下载文档原格式
高二数学定积分知识点总结一、定积分的概念1.1 定积分的引入在高中数学中，我们学过了不定积分的概念和性质，定积分就是在这个基础上引入的。
当我们对一个函数进行积分时，如果我们要计算的量是函数在一个区间上的面积或者体积，那么我们就需要用到定积分。
定积分可以看做是一个变量的特定区间上的累积和。
1.2 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n等分，每个小区间的长度为Δx=n(b-a)，在第i个小区间上任取一点ξi，则f(x)在[a, b]上的定积分为：∫[a,b]f(x) dx=lim{n→∞}∑{i=1}^{n}f(ξi)Δx其中lim{n→∞}表示当n趋向于无穷大时的极限。
1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义即函数f(x)在[a, b]上的定积分就是函数y=f(x)与x轴所围区域的有向面积。
1.4 定积分的性质（1）定积分的线性性质：∫[a,b][f(x)+g(x)] dx=∫[a,b]f(x) dx+∫[a,b]g(x) dx（2）定积分的估值性质：若f(x)在[a, b]上连续，则必定存在α∈[a, b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(α)(b-a)1.5 定积分的计算定积分的计算主要是通过不定积分的计算来实现。
通过不定积分求出F(x)的原函数后，即可得到∫[a,b]f(x) dx=F(b)-F(a)。
二、定积分的应用2.1 定积分的物理意义定积分在物理学中有着重要的应用，它可以用来计算物体的质量、重心、压力、力矩等。
在力学中，定积分常用来计算物体的质心以及转动惯量等。
2.2 定积分的几何应用定积分可以用来求曲线与坐标轴所围成的曲边梯形或者曲边梯形的面积，也可以用来计算曲线的弧长、曲线旋转体的体积等几何问题。
2.3 定积分的工程应用在工程问题中，定积分可以用来计算各种曲线的长度、曲线所围成的区域面积、曲线所绕成的物体的体积等。
2.4 定积分的经济应用在经济学中，定积分可以用来计算总收益、总成本、总利润等与变量有关的经济指标。
高中数学定积分的概念及相关题目解析在高中数学中，定积分是一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍定积分的概念，并通过具体的题目解析来说明其考点和解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用定积分。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分结果的确定值。
定积分的符号表示为∫，下面是定积分的定义：设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选取每个小区间中的一个点ξi，作为f(x)在该小区间上的取值点。
那么，定积分的近似值可以表示为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Σf(ξi)Δx当n趋向于无穷大时，定积分的近似值趋向于定积分的准确值，即：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx这个准确值就是函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
二、定积分的考点和解题技巧1. 计算定积分的基本方法对于一些简单的函数，可以直接使用定积分的定义进行计算。
例如，计算函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx = lim(n→∞)Σ(ξi)²Δx在这个例子中，可以将区间[0, 1]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = 1/n。
然后，选取每个小区间中的一个点ξi，可以选择ξi = i/n。
这样，定积分的近似值可以表示为：∫[0, 1]x²dx ≈ Σ(ξi)²Δx = Σ(i/n)²(1/n)当n趋向于无穷大时，可以求出定积分的准确值。
在这个例子中，计算过程如下：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σ(i/n)²(1/n)= lim(n→∞)(1/n³)Σi²= lim(n→∞)(1/n³)(1² + 2² + ... + n²)= lim(n→∞)(1/n³)(n(n+1)(2n+1)/6)= 1/3因此，函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分的值为1/3。
