江苏省无锡市天一中学高一(上)期末数学试卷(强化班)

2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上． 1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则（∁U A ）∩（∁U B ）= ．2．已知向量，若，则实数m= ．3．已知，3sin2α=2cos α，则cos （α﹣π）= ．4．函数f （x ）=（sinx ﹣cosx ）2的最小正周期为 ．5．设α∈，则使幂函数y=x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为 ．6．若向量，满足||=，||=1， •（+）=1，则向量，的夹角的大小为 ．7．已知﹣＜θ＜，且sin θ+cos θ=，则tan θ的值为 ．8．设且，则f （f （2））= ．9．设函数f （x ）=3|x|，则f （x ）在区间（m ﹣1，2m ）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是 ．10．已知，，则tan （β﹣2α）等于 ．11．函数f （x ）=2sin （πx ）﹣，x ∈[﹣2，4]的所有零点之和为 ．12．已知函数f （x ）=log a（0＜a ＜1）为奇函数，当x ∈（﹣1，a ]时，函数f （x ）的值域是（﹣∞，1]，则实数a +b 的值为 ． 13．已知函数（a ≠0，b ∈R ，c ＞0），g （x ）=m [f （x ）]2﹣n （mn ＞0），给出下列三个命题：①函数f （x ）的图象关于x 轴上某点成中心对称；②存在实数p 和q ，使得p ≤f （x ）≤q 对于任意的实数x 恒成立； ③关于x 的方程g （x ）=0的解集可能为{﹣4，﹣2，0，3}． 则是真命题的有 ．（不选、漏选、选错均不给分） 14．在斜三角形△ABC 中，A=45°，H 是△ABC 的垂心，λ=+，则λ= ．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设集合A={2，3，a 2+2a ﹣3}，B={x ||x ﹣a |＜2}（1）当a=2时，求A∩B；（2）若0∈A∩B，求实数a的值．16．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα）（1）若∥，试求sinα；（2）若⊥，且α∈（0，），求cos（2α﹣）的值．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间（0，）上的对称中心、对称轴；（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x），令h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值，并指出此时x的值．18．已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧、弧的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．（1）用θ及R表示S1和S2；（2）求的最小值．19．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．20．对于定义在R上的函数f（x），定义同时满足下列三个条件的函数为“Z函数”：①对任意x∈（﹣∞，a]，都有f（x）=C1；②对任意x∈[b，+∞），都有f（x）=C2；③对任意x∈（a，b），都有（f（x）﹣C1）（f（x）﹣C2）＜0．（其中a＜b，C1，C2为常数）（1）判断函数f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1和f2（x）=x﹣|x﹣2|是否为R上的“Z函数”？（2）已知函数g（x）=|x﹣2|﹣，是否存在实数m，使得g（x）为R上的“Z函数”？若存在，求实数m的值；否则，请说明理由；（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，令h（x）=|f（x）|，若h（2a2+a）=h（4a），求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则（∁U A）∩（∁U B）={1} ．【分析】根据交集与补集的定义，进行化简与运算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，∴∁U A={1，4}，B={3，4}，∴∁U B={1，2}，∴（∁U A）∩（∁U B）={1}．故答案为：{1}．2．已知向量，若，则实数m=﹣1．【分析】先将向量，表示出来，再由二者共线即可得到答案．【解答】解：由题意知，=（1，3）﹣（0，1）=（1，2）=（m，m）﹣（0，1）=（m，m﹣1）∵∴存在实数λ使得即（1，2）=λ（m，m﹣1）解得，λ=﹣1，m=﹣1故答案为：﹣13．已知，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）=．【分析】由条件利用二倍角公式求得sinα=，再利用同角三角函数的基本关系求出cosα的值，再利用诱导公式求出cos（α﹣π）的值．【解答】解：∵，3sin2α=2cosα，∴6sinα•cosα=2cosα，解得sinα=，∴cosα=﹣．故cos（α﹣π）=cos（π﹣α）=﹣cosα=，故答案为．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．5．设α∈，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为{1} ．【分析】分别验证α取不同的值时，函数y是否满足题意即可．【解答】解：当α=﹣1时，函数y=x﹣1的定义域为{x|x≠0}，不满足题意；当α=1时，函数y=x的定义域为R，且为奇函数，满足题意；当α=时，函数y=的定义域为{x|x≥0}，不满足题意；当α=时，函数y=x﹣1的定义域为R，且为偶函数，不满足题意；综上，满足题意的所有α值为{1}．故答案为：{1}．6．若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．【分析】先由已知条件求出•=﹣1，代入两个向量的夹角公式求出cosθ的值，结合θ的范围求出θ值．【解答】解：设，的夹角为θ．∵•（+）=1，∴+•=1，又∵||=，∴•=﹣1．∴cosθ===﹣．又∵0≤θ≤π，∴θ=．故答案为．7．已知﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，则tanθ的值为﹣．【分析】由条件判断tanθ＞﹣1，再根据sinθcosθ==﹣，求得tanθ的值．【解答】解：∵﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，∴1+2sinθcosθ=，即sinθcosθ=﹣＜0，∴θ∈（﹣，0），则tanθ＞﹣1．再根据sinθcosθ===﹣，求得tanθ=﹣（舍去），或tanθ=﹣，故答案为：﹣．8．设且，则f（f（2））=6．【分析】通过，求出a的值，然后求出f（2），即可求解所求表达式的值．【解答】解：因为设且，所以，所以a=7，f（2）==log73，f（f（2））=f（log73）=2=6．故答案为：6．9．设函数f（x）=3|x|，则f（x）在区间（m﹣1，2m）上不是单调函数，则实数m的取值范围是（0，1）．【分析】由题意，函数f（x）=3|x|，关于y轴对称，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，要使f（x）在区间（m﹣1，2m）上不是单调函数，则m﹣1＜0＜2m，解出即可．【解答】解：由题意，函数f（x）=3|x|，关于y轴对称，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∵f（x）在区间（m﹣1，2m）上不是单调函数，∴m﹣1＜0＜2m，∴0＜m＜1．故答案为：（0，1）．10．已知，，则tan（β﹣2α）等于﹣1．【分析】把已知条件利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tanα的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由==2tanα=1，得到tanα=，又，则tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]===﹣1．故答案为：﹣111．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为8．【分析】设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为g（t）=2sinπt﹣，由于g（x）是奇函数，观察函数y=2sinπt与y=的图象可知，在[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，从而x1+x2+…+x7+x8的值．【解答】解：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为：g（t）=2sin（π﹣πt）﹣=2sinπt﹣，其中，t∈[﹣3，3]，因g（﹣t）=﹣g（t），故g（t）是奇函数，观察函数y=2sinπt（红色部分）与曲线y=（蓝色部分）的图象可知，在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0，从而x1+x2+…+x7+x8=8，故答案为：8．12．已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，则实数a+b的值为．【分析】根据函数f（x）为奇函数，建立方程关系即可求出b，然后根据分式函数和对数函数的单调性建立条件关系即可求出a．【解答】解：∵函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴log a+log a=log a•=0，即•=1，∴1﹣x2=b2﹣x2，即b2=1，解得b=±1．当b=﹣1时，函数f（x）=log a=f（x）=log a=log a（﹣1）无意义，舍去．当b=1时，函数f（x）=log a=log a为奇函数，满足条件．∵=﹣1+，在（﹣1，+∞）上单调递减．又0＜a＜1，∴函数f（x）=log a在x∈（﹣1，a）上单调递增，∵当x∈（﹣1，a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），∴f（a）=1，即f（a）=log a=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1+，∴a+b=﹣1++1=，故答案为：．13．已知函数（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列三个命题：①函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；②存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；③关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣4，﹣2，0，3}．则是真命题的有①②．（不选、漏选、选错均不给分）【分析】①由f（x+b）+f（b﹣x）=0即可判断①的正误；②将（a≠0，b∈R，c＞0），转化为y（x﹣b）2﹣a（x﹣b）+cy=0有实数解，由△≥0即可判断②的正误；③由f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n=0（mn＞0），可判断③的正误．【解答】解：对于①，∵f（x+b）+f（b﹣x）=+=0，∴函数f（x）的图象关于x轴上的点（b，0）成中心对称；故①正确；对于②，∵f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），∴y（x﹣b）2﹣a（x﹣b）+cy=0有实数解，∴△=a2﹣4cy2≥0，又a≠0，c＞0∴y2≤，∴﹣≤y≤．即存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；∴②正确；③∵f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n=0（mn＞0），∴=（mn＞0），假设g（x）=0有四个根，令t=（x﹣b）2（t≥0），则x=b±，∴x1+x2=2b，同理x3+x4=2b，∴其解集{﹣4，﹣2，0，3}中﹣4+3≠﹣2+0，即x1+x2≠x3+x4=2b，∴③错误．故正确答案为：①②．14．在斜三角形△ABC中，A=45°，H是△ABC的垂心，λ=+，则λ=1．【分析】H是△ABC的垂心，可得tanA+tanB+tanC=．再利用向量的三角形法则、正切和差公式即可得出．【解答】解：∵H是△ABC的垂心，则tanA+tanB+tanC=．∴=+，∴=+=λ，则λ====tanA=1，故答案为：1．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设集合A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}（1）当a=2时，求A∩B；（2）若0∈A∩B，求实数a的值．【分析】（1）当a=2时，分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．（2）由已知得a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3，再分别把a=1和a=﹣3代入集合B验证，由此能求出a．【解答】解：（1）当a=2时，集合A={2，3，a2+2a﹣3}={2，3，5}，B={x||x﹣a|＜2}={x||x﹣2|＜2}={x|0＜x＜4}，∴A∩B={2，3}．（2）∵A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}，0∈A∩B，∴a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3，当a=1时，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，成立，当a=﹣3时，B={x||x+3|＜2}={x|﹣5＜x＜﹣1}，不成立．∴a=1．16．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα）（1）若∥，试求sinα；（2）若⊥，且α∈（0，），求cos（2α﹣）的值．【分析】（1）通过向量的平行，利用坐标运算，同角三角函数的基本关系式求出sinα即可．（2）通过向量的垂直，列出关系式，求出sinα，利用两角和的余弦函数，以及同角三角函数的基本关系式，求解所求表达式的值即可．【解答】解：（1）因为向量由得，所以15cosα+16tanα=0，即15﹣15sin2α+16sinα=0，解得：（舍）或．（2）由得，12﹣20cosα•tanα=0，∴，又，∴，，．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间（0，）上的对称中心、对称轴；（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x），令h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值，并指出此时x的值．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式．（2）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数f（x）在区间（0，）上的对称中心和对称轴．（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，利用三角恒等变换化简h（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值以及此时x的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2），∴A=2，==﹣=，∴ω=2，再根据五点法作图，可得2•+φ=，求得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，可得函数的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故函数f（x）在区间（0，）上的对称中心为（，0）．令2x+=kπ+，可得x=+，k∈Z，故函数的图象的对称轴为x=+，k∈Z，故函数f（x）在区间（0，）上的对称轴为x=．（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x的图象，令h（x）=f（x）•g（x）=﹣4sin（2x+）•cos2x=﹣4[sin2x+cos2x]•cos2x=﹣2sin2xcos2x ﹣2cos22x=﹣sin4x﹣2•=﹣2sin（4x+）﹣1．在区间（﹣，0）上，4x+∈（﹣，），sin（4x+）∈[﹣1，），h（x）∈（﹣1，2]，当4x+=﹣时，h（x）取得最大值为2，此时，x=﹣．18．已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧、弧的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．