安泰经济与管理学院《高阶运筹学》第1次课后作业

《管理运筹学》第四版课后习题解析(上)《管理运筹学》第四版课后习题解析（上）第2章 线性规划的图解法1．解：（1）可行域为OABC 。

（2）等值线为图中虚线部分。

（3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解1x =127，2157x =；最优目标函数值697。

图2-12．解：（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解120.20.6x x =⎧⎨=⎩，函数值为3.6。

图2-2（2）无可行解。

（3）无界解。

（4）无可行解。

（5）无穷多解。

（6）有唯一解 1220383x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，函数值为923。

3．解：（1）标准形式12123max 32000f x x s s s =++++1211221231212392303213229,,,,0x x s x x s x x s x x s s s ++=++=++=≥（2）标准形式1212min 4600f x x s s =+++12112212121236210764,,,0x x s x x s x x x x s s --=++=-=≥（3）标准形式12212min 2200f x x x s s ''''=-+++ 1221122122212212355702555032230,,,,0x x x s x x x x x x s x x x s s '''-+-+=''''-+=''''+--=''''≥4．解：标准形式1212max 10500z x x s s =+++1211221212349528,,,0x x s x x s x x s s ++=++=≥松弛变量（0，0）最优解为 1x =1，x 2=3/2。

5．解：标准形式12123min 118000f x x s s s =++++121122123121231022033184936,,,,0x x s x x s x x s x x s s s +-=+-=+-=≥剩余变量（0, 0, 13）最优解为 x 1=1，x 2=5。

运筹学部分课后习题解答P47 1.1用图解法求解线性规划问题min z=2x 3x 2 4为 6x 2 6 a )s.t 4x i 2x 24X i ,X 2 0解：由图1可知，该问题的可行域为凸集 MABCN ，且可知线段BA 上的点3都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为Z m i n =2 3 * 3 0 3P47 1.3用图解法和单纯形法求解线性规划问题max z=10x.| 5x 23x 1 4x 2 9 s.t 5x 1 2x>8x 1, x> 0解：由图1可OABCO ，且可知B 点为最优值点,小 3x-| 4x 29 即125x 1 2x 28x 1X 213，即最优解为x * 21,3v1图1单纯形法:原问题化成标准型为max z=10x15x23\ 4x2 x39 s.t 5\ 2x2 x48X i,X2,X3,X40P78 2.4已知线性规划问题:max z 2X | 4x 2 x 3 x-i 3X 2 X 4 82为 x 26 x 2 x 3 x 4 6 x | x 2 x 39XiXX, x 4求：(1)写出其对偶问题；(2)已知原问题最优解为X * (2,2,4,0)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

解：(1)该线性规划问题的对偶问题为：min w 8y 1 6y 2 6y 3 9y 4y 1 2y 2 y 4 2 3y 1 y 2 y 3 y 4 4 y 3 y 4 1y 1y 31%,丫2”3,丫4(2)由原问题最优解为X * (224,0)，根据互补松弛性得：y 1 2y 2 y 4 2 3y 1 y 2 y w 4y a y 4 1把X *(2,2,4,0)代入原线性规划问题的约束中得第四个约束取严格不等号, 即 2 2 48 9 y 4 0 y 1 2y 22从而有3y 1 y 2 y 34所以有x *13,zmax 10 1 5I35 "2X 4y a 1/曰 4 3 “门得y i 、目2 ,y3 i,y4 05 5所以对偶问题的最优解为y* （-,3,1,0）T，最优值为W min 165 5P79 2.7考虑如下线性规划问题:（1）写出其对偶问题；min z 60为40x2 80x33为2x2x3 24x1 X2 3x3 42x1 2x2 2x3 3捲必，怡0（2 ）用对偶单纯形法求解原问解：（1）该线性规划问题的对偶问题为：max w 2y1 4y2 3y33y i 4y2 2y3 602y1 y2 2y3 40 >y1 3y2 2y3 80 ,y1,y2,y3 0（2）在原问题加入三个松弛变量X4,X5,X6把该线性规划问题化为标准型max z 6 0x140X280x3x12x2X3 X4 24为x3x3 x 42x-| 2x22X3 X6 3X j 0,j 1L ,6* 52max 56 3 6 3 3P81 2.12某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表。

运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)第一章：线性规划一、选择题1. 线性规划问题中，目标函数可以是（）A. 最大化B. 最小化C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中，目标函数可以是最大化也可以是最小化，关键在于问题的实际背景。