高考中的定积分定积分是微积分基本概念之一，应掌握其概念、几何意义、微积分基本定理以及简单应用．下面例析在高考中的考查方式．一、计算型是指给出定积分表达式，求其值，通常解法有：定义法，几何意义法，基本定理法及性质法等．例1计算以下定积分： ⑴2211(2)x dx x -⎰；⑵30(sin sin 2)x x dx π-⎰． 分析：直接运用定义，找到一个原函数．解：⑴函数y ＝212x x -的一个原函数是y ＝32ln 3x x -． 所以2211(2)x dx x -⎰＝3212(ln )|3x x -＝162ln 233--＝14ln 23-． ⑵函数y ＝sin x －sin2x 的一个原函数为y ＝－cos x ＋12cos2x ． 所以30(sin sin 2)x x dx π-⎰＝(－cos x ＋12cos2x )30|π＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14． 评注：利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数．对于被积函数是绝对值或分段函数时，应充分利用性质()()()bc ba a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰，根据定义域，将积分区间分成若干部分，分别求出积分值，再相加．练习：计算以下定积分：⑴322dx ⎰；⑵21|32|x dx -⎰． (答案：⑴39ln22+；⑵12)． 二、逆向型 主要已知定积分的值，求定积分中参数．例2设函数2()(0)f x ax c a =+≠，若100()()f x dx f x =⎰，001x ≤≤，则0x 的值为 ． 分析：本题是逆向思维题，可用求积分的一般方法来解决．解：112310001()()()3f x dx ax c dx ax cx =+=+⎰⎰ 203a c ax c =+=+． 033x =∴． 评注：常用方程思想加以解决．练习：已知a ＞0，且2a a x dx -•⎰＝18，求a 的值． (答案：3)三、应用型主要指求围成的平面图形的面积及旋转体的体积．例3由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（ ）A ．154B ．174C ．1ln 22D ．2ln 2分析：可先画出图象，找出范围，用积分表示，再求积分即．解：如图，面积22112211ln |ln 2ln 2ln 22S x x ===-=⎰，故选(D)．评注：用积分求围成面积，常常分四步：①画草图；②解方程组求出交点；③确定积分的上下限；④计算．练习：求由曲线y 2＝x ， y ＝x 2所转成的面积．(答案：13)．。
高中定积分的计算在高中数学学习中，定积分是一个重要的概念和计算方法。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在物理、经济等其他学科中也具有重要意义。
本文将介绍高中定积分的基本概念、计算方法和一些常见的应用场景。
一、定积分的基本概念定积分是微积分中的重要内容，是对曲线下面积的一种度量。
定积分的计算可以理解为将曲线下的面积划分为无限多个无穷小的矩形，并将这些矩形的面积加起来，得到整个曲线下的面积值。
在高中数学中，定积分可以用下面的形式表示：∫[a,b] f(x) dx其中，f(x)表示被积函数，[a,b]表示积分区间，dx表示积分的自变量。
定积分的结果是一个数值，表示被积函数在积分区间内的曲线下面积。
二、定积分的计算方法高中定积分的计算方法主要有三种：几何法、代数法和牛顿-莱布尼茨公式。
1. 几何法：这种方法利用几何图形的面积性质来计算定积分。
常见的几何图形包括矩形、三角形、梯形等。
通过将曲线下的面积分割成这些几何图形，然后计算它们的面积并相加，就可以得到定积分的值。
2. 代数法：代数法是通过对被积函数进行积分运算来计算定积分。
这种方法可以利用积分的基本性质和常见函数的积分公式来进行计算。
通过将被积函数进行积分并确定积分上下限，就可以得到定积分的结果。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：这是一种基于导数和原函数的关系来计算定积分的方法。
根据牛顿-莱布尼茨公式，如果一个函数F(x)是f(x)的原函数，那么在积分区间[a,b]上，有：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)这种方法适用于已知被积函数的原函数的情况，可以直接通过求原函数的差值来计算定积分。
三、定积分的应用场景高中数学的定积分不仅仅是一种计算方法，还具有一些实际应用场景。
以下是一些常见的应用示例：1. 面积计算：定积分可以用来计算曲线下的面积，例如计算二次曲线的面积、圆的面积等。
2. 长度计算：通过对曲线方程求导得到曲线的斜率，再利用定积分计算曲线的弧长。
高中数学知识点归纳定积分基础知识高中数学的定积分是数学中非常重要的一个概念，它是微积分的核心内容之一。
在学习定积分的过程中，我们需要了解一些基础知识，本文将对高中数学中定积分的基础知识进行归纳总结。
一、定积分的概念定积分是积分学中重要的概念之一，它可以看作是函数在一个区间上的加权平均。
定积分的定义是：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，然后在每个小区间上取一点ξ_i，构成一个积分和S_n，当n趋向于无穷大时，若极限存在且与ξ_i的选法无关，则称该极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫(a,b)f(x)dx。
