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定积分概念ppt课件

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定积分的概念 课件

定积分的概念 课件

a
f(x)dx等于由直线x＝a，x＝b，y＝0与
曲线y＝f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．
b
(2)计算
a
f(x)dx时，先明确积分区间[a，b]，从而确定曲
边梯形的三条直边x＝a，x＝b，y＝0，再明确被积函数f(x)，
从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积
S而得到定积分的值：
c
f(x)dx
(其中a<c<b)．
[点睛] 性质(1)的等式左边是一个定积分，等式右边是常数与 一个定积分的乘积． 性质(2)对于有限个函数(两个以上)也成立． 性质(3)对于把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也 成立．
利用定义求定积分
3
[典例] 利用定义求定积分0x2dx. [解] 令f(x)＝x2，
n
(3)求和：
i＝1Leabharlann f(ξi)·b－n a；
b
(4)取极限：a
n
f(x)＝lim n i＝1
b－a f(ξi)· n .
用定积分的性质求定积分
[典例]
(1)f(x)＝x2＋ x2，1，1≤0≤x≤x<21.，
2
则
f(x)dx＝(
0
)
2
A. (x＋1)dx 0
2
B. 2x2dx 0
1
2
C. (x＋1)dx＋ 2x2dx
(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定 积分的线性性质进行计算，可以简化计算．
(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数， 一般利用积分区间的连续可加性计算．
用定积分的几何意义求定积分
[典例] 根据定积分的几何意义，求下列定积分的值．

定积分PPT课件

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lim ln n
f 1 f 2 f n
en
n n n
lim
e e n
1 n ln n i1
f
i n
lim
n
n
ln
i 1
f
i n
n1
指数上可理解为：ln f ( x)在[0,1]区间上的一
个积分和．分割是将[0,1]n等分
分点为 xi
i ，（i n
1,2,, n）
因为 f ( x)在区间[0,1]上连续，且 f ( x) 0
)
g(i
)]xi
n
n
lim
0
i 1
f
(i )xi
lim
0
i 1
g(i )xi
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx.
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2
abkf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
(k 为常数).
证
b
kf
a
( x)dx
lim
0
n
kf
i 1
(i )xi
n
n
lim k 0 i1
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法， 只要当 0时， 和S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x) 在区间[a, b]上的定积分， 记为
积分上限 b
n
f ( x)dx I lim
a
0 i1
f (i )xi
积分和
积分下限
被

定积分的概念PPT课件

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（3 ）
a
f ( x )dx
f ( x )dx
b a
f (x )dx
性质4： 性质5： 性质6：


a
a
b
f ( x )dx 0.
a
dx b a .

b
a
f ( x )dx f ( x )dx .
b
a
思考4：
r 0
2 xdx
2
？
r
2


1
0
1 x dx ？

i 1
b n
a
f ( i ) ，那么
当n→∞时，Sn的极限是否一定存在？
一定存在
n
思考4：数学上，把
n
lim
i 1
b n
a
f( i)
叫
做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分， 记作 即
a
b a
b
f (x )dx ，
n
f (x )dx
n
lim
i 1
b n
a
f( i)
b a
f (x )dx 其中
---积分号 a---积分下限 b---积分上限 区间[a，b] ---积分区间 函数f(x) ---被积函数 x---积分变量 f(x)dx---被积式
v＝v(t)
n
s
n
lim
i 1
b n
a
v( i )
O a
i
b t
思考3：一般地，如果函数f(x)在区间[a， b]上连续，用分点 a＝x0＜x1＜x2＜„＜xi＜„＜xn＝b将区 间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区 间[xi－1，xi](i＝1，2,„，n)上任取一

定积分定义PPT幻灯片

定积分定义PPT幻灯片
及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.
上页 下页 返回 退出
•利用定义计算定积分
例1
利用定积分定义计算
1
0
e
xdx
.
解: 取分点为 D x i
1 n
(i1, 2, , n1), 则 x i
i n
(i1, 2, , n).
在第i
个小区间上取右端点x i
xi
i n
(i1,
2,
,
n).
•观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
上页 下页 返回 退出
•求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxixixi1;
(2)近似代替: 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
a ————积分下限,
b ————积分上限,
[a, b]———积分区间，
上页 下页 返回 退出
x 二、定积分定义
❖定积分的定义
a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m 根 据 定 积 分 的 定 义 ,曲 边 梯 形 的 面 积 为 A a b f ( x ) d . x 变 速 直 线 运 动 的 路 程 为 S T T 1 2 v ( t ) d . t
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
n
S v ( i ) D t i ; i 1
(4)取极限: 记max{Dt1, Dt2,, Dtn}, 物体所经过的路程为

