点问题【例3】设函数f(x)＝13x3－x2＋(2－4)x，x∈R(1)当＝3时，求曲线＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β若对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求实数的取值范围【解析】(1)当＝3时，f(x)＝13x3－3x2＋x，f′(x)＝x2－6x＋因为f(2)＝23，f′(2)＝－3，所以切点坐标为(2，23)，切线的斜率为－3，则所求的切线方程为－23＝－3(x－2)，即9x＋3－20＝0(2)f′(x)＝x2－2x＋(2－4)令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝＋2当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－2)上是增函数；当x∈(－2，＋2)时，f′(x)＜0，f(x)在(－2，＋2)上是减函数；当x∈(＋2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(＋2，＋∞)上是增函数因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且f(x)＝13x[x2－3x ＋3(2－4)]，所以解得∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4)当∈(－4，－2)时，－2＜＋2＜0，所以α＜－2＜β＜＋2＜0此时f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，与题意不合，故舍去当∈(－2,2)时，－2＜0＜＋2，所以α＜－2＜0＜＋2＜β因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值因为当x＝＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，所以＋2＝1，即＝－1当∈(2,4)时，0＜－2＜＋2，所以0＜－2＜α＜＋2＜β因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值因为当x＝＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，所以＋2＝1，即＝－1(舍去)综上可知，的取值范围是{－1}【变式训练3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围【解析】(1)当a＞0时，F(x)的递增区间为(1a，＋∞)，递减区间为(0，1a)；当a≤0时，F(x)的递减区间为(0，＋∞)(2)[12ln 2，1e)总结提高在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值34定积分与微积分基本定理典例精析题型一求常见函数的定积分【例1】计算下列定积分的值(1) (x－1)dx；(2) (x＋sin x)dx【解析】(1)因为[16(x－1)6]′＝(x－1)，所以(x－1)dx＝＝16(2)因为(x22－s x)′＝x＋sin x，所以(x＋sin x)dx＝＝π28＋1【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：①若f(x)是偶函数时，则f(x)dx＝2 f(x)dx；②若f(x)是奇函数时，则f(x)dx＝0【变式训练1】求(3x3＋4sin x)dx【解析】(3x3＋4sin x)dx表示直线x＝－，x＝，＝0和曲线＝3x3＋4sin x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sin x)＝－f(x)所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－,]上是奇函数，所以(3x3＋4sin x)dx＝－(3x3＋4sin x)dx，所以(3x3＋4sin x)dx＝(3x3＋4sin x)dx＋(3x3＋4sin x)dx＝0题型二利用定积分计算曲边梯形的面积【例2】求抛物线2＝2x与直线＝4－x所围成的平面图形的面积【解析】方法一：如图，由得交点A(2,2)，B(8，－4)，则S＝[2x－(－2x)]dx＋[4－x－(－2x)]dx＝＋＝163＋383＝18方法二：S＝[(4－)－22]d＝＝18【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以为积分变量时，应注意将曲线方程变为x＝φ()的形式，同时，积分上、下限必须对应的取值【变式训练2】设是一个正整数，(1＋x)的展开式中x3的系数为116，则函数＝x2与＝x－3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为【解析】Tr＋1＝r(x)r，令r＝3，得x3的系数为313＝116，解得＝4由得函数＝x2与＝4x－3的图象的交点的横坐标分别为1,3所以阴影部分的面积为S＝(4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－＝43题型三定积分在物理中的应用【例3】(1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；(2)一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时阻力所做的功【解析】(1)当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)≤0，所以前2秒内所走过的路程为s＝v(t)dt＋(－v(t))dt＝(1－t2)dt＋(t2－1)dt= ＋＝22秒末所在的位置为x1＝x0＋v(t)dt＝1＋(1－t2)dt＝13所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1＝13 (2) 物体的速度为v＝(bt3)′＝3bt2媒质阻力F阻＝v2＝(3bt2)2＝9b2t4，其中为比例常数，且＞0当x＝0时，t＝0；当x＝a时，t＝t1＝(ab) ，又ds＝vdt，故阻力所做的功为阻＝ds ＝v2•vdt＝v3dt＝(3bt 2)3dt＝277b3t71 ＝2773a7b2【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)＝a(t)dt，s(t)＝v(t)dt 和＝F(x)dx这三个公式【变式训练3】定义F(x，)＝(1＋x)，x，∈(0，＋∞)令函数f(x)＝F[1，lg2(x2－4x＋9)]的图象为曲线1，曲线1与轴交于点A(0，)，过坐标原点向曲线1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，设曲线1在点A，B之间的曲线段与线段A，B所围成图形的面积为S，求S的值【解析】因为F(x，)＝(1＋x)，所以f(x)＝F(1，lg2(x2－4x＋9))＝＝x2－4x＋9，故A(0,9)，又过坐标原点向曲线1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，f′(x)＝2x－4所以解得B(3,6)，所以S＝(x2－4x＋9－2x)dx＝(x33－3x2＋9x) =9总结提高1定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数2定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理3利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；（4）计算定积分，写出答案。

2012届高考数学第一轮函数的综合问题专项复习教案212 函数的综合问题●知识梳理函数的综合应用主要体现在以下几方面：1函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合2函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合这是高考主要考查的内容3函数与实际应用问题的综合●点击双基1已知函数f（x）=lg（2x－b）（b为常数），若x∈［1，+∞）时，f （x）≥0恒成立，则Ab≤1 Bb＜1 b≥1 Db=1解析：当x∈［1，+∞）时，f（x）≥0，从而2x－b≥1，即b≤2x－1而x∈［1，+∞）时，2x－1单调增加，∴b≤2－1=1答案：A2（2003年郑州市质检题）若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过点A（0，3）和B（3，－1），则不等式|f（x+1）－1|＜2的解集是___________________解析：由|f（x+1）－1|＜2得－2＜f（x+1）－1＜2，即－1＜f（x+1）＜3又f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象过点A（0，3），B（3，－1），∴f（3）＜f（x+1）＜f（0）∴0＜x+1＜3，－1＜x＜2答案：（－1，2）●典例剖析【例1】取第一象限内的点P1（x1，1），P2（x2，2），使1，x1，x2，2依次成等差数列，1，1，2，2依次成等比数列，则点P1、P2与射线l:=x（x＞0）的关系为A点P1、P2都在l的上方B点P1、P2都在l上点P1在l的下方，P2在l的上方D点P1、P2都在l的下方剖析：x1= +1= ，x2=1+ = ，1=1× = ，2= ，∵1＜x1，2＜x2，∴P1、P2都在l的下方答案：D【例2】已知f（x）是R上的偶函数，且f（2）=0，g（x）是R上的奇函数，且对于x∈R，都有g（x）=f（x－1），求f（2002）的值解：由g（x）=f（x－1），x∈R，得f（x）=g（x+1）又f（－x）=f （x），g（－x）=－g（x），故有f（x）=f（－x）=g（－x+1）=－g（x－1）=－f（x－2）=－f （2－x）=－g（3－x）=g（x－3）=f（x－4），也即f（x+4）=f（x），x∈R∴f（x）为周期函数，其周期T=4∴f（2002）=f（4×00＋2）＝f（2）=0评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质【例3】函数f（x）= （＞0），x1、x2∈R，当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=（1）求的值；（2）数列{an}，已知an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），求an解：（1）由f（x1）+f（x2）= ，得+ = ，∴4 +4 +2= ［4 +（4 +4 ）+2］∵x1+x2=1，∴（2－）（4 +4 ）=（－2）2∴4 +4 =2－或2－=0∵4 +4 ≥2 =2 =4，而＞0时2－＜2，∴4 +4 ≠2－∴=2（2）∵an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），∴an=f（1）+f （）+ f（）+…+f（）+f（0）∴2an=［f（0）+f（1）］+［f（）+f（）］+…+［f（1）+f（0）］= + +…+ =∴an=深化拓展用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法【例4】函数f（x）的定义域为R，且对任意x、∈R，有f（x+）=f（x）+f（），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2（1）证明f（x）是奇函数；（2）证明f（x）在R上是减函数；（3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值（1）证明：由f（x+）=f（x）+f（），得f［x+（－x）］=f（x）+f （－x），∴f（x）+ f（－x）=f（0）又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f （0）=0从而有f（x）+f（－x）=0∴f（－x）=－f（x）∴f（x）是奇函数（2）证明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=f（x1）－f［x1+（x2－x1）］=f（x1）－［f（x1）+f（x2－x1）］=－f（x2－x1）由x1＜x2，∴x2－x1＞0∴f（x2－x1）＜0∴－f（x2－x1）＞0，即f（x1）＞f（x2），从而f（x）在R上是减函数（3）解：由于f（x）在R上是减函数，故f（x）在［－3，3］上的最大值是f（－3），最小值是f（3）由f（1）=－2，得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3×（－2）=－6，f（－3）=－f（3）=6从而最大值是6，最小值是－6 深化拓展对于任意实数x、，定义运算x*=ax+b+x，其中a、b、是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数，使得对于任意实数x，都有x*=x，试求的值提示：由1*2=3，2*3=4，得∴b=2+2，a=－1－6又由x*=ax+b+x=x对于任意实数x恒成立，∴∴b=0=2+2∴=－1∴（－1－6）+=1∴－1+6－=1∴=4答案：4●闯关训练夯实基础1已知=f（x）在定义域［1，3］上为单调减函数，值域为［4，7］，若它存在反函数，则反函数在其定义域上A单调递减且最大值为7B单调递增且最大值为7单调递减且最大值为3D单调递增且最大值为3解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，f －1（x）的值域是［1，3］答案：2（2003年郑州市质检题）关于x的方程|x2－4x+3|－a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________________解析：作函数=|x2－4x+3|的图象，如下图由图象知直线=1与=|x2－4x+3|的图象有三个交点，即方程|x2－4x+3|=1也就是方程|x2－4x+3|－1=0有三个不相等的实数根，因此a=1答案：13（2003年春季北京）若存在常数p＞0，使得函数f（x）满足f（px）=f（px－）（x∈R），则f（x）的一个正周期为__________解析：由f（px）=f（px－），令px=u，f（u）=f（u－）=f［（u+ ）－］，∴T= 或的整数倍答案：（或的整数倍）4已知关于x的方程sin2x－2sinx－a=0有实数解，求a的取值范围解：a=sin2x－2sinx=（sinx－1）2－1∵－1≤sinx≤1，∴0≤（sinx－1）2≤4∴a的范围是［－1，3］（2004年上海，19）记函数f（x）= 的定义域为A，g（x）=lg［（x －a－1）（2a－x）］（a＜1）的定义域为B（1）求A；（2）若B A，求实数a的取值范围解：（1）由2－≥0，得≥0，∴x＜－1或x≥1，即A=（－∞，－1）∪［1，+∞）（2）由（x－a－1）（2a－x）＞0，得（x－a－1）（x－2a）＜0∵a＜1，∴a+1＞2a∴B=（2a，a+1）∵B A，∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥ 或a≤－2而a＜1，∴≤a＜1或a≤－2故当B A时，实数a的取值范围是（－∞，－2］∪［，1）培养能力6（理）已知二次函数f（x）=x2+bx+（b≥0，∈R）若f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由解：设符合条的f（x）存在，∵函数图象的对称轴是x=－，又b≥0，∴－≤0①当－＜－≤0，即0≤b＜1时，函数x=－有最小值－1，则或（舍去）②当－1＜－≤－，即1≤b＜2时，则（舍去）或（舍去）③当－≤－1，即b≥2时，函数在［－1，0］上单调递增，则解得综上所述，符合条的函数有两个，f（x）=x2－1或f（x）=x2+2x （）已知二次函数f（x）=x2+（b+1）x+（b≥0，∈R）若f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由解：∵函数图象的对称轴是x=－，又b≥0，∴－≤－设符合条的f（x）存在，①当－≤－1时，即b≥1时，函数f（x）在［－1，0］上单调递增，则②当－1＜－≤－，即0≤b＜1时，则（舍去）综上所述，符合条的函数为f（x）=x2+2x7（200年春季上海，21）已知函数f（x）=x+ 的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+ 设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线=x和轴的垂线，垂足分别为、N（1）求a的值（2）问：|P|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由（3）设为坐标原点，求四边形PN面积的最小值解：（1）∵f（2）=2+ =2+ ，∴a=（2）设点P的坐标为（x0，0），则有0=x0+ ，x0＞0，由点到直线的距离公式可知，|P|= = ，|PN|=x0，∴有|P|•|PN|=1，即|P|•|PN|为定值，这个值为1（3）由题意可设（t，t），可知N（0，0）∵P与直线=x垂直，∴P•1=－1，即=－1解得t= （x0+0）又0=x0+ ，∴t=x0+∴S△P= + ，S△PN= x02+∴S四边形PN=S△P+S△PN= （x02+ ）+ ≥1+当且仅当x0=1时，等号成立此时四边形PN的面积有最小值1+探究创新8有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1；（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2＞V1解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x，高为x，∴V1=（4－2x）2•x=4（x3－4x2+4x）（0＜x＜2）∴V1′=4（3x2－8x+4）令V1′=0，得x1= ，x2=2（舍去）而V1′=12（x－）（x－2），又当x＜时，V1′＞0；当＜x＜2时，V1′＜0，∴当x= 时，V1取最大值（2）重新设计方案如下：如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=3×2×1=6，显然V2＞V1故第二种方案符合要求●思悟小结1函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如二次函数问题应高度重视，其他如分类讨论、探索性问题属热点内容，应适当加强2数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中，掌握了这一点，将会体会到函数问题既千姿百态，又有可循●教师下载中心教学点睛数形结合和数形转化是解决本问题的重要思想方法，应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题拓展题例【例1】设f（x）是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意a、b ∈［－1，1］，当a+b≠0时，都有＞0（1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小；（2）解不等式f（x－）＜f（x－）；（3）记P={x|=f（x－）}，Q={x|=f（x－2）}，且P∩Q= ，求的取值范围解：设－1≤x1＜x2≤1，则x1－x2≠0，∴＞0∵x1－x2＜0，∴f（x1）+f（－x2）＜0∴f（x1）＜－f（－x2）又f（x）是奇函数，∴f（－x2）=－f（x2）∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）是增函数（1）∵a＞b，∴f（a）＞f（b）（2）由f（x－）＜f（x－），得∴－≤x≤∴不等式的解集为{x|－≤x≤ }（3）由－1≤x－≤1，得－1+≤x≤1+，∴P={x|－1+≤x≤1+}由－1≤x－2≤1，得－1+2≤x≤1+2，∴Q={x|－1+2≤x≤1+2}∵P∩Q= ，∴1+＜－1+2或－1+＞1+2，解得＞2或＜－1【例2】（2003年南昌市高三第一次质量调研测试题）已知函数f （x）的图象与函数h（x）=x+ +2的图象关于点A（0，1）对称（1）求f（x）的解析式；（2）（）若g（x）=f（x）•x+ax，且g（x）在区间（0，2］上为减函数，求实数a的取值范围（理）若g（x）=f（x）+ ，且g（x）在区间（0，2］上为减函数，求实数a的取值范围解：（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x，），点（x，）关于点A（0，1）的对称点（－x，2－）在h（x）的图象上∴2－=－x+ +2∴=x+ ，即f（x）=x+（2）（）g（x）=（x+ ）•x+ax，即g（x）=x2+ax+1g（x）在（0，2］上递减－≥2，∴a≤－4（理）g（x）=x+ ∵g′（x）=1－，g（x）在（0，2］上递减，∴1－≤0在x∈（0，2］时恒成立，即a≥x2－1在x∈（0，2］时恒成立∵x∈（0，2］时，（x2－1）ax=3，∴a≥3【例3】（2003年东潍坊市第二次模拟考试题）在4月份（共30天），有一新款服装投放某专卖店销售，日销售量（单位：）f（n）关于时间n（1≤n≤30，n∈N*）的函数关系如下图所示，其中函数f（n）图象中的点位于斜率为和－3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为，且第天日销售量最大（1）求f（n）的表达式，及前天的销售总数；（2）按规律，当该专卖店销售总数超过400时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30时，该服装的流行会消失试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天？并说明理由解：（1）由图形知，当1≤n≤且n∈N*时，f（n）=n－3由f（）=7，得=12∴f（n）=前12天的销售总量为（1+2+3+…+12）－3×12=34（2）第13天的销售量为f（13）=－3×13+93=4，而34+4＞400，∴从第14天开始销售总量超过400，即开始流行设第n天的日销售量开始低于30（12＜n≤30），即f（n）=－3n+93＜30，解得n＞21∴从第22天开始日销售量低于30，即流行时间为14号至21号∴该服装流行时间不超过10天。

2012届高考数学第一轮向量的应用专项复习教案向量的应用●知识梳理理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前的问题转化为可用向量解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力特别提示许多代数、几何中的问题都可以转化为向量处理它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点●点击双基1若是△AB内一点，+ + =0，则是△AB的A内心B外心垂心D重心解析：以、为邻边作平行四边形BD，则= + 又+ + =0，∴+ =－∴－= ∴为AD的中点，且A、、D共线又E为D的中点，∴是中线AE的三等分点，且A= AE∴是△AB的重心答案：D2将椭圆x2+62－2x－12－13=0按向量a平移，使中心与原点重合，则a的坐标是A（－1，1）B（1，－1）（－1，－1）D（1，1）解析：椭圆方程变形为（x－1）2+6（－1）2=20需按a=（－1，－1）平移，中心与原点重合答案：3平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（－1，3），若点满足=α +β ，其中α、β∈R，且α+β=1，则点的轨迹方程为A3x+2－11=0B（x－1）2+（－2）2=2x－=0Dx+2－=0解析：点满足=α +β 且α+β=1，∴A、B、三点共线∴点的轨迹是直线AB答案：D4在四边形ABD中，• =0，= ，则四边形ABD是A直角梯形B菱形矩形D正方形解析：由• =0知⊥由= 知B AD∴四边形ABD是矩形答案：（2004年全国Ⅱ，理9）已知平面上直线l的方向向量e=（－，），点（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是和A′，则=λe，其中λ等于A B－2D－2解析：如图所示，令e过原点，与e方向相反，排除A、，验证D即可答案：D●典例剖析【例1】已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，（1）求t的值；（2）求证：b⊥（a+tb）剖析：利用|a+tb|2=（a+tb）2进行转换，可讨论有关|a+tb|的最小值问题，若能计算得b•（a+tb）=0，则证得了b⊥（a+tb）（1）解：设a与b的夹角为θ，则|a+tb|2=（a+tb）2=|a|2+t2|b|2+2a•（tb）=|a|2+t2|b|2+2t|a||b|sθ=|b|2（t+ sθ）2+|a|2sin2θ，所以当t=－sθ=－=－时，|a+tb|有最小值（2）证明：因为b•（a+tb）=b•（a－•b）=a•b－a•b=0，所以b⊥（a⊥tb）评注：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带了很大的方便思考讨论对|a+tb|的变形，有两种基本的思考方法：一是通过|a+tb|2=（a+tb）2进行向量的数量积运算；二是设a、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形读者可尝试用后一方法解答本题深化拓展已知=a，=b，a•b=|a－b|=2，当△AB面积取最大值时，求a 与b的夹角解：因为|a－b|2=4，所以a2－2a•b+b2=4所以|a|2+|b|2=4+2a•b=8，S△AB= • sinθ= |a||b|= = ≤ = ，（当且仅当|a|=|b|=2时取等号）所以当|a|=|b|=2时，△AB的面积取最大值，这时，sθ= = = ，所以θ=60°【例2】如图，四边形NPQ是⊙的内接梯形，是圆心，在N上，向量与的夹角为120°，• =2（1）求⊙的方程；（2）求以、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程剖析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以为原点，N 所在直线为x轴，求⊙的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a、b即可解：（1）以N所在直线为x轴，为原点，建立直角坐标系x∵与的夹角为120°，故∠Q=60°于是△Q为正三角形，∠Q=60°又• =2，即| || |s∠Q=2，于是r=| |=2故⊙的方程为x2+2=4（2）依题意2=4，2a=|QN|+|Q|，而|QN|= =2 ，|Q|=2，于是a= +1，b2=a2－2=2∴所求椭圆的方程为+ =1评述：平面向量在解析几何中的应用越越广，复习时应引起重视●闯关训练夯实基础1（2004年辽宁，6）已知点A（－2，0），B（3，0），动点P（x，）满足• =x2，则点P的轨迹是A圆B椭圆双曲线D抛物线解析：=（－2－x，－），=（3－x，－），• =（－2－x）（3－x）+（－）2=x2，整理得2=x+6∴P点的轨迹为抛物线答案：D2台风中心从A地以20/h的速度向东北方向移动，离台风中心30内的地区为危险区，城市B在A的正东40处，B城市处于危险区内的时间为A0hB1h1hD2h解析：台风中心移动th，城市B处在危险区，则（20t）2+402－2×20t×40×s4°≤900∴－≤t≤ + ∴B城市处在危险区的时间为1h答案：B3在一座20高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为4°，那么这座塔的高为_______解析：如图，AD=D=20∴BD=ADtan60°=20 ∴塔高为20（1+ ）答案：20（1+ ）4有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝_______方向行驶解析：如下图，为使小船所走路程最短，v水+v船应与岸垂直又v 水= =1，v船= = ，∠AD=90°，∴∠AD=4°答案：与水速成13°角的如图，△AB的B边的中点为，利用向量证明：AB2+A2=2（A2+B2）证明：设=，=b，=，则= ，•= •= b2+ b•+ 2= AB2+ A2+ AB•A•s∠BA= AB2+ A2+ AB•A•= AB2+ A2+ （AB2+A2－B2）∴A2= AB2+ A2－B2又∵B2=4B2，∴AB2+A2=2（A2+B2）6如图，用两根绳子把重10N的物体吊在水平杆子AB上∠A=10°，∠B=120°，求A和B处所受力的大小（忽略绳子重量）解：设A、B 处所受力分别为f1、f2，10N的重力用f表示，则f1+f2=f以重力作用点为f1、f2的始点，作平行四边形FE，使为对角线，则=f1，=f2，=f，则∠E=180°－10°=30°，∠F=180°－120°=60°，∠FE=90°∴四边形EF为矩形∴| |=| |s30°=10• = ，｜｜=| |s60°=10× =∴A处受力为N，B处受力为N培养能力7已知A（4，0），N（1，0），若点P满足• =6| |（1）求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；（2）求| |的取值范围；（3）若（－1，0），求∠PN在［0，π］上的取值范围解：（1）设P（x，），=（x－4，），=（1－x，－），=（－3，0），∵• =6| |，∴－3（x－4）=6 ，即3x2+42=12∴=1∴P点的轨迹是以（－1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆（2）N（1，0）为椭圆的右焦点，x=4为右准线，设P（x0，0），P 