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第九章质点动力学的基本方程

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理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件

理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k

理论力学9质点动力学基本方程ppt课件

理论力学9质点动力学基本方程ppt课件

小球在水平面内作匀速圆周运动。
a 0,
an
v2 r
12.5 m
s2
方向指向O点。
45º A B
60º
Or
A
FA
B
60º
FB O an
r
M
v
mg
建立自然坐标系得：
v2
m r FA sin 45 FB sin 60
(1)
0 mg FA cos 45 FB cos60 (2)
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
9.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
v0 F (v)
0
例例1 9如.1图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得

《理论力学》第九章质点动力学

《理论力学》第九章质点动力学
《理论力学》第九章质点动力 学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω

第9章 质点动力学的基本方程

第9章 质点动力学的基本方程
PAG 15
Northeastern University
§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的炮弹以速度 发射, 的炮弹以速度v 例9-2 质量为 的炮弹以速度 0发射,v0与地面夹角为θ,求炮 弹的运动规律。 弹的运动规律。 以炮弹为研究对象， 解:⑴ 以炮弹为研究对象，画受力图 取坐标系， ⑵ 取坐标系，列微分方程
PAG 17
Northeastern University
§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的小球以水平速度 射入静水,如水对小球的 的小球以水平速度v 例9-3 质量为 的小球以水平速度 0 射入静水 如水对小球的 阻力F与小球速度 的方向相反,而大小成正比 与小球速度v的方向相反 而大小成正比,即 阻力 与小球速度 的方向相反 而大小成正比 即F=-µv（µ为粘 （ 为粘 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力, ）。忽略水对小球的浮力 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻 力作用下的运动。 力作用下的运动。 以小球为研究对象， 解:⑴ 以小球为研究对象，画 受力图 取直角坐标系, ⑵ 取直角坐标系,列小球沿 x、y轴的运动微分方程 、 轴的运动微分方程 r r r F = − µvx i − µv y j
理论力学
Northeastern University
第九章 质点动力学的基本方程
静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件 运动学：研究物体运动的几何性质 动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 质点：只计质量而忽略其形状和大小的物体
研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平移时，刚体 质点； 质点。
PAG 2
µ
m
t
PAG 20
Northeastern University

质点动力学知识点总结

质点动力学知识点总结

质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。

在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。

在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。

希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。

一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。

根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。

根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。

二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。

这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。

2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。

这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。

3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。

这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。

三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。

根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。

动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。

根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。

四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。

动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。

质点动力学的基本方程最新课件.ppt

质点动力学的基本方程最新课件.ppt

则x 求:
l 1
0,
2
4
r
cos t cos 2
4
时杆AB受力F
t
?
r l
1
2
解:研究滑块
max F cos
其中 ax x r2cos t cos2 t
当 0时, ax r21 ,且 0,
得 F mr21
当
l2 r2 l
伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成 正比”的结论，从理论上为钟表的核心装置——摆奠定了基础。 伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。
1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关 于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。
1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现 了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发 明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos
2
t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: 常量, OA r, AB l, m。 设
0
mk 0
得质点运动方程
x v0t,
y
eA mk2
coskt 1
(c)
轨迹方程
y
eA mk2
cos
k v0

第九章动力学微分方程(陆)案例

第九章动力学微分方程(陆)案例

o
x
★理论力学电子教案
第一个方程的解：
dv x dt


k m
v
x
dvx k dt
vx
m
ln vx

k m
t
c
kt
vx ce m
初始条件：
第9章 约束 质点动力学微分方程
kt
vx v0e m
kt
dx v0e m dt
x

x0

mv 0 k
kt
em
10
y
v O
F
h
mg
o
x
初始条件： x |t0 0 x0 v0m / k
vx |t0 v0 c v0
x

v0m
(1

kt
em
)
k
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
11
第二个方程的解：
dv y dt

k (mg mk
vy )
dy vydt
y

y0

mg k
( k m
第9章 约束 质点动力学微分方程
例题 一质点M在xy平面内运动，已知运动 轨迹为x=b cos(kt)，y=c sin(kt),b,c,k为常数。 试分析质点的受力。
解:
Fx