2. 在线性规划问题中，约束条件通常表示为（）A. 等式B. 不等式C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中的约束条件通常包括等式和不等式两种形式。

二、填空题1. 线性规划问题的基本假设是______。

答案：线性性2. 线性规划问题中，若决策变量个数和约束条件个数相等，则该问题称为______。

答案：标准型线性规划问题三、计算题1. 求解以下线性规划问题：Maximize Z = 2x + 3ySubject to:x + 2y ≤ 83x + 4y ≤ 12x, y ≥ 0答案：最优解为 x = 4, y = 2，最大值为 Z = 14。

解析：画出约束条件的图形，找到可行域，再求目标函数的最大值。

具体步骤如下：1) 将约束条件化为等式，画出直线；2) 找到可行域的顶点；3) 将顶点代入目标函数，求解最大值。

第二章：非线性规划一、选择题1. 以下哪个方法适用于求解非线性规划问题（）A. 单纯形法B. 拉格朗日乘数法C. 柯西-拉格朗日乘数法D. A和B都对答案：B解析：非线性规划问题通常采用拉格朗日乘数法求解，单纯形法适用于线性规划问题。

2. 非线性规划问题中，以下哪个条件不是K-T条件的必要条件（）A. 梯度条件B. 正则性条件C. 互补松弛条件D. 目标函数为凸函数答案：D解析：K-T条件包括梯度条件、正则性条件和互补松弛条件，与目标函数是否为凸函数无关。

二、填空题1. 非线性规划问题中，若目标函数和约束条件都是凸函数，则该问题称为______。

答案：凸非线性规划问题2. 非线性规划问题中，K-T条件是求解______的必要条件。

第一章 图与网络分析例1-1 试求图1-2中从1v 到6v 的最短距离。

图1-2解：（1）给起始点1v 标以（0,s ），表示从1v 到1v 的距离为，为起始点1v 。

（2）这时已标定点的集合}{1v I =，未标定点的集合},,,,(65432v v v v v J =，弧集合)},(),,(),,{(},|),{413121v v v v v v J v I v v v j i j i =∈∈，并有2},,min(55022033013141312141141311312112===+=+==+=+==+=+=s s s s c l s c l s c l s这样我们给弧),(31v v 的终点3v 标以（2，1），表示从1v 到3v 的距离为2，并且在1v 到3v 的最短路径中3v 的前面一个点是1v 。

（3）这时已标定点的集合},{31v v I =，未标定点的集合},,,(6542v v v v J =，弧集合)},(),,(),,{(},|),{434121v v v v v v J v I v v v j i j i =∈∈，并有3},,min(312341234141234334====+=+=s s s s s c l s这样我们给弧),(21v v 的终点2v 标以（3，1），表示从1v 到2v 的距离为3，并且在1v 到2v 的最短路径中2v 的前面一个点是1v ；我们给弧),(43v v 的终点4v 标以（3，3），表示从1v 到4v 的距离为3，并且在1v 到4v 的最短路径中4v 的前面一个点是3v（4）这时已标定点的集合},,,{4321v v v v I =，未标定点的集合},(65v v J =，弧集合)},(),,{(},|),{6462v v v v J v I v v v j i j i =∈∈，并有8},min(85310734646264644626226===+=+==+=+=s s s c l s c l s这样我们给弧),(64v v 的终点6v 标以（8，4），表示从1v 到6v 的距离为8，并且在1v 到6v 的最短路径中6v 的前面一个点是4v（5）这时},,,,{64321v v v v v I =， }(5v J =，弧集合φ=∈∈},|),{J v I v v v j i j i ，计算结束。

《管理运筹学教程》习题参考答案第一章 线性规划1、解：设每天应生产A 、B 、C 三种型号的产品分别为321,,x x x 件。

则线性规划模型为： ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++++=0,,20005040401200637.3020405max 321321321321x x x x x x x x x t s x x x Z 2、解：设5种债劵的投资额分别为54321,,,,x x x x x 件。

