经验分布函数与直方图

第一章 描述性统计我们把对某一个问题的研究对象的全体称为总体，总体就是一个具有确定分布的随机变量．我们统计分析的目的是通过从总体中抽得的样本，对总体分布进行推断，要想较准确的推断出总体的分布，首先要对样本的分布状况有一个基本的了解，这一章就是介绍用以描述样本分布状况的一些常用统计分析方法，这些方法既直观又简单，而且也很实用．1.1频数分析与图形表示一、总体X 为只取少数个值的离散型随机变量 例1.1.1考察一枚骰子是否均匀，设计实验如下： 独立地掷这枚骰子42次，所得点数纪录如下：3 24 15 1 5 3 4 3 56 4 2 5 3 1 3 4 1 4 3 1 6 3 3 1 2 4 2 6 3 4 6 6 1 6 2 4 5 2 6 X 为掷一枚均匀的骰子一次所得的点数二、当总体X 取较多离散值或X 为连续取值时设x x x n ,,21是总体X 的一组样本观测值，具体做法如下：1求出x )1(和x n )(，取a 略小于x )1(,b 略大于x n )(；2将区间[a ，b]分成m 个小区间（m ＜n ）,小区间长度可以不等，分点分别为a =t t t m <<< 10=b注意：使每个小区间中都要有一定量的观测值，且观测值不在分点上。

划分区间个数的确定：区间过少：分布信息混杂，丢失信息． 区间过多：出现很多空区间．区间划分个数m 依赖于样本总数n ，理论上有如下两个公式可参考： Moore(1986) ： m ≈C n 5/2，C = 1～3； Sturges(1928) ： m ≈1+3.322（lg n ）；3用n j 表示落在小区间（t j 1-,t j ]中观测值的个数（频数）并计算频率f j =nn j （j=1,2,…,m ）；4在直角坐标系x-o-y 的x 轴上标出t t t m ,,,10 ，分别以（t j 1-,t j ]为底边，以n j 为高作矩形，即得频数条形图。