到右准线的距离为d，d=4－x0，=e= ，|PN|= d= ∵－2≤x0≤2，∴1≤|PN|≤3当|PN|=1时，P（2，0）；当|PN|=3时，P（－2，0）（3）令|PN|=t（1≤t≤3），则|P|=4－t，|N|=2，s∠PN== =－1+由1≤t≤3，得3≤t（4－t）≤4，∴≤s∠PN≤1∴0≤∠PN≤8如图，已知△AB的顶点坐标依次为A（1，0），B（，8），（7，－4），在边AB上有一点P，其横坐标为4，在A上求一点Q，使线段PQ 把△AB分成面积相等的两部分解：设P分的比为λ1，则4= λ1=3，即=3，=又= • = ，∴= ，即=2设λ2= ，则λ2=2∴xQ= =，Q= =－∴Q（，－）探究创新9如下图，已知△FQ的面积为S，且与的数量积等于1，（1）若＜S＜2，求向量与的夹角θ的取值范围；（2）设| |=（≥2），S= ，若以为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当| |取得最小值时，求此椭圆的方程解：（1）tanθ=2S又∵＜S＜2，∴1＜tanθ＜4∴＜θ＜artan4（2）以为原点，所在直线为x轴建立坐标系，设椭圆方程为+ =1（a＞b＞0），点Q（x1，1），则=（x1－，1）又∵△FQ的面积为| |•1= ，∴1= 又由• =1，解得x1=+| |= = （≥2）设f（）=+ ，则（）=1－=当≥2时，（）＞0，∴f（）在［2，＋∞）上递增，∴当=2时，| |最小，此时Q（，），由此可得a2=10，b2=6∴椭圆方程为=1●思悟小结向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，因此在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合应用向量可以解决平面几何中的一些问题，在物理和工程技术中应用也很广泛●教师下载中心教学点睛教材中安排了解三角形应用举例和实习作业，根据新教材突出应用这一显著特点，教学中应充分利用这些素材，使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，渗透数学建模思想，培养学生分析、解决实际问题的能力拓展题例【例1】已知a=（x2，x），b=（x，x－3），x∈［－4，4］（1）求f（x）=a•b的表达式；（2）求f（x）的最小值，并求此时a与b的夹角解：（1）f（x）=a•b= x2•x+x•（x－3）= x3+x2－3x，x∈［－4，4］（2）（x）=x2+2x－3=（x+3）（x－1）列表：x－4（－4，－3）－3（－3，1）1（1，4）4（x）+0－0+f（x）↑极大值9↓极小值－↑故当x=1时，f（x）有最小值为－此时a=（，1），b=（1，－2）设θ为a与b的夹角，则sθ= =－又由θ∈［0，π］，得θ=【例2】如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4g和2g的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?（忽略滑轮半径、绳子的重量）分析：先进行受力分析，列出平衡方程，然后用数学方法求解解：设所求物体质量为g时，系统保持平衡，再设F1与竖直方向的夹角为θ1，F2与竖直方向的夹角为θ2，则有（其中g为重力加速度）由①式和②式消去θ2，得2－8sθ1+12=0，即=4sθ1±2 ③∵sθ2＞0，由②式知，③式中=4sθ1－2 不合题意，舍去又∵4s2θ1－3≥0，解得≤sθ1≤1经检验，当sθ1= 时，sθ2=0，不合题意，舍去∴2 ＜＜6综上，所求物体的质量在2 g到6g之间变动时，系统可保持平衡评注：（1）的范围是通过函数=4x+2 的单调性求得的（2）实际问题的处理要注意变量的实际意义，本题容易忽略sθ2＞0的实际限制。

第2课时 直线与椭圆直线与椭圆的位置关系1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值X 围是( )A.m >1B.m >0C.0<m <5且m ≠1D .m ≥1且m ≠5 答案 D解析 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立， 由于m >0且m ≠5，∴5k 2＋m －1≥0， ∴m ≥1且m ≠5.2.已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点. (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.弦长及中点弦问题命题点1 弦长问题例1斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4t 2－15.∴|AB |＝2|x 1－x 2| ＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4t 2－15＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.命题点2 中点弦问题例2已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________. 答案 x ＋2y －3＝0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1，x 24＋y22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k k －12k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2， ∴4kk －12k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，①x 224＋y 222＝1，②①－②得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.记住必须检验.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y22－4y 1y 2](k 为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 跟踪训练1(1)已知椭圆两顶点A (－1，0)，B (1，0)，过焦点F (0，1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，当|CD |＝322时，则直线l 的方程为________. 答案2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.解析 由题意得b ＝1，c ＝1. ∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋1＝2. ∴椭圆方程为y 22＋x 2＝1.若直线l 斜率不存在时，|CD |＝22，不符合题意. 若l 斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋2x 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.Δ＝8(k 2＋1)>0恒成立.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2). ∴x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. ∴|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝22k 2＋1k 2＋2.即22k 2＋1k 2＋2＝322，解得k 2＝2，∴k ＝± 2.∴直线l 方程为2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.(2)(2019·某某模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，则椭圆的离心率为( )A.22B.12C.14D.32答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).∵AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1.∵PF ∥l ，∴k PF ＝k l ＝－b c ＝y 1－y 2x 1－x 2.∵x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1. ∴x 1＋x 2x 1－x 2a 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，∴2a 2＋－bc b2＝0，可得2bc ＝a 2，∴4c 2(a 2－c 2)＝a 4，化为4e 4－4e 2＋1＝0， 解得e 2＝12，又∵0<e <1，∴e ＝22. 直线与椭圆的综合问题例3(2019·某某)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率. 解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意知，2b ＝4，c a ＝55， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0).设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 跟踪训练2已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程.解 (1)由题意知，△F 1B 1B 2为等边三角形，则⎩⎨⎧c ＝3b ，c ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3b 2，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为3x 24＋3y 2＝1.