同济大学2016-2017学年高等数学(B)上期末考试试卷

高等数学上（1）一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e .6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

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2009—2010学年第二学期考核试卷(A 卷）《高等数学B 》 2010—7-3一. 填空题（每小题4分，满分32分）()._____624211____2,212132.1222-+=-=-=++z y x z y x 处的法线方程为－，在点曲面 ()()().______52251_____2,1212ln .22为的方向导数处沿方向，在点函数-=+=l y x z ()()()._______,sin ,cos _____,,,,.32010210102222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰----πρρϕρϕρρρϕdz z f d d dz z y x f dy dx z y x f x y x x 坐标积分形式为柱面的则三次积分为连续函数，设 ()()()()()()._____12____,10.42222++=+++=⎰x x x f dy y x yf dx y xyf x f L 关，则在整个平面上与路径无若曲线积分具有一阶连续导数，且设函数 ().0,4_____32______4.5222≥≤++∑=+⎰⎰∑z z y x dS xz ：其中曲面积分π()()()._____32____,ln .61,1,1222=++=gradu div z y x u 则设函数 ()()._____3,1____12-.710--=∑∑∞=∞=的收敛区间为处发散，则幂级数在点若幂级数n n n n n n x n a x x a()()().____21____5,01202],(2.8-=⎩⎨⎧≤<+≤<--=-πππππππ收敛到处的付里叶级数在点则上的表达式为为周期函数，它在是以设x x f x x x x x f x f二．解答题 （需写出具体解答过程）()()()()()()()()()()().00,0,0,01,lim ,)(.0,0,0,0,00,0,,8.92031623不连续，所以在点令证明：处不连续在点证明函数分≠≠+==⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=→k f kk y x f kx y y x y x y x xy y x f x ()[][][].1sin 1cos cos cos sin sin sin sin .,sin 10.1010101010102-=-+-=-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ydy y y y dy y y y dx y y dy dxdy y y x y x y D dxdy yy y y DD 解：所围成的闭区域与曲线是由直线其中计算二重积分分()()()()().2451251255242424.1,2410.11102102=-=-==-+=-+=-+=++Ω-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩΩΩΩdz z z dz z z zdv zdv zdv zdv zdvydv xdv dv z y x z y x dv z y x 由对称性得解：三坐标面围成的闭区域与是由平面其中计算三重积分分()()().2,2,1,,,..124,10.1212022221222222222222222ππϑπ-=-===+-=+-==+'=--=+=+-==++-⎰⎰⎰⎰'I I d y x ydx xdy y x ydx xdy I y x L P y x x y Q y x x Q y x y P y x L y x ydx xdy L L y x L ：在曲线内部做圆所以积分与路径无关，则解：按顺时针方向绕行为椭圆其中计算曲线积分分()()()()()()().872647231631634.,4010.13402020222122222111ππππσρρρθπ=+-=+-=++-=++++-=-==∑≤≤+=∑++++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑∑Ω∑∑zD zd dz d d zdv dxdy y x dv z y I z z y x z dxdy z y x dydz z y x I 上下侧，：取解：取上侧为曲面其中计算曲面积分分 ()()()()()()()()()()()()().3113121(1131112113111312111212111211231.123110.14011010122<<----=-----=-+--+=+-+=++=++=-++=∑∑∑∞=++∞=+∞=+x x x x x x x x x x x x x f x x x x f n n n n n n n n n n n n n 解：成立范围的幂级数，写出展开式展开成将函数分()()()()()()()().32!11242!11242!12!112!212!12)!1(112!12!!21.,,0lim ,!21!!21.!1!!21101502220201201002021220022e S n n e x x x n x x x n x n x n x n x n n x n x n n x n n x S R a a n n n n a n n x n n n x n n n n n n n n n n n n n nn n n n n nn n n n n n n ==+∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+∞∞-+∞=⇒=+=+=++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=+∞→∞=∞=记收敛域为解：的和由此求级数的收敛域及和函数，并求幂级数分。