则线性规划模型为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+≥+≤≤+≤+=++++++++=0,,,,)(2.0)(65.0121830.05.0055.0045.009.0065.0max 5432121543243215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x Z3、（1）解：对原问题标准化，令1x '＝－1x ，333x x x ''-'= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥''''=''-'+-'=-''-'++'=+''+'-+'-''-'++'-='0,,,,, 30444 25443 92. 442max 543321332153321433213321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x Z （2）解：对原问题标准化，令1x '＝－1x ，333x x x ''-'= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥''''=''-'++'-=-''-'++'=+''-'++'''+'--'='0,,,,, 264425 144434 192223. 442max 543321332153321433213321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x Z （3）解：对原问题标准化，令222x x x ''-'= 221m ax x x x Z ''-'+= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥''≥'≥=''-'-≥''-'+≤''-'+0,0,0 3)(2 4)(7 6)(32. 221221221221x x x x x x x x x x x x t s4、（1）解：首先将线性规划模型标准化得：3212m ax x x x z +-=⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=+-+=++-=+++0,,,202102603.621632153214321x x x x x x x x x x x x x x x t s Λ最优解为x 1 =0，x 2 = 110/3 , x 3 = 70/3。

2021 年 9 月份考试运筹学第一次作业一、单项选择题 (本大题共 100 分 ,共 40 小题 ,每题 2.5 分1.0-1 规划求解方法没有 ( 。

A.枚举法B.隐枚举法C.单纯形法D.避圈法2.整数规划要靠 ( 为之提供其松弛问题的最优解。

A. 0-1 规划B.动态规划C.动态规划D.线性规划3.运筹学是一门 ( 。

A.决策科学B.数学科学C.应用科学D.逻辑科学4.基可行解对应的基 ,称为 ( 。

A.最优基B.可行基C.最优可行基D.极值基5.隐枚举法是省去假设干目标函数不占优势的 ( 的一种检验过程。

A.根本可行解B.最优解C.根本解D.可行解6.运筹学有助于管理人员正确决策 ,因为它把研究对象当成 ( 。

A.决策变量B.决策目标C.有目标的系统D.影响模型的关键7.对偶问题与原问题研究出自 ( 目的。

A.不同B.相似C.相反D.同一8.敏感性分析假定 ( 不变 ,分析参数的波动对最优解有什么影响。

A.可行基B.根本基C.非可行基D.最优基9. 运筹学有明确的目标要求和为实现目标所具备的各种(A.资源要素B.必需条件C.求解算法D.实现工具10.从系统工程或管理信息预测决辅助系统的角度来看 ,管理科学与 ( 就其功能而言是等同或近似的。

A.统计学B.计算机辅助科学C.运筹学D.人工智能科学11.闭回路的特点不包括 ( 。

A.每个顶点都是直角B.每行或每列有且仅有两个顶点C.每个顶点的连线都是水平的或是垂直的D.起点终点可以不同12.运输问题分布 m*n 矩阵表的横向约束为 ( 。

A.供应约束B.需求约束C.以上两者都有可能D.超额约束13.动态规划综合了分级决策方法和 ( 。

A.系统化原理B.理想化原理C.最优化原理D.最小化原理14.动态规划综合了 ( 和“最优化原理〞。

A.一次决策方法B.二次决策方法C.系统决策方法D.分级决策方法15.线性规划问题不包括 ( 。

A.资源优化配置B.复杂系统结构性调整C.混沌系统分析D.宏、微观经济系统优化16.运输问题分布 m*n 矩阵表的纵向约束为 ( 。

运筹学课后习题答案第一章线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划：Min z=2x1+x2解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.43用图解法求解线性规划：Max z=5x1+6x2解：由图可得：最优解Max z=5x1+6x2, Max z= +4用图解法求解线性规划：Maxz = 2x 1 +x 2 由图可得：最大值==+35121x x x ，所以==2321x xmax Z = 8.6将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x1+2x2+3x3解：令Z’ = -z，引进松弛变量x4≥0,引进剩余变量x5≥0,得到一下等价的标准形式。

x2’=-x2 x3=x3’-x3’’Z’ = -min Z = -x1-2x2-3x39用单纯形法求解线性规划问题：Max Z =70x1+120x2解： Max Z =70x1+120x2单纯形表如下Max Z =3908.11.解：（1）引入松弛变量X4，X5，X6，将原问题标准化，得max Z=10X1+6X2+4X3X1+X2+X3+X4=10010 X1+4X2+5X3+X5=6002 X1+2X2+6X3+X6=300X1,X2,X3,X4,X5,X6≥0得到初始单纯形表：（2）其中ρ1 =C1-Z1=10-（0×1+0×10+0×2）=10，同理求得其他根据ρmax =max{10,6,4}=10,对应的X1为换入变量，计算θ得到，θmin =min{100/1,600/10,300/2}=60,X5为换出变量，进行旋转运算。

