下载文档原格式
Cantor集与Cantor函数Cantor 集与Cantor 函数【摘要】：本文详细分析并证明cantor 集与cantor 函数的定义与性质，具体内容有：cantor 集的完备性，具有连续统势；cantor 函数的性质，解决了课堂上的小问题（关于cantor 函数的连续性与稠密性）；并借助于cantor 集，给出一个孤立点集，它的导集是一个完备集；最后给出了一些常见的分形。
【关键词】：Cantor 集、Cantor 函数、分形、点集、完备集1 Cantor 集与Cantor 函数的定义1.1 Cantor 集的定义将基本区间A=[0，1]三等分，除去中间的开区间)3231(11，，=I ,记其剩余部分为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1,323101 ，E ；再将1E 中的两个闭区间各三等分，然后分别去掉中间的开区间)3837()3231(222,2221,2，，，==I I ,然后记其剩余部分为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1383732313231022222，，，， E 。
如此继续下去，在第n 步时，去掉的开区间为)313323()3837()3231(12,2,1,n n n n n n n n n n n n I I I --===-，，，，，， 。
其余部分为n2个长为n 31的闭区间，令 n m k k m n mI G 1121,=-==又令 k n k n n n I G G ,,1==∞=，G C \]10[，=，则称所得的C 为Cantor 集。
1.2 Cantor 函数的定义将基本区间A=[0，1]三等分，并除去中间的开区间,同时令把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间)3837()3231(222,2221,2，，，==I I同时令假设是C的内点，则存在，使得这样含于[0,1]中且这个开集的各个构成区间互不相交，这些区间的长度之和大于1，矛盾。
Canter 集及Canter 函数Canter 集的构造：将闭区间[]01，三等分，去掉中间的开区间1233⎛⎫⎪⎝⎭，，剩下的两个闭区间120133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，，又把这两个闭区间各三等分，去掉中间的两个开区间，即12789999⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，一般地，当进行到第n 次时，一共去掉12n -个开区间，剩下2n个长度为3n-的互相隔离的闭区间，而在第1n +次时，再将这2n个闭区间各三等分，并去掉中间的一个开区间，如此继续下去，就从[]01，去掉了可数个互不相交的开区间，剩下的必是一个闭集，它成为康托尔集，记为C 。
示图如下：Canter 集的性质：Ⅰ.Canter 集C 是非空有界闭集 证明：n 1C F n ∞==，其中n F 是n 2个长度为13n 的互不相交的闭区间的并集，因而每个n F 都是非空有界闭集，故C 是有界闭集，而n F 中每个闭区间的端点都没有被移去即每个分割点都在Canter 集中，它们是C 中的点，故C 为非空集。
即证。
Ⅱ.Canter 集无内点证明：令[]G=01\C ，,容易看出[]G 01=，，从而C =∅。
，那么Canter 就没有内点。
Ⅲ.canter 集中所有的点都是聚点，故是完备集证明：即证'C=C ，令x C ∈，则对,n n x F ∀∈，即对每个,n x 属于长度为13n 的某个区间中。
0n δ∀>∃，，满足13n δ<，使得n F 中包含x 的区间含于()x x δδ-+，，此时闭区间的两个端点是C 的点，且总有一个不是x ，这说明x 是C 的极限点，故'C C ⊃，故又因为C 是有界闭集，'C C ⊂，那么即证'C=C 。
Ⅳ.canter 集是疏朗集证明：任取开区间()αβ，，若()αβ，不含C 中的点，则不必讨论，显然证明Canter 是疏朗集。
若()αβ，中含有C 中的点x ，令{}m i n ,x x δαβ=--，则0δ>，故只需证明0n 充分大，便有13n δ<，既然x 是永远去不掉的点，x 也应该属于玩掉0n 之后余下的某一个闭区间中，设这个区间为[]00αβ，，则[]()00αβαβ⊂，，，再将[]00αβ，三等分是，所挖去的中间的开区间，设它为()''I ,αβ=，则()()'',αβαβ⊂，，且()'',C αβ⋂=∅，所以C 是疏朗集。
Cantor三分集在数学⽅⾯，Cantor三分集是由德国数学家康托(G.Cantor)于1883年引⼊的（但在1875年就由Henry John Stephen Smith发现了），它是⼀个取⾃简单直线段上的点集，它有若⼲⾮凡⽽⼜深刻的性质。
