26何时获得最大利润新

【小节训练】2.6 何时获得最大利润一、选择题（共10小题）1．（2010•金华）已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2，﹣3），那么该抛物线有（）A．最小值﹣3 B．最大值﹣3 C．最小值2 D．最大值22．（2008•潍坊）若一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，则函数y=mx2﹣mx（）A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣3．二次函数y=x2﹣2x+2有（）A．最大值1 B．最大值2 C．最小值1 D．最小值24．（2003•台湾）下列为四个二次函数的图形，哪一个函数在x=2时有最大值3（）A．B．C．D．5．（2002•鄂州）用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不能是（）A．325cm2B．500cm2C．625cm2D．800cm26．（2006•舟山）二次函数y=x2+10x﹣5的最小值为（）A．﹣35 B．﹣30 C．﹣5 D．207．（2006•南充）二次函数y=ax2+bx+c，b2=ac且x=0时y=﹣4，则（）A．y最大=﹣4 B．y最小=﹣4 C．y最大=﹣3 D．y最小=﹣38．（2005•岳阳）已知抛物线y=2x2﹣4x﹣1，下列说法中正确的是（）A．当x=1时，函数取得最小值y=3 B．当x=﹣1时，函数取得最小值y=3C．当x=1时，函数取得最小值y=﹣3 D．当x=﹣1时，函数取得最小值y=﹣39．（2000•嘉兴）二次函数y=x2+2x﹣5取最小值时，自变量x的值是（）A．2B．﹣2 C．1D．﹣110．（1998•金华）已知二次函数y=2x2﹣2（a+b）x+a2+b2，a，b为常数，当y达到最小值时，x的值为（）A．a+b B．C．﹣2ab D．二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）11．（2011•泸州）如图，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是_________．12．（2010•自贡）如图，点Q在直线y=﹣x上运动，点A的坐标为（1，0），当线段AQ最短时，点Q的坐标为_________．13．（2010•镇江）已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为_________．14．（2007•庆阳）试求f（x）=2x2﹣8x+7的极值为_________．15．（2009•荆门）函数y=（x﹣2）（3﹣x）取得最大值时，x=_________．16．（2008•庆阳）二次函数y=x2+4的最小值是_________．17．（2002•四川）函数y=x2﹣2x﹣1的最小值是_________．18．（2006•温州）二次函数y=2x2﹣4x+5的最小值是_________．19．（2006•海淀区）二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是_________．20．（2006•江西）二次函数y=x2﹣2x﹣3的最小值是_________．。

