广义Cantor集

胡 晓梅
（ 宁学 院 数学与统计学院 ， 成 湖北 咸宁 ４ ７０ ） ３ １０
摘

要
将 三分 Ｃ ｎ ｒ ａｔ 集构造 的 一个 性质推广 到 ２ ｏ ｎ＋１ ∈ 分 Ｃ ｎｏ 集 ， （ Ｎ） ａｔ ｒ 并用 它简便 计 算
出２ ｎ＋１分 Ｃｎｏ 集 的 Ｈ ｕｄｒ 测 度 ， 出 了此类 广义 Ｃ ｎｏ ａｔ ｒ ａｓｏｆ ｆ 给 ａｔ ｒ集 Ｈ ｕｄｒ 测 度 计 算 的一种 ａｓｏｆ ｆ 新方 法． 该方 法比其 它方 法更 为初 等 而 易于计 算 ， 为计 算其 它分 形 集 的 Ｈ ｕｄｒ 测度 提 供 了 ａｓｏ ｆ
ｌｔｏ ｆ Ｈａ ｓ ｏｆ ａ ｕ ｅ ｏ ｔ ｅ ｎ ｏ ｅｓ ａｉ ｎ ｏ ｕ ｄ ｒ ｍｅ ｓ ｒ ｆｏ ｈ ｒＣａ ｔｒ ｓ ｔ．
Ｋｅ ｒ ｓ Ｃ ｎｏ一凡＋ｌ ｎ ｙｗｏｄ ａ ｔ ２ ｒ （ ∈Ⅳ）ｆ ｃ ｌ ｅ； ａ ｓｏ ｆ ａｕｅ ｋｂ ｓ ｎｅ ａ ｒ ｔ ｔ Ｈ ｕｄ ｆ ｓｒ ； －ａｉ ｉｔ ｖ１ ａ ａｓ ｍｅ ｃ ｒ
，的一个 覆盖 ， 中 Ｉ ｌ 其 是集 合 的直径 ， 定 义 为 Ｉ Ｉ＝ｓｐ Ｉ —ＹＩ ， ｕ｛ ： Ｙ∈Ｕ ｝给定一 个 ｉ．
发展文 献 ［ ］ １ 的证 明技巧 ， 这 个 基 本 性 质 推 广 将
到２ ｎ＋１ ｎ∈Ｎ） Ｃ ｎ ｒ 的情形 ， 利用 它 简 （ 分 ａｔ 集 ｏ 并
一
种 思路．
关 键词
２ １分 Ｃ ｎｏ 集 ； ａｓｏｆ ｎ＋ ａｔ ｒ Ｈ ｕｄｒ 测度 ；一 本 区间 ｆ 级基
Ｏ ７ ．２ １４ １ 文 献标识码 Ａ 文章编号 １０ － ７ （ ０ ０ ０ － ００ ０ ３８ ８ ２ １ ）６０ －３ ０ ４

Cantor集与Cantor函数Cantor 集与Cantor 函数【摘要】：本文详细分析并证明cantor 集与cantor 函数的定义与性质，具体内容有：cantor 集的完备性，具有连续统势；cantor 函数的性质，解决了课堂上的小问题（关于cantor 函数的连续性与稠密性）；并借助于cantor 集，给出一个孤立点集，它的导集是一个完备集；最后给出了一些常见的分形。

【关键词】：Cantor 集、Cantor 函数、分形、点集、完备集1 Cantor 集与Cantor 函数的定义1.1 Cantor 集的定义将基本区间A=[0，1]三等分，除去中间的开区间)3231(11，，=I ,记其剩余部分为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1,323101 ，E ；再将1E 中的两个闭区间各三等分，然后分别去掉中间的开区间)3837()3231(222,2221,2，，，==I I ,然后记其剩余部分为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1383732313231022222，，，， E 。

如此继续下去，在第n 步时，去掉的开区间为)313323()3837()3231(12,2,1,n n n n n n n n n n n n I I I --===-，，，，，， 。

其余部分为n2个长为n 31的闭区间，令 n m k k m n mI G 1121,=-==又令 k n k n n n I G G ,,1==∞=，G C \]10[，=，则称所得的C 为Cantor 集。

1.2 Cantor 函数的定义将基本区间A=[0，1]三等分，并除去中间的开区间,同时令把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间)3837()3231(222,2221,2，，，==I I同时令假设是C的内点，则存在，使得这样含于[0,1]中且这个开集的各个构成区间互不相交，这些区间的长度之和大于1，矛盾。

Canter 集及Canter 函数Canter 集的构造：将闭区间[]01，三等分，去掉中间的开区间1233⎛⎫⎪⎝⎭，，剩下的两个闭区间120133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，，又把这两个闭区间各三等分，去掉中间的两个开区间，即12789999⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，一般地，当进行到第n 次时，一共去掉12n -个开区间，剩下2n个长度为3n-的互相隔离的闭区间，而在第1n +次时，再将这2n个闭区间各三等分，并去掉中间的一个开区间，如此继续下去，就从[]01，去掉了可数个互不相交的开区间，剩下的必是一个闭集，它成为康托尔集，记为C 。

示图如下：Canter 集的性质：Ⅰ.Canter 集C 是非空有界闭集 证明：n 1C F n ∞==，其中n F 是n 2个长度为13n 的互不相交的闭区间的并集，因而每个n F 都是非空有界闭集，故C 是有界闭集，而n F 中每个闭区间的端点都没有被移去即每个分割点都在Canter 集中，它们是C 中的点，故C 为非空集。

