第九章质点动力学的基本方程

m d2x dt 2
Fxi ,
m d2 y dt 2
Fyi ,
m d2z dt 2
Fzi
（9—4）
2、质点运动微分方程在自然轴上的投影
点的全加速度 ɑ
ar atr annr, ab 0,
式中 和 n
为沿轨迹切线和主法线的单位矢量， 如图所示。
式(9—3)在自然轴系上的投影式为
mat
ax
d2x dt 2
b 2
cost
2 x
ay
d2y dt 2
d 2
sint
2
y
代入式(9—4)，
得作用在此质点上的力在 x、y 轴上的投影为
Fx m ax m 2 x Fy may m 2 y
t 从运动方程中消去时间 ，得此质点的轨迹方程
x2 y2 b2 d 2 1
合力可以表示为
F Fxi Fy j m2xi yj m2r
解得
再分离变量，运动起始条件为 t 0 时，x0 0 ，则有
积分得
这就是该物体下沉的运动规律。 由式(b)知，当 t 时，ebt 0 时，该物体下沉速度将
趋近一极限值
v g mg
b
称为物体在液体中自由下沉的极限速度。 应用：采矿工程中的选矿、农业中的选种。
[讨论] 另选坐标系，其原点O在液体底部，x 轴铅垂向上。
伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成 正比”的结论，从理论上为钟表的核心装置——摆奠定了基础。 伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。
1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关 于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。
1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现 了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发 明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。
速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。
分析：由题意→→动力学问题→→质点动力学第一、二类 基本问题的综合问题。
解 : 以小球为研究的质点，受力如图。
选取在自然轴上投影的运动微分方程，得
m v2 F sin F cos mg 0
其中 l sin 解得
m g 0.1kg 9.8m / s2
（2) 分析力学的一些内容和机械振动的基本理论，如动静 法、虚位移原理、拉格朗日方程和单个、两个自由度的振动 问题。
３．动力学的形成和发展与社会进步的关系
（1) 动力学与钟表
中国古代计时方式，主要有三种： 铜漏；香篆；圭表。 世界上最早的机械钟雏形：东汉张衡所造的浑象仪。 计时方法的关键：标准等时运动。
设 x、x仍按 x 轴的正向画出，则该物体的受力
图如图c所示。 运动微分方为程
或
运动起始条件为 t 0 时，x0 H ,v0 0 。 通过两次分离变量和积分，可得
(说明)在选择参考系、建立质点的运动微分方程时， 宜尽可能将质点置于参考坐标系的正向位置，使其速度、 加速度的分量也沿着坐标轴的正向；倘若质点的真实速度、 加速度的分量是沿着坐标轴的负向，也应沿正向来假设， 并画出其受力图，建立它的运动微分方程。
gl
由式（1）知：a
dv dt
0
，而ｖ＞０，故重物作减速运动。
因此，在初始位置（刚刹车，φ＝０）时，重物的速度最
大，v vmax v0 ,cos 1 ，此时，绳索的张力Ｔ’获得最大值，
即
T' max
Tmax
P(1
v02 ) gl
刹车前，重物作匀速直线运动。由平衡条件知 Ｔ’＝Ｔ＝Ｐ。因此刹车前后瞬间动荷系数
（4）力学模型简化的条件 由所研究问题的性质所决定，具有相对的概念。
第九章 质点动力学的基本方程
本章内容及分析思路
根据动 力学基 本定律
质点动力 学的基本
方程
求解质点 的动力学
问题
§9-1 动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律):
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
惯性：不受力作用的质点(包括受平衡力系作用的质点)，不 是处于静止状态，就是保持其原有的速度(包括大小和方向) 不变。
有 mr 2 F l2 r2 l
得 F mr2 2 l2 r2Hale Waihona Puke Baidu
