第五章 数字滤波器的基本概念及一些特殊滤波器

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5.2.1 理想数字滤波器的特点及分类
理想滤波器的特点 特点: 特点 在滤波器的通带内幅度为常数(非零), ),在阻带中 在滤波器的通带内幅度为常数(非零),在阻带中 幅度为零; 幅度为零; 具有线性相位; 具有线性相位; 单位脉冲响应是非因果无限长序列. 单位脉冲响应是非因果无限长序列
表示输出信号相对输入信号没有发生失真.
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假设低通滤波器的频率响应 频率响应为 频率响应 e jwn0 , w ≤ wc jw H (e ) = 0, wc < w ≤ π 式中, n0是一个正整数,称为通带截止频率. 其幅度特性和相位特性图形如下:
H (j ω )
(ω
)
1
ωc
0
π
带通
ω
2π
0
ω
π
带阻
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2π
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5.2.2 理想滤波器的可实现性
因果序列 不能物理实现 近似实现办法: 近似实现办法: 1)h ( n )的波形向右移动,忽略 n < 0 的部分成为因果序列 2)截取中间幅度最大的部分,以保持滤波器有线性相位 n
0.4 x(n) 0.2 0 -0.2 -10 0.4 x(n) 0.2 0 -0.2 -10 0 10 20 n 30 40 50 0 10 20 n 30 40 50
3 = 2 0 lg H e H e
(
jw p
) = 1 0 lg H ( e )
jw p
2
(
jw p
)
2
= 1 0 3 10 ≈ 1 2
因为滤波器系数是实数,因此
H e
(
jw p
)
2
=H e
(
jw p
) H ( e ) = H ( e ) H ( e ) = 0.5
jw p jw p jw p
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例5.2 假设二阶数字滤波器的系统函数为
H (z) =
H ( e j 0 ) = 1, w = π 4 , 幅度下降 试确G和p使幅度特性满足:
(1 pz )
1
jw 4 2
G
2
到最大幅度的 1 2 ,即 H ( e ) = 1 2. 解:在 w = 0 处,幅度为1,得到 G 2 j0 H (e ) = = 1,即G = (1 p ) 2 (1 p ) 在 w = π 4 处,幅度为 1 2 ,得到
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将其系统函数带入上式,可推出:
2a w p = arccos 1+ a2
一般极点很靠近单位圆,上式可以近似表示为 wp ≈ β = 1 a 式中,β 称为3dB带宽. 推导方法:
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一阶低通滤波器的带宽
a
0.6 0.7
精确带宽
近似带宽β
0.8 0.85 0.9 0.95
H (e
jπ 4
)=
(1 pe )
G
jπ 4 2
=
G
(1 p cosπ 4 jpsinπ 4)
2
=
(1 p
(1 p)
2
2 j p 2
)
2
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上式解出p=0.32,则滤波器的系统函数为
H (z) =
(1 0.32 z )
0.46
1 2
w 例5.3 设计一个二阶带通滤波器, = π 2 是通带中心, 在 w = 0, π 两点,频率响应为零,在 w = 4π 9处,幅 度为 1 2 . 解:极点设计在通带中心w = π 2, ± jπ 2 = ± jr ; 极点 p 1 , 2 = r e 零点在 w = 0,π 处,即 z 1 = 1 和 z2 = 1 得系统函数 ( z 1)( z + 1) = G z 2 1 H ( z) = G z2 + r2 ( z jr )( z + jr )
1
1 a 1 + z 1 H2 ( z ) = 2 1 az 1
Imaginary Part
0.5
0
-0.5
-1 -1 -0.5 0 0.5 Real Part 1
(a) 0.95 1.5 1 0.5 0
(b) 0.95,-1 1.5 1 0.5 0
0
0.5
1 ω/ π
1.5
2
0
1 ω/π
2
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图(a)(b)是二阶低通滤波器,图(c)(d)是二阶高通 滤波器,图(e)是带通滤波器. 二阶数字滤波器的系统函数一般表示式为
H ( z) = G
( z b1 )( z b2 ) ( z p1 )( z p2 )
式中:G是常数,一般取G使幅度特性的最大值为1;p1 , p 2 为共 b 轭极点; 1 , b 2 为共轭零点.
理想低通滤波器 的单位脉冲响应
理想低通的近似实现
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处理以后滤波器的传输函数 H N ( e jw ) 与理想 jw 不同是: 低通的传输函数 H ( e ) 不同 的不同 1)通带中的幅度产生了波动,不再是常数; 2)阻带的幅度不再是零; 3)原来没有过渡带,现在产生了过渡带.
