09质点动力学基本方程
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理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
第九章 质点动力学基本方程
其中
b l sin
mg F 1.96 N cos
v Fl sin 2 2.1 m s m
属于混合问题。
22
15
第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）
已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可 能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数 解题步骤如下：
①正确选择研究对象。
②正确进行受力分析，画出受力图。判断是什么性质的力
（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。
③正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，
1
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
2
工程实际中的动力学问题
若已知推力和跑道可能 长度，则需要多大的初 速度和一定的时间隔后 才能达到飞离甲板时的 速度。 若已知初速度、一定 的时间间隔后飞离甲板 时的速度，则需要弹射 器施加多大推力，或者 确定需要多长的跑道。
梁作匀速运动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为L 。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝 绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象 ②受力分析如图所示 ③运动分析，沿以O为圆心, L为半径的圆弧摆动。
14
④列出自然形式的质点运动微方程
ma F , G dv Gsin g dt 1
3
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒球在被球棒击 打后，其速度的大 小和方向发生了变 化。如果已知这种 变化即可确定球与 棒的相互作用力。
4
工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
5
第九章 质点动力学基本方程
§9-1 动力学的基本定律
b l sin
mg F 1.96 N cos
v Fl sin 2 2.1 m s m
属于混合问题。
22
15
第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）
已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可 能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数 解题步骤如下：
①正确选择研究对象。
②正确进行受力分析，画出受力图。判断是什么性质的力
（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。
③正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，
1
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
2
工程实际中的动力学问题
若已知推力和跑道可能 长度，则需要多大的初 速度和一定的时间隔后 才能达到飞离甲板时的 速度。 若已知初速度、一定 的时间间隔后飞离甲板 时的速度，则需要弹射 器施加多大推力，或者 确定需要多长的跑道。
梁作匀速运动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为L 。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝 绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象 ②受力分析如图所示 ③运动分析，沿以O为圆心, L为半径的圆弧摆动。
14
④列出自然形式的质点运动微方程
ma F , G dv Gsin g dt 1
3
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒球在被球棒击 打后，其速度的大 小和方向发生了变 化。如果已知这种 变化即可确定球与 棒的相互作用力。
4
工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
5
第九章 质点动力学基本方程
§9-1 动力学的基本定律
质点动力学的基本方程
30
R m
R
( F N P cos )
当 FN=0
n
cos
当 最高位置 =0
n
30
g R
例5：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为 u , = 0。试求绳作用在小球上的力F( ), 并分析小球的运动。
解：
ma
Fi
运动微
分方程
v0 k
e
- kt
d ( - kt )
x
x
Fy
x
v0 k
(1 - e
)
g ) | 0 - kt ln( k y
y
- ky - g y
g ge ky
y h- kt
kdy
g ky
- kt
dy g
(e
- kt
- 1)
g k
t
g k
(1 ) (2)
mg
由（2）式解得： 代入（1）式得：
2 F N mr mg sin
Fd f d F N
mg cos - f ( mr 2 mg sin ) mr d
数值方法给出质点位 置、速度和切向加速 度随时间的变化规律
f s 0 .1
F ma
质量是物体惯性的度量
适用于惯性参考系 第三定律 作用与反作用定律
两物体间相互作用的力总是大小相等，方向相反，沿 同一作用线，且同时分别作用于两个物体上 。
动力学主要研究两类基本问题
1.已知运动求力(逆问题)
a P
2.已知力求运动(正问题 )
质点动力学的基本方程
在经典力学中认为质点的质量是不变的， 因此上面两式等价（在相对论力学中，质 点的质量与速度有关，m已不再是常量， 上面两式也不再等价。其中第一式仍然成 立，而第二式即ma=F则不再成立）。 质点的质量是质点惯性的度量。 在国际单位制中，长度、质量和时间为基 本单位，分别取m（米）、kg（千克）和s （秒），力的单位为导出单位，用N（牛 顿），1N=1kg.1m/s2。源自题图10-2混合问题
