第9章 质点动力学基本方程一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。
( √ )2. 一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。
( × )3. 两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。
( × )4. 质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。
( √ )5. 凡运动的质点一定受力的作用。
( × )6. 质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。
( × )二、填空题1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。
—2．质点动力学的基本方程是∑=im F a ，写成自然坐标投影形式为∑=τF dt sd m 22∑=nF vmρ2∑=b F 0。
3．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
4．质量为m 的质点沿直线运动，其运动规律为0ln(1)v t x b b=+，其中0v 为初速度，b为常数。
则作用于质点上的力=F 2020()mbv b v t -+。
5．飞机以匀速v 在铅直平面内沿半径为r 的大圆弧飞行。
飞行员体重为P ，则飞行员对座椅的最大压力为2(1)vP gr+。
三、选择题1．如图所示，质量为m 的物块A 放在升降机上， 当升降机以加速度a 向上运动时，物块对地板的压力等于( B )。
(A) mg (B) )(a g m + (C) )(a g m - (D) 0 2．如图所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为m ，弹簧的刚度系数为c ，静伸长量为s δ，原长为0l ，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成( B )。
，(A) 0=+x mcx(B) 0)(=-+s x mcxδ、、(C) g x m c xs =-+)(δ (D) 0)(=++s x mcxδ 3．在介质中上抛一质量为m 的小球，已知小球所受阻力R kv =-，坐标选择如图所示，试写出上升段与下降段小球的运动微分方程，上升段( A )，下降段( A )。
(A) x k mg x m --= (B) x k mg x m +-= (C) x k mg x m --=- (D) x k mg xm +-=-mOx图 图四、计算题-9-1 质量为m 的物体放在匀速转动的水平转台上，它与转轴的距离为r ，如图所示。
设物体与转台表面的摩擦系数为f ，求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速。
解：选物块为研究对象，受力分析如图所示。
应用自然坐标形式的质点动力学微分方程，有0=-mg F N s F mr =2ω 根据静滑动摩擦定律，有s F ≤N fF ，代入上式，有ω≤r gf 即物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速为 rgf =max ω 9-2 如图所示离心浇注装置中，电动机带动支撑轮A 、B 作同向转动，管模放在两轮上靠摩擦传动而旋转。
铁水浇入后，将均匀地紧贴管模的内壁而自动成型，从而可得到质量密实的管形铸件。
如已知管模内径400mm D =，求管模的最低转速n 。
s F；图 图解：要使铁水浇入后能均匀地紧贴管模的内壁，管模转动时要有一定的转速。
为求管模的最低转速，可选管模内最上端的一微段铁水为研究对象。
在临界转速下，铁水不受内壁作用，其只受重力作用。
受力分析如图所示。
列质点动力学微分方程，有mg D m =22ω 解得)/(72s rad Dg==ω 管模的最低转速n 为min)/(67307r n =⨯=π9-3 物体自地球表面以速度0v 铅直上抛。
试求该物体返回地面时的速度1v 。
假定空气阻力2R mkv =，其中k 是比例常数，按数值它等于单位质量在单位速度时所受的阻力。
m 是物体质量，v 是物体的速度，重力加速度认为不变。
解：物块在上升的过程中，其运动过程如右图(a)所示。
应用质点运动微分方程，有2mkv mg dt dv m --= 而dxdv v dt dx dx dv dt dv =⋅=，所以上式可以写成 )(2kv g dxdv v +-= 即dxkv g vdv-=+2 物体自地球表面铅直上抛到最高点，其速度由0v 变成0，而坐标由0变成h 。
两边积分，有⎰⎰-=+h v dx kvg vdv0020这样有？)1ln(2120gkv k h += 物块在下落的过程中，其运动过程如右图（b ）所示。
应用质点运动微分方程，有2mkv mg dtdvm -=上式可写成0v : xvm1v 》)a (图 )b (图dx kv g vdv=-2物体自最高点下落到地面，其速度由0变成1v ，而坐标由0变成h 。
两边积分，有⎰⎰=-h v dx kv g vdv021解得21ln 21kv g gk h -= 。
这样，有2120ln 21)1ln(21kv g g k g kv k -=+ 解得gkv v v 2011+=9-4 静止中心O 以引力2F k mr =吸引质量是m 的质点M ，其中k 是比例常数，OM =r 是点M 的矢径。