同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空题(4'416'⨯=)1. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0,'dx y dy y ≠=, 则223"'d x y dyy =-.2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1)tx f t y f e π=-⎧⎨=-⎩所确定的函数的 导数32t dydx ==.3. 极限111lim()ln 212n n n n n→∞+++=+++L .4. 微分方程22"5'6sin xy y y xex -++=+的特解形式为(不需确定系数)2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E-++++.二． 选择题(4'416'⨯=) 5. 设函数sin ()bx xf x a e=+在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足: [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><; ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥<6. 曲线1ln(1)x y e x-=++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线; ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7. 将0x +→时的无穷小量2sin ,,(1)xx t tdt tdt e dt αβγ===-⎰⎰排列起来, 使得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ] (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; (),,D γβα 8. 设函数()f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且20()(0)0,lim2x f x f x→==-, 则在该点处 ()f x : [C ] ()A 不可导; ()B 可导且'(0)0f ≠; ()C 取得极大值; ()D 取得极小值.三. 解答题(7'428'⨯=) 9. 求极限30sin sin(sin )limx x x x →-, [30sin 1lim 6t t t t →-==]10. 计算定积分24tan sec x x xdx π⎰[224400111(tan )(sec 1)28242xd x x dx ππππ==--=-⎰⎰]11. 计算反常积分221arctan (1)xdx x x +∞+⎰[2212210111113()arctan arctan ()[arctan ]ln 2124232xdx xd x x x x ππ+∞+∞+∞=-=--=+++⎰⎰] 12. 试求微分方程221(1)dy y x y dx x+=-的通解[221111()'()1(ln )2x x x x c y x y y -=-⇒=-+]四. (8')求曲线ln y x =上的点, 使此曲线在该点的曲率半径为最小.[312222221(1)(1)(21)1(0)'(ln 2)22x x x R x R K x x ++-==>⇒=⇒-] 五. (8')设不定积分n n I =,(1)计算01,I I ; (2)利用变换sin x t =, 建立(2,3,4,)n I n =L 的递推公式[(1)01arcsin ,I x c I =+=[(2)211n n n n I I x c n n---=-] 六. (8')设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续, 且在[,]a b 上()0g x >, 证明至少存在一点[,]a b ξ∈, 使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰. [minmax ()()()babaf xg x dxf fg x dx≤≤⎰⎰]七. (8')过坐标原点作曲线21(0)y x x =+≥的切线, 记该切线与此曲线及y 轴所围成的平 面图形为D , 试求:(1)平面图形D 的面积; (2)平面图形D 绕直线1x =旋转一周所成的旋转体的体积, [12,,32y x S V π===] 八. (8')已知22123,,x x x x x x xy xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某个二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解, 试写出该微分方程的通解并建立此微分方程. [212,"'2(12)xx x x y c ec e xe y y y x e -=++--=-]同济大学2010-2011学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空题(4'416'⨯=)1. 已知极限lim ()x e f x →存在, 且函数()f x 满足: ln 1()lim ()()ex e x e x x f x f x x e e-→-=+-, 则 2lim ()1x ee f x e →=-.2. 设函数2()ln(23)f x x x =+-, 则()11(2)(1)(1)!(1)5n n nf n -=--+.3. 不定积分1tan 1(tan ln tan )sin 22x dx x x C x +=++⎰.4. 定积分sin 2sin cos 03334x xx dx ππ=+⎰.二. 选择题(4'416'⨯=)5. 曲线32331(1)31t x t t t y t ⎧=⎪⎪+≠-⎨⎪=⎪+⎩的斜渐近线方程为 [A ] :1A y x =--; :1B y x =-; :1C y x =-+; :1D y x =+. 6. 曲线22162y x x =-上点(2,0)P 处曲率K = [B ] :0A ; :16B ; 1:16C ; :4D . 7. 设()f x 为(,)-∞+∞内连续的偶函数, '()()F x f x =, 则原函数()F x [C ] :A 均为奇函数; :B 均为偶函数;:C 中只一个奇函数; :D 既非奇函数也非偶函数.8. 设1s 为曲线sin y x =上相应于02x π≤≤的一段弧长, 2s 为椭圆2222x y +=的周长, 则 [D ] 12:A s s π-=; 12:B s s >; 12:C s s <; 12:D s s =. 三. 解答题(4'728'⨯=)9. 求极限302cos ()13lim x x x x→+-. [2cos ln 333001(cos 1)1lim lim 36xx x x e x x x x +→→--===-]10. 设()f x 是(,)-∞+∞内的连续的奇函数, 且0()lim 2x f x x +→=, 证明()f x 在0x =处可导,并求'(0)f . [00()(0)()(0)(0)0,lim lim 2'(0)00x x f x f f x f f f x x +-→→--====--] 11. 求定积分21[]max{1,}x x e dx --⎰, 其中[]x 表示不超过x 的最大整数.[0121102x I e dx dx dx e --=-++=-⎰⎰⎰]12. 判定反常积分2ln 1e x dx x +∞-⎰的收敛性, 如果收敛, 求出其值.[21ln 111(ln 1)()[]e e x I x d x x x e+∞+∞-=--=--=⎰] 四. (8')设()f x 是(,)-∞+∞内的连续函数, 且(0)0f ≠, 试求极限00()lim()xxx tf x t dt xf x t dt→--⎰⎰.[0()()()()1limlimlim[()()]2()()()x xxxx x x x x f u du uf u duf u duxf x f x f x f u duxf x f u duξξ→→→∞-====++⎰⎰⎰⎰⎰]五. (8')设可积函数()f x 在(,)-∞+∞内满足关系式: ()()sin f x f x x π=-+, 且当 [0,)x π∈时()f x x =, 试求3()f x dx ππ⎰.[2322(sin )(2)2I x x dx x dx πππππππ=-++-=-⎰⎰]六. (8')设n 为正整数, 函数2lim,0()100nx n x x f x e x x -→∞⎧≠⎪=--⎨⎪=⎩, 求曲线()y f x =与直线2xy =-所围平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积. [122202001()[()()]()1283,01x x x f x V dx x x x x πππ<⎧⎪=⇒=---=-⎨+-≥⎪+⎩⎰] 七. (8')求微分方程223(1)20dyx y xy dx-+=的通解. [22231111()'()()x x x C y y y y +=⇒=-]八. (8')令sin x t =, 化简微分方程22arcsin 2(1)x d y dyx xy e dx dx ---=, 并求其通解. [22222311sin ,cos cos cos dy dy d y d y dy t dx dt t dx dt t dt t ==+2arcsin arcsin arcsin 122arcsin 2t x xx d y x y e y C e C e e dt -⇒-=⇒=++]同济大学2011-2012学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=) 1. 极限31lim()2xx x e x →∞+=-.2. 若极限000(2)()lim3h f x h f x h→--=, 则03'()2f x =-.3.积分22216(3x x dx -+=⎰.4. 积分2cos 2cos 1sin 2xx xedx e C =-+⎰.5. 微分方程4"4'0y y y -+=的通解为1212()x y c x c e=+.6. 记41sin I xdx ππ-=⎰, 22sin I xdx ππ-=⎰, 23I x dx ππ-=⎰, 21sin I x xdx ππ-=⎰. 则这4项积分的大小关系为 [ B ] ()A 2134I I I I >>>;()B 3214I I I I >>>;()C 4132I I I I >>>;()D 1243I I I I >>>.7. 下列反常积分中收敛的反常积分是 [ A ] 211()2A dx x +∞+⎰;()e B +∞⎰; ()sin C xdx +∞-∞⎰; 101()1D dx x -⎰ 8. 若函数23ln(1)ln 2,1()11x x f x x a x ⎧+-≠⎪=-⎨⎪=⎩在1x =连续, 则常数 [ D ] ()A 23a =; ()B 23a =-; ()C 13a =-; ()D 13a =.二. 解答题(6'530'⨯=) 1.计算由曲线y =340x y -+=所围平面图形的面积.[21141)336A x dx -=-=⎰] 2. 若函数()u x 与()v x 具有n 阶导数, 试写出()()u x v x ⋅计算n 阶导数的莱布尼茨公式, 计算2xx e ⋅的10阶导数. [()()()2(10)1020[()()];()2(5)nn k k n k x x n k u x v x C u v xe e x -===+∑]3. 求函数2()(5)xf x x x e =+-的单调区间以及函数的极大与极小值.[4max min '(4)(1)(,4],[1,);[4,1];(4)7;(1)3x f x x e f e f e -=+-⇒-∞-+∞--==-Z ]]4. 计算反常积分221ln(1)x dx x +∞+⎰. [ln 22I π=+] 5. 求微分方程2"2'31,(0),'(0)73y y y y y +-===-的解. [331211233xx x x y c e c e e e --=+-=--]三. (8')在长度单位为米的坐标中, 由方程21x y =-与直线220x y --=围成的薄片铅直 的浸入水中, 其中x 轴平行于水面且在水下1米深处, 试求该薄片的一侧所受的水压力. [121(1)(221)4P g y y y dy g ρρ-=-+-+=⎰]四. (10')求积分1)x dx +⎰, [28ln 2393I π=+-]五. (10')1. 试求常数,a b , 使得函数在=201,12x x y x ax b ≤≤⎧=⎨<≤+⎩在区间[0,2]上可导; 2. 若由该曲线段绕y 轴旋转形成一个容器, 如果每单位时间以常量0v 向容器均匀 的注水, 试求该容器在水溢出前水深为h 时水面的上升速度.[2,1a b ==-;0220002,01()()'()''4,13(1)h v h h V h x y dy v V x h h h v h h ππππ⎧≤≤⎪⎪=⇒==⇒=⎨⎪<≤+⎪⎩⎰]六. (10')要建一个容积为14, 侧面为圆柱形, 顶部接着一个半球形的仓库(不含底部), 已知顶部每平方单位的造价是其侧面圆柱部分单位造价的3倍, 试求该仓库的底圆半径, 使得该仓库的造价最省.[2223f rh r ππ=+,2322281414(),'()033r h r f r r f r r r πππ+=⇒=+=⇒=L ] 七. (8')函数()f x 在0[,)x +∞上具有二阶导数, 并且"()0f x <, 对于任意0x x >, 由拉格 朗日中值定理, 存在0x x ξ<<, 使得00()()'()()f x f x f x x ξ-=-. 证明ξ定义了 0(,)x +∞上的一个单调增加函数.['()f x 递减()x ξξ=唯一确定(函数); 又可证00()()f x f x x x --], 可得()x ξ递增]同济大学2012-2013学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'8⨯)1. 函数()xf x xe -=的四阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为234411()()26f x x x x x o x =-+-+2. 2(1)x y ex -=+在1x =所对应点的曲率1025K =3. 极限lim(1ln )x aa x a a x a a a x→-=--4. 由方程222y y x x ++=所确定的函数()y y x =在(1,0)点的导数(1,0)32dydx =5. 函数()f x 在[0,)+∞上连续, 则数列极限lim ()n f n →∞存在是函数极限lim ()x f x →+∞存在的什么条件? [ B ] ()A 充分条件; ()B 必要条件; ()C 充分必要条件; ()D 无关条件. 6. 在区间[,]a b 上, 函数()f x 连续的充分条件是: [ B ] ()()baA f x dx ⎰存在; ()()B f x 可导; ()()C f x 具有原函数; ()()D f x 有界.7. 如果作换元2sin x t =, 则定积分222(4)f x dx -⎰等于 [ C ]40()(2cos )2cos A f t tdt π⋅⎰; 24()(2cos )2cos B f t tdt ππ⋅⎰;42()(2cos )2cos C f t tdt ππ⋅⎰; 04()(2cos )D f t dt π⎰.8. 可导函数()f x 在区间[0,1]上单调增加的充分条件是在该区间上 [ D ] 2()()(1)()x A f x e x o x ∆=-∆+∆; 1()()0B f x dx >⎰;()"()0C f x >; 4()()[1()]()D f x f x x o x ∆=+∆+∆. 二. (4'3⨯)1. 如图是函数()y f x =的图像, 试在下列空格中填入恰当的符 号: 0<; 0=或0>.44()0f x dx -<⎰;44'()0f x dx -=⎰;44"()0f x dx ->⎰;44"'()0f x dx -<⎰.2. 求极限12001lim (12)x t x t dt x →+⎰ [1220lim 2(14)2xx x e →=+=]3. 计算不定积分(1)ln(1)x x dx ++⎰[2211(1)ln(1)(1)24x x x c ++-++] 三. (6'3⨯) 1. 求曲线21x x y e-=的凹凸区间与拐点的坐标. [22'(32),"4(2):(,2];:[2,)xx y ex y e x --=-=-⇒⋂-∞⋃+∞; 拐点:4(2,)e -]2. 计算反常积分21(2ln ln )edx x x x +∞+⎰. [1ln 1ln ln 322ln 2e x x +∞==+]3. 一个由曲线段24(01)y x x =≤≤绕y 轴旋转形成的容器内装满了比重为γ的均匀液体, 如果要将该容器内的液体全部排空至少需要做多少功. [48(4)43y W y dy πγπγ=-=⎰] 四. (8')试用适当的换元法求微分方程22222()2()1dy x y x dx y x -=-+的通解. [2222222arctan 21du xu y x u x u u x c dx u -=⇒+=⇒-=-+⇒+L ] 五. (8')试说明闭区间上连续函数的像集是闭区间, 并举例说明在闭区间上, 像集是闭区间的函数未必连续. [最值定理; 介值定理; 反例略]六. (10')计算由曲线2xy e =, 该曲线经过坐标原点的切线以及y 轴所围成图形的面积, 并 求该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.[切线:2y ex =;切点:12x =; 1122222220023(2);[()(2)]412x x x e e A e ex dx V e ex dx ππ--=-==-=⎰⎰] 七. (10')试求微分方程22"cos y y x x +=+的通解.[221231;*cos 2sin 2;cos sin cos 226i y Ax Bx C D x E x y C x C x x x λ=±=++++=++--] 八. (10')()f x 是以T 为周期的连续函数, 若()Tf t dt A =⎰, 求极限01lim()xx f t dt x →+∞⎰.[0(0)(0)(0)1()()()()()()limlimlimTnTnT TnTn n n T T T f t dt f t dtf t dt f t dtn f t dt f t dtA n nT nT T T nθθθθθθθθθ+→∞→∞→∞≤<≤<≤<+++====+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰]同济大学2013-2014学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择与填空题(3'824'⨯=) 1. 极限262lim()1nn n e n -→∞-=+2. 利用定积分的几何意义，积分4-=⎰92π3. 微分方程"'120y y y +-=的通解为4312x xy C e C e -=+4. 已知敌方的导弹阵地位于坐标原点处，发射的导弹飞行轨迹为光滑曲线()y f x =，我方 拦截导弹的阵地位于x 轴正向2000公里处，发射的拦截导弹飞行速度是敌方导弹速度的 两倍，如果由计算机控制，在敌方导弹发射时我方的拦截导弹同时发射，并且我方导弹的 运行轨迹是直线，如果两导弹的相撞点为00(,)x y ，则该点满足的方程为2x =⎰5. 0{}x 是有界数列, 则该数列单调是数列极限存在的什么条件 【A 】 ()A 充分条件; ()B 必要条件; ()C 充分必要条件; ()D 无关条件.6. ()f x 是连续函数, 曲线段()()xaf t dt a x b ≤≤⎰的弧长s 的计算公式为 【C 】()a A s =⎰; ()a B s =⎰;()aC s =⎰; ()aD s =⎰无关条件.7. 函数()f x 具有三阶连续导数，如果"()0,[,]f x x a b >∈，则下列四项积分中，积分值 确定为正数的积分为 【A 】 ()['()'()]ba A I fb f x dx =-⎰; ()'()baB I f x dx =⎰;()[()()]baC I f x f a dx =-⎰; ()'"()baD I f x dx =⎰.8. 利用换元ln(1)x t =+, 积分2()x f e dx ⎰等于 【D 】20(1)()1f t A dt t ++⎰; 210()(1)e B f t dt -+⎰; 20(1)()1e f t C dt t ++⎰; 210(1)()1e f t D dt t -++⎰. 二. 计算下列各题(6'636'⨯=)1. 试计算由23ln 3x x y y +++=所确定的曲线在(1,1)点的切线方程.[22213'3470(31)4x y x y y x +=-=-⇒+-=+]2. 求由参数方程t tx e y e t-⎧=⎨=+⎩所确定函数()y y x =的导数22;dy d ydx dx . [22322();22t t t t dy d y e e e e dx dx =-+=+] 3. 求不定积分⎰[322(1)3x x c +-+] 4. 曲线段3:()L y x a x a =-≤≤的弧长为s , n D 是xoy 平面上与L 距离不超过n 的点集,即222{(,)(')('),(',')}n D x y x x y y n x y L =-+-≤∈,n D 的面积为n A ,求极限2lim nn A n →∞.[222()lim n n n A n A n s nπππ→∞≤≤+⇒=]三. (8')计算反常积分31arctan x dx x +∞⎰. [121arctan 11[arctan ]22x x x x +∞=-++=]四. (8')()f x 具有二阶导数, 如果极限201()(2)lim1x f x xf x x→++=-, 求(0),'(0),"(0)f f f . [(01,'(0)1,"(0)6f f f =-==-] 五. (8')可导函数()f x 满足方程40()2()1xf x tf t dt x -=--++⎰, 求函数()f x .[232(0)1,'()2()4()2(1)3x f f x xf x x f x x e -==-+⇒=-+] 六. (10')求函数231xx y xe ++=的单调区间与极值, 并求出该函数在区间[2,2]-上的最值.[23111'(21)(1)(,1],[1,],[,);22x x y x x e ++=++⇒-∞-↑--↓-+∞↑极小1()2y -=,极大1(1)y e -=-; 11min max 2(2),(2)2y y e e-=-=] 七. (10')计算由曲线21xy e=-, 直线41y e =-以及y 轴所围图形的面积; 并求出由该图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. [224244240031[(1(1)];2()(51)222x x A e e dx e V x e e dx πππ=---=+=-=-⎰⎰] 八. (8')计算极限12ln(1)0(12)limtxx x t dt t +→-⎰.[11222ln(1)(12)(12)1(ln(1)),ln(1)2txx t dt x x x x x L t eξξξξξ+--=-++<<⇒⇒=⎰:]同济大学2014-2015学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 极限23232lim()1nn n n e n -→∞-+=+2. xy xe =在1x =对应点的曲率k =3223(14)e e +3.反常积分1111dx xα-+⎰⎰收敛, 则常数α的取值区间是3(,2)2α∈4.1'(32)(32)2x x x e f e dx f e c -=--+⎰5. ()f x 在[,]a b (其中1b a =+)上具有二阶导数,且"()0f x <,下列不等式正确的是 【B 】 ()'()'()()()A f b f a f b f a <<-; ()'()()()'()B f b f b f a f a <-<; ()()()'()'()C f b f a f b f a -<<; ()'()()()'()D f a f b f a f b <-<.6. ()f x 是连续函数, 极限121lim()nn k k n f n n→∞=-⋅∑等于下面的定积分 【D 】 11()(21)A f x dx --⎰; 2()(21)B f x dx -⎰; 11()2()C f x dx -⎰; 1()(21)D f x dx -⎰.7. 如果数列{}n x 在任意区间[,]a b 上只含有有限项, 则下面判断中正确的判断是 【D 】 (){}n A x 是收敛数列; (){}n B x 是有界数列但不收敛;(){}n C x 是无界数列但是当n →∞时不是无穷大量; ()D 极限lim n n x →∞=∞.8. 223()(1)(2)(3)4f x x x x x =---+, 则'()0f x =在区间(1,1)-内有几个实根 【C 】 ()0A 个; ()1B 个; ()2C 个; ()D 至少3个.二. 计算下列各题(6'424'⨯=) 1. 求函数21232x x y e-++=的单调区间与凹凸区间.[2211232322'(2),"(1)(3)x x x x y x e y x x e-++-++=-=--]2. 求曲线2132y x ey -+=在(1,1)点的切线方程. [230x y +-=]3. 计算反常积分311arctan xdx x +∞⎰ [12] 4. 求微分方程"3'441y y y x --=+的通解. [41212x xy C e C e x -=+-+]三. (8')分析曲线1(1)ln()(0)y x e x x=++>是否有铅直、水平与斜渐近线, 如果有则求出 相应的渐近线. [铅直渐近线0x =; 斜渐近线11y x e=++]四. (8')已知(),()f x g x 都是非负的连续函数, 曲线()y f x =与()y g x =关于直线y c =对 称,由曲线(),()y f x y g x ==以及直线,()x a x b a b ==<所围成的平面图形的面积为A . (1)证明该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为2V cA π=; [22()()()2()bb baaaV f g dx f g f g dx c f g dx πππ=-=+-=-⎰⎰⎰](2)计算椭圆2214x y +≤绕直线2y =旋转所得旋转体的体积. [28V π=] 五. (8')设()f x 是可导函数, 并且满足方程220()()12xt f x tf dt x =++⎰, 求函数()f x .[2231(0)1,'()4()2()22x f f x xf x x f x e ==+⇒=-]六. (8')(1)写出ln(1)x +的带有佩亚诺余项的n 阶迈克劳林公式;(2)计算极限2lim 1(1)xx x e x→+∞+.[(1)12311(1)()23n n n x x x x o x n ---++++L;(2)221ln(1)lim lim 1(1)x x x xx x x e e x-+→+∞→+∞==+七. (10')由方程22,4y x y ==所确定的抛物型薄片铅直地浸入水中, 顶端与水面持平(长度 单位为米). (1)试求薄片一侧所受到的水压力; (2)如果此后水面以每分钟0.5米的速度开 始上涨, 试计算薄片一侧所受到的水压力的变化率.[(1)4(4P g y g ρ=-⎰; (2)40(,dP P g h y g dt ρ=-=⎰]八. (10')设222(0)nn n xy a a +=>所围图形在第一象限部分的面积为n A . (1)利用定积分写出n A 的计算公式(无需计算n A 的值); (2)证明极限lim n n A →∞存在; (3)计算极限lim n n A →∞.[(1)0an A =⎰;(2)1122220(1)n n a t dt A a a -≤=≤⎰⎰;(3)2lim n n A a →∞=]同济大学2015-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 极限1202lim()23h h h e h-→-=+.2. 积分(12sin )cos '(12sin )2f x x f x dx C--⋅-=+⎰.3. 函数220()sin(1)x F x t dt =+⎰的导函数4'()2sin(1)F x x x =+.4. 曲线322(1)1(12)3y x x =++-≤≤的弧长143s =.5. 极限0lim ()x x f x -→=+∞的定义是 【D 】()0,0A εδ∀>∃>, 当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; ()0,0B εδ∀>∃>, 当x δ>时, 有()f x ε>; ()0,0C M X ∀>∃>, 当x X >时, 有()f x M >; ()0,0D M δ∀>∃>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >.6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该方程的通解为 【D 】 112233()()()()A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数; 11223()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 11223()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 112233()()()()D C y x C y x C y x ++, 其中任意常数1231C C C ++=.7. 若()f x 是连续函数, 则极限121lim()2nn k n k f n n→∞=+∑等于 【A 】 3212()()A f x dx ⎰; 2()()B f x dx ⎰; ()C 12()f x dx ⎰; 10()()2xD f dx ⎰.8. 若对于积分0(2)af a x dx -⎰作换元2a x u -=, 则该定积分化为 【C 】()()aaA f u du -⎰; 0()2()a B f u du ⎰; ()C 1()2aa f u du -⎰; 0()()a D f u du ⎰.二. 计算下列各题(6'424'⨯=)1. 试求曲线2sin y x y x ++=在点(1,0)处的切线方程. [21x y +=] 2. 求不定积分2ln(1)x dx +⎰. [2ln(1)22arctan x x x x c +-++]3. 求微分方程3'xy x y =-的通解. [411()4y x c x =+] 4. 求微分方程"2'15153y y y x --=-的通解. [531213x xy C e C e x -=+-+]三. (8')计算由22y x x =+与直线2y x =+所围图形的面积. [1229(2)2x x dx ---=⎰]四. (8')计算反常积分31arctan x dx x +∞⎰. [211111arctan arctan 2222I x x x x +∞=---=]五. (8')已知'()y f x =的函数图像如图,(1)求函数()y f x =的单调区间、极大值与极小值; (2)求曲线()y f x =的凹凸区间与拐点.[35353(,],[,);[,];()x x x x f x -∞+∞]Z 极大,5()f x 极小124124[,],[,);(,],[,];x x x x x x +∞⋃-∞⋂拐点112244(,()),(,()),(,())x f x x f x x f x ] 六. (10')在半径为R 的半球内内接一圆锥体, 使得该锥体的锥顶位于半球的球心上, 锥体的 底面平行于半球的底面, 求这样的内接圆锥体体积的最大值.[322max 1(3),()3393V R h h V π=-=]七. (10')一椭球形容器由长半轴为2m , 短半轴为1m 的半支椭圆曲线绕其短半轴旋转而成,若容器内盛满了水, 试求要把该容器内的水全部吸出需作的功.[2221(10),4(1)(),4x y y dW y dy g y W g πρπ+=-≤≤=--=] 八. (8')已知()f x 具有二阶导数, 且221"()12x f x x +≥+, 判断lim ()x f x →∞的情况, 并给出判断的理由. [21"(),()(0)'(0)"()22f x f x f f x f x ξ≥=++→+∞]同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择填空题(3'824'⨯=)1. ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其 反函数1()x fy -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有 【A 】()'A k k =; 1()'B k k=; ()C 'k k >; ()'D k k <. 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ∆充分小时都有 2()1xy x o x x ∆=∆+∆+, 则有 【C 】 2221()()(1)x A f x x -=+; 2()()11xB f x x=++; ()C ()1f x =; ()D 题中所给的条件无法得到确定的函数()f x . 3. 下面的极限式中哪项等于连续函数()f x 的定积分2()f x dx ⎰. 【D 】12()lim()nn k k A f n n →∞=∑; 121()lim ()n n k k B f n n →∞=∑; 11()lim ()n n k k C f n n →∞=∑; 11()lim 2()nn k k D f n n →∞=∑.4.要使反常积分+∞⎰收敛, 则实数p 的取值范围是 【C 】 ()1A p >; ()1B p <; ()2C p >; ()2D p <.5. 如果作换元sin x t =,则积分30(sin )f x dx π=⎰.6. 微分方程231x y dye dx -+=的通解2113ln()32x y e C +=+.7. 已知2()x f x dx eC =+⎰, 则222(21)1(21)4x xf x dx e C --=+⎰.8.定积分3421[ln(1)2R Rx x dx R π-++=⎰.二. 计算题(8'324'⨯=) 1.求极坐标所表示的曲线4θρ=在04πθ=所对应点处的切线方程. [532x y e π-=]2.计算定积分211π+⎰. [2π]3. 可导函数()f x 满足等式20()()22xttf dt f x =-⎰, 求函数()f x . [22()2x f x e =]三. (10')已知函数()()f x x R ∈在点1x =左连续, 同时该点是函数()f x 的跳跃间断点, 如 果该函数只有1x =一个间断点, 试分析函数32(39)f x x x C +-+间断点的个数. [266C -<<三个; 6C =两个; 26C ≤-或6C >一个]四. (10')求微分方程00"2'31414,'93x x y y y x y y ==+-=+⎧⎪⎨==⎪⎩的解. [315239x xy e e x -=---] 五. (10')曲线21(0)y x x =+≥. (1)求该曲线在点(2,5)处的切线方程L ; (2)求该曲线与切线L 以及y 轴所围图形的面积;(3)求题(2)所叙述的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. [8843;;33y x A V π=-==] 六. (10')一只容器由2(02)y x x =≤≤绕y 轴旋转而成. (1)如果容器内的水量是容器容量的14, 求容器内水面的高度; (2)如果要将题(1)中这部分水吸尽, 求外力需要作的功. [162;3h W g ρπ==]七. (12')(1)如果周期函数()()f x x R ∈有最小正周期0T , 证明对于()f x 的任意一个周期 T , 都有0T nT =, 其中n 是正整数; [记周期00[0,)T nT T -∈] (2)如果()()f x x R ∈以1T π=以及21T =为周期,证明存在一列{}n T (若i j ≠,则i j T T ≠) 使得n T 都是函数()f x 的周期, 并且数列{}n T 有极限; [1T 2T 非最小正周期, 存在321,n n T T T T -<⋅⋅⋅<为更小正周期] (3)如果满足题(2)条件的函数()f x 在点0x =连续, 证明()f x 是常数.[0,0εδ∀>∃>,当x δ<时,()(0)f x f ε-<;10,,0n n T T T x nT δδ--→∃<<-<]。