这属于动力学第一类问题。
例9-2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强度
按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方r 向与电r 场强度 垂直,如图所示。质点在电场中受力 F e作E 用。已
知常数A,k,忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。
高速运转机械的动力计算、高层结构受风载及地震的影响， 宇宙飞行、火箭的推进技术和运行等，更包含着许多动力学问题。
４．动力学的力学模型
（1）质点 ： 指具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计
的物体。 （2）质点系：
指由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。 包括固体、弹性体和流体。
（3）刚体： 其中任意两个质点间距离保持不变的固体。
按题意 t 0时 vx v0 , vy 0,
以此为下限,式(a)的定积分为
vx v0
dv x
0
vy 0
dv
y
eA m
t
cos ktdt
0
解得
vx
dx dt
v 0，vy
dy dt
eA mk
sin kt
(b)
以上两式以 t 0时 x y 0为下限,做定积分
x
t
dx
0
0 v0dt ,
mar
r Fi
（9—3）
d2rr
r
或
m dt2 Fi
（9—3）’
式（10—3）’是矢量形式的微分方程。
1 、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
r 设矢径 在直角坐标轴上的投影分别为x，y，z ，
力 Fi 在轴上的投影分别为 Fxi , Fyi , Fzi ，则式 9 3
在直角坐标轴上的投影形式为:
动力学 引言
１．动力学的研究对象
动力学是研究物体运动的变化与作用在物体上的力
之间的关系。
２．动力学的主要内容
（1) 牛顿力学或经典力学。包括动量定理、动量矩定理、 动能定理。
惯性参考系：相对于参考系静止不动或作匀速直线运动的系统。 非惯性参考系：相对于参考系有加速度的系统。
牛顿三定律只适用于低速、宏观物体。 相对论力学或量子力学
F
1.96N
cos
1
2
v
Fl sin2
m
2.1m s
绳的张力与拉力F的大小相等。
例9-4 粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平
轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为
了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 0 时
) g
式中Ｔ＝Ｑ＋Ｐ，称为绳索的静反力。
〔讨论〕 把绳索动反力的值Td和静反力的值Ｔ的比值称为
动荷系数，用Ｋd表示：
Kd
Td T
1
a g
〔补例2〕如图所示桥式起重机上，小车吊着质量 为ｍ的重物，沿横向作匀速运动，速度为Ｖ。，吊绳 长为１。由于突然原因急刹车，重物因惯性绕悬挂点 Ｏ向前摆动。试求刹车后绳索的最大张力及刹车前后 瞬间绳索张力的比。
FR ，其中 为阻尼系数。
试分析该物体的运动规律及其特征。
分析：由题意→→动力学问题→→质点动力学第二类基本问题。
解：将坐标系的原点固结在该点的起始位置上，
x 轴铅垂向下。该质点的受力图如图b。
运动微分方程为
或 式中 b / m. 起始条件： t 0 时，v0 0 ，式(a)的定积分为
第二定律 (力与加速度之间的关系的定律)
基本表达式：
d mv F
dt
（9—1）
在经典力学范围内，上式可写为
mar
r F
（9—2）
式(10—2)是质点动力学的基本方程，建立了质点 的加速度、质量与作用力之间的定量关系。
第三定律 (作用与反作用定律)
§9-2 质点的运动微分方程
质点受到n个力 F1, F2 , Fn 作用时， 由质点动力学第二定律，有
分析：由题意→→动力学问题 →→质点动力学第一类基本问题， 先分析重物位于一般位置时。
解 取重物为研究对象，受
力如图所示。 取自然轴如图示，由式（9—5） 得重物的运动微分方程投影式为
m dv P sin
dt
v2 m
T
P cos
l
（1）
式中ｖ与φ均为变量。
（2）
由式（２）得:
T P(cos v 2 )
则x 求:
l 1
0,
2
4
r
cos t cos2
4
时杆AB受力F
t
?