（1）用θ及R表示S1和S2；（2）求的最小值．【分析】（1）先利用θ及R表示出AC、BC的长，进而求出S2；再设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC，即可求出三角形AMC、三角形BNC的面积，进而求得S1；（2）先利用（1）的结论求出关于θ的表达式；再结合三角函数以及函数单调性的知识即可求出的最小值．【解答】解：（1）因为∠ABC=θ，则AC=2Rsinθ，BC=2Rcosθ，则．设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC．设MO交AC与点E．则ME=MO﹣OE=R﹣=R﹣Rcosθ=R（1﹣cosθ）．所以：S△AMC=|AC|•|ME|=R2sinθ（1﹣cosθ）；同理可得三角形BNC的面积为R2cosθ（1﹣sinθ），∴S1=R2sinθ（1﹣cosθ）+R2cosθ（1﹣sinθ）=R2（sinθ+cosθ﹣2sinθcosθ）．（2）∵，令，则2sinθcosθ=t2﹣1．∴．∴的最小值为．19．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【分析】（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），先求出F（x）的表达式，结合一元二次函数的性质求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）先求出G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）的表达式，利用换元法将函数G（x）进行转化求解；（3）若H（x）=，证明H（x）+H（1﹣x）=1，利用倒序相加法，即可求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【解答】解：（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x））=（1+log22x）•=（1+x）•2×=2x（1+x）=2x2+2x=2（x+）2﹣当x∈[1，4]上函数F（x）为增函数，则函数的最大值为F（4）=40，函数的最小值为F（1）=4，则函数的值域为[4，40]．（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）=（1+log28x2）（1+log2）﹣k（1+log2x）=（1+og28+log2x2））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（4+2log2x））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（log2x）2+4log2x+4﹣k﹣klog2x=（log2x）2+（4﹣k）log2x+4﹣k，设t=log2x，当x∈[1，4]，则t∈[0，2]，则函数等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k若函数G（x）在区间[1，4]有零点，则等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k在t∈[0，2]上有零点，即h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k=0在t∈[0，2]上有解，即t2+4t+4﹣k（1+t）=0在t∈[0，2]上有解，即k===t+1++2，设m=t+1，则m∈[1，3]，则k=m++2≥2+2=2+2，当且仅当m=，即m=取等号，当m=1时，k=1+2+2=5，当m=3时，k=2+3+=＞5，∴2+2≤m++2≤，即2+2≤k≤，即实数k的取值范围是2+2≤k≤；（3）若H（x）=，则H（x）==，则H（x）+H（1﹣x）=+=+=+=1，设H（）+H（）+H（）+…+H（）=S，H（）+H（）+…H（）+H（）=S，两式相加得2015[H（）+H（）]=2S，即2S=2015，则S=．20．对于定义在R上的函数f（x），定义同时满足下列三个条件的函数为“Z函数”：①对任意x∈（﹣∞，a]，都有f（x）=C1；②对任意x∈[b，+∞），都有f（x）=C2；③对任意x∈（a，b），都有（f（x）﹣C1）（f（x）﹣C2）＜0．（其中a＜b，C1，C2为常数）（1）判断函数f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1和f2（x）=x﹣|x﹣2|是否为R上的“Z函数”？（2）已知函数g（x）=|x﹣2|﹣，是否存在实数m，使得g（x）为R上的“Z函数”？若存在，求实数m的值；否则，请说明理由；（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，令h（x）=|f（x）|，若h（2a2+a）=h（4a），求实数a的取值范围．【分析】（1）根据“Z函数”的定义，结合分段函数的性质作出图象进行判断即可．（2）结合“Z函数”的定义以及根式的性质利用配方法进行判断求解．（3）求出h（x）的解析式以及作出函数h（x）的图象，讨论变量的取值范围解方程即可．【解答】解：（1）f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，作出函数f1（x）的图象如图：当x≤1时，f（x）=﹣1，当x≥3时，f（x）=3，当1＜x＜3时，﹣1＜f（x）＜3恒成立，故f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1是R上的“Z函数”，f2（x）=x﹣|x﹣2|=，则当x≤2时，函数f（x）不是常数，不满足条件．②，故f2（x）=x﹣|x﹣2|不是否为R 上的“Z函数”．（2）若g（x）=|x﹣2|﹣是R上的“Z函数”，则满足g（x）=|x﹣2|﹣|x+a|的形式，若=|x+a|，则平方得mx+4=2ax+a2，即或，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x﹣2|=0，不满足条件③，故此时g（x）不是“Z函数”，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x+2|=，满足条件①②③，故此时g（x）是“Z函数”，故当m=4时，g（x）为R上的“Z函数”．（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，则f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，则h（x）=|f（x）|=，对应的图象如图：若h（2a2+a）=h（4a），则①，即，即﹣1≤a≤时，h（2a2+a）=h（4a）=1，②得即a≥1时，h（2a2+a）=h（4a）=3，③或，此时h（2a2+a）=h（4a）=1，即或，即a=或a=．④2a2+a=4a，即2a2=3a，得a=0或a=，当a=时，⑤2a2+a=﹣4a，即2a2=﹣5a，得a=0或a=﹣，综上﹣1≤a≤或a≥1或=或a=．2016年8月18日。

2023-2024学年江苏省无锡市高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．()cos 150︒-=（）A ．12-B ．12C ．D ．2【正确答案】C运用诱导公式，结合特殊角的三角函数值即可化简求解.．【详解】()000cos150cos(1cos 18030)cos3050︒-=︒=-=-=，故选：C ．关键点点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题，正确解题的关键是熟练应用诱导公式以及熟记特殊角三角函数值.2．已知角α的终边过点(P -，则3πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．2C ．12D ．【正确答案】C【分析】根据三角函数定义可求得1sin 22αα==-，再利用诱导公式即可求得结果.【详解】由已知可得，sin ,2y r α==1cos 2x r α==-由诱导公式可知，3ππ1sin sin cos 222ααα⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C.3．若()0,2x π∈，则使函数y =有意义的x 的取值范围是（）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．53,,442ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】C【分析】在()0,2x π∈解不等式sin cos x x >即可得解.0≠，sin cos x x >，如下图所示：()0,2x π∈Q ，544x ππ∴<<.故选：C.本题考查利用正弦函数和余弦函数的图象解不等式，考查数形结合思想的应用，属于基础题.4．函数2sin 4cos 6y x x =--+的值域是（）A ．[]2,10B ．[]0,10C ．[]0,2D ．[]28,【正确答案】A【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于cos x 的二次函数，利用换元法可得值域.【详解】函数()22sin 4cos 61cos 4cos 6y x x x x =--+=---+()22cos 4cos 5cos 21x x x =-+=-+，因为[]cos 1,1x ∈-，所以当cos 1x =时，函数取得最小值2，当cos 1x =-时，函数取得最大值10，故函数的值域为[]2,10，故选：A ．5．已知2sin 63πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，那么cos 23sin 2αα=（）A ．109B ．109-C ．59-D ．59【正确答案】A【分析】根据三角函数的诱导公式，求得2sin(63πα-=2cos[2(6πα=-，结合余弦的倍角公式，即可求解.【详解】因为2sin()63πα-=，可得2sin()63πα-=又由13cos 2322(cos 2sin 2)2cos(2)2cos[2()]2236ππαααααα=+=-=-22102[12sin (2(12)699πα=⨯--=⋅-⨯=.故选：A.6．把函数4cos()3y x π=+的图象向右平移ϕ个单位，所得的图象正好关于y 轴对称，则ϕ的最小正值为（）A ．6πB ．56πC ．43πD ．3π【正确答案】D【分析】根据三角函数的图象变换得到4cos(3y x πϕ=-+，再结合三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】把函数4cos()3y x π=+的图象向右平移ϕ个单位，所得的图象对应的函数解析式为4cos(3y x πϕ=-+，再根据所得函数的图象正好关于y 轴对称，可得4,3k k πϕπ-+=∈Z ，即4,3k k πϕπ=-∈Z ，所以ϕ的最小正值为3π.故选：D ．7．已知函数()sin cos f x x x =+的定义域为[],a b ，值域为⎡-⎣，则b a -的取值范围是（）A ．3ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】D【分析】根据正弦函数的图象特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.【详解】π()sin cos 4f x x x =+=+，因为[],x a b ∈，所以πππ,444x a b ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，因为π1)4x -≤+≤πsin()124x -≤+≤.正弦函数sin y x =在一个周期π3π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内，要满足上式，则ππ5π,444x ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，所以()()max min 5ππ3π5ππ3π=,442424b a b a ⎛⎫-=---=-= ⎪⎝⎭，所以b a -的取值范围是3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D8．已知1x ，2x ，是函数()()()tan 0,0f x x ωϕωϕπ=-><<的两个零点，且12x x -的最小值为3π，若将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后得到的图象关于原点对称，则ϕ的最大值为（）A ．34πB ．4πC ．78πD ．8π【正确答案】A【分析】由已知得函数()f x 的周期，求出ω，再利用图像的平移变换规律写出函数()f x 平移后的解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即可得到结果.【详解】由题意知函数()f x 的最小正周期3T π=，则3=ππω，得3ω=，()()tan 3f x x ϕ∴=-.将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到tan 3tan 3124y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，要使该图象关于原点对称，则42k ππϕ-=，Z k ∈，所以42k ππϕ=-，Z k ∈，又0ϕπ<<，所以当1k =-时，ϕ取得最大值，最大值为34π．故选：A思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数()f x 的最小正周期，进而求出ω，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题.二、多选题9．已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=-C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=【正确答案】ABD【分析】由题意得()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，可得242sin cos 25θθ=-，根据θ的范围，可得sin θ，cos θ的正负，即可判断A 的正误；求得sin cos θθ-的值，即可判断D 的正误，联立可求得sin θ，cos θ的值，即可判断B 的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C 的正误，即可得答案.【详解】因为1sin cos 5θθ+=，所以()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，则242sin cos 25θθ=-，因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，cos 0θ<，所以π,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 正确；所以()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以7sin cos 5θθ-=，故D 正确；联立1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得4sin 5θ=，3cos 5θ=-，故B 正确；所以sin 4tan cos 3θθθ==-，故C 错误.故选：ABD.10．下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -【正确答案】BC【分析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A,不妨令2ω=,当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭故选：BC.已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.11．将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位得到函数()g x ，则下列说法正确的是（）A ．()g x 的周期为πB ．()g x 的一条对称轴为3x π=C ．()g x 是奇函数D ．()g x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【正确答案】AD【分析】求出()sin(26g x x π=+，A.()g x 的最小正周期为π，所以该选项正确；B.函数图象的对称轴是,26k x k Z ππ=+∈，所以该选项错误；C.函数不是奇函数，所以该选项错误；D.求出()g x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以该选项正确.【详解】解：将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位得到函数()sin[2(sin(2)666g x x x πππ=+-=+.A.()g x 的最小正周期为2=2ππ，所以该选项正确；B.令2,,6226k x k x k Z πππππ+=+∴=+∈，函数图象的对称轴不可能是3x π=，所以该选项错误；C.由于()()g x g x -≠-，所以函数不是奇函数，所以该选项错误；D.