1．B 2．作CD AC ⊥交AB 于D ，则28CAD = ∠，在Rt ACD △中，tan CD AC CAD =∠40.53 2.12=⨯=（米）．所以，小敏不会有碰头危险． 3．（1）B 17A =米，CD 20=米；（2）有影响，至少35米 4．AD=2.4米 5．小船距港口A 约25海里1 二次函数所描述的关系1．略 2．2或-3 3．S=116c 2 4．11,4,2,844±± 5．y=16-x 2 6．y=-x 2+4x 7．B 8．D 9．D 10．C 11．y=2x 2；y=18；x=±2 12．y=-2x 2+260x-6500 13．(1)S=4x-32x 2；(2)1.2≤x<1.6 14．s=t 2-6t+72(0<t ≤6)2 结识抛物线1．抛物线；下；y 轴；原点；高；大；相反；相同；相同 2．减小 3．a=2；k=-2 4．a=-15．m=-1 6．(-2，4) 7 8．12 9．y=x 2+6x 10．(1)S=32y ；(2)S 是y 的一次函数，S 是x 的二次函数 11．(1)m=2或-3；(2)m=2．最低点是原点(0，0)．x>0时，y 随x 的增大而增大；(3)m=-3，最大值为0．当x>0时；y 随x 的增大而减小 12．A(3，9)；B(-1，1)；y=x 2 13．抛物线经过M 点，但不经过N 点． 14．(1)A(1，1)；(2)存在．这样的点P有四个，即P 10)， P 20)， P 3(2，0)， P 4(1，0)3 刹车距离与二次函数1．下；y 轴；(0，5)；高；大；5 2．(0，-1) 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭3．y=x 2+3 4．下；3 5．14- 6．k=9,122b = 7．22y x =- 8．C 9．A 10．C 11．C 12．C 13．(1)2212(2)2y x y x ==-；(3)2y x = 14．(1)3；(2)3 15．y=mx 2+n 向下平移2个单位，得到y=mx 2+n-2，故由已知可得m=3，n-2=-1，从而m=3，n=1 16．以AB 为x 轴，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物线的代数表达式为y=ax 2+ c ．则B 点坐标为0)，N 点坐标为3)，故0=24a+c ，3=12a+c ，解得a=-14，c=6，即y= -14x 2+6．其顶点为(0，6)，(6-3)÷0．25=12小时． 17．以MN 为x 轴、对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则N 点坐标为(2，0)， 顶点坐标为(0，4)．设y=ax 2+c ，则c=4，0=4a+4，a=-1，故y=-x 2+4．设B 点坐标为(x ，0)，c 点坐标为( -x ，0)，则A 点坐标为(x ，-x 2+4)，D 点坐标为(-x ，-x 2+4)．故BC=AD=2x ，AB=CD=-x 2+4．周长为4x+2(-x 2+4)．从而有-2x 2+8+4x=8，-x 2+2x=0，得x 1=0，x 2=2．当x=0时，BC=0；当x=2时，AB=-x 2+4=0．故铁皮的周长不可能等于8分米． 18．(1)6，10；(2)55；(3)略；(4)S=12n 2+12n ． 聚沙成塔 由y=0，得-x 2+0．25=0，得x=0．5(舍负)，故OD=0．5(米)．在Rt △AOD 中，AO=OD· tan ∠ADO=0．5tanβ=0.5×tan73°30′≈1.69．又AB=1.46，故OB≈0.23米．在Rt △BOD 中，tan ∠BDO=0.230.5BO OD ==0.46，故∠BDO≈24°42′．即α=24°42′．令x=0，得y=0.25， 故OC= 0.25，从而BC=0.25+0.23=0.48米．2.1~2.3 二次函数所描述的关系、结识抛物线、刹车距离与二次函数测试一、1．πr 2、S 、r 2．(6－x )(8－x )、x 、y 3．①④ 4．4、－2 5．y =－2x 2(不唯一) 6．y =－3x 2 7．y 轴 (0，0) 8．(2，4)，(－1，1)二、9．A 10．D 11．B 12．C 13．D 14．C 15．B 16．D三、17．解：(1)∵m 2－m =0，∴m =0或m =1．∵m －1≠0，∴当m =0时，这个函数是一次函数．(2)∵m 2－m ≠0，∴m 1=0，m 2=1．则当m 1≠0，m 2≠1时，这个函数是二次函数．18．解：图象略．(1)0；(2)0；(3)当a >0时，y =ax 2有最小值，当a <0时，y =ax 2有最大值． 四、19．解：y =(80－x )(60－x )=x 2－140x +4800(0≤x ＜60)．20．如：某些树的树冠、叶片等；动物中鸡的腹部、背部等．五、21．解：两个图象关于x 轴对称；整个图象是个轴对称图形．(图略) y =－2x 2 (0,0)y ⎧⎪⎨⎪⎩开口方向向下对称轴轴顶点坐标 y =2x 2 (0,0)y ⎧⎪⎨⎪⎩开口方向向上对称轴轴顶点坐标 22．解：(1)设A 点坐标为(3，m )；B 点坐标为(－1，n )．∵A 、B 两点在y =13x 2的图象上，∴m =13×9=3，n =13×1=13．∴A (3，3)，B (－1，13)．∵A 、B 两点又在y =ax +b 的图象上，∴33,1.3a b a b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得231a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的表达式是y =23x +1． (2)如下图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，则D 点坐标为(－32，0)．∴|DC |=32．S △ABC =S △ADC －S △BDC =12×2×3－2×2×3=4－14=2． 4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像1．上，12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，13x = 2．-4 0 3．四 4．0 5．左 3 下 2 6．1 7．-1或3 8．< > > > < 9．12x =，19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭10．①②④ 11．D 12．D 13．A 14．D 15．∵2215044(5)1015015,113522(5)44(5)b ac b a a -⨯-⨯--=-===⨯-⨯-．故经过15秒时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135米 16．由已知得2444a a -=2．即a 2-a-2=0，得a 1=-1，a 2=2，又a≥0，故a=2． 17．以地面上任一条直线为x 轴，OA 为y 轴建立直角坐标系，设y=a(x-1)2+2.25， 则当x=0时，y=1.25，故a+2.25=1，a=-1．由y=0，得-(x-1)2+2.25=0，得(x-1)2=2.25，x 1=2.5，x 2=-0.5(舍去)，故水池的半径至少要2.5米． 18．如：7月份售价最低，每千克售0.5元；1-7月份， 该蔬菜的销售价随着月份的增加而降低，7-12月份的销售价随月份的增加而上升；2月份的销售价为每千克3.5元；3月份与11月份的销售价相同等．5 用三种方式表示二次函数1．y=-x 2+144 2．y 3．(1) y=x 2+-2x ；(2)3或-1 ；(3) x<0或x>2 4．k>35． y=x 2+8x 6．y=x 2+3x ，小，33,24- 7．（2，4） 8．14- 9．C 10．D 11．C 12．C 13．(1)略；(2)y=x 2-1；(3)略 14．设底边长为x ，则底边上的高为10-x ，设面积为y ，则y=12x(10-x)=-12(x 2-10x)=-12(x 2-10x+25-25)=-12(x-5)2+12.5．故这个三角形的面积最大可达12.5 15．2116S l = 16．(1)对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，3)，开口向下；(2)当x<1时，y 随x 的增大而增大；(3)y=-2(x-1)2+3 17．由已知得△BPD ∽△BCA ．故22416BPD ABC S x x S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，224(4)416PCE ABC S x x S ∆∆--⎛⎫== ⎪⎝⎭，过A 作AD ⊥BC ，则由∠B=60°，AB=4，得 AD=AB·sin60°4=，故142ABC S ∆=⨯⨯∴222(4)1616BPD PCE x x S S ∆∆-+=⨯⨯-+∴22y =-+=+⎝．18．(1) s=12t 2-2t ； (2)将s=30代入s=12t 2-2t ，得30=12t 2-2t ，解得t 1=10，t 2=-6(舍去)．即第10个月末公司累积利润达30万元；(3)当t=7时，s=12×72-2×7=10.5，即第7个月末公司累积利润为10.5万元；当t=8时，s=12×82-2×8 =16， 即第8个月末公司累积利润为16万元．16-10.5=5.5万元．故第8个月公司所获利润为5.5万元．19．(1)略；（2）(1)2n n S -=；（3）n=56时，S=1540 20．略 6 何时获得最大利润1．A 2．D 3．A 4．A 5．C 6．B7． (1)设y=kx+b ，则∵当x=20时，y=360；x=25时，y=210．∴3602021025k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得30960k b =-⎧⎨=⎩∴y=-30x+960(16≤x≤32)； (2)设每月所得总利润为w 元，则 w=(x-16)y=(x-16)(-30x+960)=-30(x-24)2+ 1920．∵-30<0，∴当x=24时，w 有最大值．即销售价格定为24元/件时，才能使每月所获利润最大， 每月的最大利润为1920元．8． 设每间客房的日租金提高x 个5元(即5x 元)，则每天客房出租数会减少6x 间，客房日租金总收入为y=(50+5x)(120-6x)=-30(x-5)2+6750．