有限元知识点总结

材料力学有限元分析知识点总结材料力学是研究物质力学性质和行为的学科，而有限元分析是一种利用计算机数值模拟方法对工程问题进行分析和计算的技术。

本文将从理论基础、有限元建模、求解方法和误差分析等方面总结材料力学有限元分析的关键知识点。

一、理论基础1. 材料力学基本原理：包括应力、应变、变形和弹性模量等基本概念，以及胡克定律和应力应变关系等基本理论。

2. 有限元法基本原理：包括将实际结构离散为有限个单元，建立节点和单元之间的关系，以及应用物理原理和数值方法求解得到数值解的基本思想。

3. 有限元离散方法：包括将连续问题离散化为有限个子问题，建立单元刚度矩阵和全局刚度矩阵，以及应用有限元法进行力学问题分析的基本步骤。

二、有限元建模1. 几何建模：将实际工程结构进行几何建模，通常使用CAD软件进行建模，包括建立节点和单元等。

2. 材料建模：根据实际材料的物理性质和力学行为，选择适当的材料模型，如线性弹性模型或非线性材料模型。

3. 网格划分：将结构离散为有限个单元，通常使用三角形单元或四边形单元进行网格划分，确保离散后的单元足够小且保证几何形状的准确性。

三、求解方法1. 单元应力应变计算：通过数值方法计算每个单元的应力和应变，可采用解析解、数值积分或有限元法求解。

2. 节点位移计算：根据应力应变关系和单元的几何形状，计算每个节点的位移，从而得到结构的变形情况。

3. 刚度矩阵的建立：根据单元的几何形状、材料性质和节点位移等信息，建立单元刚度矩阵和全局刚度矩阵，用于力学方程的求解。

4. 边界条件的施加：根据实际工程问题，施加适当的边界条件，如固支约束和荷载条件等，从而得到合理的求解结果。

四、误差分析1. 收敛性分析：通过逐步增加单元数目或减小网格大小，观察求解结果是否趋近于稳定值，从而判断数值解的收敛性。

2. 精度分析：通过与解析解或实验结果进行比较，评估数值解的精度，包括位移误差、应力误差和能量误差等指标。

3. 稳定性分析：判断数值解的稳定性和可靠性，防止数值发散或出现明显的计算错误。

材料力学有限元法知识点总结材料力学是一门研究物质内部结构、性质和变形行为的学科，而有限元法则是一种在工程和科学领域中广泛应用的数值计算方法。

有限元法可以将一个复杂的实体划分为无数小的单元，通过对这些小单元进行分析和计算，最终得到整个实体的力学性质和行为。

本文将对材料力学有限元法的一些核心概念和知识点进行总结。

1. 有限元法基础概念有限元法基于将实际连续的物体离散为有限数量的单元，通过计算每个单元的受力、变形等性质，再通过组合这些单元的结果来近似整个物体的行为。

它包含以下几个基础概念：1.1 单元（Element）：有限元法中的基本组成单元，可以是一维的线段、二维的三角形或四边形，或三维的四面体、六面体等。

1.2 节点（Node）：单元的角点或边上的点，用于定义单元之间的连接关系和边界条件。

1.3 自由度（Degree of Freedom）：每个节点与力学性质相关的物理量，如位移、应力等。

根据问题的不同，在每个节点上可能有一个或多个自由度。

1.4 单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）：描述单元内部受力和变形关系的矩阵，在有限元法中通过组合所有单元的刚度矩阵来得到整个系统的刚度矩阵。

1.5 全局刚度矩阵（Global Stiffness Matrix）：由所有单元刚度矩阵组合而成的整个系统的刚度矩阵，用于计算节点的位移和应力。

2. 有限元法的数学原理有限元法的数学原理主要基于以下两个方面：2.1 变分原理（Variational Principle）：有限元法的数学基础是根据变分原理推导实现的。

它通过对结构的势能进行变分并进行最小化，得到满足结构力学行为和边界条件的位移和应力场。

2.2 加权残差法（Weighted Residuals Method）：有限元法通过将变分原理中的势能函数展开为一系列基函数的线性组合，并使用权重函数对残差进行加权求和的方式进行近似。

这样可以将求解连续问题转化为离散问题，进而进行数值计算。

一．简答题：1.有限单元法和里兹法的区别：有限单元法：(1) 将连续的求解域离散为有限个单元组合体，利用在每一个单元内假设的近似函数来表示全求解域上待求的未知场函数。

