高中数学-圆与圆的位置关系

知识点：1、设两圆的圆心连线线长为d，两圆的半径分别为R，r。

则两圆有如下位置关系，如下图所示：（1）、两圆外离d＞R＋r；（2）、两圆外切d = R＋r；（3）、两圆相交R－r＜d＜R＋r（R＞r）（4）、两圆内切d = R－r；（R＞r）（5）、两圆内含d＜R－r。

（R＞r）2、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

如下图所示，O1O2为圆心，AB为两圆的公共弦，则有AB⊥O1O2，且AB被O1O2平分。

视频教学：练习：A．外离B．外切C．相交D．内切2、已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（）A．0<d<1B．d>5C．0<d<1或d>5D．0≤d<1或d>53、若⊙O1与⊙O2相切，且O1O2=5，⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2是（）A． 3 B． 5C．7 D． 3 或7课件：教案：【教学目标】1．知识与技能（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系。

2．过程与方法设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当l ＞r1+r2时，圆C1与圆C2相离；（2）当l = r1+r2时，圆C1与圆C2外切；（3）当|r1 – r2|＜l＜r1+r2时，圆C1与圆C2相交；（4）当l = |r1– r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当l＜|r1– r2|时，圆C1与圆C2内含。

3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想。

【教学重难点】用坐标法判断圆与圆的位置关系。

【教学过程】备选例题例1 已知圆C1：x2 + y2– 2mx + 4y + m²– 5 = 0，圆C2：x2 + y2 + 2x – 2my + m²– 3 = 0，m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含。