运动开始时0OM b =，初速度为0v 并与0OM 的夹角为α，如图所示。
求质点M 的运动方程。
解：应用直角形式的质点运动微分方程，有mx k mr k F dt x d m 2222cos cos -=-=-=θθ my k mr k F dty d m 2222sin sin -=-=-=θθ上面两式可分别写为0222=+x k dtx d ，0222=+y k dty d）其微分方程的通解可写为kt B kt A x sin cos 11+=，kt B kt A y sin cos 22+= 代入初始条件b x t ==0，αcos 00v dt dx t ==，00==t y ，αsin 00v dt dy t == 可解得b A =1，k v B αcos 01=，02=A ，kv B αsin 02= 质点M 的运动方程可写为 kt k v kt b x sin cos cos 0α+=，kt k v y sin sin 0α= 9-5 如图所示，胶带运输机卸料时，物料以初速度0v 脱离胶带，设0v 与水平线的夹角为α。
求物体脱离胶带后，在重力作用下的运动方程。
解：建立如图所示的坐标系。
物料脱离胶带后只受重力作用，应用质点运动微分方程，有?022=dt x d m，mg dt y d m=22即022=dt x d ，g dt y d =22其微分方程的通解可写为B At x +=，D Ct gt y ++=221 代入初始条件00==t x ，αcos 00v dt dx t ==，00==t y ，αsin 00v dt dyt == 可解得αcos 0v A =，0=B ，αsin 0v C =，0=D 物料脱离胶带后的运动方程可写为|αcos 0t v x =，αsin 2102t v gt y +=图 图9-6 滑翔机受空气阻力R kmv =-作用，其中k 为比例系数，m 为滑翔机质量，v 为滑翔机的速度。
在0=t 时，有0v v =，试求滑翔机由瞬时0=t 到任意时刻t 所飞过的距离 (假设滑翔机是沿水平直线飞行的)。
解：滑翔机可视为质点，不妨假设滑翔机由瞬时0=t 到任意时刻t 所飞过的距离为s 。
应用质点的运动微分方程，有kmv dt s d m -=22上式可写为kv dtdv-= 上面微分方程的通解为kt Ce v -=《即kt Ce dtds-=，解得D e kC s kt +-=- 代入初始条件00==t s ，00v dt dst == 可解得0v C =，kv D 0= 滑翔机由瞬时0=t 到任意时刻t 所飞过的距离为)1(0kt e kv s --=9-7一物体质量kg m 10=，在变力100(1)F t =-牛顿作用下运动。
设物体初速度002m s v ./=，开始时力的方向与速度方向相同。
问经过多少时间后物体速度为零，此前走了多少路程解：初始时力的方向与速度方向相同，而且以后变力只是大小改变而方向并未改变，可见物体作变速直线运动。
以开始运动时为坐标原点，沿运动方向取坐标轴。
应用质点运动微分方程，有])1(10022t dt s d m-=即)1(1022t dt s d -=，解得D Ct t t s ++-=32355 代入初始条件00==t s ，00v dt dst == 解得2.00==v C ，0=D 物体的运动方程可写为t t t s 0235532+-= 物体的运动速度为^2.05102+-==t t dtdsv 令物体速度为零，即02.05102=+-t t ，解得s t 02.2=，此时，物体的运动的路程为m tt t s t t 07.72.035502.23202.2=+-===9-8 质量为kg 2的滑块M 在力F 作用下沿杆AB 运动，杆AB 在铅直平面内绕A 转动，如图所示。
已知t s 4.0=，t 5.0=ϕ (s 的单位为m ，ϕ的单位为rad ，t 的单位为s)，滑块与杆AB 的摩擦系数为1.0=f 。
试求s t 2=时力的大小。
!解：(1) 选滑块M 为研究对象，受力分析如图(a)所示。
(2) 选滑块M 为动点，杆AB 为动系，由k r ne ay ax a a a a a ++=+作M 的加速度合成图如图(b)所示。
列ax a 投影方程有ne r ax a a a -=-其中：在s t 2=时，022==dts d a r ，222/2.05.08.0s m AM a ne=⨯=⋅=ω，故有 2/2.0s m a a a ner ax -=-= 列ay a 投影方程有k ay a a =其中：在s t 2=时，s m dtdsv r /4.0==，2/4.04.05.022s m v a r k =⨯⨯==ω，故有 2/4.0s m a a k ay ==（3）应用质点运动微分方程，有ax s ma mg F F =--ϕsin ，ay N ma mg F =-ϕcos 其中：当s t 2=时，rad 1=ϕ，N s fF F =，代入上式，可得)(2.17sin N ma mg F F Cx s =++=ϕ~9-9 质量为m 的小球C ，用两根长为L 的细长杆支持，如图所示。
球和杆一起以匀角速度ω绕铅垂轴AB 转动，设a AB 2=，不计杆自重，求各杆所受的力。
图B(a)B图解：(1) 由于球和杆一起以匀角速度ω绕铅垂轴AB 转动，球具有向心加速度nC a 如图(a)所示。
该加速度大小为2222ωωa L r a nC -==(2) 选小球C 为研究对象，受力分析如图(b)所示。