同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空题(4'416'⨯=)1. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0,'dx y dy y ≠=, 则223"'d x y dyy =-.2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1)tx f t y f e π=-⎧⎨=-⎩所确定的函数的 导数32t dydx ==.3. 极限111lim()ln 212n n n n n→∞+++=+++L .4. 微分方程22"5'6sin xy y y xex -++=+的特解形式为(不需确定系数)2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E-++++.二． 选择题(4'416'⨯=) 5. 设函数sin ()bx xf x a e=+在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足: [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><; ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥<6. 曲线1ln(1)x y e x-=++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线; ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7. 将0x +→时的无穷小量2sin ,,(1)xx t tdt tdt e dt αβγ===-⎰⎰排列起来, 使得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ] (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; (),,D γβα 8. 设函数()f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且20()(0)0,lim2x f x f x→==-, 则在该点处 ()f x : [C ] ()A 不可导; ()B 可导且'(0)0f ≠; ()C 取得极大值; ()D 取得极小值.三. 解答题(7'428'⨯=) 9. 求极限30sin sin(sin )limx x x x →-, [30sin 1lim 6t t t t →-==]10. 计算定积分24tan sec x x xdx π⎰[224400111(tan )(sec 1)28242xd x x dx ππππ==--=-⎰⎰]11. 计算反常积分221arctan (1)xdx x x +∞+⎰[2212210111113()arctan arctan ()[arctan ]ln 2124232xdx xd x x x x ππ+∞+∞+∞=-=--=+++⎰⎰] 12. 试求微分方程221(1)dy y x y dx x+=-的通解[221111()'()1(ln )2x x x x c y x y y -=-⇒=-+]四. (8')求曲线ln y x =上的点, 使此曲线在该点的曲率半径为最小.[312222221(1)(1)(21)1(0)'(ln 2)22x x x R x R K x x ++-==>⇒=⇒-] 五. (8')设不定积分n n I =,(1)计算01,I I ; (2)利用变换sin x t =, 建立(2,3,4,)n I n =L 的递推公式[(1)01arcsin ,I x c I =+=[(2)211n n n n I I x c n n---=-] 六. (8')设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续, 且在[,]a b 上()0g x >, 证明至少存在一点[,]a b ξ∈, 使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰. [minmax ()()()babaf xg x dxf fg x dx≤≤⎰⎰]七. (8')过坐标原点作曲线21(0)y x x =+≥的切线, 记该切线与此曲线及y 轴所围成的平 面图形为D , 试求:(1)平面图形D 的面积; (2)平面图形D 绕直线1x =旋转一周所成的旋转体的体积, [12,,32y x S V π===] 八. (8')已知22123,,x x x x x x xy xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某个二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解, 试写出该微分方程的通解并建立此微分方程. [212,"'2(12)xx x x y c ec e xe y y y x e -=++--=-]同济大学2010-2011学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空题(4'416'⨯=)1. 已知极限lim ()x e f x →存在, 且函数()f x 满足: ln 1()lim ()()ex e x e x x f x f x x e e-→-=+-, 则 2lim ()1x ee f x e →=-.2. 设函数2()ln(23)f x x x =+-, 则()11(2)(1)(1)!(1)5n n nf n -=--+.3. 不定积分1tan 1(tan ln tan )sin 22x dx x x C x +=++⎰.4. 定积分sin 2sin cos 03334x xx dx ππ=+⎰.二. 选择题(4'416'⨯=)5. 曲线32331(1)31t x t t t y t ⎧=⎪⎪+≠-⎨⎪=⎪+⎩的斜渐近线方程为 [A ] :1A y x =--; :1B y x =-; :1C y x =-+; :1D y x =+. 6. 曲线22162y x x =-上点(2,0)P 处曲率K = [B ] :0A ; :16B ; 1:16C ; :4D . 7. 设()f x 为(,)-∞+∞内连续的偶函数, '()()F x f x =, 则原函数()F x [C ] :A 均为奇函数; :B 均为偶函数;:C 中只一个奇函数; :D 既非奇函数也非偶函数.8. 设1s 为曲线sin y x =上相应于02x π≤≤的一段弧长, 2s 为椭圆2222x y +=的周长, 则 [D ] 12:A s s π-=; 12:B s s >; 12:C s s <; 12:D s s =. 三. 解答题(4'728'⨯=)9. 求极限302cos ()13lim x x x x→+-. [2cos ln 333001(cos 1)1lim lim 36xx x x e x x x x +→→--===-]10. 设()f x 是(,)-∞+∞内的连续的奇函数, 且0()lim 2x f x x +→=, 证明()f x 在0x =处可导,并求'(0)f . [00()(0)()(0)(0)0,lim lim 2'(0)00x x f x f f x f f f x x +-→→--====--] 11. 求定积分21[]max{1,}x x e dx --⎰, 其中[]x 表示不超过x 的最大整数.[0121102x I e dx dx dx e --=-++=-⎰⎰⎰]12. 判定反常积分2ln 1e x dx x +∞-⎰的收敛性, 如果收敛, 求出其值.[21ln 111(ln 1)()[]e e x I x d x x x e+∞+∞-=--=--=⎰] 四. (8')设()f x 是(,)-∞+∞内的连续函数, 且(0)0f ≠, 试求极限00()lim()xxx tf x t dt xf x t dt→--⎰⎰.[0()()()()1limlimlim[()()]2()()()x xxxx x x x x f u du uf u duf u duxf x f x f x f u duxf x f u duξξ→→→∞-====++⎰⎰⎰⎰⎰]五. (8')设可积函数()f x 在(,)-∞+∞内满足关系式: ()()sin f x f x x π=-+, 且当 [0,)x π∈时()f x x =, 试求3()f x dx ππ⎰.[2322(sin )(2)2I x x dx x dx πππππππ=-++-=-⎰⎰]六. (8')设n 为正整数, 函数2lim,0()100nx n x x f x e x x -→∞⎧≠⎪=--⎨⎪=⎩, 求曲线()y f x =与直线2xy =-所围平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积. [122202001()[()()]()1283,01x x x f x V dx x x x x πππ<⎧⎪=⇒=---=-⎨+-≥⎪+⎩⎰] 七. (8')求微分方程223(1)20dyx y xy dx-+=的通解. [22231111()'()()x x x C y y y y +=⇒=-]八. (8')令sin x t =, 化简微分方程22arcsin 2(1)x d y dyx xy e dx dx ---=, 并求其通解. [22222311sin ,cos cos cos dy dy d y d y dy t dx dt t dx dt t dt t ==+2arcsin arcsin arcsin 122arcsin 2t x xx d y x y e y C e C e e dt -⇒-=⇒=++]同济大学2011-2012学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=) 1. 极限31lim()2xx x e x →∞+=-.2. 若极限000(2)()lim3h f x h f x h→--=, 则03'()2f x =-.3.积分22216(3x x dx -+=⎰.4. 积分2cos 2cos 1sin 2xx xedx e C =-+⎰.5. 微分方程4"4'0y y y -+=的通解为1212()x y c x c e=+.6. 记41sin I xdx ππ-=⎰, 22sin I xdx ππ-=⎰, 23I x dx ππ-=⎰, 21sin I x xdx ππ-=⎰. 则这4项积分的大小关系为 [ B ] ()A 2134I I I I >>>;()B 3214I I I I >>>;()C 4132I I I I >>>;()D 1243I I I I >>>.7. 下列反常积分中收敛的反常积分是 [ A ] 211()2A dx x +∞+⎰;()e B +∞⎰; ()sin C xdx +∞-∞⎰; 101()1D dx x -⎰ 8. 若函数23ln(1)ln 2,1()11x x f x x a x ⎧+-≠⎪=-⎨⎪=⎩在1x =连续, 则常数 [ D ] ()A 23a =; ()B 23a =-; ()C 13a =-; ()D 13a =.二. 解答题(6'530'⨯=) 1.计算由曲线y =340x y -+=所围平面图形的面积.[21141)336A x dx -=-=⎰] 2. 若函数()u x 与()v x 具有n 阶导数, 试写出()()u x v x ⋅计算n 阶导数的莱布尼茨公式, 计算2xx e ⋅的10阶导数. [()()()2(10)1020[()()];()2(5)nn k k n k x x n k u x v x C u v xe e x -===+∑]3. 求函数2()(5)xf x x x e =+-的单调区间以及函数的极大与极小值.[4max min '(4)(1)(,4],[1,);[4,1];(4)7;(1)3x f x x e f e f e -=+-⇒-∞-+∞--==-Z ]]4. 计算反常积分221ln(1)x dx x +∞+⎰. [ln 22I π=+] 5. 求微分方程2"2'31,(0),'(0)73y y y y y +-===-的解. [331211233xx x x y c e c e e e --=+-=--]三. (8')在长度单位为米的坐标中, 由方程21x y =-与直线220x y --=围成的薄片铅直 的浸入水中, 其中x 轴平行于水面且在水下1米深处, 试求该薄片的一侧所受的水压力. [121(1)(221)4P g y y y dy g ρρ-=-+-+=⎰]四. (10')求积分1)x dx +⎰, [28ln 2393I π=+-]五. (10')1. 试求常数,a b , 使得函数在=201,12x x y x ax b ≤≤⎧=⎨<≤+⎩在区间[0,2]上可导; 2. 若由该曲线段绕y 轴旋转形成一个容器, 如果每单位时间以常量0v 向容器均匀 的注水, 试求该容器在水溢出前水深为h 时水面的上升速度.[2,1a b ==-;0220002,01()()'()''4,13(1)h v h h V h x y dy v V x h h h v h h ππππ⎧≤≤⎪⎪=⇒==⇒=⎨⎪<≤+⎪⎩⎰]六. (10')要建一个容积为14, 侧面为圆柱形, 顶部接着一个半球形的仓库(不含底部), 已知顶部每平方单位的造价是其侧面圆柱部分单位造价的3倍, 试求该仓库的底圆半径, 使得该仓库的造价最省.[2223f rh r ππ=+,2322281414(),'()033r h r f r r f r r r πππ+=⇒=+=⇒=L ] 七. (8')函数()f x 在0[,)x +∞上具有二阶导数, 并且"()0f x <, 对于任意0x x >, 由拉格 朗日中值定理, 存在0x x ξ<<, 使得00()()'()()f x f x f x x ξ-=-. 证明ξ定义了 0(,)x +∞上的一个单调增加函数.['()f x 递减()x ξξ=唯一确定(函数); 又可证00()()f x f x x x --], 可得()x ξ递增]同济大学2012-2013学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'8⨯)1. 函数()xf x xe -=的四阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为234411()()26f x x x x x o x =-+-+2. 2(1)x y ex -=+在1x =所对应点的曲率1025K =3. 极限lim(1ln )x aa x a a x a a a x→-=--4. 由方程222y y x x ++=所确定的函数()y y x =在(1,0)点的导数(1,0)32dydx =5. 函数()f x 在[0,)+∞上连续, 则数列极限lim ()n f n →∞存在是函数极限lim ()x f x →+∞存在的什么条件? [ B ] ()A 充分条件; ()B 必要条件; ()C 充分必要条件; ()D 无关条件. 6. 在区间[,]a b 上, 函数()f x 连续的充分条件是: [ B ] ()()baA f x dx ⎰存在; ()()B f x 可导; ()()C f x 具有原函数; ()()D f x 有界.7. 如果作换元2sin x t =, 则定积分222(4)f x dx -⎰等于 [ C ]40()(2cos )2cos A f t tdt π⋅⎰; 24()(2cos )2cos B f t tdt ππ⋅⎰;42()(2cos )2cos C f t tdt ππ⋅⎰; 04()(2cos )D f t dt π⎰.8. 可导函数()f x 在区间[0,1]上单调增加的充分条件是在该区间上 [ D ] 2()()(1)()x A f x e x o x ∆=-∆+∆; 1()()0B f x dx >⎰;()"()0C f x >; 4()()[1()]()D f x f x x o x ∆=+∆+∆. 二. (4'3⨯)1. 如图是函数()y f x =的图像, 试在下列空格中填入恰当的符 号: 0<; 0=或0>.44()0f x dx -<⎰;44'()0f x dx -=⎰;44"()0f x dx ->⎰;44"'()0f x dx -<⎰.2. 求极限12001lim (12)x t x t dt x →+⎰ [1220lim 2(14)2xx x e →=+=]3. 计算不定积分(1)ln(1)x x dx ++⎰[2211(1)ln(1)(1)24x x x c ++-++] 三. (6'3⨯) 1. 求曲线21x x y e-=的凹凸区间与拐点的坐标. [22'(32),"4(2):(,2];:[2,)xx y ex y e x --=-=-⇒⋂-∞⋃+∞; 拐点:4(2,)e -]2. 计算反常积分21(2ln ln )edx x x x +∞+⎰. [1ln 1ln ln 322ln 2e x x +∞==+]3. 一个由曲线段24(01)y x x =≤≤绕y 轴旋转形成的容器内装满了比重为γ的均匀液体, 如果要将该容器内的液体全部排空至少需要做多少功. [48(4)43y W y dy πγπγ=-=⎰] 四. (8')试用适当的换元法求微分方程22222()2()1dy x y x dx y x -=-+的通解. [2222222arctan 21du xu y x u x u u x c dx u -=⇒+=⇒-=-+⇒+L ] 五. (8')试说明闭区间上连续函数的像集是闭区间, 并举例说明在闭区间上, 像集是闭区间的函数未必连续. [最值定理; 介值定理; 反例略]六. (10')计算由曲线2xy e =, 该曲线经过坐标原点的切线以及y 轴所围成图形的面积, 并 求该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.[切线:2y ex =;切点:12x =; 1122222220023(2);[()(2)]412x x x e e A e ex dx V e ex dx ππ--=-==-=⎰⎰] 七. (10')试求微分方程22"cos y y x x +=+的通解.[221231;*cos 2sin 2;cos sin cos 226i y Ax Bx C D x E x y C x C x x x λ=±=++++=++--] 八. (10')()f x 是以T 为周期的连续函数, 若()Tf t dt A =⎰, 求极限01lim()xx f t dt x →+∞⎰.