圆与圆的位置关系知识集结知识元圆与圆的位置关系及其判定知识讲解圆与圆的位置关系位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|一、几何方法：设，则有：与外离与外切与相交与内切与内含二、代数方法：方程组（1）有两组不同实数解⇔两圆相交；（2）有两组相同实数解⇔两圆相切；（3）无实数解⇔两圆外离或内含．例题精讲圆与圆的位置关系及其判定例1.圆x2+y2+2x+6y+9=0与圆x2+y2﹣6x+2y+1=0的位置关系是（）A．相交B．外切C．相离D．内切例2.已知圆，圆分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．7B．8C．10D．13例3.已知两圆相交于A（﹣1，3），B（﹣6，m）两点，且这两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+2c的值为（）A．﹣1B．26C．3D．2两圆的公切线条数及方程知识讲解一、两圆的公切线条数：（1）当两圆内切时有1条公切线；（2）当两圆外切时有3条公切线；（3）相交时有2条公切线；（4）相离时有4条公切线；（5）内含时无公切线．例题精讲两圆的公切线条数及方程例1.圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0公切线条数为（）A．1B．2C．3D．4例2.两圆（x﹣m）2+y2=9和x2+（y+n）2=4恰有3条公切线，则m+n的最大值为（）A．10B．10C．5D．5例3.若两圆x2+y2﹣2ax+4y+a2﹣5=0和x2+y2+2x﹣2ay+a2﹣3=0有3条公切线，则a=（）A．﹣1或﹣2B．﹣1或﹣5C．﹣2或2D．﹣5或2例4.已知圆C1：（x﹣1）2+y2=2和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2恰好有3条公切线，则圆C2的周长为（）A．πB．πC．2πD．4π圆系方程知识讲解一、圆系方程圆系：具有某种共同性质的圆的集合，称为圆系．（1）同心圆系为常数，为参数．（2）圆心共线且半径相等圆系为常数，圆心在直线上移动．（3）过两已知圆的交点的圆系方程为即．当时，方程变为表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心垂直的直线．（4）过直线与圆交点的圆系方程设直线与圆相交，则方程表示过直线与圆的两个交点的圆系方程．例题精讲圆系方程例1.经过两圆x 2+y 2=9和（x+4）2+（y+3）2=8的交点的直线方程为（）A ．8x+6y+13=0B ．6x﹣8y+13=0C ．4x+3y+13=0D ．3x+4y+26=0例2.圆心在直线x﹣y﹣4=0上，且经过两圆x 2+y 2﹣4x﹣3=0，x 2+y 2﹣4y﹣3=0的交点的圆的方程为（）A ．x 2+y 2﹣6x+2y﹣3=0B ．x 2+y 2+6x+2y﹣3=0C ．x 2+y 2﹣6x﹣2y﹣3=0D ．x 2+y 2+6x﹣2y﹣3=0例3.已知圆方程C 1：f（x，y）=0，点P 1（x 1，y 1）在圆C 1上，点P 2（x 2，y 2）不在圆C 1上，则方程：f（x，y）﹣f（x 1，y 1）﹣f（x 2，y 2）=0表示的圆C 2与圆C 1的关系是（）A ．与圆C 1重合B ．与圆C 1同心圆C ．过P 1且与圆C 1圆心相同的圆D ．过P 2且与圆C 1圆心相同的圆相交弦问题知识讲解一、两圆相交公共弦：(1)两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x＋E 1y＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x＋E 2y＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x＋(E 1－E 2)y＋F 1－F 2＝0.(2)公共弦长的求法：①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．例题精讲相交弦问题例1.两圆（x﹣2）2+（y+3）2=13和（x﹣3）2+y2=9交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0例2.两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2+2x+2y﹣14=0，则经过两圆的公共弦长为（）A．B．C．D．例3.'已知圆C1：x2+y2+2x﹣6y+1=0，圆C2：x2+y2﹣4x+2y﹣11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“圆与圆的位置关系及其盘点”的题目补充.例题精讲备选题库例1.圆x2+4x+y2=0与圆（x-2）2+（y-3）2=r2有三条公切线，则半径r=（）A．5B．4C．3D．2例2.圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的公切线个条数为（）A．1B．2C．3D．4例3.如果圆（x-a）2+（y-a）2=1（a>0）上总存在点到原点的距离为3，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．例4.圆x2+y2=4与圆x2+y2-2x+4y-4=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．内含圆的线性规划问题知识讲解利用线性规划的知识处理圆的相关问题.例题精讲圆的线性规划问题例1.'已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣6x﹣6y+14=0上（1）求的最大值和最小值；（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；（3）求x+y的最大值与最小值．'例2.'已知点P（x，y）是圆（x+2）2+y2=1上任意一点．（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x﹣2y的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值．'例3.'.已知点P（x，y）在圆（x﹣2）2+y2=1上运动，分别求下列各式的最大值和最小值．（1）z=2x+y；（2）z=；（3）z=x2+2x+y2﹣2y．'直线与圆的综合应用知识讲解1．直线与圆的位置关系【知识点的认识】1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲直线与圆的综合应用例1.'已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．'例2.'已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点M（，）．（1）求圆C的标准方程；（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点．（ⅰ）求证：+为定值；（ii）求|PN|2+|QN|2的最大值．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“直线与圆的综合应用”的题目补充.例题精讲备选题库由直线x=0上的一点向圆（x-3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．C．D．3例2.若直线l：ax-by+2=0（a>0，b>0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则当取最小值直线l的斜率为（）A．2B．C．D．例3.过点（1，3）且与圆（x+1）2+y2=4相切的直线方程为（）A．5x-12y+31=0B．y=3或4x+3y-13=0C．x=1或5x-12y+31=0D．x=1或5x+12y-41=0例4.若圆C：x2+（y-4）2=18与圆D：（x-1）2+（y-1）2=R2的公共弦长为6，则圆D的半径为（）A．5B．2C．2D．2当堂练习单选题练习1.已知动直线y=kx-1+k（k∈R）与圆C：x2+y2-2x+4y-4=0（圆心为C）交于点A、B，则弦AB最短时，△ABC的面积为（）A．3B．6C．D．2若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1无交点，则点P（b，a）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．不能确定练习3.经过点P（2，-1）且被圆C：x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦最短时的直线l的方程为（）A．2x-y-6=0B．2x+y-6=0C．x+2y=0D．x-2y=0练习4.阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点P与两定点M，N的距离之比为λ（x>0，且λ≠1），则点P的轨迹就是圆．事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立．已知点M（2，0），点P为圆O：x2+y2=16上的点，若存在x轴上的定点N（t，0）（t>4）和常数λ，对满足已知条件的点P均有|PM|=|PN|，则λ=（）A．1B．C．D．练习5.若函数y=-的图象与直线x-2y+m=0有公共点，则实数m的取值范围为（）A．[-2-1，-2+1]B．[-2-1，1]C．[-2+1，-1]D．[-3，1]填空题练习1.若圆x2+（y-1）2=4上恰有2个不同的点到直线的距离为1，则m的取值范围为________________练习2.圆C：（x-1）2+y2=1的圆心到直线l：x-y+a=0（a>0）的距离为，则a的值为___．练习3.已知直线x+y-2=0与圆O：x2+y2=r2（r>0）相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且3=5，则r=___．练习4.已知圆C经过直线x+y+2=0与圆x2+y2=4的交点，且圆C的圆心在直线2x-y-3=0上，则圆C的方程为__________________．解答题练习1.'已知圆C：x2+y2+4x-4ay+4a2+1=0，直线l：ax+y+2a=0。