当x=5时，y 有最大值6750，这时每间客房的日租金为50+5×5=75元． 客房总收入最高为6750元．9．商场购这1000件西服的总成本为80×1000=8000元．设定价提高x%， 则销售量下降0．5x%，即当定价为100(1+x%)元时，销售量为1000(1-0．5x%)件．故y=100(1+x%)·1000(1-0．5x%)-8000 =-5x 2+500x+20000=-5(x-50)2+32500．当x=50时， y 有最大值32500．即定价为150元/件时获利最大，为32500元．10．(1)s=10×277101010x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭×(4-3)-x=-x 2+6x+7．当x=62(1)-⨯-=3 时，S 最大=24(1)764(1)⨯-⨯-⨯-=16． ∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元．(2)用于再投资的资金有16-3=13万元．有下列两种投资方式符合要求：①取A 、B 、E 各一股，投入资金为5+2+6=13万元，收益为0.55+0.4+0.9=1.85万元>1.6万元． ②取B 、D 、E 各一股，投入资金为2+4+6=12万元<13万元，收益为0.4+0.5+0.9=1.8万元>1.6万元．11．（1）60吨；(2) 226033(7.545)(10)(320)(100)315240001044x y x x x x x -=⨯+-=--=-+-；(3)210元/吨；(4) 不对，设月销售额为w 元．22603(7.545)240104x w x x x -=⨯+=-+，x=160时，w 最大．12．（1）21425y x =-+；（2）货车到桥需280406(40-=小时） ，0.256 1.5(⨯=米）而O(0，4)，4-3=1（米）<1.5米，所以，货车不能通过． 安全通过时间434(0.25-=小时），2804060(/4-=千米时），货车安全通过速度应超过60千米/时．7 最大面积是多少1．y=-x 2+600，020x ≤≤，600m 2 ，200m 2 2．20cm 2 3．圆 4．16cm 2 ，正方形 5． 5±6．10 7．21822333y x x =-+- 8． 9．-2 10． C 11． D 12．C 13．A 14．D 15．过A 作AM ⊥BC 于M ，交DG 于N ，则．设DE=xcm ，S矩形=ycm 2，则由△ADG ∽△ABC ，故AN DG AM BC =，即161624x DG -=，故DG=32(16-x)．∴y=DG·DE=32(16-x)x=-32(x 2-16x)=-32(x-8)2+96，从而当x=8时，y 有最大值96．即矩形DEFG 的最大面积是96cm 2．16．(1)y= 238x -+3x ．自变量x 的取值范围是0<x<8． (2)x=3328-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=4时，y 最大=234038348⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=6．即当x=4时，△ADE 的面积最大，为6． 17．设第t 秒时，△PBQ 的面积为ycm 2．则∵AP=tcm ，∴PB=(6-t)cm ；又BQ=2t ．∴y=12PB·BQ=12(6-t)·2t=(6-t)t=-t 2+6t=-(t-3)2+9，当t=3时，y 有最大值9．故第3秒钟时△PBQ 的面积最大，最大值是9cm 2．18．(1)可以通过，根据对称性，当x=12×4=2时，y=132-×4+8=778>7．故汽车可以安全通过此隧道；(2)可以安全通过，因为当x=4时，y=132-×16+8=172>7．故汽车可以安全通过此隧道；(3)答案不惟一，如可限高7m ．19．不能，y=-x 2+4x ，设BC=a ，则AB=4-a ，(2,4)2a A a ∴+-代入解析式 24(22)404,2a a a -=-+-+=得或 A(2，4)或(4，0) 所以，不能． 20．（1）125h =；（2）12,125x S ==最大；（3）BE=1.8，在 21．(1)第t 秒钟时，AP=t ，故PB=(6-t)cm ；BQ=2tcm ．故S △PBQ =12·(6-t)·2t=-t 2+ 6t ．∵S 矩形ABCD =6×12=72．∴S=72-S △PBQ =t 2-6t+72(0<t<6)；(2)S=(t-3)2+63．故当t=3时，S 有最小值63． 22． (1)过A 作AD ⊥BC 于D 交PQ 于E ，则AD=4．由△APQ ∽△ABC ，得446x x -=，故x=125；(2)当RS 落在△ABC 外部时，不难求得AE=23x ，故22212446335y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当RS 落在△ABC 内部时，y=x 2(0<x<125)；(3)当RS 落在△ABC 外部时，2222124(3)66335y x x x x ⎛⎫=-+=--+<< ⎪⎝⎭．∴当x=3时，y 有最大值6．当RS 落在BC 边上时，由x=125可知，y= 14425．当RS 落在△ABC 内部时，y=x 2(0<x<125)，故比较以上三种情况可知:公共部分面积最大为6．23．(1)由对称性，当x=4时，y=211642525-⨯=-．当x=10时，y=2110425-⨯=-．故正常水位时，AB 距桥面4米，由16943 2.52525-=>，故小船能通过； (2)水位由CD 处涨到点O 的时间为1÷0.25=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．8 二次函数与一元二次方程1．（-3，0），（1，0） 2．y=2x 2+4x-6 3．一、二、三 4．(1，2) 5．m=-7 6．m=87．(-1，0) 8．9016k k >-≠且 9．a=2 10．B 11．A 12．C 13．y=x 2+x+9图象与y=1的两个交点横坐标是x 2+x+9=0两根 14．224(2)(2)40m m m ∆=--=-+>15．C △ABC =AB+BC+AC=2．S △ABC =12AC·OB=12×2×3=3 16．(1)k=-2，1 (2)0<k<2 17．(1) 904m m <≠且(2)在(3) 15(,),(2,1)24Q P --- 18．(1)25s ，125m ；(2)50s 19．(1)m=2或0；(2) m<0；(3)m=1，S = 20．(1) y=112-(x-6)2+5；(2) (2)由112-(x-6)2+5=0，得x 1=266x +=-:C 点坐标为(6+0) 故OC=6+.75(米)，即该男生把铅球推出约13.75米．21．(1) y=-x 2+4x-3；(2) ∴直线BC 的代数表达式为y=x-3 (3) 由于AB=3-1=2，OC=│-3│=3．故S △ABC =12AB·OC=12×2×3=3 22．(1) k=1；(2)k=-1 2．6—2．8A 参考答案一、1． 2．14，大，－38，没有 3．①x 2－2x ；②3或－1；③<0或>2 4．y =x 2－3x －10 5．m >92，无解 6．y =－x 2+x －1，最大 7．S =π(r +m )2 8．y =－18x 2+2x +1， 16.5二、9．B 10．C 11．C 12．B 13．D 14．B 15．D 16．B三、17．解：(1)y =－2x 2+180x －2800；(2)y =－2x 2+180x －2800=－2(x 2－90x )－2800=－2(x －45)2+1250．当x =45时，y 最大=1250．∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元． 18．解：∵二次函数的对称轴x =2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y =12x +1上．∴y =12×2+1=2．∴y =(m 2－2)x 2－4mx +n 的图象顶点坐标为(2，2)．∴－2b a=2．∴－242(2)m m --=2．解得m =－1或m =2．∵最高点在直线上，∴a <0，∴m =－1．∴y =－x 2+4x +n 顶点为(2，2)．∴2=－4+8+n ．∴n =－2．则y =－x 2+4x +2．四、19．解：(1)依题意得：鸡场面积y =－2150.33x x -+∵y =－13x 2+503x =13-(x 2－50x )=－13(x －25)2+6253，∴当x =25时，y 最大=6253， 2．6—2．8B 参考答案一、1．3 2．2 3．b 2－4ac>0(不唯一) 4．15 cmcm 2 5．(1)A ；(2)D ；(3)C ；(4)B 6．5，625二、7．B 8．B 9．A 10．C 11．D 12．B三、13．解：(1)信息：①1、2月份亏损最多达2万元；②前4月份亏盈吃平；③前5月份盈利2．5万元；④1~2月份呈亏损增加趋势；⑤2月份以后开始回升．(盈利)；⑥4月份以后纯获利……(2)问题：6月份利润总和是多少万元？由图可知，抛物线的表达式为y=12(x －2)2－2，当x=6时，y=6(万元)(问题不唯一)． 14．解：设m=a+b y=a·b ，∴y=a(m －a)=－a 2+ma=－(a －2m )2+24a ，当a=2m 时，y 最大值为24a ．结论：当两个数的和一定，这两个数为它们和的一半时，两个数的积最大．四、15．(1)由题意知：p=30+x ；(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元，死蟹的销售额为200x 元．∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000；(3)设总利润为L=Q －30000－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250．当x=25时总利润最大，为6250元． 五、16．解：∵∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPC=90°．