[0(0)(0)(0)1()()()()()()limlimlimTnTnT TnTn n n T T T f t dt f t dtf t dt f t dtn f t dt f t dtA n nT nT T T nθθθθθθθθθ+→∞→∞→∞≤<≤<≤<+++====+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰]同济大学2013-2014学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择与填空题(3'824'⨯=) 1. 极限262lim()1nn n e n -→∞-=+2. 利用定积分的几何意义，积分4-=⎰92π3. 微分方程"'120y y y +-=的通解为4312x xy C e C e -=+4. 已知敌方的导弹阵地位于坐标原点处，发射的导弹飞行轨迹为光滑曲线()y f x =，我方 拦截导弹的阵地位于x 轴正向2000公里处，发射的拦截导弹飞行速度是敌方导弹速度的 两倍，如果由计算机控制，在敌方导弹发射时我方的拦截导弹同时发射，并且我方导弹的 运行轨迹是直线，如果两导弹的相撞点为00(,)x y ，则该点满足的方程为2x =⎰5. 0{}x 是有界数列, 则该数列单调是数列极限存在的什么条件 【A 】 ()A 充分条件; ()B 必要条件; ()C 充分必要条件; ()D 无关条件.6. ()f x 是连续函数, 曲线段()()xaf t dt a x b ≤≤⎰的弧长s 的计算公式为 【C 】()a A s =⎰; ()a B s =⎰;()aC s =⎰; ()aD s =⎰无关条件.7. 函数()f x 具有三阶连续导数，如果"()0,[,]f x x a b >∈，则下列四项积分中，积分值 确定为正数的积分为 【A 】 ()['()'()]ba A I fb f x dx =-⎰; ()'()baB I f x dx =⎰;()[()()]baC I f x f a dx =-⎰; ()'"()baD I f x dx =⎰.8. 利用换元ln(1)x t =+, 积分2()x f e dx ⎰等于 【D 】20(1)()1f t A dt t ++⎰; 210()(1)e B f t dt -+⎰; 20(1)()1e f t C dt t ++⎰; 210(1)()1e f t D dt t -++⎰. 二. 计算下列各题(6'636'⨯=)1. 试计算由23ln 3x x y y +++=所确定的曲线在(1,1)点的切线方程.[22213'3470(31)4x y x y y x +=-=-⇒+-=+]2. 求由参数方程t tx e y e t-⎧=⎨=+⎩所确定函数()y y x =的导数22;dy d ydx dx . [22322();22t t t t dy d y e e e e dx dx =-+=+] 3. 求不定积分⎰[322(1)3x x c +-+] 4. 曲线段3:()L y x a x a =-≤≤的弧长为s , n D 是xoy 平面上与L 距离不超过n 的点集,即222{(,)(')('),(',')}n D x y x x y y n x y L =-+-≤∈,n D 的面积为n A ,求极限2lim nn A n →∞.[222()lim n n n A n A n s nπππ→∞≤≤+⇒=]三. (8')计算反常积分31arctan x dx x +∞⎰. [121arctan 11[arctan ]22x x x x +∞=-++=]四. (8')()f x 具有二阶导数, 如果极限201()(2)lim1x f x xf x x→++=-, 求(0),'(0),"(0)f f f . [(01,'(0)1,"(0)6f f f =-==-] 五. (8')可导函数()f x 满足方程40()2()1xf x tf t dt x -=--++⎰, 求函数()f x .[232(0)1,'()2()4()2(1)3x f f x xf x x f x x e -==-+⇒=-+] 六. (10')求函数231xx y xe ++=的单调区间与极值, 并求出该函数在区间[2,2]-上的最值.[23111'(21)(1)(,1],[1,],[,);22x x y x x e ++=++⇒-∞-↑--↓-+∞↑极小1()2y -=,极大1(1)y e -=-; 11min max 2(2),(2)2y y e e-=-=] 七. (10')计算由曲线21xy e=-, 直线41y e =-以及y 轴所围图形的面积; 并求出由该图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. [224244240031[(1(1)];2()(51)222x x A e e dx e V x e e dx πππ=---=+=-=-⎰⎰] 八. (8')计算极限12ln(1)0(12)limtxx x t dt t +→-⎰.[11222ln(1)(12)(12)1(ln(1)),ln(1)2txx t dt x x x x x L t eξξξξξ+--=-++<<⇒⇒=⎰:]同济大学2014-2015学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 极限23232lim()1nn n n e n -→∞-+=+2. xy xe =在1x =对应点的曲率k =3223(14)e e +3.反常积分1111dx xα-+⎰⎰收敛, 则常数α的取值区间是3(,2)2α∈4.1'(32)(32)2x x x e f e dx f e c -=--+⎰5. ()f x 在[,]a b (其中1b a =+)上具有二阶导数,且"()0f x <,下列不等式正确的是 【B 】 ()'()'()()()A f b f a f b f a <<-; ()'()()()'()B f b f b f a f a <-<; ()()()'()'()C f b f a f b f a -<<; ()'()()()'()D f a f b f a f b <-<.6. ()f x 是连续函数, 极限121lim()nn k k n f n n→∞=-⋅∑等于下面的定积分 【D 】 11()(21)A f x dx --⎰; 2()(21)B f x dx -⎰; 11()2()C f x dx -⎰; 1()(21)D f x dx -⎰.7. 如果数列{}n x 在任意区间[,]a b 上只含有有限项, 则下面判断中正确的判断是 【D 】 (){}n A x 是收敛数列; (){}n B x 是有界数列但不收敛;(){}n C x 是无界数列但是当n →∞时不是无穷大量; ()D 极限lim n n x →∞=∞.8. 223()(1)(2)(3)4f x x x x x =---+, 则'()0f x =在区间(1,1)-内有几个实根 【C 】 ()0A 个; ()1B 个; ()2C 个; ()D 至少3个.二. 计算下列各题(6'424'⨯=) 1. 求函数21232x x y e-++=的单调区间与凹凸区间.[2211232322'(2),"(1)(3)x x x x y x e y x x e-++-++=-=--]2. 求曲线2132y x ey -+=在(1,1)点的切线方程. [230x y +-=]3. 计算反常积分311arctan xdx x +∞⎰ [12] 4. 求微分方程"3'441y y y x --=+的通解. [41212x xy C e C e x -=+-+]三. (8')分析曲线1(1)ln()(0)y x e x x=++>是否有铅直、水平与斜渐近线, 如果有则求出 相应的渐近线. [铅直渐近线0x =; 斜渐近线11y x e=++]四. (8')已知(),()f x g x 都是非负的连续函数, 曲线()y f x =与()y g x =关于直线y c =对 称,由曲线(),()y f x y g x ==以及直线,()x a x b a b ==<所围成的平面图形的面积为A . (1)证明该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为2V cA π=; [22()()()2()bb baaaV f g dx f g f g dx c f g dx πππ=-=+-=-⎰⎰⎰](2)计算椭圆2214x y +≤绕直线2y =旋转所得旋转体的体积. [28V π=] 五. (8')设()f x 是可导函数, 并且满足方程220()()12xt f x tf dt x =++⎰, 求函数()f x .[2231(0)1,'()4()2()22x f f x xf x x f x e ==+⇒=-]六. (8')(1)写出ln(1)x +的带有佩亚诺余项的n 阶迈克劳林公式;(2)计算极限2lim 1(1)xx x e x→+∞+.[(1)12311(1)()23n n n x x x x o x n ---++++L;(2)221ln(1)lim lim 1(1)x x x xx x x e e x-+→+∞→+∞==+七. (10')由方程22,4y x y ==所确定的抛物型薄片铅直地浸入水中, 顶端与水面持平(长度 单位为米). (1)试求薄片一侧所受到的水压力; (2)如果此后水面以每分钟0.5米的速度开 始上涨, 试计算薄片一侧所受到的水压力的变化率.[(1)4(4P g y g ρ=-⎰; (2)40(,dP P g h y g dt ρ=-=⎰]八. (10')设222(0)nn n xy a a +=>所围图形在第一象限部分的面积为n A . (1)利用定积分写出n A 的计算公式(无需计算n A 的值); (2)证明极限lim n n A →∞存在; (3)计算极限lim n n A →∞.[(1)0an A =⎰;(2)1122220(1)n n a t dt A a a -≤=≤⎰⎰;(3)2lim n n A a →∞=]同济大学2015-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 极限1202lim()23h h h e h-→-=+.2. 积分(12sin )cos '(12sin )2f x x f x dx C--⋅-=+⎰.3. 函数220()sin(1)x F x t dt =+⎰的导函数4'()2sin(1)F x x x =+.4. 曲线322(1)1(12)3y x x =++-≤≤的弧长143s =.5. 极限0lim ()x x f x -→=+∞的定义是 【D 】()0,0A εδ∀>∃>, 当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; ()0,0B εδ∀>∃>, 当x δ>时, 有()f x ε>; ()0,0C M X ∀>∃>, 当x X >时, 有()f x M >; ()0,0D M δ∀>∃>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >.6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该方程的通解为 【D 】 112233()()()()A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数; 11223()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 11223()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 112233()()()()D C y x C y x C y x ++, 其中任意常数1231C C C ++=.7. 若()f x 是连续函数, 则极限121lim()2nn k n k f n n→∞=+∑等于 【A 】 3212()()A f x dx ⎰; 2()()B f x dx ⎰; ()C 12()f x dx ⎰; 10()()2xD f dx ⎰.8. 若对于积分0(2)af a x dx -⎰作换元2a x u -=, 则该定积分化为 【C 】()()aaA f u du -⎰; 0()2()a B f u du ⎰; ()C 1()2aa f u du -⎰; 0()()a D f u du ⎰.二. 计算下列各题(6'424'⨯=)1. 试求曲线2sin y x y x ++=在点(1,0)处的切线方程. [21x y +=] 2. 求不定积分2ln(1)x dx +⎰. [2ln(1)22arctan x x x x c +-++]3. 求微分方程3'xy x y =-的通解. [411()4y x c x =+] 4. 求微分方程"2'15153y y y x --=-的通解. [531213x xy C e C e x -=+-+]三. (8')计算由22y x x =+与直线2y x =+所围图形的面积. [1229(2)2x x dx ---=⎰]四. (8')计算反常积分31arctan x dx x +∞⎰. [211111arctan arctan 2222I x x x x +∞=---=]五. (8')已知'()y f x =的函数图像如图,(1)求函数()y f x =的单调区间、极大值与极小值; (2)求曲线()y f x =的凹凸区间与拐点.[35353(,],[,);[,];()x x x x f x -∞+∞]Z 极大,5()f x 极小124124[,],[,);(,],[,];x x x x x x +∞⋃-∞⋂拐点112244(,()),(,()),(,())x f x x f x x f x ] 六. (10')在半径为R 的半球内内接一圆锥体, 使得该锥体的锥顶位于半球的球心上, 锥体的 底面平行于半球的底面, 求这样的内接圆锥体体积的最大值.[322max 1(3),()3393V R h h V π=-=]七. (10')一椭球形容器由长半轴为2m , 短半轴为1m 的半支椭圆曲线绕其短半轴旋转而成,若容器内盛满了水, 试求要把该容器内的水全部吸出需作的功.[2221(10),4(1)(),4x y y dW y dy g y W g πρπ+=-≤≤=--=] 八. (8')已知()f x 具有二阶导数, 且221"()12x f x x +≥+, 判断lim ()x f x →∞的情况, 并给出判断的理由. [21"(),()(0)'(0)"()22f x f x f f x f x ξ≥=++→+∞]同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择填空题(3'824'⨯=)1. ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其 反函数1()x fy -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有 【A 】()'A k k =; 1()'B k k=; ()C 'k k >; ()'D k k <. 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ∆充分小时都有 2()1xy x o x x ∆=∆+∆+, 则有 【C 】 2221()()(1)x A f x x -=+; 2()()11xB f x x=++; ()C ()1f x =; ()D 题中所给的条件无法得到确定的函数()f x . 3. 下面的极限式中哪项等于连续函数()f x 的定积分2()f x dx ⎰. 【D 】12()lim()nn k k A f n n →∞=∑; 121()lim ()n n k k B f n n →∞=∑; 11()lim ()n n k k C f n n →∞=∑; 11()lim 2()nn k k D f n n →∞=∑.4.要使反常积分+∞⎰收敛, 则实数p 的取值范围是 【C 】 ()1A p >; ()1B p <; ()2C p >; ()2D p <.5. 如果作换元sin x t =,则积分30(sin )f x dx π=⎰.6. 微分方程231x y dye dx -+=的通解2113ln()32x y e C +=+.7. 已知2()x f x dx eC =+⎰, 则222(21)1(21)4x xf x dx e C --=+⎰.8.定积分3421[ln(1)2R Rx x dx R π-++=⎰.二. 计算题(8'324'⨯=) 1.求极坐标所表示的曲线4θρ=在04πθ=所对应点处的切线方程. [532x y e π-=]2.计算定积分211π+⎰. [2π]3. 可导函数()f x 满足等式20()()22xttf dt f x =-⎰, 求函数()f x . [22()2x f x e =]三. (10')已知函数()()f x x R ∈在点1x =左连续, 同时该点是函数()f x 的跳跃间断点, 如 果该函数只有1x =一个间断点, 试分析函数32(39)f x x x C +-+间断点的个数. [266C -<<三个; 6C =两个; 26C ≤-或6C >一个]四. (10')求微分方程00"2'31414,'93x x y y y x y y ==+-=+⎧⎪⎨==⎪⎩的解. [315239x xy e e x -=---] 五. (10')曲线21(0)y x x =+≥. (1)求该曲线在点(2,5)处的切线方程L ; (2)求该曲线与切线L 以及y 轴所围图形的面积;(3)求题(2)所叙述的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. [8843;;33y x A V π=-==] 六. (10')一只容器由2(02)y x x =≤≤绕y 轴旋转而成. (1)如果容器内的水量是容器容量的14, 求容器内水面的高度; (2)如果要将题(1)中这部分水吸尽, 求外力需要作的功. [162;3h W g ρπ==]七. (12')(1)如果周期函数()()f x x R ∈有最小正周期0T , 证明对于()f x 的任意一个周期 T , 都有0T nT =, 其中n 是正整数; [记周期00[0,)T nT T -∈] (2)如果()()f x x R ∈以1T π=以及21T =为周期,证明存在一列{}n T (若i j ≠,则i j T T ≠) 使得n T 都是函数()f x 的周期, 并且数列{}n T 有极限; [1T 2T 非最小正周期, 存在321,n n T T T T -<⋅⋅⋅<为更小正周期] (3)如果满足题(2)条件的函数()f x 在点0x =连续, 证明()f x 是常数.[0,0εδ∀>∃>,当x δ<时,()(0)f x f ε-<;10,,0n n T T T x nT δδ--→∃<<-<]。

