本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。
同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B(上)期终试卷
一. 选择填空题(3'824'⨯=)
1. ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其 反函数1
()x f
y -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有 【A 】
()'A k k =; 1
()'B k k
=
; ()C 'k k >; ()'D k k <. 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ∆充分小时都有 2
()1x
y x o x x
∆=
∆+∆+, 则有 【C 】 2221()()(1)x A f x x -=+; 2
()()11x
B f x x =++;
()
C ()1f x =; ()
D 题中所给的条件无法得到确定的函数()f x . 3. 下面的极限式中哪项等于连续函数()f x 的定积分2
()f x dx ⎰
. 【D 】
1
2()lim
()n
n k k A f n n →∞
=∑
; 121()lim ()n n k k B f n n →∞=∑; 11()lim ()n n k k C f n n →∞=∑; 1
1()lim 2()n
n k k D f n n →∞=∑.
4.
要使反常积分
+∞
⎰
收敛, 则实数p 的取值范围是 【C 】 ()1A p >; ()1B p <; ()2C p >; ()2D p <.
5. 如果作换元sin x t =,
则积分30
(sin )f x dx π
=
⎰
.
6. 微分方程231x y dy
e dx -+=的通解21
13ln()32
x y e C +=+.
7. 已知
2
()x f x dx e
C =+⎰, 则22
2
(21)1(21)4x xf x dx e C --=
+⎰.
8.
定积分
3421[ln(1)2
R R
x x dx R π-++=
⎰
.
二. 计算题(8'324'⨯=) 1.
求极坐标所表示的曲线4θρ=在04
πθ=
所对应点处的切线方程. [532x y e π
-=]
2.
计算定积分
21
1
π+⎰
. [2π]
3. 可导函数()f x 满足等式20
()()22
x
t
tf dt f x =-⎰
, 求函数()f x . [22()2x f x e =]
三. (10')已知函数()()f x x R ∈在点1x =左连续, 同时该点是函数()f x 的跳跃间断点, 如 果该函数只有1x =一个间断点, 试分析函数3
2
(39)f x x x C +-+间断点的个数. [266C -<<三个; 6C =两个; 26C ≤-或6C >一个]
四. (10')求微分方程00
"2'31
414
,'9
3x x y y y x y y ==+-=+⎧⎪⎨==⎪⎩的解. [315239x x
y e e x -=---] 五. (10')曲线2
1(0)y x x =+≥. (1)求该曲线在点(2,5)处的切线方程L ; (2)求该曲线与切线L 以及y 轴所围图形的面积;
(3)求题(2)所叙述的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. [88
43;;33
y x A V π=-=
=] 六. (10')一只容器由2
(02)y x x =≤≤绕y 轴旋转而成. (1)如果容器内的水量是容器容量
的
1
4
, 求容器内水面的高度; (2)如果要将题(1)中这部分水吸尽, 求外力需要作的功. [16
2;3
h W g ρπ==] 七. (12')(1)如果周期函数()()f x x R ∈有最小正周期0T , 证明对于()f x 的任意一个周期 T , 都有0T nT =, 其中n 是正整数; [记周期00[0,)T nT T -∈]
(2)如果()()f x x R ∈以1T π=以及21T =为周期,证明存在一列{}n T (若i j ≠,则i j T T ≠) 使得n T 都是函数()f x 的周期, 并且数列{}n T 有极限; [1T 2T 非最小正周期, 存在321,n n T T T T -<⋅⋅⋅<为更小正周期] (3)如果满足题(2)条件的函数()f x 在点0x =连续, 证明()f x 是常数.
[0,0εδ∀>∃>,当x δ<时,()(0)f x f ε-<;10,,0n n T T T x nT δδ--→∃<<-<]