∵∠APB+∠BAP=90°，∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90°．∴△ABP ∽△PCQ ．6,,8AB BP x PC CQ x y ==-∴y=－16x 2+43x ． 17．解：(1)10；(2)55；(3)略；(4)经猜想，所描各点均在某二次函数的图象上．设函数的解析式为S=an 2+bn+c ．由题意知：1a ,21,1423,b ,2936,c 0.a b c a b c a b c ⎧=⎪++=⎧⎪⎪⎪++==⎨⎨⎪⎪++=⎩=⎪⎪⎩解得∴S=211.22n n + 单元综合评价一、选择题：1~12：CBDAA ，CDBDB ，AB二、填空题：13．2 14．591415． 16．-7 17．2 18．y=0.04x 2+1.6x 19．<、<、> 20．略 21．只要写出一个可能的解析式 22．1125m 23．-9．三、解答题：24．y=x 2+3x+2 (-3/2，- 1/4) 25．y=-1200x 2+400x+4000；11400，10600 26．2125y x =-； 5小时 27．(1)5；(2) 2003 28．(1) 2y -x x =+；(2) y=-x 2+1/3x+4/9，y=-x 2-x 29．略．第三章 圆1 车轮为什么做成圆形1．=5cm <5cm >5cm 2．⊙O 内 ⊙O 上 ⊙O 外 3．9π cm 2 4．内部 5．5cm6．C 7．D 8．B 9．A 10．由已知得OA=8cm ，=10，，故OA<10，OB<10，OD=10，OC>10．从而点A ， 点B 在⊙O 内；点C 在⊙O 外；点D 在⊙O 上 11．如图所示，所组成的图形是阴影部分(不包括阴影的边界) 12．如图所示，所组成的图形是阴影部分(不包括阴影的边界)．(11题) (12题)13．由已知得PO=4，PA=5，PB=5，故OA=1，OB=9，从而A点坐标为A(-1，10)，B点坐标为(9，0)；连结PC、PD，则PC=PD=5，又PO⊥CD，PO=4，故OC==3，．从而C点坐标为(0，3) ，D点坐标为(0，-3) 14．存在，以O为圆心，OA为半径的圆15．2≤AC≤8聚沙成塔∵PO<2．5，故点P在⊙O内部；∵Q点在以P为圆心，1为半径的⊙P上，∴1≤OQ≤3．当Q在Q1点或Q2点处，OQ=2．5，此时Q在⊙O上；当点Q在弧线Q1mQ2上(不包括端点Q1，Q2)，则OQ>2．5，这时点Q 在⊙O外；当点Q在弧线Q1nQ2上(不包括端点Q1，Q2)，则OQ<2．5，这时点Q在⊙O内．2 圆的对称性1．中心，过圆心的任一条直线，圆心2．60°3．2cm 4．5 5．3≤OP≤56．10 7．相等89．C 10．B 11．A 12．过O作OM⊥AB于M，则AM=BM．又AC=BD，故AM-AC=BM-BD，即CM=DM，又OM⊥CD，故△OCD是等腰三角形．即OC=OD．(还可连接OA、OB．证明△AOC≌△BOD) 13．过O作OC⊥AB于C，则BC=152cm．由BM:AM=1:4，得BM=15×5=3 ，故CM=152-3=92．在Rt△OCM中，OC2=229175824⎛⎫-=⎪⎝⎭．连接OA，则10=，即工件的半径长为10cm 14．是菱形，理由如下:由 BC= AC，得∠BOC=∠AOC．故OM⊥AB，从而AM=BM．在Rt △AOM中，sin∠AOM=AMOA=，故∠AOM=60°，所以∠BOM=60°．由于OA=OB=OC，故△BOC 与△AOC 都是等边三角形，故OA=AC=BC=BO=OC，所以四边形OACB是菱形．15．PC=PD．连接OC、OD，则∵ DB= BC，∴∠BOC=∠BOD，又OP=OP，∴△OPC≌△OPD，∴PC=PD．16．可求出长为6cm的弦的弦心距为4cm，长为8cm的弦的弦心距为3cm．若点O 在两平行弦之间，则它们的距离为4+3=7cm，若点O在两平行弦的外部，则它们的距离为4- 3=1cm，即这两条弦之间的距离为7cm或1cm．17．可求得OC=4cm，故点C在以O为圆心，4cm长为半径的圆上，即点C 经过的路线是O为圆心，4cm长为半径的圆．聚沙成塔作点B关于直线MN的对称点B′，则B′必在⊙O上，且 B N'= NB．由已知得∠AON=60°，故∠B′ON=∠BON= 12∠AON=30°，∠AOB′=90°．连接AB′交MN于点P′，则P′即为所求的点．此时AP+BP3 圆周角与圆心角1．120°2．3 1 3．160°4．44°5．50°67．A 8．C 9．B 10．C 11．B 12．C 13．连接OC、OD，则OC=OD=4cm，∠COD=60°，故△COD是等边三角形，从而CD= 4cm 14．连接DC，则∠ADC=∠ABC=∠CAD，故AC=CD．∵AD是直径，∴∠ACD=90°，∴AC2+CD2=AD2，即2AC2=36，AC2=18，15．连接BD，则∴AB 是直径，∴∠ADB=90°．∵∠C=∠A，∠D=∠B，∴△PCD ∽△PAB，∴PD CDPB AB=．在Rt△PBD 中，cos∠BPD=PD CDPB AB==34，设PD=3x，PB=4x，则==，∴tan ∠BPD=BD PD == 16．(1)相等．理由如下:连接OD ，∵AB ⊥CD ，AB 是直径，∴ BC= BD ，∴∠COB= ∠DOB ．∵∠COD=2∠P ，∴∠COB=∠P ，即∠COB=∠CPD ；(2)∠CP′D+∠COB=180°．理由如下：连接P′P ，则∠P′CD=∠P′PD ，∠P′PC=∠P′DC ．∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD ．∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB ，从而∠CP′D+∠COB=180° 17． 聚沙成塔 迅速回传乙，让乙射门较好，在不考虑其他因素的情况下， 如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点各自对球门MN 的张角的大小，当张角越大时，射中的机会就越大，如图所示，则∠A<MCN=∠B ，即∠B>∠A ， 从而B 处对MN 的张角较大，在B 处射门射中的机会大些．4 确定圆的条件1．三角形内部，直角三角形，钝角三角形 2． 3 4．其外接圆，三角形三条边的垂直平分线，三角形三个顶点 5 6．两 7．C 8．B 9．A 10．C11．B 12．C 13．略 14．略 15．(1)△FBC 是等边三角形，由已知得：∠BAF=∠MAD=∠DAC=60°=180°-120°=∠BAC ，∴∠BFC=∠BAC=60°，∠BCF=∠BAF=60°，∴△FBC 是等边三角形；(2)AB=AC+FA ．在AB 上取一点G ，使AG=AC ，则由于∠BAC=60°，故△AGC 是等边三角形，从而∠BGC=∠FAC=120°，又∠CBG=∠CFA ，BC=FC ，故△BCG ≌△FCA ，从而BG=FA ，又AG=AC ，∴AC+FA=AG+BG=AB 16．(1)在残圆上任取三点A 、B 、C ； (2)分别作弦AB 、AC 的垂直平分线， 则这两垂直平分线的交点即是所求的圆心；(3)连接OA ，则OA 的长即是残圆的半径 17．存在．∵AB 不是直径(否则∠APB=90°，而由cos ∠APB=13知∠APB<90°，矛盾)∴取优弧AB 的中点为P 点，过P 作PD ⊥AB 于D ，则PD 是圆上所有的点中到AB 距离最大的点．∵AB 的长为定值，∴当P 为优弧AB 的中点时，△APB的面积最大，连接PA 、PB ， 则等腰三角形APB 即为所求．S △APB= 12AB· 聚沙成塔 过O 作OE ⊥AB 于E ，连接OB ，则∠AOE=12∠AOB ，AE=12AB ，∴∠C=1∠AOB=∠AOE ． 解方程x 2-7x+12=0可得DC=4，AD=3，故，可证Rt △ADC ∽Rt △AEO ，故AE AO AD AC=，又， AD=3，，故，从而S ⊙O=21254ππ⨯=⎝⎭． 5 直线与圆的位置关系1．相交 2．60 3．如OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，AB ⊥OP 等 4．0≤d<4 5．65° 6．146°，60°，86° 7．A 8．B 9．C 10．C 11．D 12．B 13．(1)AD ⊥CD ．理由：连接OC ，则OC ⊥CD ．∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，又∠OAC= ∠DAC ，∴∠DAC=∠OCA ，∴AD ∥OC ，∴AD ⊥CD ；(2)连接BC ，则∠ACB=90°由(1)得∠ADC=∠ACB ，又∠DAC=∠CAB ．∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD AB AC=，即AC 2=AD·AB=80，故 14．(1)相等．理由:连接OA ，则∠PAO=90°．∵OA=OB ，∴∠OAB=∠B=30°， ∴∠AOP=60°，∠P=90°-60°=30°，∴∠P=∠B ，∴AB=AP ；(2)∵tan ∠APO=OA PA，∴OA=PA ，tan ∠0301tan ==，∴BC=2OA=2，即半圆O 的直径为2 15．(1)平分．证明：连接OT ，∵PT 切⊙O 于T ，∴OT ⊥PT ，故∠OTA=90°， 从而∠OBT=∠OTB=90°-∠ATB=∠ABT ．即BT 平分∠OBA ； (2)过O 作OM ⊥BC 于M ，则四边形OTAM 是矩形，故OM=A T=4，AM=OT=5．在Rt △OBM 中，OB=5，OM=4，故=3，从而AB=AM-BM=5-3=2 16．作出△ABC 的内切圆⊙O ，沿⊙O 的圆周剪出一个圆，其面积最大 17．由已知得:OA=OE ，∠OAC=∠OEC ，又OC 公共，故△OAC ≌OEC ，同理，△OBD ≌△OED ，由此可得∠AOC=∠EOC ，∠BOD=∠EOD ，从而∠COD=90°，∠AOC=∠BDO ． 根据这些写如下结论：①角相等：∠AOC=∠COE=∠BDO=∠EDO ，∠ACO=∠ECO=∠DOE=∠DOB ，∠A=∠B=∠OEC=∠OED ；②边相等：AC=CE ，DE=DB ，OA=OB=OE ；③全等三角形：△OAC ≌△OEC ，△OBD ≌△OED ；④相似三角形:△AOC ∽△EOC ∽△EDO ∽△BDO ∽△ODC ．聚沙成塔 (1)PC 与⊙D 相切，理由:令x=0，得y=-8，故P(0，-8)；令y=0，得故0)，故OP=8，OC=2，CD=1，∴CD==3，又PC=，∴PC 2+CD 2=9+72=81=PD 2．