质点动力学的基本方程、动量定理

一、冲 量
定义：力
在 t 到t +dt 时间内的元冲量为:
在
有限长时间内，力
的冲量定义为各无穷
小时间间隔内的元冲量的矢量和（积分）：
注意： 1.冲量是矢量，冲量表示力的时间累积效应。 2. 冲量的单位： N·m （与动量的单位相同）
二、质点的动量定理
给定时间间隔内，合外力作用在质点上的冲量，等于 该质点在此时间内动量的增量。
1987年，美国空军 的一架B－1轰炸机被鸟 撞毁，损失2.15亿美元。 ……
三、质点系的动量定理
设有N个质点构成质点系，质点系的总动量：
作用到第 i 个质点上的外力： Fi 第 j 个质点作用到第 i 个质点上
的内力： fij
则第 i 个质点的动力学方程
·
i·
பைடு நூலகம்
pi
·
· ·
·fi j
· fj i
·j
三、质点系的动量定理 （4）直角坐标系中的分量形式
（积分式）
三、质点系的动量定理
三、质点系的动量定理
逆风行舟的动量分析
航 向 风对帆的平均作用力
空气分子团 （质点系）
帆对风的平均作用力
三、质点系的动量定理
例2 总长为 l 、总质量为m 的软绳竖直提起上端，其
下端刚好触及一台秤平台表面，求放手后上端落下x 距
二、质点的动量定理 （4）平均冲力
在给定时间间隔
由动量定理：
内：
平均 冲力
二、质点的动量定理 • 平均冲力在直角坐标系中的计算式：
二、质点的动量定理
p 一定时 延长作用时间 减小平均冲力
二、质点的动量定理
p一定时 缩短作用时间 增大平均冲力

质心运动的思考与比较
F′
A F
B
两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上， 两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不 同位置上，各作用一水平力F 同位置上，各作用一水平力 和F′，使圆盘由静止开始运动 ， ，设F = F′，试问哪个圆盘的质心运动得快？ ，试问哪个圆盘的质心运动得快？ (A)．A盘质心运动得快 ． 盘质心运动得快 (B)．B盘质心运动得快 ． 盘质心运动得快 (C)．两盘质心的运动相同 ． (D)．无法判断 ．
1 2 h = gt 2
r P
以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理： 以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理：
mv − mv0 = (P − F )t0
v 1 1 + 0 P = 1 + F = gt 0 t0 2h g
30° °
﹡ FN
P
Q
P ∗ v0 sin 30o − 0 = (FN − P −Q)t g
例：未固定偏心转子电机的分析 未固定偏心转子电机的分析 偏心转子
例：未固定偏心转子电机的分析 未固定偏心转子电机的分析 偏心转子
y1
ω
o2
y
r aO 2 = eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
r x1 r aO1 m2 g
y1
r vO 2 o2
y
eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
& r x m2 g
x1
x
外壳质心的速度， 轴正向: 其中 vO1 — 外壳质心的速度，沿 x 轴正向 vO2 — 转子质心的速度，且 转子质心的速度，
例：电机在水平方向的运动规律
(m v

38
OA=AB=L ,OA AB均质杆质量m1 B质量m2。 y 1 计算质心C的坐标 A
B O 坐标原点必须为系统上一固定不变的点
列出每一个构件的 质量
建立坐标系
w

x
质心在坐标系中的坐标 L L y 曲柄OA 质量m1 质心位置 xc1 cos ......... c1 sin . 2 2 连杆AB 质量m1 质心位置

14
10-1动量与冲量
二 冲量 1 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。
冲量是矢量，方向与力的方向一致。
常力的冲量
I Ft
2 变力的冲量-----元冲量
而力 F 在作用时间 t 内的冲量是矢量积分
d I F dt
0
t I F dt

15
10-2 动量定理
t mv mv0 F d t I
0
积分形式
在某一时间间隔内，质点动量的变化 等于作用于质点的力在此段时间内的冲量

17
10-2 动量定理
二 质点系的动量定理
dv d ma m (mv ) F dt dt
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的 动量为mivi， 作用在该质点上的外力与内力的合力为 (e) (i) ， Fi 由质点的动量定理有 Fi
动力学概述
一 内容以及研究对象
1
2
是研究物体运动与作用力之间的关系的科学
质点和质点系
3
至少有一个自由度的质点（质点系）
十 十一 十二章 质点动力学基本方程
1
Байду номын сангаас
二 重点内容 三 基础内容