(2)易知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，Δ＝8(k 2＋1)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－12k 2＋1，F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q →＝(x 2＋1，y 2)，因为F 1P →⊥F 1Q →，所以F 1P →·F 1Q →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0，解得k 2＝17，即k ＝±77，故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.1.若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A.至多为1B.2C.1D.0 答案 B 解析 由题意知，4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<2， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部， 故所求交点个数是2.2.直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( )A.2B.433C.4D.不能确定答案 B解析 直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x ，y )， 则弦长为x 2＋y －12＝4－4y 2＋y 2－2y ＋1＝－3y 2－2y ＋5，当y ＝－13时，弦长最大为433.3.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.43B.53C.54D.103答案 B解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53， 故选B.4.已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A.12B.－12C.2D.－2 答案 B解析 设弦所在直线的斜率为k ，弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0，所以2x 1－x 29＝－4y 1－y 29，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.故弦所在直线的斜率为－12.故选B.5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M (1，－1)，则椭圆E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 k AB ＝0＋13－1＝12，k OM ＝－1，由k AB ·k OM ＝－b 2a 2，得b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.∵c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.6.(2019·某某模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba的值为( ) A.32B.233 C.932 D.2327答案 B解析 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1， 即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，则by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1，b y 1－y 2y 1＋y 2a x 1－x 2x 1＋x 2＝－1，由题意知，y 1－y 2x 1－x 2＝－1， 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22与原点的直线的斜率为32，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝32， ∴b a×(－1)×32＝－1， ∴b a ＝233，故选B. 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，ax 2＋by 2＝1消去y ，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， 可得AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，∴k OP ＝a b ＝32，∴b a ＝233. 7.直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________.答案 相交解析 由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.8.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________. 答案x 29＋y 26＝1 解析 ∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代入椭圆方程，可求得|F 1A |＝|F 1B |＝b 2a.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴b 2a ＝33×2c .① 又2F AB S △＝12×2c ×2b2a＝43，②a 2＝b 2＋c 2，③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.9.设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是________. 答案 1解析 ∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12， ∴2mn ＝4，mn ＝2， ∴12F PF S △＝12mn ＝1.10.(2020·某某部分重点中学联考)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为________. 答案105解析 设|BF 1|＝k ，则|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝4k .由|BF 1|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，得2a ＝5k ，|AF 2|＝2k .在△ABF 2中，cos∠BAF 2＝4k 2＋2k 2－4k 22×4k ×2k＝14， 又在△AF 1F 2中，cos∠F 1AF 2＝3k 2＋2k 2－2c22×3k ×2k ＝14， 所以2c ＝10k ，故离心率e ＝ca ＝105. 11.已知椭圆C ：x 22＋y 24＝1，过椭圆C 上一点P (1，2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB ，分别交椭圆C 于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为________.答案 2 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，同时设PA 的方程为y －2＝k (x －1)，代入椭圆方程化简，得(k 2＋2)x 2－2k (k －2)x ＋k 2－22k －2＝0，显然1和x 1是这个方程的两解，因此x 1＝k 2－22k －2k 2＋2，y 1＝－2k 2－4k ＋22k 2＋2， 由－k 代替x 1，y 1中的k ，得x 2＝k 2＋22k －2k 2＋2，y 2＝－2k 2＋4k ＋22k 2＋2， 所以y 2－y 1x 2－x 1＝ 2. 故直线AB 的斜率为 2. 12.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，E 的离心率为22，点(0，1)是E 上一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且BF 1→＝2F 1A →，求直线BF 2的方程.解 (1)由题意知，b ＝1，且e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12， 解得a 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，x ＝my －1，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，则y 1＋y 2＝2m m 2＋2，① y 1y 2＝－1m 2＋2，② 因为F 1(－1，0)，所以BF 1→＝(－1－x 2，－y 2)，F 1A →＝(x 1＋1，y 1)，由BF 1→＝2F 1A →可得，－y 2＝2y 1，③由①②③可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，±144， 则2BF k ＝146或－146， 所以直线BF 2的方程为14x －6y －14＝0或14x ＋6y －14＝0.13.(2019·全国100所名校联考)已知椭圆C ：x 2＋y 2b 2＝1(b >0，且b ≠1)与直线l ：y ＝x ＋m 交于M ，N 两点，B 为上顶点.若|BM |＝|BN |，则椭圆C 的离心率的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫63，1D.