从而∠PCD=90°，故PC 与⊙D 相切； (2)存在．点-12)或-4)，使S △EOP =4S △CDO ．设E 点坐标为(x ，y)，过E 作EF ⊥y 轴于F ，则EF=│x│．∴S △POE =12PO·EF=4│x│．∵S △CDO =12CO·∴当时，；当时，．故E 点坐标为-4)或-12)．6 圆与圆的位置关系1．2 14 2．外切 3．内切 4．45°或135° 5．1<r<8 6．外切或内切 7．A 8．B9．C 10．D 11．C 12．A 13．C 14．外切或内切，由│d -4│=3，得d=7或1，解方程得x 1=3，x 2=4，故当d=7时，x 1+ x 2=d ；当d=1时，x 2-x 1=d ，从而两圆外切或内切 15．过O 1作O 1E ⊥AD 于E ，过O 2作O 2F ⊥AD 于F ，过O 2作O 2G ⊥O 1E 于G ，则AE=DF=5cm ，O 1G=16-5-5=6cm ，O 2O 1=5+5=10cm ，故O 2，所以EF=8cm ，从而AD=5+5+8=18cm ．16．如图所示．17．如：AC=BC ，O 1A 2+AF 2=O 1F 2，AC 2+CF 2=AF 2等 聚沙成塔 有无数种分法．如：过⊙O 2与⊙O 5的切点和点O 3画一条直线即满足要求．7 弧长及扇形的积1．240°3πcm 2．389mm 3．16π 4．50 5 6．2πcm 2 7．B 8．C9．C 10．B 11．A 12．A 13．设其半径为R ，则120180R π⨯=，R =cm ，过圆心作弦的垂线，则可求弦长为9cm 14．由已知得，S 扇形DOC=2150500203603ππ⨯=，S 扇形AOB=2150125103603ππ⨯=，故绸布部分的面积为S 扇形DOC- S 扇形AOB=125π 15．由已知得，2081809n ππ⨯=，得n=50，即∠AOC=50°．又AC 切⊙O 于点C ，故∠ACO=90 °，从而OA=812.446cos50cos50OC =≈︒︒，故AB=AO-OB=12．446-8≈4．45cm 16．设切点为C ，圆心为O ，连接OC ，则OC ⊥AB ，故AC=BC=15，连接OA ，则OA 2-OC 2=AC 2=152=225，故S 阴影=2222()225AO CO AO CO ππππ⨯-⨯=-=cm 2 17．如图所示r=22C B A r=4C A r=42-4r=2OB A聚沙成塔 (1)依次填2468,,,3333ππππ；(2)根据表可发现:23n l n π=⨯，考虑2264001000003n ππ⨯≥⨯⨯，得n≥1.92×109，∴n 至少应为1.92×109． 8 圆锥的侧面积1．6 2．10π 3．2000π 4．2cm 5．15π 6．18 7．D 8．D 9．B 10．B11．A 12．B 13．侧面展开图的弧长为2816ππ⨯=，设其圆心角为n°，则1516180n ππ⨯=，故n=192， 即这个圆锥的侧面展开图的圆心角是192° 14．可得△SAO ≌△SBO ，故∠ASO=∠BSO=60°，∠SBO=30°，由BO=27， tan ∠SBO=tan 30°=27SO SO BO =，得SO=27=≈15.6m ，即光源离地面的垂直高度约为15.6m 时才符合要求 15．过A 作AD ⊥BC ，则由∠C=45°，得AD=DC=12cn ，AB=2AD=24cm ，=BC=12，以A 为圆心的扇形面积为21051242360ππ⨯=cm 2，以B 为圆心的扇形面积为22302448360cm ππ⨯=，以C为圆心的扇形面积为224536360cm ππ⨯=， 故以B 为圆心取扇形作圆锥侧面时，圆锥的侧面积最大，设此时圆锥的底面半径为r ，则30224180r ππ=⨯， r=2cm ，直径为4cm 聚沙成塔 设圆的半径为r ，扇形的半径为R ，则1224R r ππ⨯⨯=⨯，故R=4r ，又，将R=4r 代入，可求得≈0.22a ． 正多边形与圆1．正方形 2．十八 提示：正多边形的中心角等于外角，外角和为360°，360÷20=18 3．36° 提示：可求出外角的度数 4．正三角形 5．C 提示：其中正确的有②④⑤⑥⑦ 6．C7．D 提示：按正多边形的定义 8．C 9．3 提示：利用直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半 10．100cm 211：2 提示：设此圆的半径为R ，则它的内接正方R，内接正方形和外切正六边形的边长比为2 12．4πa 2 提示：如图所示，AB 为正n 边形的一边，正n 边形的中心为O ，AB •与小圆切于点C ，连接OA ，OC ，则OC ⊥AB ，12AC=12AB=a ，所以AC 2=14a 2=OA 2-OC 2，S 圆环=S 大圆-S 小圆=πOA 2-OC 2=π（OA 2-OC 2）=4πa 2 13．C 14．C 15．方法一：（1）用量角器画圆心角∠AOB=120°，∠BOC=120°；（2）连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法二：（1）用量角器画圆心角∠BOC=120°；（2）在⊙O 上用圆规截取；（3）连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法三：（1）作直径AD ；（2）以O 为圆心，以OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ；（3）连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法四：（1）作直径AE ；（2）分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，C ；（3）连接AB ，BC ，CA （或连接EF ，ED ，DF ），则△ABC （或△EFD ）为圆内接正三角形．16．解：相同点：都有相等的边；都有相等的角，都有外接圆和内切圆等．不同点：边数不同；内角的度数不同；内角和不同；对角线条数不同等 17．解：方法一：如题图①中，连接OB ，OC ．∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°．又∠OCN=30°，∠BOC=120°，而BM=CN ，OB=OC ，∴△OBM ≌△OCN ，∴∠BOM=∠CON ，∴∠MON=∠BOC=120°．方法二：如题图①中，连接OA ，OB ．∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴AB=BC ，∠OAM=∠OBN=30°，∠AOB=120°，∴∠AOM=∠BON ．∴∠MON=∠AOB=120°；（2）90° 72°；（3）∠MON=360n︒ 单元综合评价（一）一、1~5 AABDB 6~10 DDABD二、11．8 12．π213．9cm 14．120° 15．13 16．18πcm 2 17．60° 18．180° 19．7或1 20．（1）2；（2）3n +1三、21．10cm ，6cm 22．432m 2 23．2π6R （提示：连接CO ，DO ，S 阴影=S 扇形COD ） 24．（1）A （4，0），33y x =+；（2）3＞m时相离，m =时相切，0m <<时相交 25．解：（1）42πr r +，82πr r +；（2）62πr r +，82πr r +，102πr r +，122πr r +；（3）162πr r +，图略单元综合评价（二）1．以点A 为圆心，2cm 长为半径的圆 2．点P 在⊙O 内 3．10 4．90° 5．2 6． 120°7．3 8．2cm 或8cm 9．(12+5π)cm 10．30π 11．B 12．D 13．D 14．C15．D 16．B 17．B 18．C 19．C 20．C 21．如图，所有点组成的图形是如图所示的阴影部分． 22．(1)连接CD ，=5，由CD=CA ，得∠CDA=∠A ，故tan ∠CDA=tanA=43BC AC =；(2)过C 作CF ⊥AD 于F ，则AD=2AF ，由cosA=AC AF AB AC=，得AC 2=AB·AF ．故32=5·AF ，AF=95，所以AD=185． 23．(1)相切．理由:连接OC ，OB ，则OC ⊥AB ，由已知得BC=12AB=4，OB=5，故=3，从而圆心O 到直线AB 的距离等于小圆的半径，故AB 与小圆相切；(2) 22222(53)16OB OC cm ππππ-=-=． 24．(1)连接AB ，AM ，则由∠AOB=90°，故AB 是直径，由∠BAM+∠OAM=∠BOM+ ∠OBM=180°-120°=60°，得∠BAO=60°，又AO=4，故cos ∠BAO=AO AB，AB=048cos60=，从而⊙C 的半径为4；(2)由(1)得，=C 作CE ⊥OA 于E ，CF ⊥OB 于F ，则EC=OF=12BO=12⨯，CF=OE=12OA=2， 故C 点坐标为(-，2) 25．连接AC ，BC ，分别作AC ，BC 的垂直平 AC AB =分线，相交于点M ，则点M 即满足条件(图略) 26．(1)设扇形半径为Rcm ，则2120300360R ππ=，故R=30cm ，设扇形弧长为Lcm ，则113030022Rl l π=⨯=，故L=20π；(2)设圆锥的底面半径为rcm ，则220r ππ=，r=10cm = 27．如:∠D=30°，DC 是⊙O 的切线，△CBD 是等腰三角形，△ACD 是等腰三角形，AC=CD ，BD=BC ，△DCB ∽△DAC ，DC 2=DB·DA ，，等 28．略．只要符合题意即可得分．第四章 统计与概率1 50年的变化（1）1．条形，折线，扇形 2．条形，0 3．折线，同一单位长度 4．不能 5．（1）1：3；（2）从0开始 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．解：（1）左图给人的感觉是小明通过努力，数学成绩提高迅速，进步很大；而右图给你的感觉则是小明的学习成绩比较稳定，进小不是很大；（2）如果小明想向他的父母说明他数学成绩的提高情况，那么他应选择左图，理由是：左图看上去折线上升速度转快，表明小明的成绩提高迅速 13．解：（1）A 村的苹果产量占本村两种水果总产量的35％，梨占65％；B 村的苹果产量在本村两种水果总产量中占80％，梨占20％。