有些问题既要求运动规律，又要求未 知的约束力，是第一类与第二类基本 问题的综合。
例题10-3
一圆锥摆，质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m的绳上，绳的 另一端系在固定点O，并与铅直线成θ=600角，如题图10-3 所示。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v 与绳的张力F的大小。
第一类基本问题
已知质点的运动，求作用于质点上的 力。这类问题比较简单，将运动方程 求导后可得加速度，代入质点运动微 分方程后即可求得力。
例题10-1
曲柄连杆机构如题图10-1所示，曲柄OA以匀角速度ω转动， OA=r，AB=l，当λ=r/l比较小时，以O为坐标原点，滑块B的运 动方程可近似写为
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连杆AB的质量，试求当 ψ=ωt=0和π/2时，连杆AB所受的力。
题图10-3
例题10-4
粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内 铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的 能量，铁球应在θ=θ0时（如题图10-4）才能掉下来。求滚 筒每分钟的转数n。
题图10-4
题图10-1
第二类基本问题
已知作用于质点上的力，求质点的运 动。这类问题一般是求解微分方程或 求积分问题。由于这类问题求解过程 需要积分，因此通常要给出初始条件 以确定积分常数。
《理论力学》第九章质点动力学
《理论力学》第九章质点动力 学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
第9章 质点动力学的基本方程
PAG 15
Northeastern University
§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的炮弹以速度 发射, 的炮弹以速度v 例9-2 质量为 的炮弹以速度 0发射,v0与地面夹角为θ,求炮 弹的运动规律。 弹的运动规律。 以炮弹为研究对象， 解:⑴ 以炮弹为研究对象，画受力图 取坐标系， ⑵ 取坐标系，列微分方程
PAG 17
Northeastern University
§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的小球以水平速度 射入静水,如水对小球的 的小球以水平速度v 例9-3 质量为 的小球以水平速度 0 射入静水 如水对小球的 阻力F与小球速度 的方向相反,而大小成正比 与小球速度v的方向相反 而大小成正比,即 阻力 与小球速度 的方向相反 而大小成正比 即F=-µv（µ为粘 （ 为粘 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力, ）。忽略水对小球的浮力 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻 力作用下的运动。 力作用下的运动。 以小球为研究对象， 解:⑴ 以小球为研究对象，画 受力图 取直角坐标系, ⑵ 取直角坐标系,列小球沿 x、y轴的运动微分方程 、 轴的运动微分方程 r r r F = − µvx i − µv y j
理论力学
Northeastern University
第九章 质点动力学的基本方程
静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件 运动学：研究物体运动的几何性质 动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 质点：只计质量而忽略其形状和大小的物体
研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平移时，刚体 质点； 质点。
PAG 2
µ
m
t
PAG 20
Northeastern University
Northeastern University
§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的炮弹以速度 发射, 的炮弹以速度v 例9-2 质量为 的炮弹以速度 0发射,v0与地面夹角为θ,求炮 弹的运动规律。 弹的运动规律。 以炮弹为研究对象， 解:⑴ 以炮弹为研究对象，画受力图 取坐标系， ⑵ 取坐标系，列微分方程
PAG 17
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的小球以水平速度 射入静水,如水对小球的 的小球以水平速度v 例9-3 质量为 的小球以水平速度 0 射入静水 如水对小球的 阻力F与小球速度 的方向相反,而大小成正比 与小球速度v的方向相反 而大小成正比,即 阻力 与小球速度 的方向相反 而大小成正比 即F=-µv（µ为粘 （ 为粘 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力, ）。忽略水对小球的浮力 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻 力作用下的运动。 力作用下的运动。 以小球为研究对象， 解:⑴ 以小球为研究对象，画 受力图 取直角坐标系, ⑵ 取直角坐标系,列小球沿 x、y轴的运动微分方程 、 轴的运动微分方程 r r r F = − µvx i − µv y j
理论力学
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第九章 质点动力学的基本方程
静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件 运动学：研究物体运动的几何性质 动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 质点：只计质量而忽略其形状和大小的物体
研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平移时，刚体 质点； 质点。
PAG 2
µ
m
t
PAG 20
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质点动力学的基本方程最新课件.ppt
则x 求:
l 1
0,
2
4
r
cos t cos 2
4
时杆AB受力F
t
?