ma x

m
d2x dt 2

mbk 2
cos(kt)
mk 2 x
y
o r
F
Fy

ma y

m
d2y dt 2

mck
|t0 0, |t0 0 c g / r

质点动力学基本方程

质点动力学基本方程

t
dt
vx0
Fx
0
①在绝大多数工程问题中，可取固结于地球的坐标系为惯性 参考系。 ②对需考虑地球自转影响的问题（如由地球自转而引起的河 流冲刷，落体对铅直线的偏离等）必须选取以地心为原点而 三个轴指向三颗“遥远恒星”的坐标系作为惯性参考系，即 所谓的地心参考系。 ③在天文计算中，则取日心参考系，即以太阳中心为坐标原 点，三个轴指向三颗“遥远恒星”。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m
dvx dt
dx
Fxdx
vxdvx
Fx m
dx
vx vxdvx
vx0
x Fx dx x0 m
当作用于质点上的力Fx是速度vx的函数时，求质点的运动。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m dvx dt Fx
vx m dvx
aF 或 m
F ma
质点动力学基本方程
式中 m 为质点的质量； 此方程只能直接应用于质点。
F Fi 是作用于质点的所有力的合力矢。
质量是物体惯性的度量，质点的质量愈大，保持惯性运动 的能力愈强。
物体的质量 m 与它的重量 W 之间的关系：W = mg
g 是重力加速度，取 g= 9 . 8 m / s2
第九章 质点动力学基本方程
§9-1 动力学基本定律 §9-2 质点运动微分方程
§9-1 动力学基本定律
1、动力学基本定律（牛顿运动定律）
1687 Sir Isaac Newton (1642-1727) 发 表了著名的《自然哲学的数学原理》
牛顿三大定律，它描述了动力学最基 本的规律，是古典力学体系的核心

质点相对运动动力学的基本方程

质点相对运动动力学的基本方程
理论力学
质点相对运动动 力学的基本方程
设质量为 m 的质点 M 对动坐标系 Oxyz （非惯性坐标系）做相对运 动，如图 17-1 所示。现在研究质点相对于动坐标系的运动与作用在 其上的力之间的关系。
取定坐标系 O1x1 y1z1（惯性坐标系），动坐标 系 Oxyz 相对于它的运动为牵连运动，对于定坐 标系 O1x1 y1z1，牛顿第二定律成立，即
maa F
（17-1）
式中，aa 为 M 点的绝对加速度； F 为作用在质点上的
合力。由运动学中加速度合成定理，有
图17-1
aa ae ar aC
（17-2）
式中，ae 为牵连加速度；ar 为相对加速度；aC 2 vr ，为科氏加速度。将 式（17-2）代入式（17-1），并整理，得
mar F mae maC
应用达朗伯原理中关于惯性力的概念，令
（17-3）
FIe FIC
mae maC
式中， FIe 称为牵连惯性力， FIC 称为科氏惯性力。
（17-4）
于是式（17-3）可写成与牛顿第二定律相类似的形式，即
mar F FIe FIC
即质点的质量与相对加速度的乘积，等于作用于质点的力与牵连惯性 力、科氏惯性力的矢量和，这就是质点相对运动动力学基本方程。
则 FIe FIC 0 ，于是式（17-5）成为
mar F
（17-9）
即此种情况下，质点相对运动动力学基本方程与牛顿第二定律一致。
也就是说，凡相对惯性坐标系做匀速直线平动的动坐标都是惯性坐标
系。式（17-9）也说明，当动坐标系做惯性运动时，质点的相对运动
不受牵连运动的影响，因此，发生在惯性坐标系中的任何力学现象，
（4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有 ar 0 。于是式 （17-5）成为