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同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择填空题(3'824'⨯=)1. ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其 反函数1()x fy -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有 【A 】()'A k k =; 1()'B k k=; ()C 'k k >; ()'D k k <. 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ∆充分小时都有 2()1xy x o x x∆=∆+∆+, 则有 【C 】 2221()()(1)x A f x x -=+; 2()()11xB f x x =++;()C ()1f x =; ()D 题中所给的条件无法得到确定的函数()f x . 3. 下面的极限式中哪项等于连续函数()f x 的定积分2()f x dx ⎰. 【D 】12()lim()nn k k A f n n →∞=∑; 121()lim ()n n k k B f n n →∞=∑; 11()lim ()n n k k C f n n →∞=∑; 11()lim 2()nn k k D f n n →∞=∑.4.要使反常积分+∞⎰收敛, 则实数p 的取值范围是 【C 】 ()1A p >; ()1B p <; ()2C p >; ()2D p <.5. 如果作换元sin x t =,则积分30(sin )f x dx π=⎰.6. 微分方程231x y dye dx -+=的通解2113ln()32x y e C +=+.7. 已知2()x f x dx eC =+⎰, 则222(21)1(21)4x xf x dx e C --=+⎰.8.定积分3421[ln(1)2R Rx x dx R π-++=⎰.二. 计算题(8'324'⨯=) 1.求极坐标所表示的曲线4θρ=在04πθ=所对应点处的切线方程. [532x y e π-=]2.计算定积分211π+⎰. [2π]3. 可导函数()f x 满足等式20()()22xttf dt f x =-⎰, 求函数()f x . [22()2x f x e =]三. (10')已知函数()()f x x R ∈在点1x =左连续, 同时该点是函数()f x 的跳跃间断点, 如 果该函数只有1x =一个间断点, 试分析函数32(39)f x x x C +-+间断点的个数. [266C -<<三个; 6C =两个; 26C ≤-或6C >一个]四. (10')求微分方程00"2'31414,'93x x y y y x y y ==+-=+⎧⎪⎨==⎪⎩的解. [315239x xy e e x -=---] 五. (10')曲线21(0)y x x =+≥. (1)求该曲线在点(2,5)处的切线方程L ; (2)求该曲线与切线L 以及y 轴所围图形的面积;(3)求题(2)所叙述的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. [8843;;33y x A V π=-==] 六. (10')一只容器由2(02)y x x =≤≤绕y 轴旋转而成. (1)如果容器内的水量是容器容量的14, 求容器内水面的高度; (2)如果要将题(1)中这部分水吸尽, 求外力需要作的功. [162;3h W g ρπ==] 七. (12')(1)如果周期函数()()f x x R ∈有最小正周期0T , 证明对于()f x 的任意一个周期 T , 都有0T nT =, 其中n 是正整数; [记周期00[0,)T nT T -∈](2)如果()()f x x R ∈以1T π=以及21T =为周期,证明存在一列{}n T (若i j ≠,则i j T T ≠) 使得n T 都是函数()f x 的周期, 并且数列{}n T 有极限; [1T 2T 非最小正周期, 存在321,n n T T T T -<⋅⋅⋅<为更小正周期] (3)如果满足题(2)条件的函数()f x 在点0x =连续, 证明()f x 是常数.[0,0εδ∀>∃>,当x δ<时,()(0)f x f ε-<;10,,0n n T T T x nT δδ--→∃<<-<]。