r l
1
2
解:研究滑块
max F cos
其中 ax x r2cos t cos2 t
当 0时, ax r21 ,且 0,
得 F mr21
当
l2 r2 l
伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成 正比”的结论，从理论上为钟表的核心装置——摆奠定了基础。 伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。
1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关 于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。
1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现 了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发 明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos
2
t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: 常量, OA r, AB l, m。 设
0
mk 0
得质点运动方程
x v0t,
y
eA mk2
coskt 1
(c)
轨迹方程
y
eA mk2
cos
k v0
9质点动力学的基本方程
质点：只有质量而无大小的物体。
动 力 学 介 绍
在下面两种情况下，可以把物体视为质点： 物体作平移的时候； 当物体的运动范围远远大于它自身的尺寸、忽略 其大小对问题的性质无本质影响的时候。
刚体：有质量、不变形的物体
质点系：由若干质点组成的、有内在联系 的系统
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第一定律
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
惯性参考系：以太阳为原点，三个坐标轴指向 三个恒星的日心参考系是惯性参考系。
如果在地球的引力场内，研究人造地球卫星 、大气流动、洲际导弹等等的机械运动，忽略掉 地球公转的加速度，只考虑地球自转的影响。选 择以地心为原点，三个坐标轴指向三个恒星的地 心参考系是惯性参考系。
临沂大学机械工程学院机械工程系
徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第一定律
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
牛顿定律，是牛顿在《自然哲学的数学原理》中 建立的描述物体机械运动的运动学三定律，亦称 为动力学基本定律。 第一定律(惯性定理) 任何质点如不受力作用 ，将永 远保持其静止或匀速直线运动状态。 定律定义了惯性参考系。涉及到了静止和匀速直 线运动，也就涉及了参考系。
m a
F
质点的质量与其加速度的乘积等于作用在此质点上诸 力的合力。 该定律表明， 质量是质点惯性的度量。
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
9.质点动力学的基本方程
v
y
mg y m y
mg
y
FR
x m x mg FRy mg v y m y mg y m y
v
mg
x O
思考题 9 – 4 . 某人用枪瞄准了空中一悬挂的靶体. 如在子弹射出的 同时靶体开始自由下落, 不计空气阻力, 问子弹能否击中靶体? 答曰: 必中靶体.
A
解: 首先对系统进行运动分析. 取销钉 为动点, OA 杆为动系. 速度分析： Ve OB 2 0.5 1 m / s Va Va Ve 0 2 m / s cos 30 3 30º 1 0 V V sin 30 m/s Ve r a 3 B Vr
O
B
g d sind L 2 2 g cos D 积分得 L 2 v v 2g 0 0 由 得 D 2 0 L L L 2 v 2g 2 0 2 (1 cos ) L L
g sin L d d d d dt d
2 s m Fn
§9 – 3
已知 x = x(t)
质点动力学两类基本问题
y = y(t) z = z(t)
2 s
(1) 已知运动求力 – 用微分法或代数法。
或 S = S(t)
Fx m x Fy m y
m
Fz m z
Fn
Ft m s
m g an
由
2 s m Fn
m 2 R mg cos 0
g cos 0 R
2
g cos 0 R
60 30 g n cos 0 2 R
质点动力学基本方程
y 质心C 质心 x F1 G F2 FA
l 解:(1)取活塞为研究对象; (2)受力分析,画受力图; (3)运动分析,写出运动方程;
x = OA cos ωt + l
求加速度
d 2x = OAω 2 cos ωt dt 2
d x 由 m 2 = ∑ Fx dt
2
2
FA
F1
得
d 2x = OAω 2 cos ωt dt 2
此速度为质点在阻尼介质中运动的极限速度 极限速度.跳伞运 极限速度 动员着地时的速度即可由该式求出.
例5 发射火箭,求脱离地球引力的最小速度. 求 属于已知力是位置的函数的第二类问题. 解:属于已知力是位置的函数的第二类问题. 属于已知力是位置的函数的第二类问题 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示. 火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用.
dv dv , 再分离变量积分. =v dt ds
例4:求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的 : 运动方程.设质点受到的阻尼力Fr=-cv,c称为粘度系 数,简称粘度.初始时质点在介质表面上被无初速度 释放.
