一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)
1．1
lim 2x
x -
→=_________。 （A ） -∞ （B ） +∞ （C ） 0 （D ） 不存在 2．当0x →时，()x x
f x x
+=
的极限为 _________。 （A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D ） 不存在 ３． 下列极限存在，则成立的是_________。
0()()()
lim ()x f a x f a A f a x -
∆→+∆-'=∆0()(0)
()lim (0)
x f tx f B tf x
→-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()()
()lim ()x f x f a D f a a x →-'=-
４． 设f （x ）有二阶连续导数，且()0
()
(0)0,lim
1,0()_______x f x f f f x x
→'''==则是的。 （A ） 极小值 （B ）极大值（ C ）拐点 （D ） 不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。
()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-=
()
()()C d f x d x φ=⎰⎰
()
()()d d
D f x dx x dx dx dx
φ=⎰⎰ 二、 填空题（每小题3分，共18分）
1. 设0
(2)
()0(0)0,lim
1sin x f x f x x f x
→===-在处可导，且，那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。
２．函数()f x =[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的ξ= 。 3．设1
(),()ln f x f x dx x
'=⎰的一个原函数是
那么 。 4．设(),x
f x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。
5．设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数5Q =-，那么在Ｐ＝４的水平上，若价格 下降1％，需求量将 。 6．若,1
1),(+-=
=x x u u f y 且,1)('u u f =dy
dx = 。
三、计算题（每小题6分，共42分）：
1、 求
11ln (ln )
lim x
x e
x -→
2、
1[(1)]lim x
x x e
x →∞
+-
3、设2
11
~,21x ax x c bx
→∞-++时，无穷小量求常数a 、b 、c. 4
、
5、ln(2)
x x
e dx e +⎰ 6、
3cos sin x x dx x ⎰
7、设函数f(x)具有二阶导数，且f （0）=0, 又(0)0()()0f x g x f x x x
'=⎧⎪
=⎨≠⎪⎩ ，求()g x '。
四、（8分）假设某种商品的需求量Q 是单价P （单位元）的函数：Q=1200-8P ；商品的总成本C 是
需求量Q 的函数：C=2500+5Q 。
（1） 求边际收益函数和边际成本函数； （2） 求使销售利润最大的商品单价。 五、（12分）作函数2
21
(1)
x y x -=
-的图形 六、证明题（每题5分，共计10分）
1、 设函数)(x f 在[,]a b 上连续，且()f x '在(,)a b 内是常数，证明)(x f 在[,]a b 上的表达式为 (),f x Ax B A B =+其中、为常数。
2、设函数)(x f 在[0,)+∞上可导，且()0,(0)0.f x k f '>><证明)(x f 在(0,)+∞内仅有一个零点。
《微积分》（上）期末考试试卷答案(A)
一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)
1．C ； 2． D ； 3.B C; 4.A; 5.B C.
二、 填空题（每小题3分，共18分）
1. 12y x =-
２． 2 3．21
ln C x x
-+ 4．X=2,极小值 5．上升2% 6．
2
2
1
dy dx x =- 三、计算题（每小题6分，共42分）： 1、求
1
1ln (ln )
lim x
x e
x -→
解：令11ln (ln )
x
y x -=，则1
ln ln(ln )______21ln y x x
=
-分
0001
1
ln limln lim ln(ln lim 1
1ln x x x x x y x x x →→→==--）=-1-----3分 10
lim x y e -→=-----1分
3、
1[(1)]lim x
x x e
x →∞
+-
解：原式= 1
1[(1)1]2lim x x x e x →∞
+------分
11
1
1
1lim(1)241lim x
x x x x e e x e x
→∞→∞
-+==+=-----分 3、设211
~,21x ax x c bx
→∞-++时，无穷小量求常数a 、b 、c.
解：由
2211
ax x c
bx -+=+ 3分 得a=0，b=-2，c 取任意实数。 3分 4
解：
1
2
==分
1
arc 2
C = 3分