（3）重复（2）过程得到如下迭代过程ρj≤0，迭代已得到最优解，X*=（100/3，200/3，0，0，0，100）T，Z* =10×100/3+6×200/3+4×0 =2200/3。

第一章作业1．对于下列线性规划模型，找出顶点和约束之间的对应关系（图解法）122121212 max 25156224..50,0z x x x x x s t x x x x =+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩（答案略: 任何一个顶点对应两个约束的交点）2．用单纯形法求解线性规划模型12121212 max 2324..50,0z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩（答案略：最好两阶段法和大M 法均练习一遍）3．通过观察，判断下列线性规划模型有无最优解、在有解的情况下是否为无界解(说明理由)（1）12121212 max 25..2280,0z x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩因为 125x x +≥和12228x x +≤是两个矛盾的条件，所以问题无解（2）12312312312 max 225..32580,0z x x x x x x s t x x x x x =++-+≥⎧⎪--≥⎨⎪≥≥⎩ 因为(M ，0，0)是模型的一个可行解，所以可认为问题为无界解。

4．判断题(说明理由)1．最优解不唯一，那么一定有两个最优基可行解。

错误。

最优解不唯一，可能存在一个基可行解，也可能存在r(r ≥2)个基可行解。

举一例子进行反驳即可。

（注意区分基可行解和可行解）2．在最优单纯形表中，如果某个非基变量的检验数值为0，且相应的技术系数均小于等于0，则相应的线性规划有无界解。

错误。

判定无界解的原则有二：（1）某一单纯表中某一非基变量的检验数为正(目标函数求最大值时，求最小值时正好相反)，而该变量的技术向量P ≤0；（2）某一单纯表中某一非基变量的技术向量P ≤0，而该变量的价值系数又大于0(目标函数求最大值时，求最小值时正好相反)。

（注意：区分无界解和无穷多最优解） 5 线性规划问题max ,,0z CX AX b X ==≥，如果*X 是该问题的最优解，又0λ>为一常数，分别讨论下述情况时最优解的变化：（a ） 目标函数变为 max z CX λ= 方法1: 使用检验数进行讨论最优单纯表中, 变量X 的检验数为1B C C B A σ-=-, 显然 10B C C B A --≤设这时的最优解为*X . 当价值系数变为C λ时, *X 仍然是新问题的可行解,但变量X 的检验数变为111()B B C C B A C C B A σλλλ--=-=-仍有10σ≤, 因而两个问题具有同样的最优基, 进而有同样的最优解,仅仅最优目标函数值变化了λ倍.方法2: 设*X 为原问题的一个最优解, X 是原问题的任意一个可行解因而必有*CX CX ≥由于*X 和X 均也为新问题的可行解,由于0λ≥, 因而 *CX CX λλ≥ 因而*X 也是新问题的最优解.（b ） 目标函数变为 max ()z C X λ=+提示: 通过选择具体的例子, 分析目标函数的变化, 最优解可能发生改变, 也可能不变. 6．已知线性规划问题1122331111221334121122223352max ..01,2,3,4jz c x c x c x a x a x a x x b s t a x a x a x x b x j =++⎧+++=⎪+++=⎨⎪≥ =⎩试确定模型中各参数的值 解法1: 直接使用矩阵变换.解法2: 使用B 和1B -解题(关键知识点), 具体略.11/201/61/3B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦7． (证明题)线性规划问题max ,,0z CX AX b X ==≥，设0X 是问题的最优解，若目标函数中用*C 替换C 后，问题的最优解为*X ，则必有**()()0C C X X --≥证明：对于原问题，由于0X 和*X 均为可行解，0X 为最优解，因而有0*CX CX ≥ （7.1）对于替换后的问题，由于0X 和*X 均为可行解，*X 为最优解，因而有 ***C X C X ≥ （7.2） 结合（7.1）和（7.2）命题成立.8．(选做题)对于大M 法和两阶段法下面线性规划需要引入m 个人工变量, 你是否可以设计一种方法只引入一个人工变量就可112211112211211222221122 m i n .................0,1,2,...,n n n n n n m m mn n mi z c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x bx i n=++++++≥⎧⎪+++≥⎪⎪⎨⎪+++≥⎪≥=⎪⎩ 9．（选做题）证明标准的线性规划模型，要么不存在可行解，要么至少存在一个基可行解。