解:取质点M为研究对象,作用其上的力有重力和介质阻尼 力,均为已知,求质点的运动,属于动力学第二类问题. 在任意位置上,有 d 2x dx m 2 = mg c dt dt
于是 分离变量, 再积分一次 质点的运 动方程
即
e
g t v′
v′ v = v′
)
dx = v = v ′(1 e dt
g t v′
∫
x
0
dx = ∫ v ′(1 e
0
t
g t v′
)dt
g ′ 2 v′ t v x = v ′t + (e 1) g
动力学 第九章 质点动力学的基本方程
l
小球速度v 与绳子张力F。
n
解： b
法向：
m
v2
F sin
mg
副法向： 0 F cos mg 解出： F
l sin
mg =1.96N cos
2
Fl sin v =2.1m/s m 这是混合问题。
例4：刹车的作用
已知：吊车的吊重为P，匀速 v0，绳长为l，空气阻力不计。求： 小车突然刹车后，绳子拉力T 的变化。 v0
度 转动,OA=r,AB=l,当
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
r / l比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
2 x l 1 r cos t cos 2 t 4 4
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
mg
xmax
y
再积分，得
x
m v0
e
m
t
C2
y
mg
t
m2 g
2
e
t m
D2
由初始条件：t=0时，x=y=0。代入上两式，求得常数
C2
m v0
D2
m2 g
2
4）质点的运动方程为
x
y
m v0
(1 e
m
t
)
O
m
v0
M
F
v
x
或
mg v y mg
t m
y
第十章 质点动力学的基本方程
v (v 2 gR) 2 gR x
2 0 2
可见物体的速度将随x的增加而减小。
第十章 质点动力学的基本方程
v (v 2 gR) 2 gR x
2 0 2
若v0² <2gR，则物体在某一位置x＝R+H时速度将为零，此后物体将回落， H为以初速v0向上发射物体所能达到的最大高度。将x＝R+H及v＝0代入上 式可得
FB 0 v 4.9 2.21 m s
因此，只有当 2.21m/s v 2.91m/s 时，两绳才同时受力。否 则将只有其中一绳受力。
第十章 质点动力学的基本方程
例10-3
例10-3 从某处抛射一物体，已知初速度为v0，抛射角为a，如不 计空气阻力，求物体在重力单独作用下的运动规律。 y
分离变量得：
2
设物体在地面发射的初速度为v0，在空中任一位置x处的速度为v，对上式积分
dx mvx dvx mgR 2 x
v x
dx v0 mvxdvx R mgR x2
2
得
1 2 1 2 1 2 1 mv mv0 mgR ( ) 2 2 x R
所以物体在任意位置的速度为：
第十章 质点动力学的基本方程
例10-5 在重力作用下以仰角a初速度v0抛射出一物体。假设空 气阻力与速度成正比，方向与速度方向相反，即FR＝-Cv，C为 阻力系数。试求抛射体的运动方程。 解：以物体为研究对象，将其视为 质点。建立图示坐标。在任一位置 质点受力如图。由直角坐标形式的 质点运动微分方程得
P P mg 或 m g g 9.78049(1 0.0052884sin 2 0.0000059sin 2 2 为纬度
质点动力学的基本方程
单位矢量，如图 10 − 1所示，
,
ab = 0
式中 τ 和 n 为沿轨迹切线和主法线 的
质点动力学基本方程在 自然轴系上的投影为
n dv m = ∑ Fti d t i =1
,
m
v2
ρ
= ∑ Fni
i =1
பைடு நூலகம்
n
,
0 = ∑ Fbi
i =1
19
n
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
应用质点运动微分方程，可以求解下面两类质点动 力学的问题: 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 第一类 已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 已知质点的运动 解题步骤和要点： 解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 正确选择研究对象 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 正确进行受力分析,画出受力图 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 正确进行运动分析 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 ⑤求解未知量。 求解未知量。
d2 x n m 2 = ∑ Fxi dt i =1
,
d2 y n m 2 = ∑ Fyi dt i =1
,
n d2 z m 2 = ∑ Fzi dt i =1
18
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为
a = a tτ + a n n
15
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地 发明了微积分，给出了二项式定理。 发明了微积分，给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然 牛顿在力学上最重要的贡献， 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。 这本书出版于1687年 这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系 统总结了前人对动力学的研究成果， 统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总 结的经典力学系统称为牛顿力学。 结的经典力学系统称为牛顿力学。 16
,
ab = 0
式中 τ 和 n 为沿轨迹切线和主法线 的
质点动力学基本方程在 自然轴系上的投影为
n dv m = ∑ Fti d t i =1
,
m
v2
ρ
= ∑ Fni
i =1