质点动力学基本方程

质点动力学基本方程

y 质心C 质心 x F1 G F2 FA
l 解:(1)取活塞为研究对象; (2)受力分析,画受力图; (3)运动分析,写出运动方程;
x = OA cos ωt + l
求加速度
d 2x = OAω 2 cos ωt dt 2
d x 由 m 2 = ∑ Fx dt
2
2
FA
F1
得
d 2x = OAω 2 cos ωt dt 2
此速度为质点在阻尼介质中运动的极限速度 极限速度.跳伞运 极限速度 动员着地时的速度即可由该式求出.
例5 发射火箭,求脱离地球引力的最小速度. 求 属于已知力是位置的函数的第二类问题. 解:属于已知力是位置的函数的第二类问题. 属于已知力是位置的函数的第二类问题 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示. 火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用.
dv dv , 再分离变量积分. =v dt ds
例4:求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的 : 运动方程.设质点受到的阻尼力Fr=-cv,c称为粘度系 数,简称粘度.初始时质点在介质表面上被无初速度 释放.
解:取质点M为研究对象,作用其上的力有重力和介质阻尼 力,均为已知,求质点的运动,属于动力学第二类问题. 在任意位置上,有 d 2x dx m 2 = mg c dt dt
于是 分离变量, 再积分一次 质点的运 动方程
即
e
g t v′
v′ v = v′
)
dx = v = v ′(1 e dt
g t v′
∫
x
0
dx = ∫ v ′(1 e
0
t
g t v′
)dt
g ′ 2 v′ t v x = v ′t + (e 1) g

理论力学(9.2)--质点动力学的基本方程

理论力学(9.2)--质点动力学的基本方程

dt
vx
v
0
e

m
t
vy

mg
(1

e

m
t
)
t 0 时x， y 0
积分
x

v0
m

(1

e

m
t
)
y dy
0
O
y
x dx
0 t
0
v0 FM
Pv
t 0
v0
e

m
t
dt
mg
(1
e

m
t

x
)dt
y

mg

t

m2g
2
(1

e

m
t
)
属于第二类基本问 题 。
其中 b l sin
F

mg cos
1.96N
v
Fl sin2 m
2.1m s
属于混合问 题 。
例 9-4 已知：粉碎机滚筒半径为 Ｒ， 绕 通过 中心的水平
轴 匀速转 动 ，筒内铁 球由筒壁上的凸棱带 着上升。为
了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 0 时
例 9-3
已知：一圆锥摆 , 如图所示。质量 m=0.1kg 的小
球系于长 l=0.3 m 的绳上 , 绳的另一端系在固定点
O, 并与铅直线 成60
角。
求：如小球在水平面内作匀速圆 周运动 ，小球的速 度与绳 的张 力。
解： 研究小球
m v2 b

F sin
F cos mg 0

ch质点动力学基本方程

ch质点动力学基本方程


2
mg 0
如果sinθ≠0，则由第（1)式可解得：
S l (k m 2 )
此即杆AB所受的力，方向与S相反。 再将S的值代入第（2)式，注意到三角关系，可解 得：
kl m g m lcos
系统稳定转动时的最小角速度为
（此时 cos 1 ）
min
kl m g ml
⑤求解未知量
v2 由 2 式得 T G (cos ), gl
, 因此 0时 , T Tmax 其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动
Tmax
2 2 v0 G v0 G(1 )G gl g l
2 G v0 [注]①动拉力Tmax由两部分组成, 一部分即物体重量G,称为静拉力；一部分 g l
理论力学引Fra bibliotek力学模型：言
动力学：研究物体的运动与所受力之间的关系
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平动时,刚体 质点；
质点。
2.质点系：由有限或无限个有一定联系的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离
不变的质点组成，又称为不变质点系。
2 2
例：求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的运动方程。 设质点受到的阻尼力Fr=-cv，c称为粘度系数，简称粘度。初始 时质点在介质表面上被无初速度释放。
解：取质点M为研究对象，受力及运动分析如图所示。作用 其上的力有重力和介质阻尼力，均为已知，求质点的运动， 属于动力学第二类问题。
在任意位置上，有 d 2x dx m 2 mg c dt dt
2.人造卫星、洲际导弹问题：地心为原点，三轴指向三个恒星；

理论力学习题-质点动力学基本方程

理论力学习题-质点动力学基本方程

理论力学习题-质点动力学基本方程.(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--104第9章 质点动力学基本方程一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。