令222,,26236k x k k Z k x k πππππππππ-≤+≤+∈∴-≤≤+，当0k =时，36x ππ-≤≤，所以()g x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以该选项正确.故选：AD12．设函数()cos sin f x x x =+，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的值域为⎡-⎣D ．()f x 在7,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【正确答案】ACD【分析】对于A 选项，利用奇偶性的定义进行判断即可；对于B 选项，利用周期性的定义进行判断即可；对于C 选项，首先证明函数()f x 的周期为2π，然后分0x π≤<与[],2x ππ∈两种情况分别讨论函数的值域，进而进行判断选项的正误即可；对于D 选项，当7,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得()cos sin cos 4x x x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，进而判断函数的单调区间即可.【详解】对于A 选项，已知()cos sin f x x x =+且定义域为R ，由于()()()()cos sin cos sin f x x x x x f x -=-+-=+=，得()f x 是偶函数，故A 选项正确；对于B 选项，()()()()cos sin cos sin f x x x x x f x πππ+=+++=-+≠，得()f x 的最小正周期不是π，故B 选项错误；对于C 选项，由于()()()()2cos 2sin 2cos sin f x x x x x f x πππ+=+++=+=，得()f x 的周期为2π，当[)0,x Îp 时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于0x π≤<，得5444x πππ≤+<(4x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭当[],2x ππ∈时，()cos sin cos 4x x x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于2x ππ≤≤，得59444x πππ≤+≤4x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭.综上所述可得()f x 的值域为⎡-⎣，故C 选项正确；对于D 选项，当7,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos sin cos 4x x x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于74x ππ<<，得5244x πππ<+<，根据余弦函数性质可知()f x 在7,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调递增.故D 选项正确.故选：ACD三、填空题13．已知3sin()5απ+=-，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【正确答案】7-或17-##17-或7-【分析】首先根据诱导公式求出3sin 5α=，再利用同角三角函数关系式求出cos ,tan αα的值，从而可求出tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】因为3sin()5απ+=-，所以3sin 5α=，所以4cos 5α=-或4cos 5α=，当4cos 5α=-时，3tan 4α=-，tan 1tan 74tan 1πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭；当4cos 5α=时，3tan 4α=，tan 11tan 4tan 17πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭.故7-或17-.14．已知,αβ都是锐角，111cos ,cos()714ααβ=+=-，则β=___________.【正确答案】π3##60 【分析】要求β，先求cos β，结合已知可有cos cos[()]βαβα=+-，利用两角差的余弦公式展开可求.【详解】αQ 、β为锐角，0παβ∴<+<1cos 7α=，11cos()14αβ+=-sin 7α∴==，sin()αβ+cos cos[()]βαβα∴=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++111()147=-⨯12=由于β为锐角，π3β∴=故π315．已知函数()π3sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π012⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，则ω的最大值是____.【正确答案】4【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.【详解】由函数()π3sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π012⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，可得πππ+1262ω⋅≤，求得4ω≤，故ω的最大值为4，故416．已知函数()()()sin f x x πϕϕπ=+<的图象过点1,13⎛⎫⎪⎝⎭，若()f x 在[]2,a -内有5个零点，则a 的取值范围为______.【正确答案】1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据题意求得()sin 6f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由[]2,x a ∈-时，得到2,666x a ππππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的性质，列出不等式346a ππππ≤+<，即可求解.【详解】由题意知，函数()f x 的图象过点1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2,Z 32k k ππϕπ+=+∈，因为ϕπ<，所以6πϕ=，所以()sin 6f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当[]2,x a ∈-时，可得2,666x a ππππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在[]2,a -内有5个零点，结合正弦函数的性质可得346a ππππ≤+<，所以172366a ≤<，即实数a 的取值范围是1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为.1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题17．在①sinα=②2tan 40αα-=这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.已知角a 是第一象限角，且___________.(1)求tan α的值；(2)3cos()cos(3)2πααπαπ+++-的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】(1)tan α(2)53【分析】（1）选①：因为sin α=cos 3α=±，结合角α是第一象限角，得到cos 3α=，进而求得tan α的值.选②：化简得到(tan 0αα+=，结合角α是第一象限角，进而得到tan α的值.（2）231cos()cos(3)2tan 1παααπαπα++++-=+，结合tan α=代入即可求解.【详解】（1）解：选①：因为sin α=221cos 1sin 3αα=-=，所以cos α=因为角α是第一象限角，所以cos α=sin tan cos ααα==.选②：因为2tan 40αα-=，所以(tan 0αα+=，解得tan α=或tan α=-因为角α是第一象限角，所以tan α.（23)cos()cos(3)2πααπαπ+++-222cos cos cos ααααα=+=+2222cos cos 1sin cos tan 1ααααααα++==++因为tan α=53==，35)cos()cos(3)23πααπαπ+++-=.18．已知函数()sin (sin )f x x x x =.(1)求()f x 的最小正周期；(2)若()f x 在区间[0,]m 上的最小值为12-，求m 的最小值.【正确答案】(1)π(2)56π【分析】（1）根据降幂公式和辅助角公式得()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，进而求最小正周期即可；（2）由（1）将问题转化为sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭在[0,]m 上的最小值为1-，进而得3262m ππ-≥，解不等式即可得答案.【详解】（1）解：()1cos2111sin2cos2sin 22222262x f x x x x x π-⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期22T ππ==.（2）解：由（1）知()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,]x m ∈，所以2,2666x m πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在[0,]m 上的最小值为12-，即sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭在[0,]m 上的最小值为1-，所以3262m ππ-≥，即56m π≥.所以m 的最小值为56π19．已知0ϕπ≤≤，函数2())sin f x x x ϕ=++.（1）若3(0)4f =，求ϕ的值；（2）若6πϕ=，求()f x 的单调递增区间.【正确答案】（1）6π；（2）2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由3(0)4f =得cos 2ϕ=，解出即可（2）用三角函数的和差公式和二倍角公式将2()cos 2sin 26f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭化为11()cos 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后求出即可【详解】（1）3(0)cos 24f ϕ==cos ϕ∴又0ϕπ≤≤ ，6πϕ∴=.（2）6πϕ=，2()cos 2sin 6f x x x π⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭21sin 2sin 2x x x ⎫=-+⎪⎝⎭31cos2cos2242x x x -=+11cos 2242x x =+11cos 2232x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2223k x k ππππ-≤+≤ ，Z k ∈236k x k ππππ∴-≤≤-，Zk ∈()f x ∴的单调递增区间为2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦解决三角函数性质的有关问题时应先将函数化为基本型.20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象.（1）写出函数()f x 的解析式；（2）若,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()()21y f x mf x =--，求y 的最小值()h m .【正确答案】（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）21,01()1,024,2m g m m m m m -≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩.【分析】（1）根据周期变换和平移变换的结论可得答案；（2）设sin 23t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[0,1]t ∈，此时2()1g t t mt =--，[0,1]t ∈，分类讨论可得二次函数()g t 的最小值.【详解】（1）将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得sin 2y x =，再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）设sin 23t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[0,1]t ∈，此时2()1g t t mt =--，[0,1]t ∈，则()g t 的图象是开口向上的抛物线一段，对称轴为2mt =，当02m ≤即0m ≤时，()g t 在[0,1]上单调递增，min ()(0)1g t g ==-；当012m <<，即02m <<时，()g t 在[0,1]上先减后增，2min 1()124m g t g m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭；当12m≥，即2m ≥时，()g t 在[0,1]上单调递减，min ()(1)g t g m ==-，∴()21,011,024,2m h m m m m m -≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩.本题考查了分类讨论思想，考查了三角函数的图象变换，考查了分类讨论求二次函数的最小值，属于中档题.21．如图所示，摩天轮的半径为50m ，最高点距离地面高度为110m ，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min .甲，乙两游客分别坐在P ，Q 两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).（1）求劣弧PQ 的弧长l (单位：m )；（2）设游客丙从最低点M 处进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，求在转动一周的过程中，H 关于时间t 的函数解析式；（3）若游客在距离地面至少85m 的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.【正确答案】（1）()252m π；（2）50sin(6062H x ππ=-+，其中012t ≤≤；（3）5min 2.【分析】（1）根据弧长的计算公式可求 PQ的长度.（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求H 关于时间t 的函数解析式.（3）利用（2）中所得的解析式并令85H ≥，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度.【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为22412ππ=，故()25350122l m ππ=创=.（2）建立如图所示的平面直角坐标系，设sin()H A wx B ϕ=++，由题意知，12T =，所以26w T ππ==，又由50,1105060A r B ===-=，所以50sin()606H x πϕ=++，当0x =时，可得sin 1ϕ=-，所以2πϕ=-，故H 关于时间t 的函数解析式为50sin()6062H x ππ=-+，其中012t ≤≤.（3）令50sin(608562H x ππ=-+≥，即1sin()622x ππ-≥，令522,6626k x k k Z ππππππ+≤-≤+∈，解得412812,k x k k Z +≤≤+∈，因为甲乙两人相差3312min 242⨯=，又由354min 22-=，所以有5min 2甲乙都有最佳视觉效果.三角函数实际应用问题的处理策略：1、已知函数模型求解数学问题；2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.22．