通过对它的思考，康托和其他助⼿奠定了现代⼀般拓扑学基础。
虽然康托⾃⼰⽤抽象的⽅法定义了这个集合，但⼀般⽽⾔，现代最流⾏的构造是康托三分集，它是通过将⼀条线段的中间部分去掉⽽获得的。
康托⾃⼰只是顺便提及了三重构造，作为⽆处稠密的完备集的⼀般例⼦。
三分集的构造 康托三分集是由重复删除直线段中间的三分之⼀开区间⽽创造出来的。
先从区间[0，1]中间删除开区间(1/3, 2/3)，留下两边线段：[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]。
下⼀步，删除留下的线段的各⾃的三分之⼀中间段，剩下四条直线段：[0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]。
⽆限重复这⼀过程，则第n个集合是合是：康托三分集包含区间[0, 1]内在每⼀步没被删除的所有的点。
计算表明康托集不包括任何⾮零的长度。
事实上，令⼈惊讶的是，它可能在所有中间被扣掉的部分之和就等于它的最初的长度。
然⽽，仔细观察这个过程却有很重要的东西被剩下，因为重复地消除只是中间的1/3开集（这个集合不包含它的端点）。
从最初的[0，1]线段中除去(1/3, 2/3)，⽽两个端点1/3和 2/3被留下。
随后的操作，不移动这些端点，因为被移除的部分总是在剩余部分的内部。
所以康托集是⾮空的，⽽事实上，它包括⽆限多个点。
Cantor三分集的Lebesgue测度为0，通俗点说长度为零。
康托三分集具有1）⾃相似性；2）精细结构；3）⽆穷操作或迭代过程；4）传统⼏何学陷⼊危机。
⽤传统的⼏何学术语难以描述，它既不满⾜某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单⽅程的解集。
其局部也同样难于描述。
因为每⼀点附近都有⼤量被各种不同间隔分开的其它点存在。
Cantor集、连续延拓定理Cantor集对[0,1]区间三等分, 去掉中间⼀个开区间, 然后对留下的两个闭区间继续三等分,去掉中间的开区间, 不断做下去, 最后留下来的点集称为Cantor 三分集, 记为C.它的性质(1) 分割点⼀定在Cantor集中,(2) C的"长度"为0，去掉的区间长度和$$\sum{\infty}_{n=1}\frac{1}{3n}\cdot 2^{n-1}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}}=1.$$(3) C没有内点证明：对任意x∈C, x必被含于在第n次时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间I(n)i中,∀ε>0,1/3n<ε,I(n)i⊂B(x,ε),但由Cantor集的做法，要继续三等分去掉中间的⼀个开区间, 从⽽B(x,ε)内⾄少有⼀点不属于C, 所以x不可能是C的内点.(4) C中的点都是聚点, 从⽽没有孤⽴点.数的进制⼗进制⼩数：相应于对[0,1]⼗等分⼆进制⼩数：相应于对[0,1]⼆等分说明：对应于[0,1]⼗等分的端点有两种表⽰，如0.2000000..., 0.1999999...(⼗进制⼩数)(5) C的基数为ℵ,(利⽤三进制证明)证明思路：把[0,1]区间中的点都写成三进制⼩数, 则Cantor集的做法中去掉的点为⼩数位出现1的数的全体, 从⽽Cantor集为⼩数位只是0，2的点的全体，做对应X∈P→x=∞∑k=1a k3k(ak=0,2).说明：三等分的端点有必要特殊考虑, 因为它有两种表⽰,0.100000...=0.022222..., 0.200000...=0.122222...对x∈C, 令A={k|a k=0},则A⊂N+.对应关系x→A构成了C到P(N+)的⼀⼀映射.第⼀章集合与点集第六节点集间的距离定义1.16 设E⊂R n, f是定义在E上的实值函数, x0∈E, 若∀ε>0,∃δ>0,使得x∈E∩B(x0,δ)时候，|f(x)−f(x0)|<ε.称为f在x0点处连续.注：若f在E上连续, ⽽E0⊂E, 则f在E0连续.定理1.22 若E1,E2是闭集, f定义于E1∪E2上, 且分别在E1,E2上连续, 则f相对于E1∪E2也⼀定连续.证明：若x∈E1∪E2. 不妨设它为聚点, 因为E1,E2为闭集, 则E1∪E2内任⼀以x0为极限的点列{y k}只能有两种情况:其⼀, 从某⼀项起, 全部y k属于E1或E2(相应x0∈E1或x0∈E2.)容易证明.其⼆, {y k}由两个分别属于E1,E2的⽆穷⼦列组成, 此时, x0∈E1∪E2, 因为lim因此\lim\limits_{k\to\infty} f(y_k)=f(x_0).