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5.3 简单滤波器的设计
ωc O
ωc ω
ωc O
ω
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滤波器的单位脉冲响应 单位脉冲响应为: 单位脉冲响应 1 h ( n) = 2π
∫π
π
H ( e jw )e jwn dw e
jwn0
举例:假设 n0 = 5, wc = π 4
0.4 0.2 x(n)
1 = 2π
∫
wc
wc
e
jwn
dw =
sin ( n n0 ) wc
a = 0.8, b = 1, 0, 0.7
式中 0 < a < 1 ,以保证系统因果稳定; 幅度特性用下图讨论:
1 0.8 0.6 0.4 Imaginary Part 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.5 0 Real Part 0.5 1
10 8 6 4 2 0
0
0.5 ω/ π
1
结论:设计单极点单零点低通滤波器应该让零点远离级点. 结论:设计单极点单零点低通滤波器应该让零点远离级点.
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5.3.2 一阶低通滤波器带宽的计算
一阶低通滤波器的系统函数 设 w = wp ,幅度降到-3 dB ,则
1 a 1 + z 1 H2 ( z) = 2 1 az 1
第五章 数字滤波器的基本概念 及一些特殊滤波器
5.1 数字滤波器的基本概念 5.2 理想数字滤波器 5.3 简单滤波器的设计 特殊滤波器 5.4 数字谐振器 5.5 数字陷波器 5.6 全通滤波器 5.7 最小相位滤波器 5.8 梳状滤波器 5.9 正弦波发生器
5.1 数字滤波器的基本概念
1.数字滤波器与数字滤波 滤波的涵义: 滤波的涵义: 将输入信号的某些频率成分或某个频带进行压缩,放大; 对信号进行检测; 对参数估计; 数字滤波器: 数字滤波器: 通过对输入信号的进行数值运算的方法来实现滤波 模拟滤波器: 模拟滤波器: 用电阻,电容,电感及有源器件等构成滤波器对信号进行滤波 2.数字滤波器的实现方法 用软件在计算机上实现 用专用的数字信号处理芯片 用硬件
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以上是低通滤波,以下是高通滤波:
1 a H1 ( z ) = , a = 0.95 z a
1Leabharlann 1 a 1+ z1 H2 ( z ) = 2 1 az1
1 Imaginary Part 0.5 0 -0.5 -1
0.5 Imaginary Part
0
-0.5
-1 -1 -0.5 0 Real Part 0.5 1
用Z平面零极点放置法设计简单滤波器的基本原理 基本原理: 基本原理 极点放置在要加强的频率点附近(单位圆内),极点 越靠近单位圆频率响应的峰值越高; 零点放置在将要减弱的频率附近,零点越靠近单位圆 频率响应的谷值越小,如放在单位圆上幅度为零. 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 一阶数字滤波器 一阶低通滤波器带宽的计算 二阶数字滤波器 低通到高通的简单变换
H
( z ) = ∑ h (n ) z n , 式 中 h (n )是 其 单 位 脉 冲 响 应
n=0
N 1
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5.2 理想数字滤波器
理想滤波器是一类很重要的滤波器,对信号进行滤波能 近似实现.设计的时候 够达到理想的效果,但是他只能近似实现 近似实现 可以把理想滤波器作为逼近标准用. 本节主要讲述: 5.2.1 理想数字滤波器的特点及分类 5.2.2 理想滤波器的可实现性
0.49 0.35 0.22
0.16 0.10
0.40 0.30 0.20 0.15
0.10
0.05
0.05
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例5.1 假设模拟信号 x a ( t ) = sin 7 t + sin 200 t ,设计一 个低通数字滤波器将信号中的高频分量滤除. 解: 确定采样间隔T:显然要选择T<π /200=0.0157, : 确定T=0.015. 低通滤波器:低频分量 7×0.015 = 0.105rad 高频分量 200 × 0.015 = 3rad 选择带宽 β = 0.2rad 利用 wp ≈ β = 1 a 计算出a =0.8 数字低通滤波器的系统函数为
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5.3.1 一阶数字滤波器
特点:具有一个极点, :具有一个极点, 零点可以有一个也可以没有. 零点可以有一个也可以没有.
1 a , a = 0 .9 5 H 1 (z ) = za