•若物体与流体的相对速度接近空气中的声速时，阻 力将按 f v3 迅速增大。
•常见的正压力、支持力、拉力、张力、弹簧的恢复 力、摩擦力、流体阻力等，从最基本的层次来看， 都属于电磁相互作用。
2021
12
五、牛顿定律的应用
•应用牛顿运动定律解题时，通常要用分量式：
如在直角坐标系中：
在自然坐标系中：
Fn
man
mv2
2021
6
三、牛顿第三定律
物体间的作用是相互的。两个物体之间的作用
力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，
分别作用在两个物体上。
F21F12
第三定律主要表明以下几点：
（1）物体间的作用力具有相互作用的本质：即力总 是成对出现，作用力和反作用力同时存在，同时消 失，在同一条直线上，大小相等而方向相反。
（4）由于力、加速度都是矢量，第二定律的表示式 是矢量式。在解题时常常用其分量式，如在平面直 角坐标系X、Y轴上的分量式为 ：
2021
5
Fx mxamddxvtmdd22xt Fy myamddyvtmd d22yt
在处理曲线运动问题时，还常用到沿切线方向 和法线方向上的分量式，即：
Ft
mat
mdv dt
2021
27
1983年第17届国际计量大会定义长度单位用真空中 的光速规定：
c = 299792458 m/s
因而米是光在真空中1299,792,458秒的时间间 隔内所经路程的长度。
❖其它所有物理量均为导出量，其单位为导出单位
如：速度 V=S/ t， 单位：米/秒（m/s）
加速度a=△V/t，单位：米/秒2（m/s2）
•摩擦力：两个相互接触的物体在 沿接触面相对运动时,或者有相对 运动趋势时,在接触面之间产生的

一、质点的动量定理 dv 牛顿第二定律表述为： ma m F
dt
式中F为质点所受合力，由于质量m为常量，所以有
d (mv ) F dt
d义质点的动量：
p mv
动量是矢量，方向与质点的速度同向。 定义Fdt为dt时间内力F对质点的元冲量，用dI表示，即
14
普 通 物理学
三、质点动量定理的积分形式
对动量定理表达式两边同乘 dt，积分： p2 t2 t2 p1 dp t1 Fdt t1 dI t2 p2 p1 Fdt I t1 t2 右边称合力的冲量，表示为： I Fdt t1 t 于是有： Fdt mv mv0
dI 1 dI 2 dI n
即合力对质点的元冲量等于各分力对质点元冲量的矢 量和。
13
普 通 物理学
二、质点的动量守恒定律
若在某一过程中，质点所受合力恒为零，即F=0,则在 该过程中质点的动量守恒，即P=C（常矢量）。
d pl Fl dt
ˆ 质点动量沿 el 方向的分量守恒
t0
质点动量定理：质点所受的外力冲量，等于 质点动量的增量。
15
普 通 物理学
动量定理的分量式：
I x Fx dt mvx mv0 x
t t0
I y Fy dt mvy mv0 y
t t0
t
I Z FZ dt mv Z mv 0 Z
t0
16
普 通 物理学
1

ˆ (5 N s ) ˆ (7 N s)i j
19
普 通 物理学
由动量定理
mv2 mv1 I

F
F
t1
t2 t
例 质量M=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落 到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用 的时间 (1) =0.1s， (2) =0.01s 。试求锤对工件 的平均冲力。 解法一利用动量定理，取竖 直向上为正。
( N Mg ) Mv Mv0
初状态动量为 M 2 gh ， 末状态动量为 0。
第二章 质点动力学
（2） 动量守恒定律 火箭运动 质心运动定律
2-3 冲量‧动量定理
1、冲量
dp 把牛顿第二定律的微分形式 F dt 改写为 F d t d p
考虑一过程，力对质点的作用时间从t1 — t2， t2 p2 两端积分 Fdt dp p 2 p1 mv2 mv1
mi ri
d vi mi d vc dt ac dt mi
由牛顿第二定律得
mi ai
m
i
m1a1 m2 a2 mn an
d v1 m1 F1 f12 f13 f1n dt d v2 m2 F2 f 21 f 23 f 2 n dt d vn mn Fn f n 2 f n 3 f n ( n 1) dt
x g v x g 2 gx 3x g 所以桌面受的压力 N N 3x g
2
例 2 一柔软链条长为 l ，单位长度的质量为。 链条放在桌上，桌上有一小孔，链条一端由小孔稍 伸下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动，链 条因自身重量开始落下。求链条下落速度与落下距 离之间的关系。设链与各处的摩擦均略去不计，且 认为链条软得可以自由伸开。 解 以竖直悬挂的链条 m2 和桌面上的链条为一系统, O 建立如图坐标。 则 F m1 g yg 动量定理 m1

设 FN FN FN
FN 为静约束力
FN 为附加动约束力
qV r(vb va ) G Fa Fb FN FN
G Fa Fb FN 0
Fa a a1
得附加动反力为
FN qV r(vb va )
va a a1
FN
G
b b1

m1
l 2

m1
3l 2

2m1 m2
2m2l
cos w t
y
w
A
2(m1 m2 ) l coswt
2m1 m2
Oj
x
yC

2m1
l 2
2m1 m2
sin
wt

m1 2m1
m2
l sin
wt
B
消去t 得轨迹方程
[
xC
]2 [
yC
]2 1
2(m1 m2 )l /(2m1 m2 ) m1l /(2m1 m2 )
则 px 为恒量
例 质量为m1的机车，以速度v1撞接质量为m2的静止车厢。 不计轨道摩擦。试求撞接后这一列车的速度。
解: 取机车和车厢为质点系。 由于撞接过程中，水平方向没有外力作用，故有
Px＝常量
撞接前 px1 m1v1 0 撞接后 px2 (m1 m2 )v
故有 m1v1 (m1 m2 )v
§10－2 动量定理
1、质点的动量定理 质点动力学基本方程：
ma mdv F dt
将m放入微分号内，得 d(mv) F dt
称为微分形式的质点动量定理，即质点动量对时间的导数 等于作用于质点上的所有力的合力矢。