⎝⎛⎦⎥⎤0，63 答案 C解析 设直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2＋y 2b 2＝1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 2＋y 2b 2＝1，得(b 2＋1)x 2＋2mx ＋m 2－b 2＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m b 2＋1，x 1x 2＝m 2－b 2b 2＋1， Δ＝(2m )2－4(b 2＋1)(m 2－b 2)＝4b 2(b 2＋1－m 2)>0.设线段MN 的中点为G ，知G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m b 2＋1，b 2m b 2＋1， 因为|BM |＝|BN |，所以直线BG 垂直平分线段MN ，所以直线BG 的方程为y ＝－x ＋b ，且经过点G ，可得b 2m b 2＋1＝m b 2＋1＋b ，解得m ＝b 3＋b b 2－1. 因为b 2＋1－m 2>0，所以b 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3＋b b 2－12>0， 解得0<b <33， 因为e 2＝1－b 2，所以63<e <1. 14.(2019·某某调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.若△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3，则椭圆C 的离心率为________.答案 63解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， 两式相减得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2y 1＋y 2b 2＝0.(*) 因为△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2－c 3＝c 6，y 1＋y 23＝c 3，故⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝3c 2，y 1＋y 2＝c ，代入(*)式得3x 1－x 2c 2a 2＋y 1－y 2c b 2＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－3b 22a 2＝－12，即a 2＝3b 2， 所以椭圆C 的离心率e ＝63. 15.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则椭圆在其上一点A (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其焦距为2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，点B 为C 1在第一象限中的任意一点，过B 作C 1的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，则△OCD 面积的最小值为( ) A.22B.2C.3D.2 答案 B解析 由题意可得2c ＝2，即c ＝1，a 2－b 2＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22代入椭圆方程，可得1a 2＋12b 2＝1， 解得a ＝2，b ＝1，即椭圆的方程为x 22＋y 2＝1，设B (x 2，y 2)， 则椭圆C 1在点B 处的切线方程为x 22x ＋y 2y ＝1， 令x ＝0，得y D ＝1y 2，令y ＝0，可得x c ＝2x 2， 所以S △OCD ＝12·1y 2·2x 2＝1x 2y 2， 又点B 为椭圆在第一象限上的点，所以x 2>0，y 2>0，x 222＋y 22＝1， 即有1x 2y 2＝x 222＋y 22x 2y 2＝x 22y 2＋y 2x 2≥2x 22y 2·y 2x 2＝2， 即S △OCD ≥2，当且仅当x 222＝y 22＝12， 即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22时，△OCD 面积取得最小值2，故选B. 16.已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积.解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<4， 所以x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1. 由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 1＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75. 又|AB |＝1＋34x 1＋x 22－4x 1x 2＝72·4－m 2， O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72， 所以S △AOB ＝12·|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110.。

§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情考向分析1.能判断直线与圆的位置关系.2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的X 围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，难度中等，但有时也会在解答题中出现.1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系.(最重要)d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交＝0⇔相切<0⇔相离2.圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)一组实数解 内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解概念方法微思考1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.( √ ) (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.( × )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ ) 题组二 教材改编2.若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值X 围是( ) A.[－3，－1] B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－12≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.外离 答案 B解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交.4.圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________. 答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.题组三 易错自纠5.若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值X 围是( ) A.[－2，2]B.[－22，22]C.[－2－1，2－1]D.[－22－1，22－1] 答案 D解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m |2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.6.过点A (3，5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为__________. 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2， ∵|OA |＝3－12＋5－22＝13>2，∴点A (3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1，2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，即|3－2k |＝2k 2＋1， ∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.直线与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例1 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定 答案 B解析 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交.命题点2 弦长问题例2 若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12B.1C.22D. 2 答案 D解析 因为圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，由勾股定理得，弦长的一半就等于12－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 命题点3 切线问题例3 (2020·某某部分重点中学联考)点P 为射线x ＝2(y ≥0)上一点，过P 作圆x 2＋y 2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P 的坐标为( ) A.(2，1) B.(2，2) C.