定理1.23 设f是\mathbb{R}^n中有界闭集E上的连续函数, 则(1) f在E上有界(2) f在E上取得最⼤值和最⼩值(3) f在E上⼀致连续定理1.24 设E\subset\mathbb{R}^n, f_1,f_2,\cdots是E上的连续函数列, 且k\to\infty时, \{f_k\}在E上⼀致收敛到函数f, 则f在E上连续.例20 对于任意的x_0\in\mathbb{R}^n, E\subset\mathbb{R}^n, 定义x_0到E的距离为d(x_0,E)=\inf\{d(x_0,y)|y\in E\}.证明：(1)若E是闭集, 则存在y_0\in E, 使得d(x_0,y_0)=d(x_0,E).对于任意点集A, B, 定义A, B之间的距离为d(A,B)=\inf\{d(x,y)|x\in A,y\in B\}.证明：(2)若A和B都是闭集, 其中⾄少有⼀个有界, 则存在x_0\in A, y_0\in B, 使得d(x_0,y_0)=d(A,B).集合的简单写法：{x\in E|f(x)>a}:=E(f>a).定理1.25 若函数f在E上连续, 则对任意的实数a, 存在开集G_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f>a)=G_a\cap E.也存在开集H_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f<a)=H_a\cap E.证明：对任意x\in E(f>a), 由于f在E上的点x连续, 必存在\delta=\delta(x,a)>0,使得y\in E\cap B(x,\delta)时, f(y)>a.因此若令G_a=\bigcup_{x\in E(f>a)} B(x,\delta), 则G_a是开集, 并且E(f>a)=G_a\cap E.同理可证, H_a.推论1 若函数f在E上连续, 则对任意的实数a, 存在闭集F_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f\geq a)=F_a\cap E.也存在开集K_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f\leq a)=K_a\cap E.推论2 若f在开集E连续, 则对于任意实数a, E(f>a)和E(f<a)是开集, 若函数f在闭集E上连续, 则对于任意实数a, E(f\geq a), E(f\leq a)是闭集.定理1.26 若f是\mathbb{R}^n的函数, 则对于任意实数a, E(f>a), E(f<a)总是开集, 则f在\mathbb{R}^n上连续. (开集与开集的交是开集，闭集与闭集的交为闭集）连续延拓定理引理：若F_1,F_2是\mathbb{R}^n中的两个不交的⾮空闭集, 则有连续函数f(x), 使得(1) 0\leq f(x)\leq 1(x\in\mathbb{R}^n);(2) F_1=\{x: f(x)=1\}, F_2=\{x: f(x)=0\}.证明：构造函数f(x)=\frac{d(x,F_2)}{d(x,F_1)+d(x,F_2)}, x\in\mathbb{R}^n.定理1.27 连续延拓定理：若F是\mathbb{R}^n中的闭集, f(x)是F上的连续函数, 且|f(x)|\leq M(x\in F),则存在\mathbb{R}^n上的连续函数g(x)满⾜|g(x)|\leq M, g(x)=f(x), x\in F.证明：把F分成三个点集：A=\{x\in F:M/3\leq f(x)\leq M\},B=\{x\in F:-M\leq f(x)\leq -M/3\},C=\{x\in F:其他\}.并作函数g_1(x)=\frac{M}{3}\cdot\frac{d(x,B)-d(x,A)}{d(x,B)+d(x,A)},x\in\mathbb{R}^n.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
康托尔集的性质及应用1 Cantor集的概念及性质1.1 Cantor集的概念我们先来回忆一下康托尔集的作法。
12将闭区间三等分，去掉中间的开区间，剩下两个闭区间[0,1](,)3312。
又把这两个闭区间各三等分，去掉中间的两个开区间，即[0,],[,1]33 1278n,1n。
一般地，当进行到第n次时，一共去掉个开区间，剩下个22(,),(,)9999n,n长度是的相互隔离的闭区间，而在第n+1次时，再将这2个闭区间各三等分，3并去掉中间的一个开区间，如此继续下去，就从去掉了可数个互不相交(而[0,1]且没有公共端点)的开区间。
剩下的集合称为康托尔集，记为P。