( √ )2. 一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。

( × )3. 两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。

( × )4. 质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。

( √ )5. 凡运动的质点一定受力的作用。

( × )6. 质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。

( × )二、填空题1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。

2．质点动力学的基本方程是∑=i m F a ，写成自然坐标投影形式为∑=τF dt s d m22∑=nFv m ρ2∑=b F 0。

、 、1053．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。

4．质量为m 的质点沿直线运动，其运动规律为0ln(1)v t x b b=+，其中0v 为初速度，b 为常数。

则作用于质点上的力=F 2020()mbv b v t -+。

5．飞机以匀速v 在铅直平面内沿半径为r 的大圆弧飞行。

飞行员体重为P ，则飞行员对座椅的最大压力为2(1)vP gr+。

三、选择题1．如图所示，质量为m 的物块A 放在升降机上， 当升降机以加速度a 向上运动时，物块对地板的压力等于( B )。

(A) mg(B) )(a g m +(C) )(a g m -(D) 02．如图所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为m ，弹簧的刚度系数为c ，静伸长量为s δ，原长为0l ，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成( B )。

(A) 0=+x m cx(B) 0)(=-+s x mcxδ (C) g x m cx s =-+)(δ (D) 0)(=++s x mcxδ 3．在介质中上抛一质量为m 的小球，已知小球所受阻力R kv =-，坐标选择如图所示，试写出上升段与下降段小球的运动微分方程，上升段( A )，下降段( A )。

质点动力学的基本方程

质点动力学的基本方程
单位矢量，如图 10 − 1所示，
,
ab = 0
式中 τ 和 n 为沿轨迹切线和主法线 的
质点动力学基本方程在 自然轴系上的投影为
n dv m = ∑ Fti d t i =1
,
m
v2
ρ
= ∑ Fni
i =1
பைடு நூலகம்
n
,
0 = ∑ Fbi
i =1
19
n
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
应用质点运动微分方程，可以求解下面两类质点动 力学的问题: 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 第一类 已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 已知质点的运动 解题步骤和要点： 解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 正确选择研究对象 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 正确进行受力分析,画出受力图 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 正确进行运动分析 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 ⑤求解未知量。 求解未知量。
d2 x n m 2 = ∑ Fxi dt i =1
,
d2 y n m 2 = ∑ Fyi dt i =1
,
n d2 z m 2 = ∑ Fzi dt i =1
18
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为
a = a tτ + a n n
15
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地 发明了微积分，给出了二项式定理。 发明了微积分，给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然 牛顿在力学上最重要的贡献， 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。 这本书出版于1687年 这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系 统总结了前人对动力学的研究成果， 统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总 结的经典力学系统称为牛顿力学。 结的经典力学系统称为牛顿力学。 16

理论力学 动力学基本方程(共25张PPT)

理论力学 动力学基本方程(共25张PPT)