《定积分课件》课件

《定积分课件》课件

03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。

定积分概念、性质ppt课件

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上例曲边图形的面积用定积分表示
S1x2d x lin m (n 1 )2 (n 1 )1
0
n 6 n 3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定：
a
f(x)d x0,
b
a
f(x)d x f(x)dx
b f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
推2 论 ：b
.
f(x)d
x
b
f（ x） dx,(ab)
a
a
因f(x)f(x)f(x)
.
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最
小值m， 于是， 由性质5有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
几何意义也很明显
性质 7（积分中值若定函理 f(数 x)） 在[a： ,b]上连续，
S曲
lim n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
.
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
引例1——曲边梯形的面积（演示） 引例2——变速直线运动的路程
设物体的运动速度 vvt
分割区间 作和
取近似值 取极限
T1
ti-1 i ti T2 t
（1）细分区间 [ T 1 ,T 2 ] [ T 1 ,t 1 ] U [ t 1 ,t2 ] U L U [ tn 1 ,T 2 ]
曲边梯形的面积，即：
n
S曲
.
lim
n i1

定积分的概念PPT课件


nb a
s
lim
n
i1
n v( i)
Oa
i bt
思考3：一般地，如果函数f(x)在区间[a， b]上连续，用分点 a＝x0＜x1＜x2＜…＜xi＜…＜xn＝b将区 间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区 间[xi－1，xi](i＝1，2,…，n)上任取一
点 i 作和式 S
nb a
lim
n i1
n
Module 10
Units 1～2 Building the future
People on the move
重点单词
1．claim v．主张；宣称；夺去生命 n．要求，主张 【用法拓展】 claim to have done 声称曾经做过某事 make a claim 提出主张或要求 give up a claim 放弃要求 have a claim on sb.to do 要求某人做某事 Every citizen may claim the protection of the law. 所有公民都有权要求得到法律的保护。 The tornado claimed dozens of lives.那场龙卷风夺去了几十条人命. After her house was burgled，she made a claim on her insurance. 她家被盗后，她要求按保单赔付。[剑桥高阶]
f( i)
，那么
当n→∞时，Sn的极限是否一定存在？ 一定存在
思考4：数学上，把
lim
n
n b af( i1 n
i)
叫
做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，
b
记作 f (x )dx ，
a
即

高二数学-定积分概念-课件


0
( x f (t)dt)2
0
( x f (t)dt)2
0
0
依题意，在[0, x](x 0)上, f (t) 0, (x t) f (t) 0,
且(x t) f (t) 0,故
x
f (t)dt 0,
x
(x t) f (t)dt 0,
0
0
F(x) 0(x 0),从而F(x)在(0,)内单调增加。
(2) lim 4 sin n xdx 0. n 0
解： （利用积分中值定理）
(1)
1 2
xn
dx
n
(1 0)
(0 1)
0 1 x 1 2
2
原式 lim n 0.
n 2(1 )
(2)
4
sin
n
xdx
sin
n
(
0)
0
4
原式 lim sin n 0.
n 4
(0 )
n
n
(iii)求和： A Ai f (i )xi
i1
i1
o a xi1i xi
bx
(iv)取极限：令 max{ x1,xn}，则曲边梯形面积
n
A lim 0 i1
f (i )xi
1.定积分定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，
(i)分割： 在[a,b]内插入若干个分点a x0 xn1 xn b，
x
0
(1) (1) 2
例4 设f (x)在[0,)内连续，且f (x) 0.证明
x
tf (t)dt
F(x)
0 x
在(0,)内卫单调增加函数。
0 f (t)dt
证
x
x