Cantor集是一个完全集,为具有连续基数的点集和不可数的零测度集,其性质在对许多问题的讨论中都起着很大的作用,也常是构造反例的基础,其特殊的构造过程和算术结构使它有许多奇特的性质.1.2 集合的性质Cantor集具有如下性质:非空有界闭集;具有连续基数,其基数为c;完备集,亦即为无孤立点的闭集,被挖去的开集G没有相邻接的构成区间;疏朗集;可测集且异常的公式结尾函数Lebesgue可积且积分值为零;P上的任何函数均是可测函数,零测度集上的任何函数均是可测函数。
下面我们从康托尔集合的做法中讨论一下它的性质，仅供读者学习实变函数论之参考。
2 Cantor集性质的应用2. 1 研究集合的有关性质为了推广区间长度的概念,对一般点集建立一种能反映集合的“容量”与长度概念相当的度量,这种度量既要发展长度的概念,又必须保留长度概念的某些最基本的性质,也就是集合的“测度”,测度理论是建立新型积分理论的基础.,定理1 对任何非负数,,,可作[,]ab的一个完备疏朗集E,0,,,llba,,使。
mE,,证明按下面的步骤完成E的构造:,,lG[,]ab第1步:在的中心处挖去的长度为的开区间,该开区间记为; 13l,,1第2步:在余下的两个闭区间中分别挖去其中心处的长度为,的开区33 G间,这些开区间的并记为; 2………l,,1n,1n,12第n步:在余下的个闭区间中,分别挖去其中心处的长度为的开,()33n,1G2区间,记这个互不相交的开区间之并为。
Cantor集合和Hilbert曲线的数学思考Cantor集合和Hilbert曲线都是数学中非常有趣的对象，它们不但具有美妙的几何形态，同时也蕴含着丰富的数学思考。
在本文中，我们将探讨这两个对象，并思考它们背后的数学原理和思想。
一、Cantor集合Cantor集合是由德国数学家Georg Cantor在19世纪末提出的。
它是一种闭合集合，具有以下性质：1. Cantor集合是一个无限集合，其中的元素是实数。
2. Cantor集合是不可数的（即其基数大于aleph-null，即自然数的基数），这意味着不能将其一一映射到自然数集合上。
3. Cantor集合是一个完全不连通的集合，因为它是由一系列逐步删除的区间组成的，这些区间被视为孤立的。
Cantor集合的构造方法非常简单而又富有迭代性，即从一个单元区间开始，不断去掉每个区间的中间第三部分，得到一系列包含越来越少点的区间，并将它们放在一起得到Cantor集合。
这个过程可以用以下伪代码表示：function CantorSet(start, end, depth) {if (depth = 0) {return [start, end];}var interval = (end - start) / 3;return CantorSet(start, start + interval, depth - 1).concat(CantorSet(end - interval, end, depth - 1));}例如，当depth=1（即只有一层）时，Cantor集合就是一个从0到1的单元区间；当depth=2时，Cantor集合是由0到1/3、2/3到1这两个子区间加上去掉了中间1/3到2/3部分的区间得到的；当depth=3时，Cantor集合就是由0到1/9、2/9到1/3、2/3到7/9、8/9到1这四个子区间加上去掉了中间1/3到2/3和1/9到7/9部分的区间得到的。
广义Cantor 集张北一中 郭彦军 摘要：本文考察了包括直线上的各种广义Cantor 集，由相似变换导出它们的级数表达式，给出它们维数的定义及计算方法，并考察了它们的性质。
关键词：广义Cantor 集；迭代函数系；Hausdorff 维数 1．定义：选取[]1,0区间作为初始元，然后进行m 等分，从中选取l 个小闭区间作为生成元，如此生成的分形集我们称之为广义Cantor 集，记作C 。
2．迭代函数系：广义Cantor 集C 的构造过程可描述为迭代函数系ma x m x f ma x m x f ma x m x f l l +=+=+=1)(1)(1)(2211[]1,0=∈I x其中i a 取}{1,2,1,0-m 中的某些值，l i ,2,1=。
即广义Cantor 集满足l 个相似变换： ma mf x ii +==ξξ)( l i ,2,1= ， 10≤≤x ，10≤≤ξ。
3．将[]1,0区间推广到任意区间[]b a ,： 首先我们给出这样一个一一对应：x a b a y )(-+= []1,0=∈I x则mb a a a m m a a b a m b i i i i +-=-+=)()( 下面给出任意区间[]b a ,上的相似变换：mb mag y ii +-==ηη)( b a ≤≤η b y a ≤≤ i b 取}{b m a b a m ma )1(,)1(,-++- 中的某些值。