二、定积分的计算方法在计算定积分时，可以使用不同的方法，具体的计算方法如下：1. 几何意义法：根据定积分的几何意义，可以将定积分看作是曲线与坐标轴所围成的面积。
根据几何图形的性质，可以求得定积分的值。
2. 定积分的性质法：根据定积分的性质，可以利用一些性质对定积分进行化简。
比如定积分的线性性质、区间可加性等。
3. 换元法：对于一些较复杂的函数，可以通过变量代换的方法将其化简为简单的形式，然后进行定积分的计算。
4. 分部积分法：对于一些乘积形式的函数，可以通过分部积分的方法将其化简为简单的形式，然后进行定积分的计算。
5. 积分表法：对于一些常见的函数，可以通过积分表中的公式直接进行定积分的计算。
三、定积分的应用领域定积分在数学中有广泛的应用领域，具体包括以下几个方面：1. 几何应用：定积分可以用来计算曲线与坐标轴所围成的面积、曲线的弧长、曲线的平均值等。
2. 物理应用：在物理学中，定积分可以用来求解物体在一定时间内的位移、速度、加速度等。
3. 统计学应用：在统计学中，定积分可以用来计算概率密度函数下的概率、求解统计分布的期望值等。
4. 经济应用：在经济学中，定积分可以用来计算收入曲线下的总收入、成本曲线下的总成本等。
总结：高中数学中的定积分是微积分学习的重要内容，通过学习定积分的基础知识，我们可以更好地理解和应用定积分。
定积分、微积分基本定理1．定积分、微积分基本定理【定积分】定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积．即由所围成图（f X）[a，b] y＝0，x＝a，x＝b，y＝（f X）形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．定积分的求法：求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．【微积分基本定理】在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．其中，微积分的核心（基本）定理是푏푎F（x）＝（f x）（f x）푓(푥)푑푥= 퐹(푏)―퐹(푎)，其中，而必须在区间（a，b）内连续．2例 1：定积分|3 ―2푥|푑푥=1解：1 | 3﹣2x | dx2=321(3 ―2푥)푑푥+232(2푥―3)푑푥3＝（﹣2）1 +（x2﹣3x）|233x x |221/ 2=12通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有；第二，每一段对应的被积分函数的表dx达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．例 2：用定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥．―3解：根据定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，―3故3―39 ―푥2푑푥=12 × 휋× 32 =9휋．2这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．【考查】定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．2/ 2。
高中数学定积分讲义一、理解定积分的概念1、产生背景：2、曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形．yi记n 个小曲边梯形的面积分别为：△S 1, △S 2,…, △S n ， 则曲边梯形的面积S=△S 1+△S 2+…+△S n 第二步 近似代替在每个小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(,n i i =ξ 则i i i x f s ∆⋅≈∆)(ξ, 第三步 求和 i i ni x f s ∆⋅≈∑=)(1ξ第四步 取极限∑=∞→∆⋅=ni ii n x f s1)(lim ξ阿基米德问题：求由抛物线y=x 2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．°分割：将区间[0,1]分成n 等份： △s1,,,1n n -⎡⎡⎢⎢⎣⎣2°近似代替：x n i xn i f s s ii ∆-=∆-='∆≈∆2)1()1(),,2,1(1)1(2n i nn i =⋅-=3°求和： S n =n n i x n i f s sni ni ni i ni i1)1()1(21111⋅-=∆-='∆≈∆∑∑∑∑====nn n n n n n n 1)1(1)2(1)1(10222⋅-+⋅+⋅+⋅= ])1(321[122223-++++=n n6)12()1(13--⋅=n n n n )211)(11(31nn --= 4°取极限： 31)211)(11(31lim lim 1=--='∆=∞→=∞→∑n n s s n ni i n 求曲边梯形面积的“四步曲”：1°分割 化整为零以直代曲3°求和积零为整刨光磨平1、定积分的概念：例2、已知二次函数c bx ax x f ++=2)(，直线2:1=x l ,直线t t y l 8:22+-=（其中0≤t ≤2,t 为常数）。