Ⅰ．背景材料数学史话 数学的符号文字是记录传递信息的符号，数学符号则是一种符殊的语言．十五世纪中期，欧洲文化开始复兴．当时的欧洲人所要求的，是实用的算术和代数，人们一边学习这些起源于阿拉伯与印度的学问，一边对它们加以包括使其符号完备在内的改良．下面，我们择要列举其内容．“＋，－”外号叫做“计算之父”的德国人惠特曼，于1489年在“过于”、“不足”的意义上开始使用这两个符号，渐渐地，它们被分别用作加法和减法的符号． “”这个符号以根号的意义首次出现于鲁道尔夫的著作《代数》（1525年）一书中． “=”最先出现于瑞科德（1510～1558年）《智慧的砥石》一书中，起初横向写得较长．瑞科德说：“把它用作等号的理由，是因为任何东西都不如等长的平行线这般相等．”“＜、＞“这两个不等号，最早使用于哈略特（1560～1622年）的著作中．“ד这个乘法记号见于奥特列德（1574～1660年）的著作．“x 、y 、z ”表示未知量，“a 、b 、c ”表示已知量，最早由彼埃特使用，后来笛卡尔（1596～1650年）对此作了改良，这种表示法沿用至今．“sin ，cos ”这两个三角函数的符号是瑞士数学家欧拉最早使用的．“dx ，dx dy， yxd ”等等微积分符号是德国数学家莱布尼兹最早提出并使用的．就中学数学而言，常见的数学符号也有100多个．简明而又精练的数学符号，不仅仅是深奥理论的源泉，也是一门重要的工具．为什么中国古代的数学领先，而近代逐渐落后了？原因之一就是没有使用简明而又精练的数学符号．悟与问：数学符号的产生是许许多多的数学家努力的结果，是一个艰辛的过程，我们做事情、学习呢？Ⅱ．课前准备一、课标要求体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．二、预习提示正确理解和分析实际应用题，找出其数量关系，等量关系，从而找出函数关系，并用函数的最值来帮助解决应用问题．三、预习效果反馈某商店若将进价为100元的某商品按120元出售，就能卖出300个．若该商品在120元的基础上，想要降价出售．据市场调查统计，每减价1元，就可多卖出30个．为获得最大利润，商店应将商品定价为多少出售？Ⅲ．课堂跟讲一、教材中“？”解答1．问题（P 60） 解答：（1）销售量可以表示为3200－200x ；（2）销售额可以表示为3200x －200x 2；（3）所获利润可以表示为－200x 2＋3700x －8000；（4）当销售单价为9．25元时，可以获得最大利润为9112．5元．3．议一议（P 61） 解答：（1）图象略．由图象可知，当x ＜10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x ＞10时，橙子树的总产量随增种橙子树的增加而减少．（2）根据图象，可看出增种6棵，7棵，8棵，9棵，10棵，11棵，12棵，13棵或14棵时，都可以使橙子总产量在60400个以上．二、重点难点易错点讲解重点：本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．难点：本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．三、经典例题精讲（一）教材变型题【例1】 在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次．如在测量了5个大麦穗长之后，得到的数据（单位：cm ）是：6．5、5．9、6．0、6．7、4．5，这些大麦穗的最佳近似长度是使函数y=5x 2－59．2x ＋178．2为最小值的x ，则大麦穗长的最佳近似长度为 ．思维入门指导：不要被不熟悉的背景所迷惑，实际是求最值的问题．解：x=－522.59⨯-=5．92cm ．（二）中考题【例2】 （2002，长沙，12分）某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价（1）在所给的直角坐标系甲中：①根据表中提供的数据描出实数对（x ，y ）的对应点；②猜测并确定日销售量y 件与日销售单价x 元之间的函数表达式，并画出图象．（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P 元，根据日销售规律： ①试求出日销售利润P 元与日销售单价x 元之间的函数表达式，并求出日销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P 是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P 元与日销售单价x 元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x 与P 的取值范围．思维入门指导：根据图象确定一次函数表达式，再应用等量关系得二次函数．解：（1）①描出四点位置准确如图2-6-1甲所示．②猜测它是一位函数y=kx＋b．把两点（3，18）、（5，14）代入上式求得k=－2，b=24，则有y=－2x＋24．把（9，6）（11，2）代入，同样满足．∴所求函数表达式是y=－2x＋24．（*）（0≤x＜12）和y=0（x=12）画出图象．（2）①因为销售利润=售出价－进货价，则P=xy－2y．将（1）中（*）式代入则P=y （x－2）=（24－2x）（x－2）=－2x2＋28x－48=－2（x－7）2＋50．当x=7时，日销售利润获得最大值为50元．又当x＞12时，即销售单价大于12元时，此时无人购买，所以此时利润P=0（x≥12）．由实际意义知，当销售价x=0，即亏本卖出，此时利润P=－48，即为最小值．②根据实际意义有0≤x＜2时亏本卖出；当x=2或x=12时利润P=0；当x＞12时，即高价卖出无人购买P=0．故作出图2-6-1图象，由图象知x≥0，－48≤P≤50．点拨：此类题目的解答关键分析题意，得出函数表达式．本题不仅应用一次函数，也应用二次函数，由单一趋向复杂．（三）学科内综合题【例3】已知：如图2-6-2，抛物线C1经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．（1）求抛物线C1的表达式；（2）求四边形ABDE的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由；（4）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为M（a，b）对称轴与x轴相交于点G，且以M、G、E为顶点的三角形与以D、E、F 为顶点的三角形全等，求a、b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）思维入门指导：利用数形结合的思想确定A、B、C的坐标，求出C1表达式．四边形ABDE的面积可以分割成两个三角形计算，用三边对应成比例证明两个三角形相似．（2）因为y=－x 2＋2x ＋3=－（x －1）2＋4，所以抛物线C 1的顶点D 坐标为（1，4）．过点D 作DF ⊥x 轴，交x 轴于点F ，由图象可知，OA=1，OB=3，OF=1，DF=4．因y=0，则－x 2＋2x ＋3=0，所以x 1=－1，x 2=3．所以OE=3，则FE=2，S △ABO =21AO ·BO=21×1×3=23，S △DFE =21DF ·FE=21×4×2=4，S 梯形BOFD =()2DF BO +·OF=243+×1=27．所以S 四边形ABDE =S △ABD ＋S △DFE ＋S 梯形BOFD =23＋27＋4=9（平方单位）．（3）如图2-6-3，过B 作BK ⊥DF 于K ，则BK=OF=1，DK=DF －OB=4－3=1，所以BD=22BK DK +=2．又DE=22FE DF +=2224+=25，AB=10，BE=32．在△ABO 和△BDE 中，AO=1，BO=3，AB=10，BD=2，BE=32，DE=25． 因为DB AO =EB BO =DE AB =21，所以△AOB ∽△DBE ．（4）符合条件的三角形有七个，故顶点M （a ，b ）有七个：⎩⎨⎧==；，4511b a ⎩⎨⎧-==；，4522b a ⎩⎨⎧==；，2733b a ⎩⎨⎧-==；，2744b a ⎩⎨⎧-==；，4155b a ⎩⎨⎧-=-=；，2166b a ⎩⎨⎧=-=．，2177b a 点拨：此类综合题难度较大，要善于利用函数知识和几何图形的有关知识，挖掘隐含条件．注意抛物线的特殊点顶点，与坐标轴的交点，计算与证明有机结合即可．（四）应用题【例4】 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b2）2＋a bac 442-的形式，写出顶点坐标，在图2-6-4所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？解：（1）若销售单价为x 元，则每千克降低（70－x ）元，日均多售出2（70－x ）kg ，日均销售量为()[]x -+70260kg ，每千克获利为（x －30）元．依题意，得y=（x －30）()[]x -+70260－500=－2x 2＋260x －6500（30≤x ≤70）． （2）y=－2（x 2－130x ）－6500=－2（x －65）2＋1950（30≤x ≤70），顶点坐标为（65，1950）．二次函数的草图如图2-6-4，经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元．（3）当日均获利最多时，单价为65元，日均销售60＋2（70－65）=70kg ，那么获总利为1950×707000=195000元．当销售单价最高时，单价为70元，日均销售60kg ，将这种化工原料全部售完需7000÷60≈117天，那么获总利为（70－30）×7000－117×500=221500元．因为221500＞195000，且221500－195000=26500元，所以销售单价最高时获总利较多，且多获利26500元．点拨：注意考虑自变量、函数的实际意义，确定取值范围．【例5】 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x （10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数表达式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S （10万元）与广告费x （10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？思维入门指导：本题的第一个函数表达式由表格提供信息列方程组解得，第二个表达式由题中给出的关系列出，实际问题中，二次函数的最值，自变量的取值范围要受到某些条件的限制，要根据实际意义和所给范围确定值．解得a=－101，b=53，c=1，所以，所求表达式为y=－101x 2＋53x ＋1．（2）由题意，得S=10y ·（3－2）－x=－x 2＋5x ＋10．（3）S=－x 2＋5x ＋10=－（x －25）2＋465，由于1≤x ≤3，所以当1≤x ≤2．5时，S随x 的增大而增大．答：当广告费在10万～25万元之间，公司获得的利润随广告费的增大而增大．点拨：解决这类题的关键是首先弄懂题意，结合图形和问题的背景，找到数量之间的关系，构建数量间的函数模型．涉及到最值问题，还要注意．自变量的取值不要使实际问题失去意义和题意的条件限制．（五）开放题【例6】 写出其图象经过点（1，0），（0，1）的三个不同函数表达式．思维入门指导：点（1，0），（0，1）在坐标轴上，除反比例函数，都可以满足条件． 解：①y=－x ＋1；②y=2x 2－3x ＋1；③y=5x 2－6x ＋1．点拨：如果写一次函数，只能确定一个，二次函数可以确定无数个．（六）动态题【例7】 如图2-6-5，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=4，BC=10，AB=DC=5，P 是BC 边上的一个动点，直线ι过点P 且平行于DC ，交梯形另外一边于E 点．若BP=x ，梯形位于直线ι左侧的图形的面积为S ．（1）分别求出当点E 位于BA 、AD 上时，S 与x 之间的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围；（2）画出以上两个函数的图象．（不写画法）解：（1）过A 点作AN ⊥BC ，垂足为N ，作AG ∥DC 交BC 于G ，则AG=DC=AB ，GC=AD ，BG=BC －AD=10－4=6．在Rt △ABN 中，BN=6÷2=3，AN=2235 =4．当点E 在BA 上时，过点E 作EM ⊥BC ，垂足为M ．∵EP ∥DC ，∴∠B=∠C=∠EPB ，△EPB 是等腰三角形．∴BM=21BP=21x ． ∵EM ⊥BC ，AN ⊥BC ，∴EM ∥AN ．∴BN BM =AN EM ． ∴EM=BN BM ·AN=32x ． ∴S=21·BP ·EM=21·x ·32x=31x 2．∴当点E 在BA 上时，S 与x 之间的函数表达式是S=31x 2，自变量的取值范围是0≤x≤6；当点E 在AD 上时，四边形ABPE 为梯形，S=21（BP ＋AE ）·AN=21()[]6-+x x ×4=4x －12．∴当点E 在AD 上时，S 与x 之间的函数表达式是S=4x －12，自变量的取值范围是6≤x ≤12．（3）函数图象如图2-6-6．图2-6-6点拨：由三角形相似，得出函数表达式，是几何函数综合题中常用方法．Ⅳ．当堂练习（5分钟）1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是a bac 442-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？【同步达纲练习】Ⅴ．课后巩固练习（120分 100分钟）一、基础题（11、12每题6分，其余每题3分，共42分）1．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2-6-7所示，则点A （a ，b c）在（ ）2．当a ＜0，b ＞0时，二次函数y=ax 2＋bx 的图象可能是图2-6-8中的（ ）3．在图2-6-9中的四个函数的图象中，函数y 的值随x 值的增大而增大的是（ ）4．已知点A （1，y 1），B （－2，y 2），C （－2，y 3）在函数y=2（x ＋1）2－21的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 2＞y 1＞y 35．一个二次函数的图象经过A （0，0），B （－1，－11），C （1，9）三点，则这个二次函数的表达式是（ ）A ．y=x 2＋10xB ．y=－x 2－10xC ．y=x 2－10xD ．y=－x 2＋10x6．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴为y 轴，则m= ．7．若直线y=ax 2＋bx ＋c 开口向上，则直线y=ax ＋3经过 象限．8．抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过点（1，0），（－1，－6），（2，6），则该抛物线与y 轴交点的纵坐标为 ．9．某居民小区按照分期付款形式福利分房，小明家购得一套现价为120000元的住房．