4．广义Cantor 集的级数表示：首先回顾一下广义Cantor 集的定义过程：第一次生成l 个闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=m m a ma F i i i 1,0)1()1(,1 {}l i a a a a ,,21)1(∈区间长度为mL 11=。
第二次对每个小闭区间i F ,1进行m 等分，从中选取l 个闭区间，得2l 个闭区间2)2()1()2()1()1()1(*)1(ma m a m a m a m m a m a i i i i i i +=-++ 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=22)2()1(2)2()1(,21,m m a m a m a m a F i i i i i }{l i i a a a a a ,,,21)2()1(∈区间长度为=2L 21m 。
假设第k 次生成k l 个闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++=k k k i i i k k i i i ik m m a m a m a m a m a ma F 1,)(2)2()1()(2)2()1(,当1+=k n 时，即对m F i k ,等分，从中选取l 个闭区间，得1+k l 个闭区间1)1()()1()1()(2)2()1(*1++++++=++++k k i k k i i k i k k k i i i ma m a m a m a m m a m a m a 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++=++++++11)1(2)2()1(1)1(2)2()1(,11,k k k i i i k k i i i i k m m a m a m a m a m a ma F所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++=n n n i i i n n i i i i n m m a m a m a m a m a m a F 1,)(2)2()1()(2)2()1(,}{l i n j a a a a l j i ,2,1.,2,1,,21==∈。
当+∞→n ，01→n m ，则 ++++=→n n i i i i n ma m a m a x F )(2)2()1(, 所以广义Cantor 集的级数表示为∑∞==1k kkmx x }{l k a a a x ,,21∈。
例1．（Cantor 三分集）2,3==l m 则它的相似变换为323)(3)(21+===ξξξξf f x []1,0=∈I ξ所以级数表示为∑∞==13k kkx x }{2,0∈k x 例2．（12+m 分集）将区间[]1,0进行12+m 等分，去掉中间的开区间⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++122,1212,124,123,122,121m m m m m m m m （所有编号为偶数的开区间，共m 个），再将剩下的1+m 个闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1,122,123,122,121,0m m m m m 分别12+m 等分，并各去掉中间的m 个开区间，然后再把剩下的2)1(+m 个闭区间同法处理，如此下去，便得12+m 分集。
其构造过程可描述为迭代函数系：12212)(12212)(12)(121+++=+++=+==+m m m f m m f m f x m ξξξξξξ[]1,0=∈I ξ则其级数表示为：∑∞=+=1)12(k kk m x x }{m x k2,2,0 ∈ 例3．对[]1,0区间n 等分（3>n ，而且可以不是整数），留下两端n 1段，去掉中间nn 2-段，这样得到的分形集其相似变换为：nn nf nf x 1)()(21-+===ξξξξ []1,0=∈I ξ所以级数表示为；∑∞==1k kknx x }{1,0-∈n x k 例4．（Cantor K 分集）以闭区间[]1,0的中点21为中心删去闭区间[]1,0的中间长度为K1的开区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=K K I 2121,2121)1(，剩下两个闭区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2121,2121,0K K ，然后再分别从剩下的两个闭区间以中点为中心删去剩下的两个闭区间的中间长度为21K 的开区间，如此得到的分形集称为Cantor K 分集。