t
0
，x
xo，v
v
，试求质点的运动规律。
o
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程。
舰载飞机在解发动：机和此弹射题器推力力 求运动，属于动力学第二类问题，且力为时间的函
假设推力和跑道可能长度，那么需要多大的初速度和一定的时间隔后才能到达飞离甲板时的速度。
数。质点运动微分方程为 (2) 力是改变质点运动状态的原因
惯性参考在系工程实际问题中，可近似地选取与地球相固连的坐标系
为惯性参考系。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
§9-2 质点的动力学根本方程
将动力学基本方程 (ma F) 表示为微分形式的方程，
称为质点的运动微分方程。
1.矢量形式 2.直角坐标形式
d 2r m dt2 F
d 2 x
d 2y
综合问题： 局部力，局部运动求另一局部力、局部运动。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
假设推力和跑道可能长度， 那么需要多大的初速度和 一定的时间隔后才能到达 飞离甲板时的速度。
载人飞船的交会与对接
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
动的初始条件，求出质点的运动。
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
§9-1 动力学根本定律
(3) 质量是物体惯性大小的度量。 ②受力分析,画出受力图 曲柄OA以匀角速度 转动,OA=r,AB=l,当
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gl
由式（1）知：a
dv dt
0
，而ｖ＞０，故重物作减速运动。
因此，在初始位置（刚刹车，φ＝０）时，重物的速度最
大，v vmax v0 ,cos 1 ，此时，绳索的张力Ｔ’获得最大值，
即
T' max
Tmax
P(1
v02 ) gl
刹车前，重物作匀速直线运动。由平衡条件知 Ｔ’＝Ｔ＝Ｐ。因此刹车前后瞬间动荷系数
分析：由题意→→动力学问题 →→质点动力学第一类基本问题， 先分析重物位于一般位置时。
解 取重物为研究对象，受
力如图所示。 取自然轴如图示，由式（9—5） 得重物的运动微分方程投影式为
m dv P sin
dt
v2 m
T
P cos
l
（1）
式中ｖ与φ均为变量。
（2）
由式（２）得:
T P(cos v 2 )
ax
d2x dt 2
b 2
cost
2 x
ay
d2y dt 2
d 2
sint
2
y
代入式(9—4)，
得作用在此质点上的力在 x、y 轴上的投影为
Fx m ax m 2 x Fy may m 2 y
t 从运动方程中消去时间 ，得此质点的轨迹方程
x2 y2 b2 d 2 1
合力可以表示为
F Fxi Fy j m2xi yj m2r
有 mr 2 F l2 r2 l
得 F mr2 2 l2 r2
这属于动力学第一类问题。
例9-2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强度
按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方r 向与电r 场强度 垂直,如图所示。质点在电场中受力 F e作E 用。已
知常数A,k,忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。
mar
r Fi
（9—3）
d2rr
r
或
m dt2 Fi
（9—3）’
式（10—3）’是矢量形式的微分方程。
1 、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
r 设矢径 在直角坐标轴上的投影分别为x，y，z ，
力 Fi 在轴上的投影分别为 Fxi , Fyi , Fzi ，则式 9 3
在直角坐标轴上的投影形式为:
高速运转机械的动力计算、高层结构受风载及地震的影响， 宇宙飞行、火箭的推进技术和运行等，更包含着许多动力学问题。
４．动力学的力学模型
（1）质点 ： 指具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计
的物体。 （2）质点系：
指由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。 包括固体、弹性体和流体。
（3）刚体： 其中任意两个质点间距离保持不变的固体。
Kd
T' max T'
1 v02 gl
〔讨论〕 起重机的小车急刹车时，绳索张力发生急剧变化。
〔补例3〕 质点M的质量为 m ,
运动方程是 x bcost, y d sint ,
其中 b、d、 为常量，
求作用在此质点上的力。
分析：由题意→→动力学问题→→ 质点动力学第一类基本问题。
解：该质点的加速度在坐标轴上的投影分别为
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos2
t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: 常量, OA r, AB l, m。 设
解得
再分离变量，运动起始条件为 t 0 时，x0 0 ，则有
积分得
这就是该物体下沉的运动规律。 由式(b)知，当 t 时，ebt 0 时，该物体下沉速度将
趋近一极限值
v g mg
b