习题与解答5.21. 以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数 149 156 160 138 149 153 153 169 156 156 试由这批数据构造经验分布函数并作图. 解 此样本容量为10,经排序可得有序样本:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)138,149,153,156,160,169x x x x x x x x x x ==========其经验分布函数及其图形分别如下()01380.11490.31530.51560.81600.91691n x F <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪≥⎩，x ，， 138x ，， 149x ，， 153x ，， 156x ，， 160x ，， x 169.2. 下表是经过整理后得到的分组样本:试写出此分组样本的经验分布函数. 解 样本的经验分布函数为()037.50.1547.50.3557.50.7567.50.977.51n x x F <⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩，，， 37.5x ，， 47.5x ，， 57.5x ，， 67.5x ，， x 77.5.3.假若某地区30名2000年某专业毕业生实习满后的月薪数据如下: 909 1086 1120 999 1320 1091 1071 1081 1130 1336 967 1572 825 914 992 1232 950 775 1203 1025 1096 808 1224 1044 871 1164 971 950 866 738 (1)构造该批数据的频率分布表(分6组); (2)画出直方图.解 此处数据最大观测值为1572,最小观测值为738,故组距近似为1572736140,6d -== 确定每组区间端点为 ,此处可取 ,于是分组区间为(](](](](](]735.875875101510151155115512951295143514351575.，，，，，，，，，， 其频数频率分布表如下:其直方图如图5.2.4.某公司对其250名职工上班所需时间进行了调查,下面是其不完整的频率分布表:(1)试将频率分布表补充完整;(2)该公司上班所需时间在半小时以内有多少人?解(1)由于频率和为1,故空缺的频率为1-0.1-0.24-0.18-0.14=0.34. (2)该公司上班所需的时间在半小时以内的人所占频率为0.1+0.24+0.34=0.68,该公司有职工250人,故该公司上班所需时间在半⨯=人.小时以内的人有2500.681705. 40种刊物的月发行量如下(单位:百册):(1)建立该批数据的频数分布表,取组距为1700百册;5954 5022 14667 6582 6870 1840 2662 45081208 3852 618 3008 1268 1978 7963 20483077 993 353 14263 1714 11127 6926 2047 714 5923 6006 14267 1697 13876 4001 2280 1223 12579 13588 7315 4538 13304 1615 8612 (2)画出直方图.解 此处数据最大观测值为14667,最小观测值为353,由于组距为1700,故组数为146673538.421700K -≥=，所以分9组.接下来确定每组区间端点,要求03539170014667aa <+⨯>，此处可取0300a =，于是可列出其频数频率分布表.其直方图为6.对下列数据构造茎叶图452 425 447 377 341 369 412 399400 382 366 425 399 398 423 384418 392 372 418 374 385 439 408409 428 430 413 405 381 403 469381 443 441 433 399 379 386 387解取百位数与十位数组成茎,个位数为叶,这组数据的茎叶图如下:34 13536 6 937 2 4 7 938 1 1 2 4 5 6 739 2 8 9 9 940 0 3 5 8 941 2 3 8 842 3 5 5 843 0 3 944 1 3 745 246 97. 根据调查,某集团公司的中层管理人员的年薪数据如下(单位:千元):40.6 39.6 37.8 36.2 38.838.6 39.6 40.0 34.7 41.7 38.9 37.9 37.0 35.1 36.7 37.1 37.7 39.2 36.9 39.3 试画出茎叶图.解 取整数部分为茎,小数部分为叶,这组数据的茎叶图如下: 34 7 35 1 36 2 7 9 37 0 1 7 8 9 38 3 6 8 9 39 2 6 6 40 0 6 41 78. 设总体X 的分布函数为()F x ,经验分布函数为()n F x ,试证()()()()()11.n n E x F x Var x F x F x nF F ⎡⎤⎡⎤==-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 证 设1,...,n x x 是取自总体分布函数为()F x 的样本,则经验分布函数为()()()110/12,..., 1.1.k nn x x x k n x x x k n x F +⎧<⎪⎪=≤<=-⎨⎪>=⎪⎩（）（k ），当，当，，，当x 若令{}12,...,i x x i i n y I ≤==，，,则1,...,n y y 是独立同分布的随机变量,且 ()()()()()21111()E y P x x F x E y P x x F x =≤==≤=，， 于是()()()()2()[[1].]i Var F x F x F x Fx y =-=-又()n x F 可写为()n x F =11ni i n y =∑,故有()()()()()()1111,()1.n n E x EF x Var x Var F x F x nn y y F F ⎡⎤⎡⎤====-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

数理统计例举王晓谦wxqmath@南京师范大学主要内容随机变量及其分布经验分布函数和频率直方图参数估计假设检验相关分析与回归分析简介MATLAB例题例1能量供应问题（二项分布）例2 放射性（泊松）例3正态分布例4指数分布例5 多元随机变量例6经验分布函数例7超市问题（指数分布）例8区间估计例9 拟合检验1例10拟合检验2 例11概率纸检验法例12道德（独立性检验）例13肠癌例14J 效应随机变量及其分布例1、能量供应问题（二项分布）假定有10n =个工人间歇性地使用电力，估计所需要的总负荷。

首先我们要知道，或者是假定，每个工人彼此独立工作，而每一时刻每个工人都以相同的概率p 需要一个单位的电力。

那么，同时使用电力的人数就是一个随机变量，它服从所谓的二项分布。

用X 表示这个随机变量，记做(,)X B n p ，且有()(1),k k n k n P X k C p p -==-0,1,,k n =这是非常重要的一类概率分布。

其中E(X)＝np ， D(X)=np(1-p)。

其次，要根据经验来估计出，p 值是多少？例如，一个工人在一个小时里有12分钟在使用电力，那么应该有120.260p ==。

最后，利用公式我们求出随机变量X 的概率分布表如下：为直观计，我们给出如下概率分布图：目录 Back Next可以看出，{6}1{6}0.000864P X P X >=-≤=，也就是说，如果供应6个单位的电力，则超负荷工作的概率只有0.000864，即每11147200.000864≈≈分钟小时中，才可能有一分钟电力不够用。

还可以算出，八个或八个以上工人同时使用电力的概率就更小了，比上面概率的111还要小。

问题：二项分布是一个重要的用来计数的分布。

什么样的随机变量会服从二项分布？进行n次独立观测，在每次观测中所关心的事件出现的概率都是p，那么在这n次观测中事件A出现的总次数是一个服从二项分布B（n，p）。

python 幂律衰减系数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述Python是一种功能强大且广泛应用于数据分析和科学计算的编程语言。