பைடு நூலகம்
n
,
0 = ∑ Fbi
i =1
19
n
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
应用质点运动微分方程，可以求解下面两类质点动 力学的问题: 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 第一类 已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 已知质点的运动 解题步骤和要点： 解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 正确选择研究对象 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 正确进行受力分析,画出受力图 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 正确进行运动分析 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 ⑤求解未知量。 求解未知量。
d2 x n m 2 = ∑ Fxi dt i =1
,
d2 y n m 2 = ∑ Fyi dt i =1
,
n d2 z m 2 = ∑ Fzi dt i =1
18
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为
a = a tτ + a n n
15
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地 发明了微积分，给出了二项式定理。 发明了微积分，给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然 牛顿在力学上最重要的贡献， 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。 这本书出版于1687年 这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系 统总结了前人对动力学的研究成果， 统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总 结的经典力学系统称为牛顿力学。 结的经典力学系统称为牛顿力学。 16
09质点动力学方程
• 第9章 质点动力学 • 第10章 动量定理
ma = F
m v2 − mv1 = F t
d M O ( mv ) = M O ( F ) • 第11章 动量矩定理 dt
• 第12章 动能定理
1 1 2 2 mv1 − mv 2 = W12 2 2
• 第13章 达朗贝尔原理 FI = − m a ,
第9章 质点动力学的基本方程
§9–1 动力学的基本定律 §9–2 质点的运动微分方程
9.2 质点的运动微分方程
1、矢量形式
ma = ∑ Fi 或 d 2r m 2 = FR dt
x z
FR r
O
a
2、直角坐标形式
y
ma x = ∑ Fxi , ma y = ∑ Fyi , ma z = ∑ Fzi & = FRx , m& & = FRy , m& & = FRz m& x y z
A : m& y & = − mg − cy &2
2 B : m& y = − mg + c y & &
O
mg
x
C : m& y & = + mg − cy &2 D : m& y & = + mg + cy &2
A
B
问题：质点M用两个等长的绳索 吊起，绳索与铅垂线的夹角为θ 。 若剪断绳索BM后的瞬时，绳索 AM的拉力与未剪断绳索BM时相 比，是增大了还是减小了？ θ ＝ 多少时绳索AM的拉力不变？ mg 剪断前： F = 2 cos θ 剪断后： F = mg cos θ
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。
ma = F
m v2 − mv1 = F t
d M O ( mv ) = M O ( F ) • 第11章 动量矩定理 dt
• 第12章 动能定理
1 1 2 2 mv1 − mv 2 = W12 2 2
• 第13章 达朗贝尔原理 FI = − m a ,
第9章 质点动力学的基本方程
§9–1 动力学的基本定律 §9–2 质点的运动微分方程
9.2 质点的运动微分方程
1、矢量形式
ma = ∑ Fi 或 d 2r m 2 = FR dt
x z
FR r
O
a
2、直角坐标形式
y
ma x = ∑ Fxi , ma y = ∑ Fyi , ma z = ∑ Fzi & = FRx , m& & = FRy , m& & = FRz m& x y z
A : m& y & = − mg − cy &2
2 B : m& y = − mg + c y & &
O
mg
x
C : m& y & = + mg − cy &2 D : m& y & = + mg + cy &2
A
B
问题：质点M用两个等长的绳索 吊起，绳索与铅垂线的夹角为θ 。 若剪断绳索BM后的瞬时，绳索 AM的拉力与未剪断绳索BM时相 比，是增大了还是减小了？ θ ＝ 多少时绳索AM的拉力不变？ mg 剪断前： F = 2 cos θ 剪断后： F = mg cos θ
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。
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作业：9－1、4、14
此外，求解微分方程时将出现积分常数，这些积分常 数须根据质点运动的 初始条件， 即初速度和初位置坐标 来确定。所以，对于这一类问题，除了需要已知作用于 质点的力以外，还必须知道质点运动的初始条件，才能 完全确定质点的运动。
例如，当作用于质点上的 力Fx是常量或时间的函数时 ，求质
点运动方程： x ? x(t)
P
g5
x ? g (3 ? v) 5
当套筒达到的最大速度时，a=0 。
令
x ? g (3 ? v) ? 0
5
得 v ? vmax ? 3m/s
vmax 称为极限速度。
F＝0.2Pv
FN
3
4
x
y
F＝0.2Pv
O F FN
2、求套筒达到2m/s速度所需要的时间
P3
由式 x ? g (3 ? v) 得
4
vM
?
