09质点动力学基本方程

注意：量纲与单位是两个不同的概念。
一个物理量的量纲是一定的，但它的大小可用不同的单 位来度量。
例如长度的量纲是 L，但可用米、毫米、千米等作为度 量长度的单位。
物理量的量纲还可以用来检验方程的正确性。
在同一方程中，各项的量纲必须相同。如果一个方程各 项的量纲不尽相同，则可以断定该方程必定是错误的。
m dvx dt
?
Fx
分离变量，以便积分
m dvx ? dt Fx
? ? vx m dvx ?
t
dt
vx0
Fx
0
例 曲 柄 连 杆 机 构 如 图 所 示 . 曲 柄 OA 以 匀 角 速 度 ? 转
动,OA=r,AB=l,当 ? ? r / l 比较小时,以O 为坐标原点,滑块B 的运
动方程可近似写为
vM
?
ve cos30 ?
?
0.4 ? 2 3
ae ? 0
aM ? aMn ? aMt ? ar
aMn
?
vM2 r
?
0.42 ? 4 ? 1.07 m/s 2 0.2 ? 3
vM aMn ve
ar
vr
aMt
将式
a
n M
?
a
t M
?
ar
x
y FN aMn
在 y 轴上投影，得
ar
F
aMt
Fra Baidu bibliotekmg
a
n M
sin 30? ?
F ? ? mr2? 2 l 2 ? r2
属于动力学第一类问题。
例 套筒重P，在介质中沿导杆下滑，受到大小为F＝0.2Pv （v以m/s计）的阻力的作用，试求： 1、套筒能达到的最大速度； 2、套筒达到2m/s速度所需要的时间。
F
P3
4
解 取套筒研究 1、求套筒能达到的最大速度
y OF
P x ? 3P? F
此外，求解微分方程时将出现积分常数，这些积分常 数须根据质点运动的 初始条件， 即初速度和初位置坐标 来确定。所以，对于这一类问题，除了需要已知作用于 质点的力以外，还必须知道质点运动的初始条件，才能 完全确定质点的运动。
例如，当作用于质点上的 力Fx是常量或时间的函数时 ，求质
点运动方程： x ? x(t)
x
5
dv ? g dt 3? v 5
? ? v dv ? t g dt
0 3? v 0 5
ln 3 ? g t 3? v 5
当 v ? 2m/s 时，得
t ? 5 ln 3 ? 0.56s g
属于动力学第二类问题。
例 一圆锥摆,如图所示。质量 m=0.1kg 的小球系于长 l=0.3 m
的绳上，绳的另一端系在固定点O，并与铅直线成 ? ? 60? 角。
x
?
? l ???1 ?
?2
4
? ???
?
r ?? cos ?
?
t?
?
4
cos
2?
t ?? ?
如滑块的质量为 m, 忽略
摩A?B擦?所??及受t?连的??杆0力t A?.B和0π2的质π2量时,试，求连当杆
解:研究滑块
max ? ? F cos ?
x?
? l ???1 ?
?2
4
? ??? ?
r ?? cos ?
第九章 质点动力学基本方程
§9-1 动力学基本定律 §9-2 质点运动微分方程
§9-1 动力学基本定律
1、动力学基本定律（牛顿运动定律）
1687 Sir Isaac Newton (1642-1727) 发 表了著名的《自然哲学的数学原理》
牛顿三大定律，它描述了动力学最基 本的规律，是古典力学体系的核心
?
t?
? cos
4
2?
t ?? ?
其中
ax ? x??? ? r? 2 ?cos? t ? ? cos 2? t?
当 ? ? 0时, ax ? ? r? 2 ?1? ? ?,且? ? 0 F ? mr? 2 ?1? ? ?
当? ? ? 时,
2
ax ? r? 2?
且 cos ? ?
l2 ? r2 l
mr? 2? ? ? F l2 ? r 2 l
①在绝大多数工程问题中，可取固结于地球的坐标系为惯性 参考系。 ②对需考虑地球自转影响的问题（如由地球自转而引起的河 流冲刷，落体对铅直线的偏离等）必须选取以地心为原点而 三个轴指向三颗“遥远恒星”的坐标系作为惯性参考系，即 所谓的地心参考系。 ③在天文计算中，则取日心参考系，即以太阳中心为坐标原 点，三个轴指向三颗“遥远恒星”。
力的单位是：kg·m／s2 。 令1kg·m／s2 = 1N（称为1牛）
（2）量纲 表示某一物理量由哪几个基本量按什么规律组成的式
子，称为该物理量的量纲或因次。
在国际单位制中，基本量为长度、时间和质量，它们 的量纲分别用 L、T、M表示，其它量的量纲都可表示为这 三个量纲的函数。
例如：加速度的量纲是LT －2，而力的量纲是MLT －2。
例如已知质点运动方程： x ? x(t) 求作用于质点上的力Fx
将运动方程对时间求两阶导数，代入质点运动微分方程：
mdd2t2x ? Fx
即可求得力Fx
第二类基本问题：已知力求运动，属于积分问题。
作用于质点的力可以是常力或变力，变力可能是时 间、质点的位置坐标、速度的函数，只有当函数关系较 简单时，才能求得微分方程的精确解；如果函数关系复 杂，有时只能求出近似解。
第三定律 (作用与反作用定律)
两物体间相互作用的力总是同时存在，且大小相等、方 向相反、沿同一直线。
作用与反作用定律对研究质点系动力学问题具有重要意 义。它给出了质点系中各质点间相互作用的关系，从而使质 点动力学的理论能推广应用于质点系。
2、惯性参考系
适用牛顿定律的参考系称为 惯性参考系。 什么样的参考系可以作为惯性参考系呢? 实践结果证明 ：
④相对惯性参考系作匀速直线平动的参考系，也是惯性参考系。
3、单位制和量纲
（1）单位制 在F=ma中，涉及到四个量，每个量都必须用一适当的单
位来度量。在应用公式时，并不是每个量的单位都可以任意 规定的。其中只有三个量的单位是可以任意选取的，它们的 单位称为基本单位 ，这三个量称为 基本量；第四个量的单位 可根据公式由基本单位导出，称为 导出单位 ，这个量相应地 称为导出量 。
将质点运动微分方程
m
d2 x dt 2
?