r l
1
2
解:研究滑块
max F cos
其中 ax x r 2 cos t cos 2 t
当 0时, ax r 2 1 ,且 0,
得 F mr 2 1
当 时,
2
ax r 2
且cos
l2 r2 l
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos2
t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: 常量, OA r, AB l, m。 设
现代钟表由三部分组成：动力部分、传动部分和控制部分。 更精密的时标：石英晶体振动或原子振荡 →→ 电子表。
（2）动力学与现代工业
机器和机械设计上的均衡问题、振动问题和稳定问题，结构物 在冲击和振动环境中的动态响应，交通运输工具的操纵性、稳定性 和舒适性以及动力学载荷的作用、震动等都属于动力学问题；
Kd
T' max T'
1 v02 gl
〔讨论〕 起重机的小车急刹车时，绳索张力发生急剧变化。
〔补例3〕 质点M的质量为 m ,
运动方程是 x bcost, y d sint ,
其中 b、d、 为常量，
求作用在此质点上的力。
分析：由题意→→动力学问题→→ 质点动力学第一类基本问题。
解：该质点的加速度在坐标轴上的投影分别为
y
dy
eA
t
s in ktdt
0
mk 0
得质点运动方程
x v0t,
y
eA mk2
cos kt
1
(c)
轨迹方程
y
eA m k2
cos
k v0
x
1
[讨论]如果 v0 0，则运动方程式(c)为x 0 ，y 式不变，
这是一个直线运动。
[补例4] 在均匀的静止液体中，质量为 m 的物体M 从液面处无初速下沉，如图a所示。假设液体阻力
分析：由题意→→动力学问题→→ 已知运动求作用力，故属于质点动 力学第一类基本问题。
解 （1）求物体对地板的压力
选取重物为研究对象， 进行受力分析和运动分析（如图b所示）。 建立直角坐标轴，列运动微分方程求解
P g
a
FN
P
或
FN
P(1
a )
g
FN'
式中FN’,为物体对地板的压力。
〔讨论〕 压力FN,由两部分组成：物体的重量Ｐ，静压力；
作用在质点上的力可以是常力或变力，变力可以是 时间、坐标、速度的函数或同时是上述三种变量的函数。
求质点的运动就是求式（9—4）或（9—5）的解， 一次、二次积分。积分常数由质点运动的初始条件决定。 可见，质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运 动初始条件有关。
〔补例1〕 电梯如图所示。已知电梯的加速度 ａ＝常数、方向向上。电梯重量为Ｑ，放在电梯地 板上的物质重量为Ｐ，求： （1）物体对地板的压力； （2）电梯吊绳的拉力。
P a
g
，附加动压力。
超重。
如果加速度方向向下，总压力为:
FN'
P(1
a) g
当ａ=ｇ时，FN,=0
（２）求吊绳的拉力。
取电梯和重物整体为研究对象，受力如图a所示。 选坐标轴x，由式（9—4）得投影形式的质点运动微分方程
QP g a Td (Q P )
解得
a
a
Td
(Q
P)(1
) T (1 g
分析：1）由题意→→动力学问题→→质点动力学第二类 基本问题。2）求质点的运动轨迹→→质点运动方程。
解: 取质点为研究对象，受力如图10-3所示。质点运动微分方程在 x 轴和 y 轴上的投影式
d2 x m dt 2
m dvx dt
0,
d2 y m dt 2
m dv y dt
eAcos kt
(a)
Fti ,
m v2
Fni ,
0 Fbi
（9—5）
式中 Fti , Fni 和 Fbi分别是作用于质点的各力在切线、
主法线和副法线上的投影，而 为轨迹的曲率半径。
3 、质点动力学的两类基本问题
1) 第一类基本问题：已知质点的运动,求作用于质点的力.
2) 第二类基本问题：已知作用于质点的力,求质点的运动.
3) 第一、二类基本问题的综合问题：有的工程问题既需 要求质点的运动规律，又需要求未知的约束力，是第一类 基本问题与第二类基本问题综合在一起的动力学问题，称 为混合问题。
例9-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小 球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,
并与铅直线成 60 角。如小球在水平面内作匀