已知函数()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且函数()π2g x f x =-⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求函数()g x 的解析式；(2)若存在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，使等式()()220[]g x mg x -+=成立，求实数m 的取值范围；(3)若当π2π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式()()122f x ag x a -->-恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)()π2sin 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)实数m 的取值范围为⎡⎤⎣⎦(3)22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）结合诱导公式，根据()π2g x f x =-⎛⎫⎪⎝⎭求函数()g x 的解析式；（2）π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求出内层函数的范围，求解()g x 的取值范围，利用换元将等式式()()220[]g x mg x -+=的转化为含参方程，孤立参数，集合基本不等式，求实数m 的最大值和最小值即可得实数m 的取值范围；（3）当π2π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，化简不等式，利用三角函数的范围求解a 的范围即可．【详解】（1）解：函数()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()πππ5π5ππ2sin 2sin 2sin π2sin 223666g x f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=-+=--+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）解：π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()π2sin 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ2π,663x ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭，()12g x ∴≤≤．令()g x t =，则12t ≤≤．那么：()()220[]g x mg x -+=，可得：220t mt -+=，即存在[]1,2t ∈，使得220t mt -+=成立．即2m t t =+≥=t =时取等号，m ∴的最小值为当1t =时，3m =，当2t =时，可得3m =，即m 的最大值为3．实数m 的取值范围为⎡⎤⎣⎦；（3）解：不等式()()122f x ag x a -->-恒成立，即ππsin 2sin 236x a x a ⎛⎫⎛⎫++->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立当π2π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π0π3x ∴≤+≤，πππ262x -≤-≤．若0a =时，显然πsin 23x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭恒成立．若0a >时，当π3x =-时，ππsin ,sin 36x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分别取得最小值，所以ππsin 2sin 36x a x ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也取得最小值．即ππππsin 2sin 23336a a ⎛⎫⎛⎫-++-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立．可得：22a a ->-，解得：023a <<．若0a <时，当2π3x =时，，πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值，πsin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值，则ππsin 2sin 36x a x ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取得最小值．即2ππ2ππsin 2sin 23336a a ⎛⎫⎛⎫++->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立．得：2a >-，20a ∴-<<．综上可得：a 的范围是22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.2023-2024学年江苏省无锡市高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知集合{}{14},0,2,4,6A xx B =-<<=∣，则A B ⋂的子集个数为（）A ．1B ．2C ．4D ．8【正确答案】C【分析】用交集定义求得交集A B ⋂中的元素，然后可得子集个数．【详解】由已知{0,2}A B ⋂=，共2个元素，因此其子集有4个．故选：C ．2．已知α是第四象限的角，则点()tan ,cos P αα在（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】B【分析】根据题意，由α所在象限可判断三角函数的符号，可得tan 0,cos 0αα<>，可得答案．【详解】根据题意，α是第四象限角，则tan 0,cos 0αα<>，则点()tan ,cos P αα在第二象限,故选：B ．3．已知扇形AOB 的周长为8cm ，圆心角2rad AOB ∠=，则扇形AOB 的面积（）2cm A ．1B ．2C ．4D ．6【正确答案】C【分析】求出扇形的半径，再用扇形的面积公式求面积.【详解】设扇形的半径为r ，则弧长2l r =，由题意知28r r r ++=，所以2r =，扇形的面积为142S lr ==2cm ，故选：C.4．冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q 呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式0.00250etQ Q -=，其中0Q 是臭氧的初始量，e 是自然对数的底数，e 2.71828= .试估计（）年以后将会有一半的臭氧消失.()ln20.693≈A ．267B ．277C ．287D ．297【正确答案】B 【分析】由0.0025001e2tQ Q -=可得，0.00251e 2t -=，求解整理可得ln 20.0025t =，代入数值，即可解出.【详解】令012Q Q =可得，0.0025001e2tQ Q -=，即0.00251e 2t -=，则有10.0025lnln 22t -==-，解得ln 20.693277.20.00250.0025t =≈=.所以，估计277年以后将会有一半的臭氧消失.故选：B.5．“π2ϕ=-”是“函数()sin 2y x ϕ=+在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增”的（）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【正确答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当π2ϕ=-时，πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，02πx ≤≤，cos 2x y =-单调递增成立；当函数()sin 2y x ϕ=+在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增时，由2πx ϕϕϕ≤+≤+知，当π2π,Z 2k k ϕ=-+∈时，函数()sin 2y x ϕ=+在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，故推不出π2ϕ=-成立，如3π2ϕ=；综上，“π2ϕ=-”是“函数()sin 2y x ϕ=+在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增”的充分不必要条件.故选：A6．已知函数()21,0,0x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在其定义域上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A ．0a ≥B ．1a ≤C ．01a <<D ．01a ≤≤【正确答案】D【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式即可求解【详解】因为2221124a a y x ax x ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭的对称轴为2a x =，所以21y x ax =-+在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为函数()21,0,0x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在其定义域上单调递减，所以021aa⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，解得01a ≤≤故选：D7．关于x 的不等式()24160x a b x -+++≤的解集为单元素集，且0,0a b >>，若不等式21122t t a b+≥--恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．13t -≤≤B ．31t -≤≤C ．1t ≤-或3t ≥D ．3t £-或1t ≥【正确答案】A【分析】由一元二次不等式的解集求得4a b +=，由基本不等式求得11a b+的最小值为1，然后解不等式2221t t --≤可得．【详解】由已知2(4)640a b ∆=++-=，又0,0a b >>，∴48a b ++=，4a b +=，1111111()()(2)(21444a b a b a b a b b a +=++=++≥⨯+=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值是1，不等式21122t t a b+≥--恒成立，则2221t t --≤，2230t t --≤，解得13t -≤≤．故选：A ．8．定义域为R 的函数()f x 为偶函数，()1f x +为奇函数，且()f x 在区间[]0,1上单调递减，则下列选项正确的是（）A ．()2312022log 23f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()2132022log 32f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()213log 202232f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()231log 202223f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】B【分析】由条件证明函数为周期函数并确定函数的周期，利用周期函数的性质和偶函数的性质将函数值转化到同一区间，再利用单调性比较函数值大小.【详解】因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，因为函数()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x +=--+，故()()11f x f x +=--，所以()()()()4312f x f x f x f x +=++=-+=，所以函数()f x 为周期函数，周期为4，所以()()()()20225054220f f f f =⨯+==-，311112222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()222214log log 32log 3log 33f f f f ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为222410log 1log log 32=<<=，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，所以()2410log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2410log 32f f f ⎛⎫⎛⎫-<-<- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以()2132022log 32f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B.二、多选题9．下列函数中满足“对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()12120f x f x x x ->-”的是（）A ．()21f x x =-B ．()1f x x=C ．()22f x x x=+D ．()2log f x x=-【正确答案】AC【分析】根据单调性定义可知()f x 在()0,∞+上单调递增，根据一次函数、反比例函数、二次函数和对数函数性质依次判断各个选项中函数的单调性即可.【详解】 对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()12120f x f x x x ->-，()f x \在()0,∞+上单调递增；对于A ，由一次函数性质知：()21f x x =-在()0,∞+上单调递增，A 正确；对于B ，由反比例函数性质知：()1f x x=在()0,∞+上单调递减，B 错误；对于C ，由二次函数性质知：()f x 对称轴为14x =-，则()f x 在()0,∞+上单调递增，C 正确；对于D ，由对数函数性质知：2log y x =在()0,∞+上单调递增，则()f x 在()0,∞+上单调递减，D 错误.故选：AC.10．下列命题为真命题的是（）A ．“2R,10x x x ∀∈++>”的否定为“2R,10x x x ∃∈++<”B ．若函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的必要不充分条件C ．函数y =3y x =-是同一个函数D ．若方程()210x ax a --+=在区间[]2,3上有实数解，则实数a 的取值范围为[]1,2【正确答案】BD【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、相同函数、一元二次方程的根等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，“2R,10x x x ∀∈++>”的否定为“2R,10x x x ∃∈++≤”，所以A 选项错误.B 选项，函数()f x 的定义域为R ，当()00f =时，如()()2,f x x f x =是偶函数.当()f x 为奇函数，则()00f =，所以“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的必要不充分条件，B 选项正确.C 选项，函数y =[)0,∞+；函数3y x =-的值域是R ，所以不是同一函数，C 选项错误.D 选项，()()()21110x ax a x x a ⎡⎤--+=+-+=⎣⎦，由于方程()210x ax a --+=在区间[]2,3上有实数解，所以213,12a a ≤+≤≤≤，D 选项正确.故选：BD11．下列命题为真命题的是（）A ．若22a b c c >，则a b >B ．若0a b >>，0m >，则a m a b m b+>+C ．若0a b c >>>，则a c ->D ．若0a b >>，则11a b b a +>+【正确答案】ACD【分析】利用不等式的基本性质可判断A 选项；利用作差法可判断BD 选项；利用不等式的基本性质以及基本不等式可判断C 选项.【详解】对于A 选项，若22a b c c>，则20c >，由不等式的基本性质可得a b >，A 对；对于B 选项，若0a b >>，0m >，则()()()()()0a m b a b m m b a a m a b m b b b m b b m +-+-+-==<+++，所以，a m a b m b+<+，B 错；对于C 选项，因为0a b c >>>，则0c ->，所以，()a c b c ->+-≥C 对；对于D 选项，若0a b >>，则0ab >，0b a -<，则()()()1110a b ab a b a b a b b a ab ab -+-⎛⎫+-+=-+=> ⎪⎝⎭，故11a b b a+>+，D 对.故选：ACD.12．设函数()2sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．5,018π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心C ．()f x 向左平移9π个单位后为偶函数D ．先将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()f x 的图象.【正确答案】BCD【分析】根据函数的周期性，对称性，奇偶性，图像平移对应解析式变化规律即可求解.