(2，2) D.(2，0) 答案 C 解析 如图所示.设切点为A ，B ，则OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OA ＝OB ，AP ＝BP ，AP ⊥BP ， 故四边形OAPB 为正方形， 则|OP |＝6，又x P ＝2，则P (2，2).命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题例4 过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，则最短弦所在的直线方程为________. 答案 x －y －2＝0解析 设P (3，1)，圆心C (2，2)， 则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短弦过P (3，1)且与PC 垂直，k PC ＝－1，所以所求直线方程为y －1＝x －3，即x －y －2＝0. 思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题. 跟踪训练1 (1)(2020·某某江淮十校联考)已知直线l ：x cos α＋y sin α＝1(α∈R )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交，则r 的取值X 围是 ( )A.0<r ≤1B.0<r <1C.r ≥1D.r >1 答案 D解析 圆心到直线的距离d ＝1cos 2α＋sin 2α＝1，故r >1. (2)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A.－2B.－4C.－6D.－8 答案 B解析 由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝2，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.(3)(2019·某某)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r ，若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________. 答案 －25解析 根据题意画出图形，可知A (－2，－1)，C (0，m )，B (0，3)，∵k AB ＝2，∴k AC ＝－12，∴直线AC 的方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，令x ＝0，得y ＝－2， ∴圆心C (0，－2)，∴m ＝－2. ∴r ＝|AC |＝4＋－2＋12＝ 5.(4)从直线l ：x ＋y ＝1上一点P 向圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________. 答案462解析 方法一 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1， 圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1. 设直线l 上任意一点P (x ，y )， 则由x ＋y ＝1，得y ＝1－x . 则|PC |＝x ＋22＋y ＋22＝x ＋22＋1－x ＋22＝2x 2－2x ＋13.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ .故|PQ |2＝|PC |2－r 2＝(2x 2－2x ＋13)－1＝2x 2－2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋232，所以当x ＝12时，|PQ |2取得最小值，最小值为232，此时切线长为|PQ |＝232＝462. 方法二 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1， 圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ . 故|PQ |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1. 故当|PC |取得最小值时，切线长最小.显然，|PC |的最小值为圆心C 到直线l 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝522， 所以切线长的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫5222－1＝462. 圆与圆的位置关系例5 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求： (1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1，3)，N (5，6)， 半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值.故有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. 因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪43×1＋3－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋1＝11.解得b ＝133±5311.容易验证，当b ＝133＋5311时，直线与圆x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相交，舍去.故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×112－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27. 思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到. (3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解.跟踪训练2 (1)(2020·某某模拟)圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16的位置关系是( ) A.外离B.相交 C.内切D.外切 答案 B解析 易得圆C 1的圆心为C 1(－2，2)，半径r 1＝2，圆C 2的圆心为C 2(2，5)，半径r 2＝4，圆心距|C 1C 2|＝[2－－2]2＋5－22＝5<2＋4＝r 1＋r 2且5>r 2－r 1，所以两圆相交.(2)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a .∵公共弦长为23，∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.1.已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2≠0，则直线l ：ax ＋by ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋by ＝0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定 答案 B解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22，圆心到直线ax ＋by ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2×a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2×b a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，所以直线与圆相切.2.直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交B.相切C.相离D.不确定 答案 A解析 方法一 由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.方法二 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1，1)， 因为点(1，1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部， 所以直线l 与圆相交.3.若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值X 围是( ) A.(－∞，1) B.(121，＋∞) C.[1，121] D.(1，121) 答案 C解析 x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0化成标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36. 圆心距为d ＝0＋32＋0－42＝5，若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ， 所以1≤m ≤121.故选C.4.(2019·某某八市重点高中联考)已知圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0截直线x ＋y －4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值X 围为( ) A.(2－17，2＋17) B.(2－17，2) C.(－15，＋∞) D.(－15，2) 答案 D解析 圆心(1，－1)，半径r ＝2－a ，2－a >0，∴a <2， 圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|2＝2 2.