这一构造过程可描述为迭代函数系：KK K K f KK f x 2121)(21)(21++-=-==ξξξξ []1,0=∈I ξ其中2,21=-=l KK m 它的级数表示为：∑∞=-=1)21(k kk KK x x ⎩⎨⎧⎭⎬⎫-+∈11,0K K x k 5．广义Cantor 集的Hausdorff 维数定义变换：F II22→如下： li i B f B F 1)()(== I B ⊂∀引理1 F 是I 2上的压缩映射 证明：x y mx f y f I y x i i -=-∈∀1)()(,, 所以A B mA fB f I B A i i -≤-⊂∀1)()(,,。
其中A B -表示A 与B 的Hausdorff 距离，即A B -⎩⎨⎧⎭⎬⎫=∈∈),(sup ),,(sup max A x B x B x A x因而F 是I 2上的压缩映射定义 N n B F F B F n n ∈∀=-)),(()(1 推论1 )(lim I F A n n ∞→=存在，显然C A =证明：由于[][][]a b m lm a b m b m b b a f b a f b a F li i i li i li i -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+===∑∑===111,),(),(),(所以I m l I F =)(，进而有n n n mlI m l I F )()()(== 定义：对任意⎩⎨⎧⎭⎬⎫=<∈=>n n m I m r Z n r n r )1()1(max )(,0 则有引理2 mm rr n mr 1log 1log)(1log log ≥> 证明： 由)(1)()1()1(r n r n mr m <≤+两边取对数可得。
定理：对任意0>r ，存在常数1C 和2C 使得mm lr n mm lrC I F rC 1log log 2)(1log log 1)(≤<证明： 由引理2左边不等式得1,)()()(11log log 1log log )()(==>=C rml m l I F mm lmr r n r n同理由引理2右边不等式得mm lmm lmm lmm rr n r n mC rC mr mlm l I F 1log log 21log log 21log log 1log 1log)()(,)1()()()(===≤=推论2 当0→r 时，m m lr n r I F 1log log )(~)(推论3 rI F s r n r log )(log lim)(0→=存在，且mm l s 1log log =定义：我们定义)(lim I F C n n ∞→=的维数为mls d s log log 1=-= 6．广义Cantor 集C 的性质：性质1 广义Cantor 集不含任何区间证明：由广义Cantor 集的定义过程可知，闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++=n n n i i i n n i i i i n m m a m a m a m a m a ma F 1,)(2)2()1()(2)2()1(,01,→=∞→nn m L n 所以C 中不含任何区间。
性质2 广义Cantor 集不含内点定义,R E ⊂点x 是E 的内点，存在,0>δ使()E x x ⊂+-δδ,反证：假设广义Cantor 集存在内点x ，则有C x ∈，存在0>δ，使得()C x x ⊂+-δδ,。
取δ<nm 2，在C 的构造过程中，第n 步有i n F x ,∈。
存在某一闭区间i n F ,记作)1(,i n F ，长度为nm1，使)1(,i n F x ∈ 从而有),()1(,δδ+-⊂x x F i n但在构造的1+n 步，把)1(,i n F 进行m 等分又除去了)1(,i n F 的l m -个开区间 从而C F i n ⊄)1(,。
性质3 广义Cantor 集是自密的证明： C x ∈∀，设()βα,是包含x 的任意一个开区间。
令}{x x --=βαδ,min ，则0>δ，取0n 充分大有δ<01n m 既然x 是永远删不去的点，x 也应该属于删去0n 次以后所余下的某一个闭区间中。
设这个闭区间为)1(,0i n F ，则()βα,)1(,0⊂i n F 。
于是它的两个端点也应该在()βα,中，但它们都是属于C 的点，所以()βα,中至少有一异于x 的点属于C ，则C x '∈ 所以C C '⊆，则C 是自密的。
性质4 C 是一闭集，即C C ⊂' 证明： 事实上设A 是所有被删去的点的集合，则A 是可数个开集的和，所以是开集。
而[][]c A A C ⋂=-=1,01,0，故C 是闭集。
由性质1，性质4知 广义Cantor 集为疏朗集。
由性质3，性质4知 广义Cantor 集为完备集。
所以广义Cantor 集是疏朗的完备集。