购房时首期（每一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付的房款为5000元与上一年剩余欠款的利息之和，设剩余欠款的年利率为0．4%．若第x 年小明家交房款y 元，则y 与x 之间的函数表达式为 ．10．小亮同学想在房子附近开辟一块绿化场，现共有a 米长的篱笆材料，他设计了两种方案：一种是围成正方形的场地；另一种是围成圆形的场地．那么选用哪一种方案围成场地的面积较大 ．11．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？12．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？二、学科间综合题（4分）13．我们知道，溶液的酸碱度由pH 确定．当pH ＞7时，溶液呈碱性；当pH ＜7时，溶液呈酸性．若将给定的HCI 溶液加水稀释，那么，在下列图象中，能反映HCI 溶液的pH与所加水的体积（V）的变化关系的是（）三、学科内综合题（8分）14．如图2-6-11，已知矩形ABCD的边长AB=3，AD=2，将此矩形置于直角坐标系xOy 中，使AB在x轴上，点C在直线y=x－2．（1）按题设画出图形，并求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）若直线y=x－2与y轴交于点E，抛物线y=ax2＋bx＋c过E、A、B三点，求抛物线的表达式；（3）判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD的内部？并说明理由．四、应用题（每题8分，共24分）15．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？16．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）17．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg 放养在塘内，此时市场价为30元/kg ，据测算，此后1kg 活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg ．（1）设x 天后1kg 活蟹的市场价为P 元，写出P 关于x 的函数表达式；（2）如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？五、创新题（23分）（一）教材变型题（3分）18．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月可售出400件．根据销售经验，降低销售单价会导致销售量的增加，即销售单价每降低1元，销售量相应增加20件．如果设降低到x 元，销售利润最大为y 元，那么y 与x 的表达式为 ．（二）开放题（每题4分，共8分）19．老师给出一个函数y=f （x ），甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；丁：当x ＜2时，y ＞0．已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有条件的一个函数 ．20．经过点（0，3）的一条抛物线表达式是 ．（三）动态题（12分）21．已知：如图2-6-12所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=3cm ，∠C=60°，BD ⊥CD ．（1）求BC 、AD 的长；（2）若点P 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度运动，点Q 从点C 开始沿CD 边向点D 以1cm/s 的速度运动．当P 、Q 分别从B 、C 同时出发时，写出五边形ABPQD 的面积S 与运动时间t 之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围（不包含点P 在B 、C 两点的情况）；（3）在（2）的前提下，是否存在某一时刻t ，使线段PQ 把梯形ABCD 分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．六、中考题（19分）22．（2003，昆明，9分）已知：如图2-6-13所示，点O 的坐标为（0，0），点A 的坐标为（43，0），点P 在第一象限，且cos ∠OPA=21．（1）求出点P 的坐标；（一个即可）（2）当点P 的坐标是多少时，△OPA 的面积最大？并求出△OPA 面积的最大值；（不要求证明）（3）当△OPA 的面积最大时，求出过O 、P 、A 三点的抛物线的表达式．23．（2004，河北课改实验区，10分）图2-6-14是某段河床横断面的示意图，查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：（1中画出y 关于x 的函数图象；（2②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x 表示y 的二次函数表达式 ． （3）当水面宽度为36m 时，一般吃水深度（船度部在水面的距离）为1．8m 的货船能否在这个河段安全通过？为什么？加试题：竞赛趣味题（10分）某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（b ＜a ），再前进c 千米，则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是（ ）图2-6-16参考答案Ⅱ．三、解：商品可定价为x 元，则每个利润为（x －100）元，可售出⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅+112030300x ，则获得利润y=（x －100）()[]x -+12030300=－30（x －115）2＋6750，即x=115时，有最大利润为6750元，商品可定价为115元．Ⅳ．1．D 点拨：①c=0，函数y=ax 2＋bx 过原点，正确；②c ＞0，开口向下时，y=ax 2＋bx ＋c 与x 轴两交点，即ax 2＋bx ＋c 有两不等实根，正确；据二次函数性质③、④也正确．2．解：设生产的档次为x ，利润为W ，则W=()[]128-+x ()[]1360--x =－6（x －9）2＋864．∴生产第9档次产品时所获利润最大，最大值是864元．Ⅴ．一、1．C 点拨：由图象a ＜0，c ＜0，a 、b 异号，b ＞0．2．A 点拨：当a ＜0，b ＞0时，抛物线y=ax 2＋bx 开口向下，对称轴x=－ab 2＞0，在y 轴的右侧，又抛物线过（0，0）．3．C 点拨：一次函数、反比例函数、二次函数增减性的考查．4．B 点拨：可将三点代入y=2（x ＋1）2－21中，比较y 1、y 2、y 3的大小．或画出草图，从图中找出y 1、y 2、y 3，大小即现．5．D 点拨：将三点代入表达式y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）求表达式即可．6．－3 点拨：对称轴为y 轴，即x=－ab 2=0．a ≠0，∴b=0．即m ＋3=0，∴m=－3．7．一、二、三8．－4 点拨：待定系数法将三点代入确定表达式即可．9．y=5000＋()[]2500090000--x ×0．4%（2≤x ≤19） 点拨：由题意第二年付款为5000＋90000×0．4%（元），第三年付款5000＋（90000－5000）×0．4%（元），第四年付款为5000＋（90000－5000×2）×0．4%（元），则第x 年付款5000＋()[]2500090000--x ×0．4%（元）． 10．围成圆形 点拨：S 正方形=（4a ）2=161a 2，S 圆形=π·（π2a ）2=π41a 2．∴S 圆形＞S 正方形11．解：（1）设每件衬衫降价x 元时，商场每天能盈利1200元．依题意，得（40－x ）（20＋2x ）=1200．整理，得x 2－30x ＋200=0．解得x 1=10，x 2=20．若为了减少库存，应降价20元．答：若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元．（2）设每件衬衫降低x 元时，商场平均每天盈利y 元，则y=（40－x ）（20＋20x ）=－2x 2＋60x ＋800．当x=－ab 2=－()2260-=15时，y 最大=()()2460800244422-⨯-⨯-⨯=-ab ac =1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多． 点拨：（1）商场每天的盈利额等于这天售出衬衫总数与每件盈利之积，（2）利用二次函数．12．解：设提高x 元销售，售货总收入为y 元．y=（x ＋50）（500－20x ）－40（500－20x ）．整理，得y=20⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--413062152x =－20（x －215）2＋6125．解得x=7．5元时，即售价定为57．5元，收益最大，为6125．二、13．C 点拨：由化学知识知，HCI 溶液呈酸性，因此加水前其pH ＜7，而加水后其酸性减弱，pH 增大，并且pH 随所加水体积（V ）的增大而增大，但绝不会超过7，所以选C ．点拨：溶液的pH 是初中化学中一个十分重要的知识，应用很广．本题以“溶解度”为出发点，结合函数增减性质，增养学生的逻辑推理能力．三、14．解：如答图2-6-1．（1）根据题意，可设C 的坐标为（a ，2）． ∵点C 在直线y=x －2上，∴2=a －2．∴a=4． ∴C （4，2），B （4，0），A （1，0），D （1，2）．（2）若y=x －2中的x=0，则y=－2，∴点E （0，－2）． ∴过E 、A 、B 的表达式y=a （x －1）（x －4），－2=a （0－1）（0－4）． ∴a=－21．∴y=－21（x －1）（x －4），即y=－21x 2＋25x －2．（3）∵y=－21（x －25）2＋89，∴抛物线的顶点（25，89）．设在矩形ABCD 内部的点（x ，y ），则1＜x ＜4，0＜y ＜2． ∵1＜25＜4，0＜89＜2，∴抛物线y=－21x 2＋25x －2的顶点在矩形ABCD 内部．点拨：确定坐标系及用待定系数法确定表达式后，抛物线顶点若落在矩形内部，则1＜x ＜4，0＜y ＜2，否则落在矩形的外部．四、15．解：（1）y=240－3x （40≤x ≤70）．（2）当每箱售价为x 元时，每箱利润为（x －40）元，平均每天的利润为W=（240－3x ）（x －40），所以W=－3x 2＋360x －9600．（3）将W=－3x 2＋360x －9600，配方得W=－3（x －60）2＋1200． ∴此二次函数的顶点坐标为（60，1200）． 当x=40时，W=－3（40－60）2＋1200=0； 当x=70时，W=－3（70－60）2＋1200=900． 草图如答图2-6-2所示．（4）由图象易知，当牛奶售价为每箱60元时，平均每天的利润最大，其最大利润为1200元．点拨：实际应用题计算最值时，同时也要考虑自变量的取值范围．∴y=－21x 2＋4x （图象略）．（2）y=－21x 2＋4x=－21（x －4）2＋8，∴服药后4小时，才能使血液中含药量最大，这时每毫升血液中含有药液8微克．（3）当y=0时，x 1=0，x 2=8，故一次服药后的有效时间为8小时． 17．解：（1）P=30＋x ；（2）Q=（1000－10x ）（30＋x ）＋200x=－10x 2＋900x ＋30000； （3）设总利润为L ，则由题意，得L=Q －30000－400x=－10x 2＋500x ，当x=25时，总利润最大为6250元．五、（一）18．y=－20x 2＋1400x －20000（二）19．y=x1（x ＞0）或y=－x ＋2或y=（x －2）2 点拨：这是一道结论不惟一的开放型试题，它可以是y=xk （x ＞0，k ＞0）型，如y=x1（x ＞0）；也可以是y=kx ＋b （k ＜0，b ≥－2k ＝型，如y=－x ＋2；也可以是y=a （x －2）2＋h （a ＞0，h ≥0）型，如y=（x －2）2．按试题要求任写一个即可．20．y=x 2＋3或y=2x 2＋x ＋3等 点拨：只要抛物线过点（0，3），即二次函数y=ax 2＋bx ＋c 中，c=3即可．（三）21．解：（1）显然Rt △BDC 中，∠C=60°，CD=3cm ，则BD=6cm ． 又∵∠DBC=30°，AD ∥BC ，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴AD=AB=3cm ． （2）当动点P 、Q 运动时间为t 秒时，则PC=6－2t ，QC=t ．作PC 边上的高QE ，则QE=23t ，∴S △PQC =21（6－2t ）·23t=43t （6－2t ），S 梯形ABCD =21（AD ＋BC ）·CD ·sin60°=4327．S=S 梯形ABCD －S △PQC =4327－43t （6－2t ）=43（2t 2－6t ＋27）（0＜t ＜3）．（3）假设存在符合条件的时刻t ，由于S △ABD =31S 梯形ABCD ，∴△PQC 与五边形ABPQD 的面积之比有可能是1：5． ∴S △PQC ：S 五边形ABPQD =1：5，即S 五边形ABPQD =65S 梯形ABCD ．∴43（2t 2－6t ＋27）=65·3427．整理，得4t 2－12t ＋9=0，∴t=23．即当t=23时，线段PQ 把梯形ABCD 分成两部分的面积之比为1：5．点拨：第（2）问中，由面积分割S=S 梯形ABCD －S △PQC 而建立了函数表达式．第（3）问为是否存在型的探索性问题，其基本解法是假设存在，依此前提进行运算或推理．若推出矛盾可否定假定，否则给出证明或解答．六、22．解：（1）如答图2-6-3所示，作Rt △OP 1A ，使∠P 1AO=90°，∠P 1OA=30°．则∠OP 1A=60°，即点P 1为所求的点．这时P 1A=OA ·tan30°=43×33=4．∴点P 1的坐标为（43，4），或作等边△OPA ，则∠OPA=60°，这时P （23，6）．（2）点P 在第一象限且在以OP 1为直径以OA 为弦的优弧上，当PO=PA 时，△OPA 的面积最大．过P 作PH ⊥x 轴于H ，则点P 的坐标为（23，6）．这时S △OPA =PH OA 21=21×43×6=123．（3）设抛物线的表达式为y=ax 2＋bx ＋c ．∵抛物线过点O （0，0），A （43，0），P （23，6），点拨：与圆的知识相结合，也是常见的题目．23．解：（1）图象如答图2-6-4所示．（2）①填表如下：②y=2001x 2（3）当水面宽度为36m 时，相应的x=18，则y=2001×182=1．62，此时该河段的最大水深为1．62m ．因为货船吃水深度为1．8m ，而1．62＜1．8，所以当水面宽度为36m 时，该货船不能通过这个河段． 点拨：把准题意理解图象中自变量、表达式的实际意义，解决实际问题．加试题：C 点拨：因为图A 中没有反映休息所消耗的时间；图B 虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；答图中没有反映沿原始返回的一段路程，惟有图C 正确地表述了题意．。