随着互联网的发展以及大数据时代的来临，越来越多的研究者和数据科学家开始关注幂律衰减现象，并将其应用于各个领域的研究和实践中。

幂律衰减系数作为衡量幂律衰减程度的重要指标，因其在描述和分析幂律现象中的重要性而备受关注。

概括来说，幂律衰减系数是一种用来描述随机变量的衰减方式的指标。

在幂律分布中，随机变量的频率与其取值成幂律关系，即随机变量的概率密度函数以及累积分布函数呈现出幂律形式。

而幂律衰减系数则用于衡量这种幂律分布方式的强度和程度。

幂律衰减系数的计算方法有多种，常用的方法包括最小二乘法、极大似然估计法等。

这些方法可以帮助研究者从数据中获取幂律衰减系数的估计值，并进一步分析和解释这一指标的意义和作用。

通过计算幂律衰减系数，我们可以更好地理解数据的分布特征，揭示其背后的规律和本质。

幂律衰减系数在实际应用中具有广泛的意义和作用。

例如，在社交网络分析中，研究者经常使用幂律衰减系数来描述用户在社交网络中的贡献度和影响力，从而推测用户在网络中的地位和关系。

在金融领域，幂律衰减系数可以用于分析投资组合的风险和收益的关系，帮助投资者制定合理的投资策略。

在城市规划和交通管理方面，幂律衰减系数可以用于预测和优化城市中的人流和交通流量，提高城市的运行效率。

总之，幂律衰减系数作为衡量幂律衰减程度的重要指标，具有广泛的应用前景和研究价值。

通过深入研究和应用幂律衰减系数，可以更好地理解和分析幂律现象，并在实际应用中发挥重要作用。

在本篇长文中，我们将详细介绍幂律衰减系数的概念、计算方法和应用案例，以期为读者提供全面的幂律衰减系数知识和实践指导。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来介绍Python的幂律衰减系数。

首先在引言部分，我们将概述本文的主题，并介绍文章的结构。

接着在正文部分，我们将从三个方面来探讨幂律衰减系数。

用R也能做精算—actuar包学习笔记（一）李皞（中国人民大学统计学院风险管理与精算）本文是对R中精算学专用包actuar使用的一个简单教程。

actuar项目开始于2005年，在2006年2月首次提供公开下载，其目的就是将一些常用的精算功能引入R系统。

actuar是一个集成化的精算函数系统，虽然其他R包中的很多函数可以供精算师使用，但是为了达到某个目的而寻找某个包的某个函数是一个费时费力的过程，因此，actuar将精算建模中常用的函数汇集到一个包中，方便了人们的使用。

目前，该包提供的函数主要涉及风险理论，损失分布和信度理论，特别是为非寿险研究提供了很多方便的工具。

如题所示，本文是我在学习actuar包过程中的学习笔记，主要涉及这个包中一些函数的使用方法和细节，对一些方法的结论也有稍许探讨，因此能简略的地方简略，而讨论的地方可能讲的会比较详细。

文章主要是针对R语言的初学者，因此每种函数或数据的结构进行了尽可能直白的描述，以便于理解，如有描述不清或者错漏之处，敬请各位指正。

闲话少提，下面就正式开始咯！1 数据描述本节介绍描述数据的基本方法，数据类型主要分为分组数据和非分组数据。

对于非分组数据的描述方法大家会比较熟悉，无论是数量上，还是图形上的，比如均值、方差、直方图、柱形图还有核密度估计等。

因此下文的某些部分只介绍如何处理分组数据。

1.1 构造分组数据对象分组数据是精算研究中经常见到的数据类型，虽然原始的损失数据比分组数据包含有更多的信息，但是某些情况下受条件所限，只能获得某个损失所在的范围。

与此同时，将数据分组也是处理原始数据的基本方法，通过将数据分到不同的组中，我们可以看到各组中数据的相对频数，有助于对数据形成直观的印象（比如我们对连续变量绘制直方图）；而且在生存函数的估计中，数据量经常成千上万，一种处理方法是选定合适的时间或损失额度间隔，对数据进行分组，然后再使用分组数据进行生存函数的估计，这样可以有效减小计算量。