定积分的概念 课件


性质2.
b
b
b
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
a
a
a
三: 定积分的基本性质
性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
b
c
b
a f ( x )dx a f ( x )dx c f ( x )dx
y yf (x)
Oa
Ｃ bx
b f ( x )dx
b
f (x)dx。
aa
aa
a cc
a
c
Oa
c
bx
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替
小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
2．曲边梯形的面积
求曲边梯形的面积即
求 y f (x) 下的面积 f (x) 0
若“梯形” 很窄， 可近似地用矩形面积代替 在不很窄时怎么办？
c1 f ( x )dx
c2 f ( x )dx
b
f ( x )dx
a
a
c1
c2
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
y y=f(x)
b
f
b
(xf)(dxx)dx
c
f
c(xf)(dxxb)df x(bx)fbd(xxf)(dxxc)。 dfx(。x)dx
y = f(x) y

定积分的概念-PPT精选

b
s a v(t)dt;
密 度 为 ( x ) 线 状 物 体 的 质 量 为
m b(x)dx. a 前页 后页 返回
关于定积分定义，应注意以下几点：
n
注1 表 达 式 JlT im 0i1f(i)xi 不 仅 与 n和 T有
关 , 还 与 { 1 ,2 , ,n } 有 关 , 因此定积分既不是数 列极限，也不是函数极限.
区 间 [xi1, xi]的长度不趋于 0 . 要 保 证 每 个 区 间 [ x i 1 , x i ] 的 长 度 趋 于 0 , 需 引 入 分 割 T 的 细 度 ( 模 ) :
T m a x x i i 1 ,2 , ,n .
则 当T0时 ,就能保证分割越来越细.
n
当v(t)v0为 匀 速 运 动 时 ， s v 0 ( b a ) ; 当质量是
均 匀 分 布 时 ， 即 x 为 常 数 时 , m(ba).
这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情况下
前页 后页 返回
可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题 是“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形， 如来何解决这些问题呢？ 以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题 合理地归为一类特殊的和式的极限. 中心思想： 把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每 个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替
与S的差距就会越来越小.
i 1
问题是：
(1 )如 何 刻 划 分 割 越 来 越细？
n
(2 )如 何 刻 划 f(i)x i越 来 越 逼 近 于 S ? i 1
下面依次讨论这两个问题.
前页 后页 返回
( 1 ) 对 于 一 般 的 T : a 0 x 0 x 1 x n b , 不 能 用n来表示分割 T 越来越细,因为可能某些
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y
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
2
④
（2）在图②中，被积函数f ( x) x 在[1 ， 2] 解： 上连续，且f ( x) 0, 根据定积分的几何意 义，可得阴影部分的面积为 A

2 2 1
x dx
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
f(x)=(x-1)2-1
积零为整
取极限
精确值——定积分
定积分的几何意义：

2
x

2


2
f ( x)dx A2 A1 0
练习：
利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。
1）． sin xdx
2 0

2）. 1
2
x 2 dx
1）． sin xdx 0
0
利用定积分的几何意义，说明下列各式。 成立：
2
2）.

0
sin xdx 2 2 sin xdx
A5 A4
b x
三、定积分的基本性质
性质1：
被积函数的常数因子可以提到积分号外

b
a
kf(x)dxk f ( x)dx， (k为常数）
a
b
性质2：
b b b [ f ( x ) g ( x )] f ( x ) dx a a a g ( x)dx
函数的和（差）的定积分等于它们定积分的和（差）
练习
2 及x轴所围成 x 1 , x 3 y x 1 与直线 1. 由曲线
的曲边梯形的面积，用定积分表示为 2.