【详解】()2sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为23T π=，故选项A 错；()552sin 32sin 018186f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5,018π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，所以选项B 正确；()f x 向左平移9π个单位后为()2sin 32sin 32cos3962f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=++=+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以函数为偶函数，所以选项C 正确；先将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位后，函数变为2sin 22sin(2)1236y x x πππ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，变为32sin 22sin(2)2sin(3)123266y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-+=⋅⋅+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得到函数()f x 的图象.故选项D 正确；故选：BCD.三、填空题13．已知tan 2α=-，则221sin sin cos 2cos αααα-+的值为__________.【正确答案】58【分析】2222221s sin co sin sin cos 2cos sin sin cos 2o s c =+-+-+αααααααααα，后利用sin tan cos ααα=可得答案.【详解】因22sin cos 1αα+=，则2222221s sin co sin sin cos 2cos sin sin cos 2o s c =+-+-+αααααααααα，又sin tan cos ααα=，则222222tan 15sin sin cos 2cos tan tan 28sin cos +==-+++-ααααααααα.故5814．集合2{2,1,2}A a a a =+--，若4A ∈，则=a __________【正确答案】2【分析】分224a a +-=和14a -=，并结合集合元素的互异性求解即可.【详解】解：因为4A ∈，所以，若224a a +-=，则可得3a =-或2，当3a =-时，14a -=，不满足互异性，舍去，当2a =时，11a -=-，满足题意;若14a -=，则3a =-，此时224a a +-=，不满足互异性，舍去；综上 2.a =故215．已知幂函数()f x x α=（α为常数）过点()4,2，则()()35f a f a -+-的最大值为__________.【正确答案】2【分析】由已知可得()12f x x =，代入可得()()35f a f a -+-35a ≤≤，平方后根据a 的取值范围即可求出答案.【详解】由已知可得42α=，所以12α=，所以()12f x x =.则()()35f a f a -+-35a ≤≤.因为235a a =-+-+2=，所以，当4a =时，2有最大值4.2≤，所以()()35f a f a -+-的最大值为2.故2.16．已知函数()()21ln f x ax bx x =++，若()0f x ≤恒成立，则实数b 的取值范围是__________.【正确答案】[)1,∞-+【分析】设()21g x ax bx =++，则原题等价于01x <<时，()0g x ≥，而1x >时，()0g x ≤.当0a ≠时，根据二次函数的性质可得1b a =--，1()(1)ln f x a x x x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，分为a<0和0a >结合()1ln 0x x -≥即可得出1b >-；当0a =时，根据一次函数的性质分别解出1x >以及01x <<时b 的范围，取交集可得1b =-.最后取并集即可得出结果.【详解】设()21g x ax bx =++，因为当01x <<时，ln 0x <，而1x >时，ln 0x >，但当0x >时，()0f x ≤恒成立，故01x <<时，()0g x ≥，而1x >时，()0g x ≤，①当0a ≠时，因()21g x ax bx =++为二次函数，故()10g =，()0g x =的另一个实数解为1a ，故11b a a+=-，即1b a =--.此时()()11g x a x x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故1()(1)ln f x a x x x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0a ≠，因为1x -与ln x 符号相同，所以()1ln 0x x -≥恒成立.若a<0，此时10a x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，故1()(1)ln 0f x a x x x a ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，此时1b >-，若0a >，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，1()(1)ln 0f x a x x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭恒成立，与题设矛盾，综上，1b >-；②当0a =时，此时()1g x bx =+，但当0x >时，()0f x ≤恒成立，故01x <<时，()0g x ≥，而1x >时，()0g x ≤.当01x <<时，要使()0g x ≥恒成立，则应有()()0010g g ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，即1010b ≥⎧⎨+≥⎩，所以1b ≥-；当1x >时，要使()0g x ≤恒成立，显然0b <，()1g x bx =+在()1,+∞上单调递减，所以()110g b =+≤，即1b ≤-.所以，当0a =时，要使0x >时，()0f x ≤恒成立，应有1b =-.综上所述，b 的取值范围为[)1,-+∞.又()10f =满足，所以b 的取值范围为[)1,-+∞.故[)1,-+∞四、解答题17．设全集U =R ，集合{1},{24}A xx a B x x =-<<=-≤∣∣.(1)当4a =时，求()U A B ⋂ð；(2)从下面三个条件中任选一个，求实数a 的取值范围.①A B A = ，②A B B ⋃=；③()U A B =∅ ð.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】(1)][)2,14,6U A B ⎡⎤=--⎣⎦(ð(2)6a ≤【分析】(1)根据4a =得出{|14}A x x =-<<，然后求出集合A 的补集，将集合B 化简，然后利用交集的定义即可求解；(2)选①可得A B ⊆，然后分A =∅和A ≠∅两种情况进行讨论即可求解.选②可得A B ⊆，后面同①；选③可得A B ⊆，后面同①.【详解】（1）当4a =时，集合{|14}A x x =-<<，则][(),14,U A ∞∞=--⋃+ð，又因为{|24}{|26}B x x x x =-≤=-≤≤，则][)2,14,6U A B ⎡⎤=--⎣⎦(ð（2）选①，因为A B A = ，则A B ⊆，所以分A =∅和A ≠∅两种情况：当A =∅时，则有1a ≤-，当A ≠∅时，则有16a a >-⎧⎨≤⎩，解得：16a -<≤，综上：实数a 的取值范围为.6a ≤选②，由A B B ⋃=可得：A B ⊆，所以分A =∅和A ≠∅两种情况：当A =∅时，则有1a ≤-，当A ≠∅时，则有16a a >-⎧⎨≤⎩，解得：16a -<≤，综上：实数a 的取值范围为.6a ≤选③，由()U A B =∅ ð可得：A B ⊆，所以分A =∅和A ≠∅两种情况：当A =∅时，则有1a ≤-，当A ≠∅时，则有16a a >-⎧⎨≤⎩，解得：16a -<≤，综上：实数a 的取值范围为.6a ≤18．（1）化简：()()()cos sin tan 223cos cos 2πααπαπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）已知关于x的方程20x a -+=的两个根为sin θ和cos θ，求sin cos θθ-的值.【正确答案】（1）1；（2）【分析】(1)根据诱导公式和同角三角函数基本关系式即可求解；(2)根据同角三角函数基本关系式和完全平方公式即可求解.【详解】（1）原式cos (cos )(tan )sin (cos )ααααα--=--cos sin 1sin cos αααα==.（2）由题意可知sin cos θθ+=sin cos a θθ=.又22sin cos 1θθ+=，则1sin cos 8θθ=.23(sin cos )12sin cos 4θθθθ-=-=，即sin cos 2θθ-=±.19．某同学用“五点法”作函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x 2π3-π3x ωϕ+0π2π3π22π()sin x ωϕ+0101-0()f x 001-0(1)求函数()f x 的解析式及函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间；(2)若存在()2π,π,03x f x m ⎡⎤∈--≤⎢⎥⎣⎦成立，求m 的取值范围.【正确答案】(1)1π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 的单调减区间为π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)12m ≥-【分析】（1）根据表格分析计算可得1A =，12ω=，π3ϕ=，则可得函数解析式，再根据正弦函数图象性质，整体代入确定函数单调区间即可；（2）根据含参不等式能成立，求解函数()f x 的最小值即可得m 的取值范围.【详解】（1）解：由表格可知1A =，且2π03ππ32ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则12π3ωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当[]0,πx ∈时，ππ5π,2336x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，又ππ232x +=，得π3x =，所以()f x 的单调减区间为π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）解：由题意min()m f x ≥当2π,π3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ,0236x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以当πx =-时，min 1()2f x =-故可得12m ≥-.20．已知函数()2log f x x =.(1)解关于x 的不等式121x f x +⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭；(2)求函数()()14,,16162a x g x f f x x ⎛⎫⎡⎤=⋅⋅∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小值.【正确答案】(1)()5,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭(2)答案见解析【分析】（1）根据对数函数的性质和分式不等式的解法即可求解；（2）根据对数加减法计算和换元法，结合二次函数的特点和分析参数范围以及单调性即可求解.【详解】（1）不等式可化为：21log 21x x +≤-,所以0141x x +<≤-，即11513x x x x ><-⎧⎪⎨≥<⎪⎩或或,解得53x ≥或1x <-，所以不等式的解集为()5,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.（2）()()22log log 416a x g x x =⋅⋅()()22log 4log 2x x a =-+当1,162x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]2log 1,4t x =∈-则()()()42g t t t a =-+.①若2a <-，则()g t 在[]1,4-单调递减，则()g t 的最小值为()40g =.②2a ≥-，当12a -≥-，即3a ≥时，()g t 在[]1,4-单调递增，则()g t 的最小值为()()1512g a -=-.当12a -<-，即23a -≤<时，()g t 在[]1,2a --单调递减，在[]2,4a -单调递增，则()g t 的最小值为()22(2)g a a -=-+.综上：当2a <-时，()min ()40g t g ==;当23a -≤<时，()2min ()2(2)g t g a a =-=-+;当3a ≥时，()()min ()1512g t g a =-=-.21．已知函数()e e 2x x a f x -⋅+=为偶函数，其中e 是自然对数的底数，e 2.71828= .(1)证明：函数()y f x =在[)0,∞+上单调递增；(2)函数()()()2,0g x m f x f x m =⋅->，在区间[]0,ln2上的图象与x 轴有交点，求m 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)10,117⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数的单调性定义证明求解；（2）根据图象与x 轴有交点，可得函数有零点，即对应方程有根，利用换元法数形结合求解.【详解】（1）由于()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，代入化简得()()1e e 0x x a ---=故1a =，当1a =时，()e e 2x xf x -+=设任意的120x x >≥，则()()112212e e e e 22x x x x f x f x --++-=-()1212121e 1e e 2e e x x x x x x +-=-，当120x x >≥时，1212e e 0,e 10x x x x +->->，则()()120f x f x ->即()()12f x f x >，故函数()y f x =在[)0,∞+上单调递增.（2）()22e e e e 22x x x xg x m --++=⋅-，令e e x xt -=+，由（1）知()e e 2x xf x -+=在[)0,∞+上单调递增.所以e e x x t -=+在[)0,∞+上单调递增，则52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为222e e 2x x t -+=-，所以()22022t t g x m -=-=有解，则12t m t =-在52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，又因为函数2y t t =-在52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以2171,10t t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以1171,10m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故m 的取值范围为10,117⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．定义在R 上的奇函数(),10,,1,x x x f x a x --<<⎧=⎨-≤-⎩其中0,1a a >≠，且()1e f =，其中e 是自然对数的底数，e 2.71828= .(1)当0x ≥时，求函数()f x 的解析式；(2)若存在210x x >≥，满足()()21e f x f x =，求()12x f x ⋅的取值范围.【正确答案】(1),01,()e ,1x x x f x x ≤<⎧=⎨≥⎩；(2))210,e ,e ⎛⎫⎡⋃+∞ ⎪⎣⎝⎭．【分析】（1）根据奇函数的定义求解析式；（2）由函数解析式，根据x 的范围分类讨论：1201x x ≤<<，1201x x ≤<≤，121x x ≤<，分别得出12,x x 的关系，把12()x f x 化为1x 的函数，从而得其范围．【详解】（1）()()1e,f f x = 是奇函数()1e f a ∴-=-=-，则e a =.当01x <<时，()10,x f x x -<-<-=-又()f x 是奇函数，则()f x x=当1x ≥时，()1,ex x f x -≤--=-又()f x 是奇函数，则()ex f x =因为()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =.故,01,()e ,1x x x f x x ≤<⎧=⎨≥⎩,（2）若1201x x ≤<<，则由()()21e f x f x =，有21e x x =，且110x e<<，从而有()2121211e 0,e x f x x x x ⎛⎫⋅=⋅=∈ ⎪⎝⎭若1201x x ≤<≤，则由()()21e f x f x =，有21e e x x =，而21e e,e ex x ≥<所以等式不成立.若121x x ≤<，则由()()21e f x f x =，有211e e x x +=，即211x x =+，且11x ≥从而有()21121211e e ex x x f x x x +⋅=⋅=≥综上：()12x f x ⋅的取值范围为)210,e ,e ⎛⎫⎡⋃+∞ ⎪⎣⎝⎭。