(2)数学意义上，是把微分方程的连续形式转化为代数形式方程组。

里兹法：在整个求解域上，直接从泛函出发，通过假设试探函数，求得问题的近似解。

2. 泛函的两个基本点：(1)泛函有它的定义域，这个定义域是指满足一定条件的函数集。

(2)泛函](xy具有明确的对应关系，泛函的值是由一条可取曲线 与可取函数)[y的整体性质决定的，它表现在“积分”上。

3. 有限单元法的基本步骤：(1)结构或物体的离散化。

(2)选取单元内的场变量插值函数。

(3)进行单元分析，求单元特性矩阵和单元特性列阵。

(4)进行整体分析，组装整体特性矩阵和整体特性列阵，建立整体方程。

(5)计算单元内部的场变量。

4. 选取插值函数的原则：(1)广义坐标的个数与单元自由度数一致。

(2)为提高单元精度，插值多项式应尽量选取完全多项式。

有时完全多项式的项数与单元自由度数并不相同，这时可以增加单元的节点个数以使单元的自由度数和完全多项式的项数相同；还可以减少多项式的项数，以使问题变得简单，但此时应注意保持多项式的对称性。

5. 收敛准则：准则1 完备性要求。

如果出现在泛函中场函数的最高阶导数为m阶，则有限单元法收敛的条件之一是单元内场函数的插值函数至少是m次完全多项式，或者说插值函数必须包括本身和直至m阶导数为常数的项。

准则2 协调性要求。

如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在相邻单元的交界面上应有函数直到m - 1阶的连续导数。

6. 等参变换的定义：将局部(自然)坐标中几何形状规则的单元变换为整体坐标系中几何形状扭曲的单元。

当坐标变换和函数插值采用相同的节点，为等参单元；当坐标变换节点数多于插值函数节点数，为超参变换；当坐标变换节点数少于插值函数节点数，为亚参变换。

7. 等参单元基本思想：用相同数目的节点参数和相同的插值函数来定义单元的形状以及单元内的场变量。

有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。

在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。

2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。

可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。

4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。

即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。

称前者为母单元，后者为子单元。

还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。

如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。

5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。

每个部分称为一个单元，连接点称为结点。

对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。

这种单元称为常应变三角形单元。

常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。

有限元分析及其应用-2010；思考题：1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？答：基本思想：几何离散和分片插值。

基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。

离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。

当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。

2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低；里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解；有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。

3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件；2）构造其泛函形式；3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。

4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩阵）。

5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用节点载荷：作用于节点上的外载6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自由度和节点解释）？答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。

Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。

7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。

形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0；单元内任一点的形函数之和恒等于1；形函数的值在0~1间变化。

有限单元法的基本思想（1）将一个连续域化为有限个单元并通过有限个结点相连接的等效集合体。

由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。

（2）有限元法利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场数。

单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达。

（3）一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个结点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。

（4）一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。

显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。

形函数的解释：我们知道有限元计算中需要形函数，形函数的作用是什么呢？其实就是插值函数，为了插值计算。

对于某个单元以四边形单元为例，如果我们知道了四个结点的计算结果，那么单元内部各处的结果是多少呢？这个时候就需要我们利用形函数在进行插值计算。

如果已知单元内部某个点（x0，y0），通过形函数插值代入坐标点就可以计算出该点处的物理量值，比如位移大小。

积分点则是指高斯积分点，主要涉及刚度矩阵计算。

对于高斯积分点的选择，其积分点与单元结点是不一样的，但是采用高斯积分计算能够大大提高计算效率而又不怎么会影响计算精度和收敛性，因此有限元中计算中都采用高斯积分点来进行计算。