则弦长为22－a2－222＝2－a －6<6.解得a >－15，故－15<a <2.5.已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A.m ∥l ，且l 与圆相交 B.m ⊥l ，且l 与圆相切 C.m ∥l ，且l 与圆相离 D.m ⊥l ，且l 与圆相离 答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2. ∵圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0，0)，故由题意得OP ⊥m ， 又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离.故选C.6.(2020·某某华附、省实、广雅、深中四校联考)过点A (a ，0)(a >0)，且倾斜角为30°的直线与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点B ，且|AB |＝3，则△OAB 的面积是( ) A.12B.32C.1D.2答案 B解析 由切线的性质可得△ABO 是以点B 为直角顶点的直角三角形，在Rt△ABO 中，∠OAB ＝30°，AB ＝3，则OB ＝1，OA ＝2，△OAB 的面积是12×1×3＝32.7.已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.6或－6B.5或－5C.6D. 5 答案 B解析 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝± 5.8.(2020·西南地区名师联盟调研)以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝9 解析 圆心到直线的距离为|3×2－4×－1＋5|5＝3，则所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.9.(2020·某某“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知圆C 经过直线x ＋y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点，且圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，则圆C 的方程为________.答案 (x －3)2＋(y －3)2＝34解析 方法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y 2＝4，解得交点坐标为A (－2，0)，B (0，－2).弦AB 的垂直平分线方程为y ＋1＝x ＋1即x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.弦AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心坐标为(3，3)， 半径r ＝[3－－2]2＋32＝34， 故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝34.方法二 设所求圆的方程为(x 2＋y 2－4)＋a (x ＋y ＋2)＝0， 即x 2＋y 2＋ax ＋ay －4＋2a ＝0，∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a2，∵圆心在直线2x －y －3＝0上，∴－a ＋a2－3＝0，∴a ＝－6.∴圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y －16＝0， 即(x －3)2＋(y －3)2＝34.10.若过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝______. 答案 32解析 由题意，得圆心为O (0，0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|PA |＝|PB |＝ 3. ∵△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3， 则|OP |＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos60°＝32.11.(2019·某某青山区模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程.解 (1)根据题意，圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，其圆心为(0，4)，半径r ＝2，若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－34. (2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，则⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即2＋d 2＝4，解得d ＝2，则有d ＝|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－1或－7，则直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.12.已知一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求该圆的方程.解 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝a －b22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2， 即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F ).② 又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.13.(2019·某某师大附中月考)已知圆x 2＋(y －1)2＝2上任一点P (x ，y )，其坐标均使得不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值X 围是( ) A.[1，＋∞) B .(－∞，1] C.[－3，＋∞) D .(－∞，－3] 答案 A解析 如图，圆应在直线x ＋y ＋m ＝0的右上方，圆心C (0，1)到直线l 的距离为|1＋m |2，切线l 0应满足|1＋m |2＝2，∴|1＋m |＝2，m ＝1或m ＝－3(舍去)，从而－m ≤－1，∴m ≥1.14.由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为_______. 答案7解析 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，M 的坐标为(3，0)，则|PQ |即为切线长，|MQ |为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，∴|PM |的最小值为22， |PQ |＝|PM |2－1＝222－1＝7.15.已知圆O ：x 2＋y 2＝9，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89B.⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49C.(1，2) D.(9，0) 答案 C解析 因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的任一点，所以设P (9－2m ，m )，因为PA ，PB 为圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆(记为圆C )上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，易知圆C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9－2m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝9－2m2＋m24，①又x 2＋y 2＝9，②②－①得，(2m －9)x －my ＋9＝0，即公共弦AB 所在直线的方程是(2m －9)x －my ＋9＝0， 即m (2x －y )＋(－9x ＋9)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，－9x ＋9＝0得x ＝1，y ＝2.所以直线AB 恒过定点(1，2)，故选C.16.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. (1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程. 解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋4－b 2＝r 2，1－a 2＋3－b2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM →·AN →为定值.过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ， 易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos0°＝|AT |2＝7， ∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k1＋k2＋8＝12， 即4k1＋k1＋k2＝4，解得k ＝1， 又当k ＝1时Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.。