2020-2021学年江苏省无锡市天一高级中学高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （4分）函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于（）A．B． 2 C． 4 D．参考答案：B考点：指数函数单调性的应用．专题：计算题．分析：利用函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[0，1]上的单调性与f（x）在[0，1]上的最大值与最小值的和为3即可列出关于a的关系式，解之即可．解答：∵函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，∴a0+a1=3，∴a=2．故选B．点评：本题考查指数函数单调性的应用，得到a的关系式，是关键，考查分析与计算能力，属于中档题．2. 函数的单调递增区间是（）A．(－∞,+∞) B．[－2,+∞) C．(－∞,－2) D．[0,+∞)参考答案：B 3. 如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m2，互相平行的两个侧面的距离为1m，则这个六棱柱的体积为（）A． m3 B． m3 C．1m3 D． m3参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】根据正六边形的性质求出底面边长，利用矩形的面积得出棱柱的高．【解答】解：设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则，解得a=，h=．∴六棱柱的体积V==．故选B．【点评】本题考查了正棱柱的结构特征，棱柱的体积计算，属于基础题．4. 已知，则角的终边所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：D由可知：则的终边所在的象限为第四象限故选5. 为了得到函数的图像，需要把函数图像上的所有点（）A.横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度B.横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度D. 横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度ks5u参考答案：B略6. 把88化为五进制数是（）A．323(5) B．324(5) C．233(5) D．332(5)[参考答案：A7. 设、为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列命题中正确命题的是A．若、与所成的角相等，则B．若，，∥，则C．若，，，则D．若，，⊥，则参考答案：D 8. 已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1 C．3 D．7参考答案：B【考点】8F：等差数列的性质．【分析】根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B9. 在中，是边上的中点，则向量A. B. C. D.参考答案：A略10. 某学生离家去学校，因为怕迟到，所以一开始就跑步，后来累了，就走回学校。

2023-2024学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（上）期末数学试卷一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{a，0}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，0）∪（0，2]C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）2．已知点P（tanθ，sinθ）是第二象限的点，则θ的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若a，b∈R，则“2a﹣b＞1”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=2x−18，则f（x）＜0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（0，3）B．（﹣3，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）5．已知点(3，19)在幂函数f（x）＝xα的图象上，设a＝f（log25），b＝f（ln2），c=f(tanπ3)，则a，b，c 的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a6．函数f(x)=x2lg2+x2−x的大致图象是（）A．B．C．D．7．若关于x的方程2sin x cos x﹣cos2x＝1在[0，π）内有两个不同的解x1，x2，sin（x1+x2）的值为（）A．12B．√22C．√32D．√2+√648．已知函数f（x）＝sin x，若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|＝12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π2C ．终边落在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α=π4+kπ，k ∈Z}D ．函数y =tan(2x −π6)的定义域为{x|x ≠π3+kπ2，k ∈Z}10．设正实数x ，y 满足x +y ＝2，则下列说法正确的是（ ） A ．1x +1y的最小值为2B ．xy 的最小值为1C ．√x +√y 的最大值为4D ．x 2+y 2的最小值为211．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线f(x)=2sin(2π3x +φ)(|φ|＜π2)，且经过点（1，2）．则下列说法正确的是（ ） A ．函数f(x +14)是奇函数B ．函数f （x ）在区间（1，2）上单调递减C ．∃n ∈N *，使得f （1）+f （2）+f （3）+…+f （n ）＞2D ．∀x ∈R ，存在常数m 使得f （x +1）+f （x +2）+f （x +3）＝m12．若n ∈N *时，不等式(nx −6)ln(nx)≥0恒成立，则实数x 可取下面哪些值（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)=√x +4+ln(1−x)，则f （2x ）的定义域为 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(35，45)，则tan2α＝ ．15．某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%，要使该物质上的细菌少于原来的0.1%，则至少要喷洒 次．（lg 2≈0.3010）16．已知函数f(x)=sin(2x +π6)，g(x)=f(x 2+π4)，若对任意的a ，b ∈[π﹣m ，m ]，当a ＞b 时，f （a ）﹣f （b ）＜g （2a ）﹣g （2b ）恒成立，则实数m 的取值范围是 ．四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A={x|x+1x−5＞0}，B={x|y=√3x−9}，C＝（﹣∞，2m+1]，其中m∈R．（1）若（∁R A）∩B；（2）若A∪C＝R，求m的取值范围．18．（12分）（1）已知tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，求3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α的值；（2）已知sinα+cosα=12，且α∈（0，π），求1sinα−1cosα的值．19．（12分）已知f(x)=2√3sinxcosx−2sin2x．（1）求函数y＝f（x）在R上的单调增区间；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）的图象关于直线x=π6对称，求m取最小值时的y＝g（x）的解析式．20．（12分）已知函数f(x)=log2(2x)⋅log2x4．（1）当x∈[1，4]时，求该函数的值域；（2）若f（x）＜m log2x对于x∈[2，8]恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12min，其中心O距离地面40.5m，半径40m．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间t（单位：min）之后，请解答下列问题．（1）求出你与地面的距离h（单位：m）与时间t之间的函数解析式；（2）当你登上摩天轮2min后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差H （单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．22．（12分）设函数f（x）＝ax2﹣|x﹣a|，a∈R．（1）当a＝1时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当﹣1≤a≤2时，若对任意的x∈[1，4]，均有f（x）+bx≤0成立，求a2+b的最大值．2023-2024学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{a，0}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，0）∪（0，2]C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）解：集合A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{a，0}，B⊆A，则实数a的取值范围是[﹣2，0）∪（0，2]．故选：B．2．已知点P（tanθ，sinθ）是第二象限的点，则θ的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：因为点P（tanθ，sinθ）在第二象限，所以sinθ＞0，tanθ＜0，所以θ为第二象限角．故选：B．3．若a，b∈R，则“2a﹣b＞1”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：根据指数函数y＝2x是R上的增函数，可知2a﹣b＞1等价于2a﹣b＞20，即a﹣b＞0，因为“a﹣b＞0”是“a＞b”的充要条件，所以“2a﹣b＞1”是“a＞b”的充要条件．故选：C．4．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=2x−18，则f（x）＜0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（0，3）B．（﹣3，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）解：因为函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=2x−1 8，当x＞0时，﹣x＜0，所以f（﹣x）=2−x−18=−f（x），所以f（x）=18−12x，又f（0）＝0，则f（x）＜0可转化{x＜02x−18＜0或{x＞018−12x＜0，解得，x＜﹣3或0＜x＜3．故选：C．5．已知点(3，19)在幂函数f（x）＝xα的图象上，设a＝f（log25），b＝f（ln2），c=f(tanπ3)，则a，b，c的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a解：∵点(3，19)在幂函数f （x ）＝x α的图象上，∴3α=19，∴α＝﹣2，∴f （x ）＝x ﹣2，在（0，+∞）上单调递减，∵log 25＞log 24＝2，0＝ln 1＜ln 2＜lne ＝1，tan π3=√3， ∴0＜ln 2＜tan π3＜log 25，∴f （ln 2）＞f （tan π3）＞f （log 25），即b ＞c ＞a ．故选：D ． 6．函数f(x)=x 2lg2+x2−x的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由2+x 2−x＞0解得﹣2＜x ＜2，所以f （x ）的定义域为（﹣2，2），f(−x)=x 2lg2−x 2+x =x 2lg(2+x 2−x )−1=−x 2lg 2+x2−x=−f(x)， 所以f （x ）是奇函数，图象关于原点对称，由此排除BC 选项． f （1）＝lg 3＞0，由此排除D 选项． 故选：A ．7．若关于x 的方程2sin x cos x ﹣cos2x ＝1在[0，π）内有两个不同的解x 1，x 2，sin （x 1+x 2）的值为（ ） A ．12B ．√22C ．√32D ．√2+√64解：2sin x cos x ﹣cos2x ＝sin2x ﹣cos2x =√2sin （2x −π4）＝1在[0，π）内有两个不同的解x 1，x 2，等价于sin （2x −π4）=√22在[0，π）内有两个不同的解x 1，x 2，x ∈[0，π）⇒2x −π4∈[−π4，7π4），依题意，得2x 1−π4+2x 2−π4=π，解得x 1+x 2=3π4，sin （x 1+x 2）＝sin 3π4=√22．故选：B ．8．已知函数f （x ）＝sin x ，若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|＝12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9解：∵y ＝sin x 对任意x i ，x j （i ，j ＝1，2，3，…，m ）， 都有|f （x i ）﹣f （x j ）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min ＝2，要使m 取得最小值，尽可能多让x i （i ＝1，2，3，…，m ）取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|＝12， 按下图取值即可满足条件，∴m 的最小值为8． 故选：C ．二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π2C ．终边落在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α=π4+kπ，k ∈Z}D ．函数y =tan(2x −π6)的定义域为{x|x ≠π3+kπ2，k ∈Z}解：对于A ，由任意角的定义可知，若角α与角β不相等，则α与β的终边也可能重合，例如α=π6，β=13π6，故A 错误；对于B，由扇形的面积公式可得，扇形的面积为12×lα×l=12×ππ3×π=32π，故B正确；对于C，终边落在直线y＝x上的角的集合是{α|π4+kπ，k∈Z}，故C正确；对于D，由正切函数的定义域可得，2x−π6≠π2+kπ，k∈Z，∴x≠π3+kπ2，即函数y=tan(2x−π6)的定义域为{x|x≠π3+kπ2，k∈Z}，故D正确．故选：BCD．10．设正实数x，y满足x+y＝2，则下列说法正确的是（）A．1x+1y的最小值为2B．xy的最小值为1C．√x+√y的最大值为4D．x2+y2的最小值为2解：∵x＞0，y＞0，x+y＝2，∴1x+1y=12(x+y)(1x+1y)=12(2+yx+xy)≥12(2+2√yx⋅xy)=2，当且仅当yx=xy，即x＝y＝1时等号成立，故选项A正确；∵x+y=2≥2√xy，∴xy≤1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故选项B错误；∵2（a2+b2）﹣（a+b）2＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，则2（a2+b2）≥（a+b）2，∴（a+b）2≤2（a2+b2），∴(√x+√y)2≤2[(√x)2+(√y)2]=4，∴√x+√y≤2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，最大值为2，故选项C错误；x2+y2≥(x+y)22=2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，故选项D正确．故选：AD．11．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线f(x)=2sin(2π3x+φ)(|φ|＜π2)，且经过点（1，2）．则下列说法正确的是（）A．函数f(x+14)是奇函数B．函数f（x）在区间（1，2）上单调递减C．∃n∈N*，使得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＞2 D．