3 1
( x 2 1)dx

2
2
sin 3tdt 中，积分上限是 2
[-2,2] 0
2
-2 积分下限是________
积分区间是 3.定积分

2
( x 2 1)dx
( 3) 取极限
例1 利用定积分的定义 , 计算 x dx的值.
3 0
1

1
0
1 1 1 x dx lim S n lim 1 . n n 4 n 4
3
2
例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
f(x)=(x-1)2-1
性质3：对调定积分上下限，改变符号

b
a
f ( x)dx b f ( x)dx
a
当a=b时

a
a
f(x)dx 0
性质4：（积分的可加性）
对任意的c，则一定有 b f ( x)dx c f ( x)dx b f ( x)dx a a c
例1 利用定积分的定义 , 计算 x dx的值.
注 意
3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有

b
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du
a a
b
b
4．规定：

b
a
f ( x)dx f ( x)dx
b
a

a
a
f ( x)dx 0
二、定积分的几何意义
y
y f ( x)
f ( x ) 0,
0
试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y y=x2 y y=f(x)
y=g(x)
0 1 2
x
0 a
b x
例4 计算积分

1
0
1 x dx
2
解：由定积分的几何意 义知，该积分等于
曲 线y 1 x 2 , x轴 ，x 0及x 1所 围 的面积（见下图）
面积值为圆的面积的
1 4
一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出, 通 过“四步曲”: 分割---近似代替---求和---取极限得到解决.
小矩形面积和 S f ( i )x
i 1 i 1 n n
ba f ( i ) . n
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分， 记作
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
④
2 解： （4）在图④中，被积函数f ( x) ( x 1) 1在[1 ， 2]
上连续，且在 [ 1 ， 0]上f ( x) 0, 在[0， 2]上f ( x) 0， 根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
A [( x 1) 1]dx [( x 1) 1]dx
积分区间
.
练 习 题
如何表述定积分的几何意义？根据几何意义推出定积分的值：
(1)

2 0
cos xdx
1
A
-1
3
π
A
5
A
2π
4
(2)
2π 0

1 1
x dx
cos xdx A3 ( A4 ) A5 A3 A5 ( A3 A5 ) 0

1 1
1 x dx 2 A 2 11 1 2
我们称这个极限I 为函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的定积分，
记为
积分上限
f ( i )xi a f ( x )dx I lim 0 i 1
积分下限
b
n
积分和
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
注 意
1.
f ( x)dx 与
y f ( x)
b
x
积分上限

积分下限
b
a
ba f ( x)dx lim f ( i ). n n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
也不论在小区间[ xi 1 , xi ] 上 点 i 怎样的取法， 怎样的分法，
只要当 0 时， 和 S 总趋于确定的极限I ，

b
a
f ( x )dx,
b a
即
ba f ( x)dx lim f ( i ). n n i 1
n
定积分的定义：

b
a
ba f ( x)dx lim f ( i ). n n i 1
n
定积分的相关名称： ———叫做积分号， y f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量， O a a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。
4. y f ( x) 在 a, b 上连续，则定积分

A.与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关

b
a
f ( x)dx 的值 A
小
结
定积分的实质：特殊和式的极限． 定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
b a
b
a
f ( x)dx
的差别
f ( x)dx 是 f ( x) 的全体原函数
是函数
是一个确定的常数

f ( x)dx是一个和式的极限
n i
2 .当
f ( )x 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关，而与区间 a, b 的分法及
i 1
i
点的取法无关。
3
1
解 令f x x .
3
0
0,1上等间隔地插入 (1) 分割 在区间 n 1分点,
i 1 i 0,1等分成n个小区间 , (i 1,2, , 把区间 n n i i 1 1 n), 每个小区间的长度为 x . n n n
i ( 2) 近似代替、作和 取 i i 1,2, , n , n 3 n n 1 i i 1 则 f x dx S n f x 0 n n i 1 i 1 n 2 n 1 1 1 1 1 2 3 2 4 i 4 n n 1 1 . n i 1 4 n n 4
0 1 2 2 0 2
例3：
利用定积分的几何意义说明等式

2

2
sin xdx 0
y f(x)=sinx
成立。
解： 在右图中，被积函数f ( x) sin x
在[

， ]上连续，且在 [ ， 0]上 2 2 2



2
1
A1 -1
A2
sin x 0, 在[0， ]上sin x 0,并有 2 A1 A2 , 所以
y
所以
1
0
1 x dx
2

4
1 x
练 习 题
一、 填空题： 1、函数 f ( x ) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限， n
0 即 f ( x )dx _________________ . i 1
b
lim f ( i )x i
被积函数
a
2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 积分变量 _________ 的记法无关 . 围成的各个部分面积的代数和 . 3、定积分的几何意义是_______________________ b 4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ . a dx