Fx
积分：
m d2x dt2
?
m dvx dt
?
Fx
mdvx ? Fxdt
? ? vx dvx ?
vx0
t Fx dt 0m
? vx ? vx0 ?
t Fx dt ? dx
0m
dt
再积分一次，得运动方程
? ? x ? x0 ? vx0t ?
t
(
t Fx dt)dt
r ? 200 mm 的固定半圆槽内运动。设水平槽杆以匀速
v ? 400 mm/s 向上运动，不计摩擦。 求 在图示位置时圆槽对销钉 M 的作用力。
解 取销钉M 研究 受力分析 水平槽对 M 的约束力为FN， 圆槽对 M 的约束力为F。
FN
F mg
速度与加速度分析
动点：销钉，动系：水平槽杆
ve ? v ? 0.4m/s
0 0m
当作用于质点上的力Fx是位置坐标x的函数时，求质点的运动。
将质点运动微分方程
m dvx dt
?
Fx
分离变量，以便积分
m
dvx dt
dx
?
Fxdx
vxdvx
?
Fx m
dx
? ? vx vxdvx ?
vx0
x Fx dx x0 m
当作用于质点上的力Fx是速度vx的函数时，求质点的运动。
将质点运动微分方程
作业：9－1、4、14
a
t M
cos 30?
?
0,
a
t M
?
aMn 3
?
0.616 m/s 2
a Mx
?
a
n M
cos 30? ?
a
t M
sin 30? ?
0.9238 ?
0.3079
?
1.23 m/s2
将质点动力学基本方程在x轴上投影，得
maMx ? F cos30 ?
2
2
F?
3 maMx ?
? 0.2 ? 1.232 ? 0.284 N 3
P
g5
x ? g (3 ? v) 5
当套筒达到的最大速度时，a=0 。
令
x ? g (3 ? v) ? 0
5
得 v ? vmax ? 3m/s
vmax 称为极限速度。
F＝0.2Pv
FN
3
4
x
y
F＝0.2Pv
O F FN
2、求套筒达到2m/s速度所需要的时间
P3
由式 x ? g (3 ? v) 得
4
如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度 v 与绳的张
力F。
解：研究小球
m v2 ? F sin? ?
F cos? ? mg ? 0
其中 ? ? l sin?
mg
F?
? 1.96N
cos?
v?
Fl sin2 ?
m
? 2.1m s
属于混合问题。
? ? 60?
m=0.1kg l=0.3 m
例 销钉 M 的质量为 0.2 kg，由水平槽杆带动，使其在半径为
在作数字计算时，还必须做到同一个量的单位要相同。
§9-2 质点运动微分方程
1、质点运动微分方程
质点动力学基本方程: ma ? ? Fi
或写为
m
d2r dt 2
?
?
Fi
（1）矢量形式的质点运动微分方程
m
d2r dt2
?
?
Fi
（2 ）质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
mdd2t2x ? ? Fx, mdd2t2y ? ? Fy, mdd2t2z ? ? Fz
a? F 或 m
F ? ma
质点动力学基本方程
式中 m 为质点的质量； 此方程只能直接应用于质点。
? F ? Fi 是作用于质点的所有力的合力矢。
质量是物体惯性的度量，质点的质量愈大，保持惯性运动 的能力愈强。
物体的质量 m 与它的重量 W 之间的关系：W = mg
g 是重力加速度，取 g= 9 . 8 m / s2
选取不同的基本单位，就形成不同的单位制。
现在普遍采用国际单位制 (SI)。
国际单位制：以长度、时间和质量的单位为基本单位，分别 为米(m) 、秒(s)和千克 (kg) ；力是导出量，等于质量与加速度 的乘积，力的单位是导出单位。
F ? ma
质量为1kg 的质点要产生 1m/s2 的加速度，作用在该质 点上的力的大小为 1kg·1m/s2＝1kg·m／s2
第一定律 (惯性定律) 任何质点如不受外力作用，则将保持其原来静止的或匀
速直线运动的状态。
不受外力作用时，物体将保持静止的或匀速直线运动的 状态，这是物体的属性，这种属性称为惯性。
第一定律也称为惯性定律。
匀速直线运动也称为惯性运动。
第二定律（力与加速度之间关系定律）
质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力大小成 正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。
（3）质点运动微分方程在自然轴上的投影
由于 a ? a t τ ? a n n , ab ? 0
? ? ? 故有
mat ?
Ft
,
m
v2
?
?
Fn ,0 ?
Fb
2、质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知运动求力 . 第二类基本问题：已知力求运动 .
混合问题：第一类与第二类问题的综合 .
第一类基本问题：已知运动求力，属于微分问题。