∀x∈R，存在常数m使得f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）＝m解：因为f(x)=2sin(2π3x+φ)(|φ|＜π2)经过（1，2），所以sin （2π3+φ）＝1，即2π3+φ＝2k π+π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π−π6，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ=−π6，则f （x ）＝2sin （2π3x −π6）．对于A ，f （x +14）＝2sin[2π3（x +14）−π6]＝2sin 2π3x ，故为奇函数，所以A 正确；对于B ，x ∈（1，2）时，结合正弦函数的性质可知x ∈（1，2）时，f （x ）单调递减，所以B 正确； 对于D ，f （x +1）+f （x +2）+f （x +3）＝2sin （2π3x +π2）+2sin （2π3x +7π6）+2sin （2π3x +2π−π6）＝2cos 2π3x﹣2sin （2π3x +π6）+2sin （2π3x −π6）＝2cos 2π3x ﹣2（sin 2π3x cos π6+cos 2π3x sin π6）+2（sin 2π3x cos π6−cos 2π3x sin π6）＝2cos 2π3x ﹣2cos 2π3x ＝0，所以f （x +1）+f （x +2）+f （x +3）恒为0，所以D 正确；对于C ，当n ＝3k ，k ∈N *时，f （1）+f （2）+f （3）+⋯+f （n ）＝0，当n ＝3k +1，k ∈N *时，f （1）+f （2）+f （3）+⋯+f （n ）＝f （n ）＝2sin （2π3n −π6）≤2，当n ＝3k +2，k ∈N *时，f （1）+f （2）+f （3）+⋯+f （n ）＝f （n ﹣1）+f （n ）＝2sin （2π3n −5π6）+2sin （2π3n −π6）＝2（sin 2π3n •cos 5π6−cos 2π3n •sin 5π6）+2（sin 2π3n •cos π6−cos 2π3n •sin π6）＝﹣2cos 2π3n ≤2，所以C 错误．故答案为：ABD ．12．若n ∈N *时，不等式(nx −6)ln(nx)≥0恒成立，则实数x 可取下面哪些值（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：当x ＝1时，n ＝2时，（n ﹣6）lnn ＝﹣4ln 2＜0，不等式(nx −6)ln(nx )≥0不恒成立，故A 错误；当x ＝2时，不等式即为（2n ﹣6）ln n2≥0，当n ＝1，2，3时，原不等式恒成立；n ≥4时，原不等式恒成立，故B 正确；当x ＝3时，不等式即为（3n ﹣6）ln n3≥0，当n ＝1，2，3时，原不等式恒成立；n ≥4时，原不等式恒成立，故C 正确；当x ＝4时，不等式即为（4n ﹣6）ln n 4≥0，当n ＝2时，8﹣6＝2，ln 12＜0，原不等式不恒成立，故D 错误． 故选：BC ．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)=√x +4+ln(1−x)，则f （2x ）的定义域为 [﹣2，12） ．解：由题意得，{x +4≥01−x ＞0，解得﹣4≤x ＜1，令﹣4≤2x ＜1，则﹣2≤x ＜12，故f （2x ）的定义域为[﹣2，12）．故答案为：[﹣2，12）．14．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(35，45)，则tan2α＝ −247 ．解：由角终边经过点(35，45)，故tanα=4535=43，则tan2α=2tanα1−tan 2α=2×431−(43)2=−247． 故答案为：−247． 15．某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%，要使该物质上的细菌少于原来的0.1%，则至少要喷洒 5 次．（lg 2≈0.3010）解：设喷洒x 次，则：（1﹣0.8）x ＜0.1%＝10﹣3，∴xlg 0.2＜﹣3，∴x ＞31−lg2，且lg 2≈0.3010，∴31−lg2≈4.3，∴x ≥5，即至少喷洒5次． 故答案为：5．16．已知函数f(x)=sin(2x +π6)，g(x)=f(x 2+π4)，若对任意的a ，b ∈[π﹣m ，m ]，当a ＞b 时，f （a ）﹣f （b ）＜g （2a ）﹣g （2b ）恒成立，则实数m 的取值范围是 (π2，17π24] ．解：g(x)=f(x 2+π4)=sin(x +π2+π6)=cos(x +π6)，所以f （a ）﹣f （b ）＜g （2a ）﹣g （2b ），所以sin(2a +π6)−sin(2b +π6)＜cos(2a +π6)−cos(2b +π6)，所以sin(2a +π6)−cos(2a +π6)＜sin(2b +π6)−cos(2b +π6)，所以√2sin(2a +π6−π4)＜√2sin(2b +π6−π4)⇒sin(2a −π12)＜sin(2b −π12)， 因为对任意的a ，b ∈[π﹣m ，m ]，当a ＞b 时，f （a ）﹣f （b ）＜g （2a ）﹣g （2b ）恒成立 所以对任意的a ，b ∈[π﹣m ，m ]，当a ＞b 时，2a −π12＞2b −π12，sin(2a −π12)＜sin(2b −π12)恒成立， x ∈[π−m ，m]，2x −π12∈[23π12−2m ，2m −π12]． 不妨设2x −π12=t ，则问题转化成h （t ）＝sin t 在t ∈(23π12−2m ，2m −π12)单调递减， 所以{23π12−2m ≥π2+2kπ，2m −π12≤3π2+2kπ，2m −π12＞23π12−2m其中k ∈Z ，解得π2＜m ≤17π24，所以m 的取值范围为(π2，17π24]．故答案为：(π2，17π24]．四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A={x|x+1x−5＞0}，B={x|y=√3x−9}，C＝（﹣∞，2m+1]，其中m∈R．（1）若（∁R A）∩B；（2）若A∪C＝R，求m的取值范围．解：（1）集合A={x|x+1x−5＞0}={x|x＜﹣1或x＞5}，B={x|y=√3x−9}={x|x≥2}，∴∁R A＝{x|﹣1≤x≤5}，∴（∁R A）∩B＝{x|2≤x≤5}；（2）∵A∪C＝R，C＝（﹣∞，2m+1]，其中m∈R．∴2m+1≥5，解得m≥2，∴m的取值范围是[2，+∞）．18．（12分）（1）已知tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，求3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α的值；（2）已知sinα+cosα=12，且α∈（0，π），求1sinα−1cosα的值．解：（1）解方程2x2+x﹣1＝0，得x1＝﹣1，x2=12，∵tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，∴tanα=1 2，∴3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α=3sin2α−sinαcosα+2cos2αsin2α+cos2α=3tan2α−tanα+2tan2α+1=3×14−12+214+1=95．（2）∵sinα+cosα=12，且α∈（0，π），∴（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα=1 4，∴2sinαcosα=−3 4，∵α∈（0，π），∴α∈（π2，π），∴cos﹣sinα=−√(cosα−sinα)2=−√1−2sinθcosθ=−√1+34=−√72，∴1sinα−1cosα=cosα−sinαsinαcosα=−√72−38=4√73．19．（12分）已知f(x)=2√3sinxcosx−2sin2x．（1）求函数y＝f（x）在R上的单调增区间；（2）将函数y ＝f （x ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g （x ）的图象，若函数y ＝g （x ）的图象关于直线x =π6对称，求m 取最小值时的y ＝g （x ）的解析式．解：（1）由于f(x)=2√3sinxcosx −2sin 2x =√3sin2x ﹣2•1−cos2x 2=2sin （2x +π6）﹣1， 令2k π−π2≤2x +π6≤2k π+π2，k ∈Z ，求得k π−π3≤x ≤k π+π6，k ∈Z ， 可得函数的增区间为[k π−π3，k π+π6]，k ∈Z ． （2）将函数y ＝f （x ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位，可得y ＝2sin （2x +2m +π6）﹣1的图象； 再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g （x ）＝2sin （x +2m +π6）﹣1的图象．若函数y ＝g （x ）的图象关于直线x =π6对称，则π6+2m +π6=k π+π2，k ∈Z ，即m =12•k π+π12，k ∈Z ． 令k ＝0，求得m 取最小值为π12，此时，y ＝g （x ）＝2sin （x +π3）﹣1． 20．（12分）已知函数f(x)=log 2(2x)⋅log 2x 4． （1）当x ∈[1，4]时，求该函数的值域；（2）若f （x ）＜m log 2x 对于x ∈[2，8]恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）f （x ）＝log 2（2x ）•log 2x 4=（1+log 2x ）（log 2x ﹣2）=log 22x ﹣log 2x ﹣2， 令log 2x ＝t ，则函数化为y ＝t 2﹣t ﹣2，t ∈[0，2]，因此当t =12时，y ＝t 2﹣t ﹣2取得最小值−94， 当t ＝2时，y ＝t 2﹣t ﹣2，t ∈[0，2]取得最大值0，即当x =√2时，函数f （x ）取得最小值−94；当x ＝4时，函数f （x ）取得最大值0， 可得函数的值域为[−94，0]； （2）f （x ）＜m log 2x ，x ∈[2，8]恒成立，即log 22x ﹣（m +1）log 2x ﹣2＜0，x ∈[2，8]恒成立，令log 2x ＝t ，则t 2﹣（m +1）t ﹣2＜0，t ∈[1，3]恒成立，令g （t ）＝t 2﹣（m +1）t ﹣2＜0，t ∈[1，3]，则{g(1)=−2−m ＜0g(3)=4−3m ＜0，解得m ＞43， 所以实数m 的取值范围为（43，+∞）．21．（12分）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12min ，其中心O 距离地面40.5m ，半径40m ．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间t （单位：min ）之后，请解答下列问题．（1）求出你与地面的距离h （单位：m ）与时间t 之间的函数解析式；（2）当你登上摩天轮2min 后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差H （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值．解：（1）由已知可设y ＝40.5﹣40cos ωt ，t ≥0，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第一次到达最高点，即函数第一次取得最大值，所以6ω＝π，即ω=π6， 所以y ＝40.5﹣40cos π6t ，t ≥0； （2）由题意，两人距离地面的高度差H ＝40.5﹣40cos π6t ﹣[40.5﹣40cos π6（t ﹣2）] ＝40×[cos π6（t ﹣2）﹣cos π6t ] ＝40×（−12cos π6t +√32sin π6t ） ＝40sin （π6t −π6）， 令π6t −π6=k π+π2，k ∈Z ，可得t ＝4+6k ，k ∈Z ， 所以当t ＝4+6k ，k ∈Z 时，高度差的最大值40（米）．22．（12分）设函数f （x ）＝ax 2﹣|x ﹣a |，a ∈R ．（1）当a ＝1时，判断f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当﹣1≤a ≤2时，若对任意的x ∈[1，4]，均有f （x ）+bx ≤0成立，求a 2+b 的最大值． 解：（1）由题意得当a ＝1时，函数f （x ）＝x 2﹣|x ﹣1|，且函数f （x ）的定义域为R ，∴f （﹣x ）＝x 2﹣|﹣x ﹣1|＝x 2﹣|x +1|，∵f （﹣x ）≠f （x ），f （﹣x ）≠﹣f （x ），∴f （x ）是非奇非偶函数；（2）因为当﹣1≤a ≤2时，若对任意的x ∈[1，4]，均有f （x ）+bx ＝ax 2﹣|x ﹣a |+bx ≤0成立，∴令g （x ）＝ax 2﹣|x ﹣a |+bx ={ax 2−x +a +bx ，x ≥a ax 2+x −a +bx ，x ＜a ， ①当a ＝0时，g （x ）＝bx ﹣x ＝（b ﹣1）x ≤0，对任意的x ∈[1，3]恒成立，即3（b ﹣1）≤0，解得b ≤1，a 2+b ＝b 的最大值为1；②当﹣1≤a ＜0时，g （x ）＝ax 2﹣（x ﹣a ）+bx ＝ax 2+（b ﹣1）x +a ，x ∈[1，3]，对称轴为x =1−b 2a ， （i ）1−b 2a ≤1，则1﹣b ≥2a ，（a ＜0不等号方向改变），g （1）≤0即a +b ﹣1+a ≤0，所以b ≤1﹣2a ，则a 2+b ≤a 2﹣2a +1＝（a ﹣1）2，a 2+b 的最大值为1；（ii ）1−b 2a≥3时，1﹣b ≤6a ，即b ≥1﹣6a ，所以g （3）≤0，即b ≤1−103a ，无解； （iii ）1＜1−b 2a ＜3时，1﹣2a ＜b ＜1﹣6a ，所以g （1−b 2a）≤0，即a ⋅(1−b 2a )2+(b −1)×1−b 2a +a ≤0， 即4a 2≥（1﹣b ）2，所以1+2a ≤b ≤1﹣2a 无解；③当0＜a ≤1时，g （x ）＝ax 2﹣（x ﹣a ）+bx ＝ax 2+（b ﹣1）x +a ，x ∈[1，3]，对称轴为x =1−b 2a ， （i ）1−b 2a ≤1，则1﹣b ≤2a ，g （3）≤0即b ≤1−103a ，无解； （ii ）1−b 2a≥3时，1﹣b ≥6a ，即b ≤1﹣6a ，g （1）≤0，b ≤1﹣2a ，则b ≤1﹣6a ， 则a 2+b ≤a 2﹣6a +1＝（a ﹣3）2﹣8，∵0＜a ≤1，∴a 2+b 的最大值为1；（iii ）1＜1−b 2a ＜3时，1﹣6a ≤b ≤1﹣2a ，g （3）≤0，g （1）≤0， 则b ≤1−103a 且b ≤1﹣2a ， ∴1﹣6a ≤b ≤1−103a ，则a 2+b ≤a 2+1−103a ，a 2+b 的最大值为1；④当1≤a ≤2时，g(x)={ax 2−x +a +bx ，a ≤x ≤3ax 2+x −a +bx ，1≤x ≤a， g （3）≤0，g （1）≤0，g （a ）≤0，即{a +1−a +b ≤0a 3+ab ≤09a −3+a +3b ≤0，则{b ≤−1b ≤−a 2b ≤1−10a 3， 而1≤a ≤2，∴b ≤1−10a 3，则a 2+b ≤a 2+1−103a ， 令p （a ）＝a 2+1−103a ，1≤a ≤2， 则p '（a ）＝2a −103，即p （a ）在[1，53]上单调递减，在[53，2]上单调递增， 又p （1）=−43，p （2）=−53， 所以p （a ）的最大值为−43． 综上所述，对任意的x ∈[1，3]，均有f （x ）+bx ≤0成立，则a 2+b 的最大值为−43（所有最大值中的最小值）．。