ve cos30 ?
?
0.4 ? 2 3
ae ? 0
aM ? aMn ? aMt ? ar
aMn
?
vM2 r
?
0.42 ? 4 ? 1.07 m/s 2 0.2 ? 3
vM aMn ve
ar
vr
aMt
将式
a
n M
?
a
t M
?
ar
x
y FN aMn
在 y 轴上投影，得
ar
F
aMt
mg
a
n M
sin 30? ?
力的单位是：kg·m／s2 。 令1kg·m／s2 = 1N（称为1牛）
（2）量纲 表示某一物理量由哪几个基本量按什么规律组成的式
子，称为该物理量的量纲或因次。
在国际单位制中，基本量为长度、时间和质量，它们 的量纲分别用 L、T、M表示，其它量的量纲都可表示为这 三个量纲的函数。
例如：加速度的量纲是LT －2，而力的量纲是MLT －2。
x
?
? l ???1 ?
?2
4
? ???
?
r ?? cos ?
?
t?
?
4
cos
2?
t ?? ?
如滑块的质量为 m, 忽略
摩A?B擦?所??及受t?连的??杆0力t A?.B和0π2的质π2量时,试，求连当杆
解:研究滑块
max ? ? F cos ?
x?
? l ???1 ?
?2
4
? ??? ?
r ?? cos ?
④相对惯性参考系作匀速直线平动的参考系，也是惯性参考系。
3、单位制和量纲
（1）单位制 在F=ma中，涉及到四个量，每个量都必须用一适当的单
位来度量。在应用公式时，并不是每个量的单位都可以任意 规定的。其中只有三个量的单位是可以任意选取的，它们的 单位称为基本单位 ，这三个量称为 基本量；第四个量的单位 可根据公式由基本单位导出，称为 导出单位 ，这个量相应地 称为导出量 。
①在绝大多数工程问题中，可取固结于地球的坐标系为惯性 参考系。 ②对需考虑地球自转影响的问题（如由地球自转而引起的河 流冲刷，落体对铅直线的偏离等）必须选取以地心为原点而 三个轴指向三颗“遥远恒星”的坐标系作为惯性参考系，即 所谓的地心参考系。 ③在天文计算中，则取日心参考系，即以太阳中心为坐标原 点，三个轴指向三颗“遥远恒星”。
x
5
dv ? g dt 3? v 5
? ? v dv ? t g dt
0 3? v 0 5
ln 3 ? g t 3? v 5
当 v ? 2m/s 时，得
t ? 5 ln 3 ? 0.56s g
属于动力学第二类问题。
例 一圆锥摆,如图所示。质量 m=0.1kg 的小球系于长 l=0.3 m
的绳上，绳的另一端系在固定点O，并与铅直线成 ? ? 60? 角。
a
t M
cos 30?
?
0,
a
t M
?
aMn 3
?
0.616 m/s 2
a Mx
?
a
n M
cos 30? ?
a
t M
sin 30? ?
0.9238 ?
0.3079
?
1.23 m/s2
将质点动力学基本方程在x轴上投影，得
maMx ? F cos30 ?
2
2
F?
3 maMx ?
? 0.2 ? 1.232 ? 0.284 N 3
第一定律 (惯性定律) 任何质点如不受外力作用，则将保持其原来静止的或匀
速直线运动的状态。
不受外力作用时，物体将保持静止的或匀速直线运动的 状态，这是物体的属性，这种属性称为惯性。
第一定律也称为惯性定律。
匀速直线运动也称为惯性运动。
第二定律（力与加速度之间关系定律）
质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力大小成 正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。
m dvx dt
?