例谈计算定积分的三种方法定积分是新课标的新增内容，它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液，还给学生提供了数学建模的新思路、“用数学”的新意识，它必将成为今后高考的新热点，本文通过三个例题谈谈定积分计算的三种方法。
一、用定积分的定义计算定积分例1. 求定积分⎰103xdx 的值. 解析：（1）分割：把区间[0，1]等分成n 个小区间[ni n i ,1-]（i=1，2，…，n ）.其长度为△x=n1，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记为△S i （i=1，2，…，n ）.（2）近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，△S i =f （ni 1-）△x=3)1(312-=⋅-⋅i n n i n i ，（i=1，2，…，n ）. （3）求和：n n n n i n S ni n i i 123)]1(21[3)1(32121-⋅=-+++=-=∆∑∑== . （4）取极限：S=23123lim )1(3lim 12=-⋅=-∞→=∞→∑n n i nn n i n . ∴⎰103xdx 23=.点评：本题如果用微积分基本定理或定积分的几何意义来求，更为简单，在此仅仅为了说明用定积分的定义可以计算定积分.通常在用微积分基本定理或定积分的几何意义计算定积分比较困难时，再用定积分的定义计算定积分。
二、用微积分基本定理计算定积分例2. 求定积分⎰+21221dx x x 的值. 解析：⎰+21221dx x x =)2ln 3(ln 21]12)2ln(12[ln 21)211(2121-=+-=+-⎰x x dx x x .点评：本题由⎰+21221dx xx 想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式，只是需要把x x 212+拆成x 1与21+x 的差.运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数。
三、用定积分的几何意义计算定积分例3. 求定积分⎰---102))1(1(dx x x 的值. 解析：⎰---102))1(1(dx x x 表示圆(x-1)2+y 2=1（y≥0） 的一部分与直线y=x 所围成的图形（如图所示）的面积， 因此⎰---102))1(1(dx x x =2141121412-=⨯⨯-⨯ππ. 点评：本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由⎰---102))1(1(dx x x 联想到圆(x-1)2+y 2=1（y≥0）的一部分与直线y=x ，再联想到定积分的几何意义，从而简化了运算.这也是数学结合思想的又一体现。
（一）.关于原函数与不定积分概念的几点说明1. 原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。
对于定义在某个区间上的函数f（x），若存在函数F（x），使得该区间上的每一点x处都有F/（x）=f（x），则称F（x）是f（x）在该区间上的原函数。
而表达式F（x）+C（C为任意常数）称为f（x）的不定积分。
2. f（x）的原来函数若存在，则原函数有无限多，但任意两个原函数之间相差某个常数。
因此求f（x）的不定积分∫f（x）dx时，只需求出f（x）的一个原函数F（x），再加上一个任意常数C即可，即∫f（x）dx = F（x）+C。
3. 原函数F（x）与不定积分∫f（x）dx是个体与全体的关系，F（x）只是f（x）的某个原函数，而∫f（x）dx是f（x）的全部原函数，因此一个原函数只是加上任意常数C后，即F（x）+C才能成为f（x）的不定积分。
例如x2 + 1，x2-3，x2+12都是2x的原函数，但都不是2x的不定积分，只有x2 + C才是2x的不定积分（其中C是任意常数）。
4. f（x）的不定积分∫f（x）dx中隐含着积分常C，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意的常数C。
5. 原函数存在的条件：如果函数f（x）在某区间上连续，则在此区间上f（x）的原函数一定存在。
由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分∫ dx ∫都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。
（二）换元积分法的几点说明换元积分法是把原来的被积表达式做适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分的方法。
1. 第一换元积分法（凑微分法）：根据一阶微分形式的不变性，若dF（u）=f（u）du则dF（u（x））=f（u）du利用不定积分与微分的互逆关系，可以把它转化为不定积分的换元公式：∫f[u（x）]du（x）= ∫f（u）du （令u = u（x））= F（u）+ C （求积分）= F（u（x））+ C （令 u = u（x））在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用。