江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高一(强化班)上学期期末数学试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 函数的定义域为（）A．B．C．D．(★★) 2. “ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 3. 已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A．B．C．D．(★★) 4. 函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知函数，若对任意的使得成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．(★★★★) 7. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是A．B．C．D．(★★★) 8. 已知不共线向量夹角为，，，，，在处取最小值，当时，的取值范围为A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．函数图象的对称轴为直线C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为(★★★) 10. 已知 x， y是正数，且，下列叙述正确的是（）A．xy最大值为B．的最小值为C．最大值为D．最小值为4(★★★) 11. 在中， D， E， F分别是边，，中点，下列说法正确的是（）A．B．C．若，则是在的投影向量D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为(★★★★) 12. 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是A．B．C．D．三、填空题(★★★) 13. 已知幂函数的图像不过原点，则实数 m的值为__________ .(★★★) 14. 设，，是方程的两根，则_________ .(★★★★) 15. 设函数，若关于 x的方程有且仅有6个不同的实根.则实数 a的取值范围是 _______ .(★★) 16. 在平面四边形中，点、分别是边、的中点，且，，，若，则的值为_____．四、解答题(★★) 17. 从给出的两个条件① ，② 中选出一个，补充在下面问题中，并完成解答.已知集合，.（1）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 a的值；（2）已知__________，若集合 C含有两个元素且满足，求集合 C.(★★★) 18. 已知函数的最小正周期为.（1）求及函数的对称中心；（2）已知，，求的值.(★★★★) 19. 如图，在中，，，，是的中点，点满足，与交于点.（1）设，求实数的值；（2）设是上一点，且，求的值.(★★★) 20. 某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金 y（单位：万元）随投资收益 x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为时，该公司对函数模型的基本要求是：当时，① 是增函数；② 恒成立；③ 恒成立.(1)现有两个奖励函数模型：① ；② .试分析这两个函数模型是否符合公司要求？(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数 a的取值范围.(★★★★) 21. 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”.（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；（2）求证：集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、.(★★★★★)22. 已知且，是定义在M上的一系列函数，满足：，.（1）求，的解析式；（2）若为定义在 M上的函数，且.①求的解析式；②若方程有且仅有一个实根，求实数 m的取值范围.。

2018-2019学年江苏省无锡市XX中学高一（上）期末测试数学试卷（强化班）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，则（∁R M）∩N= ．2．（5分）设x，y∈R，向量，，且，，则x+y= ．3．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．4．（5分）已知cosα=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）= ．5．（5分）设2a=5b=m，且+=2，m= ．6．（5分）将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y= ．7．（5分）若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 ．8．（5分）设向量，满足，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为 ．9．（5分）若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为 ．10．（5分）已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则= ．11．（5分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是 ．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是 ．13．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则实数m的取值范围是 ；x1+x2+x3的取值范围是 ．14．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为 ．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设函数，其中0＜ω＜2；（Ⅰ）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象的一条对称轴为，求ω的值．16．（14分）已知△ABC中．（1）设•=•，求证：△ABC是等腰三角形；（2）设向量=（2sinC，﹣），=（sin2C，2cos2﹣1），且∥，若sinA=，求sin（﹣B）的值．17．（14分）如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C．（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|+|的最小值；（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求•的取值范围．18．（16分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E 为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．19．（16分）如图，正方形ABCD中边长为1，P、Q分别为BC、CD上的点，△CPQ周长为2．（1）求PQ的最小值；（2）试探究求∠PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．高一（上）期末数学试卷（强化班）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，则（∁R M）∩N=　{x|x＜﹣2}　．【解答】解：∵M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，∴∁R M={x|x＜﹣2或x＞2}，则（∁R M）∩N={x|x＜﹣2}．故答案为：{x|x＜﹣2}2．（5分）设x，y∈R，向量，，且，，则x+y=　0　．【解答】解：∵，，∴=2x﹣4=0，2y+4=0，则x=2，y=﹣2．∴x+y=0．故答案为：0．3．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=　3　．【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：34．（5分）已知cosα=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）=　﹣　．【解答】解：∵cosα=，且α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣，则sin（π﹣α）=sinα=﹣．故答案为：﹣5．（5分）设2a=5b=m，且+=2，m= ．【解答】解：∵2a=5b=m，∴a=log2m，b=log5m，由换底公式得，∴m2=10，∵m＞0，∴故应填6．（5分）将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=　sin（4x+）　．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移，得到函数y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4x+）故答案为：sin（4x+）．7．（5分）若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是　[﹣1，0）　．【解答】解：作出函数的图象如图，由图象可知0＜g（x）≤1，则m＜g（x）+m≤1+m，即m＜f（x）≤1+m，要使函数的图象与x轴有公共点，则，解得﹣1≤m＜0．故答案为：[﹣1，0）．8．（5分）设向量，满足，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为　（﹣4，﹣2）　．【解答】解：设=（x，y），∵与的方向相反，∴=（2λ，λ），（λ＜0）．又∵，∴=2，解得λ=﹣2，∴=（﹣4，﹣2）．故答案为：（﹣4，﹣2）．9．（5分）若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为 ．【解答】解：∵θ是△ABC的一个内角，且，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ﹣cosθ====，故答案为．10．（5分）已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=　﹣　．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f（x）的周期T=，∵ω＞0∴ω=3∵角φ的终边经过点P（1，﹣2），∴sinφ=，cosφ=∴=sin（3•+φ）=sin（+φ）=（sinφ+cosφ）=•（）=﹣故答案为：﹣11．（5分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是 ．【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴，解得：，故答案为：12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是 ．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：13．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则实数m的取值范围是 ；x1+x2+x3的取值范围是 ．【解答】解：∵，∴f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=，则当x=0时，函数取得极小值0，当x=时，函数取得极大值故关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3时，实数m的取值范围是令f（x）=，则x=，或x=不妨令x1＜x2＜x3时则＜x1＜0，x2+x3=1∴x1+x2+x3的取值范围是故答案为：，14．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为　9　．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，且ω•+φ=n′π+，n′∈Z，∴相减可得ω•=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数．∵f（x）在（，）单调，（1）若f（x）在（，）单调递增，则ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ+①，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z ②，把①②可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣．此时f（x）=sin（11x﹣）在（，）上不单调，不满足题意．当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f （x ）=sin （9x +）在（，）上单调递减，不满足题意；故此时ω无解．（2）若f （x ）在（，）单调递减，则ω•+φ≥2kπ+，且ω•+φ≤2kπ+，k ∈Z ，即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ﹣③，且ω•+φ≤2kπ+，k ∈Z ④，把③④可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，﹣+φ=kπ，k ∈Z ，∵|φ|≤，∴φ=﹣．此时f （x ）=sin （11x ﹣）在（，）上不单调，不满足题意．当ω=9时，﹣+φ=kπ，k ∈Z ，∵|φ|≤，∴φ=，此时f （x ）=sin （9x +）在（，）上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9．故答案为：9．　二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设函数，其中0＜ω＜2；（Ⅰ）若f （x ）的最小正周期为π，求f （x ）的单调增区间；（Ⅱ）若函数f （x ）的图象的一条对称轴为，求ω的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=sin2ωx +…（2分）=sin （2ωx +）+．…（3分）∵T=π，ω＞0，∴，∴ω=1．…（4分）令，…（5分）得，…（6分）所以f（x）的单调增区间为：．…（7分）（Ⅱ）∵的一条对称轴方程为，∴．…（9分）∴．…（11分）又0＜ω＜2，∴．∴k=0，∴．…（13分）16．（14分）已知△ABC中．（1）设•=•，求证：△ABC是等腰三角形；（2）设向量=（2sinC，﹣），=（sin2C，2cos2﹣1），且∥，若sinA=，求sin（﹣B）的值．【解答】（1）证明：∵•=•，∴，∴，即．∴△ABC是等腰三角形；（2）解：=（2sinC，﹣），=（sin2C，2cos2﹣1），且∥，则∴，则，得，∴sin2C=0，∵C∈（0，π），∴．∵，，∴，．∴．17．（14分）如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C．（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|+|的最小值；（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求•的取值范围．【解答】解：（1）以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则设D（t，0）（0≤t≤1），则，所以，当时，．（2）由题意，设C（cosθ，sinθ），所以=．因为，则，所以．18．（16分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E 为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．【解答】解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米，又因为EM=EN=1米，所以MN=米，所以，即三角通风窗EMN的通风面积为（2）当MN在矩形区域内滑动，即时，△EMN的面积；当MN在半圆形区域内滑动，即时，△EMN的面积综上可得；（3）当MN在矩形区域内滑动时，f（x）在区间上单调递减，则f（x）＜f（0）=；当MN在半圆形区域内滑动，等号成立时，因此当（米）时，每个三角形得到最大通风面积为平方米．19．（16分）如图，正方形ABCD中边长为1，P、Q分别为BC、CD上的点，△CPQ周长为2．（1）求PQ的最小值；（2）试探究求∠PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由．【解答】解：设∠CPQ=θ，则CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ（1）（）∴∴（2）分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），设∠DAQ=α，∠PAB=β∴，即xy+（x+y）=1又tanα=x，tanβ=y∴，∴∴20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）在R上是增函数，则即﹣2≤a≤2，则a范围为﹣2≤a≤2；（4分）（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即x|x﹣a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即，，，故只要且在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]时，只要的最大值小于a且的最小值大于a即可，（6分）而当x∈[1，2]时，，为增函数，；当x∈[1，2]时，，为增函数，，所以；（10分）（3）当﹣2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；（11分）则当a∈（2，4]时，由得x≥a时，f（x）=x2+（2﹣a）x对称轴，则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），x＜a 时，f（x）=﹣x2+（2+a）x对称轴，则f（x）在为增函数，此时f（x）的值域为，f（x）在为减函数，此时f（x）的值域为；由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则，即存在a∈（2，4]，使得即可，令，只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，，故实数t的取值范围为；（15分）同理可求当a∈[﹣4，﹣2）时，t的取值范围为；综上所述，实数t的取值范围为．（16分）。