Fx
分离变量，以便积分
m dvx ? dt Fx
? ? vx m dvx ?
t
dt
vx0
Fx
0
例 曲 柄 连 杆 机 构 如 图 所 示 . 曲 柄 OA 以 匀 角 速 度 ? 转
动,OA=r,AB=l,当 ? ? r / l 比较小时,以O 为坐标原点,滑块B 的运
动方程可近似写为
第九章 质点动力学基本方程
§9-1 动力学基本定律 §9-2 质点运动微分方程
§9-1 动力学基本定律
1、动力学基本定律（牛顿运动定律）
1687 Sir Isaac Newton (1642-1727) 发 表了著名的《自然哲学的数学原理》
牛顿三大定律，它描述了动力学最基 本的规律，是古典力学体系的核心
?
t?
? cos
4
2?
t ?? ?
其中
ax ? x??? ? r? 2 ?cos? t ? ? cos 2? t?
当 ? ? 0时, ax ? ? r? 2 ?1? ? ?,且? ? 0 F ? mr? 2 ?1? ? ?
当? ? ? 时,
2
ax ? r? 2?
且 cos ? ?
l2 ? r2 l
mr? 2? ? ? F l2 ? r 2 l
r ? 200 mm 的固定半圆槽内运动。设水平槽杆以匀速
v ? 400 mm/s 向上运动，不计摩擦。 求 在图示位置时圆槽对销钉 M 的作用力。
解 取销钉M 研究 受力分析 水平槽对 M 的约束力为FN， 圆槽对 M 的约束力为F。
FN
F mg
速度与加速度分析
动点：销钉，动系：水平槽杆
ve ? v ? 0.4m/s
（3）质点运动微分方程在自然轴上的投影
由于 a ? a t τ ? a n n , ab ? 0
? ? ? 故有
mat ?
Ft
,
m
v2
?
?
Fn ,0 ?
Fb
2、质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知运动求力 . 第二类基本问题：已知力求运动 .
混合问题：第一类与第二类问题的综合 .
第一类基本问题：已知运动求力，属于微分问题。
如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度 v 与绳的张
力F。
解：研究小球
m v2 ? F sin? ?
F cos? ? mg ? 0
其中 ? ? l sin?
mg
F?
? 1.96N
cos?
v?
Fl sin2 ?
m
? 2.1m s
属于混合问题。
? ? 60?
m=0.1kg l=0.3 m
例 销钉 M 的质量为 0.2 kg，由水平槽杆带动，使其在半径为
F ? ? mr2? 2 l 2 ? r2
属于动力学第一类问题。
例 套筒重P，在介质中沿导杆下滑，受到大小为F＝0.2Pv （v以m/s计）的阻力的作用，试求： 1、套筒能达到的最大速度； 2、套筒达到2m/s速度所需要的时间。
F
P3
4
解 取套筒研究 1、求套筒能达到的最大速度
y OF
P x ? 3P? F
a? F 或 m
F ? ma
质点动力学基本方程
式中 m 为质点的质量； 此方程只能直接应用于质点。
? F ? Fi 是作用于质点的所有力的合力矢。
质量是物体惯性的度量，质点的质量愈大，保持惯性运动 的能力愈强。
物体的质量 m 与它的重量 W 之间的关系：W = mg
g 是重力加速度，取 g= 9 . 8 m / s2
将质点运动微分方程
m
d2 x dt 2
?
Fx
积分：
m d2x dt2
?
m dvx dt
?
Fx
mdvx ? Fxdt
? ? vx dvx ?
vx0
t Fx dt 0m
? vx ? vx0 ?
t Fx dt ? dx
0m
dt
再积分一次，得运动方程
? ? x ? x0 ? vx0t ?
t
(
t Fx dt)dt
在作数字计算时，还必须做到同一个量的单位要相同。
§9-2 质点运动微分方程
1、质点运动微分方程
质点动力学基本方程: ma ? ? Fi
或写为
m
d2r dt 2
?
?
Fi
（1）矢量形式的质点运动微分方程
m
d2r dt2
?
?
Fi
（2 ）质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
mdd2t2x ? ? Fx, mdd2t2y ? ? Fy, mdd2t2z ? ? Fz