2017高数B期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数f(x)=x^2+3x-4，求f(-4)的值。

A. 0B. 1C. -1D. -3答案：B2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的结果。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B3. 求解微分方程dy/dx = 2x的通解。

A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x^2 + 2x + CD. y = 2x^2 + C答案：A4. 判断函数f(x)=|x|在x=0处的连续性。

A. 连续B. 间断C. 可导D. 不可导5. 计算二重积分∬(D) x*y dA，其中D是由x^2 + y^2 ≤ 1定义的圆盘。

A. π/4B. π/2C. πD. 2π答案：C6. 判断级数∑(n=1 to ∞) (-1)^n/n的收敛性。

A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 绝对收敛答案：A二、填空题（每题4分，共20分）7. 函数f(x)=sin(x)的导数为______。

答案：cos(x)8. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率为______。

答案：39. 函数y=ln(x)的不定积分为______。

答案：x*ln(x) - x + C10. 计算极限lim(x→0) (1/x - 1/tan(x))的值为______。

答案：1/211. 计算定积分∫(0,π/2) sin(x) dx的值为______。

三、解答题（每题10分，共50分）12. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上的极值点。

解：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。

由于f''(x)=6x-6，当x=0时，f''(0)<0，为极大值点；当x=2时，f''(2)>0，为极小值点。

计算得极大值为f(0)=2，极小值为f(2)=-2。

《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]一、选择题（本题共5小题；每小题3分；共15分）1、若函数xx x f =)(；则=→)(lim 0x f x （ ）.A 、0B 、1-C 、1D 、不存在 2、下列变量中；是无穷小量的为（ ）. A 、1ln(0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）.A 、极大值点B 、极小值点C 、驻点D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）.A 、必要但非充分条件B 、充分但非必要条件C 、充分必要条件D 、既非充分又非必要条件5、下列无穷积分收敛的是（ ）. A 、⎰+∞sin xdx B 、dx ex⎰+∞-02 C 、dx x ⎰+∞1D 、dx x⎰+∞01二、填空题（本题共5小题；每小题3分；共15分）6、当k= 时；2,0(),x e x f x x k x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩在0=x 处连续.7、设x x y ln +=,则_______________dxdy=. 8、曲线x e y x-=在点（0；1）处的切线方程是 .9、若⎰+=C x dx x f 2sin )(；C 为常数；则()____________f x =10、定积分dx x xx ⎰-+554231sin =____________.三、计算题（本题共6小题；每小题6分；共36分）11、求极限 xx x 2sin 24lim 0-+→.12、求极限 2cos 12limxt x e dtx-→⎰.13、设)1ln(25x x e y +++=；求dy .14、设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧=+=t y t x arctan )1ln(2所确定；求dy dx 和22dx yd .15、求不定积分212sin 3dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰.16、设,0()1,01x e x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪+⎩；求20(1)f x dx -⎰.四、证明题（本题共2小题；每小题8分；共16分）17、证明：dx x x n m )1(1-⎰=dx x x m n )1(1-⎰ (N n m ∈,).18、利用拉格朗日中值定理证明不等式：当0a b <<时；ln b a b b ab a a--<<.五、应用题（本题共2小题,第19小题8分；第20小题10分,共18分）19、要造一圆柱形油罐；体积为V ；问底半径r 和高h 各等于多少时；才能使表面积最小？20、设曲线2x y =与2y x =所围成的平面图形为A ；求 （1）平面图形A 的面积；（2）平面图形A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积.《高等数学》试卷（同济六版上）答案一．选择题（每小题3分；本题共15分） 1-5 DBCAB 二．填空题（每小题3分；本题共15分）6、17、1xx+ 8、1y = 9、2cos2x 10、0 三、计算题（本题共6小题；每小题6分；共36分）11、解：x x x 2sin 24lim-+→x →= 3分01128x →== 6分12、解：2cos 12limxdt e x tx ⎰-→2cos0sin lim 2xx xe x-→-= 3分12e=-6分 13、解：)111(1122xxx y ++++=' 4分211x +=6分14、解：t t t t dx dy 21121122=++= 3分222232112()241d y t d dydxt dtt dt dxdx t t -+===-+ 6分15、解：212122sin(3)sin(3)(3)23dx d x x x +=-++⎰⎰ 3分 12cos(3)2C x=++ 6分 16、解：⎰⎰⎰⎰--+==-011112d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f 0110d 1xxe dx x -=++⎰⎰ 3分1010|ln(1)x e x -=++11ln 2e -=-+ 6分四、证明题（本题共2小题；每小题8分；共16分） 17、证明：11(1)(1)m n m n x x dx t t dt -=--⎰⎰ 4分11(1)(1)m nm nt t dt x x dx=-=-⎰⎰ 8分18、、证明：设f (x )=ln x , [,]x a b ∈；0a b <<显然f (x )在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 有()()'()(),.f b f a f b a a b ξξ-=-<< 4分由于1()f x x'=, 因此上式即为 l n l n b a b a ξ--=.又由.a b ξ<< b a b a b ab aξ---∴<< 当0a b <<时；ln b a b b a b a a--<< 8分五、应用题（本题共2小题,第19小题8分；第20小题10分,共18分） 19、解：2V r h π=∴表面积2222222222V V S r rh r rr r rππππππ=+=+=+ 4分令22'40VS r r π=-= 得r =2h =答：底半径r =2h = 8分 20、解：曲线2x y =与2y x =的交点为（1；1）； 2分于是曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 为31]3132[)(10210232=-=-=⎰x x dx x x A 6分A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：()πππ10352)(10521042=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰y y dy y y V 10分。