称为物体在液体中自由下沉的极限速度。 应用：采矿工程中的选矿、农业中的选种。
[讨论] 另选坐标系，其原点O在液体底部，x 轴铅垂向上。
（4）力学模型简化的条件 由所研究问题的性质所决定，具有相对的概念。
第九章 质点动力学的基本方程
本章内容及分析思路
根据动 力学基 本定律
质点动力 学的基本
方程
求解质点 的动力学
问题
§9-1 动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律):
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
惯性：不受力作用的质点(包括受平衡力系作用的质点)，不 是处于静止状态，就是保持其原有的速度(包括大小和方向) 不变。
y
dy
eA
t
s in ktdt
0
mk 0
得质点运动方程
x v0t,
y
eA mk2
cos kt
1
(c)
轨迹方程
y
eA m k2
cos
k v0
x
1
[讨论]如果 v0 0，则运动方程式(c)为x 0 ，y 式不变，
这是一个直线运动。
[补例4] 在均匀的静止液体中，质量为 m 的物体M 从液面处无初速下沉，如图a所示。假设液体阻力
Fti ,
m v2
Fni ,
0 Fbi
（9—5）
式中 Fti , Fni 和 Fbi分别是作用于质点的各力在切线、
主法线和副法线上的投影，而 为轨迹的曲率半径。
3 、质点动力学的两类基本问题
1) 第一类基本问题：已知质点的运动,求作用于质点的力.
2) 第二类基本问题：已知作用于质点的力,求质点的运动.
则x 求:
l 1
0,
2
4
r
cos t cos2
4
时杆AB受力F
t
?
r l
1
2
解:研究滑块
max F cos
其中 ax x r 2 cos t cos 2 t
当 0时, ax r 2 1 ,且 0,
得 F mr 2 1
当 时,
2
ax r 2
且cos
l2 r2 l
F
1.96N
cos
1
2
v
Fl sin2
m
2.1m s
绳的张力与拉力F的大小相等。
例9-4 粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平
轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为
了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 0 时
分析：1）由题意→→动力学问题→→质点动力学第二类 基本问题。2）求质点的运动轨迹→→质点运动方程。
解: 取质点为研究对象，受力如图10-3所示。质点运动微分方程在 x 轴和 y 轴上的投影式
d2 x m dt 2
m dvx dt
0,
d2 y m dt 2
m dv y dt
eAcos kt
(a)
设 x、x仍按 x 轴的正向画出，则该物体的受力
图如图c所示。 运动微分方为程
或
运动起始条件为 t 0 时，x0 H ,v0 0 。 通过两次分离变量和积分，可得
(说明)在选择参考系、建立质点的运动微分方程时， 宜尽可能将质点置于参考坐标系的正向位置，使其速度、 加速度的分量也沿着坐标轴的正向；倘若质点的真实速度、 加速度的分量是沿着坐标轴的负向，也应沿正向来假设， 并画出其受力图，建立它的运动微分方程。
P a
g
，附加动压力。
超重。
如果加速度方向向下，总压力为:
FN'
P(1
a) g
当ａ=ｇ时，FN,=0
（２）求吊绳的拉力。
取电梯和重物整体为研究对象，受力如图a所示。 选坐标轴x，由式（9—4）得投影形式的质点运动微分方程
QP g a Td (Q P )
解得
a
a
Td
(Q
P)(1
) T (1 g
作用在质点上的力可以是常力或变力，变力可以是 时间、坐标、速度的函数或同时是上述三种变量的函数。
求质点的运动就是求式（9—4）或（9—5）的解， 一次、二次积分。积分常数由质点运动的初始条件决定。 可见，质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运 动初始条件有关。
〔补例1〕 电梯如图所示。已知电梯的加速度 ａ＝常数、方向向上。电梯重量为Ｑ，放在电梯地 板上的物质重量为Ｐ，求： （1）物体对地板的压力； （2）电梯吊绳的拉力。
动力学 引言
１．动力学的研究对象
动力学是研究物体运动的变化与作用在物体上的力
之间的关系。
２．动力学的主要内容
（1) 牛顿力学或经典力学。包括动量定理、动量矩定理、 动能定理。
惯性参考系：相对于参考系静止不动或作匀速直线运动的系统。 非惯性参考系：相对于参考系有加速度的系统。
牛顿三定律只适用于低速、宏观物体。 相对论力学或量子力学
分析：由题意→→动力学问题→→ 已知运动求作用力，故属于质点动 力学第一类基本问题。
解 （1）求物体对地板的压力
选取重物为研究对象， 进行受力分析和运动分析（如图b所示）。 建立直角坐标轴，列运动微分方程求解
P g
a
FN
P
或
FN
P(1
a )
g
FN'
式中FN’,为物体对地板的压力。
〔讨论〕 压力FN,由两部分组成：物体的重量Ｐ，静压力；
3) 第一、二类基本问题的综合问题：有的工程问题既需 要求质点的运动规律，又需要求未知的约束力，是第一类 基本问题与第二类基本问题综合在一起的动力学问题，称 为混合问题。
例9-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小 球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,