结点力和积分点应力的讨论：下面就涉及到关于节点力和积分点应力情况的讨论。

在分析软件中，最先都是计算得到节点的位移，这个是最精确的；之后通过节点位移再求解应力应变。

但是在求解过程中就会涉及到高斯积分点，因此它是先得到积分点处的应力应变值，这个是最准确的。

然后通过形函数将积分点处的值外插到节点上，获得节点处的应力应变值。

有限元总结第一篇：有限元总结1、有限元法是近似求解连续场问题的数值方法。

2、有限元法将连续的求解域（离散），得到有限个单元，单元与单元之间用（结点相连。

3、从选择未知量的角度看，有限元法可分为三类（位移法力法混合法）。

4、以（结点位移）为基本未知量的求解方法称为位移量。

5、以（结点力）为基本未知量的求解方法称为力法。

7、直梁在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）和（弯矩）两个。

8、平面刚架结构在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）、（弯矩）、（轴力）。

9、进行直梁有限元分析，结点位移有（转角）、（挠度）。

12、弹性力学问题的方程个数有（15）个，未知量个数有(15)个。

13、弹性力学平面问题方程个数有（8），未知数（8）个。

15、几何方程是研究（应变）和（位移）关系的方程。

16、物理方程描述（应力）和（应变）关系的方程。

17、平衡方程反映（应力）和（位移）关系的方程。

18、把进过物体内任意一点各个（截面）上的应力状况叫做（该点）的应力状态。

19、形函数在单元结点上的值，具有本点为（1），他点为零的性质，并在三角形单元的后一结点上，三个形函数之和为（1）。

20、形函数是（三角形）单元内部坐标的（线性位移）函数，它反映了单元的（位移）状态。

21、结点编号时，同一单元相邻结点的（编号）尽量小。

25、单元刚度矩阵描述了（结点力）和（结点位移）之间的关系。

矩形单元边界上位移是（线性）变化的。

1、从选择未知量的角度来看，有限元法可分为三类，下面那种方法不属于其中（C）。

A、力法B、位移法C、应变法D、混合法2、下面对有限元法特点的叙述中，哪种说法是错误的（D）。

A、可以模拟各种几何形状负责的结构，得出其近似值。

B、解题步骤可以系统化，标准化。

C、容易处理非均匀连续介质，可以求解非线性问题。

D、需要适用于整个结构的插值函数。

3、几何方程研究的是（A）之间关系的方程式。

A、应变和位移B、应力和体力C、应力和位移D、应力和应变 4.物理方研究的是（D）之间关系的方程式。

有限元ANSYS复习要点形函数的物理意义：单元节点位移对单元内任⼀点位移的贡献程度。

⼆、收敛性分析: 1、当⽹格⽆限⼩时，有限元解收敛于⼒学模型的精确解。

2、位移元解是下限解三、位移元收敛准则1、完备性准则(位移函数必须能反映单元的刚体位移和常应变状态。

)2、协调性准则(位移函数必须保证在相邻单元的接触⾯上位移连续或位移以及⼀阶导数连续。

)杆、平⾯和空间应⼒问题——C0连续(位移连续)梁、板壳问题——C1连续(位移及其⼀阶导数连续)平⾯和空间问题——位移连续保证相邻单元既不会开裂，也不会重叠。

1、平⾯空间结构问题：位移函数只要含有线性项和常数项就是完备的。

2、平⾯结构问题：3个刚体位移；3个常应变。

3.空间结构问题：6个刚体位移；6个常应变。

2、协调性:(1、矩形单元在边界上的位移是线性函数。

2、在边界上有两个公共节点，且有相同位移。

3、保证了相邻单元在其公共边界上位移的连续性.)⼦块Kij的物理意义:当节点j处发⽣单位位移，⽽其他节点固定时，在节点i上所施加的⼒（4）若两个三⾓形相似，且编号顺序采⽤⼀致的标记⽅法，两三⾓形单元的单元刚度矩阵⼀致。

（5）单元刚阵所有奇数⾏（列）的对应元素之和为零，所有偶数⾏（列）的对应元素之和也为零。

提⾼单元的精度:(1、增加节点２、增加旋转⾃由度３、增加插值项数（不协调模式）Q8 Q9 LST单元可以避免剪切锁定，可以⽐较好的模拟弯曲。

2．平⾯应⼒：结构形状特点：沿Z⽅向尺⼨远⼩于x,y⽅向尺⼨受⼒特点：载荷平⾏板中⾯并沿厚度⽅向均匀分布。

板前后表⾯上没有外⼒作⽤应⼒特点：由于板很薄，整个平板的所有各点沿Z轴的正应⼒分量和垂直于Z轴的⾯上的剪应⼒均为0；应⼒分量，应变分量，位移分量都认为不沿厚度变化。

平⾯应变：1）结构形状特点：沿Z⽅向尺⼨远⼤于x,y⽅向尺⼨3）变形特征：任⼀截⾯都是对称⾯2）受⼒特点：物体柱⾯上承受平⾏横截⾯并沿长度⽅向均匀分布的⾯⼒，体⼒也平⾏横截⾯并沿长度⽅向均匀分布。