《高数》试卷1 (上)(A) y =x —1 (B ) y=_(x 1) (C ) y = I n X -1x -1 ( D ) y = x4•设函数f x =|x|，则函数在点x=0处( )5 .点x = 0是函数y = x 4的( )16.曲线y的渐近线情况是( ).|x|(A )只有水平渐近线(B )只有垂直渐近线(C )既有水平渐近线又有垂直渐近线(D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7.f — _2dx 的结果是().l x /Xf 1 Lf 1 L CLf 1 L (A ) f 一丄 C(B ) —f -丄 C (C ) f 1 C (D ) 一 f - CI X 丿 I X 丿 l x 丿J x 丿dx& 匚出的结果是().e e(A ) arctane x C (B ) arctane" C (C ) e xC (D ) ln(e x e^) C9.下列定积分为零的是().1.下列各组函数中 ，是相同的函数的是 ( ).(A ) f (x ) = lnx 2 和 g (x ) = 2lnX(B )f( x ) =| x|和g (x )=J?(C ) f (X )=X和 g (x ) = (T X )(D )f (X )=|x|和Xg (x )“Jsinx+4 -2x 式02.函数 f (X )= *In (1 +x )在X = 0处连续，则 a =( )ax = 0(A ) 0( B 1 - (C ) 1(D ) 243•曲线y = xln x 的平行于直线x - y T = 0的切线方程为()(A )连续且可导 (B )连续且可微(C )连续不可导(D )不连续不可微(A )驻点但非极值点(B )拐点 (C )驻点且是拐点(D )驻点且是极值点「•选择题(将答案代号填入括号内，每题 3分，共30分)10.设f x 为连续函数，则 o f ' 2x dx 等于（1 _ 1（A ）f 2-f 0（B ）^-f 11 -f 0 （C ）p 二•填空题（每题 4分，共20 分）dx②.罟予a 0JI（A ）］学買弘（B ） txarcsinxdx （C ）1 x 21e x■ e■_1_xdx 2x sin x dx1.设函数f x 二 x^0在x =0处连续, x = 02. 已知曲线y = f x 在x =2处的切线的倾斜角为3.4.Xy =— 的垂直渐近线有x -1 dx 5.x 1 In 2xi ,ix sin x cosx dx =~2"三.计算（每小题 5分，共30分） 求极限 （1+x ¥x迎CT 丿1.2. 3. ②lim x ）0x -sin xx 2x e -1求曲线y =ln x y 所确定的隐函数的导数 y x .求不定积分 四.应用题（每题 10分，共20分） 1.作出函数y =x 3 -3x 2的图像._f 2 - f 0（D ）dxxe^dx《高数》试卷1参考答案一•选择题1. B2. B3. A 4• C 5. D 6. C 7• D 8. A 9• A 10. C二.填空题1. -22.3.24. arcta nln x c5.23三.计算题2 I 11①e ②一2. y x 二 --------------6 x + y_13.①丄ln| 口| C ② In | x2- a2x| C ③-e」x 1 C2 x+3四.应用题1.略2. S =18x - a。