量就相应减少20件。

若销售单价提高x元时，半个月内获得的利润为y元，请写出y与x之间的函数关系式。

销售单价提高多少时，才能在半个月内获得最大利润？最大利润是多少？（三）巩固新知某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。

根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。

销售单价是多少时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（四）新知应用某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子，且增加的橙子树最多不得超过20棵。

假设果园增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个，请写出y与x之间的关系式,并回答下列问题. (1)我们曾经利用列表的方法得到一个猜测，增种多少棵橙子树时，总产量最大？x 1 … 8 9 10 11 12y …猜测的结论：当增种______棵橙子树时，橙子的总产量最大，最大产量为______个。

(2)现在请你用所学知识验证一下你的猜测是否正确。

(3)请画出函数的图象。

(4)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。

经历了探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，提高了学生的运算能力和运算技巧思考并独立完成，并交流结论提高学生运用函数图象解决实际问题的能力学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力。

教师指导纠正。

8、何时获得最大利润教学过程:一、复习前面知识：二、有关利润问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?注：若设销售价为x元，则以上各量怎么表示？销售量_____________ 销售额______________二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、举例：【例1】某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息，如甲乙两图，注甲乙两图中的每个黑心点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低，甲图的图像是线段，乙图的图像是抛物线。

1、请你根据图像提供的信息说明在三月份出售这种蔬菜，每kg的收益是多少元？（收益=售价－成本）2、哪个月出售这种蔬菜，每kg的利润最大，说明理由。

（1）请把表中空白处填上适当的数。

（2）在平面直角坐标系中，根据（1）中的数据，描写实数对（x，y）的对应点，并写出y与x的一个函数关系式。

（3）根据（2）中的关系式写出p与x的函数关系式，并指出当销售价x为多少元时，才能获得最大的销售利润。

【例3】某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x 小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）四、随堂练习：1、某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课后练习1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？4、有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？5、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围． （2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b 2）2＋a b ac 442的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？5、某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x（1①根据表中提供的数据描出实数对（x ，y ）的对应点；②猜测并确定日销售量y 件与日销售单价x 元之间的函数表达式，并画出图象．（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P 元，根据日销售规律：①试求出日销售利润P 元与日销售单价x 元之间的函数表达式，并求出日销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P 是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P 元与日销售单价x 元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x 与P 的取值范围．。