2018年6月运筹学（第1次）第一篇：2018年6月运筹学 ( 第1次 )第1次作业一、单项选择题（本大题共50分，共 25 小题，每小题 2 分）1.称次为()的点为孤立点。

A.0 B.1 C.2 D.都不对2.隐枚举法是省去若干目标函数不占优势的()的一种检验过程。

A.基本可行解 B.最优解 C.基本解 D.可行解3.对偶问题与原问题研究出自()目的。

A.不同B.相似C.相反D.同一4.敏感性分析假定()不变，分析参数的波动对最优解有什么影响。

A.可行基B.基本基C.非可行基D.最优基5.闭回路的特点不包括()。

A.每个顶点都是直角B.每行或每列有且仅有两个顶点C.每个顶点的连线都是水平的或是垂直的D.起点终点可以不同6.运筹学有针对性地表述研究对象的()。

A.数学结构B.客观运动规律 C.基本特征 D.基本要素7.运输问题分布m*n矩阵表的纵向约束为()。

A.供给约束B.需求约束C.以上两者都有可D.超额约束8.割平面法切割压缩后的可行域其()不变。

A.连续性 B.有界性 C.凸性 D.凹性9.关于分配问题，叙述错误的是()。

A.一人只能做一件任务B.任务数>0C.资源数>1D.总消耗或总收益要达到极值10.图解法适用于求解()决策变量的像性规划问题。

A.1个B.2个C.3个D.无要求11.两点之间不带箭头的联线称为()A.边 B.弧 C.链 D.路12.动态规划是一种()。

A.层次决策方法B.阶段决策方法C.整体决策方法 D.序贯决策方法13.分阶段隐枚举法从上个阶段的始发点寻找()。

A.任意点B.最近点 C.紧邻点 D.较远点14.纯整数规划的决策变量()。

A.均为整数B.均为非负整数C.部分为非负整数 D.为0和1 15.现代运筹学是因为()的需要而诞生和发展起来的。

A.工业 B.商业 C.金融业 D.战争16.运筹学有助于管理人员正确决策，因为它把()当成有目标的系统。

《管理运筹学》习题1解答
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1.
x1＋x2＝x3＋x4＋x5，
x j≥0(j=1,2,…,8
法 2 ： (1 设经过设备 (A 1 ,B 1 、 (A 1 ,B 2 、 (A 1 ,B 3 、 (A 2 ,B 1 、 (A 2 ,B 2 、 (A 2 ,B 3 加工的产品Ⅰ的数量分别为x j (j=1,2,… ,6 件；设经过设备 (A 1 ,B 1 、 (A 2 ,B 1 加工的产品Ⅱ数量分别为x 7 、x 8 件；设经过设备 (A 2 ,B 2 加工的产品Ⅲ的数量为x 9 件。

(2目标函数：
（3）约束条件：
2.
解：（1）据题意可知，星期六从11:00-22:00一天连续营业11个小时。

设从第
10+i个小时（i=1,2,…,11）初开始连续工作3小时的临时工为xi个、连续工作4小时的临时工为yi个。

但是从19:00以后工作时间只有3个小时，某些班次连续工作时间虽然没有达到3小时或4小时，但只要连续工作到22:00关门即可。

（2）约束条件如下：
s.t.
(3目标函数：
3. 解：（1）设定决策变量：设Xi、Yi分别为第i个月生产产品Ⅰ、Ⅱ的数量；Zi、Wi分别为第i个月月末产品Ⅰ、Ⅱ的库存数；S1i、S2i分别为用于第i个月月末仓库自有及租借的容积（立方米）。

参数说明：ai、bi分别表示每月产品Ⅰ、Ⅱ的需求量，具体数值见题目1-3行所述。

上述i＝1,2, (12)
（2）约束条件：
（3）目标函数：。

运筹学1至6章习题参考答案第1章 线性规划1.1 工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.2 建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：【解设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为10112342567368947910min 28002120026002239000,1,2,,10jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩∑ （2）余料最少数学模型为2345681012342567368947910min 0.50.50.52800212002*********0,1,2,,10j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩1.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。

已知产品A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。

1～6月份产品A 的单件成本与售价如表1－25所示。

（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。