同济大学高等数学考试题高等数学(上)期中考试试卷 1(答卷时间为 120 分钟)一.选择题(每小题 4 分)1.以下条件中( )不是函数 f ( x) 在 x0 处连续的充分条件.(A) lim f ( x) , lim f ( x0 ) (B) lim f ( x) , f ( x0 ) x x0 ，0 x x0 0 x x0(C) f ,( x0 ) 存在 (D) f ( x) 在 x0 可微2.以下条件中( )是函数 f ( x) 在 x0 处有导数的必要且充分条件. (A) f ( x) 在 x0 处连续 (B) f ( x) 在 x0 处可微分f (x0 ， x) f (x0 x) lim f ,( x) 存在 (D)存在 (C) lim x 0 x x0x 1 的( )间断点. 3. x , 1是函数 f ( x) , sin x (A)可去 (B)跳跃 (C)无穷 (D)振荡4.设函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续并在开区间 (a, b) 内可导，如果在 ( a , b ) 内). f ,( x) , 0 ，那么必有((A)在 [ a , b ] 上 f ( x) , 0 [ a , b ] 上 f ( x) 单调增加 (B)在(C)在 [ a , b ] 上 f ( x) 单调减少 (D)在 [ a , b ] 上 f ( x) 是凸的5.设函数). f ( x) , ( x 2 3x ， 2) sin x ，则方程 f ,( x) , 0 在 ( 0 , ) 内根的个数为( (A)0 个 (B)至多 1 个 (C) 2 个 (D) 至少 3 个二.求下列极限(每题 5 分)ln b (1 ， ax) ax ， b sin x ( a , 0 ). ( c , 0 ). 1. lim 2. lim x 0 x sin ax cx ， d cos x1 a sin x x2 4. lim . 3. lim e x 1 x ( a , 0 ). x x 0 x三.求下列函数的导数(每题 6 分)x 1. y , ln tan cos x ln(tan x,求) y, . 22.设 F ( x) 是可导的单调函数，满足 F ,( x) , 0 ， F (0) , 0 .方程F ( xy) , F ( x) ， F ( y)dy 确定了隐函数 y , y( x) ，求 . dx x,0d 2 y ,,x , ln 1 ， t 2 确定的函数，求 . 3.设 y , y( x) 是参数方程 , dx 2 ,; y , arctan tx , 0 ,ln(x ， e) ( a , 0 )，问 a 取何值时 f ,(0) 存在,. 4.设函数 f ( x) , , x x , 0 ;a x e 四.(8 分)证明:当 x , 0 时有 e , x ，且仅当 x , e 时成立等式. 五.(8 分)假定足球门宽度为 4 米，在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带1球前进，问:他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角,4 6, x六.(10 分)设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，在区间 (a, b) 内有二阶导数 .如果 f (a) , f (b) 且存在 c (a, b) 使得 f (c) , f (a) ，证明在 (a, b) 内至少有一点 , ，使得. f ,,(, ) , 0七.(10 分)已知函数 y , f ( x) 为一指数函数与一幂函数之积，满足: (1) lim f ( x) , 0 ， lim f ( x) , ， ; x ， x(2) y , f ( x) 在 ( ,， ) 内的图形只有一条水平切线与一个拐点. 试写出f ( x) 的表达式.高等数学(上)期中考试试卷 2(答卷时间为 120 分钟)一.填空题(每小题 4 分)x , 0 ,,(1 sin 1x x )在 x , 0 连续，则 a , . 1.已知函数 f ( x) , , x , 0 ,;a1 2. x , 0 是函数 f ( x) , 的间断点.(可去.跳跃.无穷.振荡) 1 e x ，1 f ( x0 3, ) f ( x0 ) , . 3.若 f ,( x0 ) , 1 ，则 lim , 0 2,2 ). 4.函数 f ( x) , ( x 3x ， 2) sin x 在 ( 0 , ) 内的驻点的个数为( (A)0 个 (B)至多 1 个 (C) 2 个 (D) 至少3 个5.设 a , 0 ，若 lim ax 2 ， bx ， c ， dx , e ，则 a 与 d 的关系是 . x ，二.计算题(每题 6 分), 1 1 ,, . 1.求 lim, x 0 , ln(1 ， x) x ,12.求 lim，cos x，x 2 x 0x 3. y , ln tan cos x ln(tan x,求) y, . 22,,x , e t cos t d 2 y 确定的函数，求 4.设 y , y( x) 是参数方程 , dx 2 ,; y , t sin e tsin x cos x 5.求 dx . ， 1 ， sin 4 xdx 6.求， x x 2 1三.(8 分)证明:当 0 , x , 时有 sin x ， tan x , 2 x .2f ( x) 有二阶导数，且 f (0) , 0 ，又满足方程 f ,( x) ， f ( x) ,x ，证四.(8 分)设函数明 f (0) 是极值，并说出它是极大值还是极小值,m n 五.(8 分)设 a 和 b 是任意两个满足 ab , 1的正数，试求 a ， b 的最小值(其中常数 m n , 0 ) ` 六.(10 分)设函数 f ( x) 在区间 [ 0 , 1 ]上可导，且 0 , f ( x) , 1，证明 , ( 0 , 1 ) ，使得 f (, ) , , ;又若 f ,( x) , 1( x ( 0 , 1 ) )，证明这样的 , 是唯一的.七.(10 分)(1)设 (an ) n,1 是单调增加的正数列，在什么条件下，存在极限lim a n , n1 n n n n ， a ，试用夹逼准则证明，， (2)对上述数列 (a n ) n,1 ，令 xn , a1 ， a2 ， nlim xn , lim a n . n n3高等数学(上)期末考试试卷 1(答卷时间为 120 分钟)一.填空题(每题 4 分)1.函数 f ( x) 在 [ a , b ] 上有界是 f ( x) 在 [ a , b ] 上可积的条件，函数 f ( x)条件. 在 [ a , b ] 上连续是 f ( x) 在 [ a , b ] 上可积的1 2.函数 y , ，它是间断点. 的间断点为 x = 1 ， tan x3.当 x 0 时，把以下的无穷小: x (A) a ，a ,1 0,， a; , 1(B) x sin x ;(C)1 cos 4 x ; (D) ln(1 ， x )，，，按 x 的低阶至高阶重新排列是 .(以字母表示)1 ,2 1(n 1) , ， sin 4. lim dx = . ,, = ， 0 ,,sin n ， sin n ， n n n1 5.设函数 f ( x) 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续，且 f ( x)dx , 0 ，则存在 x0 (0,1) ，使， 0f ( x0 ) ， f (1 x0 ) , 0 .证法如下:x 1 令 F ( x , )f (t)dt ， x [0,1] ，则 F ( x) 在闭区间 [0,1]上连续，在开区间， f (t )dt ，， 0 1 x，故根据微分学中的定理知， (0,1) 内，且 F (0) , ， F (1) ,x0 (0,1) 使得 F ,( x0 ) , f ( x0 ) ， f (1 x0 ) , 0 ，证毕.二.计算题(每题 6 分)1c x 1.若 lim (1 ， x) , e 2 ，求 c 的值. x 0y 2.设 y , y( x) 是由方程 e ， y , sin( xy) 确定的隐函数，求 y, . x 2 t 2 ，e ， 1 dt ， 0 3.求极限 lim . x 0 ln(1 ， x 6 )ln x 4.求 dx ， x4 2 5.求 x)dx . ， x(sin ，x cos 2 ， dx 6.求 2 ， x 4 x 2 1x 2 1 三.(8 分)设 f ( x) , ， e t dt ，求， f ( x)dx 1 0x 四(8 分)设函数 f ( x )在区间 [ 0 , 1 ]上连续，且 f ( x ,) 1，证明方程 2 x f (t )dt , 1 . 0 ，在开区间 (0,1 ) 内有且仅有一个根.1 2 所围成的图形绕直线 y , 1旋转而成的五.(8 分)求由抛物线 y , 2 x 与直线 x , 2 立体的体积.12 x 2 ，其线密度为， , k y ，R(k , R) 求六.(8 分)设半圆形材料的方程为 y ,该材料的质量.七.(12 分)在一高为 4 的椭圆底柱形容器内储存某种液体，并将容器水平放置，如果x 2 ， y 2 , 1(单位:m)，问: 椭圆方程为 4(1)液面在 y( 1 , y , 1) 时，容器内液体的体积V与 y 的函数关系是什么, y(2)如果容器内储满了液体后以每分钟 0.16m3 的速度将液体从容器顶端抽出，当液面在 y , 0 时，液面O x 下降的速度是每分钟多少 m,)，抽完全部液体 (3)如果液体的比重为 1( N m 3需作多少功,高等数学(上)期末考试试卷 2(答卷时间为 120 分钟)一.填空题(每小题 4 分)条件;导数 f ,( x0 ) 存在是函 1.极限 lim f ( x) 存在是函数 f ( x) 在x0 处连续的 x x0条件. ——填入适当的字母即可: 数 f ( x) 在 x0 处连续的(B)必要 (A)充分(C)充分且必要 (D)既不充分也不必要f ( 2h) f ( h) 2.若 f ,(0) , 1，则 lim , . ,h 3.设 f ( x) , x( x1)(2 x 1)(3x 1) (nx 1) ，则 f ,,( x) 在 ( 0 , 1 ) 内有个零点. 0， [ 1 ， xf (sin x)]d x , 4.设 f ( x )是 [ 1 , 1 ]上连续的偶函数，则 .5.平面过点 ( 1 , 1 , 1 ) ， ( 2 , 2 , 2 ) 和 ( 1 , 1 , 2 ) ，则该平面的法向量为 .二.基本题(每小题 7 分)(须有计算步骤)2 x ln(1 ， t)dt， 0 1.求极限 lim . x 0 1 cos x， 4 2.求定积分 x tan 2 xdx . 0 y 2 3.设 y , y( x) 是方程 e ， e t dt x 1 , 0 确定的隐函数，证明 y , y( x) 是单调增加 y ，函数并求 y, x,0 .1 u 3 4.求反常积分 du . ， 0 1 u 22m n 三.(10 分)设 a 和 b 是任意两个满足 a ， b , 1 的正数，试求 a , b 的最大值(其中常数 m n , 0 ) ` 3 四.(10 分)一酒杯的容器部分是由曲线 y , x ( 0 , x , 2 ，单位:cm)绕 y 轴旋转 3 而成，若把满杯的饮料吸入杯口上方2cm 的嘴中，要做多少功,(饮料的密度为 1g/cm )五.(10 分)教材中有一例叙述了用定积分换元法可得等式xf (sin x)dx , f (sin x)dx . ， 0 2 ，0如果将上式左端的积分上限换成 (2k 1) ( k Z )，则将有怎样的结果,进一步设kTf ( x) 是周期为 T 的连续的偶函数，， xf (x)dx 将有怎样相应的表达式,六(10 分)设动点 M ( x , y , z) 到 xOy 面的距离与其到定点 (1 , 1 , 1 ) 的距离相等，M .2 的轨迹为 , .若 L 是 , 和柱面 2 z , y 的交线在 xOy 面上的投影曲线，求 L 上对应于1 , x ,2 的一段弧的长度.xf 0 (t )dt ， 0 . ( x) 是 [ 0 , ， ) 上的连续的单调增加函数，函数 f ( x) , 七.(12 分)设 f 0 1 x(1)如何补充定义 f1 ( x) 在 x , 0 的值，使得补充定义后的函数(仍记为f1 ( x) )在 [ 0 , ， )上连续,2)证明( f1 ( x) , f 0 ( x) ( x , 0 )且 f1 ( x) 也是 [ 0 , ， ) 上的连续的单调增加函数;x x x f1 (t )dt f 2 (t)dt f n 1 (t )dt ，，， 0 0 0 ，则对任意的( x) , ( x) , ( x) , ，…， f n (3)若 f 2 ， f 3 x x xx , 0 ，极限 lim fn ( x) 存在. n3高等数学(下)期中考试试卷 1(答卷时间为 120 分钟)一.填空题(每小题 6 分)1.有关多元函数的各性质:(A)连续;(B)可微分;(C)可偏导;(D)各偏导数连续，它们的关系是怎样的,若用记号“ X , Y ”表示由 X 可推得 Y ，则) ,( , ( )( . ) , , ) ;(2 2 ，该点处各方向导数中的最 2.函数 f ( x, y) , x xy ， y 在点 ( 1 , 1 ) 处的梯度为大值是 .，平面曲线 3.设函数 F ( x, y) 可微，则柱面 F(x, y) , 0 在点 (x, y, z) 处的法向为,F(x, y , 0 )在点 ( x, y) 处的切向量为 . , z , 0 ; 1 4.设函数 f ( x, y) 连续，则二次积分 f ( x, y)dy , . ， dx， sin x 2 1 f ( x, y)dx ; (A) (B) ， dy，， dy， 0 ，arcsin y 1 ，arcsin y f ( x, y)dx ; (C) (D) ，dy，， dy， 0二.(6 分)试就方程 F ( x, y, z) , 0 可确定有连续偏导的函数 y , y( z, x) ，正确叙述隐函数存在定理.三.计算题(每小题 8 分)1.设 z , z( x, y) 是由方程 f ( x z , y z) , 0 所确定的隐函数，其中 f (u, v) 具有连续的偏导数f f z z 且， , 0 ，求，的值. y u v x2. 设二元函数 f (u, v) 有连续的偏导数，且 f u (1,0) , fv (1,0) , 1 . 又函数 u , u( x, y) 与,x , au ， bv 2 2 ( a ， b , 0 )确定，求复合函数 z , f [u( x, y),v( x, y)]的偏导 v , v( x, y )由方程组 , ; y , au bvz z 数， . x y ( x, y ),( a , a ) ( x, y ),( a , a )2 2 3.已知曲面 z , 1 x y 上的点 P 处的切平面平行于平面 2 x ， 2 y ，z , 1，求点 P 处的切平面方程.x 3 4 计算二重积分: x 为边界的曲边三，， sin y d, ，其中 D 是以直线y , x ， y , 2 和曲线 y , D角形区域.2 2 2 2 5.求曲线积分 ( x ， y )dx ， ( x y )dy ， L 为曲线 y , 1 | 1 x | 沿 x 从 0 增大到 2 的方向. ， L五.(10 分)球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”;同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明:球半径为 R 高为 h 的球冠的面积与整1个球面面积之比为 h : 2R .六(10 分)设线材 L 的形状为锥面曲线，其方程为:x , t cos t ，y , t sin t ，z , t( 0 , t , 2 )，其线密度， ( x, y, z) , z ，试求 L 的质量.2 2点的引力.高等数学(下)期中考试试卷 2(答卷时间为 120 分钟)一.简答题(每小题 8 分),, x2,tcost;xz 2.方程 xy z ln y ， e , 1在点 (0 , 1 , 1 ) 的某邻域内可否确定导数连续的隐函数 z , z( x, y) 或y , y( z, x) 或 x , x( y, z) ,为什么,3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路:x 2 y 2 z 2 设椭球面 a 2 b c小距离.3f x (1 ,1) .2u 二.(8 分)设函数 f 具有二阶连续的偏导数， u , f ( xy , x ， y) 求 . x y三.(8 分)设变量 x , y , z 满足方程 z , f ( x, y) 及 g ( x, y, z) ,0 ，其中 f 与 g 均具有连续的偏dy 导数，求 . dx,xyz , 0, 在点 (0，，) 处的切线与法平面的方程. 四.(8 分)求曲线 , 2 D y 2 五.(8 分)计算积分) ，， e，其中 D 是顶点分别为 ( 0 , 0 ) . ( 1 , 1 ) . ( 0 , 1 ) 的三角形区域. dxdy2 2 2 ) 2 ， ( y 2 ) 2 , 9 上的最大值和最小值.2 22 x 2 ， y 2 , 1000 上的点.(1)问: z 在点 M ( x, y) 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率; .2)攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点 M 使得上述增 (长率最大，请写出该点的坐标.2 2七.(10 分)求密度为 , 的均匀柱体 x ， y , 1 ， 0 , z , 1，对位于点 M ( 0 , 0 , 2 ) 的单位质处的切平面，与平面 x ， y ， z , 0 平行.(1)写出曲面 , 的方程并求出点 M 的坐标;2, 3 , 1 处的切线方程. 1.求曲线 , y , 3 ， sin 2t 在点,z , 1 ， cos 3t， 2 ， 2 , 1与平面 Ax ， By ， Cz ， D , 0 没有交点，求椭球面与平面之间的最 4.设函数 z , f ( x, y) 具有二阶连续的偏导数， y , x 是 f 的一条等高线，若 f y (1 ,1) , 1，求1 1;x y 1 , 0六.(8 分)求函数 z , x ， y 在圆 ( x七 . ( 14 分 ) 设一座山的方程为 z , 1000 2x y ， M ( x, y )是山脚 z , 0 即等量线八(14 分) 设曲面 , 是双曲线 z 4 y , 2( z , 0 的一支)绕 z 轴旋转而成，曲面上一点 M .2 2 (2)若 , 是 , . ，和柱面 ,，1 yx 围成的立体，求 , 的体积.3高等数学(下)期末考试试卷 1(答卷时间为 120 分钟)一.简答题(每小题 5 分，要求:简洁.明确)2 2 1.函数 z , y x 在点 (1 , 1) 处沿什么方向有最大的增长率，该增长率为多少, xz 2.设函数 F (x, y, z ,) (z ， 1) ln y ， e 1，为什么方程 F(x, y, z) , 0在点 M(1, 1, 0) 的某个邻域内可以确定一个可微的二元函数 z , z( x, y) ,2 3 3.曲线 x , t 1 , y , t ， 1 , z , t 在点 P(0 , 2 , 1) 处的切线方程是什么,2 y2 4.设平面区域 D : x2 ， ,1 (a , 0,b , 0) ,积分，， (ax3 ， by 5 ， c)dxdy 是多少, b2 a D n n 5.级数的收敛域是什么, 2 n 2 ， 1 xn,0 ,,e x ， 1, 0 , x , , ) ，问级 6.设函数 f ( x) , , 的傅里叶系数为a0 , a n , bn (n , 1,2,3,,;e x 1, , x , 02 ，数 a0 ,n 1 a n 的和是多少, 2二.计算积分2 1.(8 分) I , sin x dx ， dy， y x 2 y 2 , 1 ( y , 0) 取逆时针方2.(8 分) I , ( x ， y)dx ， ( y x)dy ， L 为上半椭圆 x 2 ，， b2 a L向.z , y 2 , ,(0 , z , 2) 绕 z 轴旋转而成的曲面. 三.(12 分)设 , 是由曲线 ,;x , 0(1)写出 , 的方程和 , 取外侧(即朝着 z 轴负方向的一侧)的单位法向量;2 )dzdx ， (8 y ， 1) zdxdy . (2)对(1)中的定向曲面 , ，求积分I , ，,， 4(1 y2 2 2 四.(10 分)求微分方程 (1 ， x ) y, , xy ， x y 的通解x (0 , x , ) 展成正弦级数. 五.(10 分)把函数 f ( x , )2六.应用题x 2 y 2 z 2 1.(10 分)求曲面， 2 ， 2 , 1 (a , 0, b , 0, c , 0) 在第一卦限的切平面，使 a 2 b c该切平面与三个坐标面围成的四面体的体积为最小，并写出该四面体的体积.2.(12 分)设 , 是由曲面 z , ln x 2 ， y 2 与平面 z , 0 , z , 1所围成的立体. 求:(1) , 的体积V ;(2) , 的表面积 A .1高等数学(下)期末考试试卷 2(答卷时间为 120 分钟)一.填空题(每小题 4 分)z z 1.函数 z , f ( x, y )的偏导数在区域 D 内连续是 z , f ( x, y) 在D 内可微的与 x y条件.(充分，必要，充要)2.函数 z , f ( x, y) 在点 ( x0 , y 0 ) 处沿 l , {cos， , cos , }的方向导数可以用公式f , f x ( x0 , y0 ) cos，， f y ( x0 , y0 ) cos , 来计算的充分条件为 z , f ( x, y) 在点 l.(连续，偏导数存在，可微分) ( x0 , y 0 ) 处x x 3.若三阶常系数齐次线性微分方程有解 y1 , e . y2 , xe . y3 , ex，则该微分方程为 .0.5 , x , 1 ,x ，则它的傅里叶 4.周期为 2 的函数 f ( x) 在一个周期内的表达式为 , 1 , x , 0.5 ;1级数在 x , 3.5 处的和为 .n x 5.幂级数 . ln n 的收敛域是 n,2二.(8 分)设函数 f (u, v) 有二阶连续的偏导数，且 f u (0,0) , 1， f v (0,0) , 1 . 函数x 2 z z , f . xy , ，求 x y y ( x, y, )( 0 , 1 )2 2 三.(8 分)求抛物面 z , x ， y 到平面 x ， y ， z ， 1 , 0 的最近距离.四.计算下列积分:(每题 8 分)2 x1. d, ，其中 D 为三直线 y , 0 . y , x 与 x , 1所围成的平面区域. ，， e D2.，,， xydydz ， yzdzdx ， zxdxdy ，其中 , 是平面 x , 0, y , 0, z , 0 及 x ， y ， z , 1所围成的四面体的边界面的外侧., y z , 0 ，从 z 轴正向看去，沿逆时针方向. 3. xyz dz ，其中 , 是曲线 , 2 2 2 ， ;x ， y ， z , 1 ,五.级数( 1) n 1 1.(8 分)设 an 是等差数列，公差 d , 0 ，s n , a1 ， a2 ，， a n .问:级数 s n n,1是绝对收敛还是条件收敛或是发散的,说明理由.( 1)n 1 2 n x 的收敛域与和函数 s( x) . 2.(12 分)求幂级数 n ,1 2n 1六.微分方程1.(8 分)求微分方程 xy, ， y , x ln x 的通解.2.(12 分)设函数 f ( x) 有二阶连续的导数且 f (0) , 0 ， f ,(0) , 1 .如果积分2 f ( x)] y dx ， [ f ,( x) ， y] dy ， [ x L2L 的路径无关，求 f ( x) . 与3。