§3-2 质点系动量定理和质心运动定理
一、质点系动量定理
一个由n个质点组成的质点系，对于每个质点有
n d F1 f1i m1v1 dt i 1 n d F2 f 2i m2 v2 dt i2

n d Fn f ni mn vn dt in
yc 0
下面只要求 xc 上面腰的直线方程为：
yx
在薄板上任意选择一个面积微元，微元上每一点 的水平坐标值都为x，微元的面积为：
ds 2 ydx 2 xdx
设薄板质量面密度为
，则微元质量为：
dm ds 2 xdx
整个薄板的水平质心坐标为：
xc
xdm dm
mL 。 M m
人走船动
法2：利用质心运动定理
xC
M L m
O
m
L M + mL 2 初始状态 xC = M +m
末状态
xC
M
L M( + l ) + ml 2 xC = M +m
l
x
比较得
mL l= M +m
人走船动
法3：利用动量守恒定律
v人地
m
0 m v人地 M v船地
M L m
t
此式表明，外力矢量和在某一方向的冲量等于在 该方向上质点系动量分量的增量。
二、质心 n个质点组成的质点系的质心位置为
m r m r m r 2 2 n n rC 1 1 m1 m2 mn mi ri
i 1 n n
mi
i 1

由于质心位置不变
任意时刻质心 坐标：

（ 1 ） 为 -2mv ， 因为速度方向 变了； （2）为零，因 为速度、质量 均没变。
不变，则小球的动
量变化
（请点击你要选择的项目）
4-1 动量定理与动量守恒定律
例 m=10 kg木箱，在水平拉力作用下由静止开始运 动，拉力随时间变化如图。已知木箱与地面摩擦系 数为 =0.2，求：
(1) t=4 秒时刻木箱速度；
3 质点系的动量定理 第 i 个质点的动力学方程
Fi
j i
dpi f ij dt
Fi
· · · ·
i fi j
Pi
共有N个方程 对所有质点求和
N N
· ·
fj i
j ·
·
Pj
N dpi d N Fi i fij dt dt pi i 1 i 1 j i1 i 1
p p1 p2 p N 质点系总动量： dr mi vi mi i dt i i
mN
y

i
pi


2 质点系的内力和外力
内力：质点系内各质点之间的相互作用， fi j 外力：质点系外质点对内各质点的作用， Fi
第4章 动量和角动量
4-1 动量定理与动量守恒定律
例 炮车的质量为M，炮弹的质量为m。若炮车与地面
有摩擦，摩擦系数为μ , 炮弹相对炮身的速度为u， 求 炮身相对地面的反冲速度 v 。
θ
u
第4章 动量和角动量
4-1 动量定理与动量守恒定律
解：选取炮车和炮弹组成系统 内、外力分析。 水平的动量守恒吗？ 运用质点系的动量定理：
N
f
Mg

x
m1g
Fx
M O Fy
Fx = −m2ω2e cosωt Fy = −m2ω 2e sin ωt + (m1 + m2 )g
由主动力直接引起的静约束力
Fx静 = 0
Fy静 = (m1 + m2 )g
由质点系运动引起的动约束力
vy
ω
O2
e
O1 θ m2 g
x
m1g
Fx
M O Fy
Fx动 = −m2ω 2e cosωt
5、解方程。
ω
O2
e
O1 θ
例9-3 如图所示，电动机外壳固
定在水平基础上，定子、转子的
质量分别为m1、m2。设定子质心 位 于 转 轴中 心 O1 ， 由 于 制 造 误 差，转子质心O2 到O1的距离为
e，已知转子以匀角速度ω 转
动。求： 基础对电机总的水平和
铅垂反力
偏心转子
解：1、研究对象
9.1 质点和质点系动量定理
思考题：两个相同的均质杆 AB 和 AD 用铰链连接，每个杆的质量为m ，长
为L，在屏幕面内运动。已知铰链A的速度为u，两个杆的角速度为ω（转向
如图），求该瞬时系统的动量。
p = 2mu ?
u
B
C2
ω
A
C1
D
ω
9.1 质点和质点系动量定理 思考：己知：车身质量m1，车轮总质量m2，履带总质量m3，车身 的速度为v。求其动量。
9.1 质点和质点系动量定理
∑ dpv =
dt
v Fi
e
微分形式的投影式
∑ ∑ p& x = F x p& y = F y
∑ p& z = F z