即证。

Ⅱ.Canter 集无内点证明：令[]G=01\C ，,容易看出[]G 01=，，从而C =∅。

，那么Canter 就没有内点。

Ⅲ.canter 集中所有的点都是聚点，故是完备集证明：即证'C=C ，令x C ∈，则对,n n x F ∀∈，即对每个,n x 属于长度为13n 的某个区间中。

0n δ∀>∃，，满足13n δ<，使得n F 中包含x 的区间含于()x x δδ-+，，此时闭区间的两个端点是C 的点，且总有一个不是x ，这说明x 是C 的极限点，故'C C ⊃，故又因为C 是有界闭集，'C C ⊂，那么即证'C=C 。

Ⅳ.canter 集是疏朗集证明：任取开区间()αβ，，若()αβ，不含C 中的点，则不必讨论，显然证明Canter 是疏朗集。

若()αβ，中含有C 中的点x ，令{}m i n ,x x δαβ=--，则0δ>，故只需证明0n 充分大，便有13n δ<，既然x 是永远去不掉的点，x 也应该属于玩掉0n 之后余下的某一个闭区间中，设这个区间为[]00αβ，，则[]()00αβαβ⊂，，，再将[]00αβ，三等分是，所挖去的中间的开区间，设它为()''I ,αβ=，则()()'',αβαβ⊂，，且()'',C αβ⋂=∅，所以C 是疏朗集。

其剩余 部 分 为 ２ 个 长 为 的 闭 区 间 ， 次 记 为 依
ｊ
第 ｎ 挖去” 次“ 的开 区间 为 Ｕ， ， 有 ２ 个 ， 共 每
个小 区 间的测度 ， 间 的并集 的测度 ＝ ， ２ 个互 不相交 的开区 这
， （ ，， ２ 。令 ：ｌＦ 令 ＝Ｕ （ ＝１２…， Ｕ； ．
第２卷 ３
第 ５期
Ｊｕ ｌ ｆ ｍ ａ ｉ ｎｅ＆Ｅｏｏ ｉ ｎｖｒｔ ｏｍａ ｏ ｍ ｎＦ ａｃ Ｙ ｎ ｃｎｍｃ Ｕ ｉ ｓｙ ｓ ｅ ｉ
Ｖ １２ ， ｏ５ ｏ． Ｎ ． ３
Ｃｎ ｒ ａｔ 集的性质及其构造推广 ｏ
董 大 校
（ 沧师范 高等 专科 学校 临
关 键 词 ： ａｔ 集 ； Ｃ ｎｏ ｒ 完备 集 ； 朗 集 ； 造 法 ； 测 疏 构 可
因此 ｍ Ｃ＝ｍ（ ０ １）一ｍ ＝０ ［，］ Ｇ 。 性质 ５ Ｃ ａ ｒ 的势为 ．】 ｒｔ 集 ｅｏ ｜ ｊ 该性 质 的证 明见 参考 文献 吼 ． 二 、 ａｔ 集 的构 造法 的本 质特征 和推 广 Ｃ ｎｏ ｒ 从 Ｃ ａｒ ｅｏ ｒｔ 三分集 的构 造 ， 我们可 以看 出其构 作主要 具有 如下 特点 ：
又 因 ｛ ） Ｇ的构成 区间 ， 以 ， 是 所
Ｇ＝Ｕ Ｇ ＝Ｕ， ， Ｆ：ｎ ， Ｇ＝［ ， ］Ｇ， ０ １／
则称 为 ｃ ｏ ２５ ） ｏ ｒ－ Ｙ ￣＇ （
上述集 合特 殊 的构 造决 定 了其 特 殊 的性 质 。下 面 列 出它 的主要性 质并 给出证 明 。 性质 ｌ Ｃ是非 空有 界闭集 ． 因为 Ｆ 中每个 闭 区间 的端 点都 没 被 挖 去 ， ｃ非 ｎ 故 空。又 由于 ｃ的余集
中 ， 以 Ｃ是疏 朗集 。 所 性质 ４ Ｃ是可 测集且 测度 为零 。

由上面我们可以看到，自然界的分形，其自相似性并不是严格的，而是，在统计意义下的自相似性，海岸线也是其中一个例子。凡是满足统计自相似性的分形称之为无规分形。另外，还有所谓有规分形,这类分形, 由于它是按一定的数学法则呈现，因此具有严格的自相似性。所谓koch曲线，就是属于有规分形, 如下图所示。
它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一段用夹角为600的二条等长（1/3）的折线来代替，形成一个生成单元，如图(b).然后再把每一条直线段用生成单元进行代替，经过无穷多次迭代后就呈现一条无穷多弯曲的koch曲线。用它来模拟自然界中的海岸线是相当理想的。
4.2.1自相似性
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学，以及社会科学等众多的科学之中，可以存在于物质系统的多个层次上，它是物质运动、发展的一种普遍的表现形式，即是自然界普遍的规律之一。下面举几个例子来说明自相似性。
二．Cantor集与Cantor函数的基本性质
三．借助于Cantor集，给出一孤立点集，其导集是完备集
四．分形的介绍
五．纬度——性质测量工具
六．关于Cantor和纬度相关的考虑
一．Cantor集与Cantor函数的定义
1、Cantor集的定义
将基本区间[0，1]用分点1/3，2/3三等分，并除去中间的开区间 ,把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间 , ,然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。 这样，当进行到n次时，一共去掉 个开区间 如此下去，就从 中去掉了可数个不相交的开区间

Cantor三分集在数学⽅⾯，Cantor三分集是由德国数学家康托(G.Cantor)于1883年引⼊的（但在1875年就由Henry John Stephen Smith发现了），它是⼀个取⾃简单直线段上的点集，它有若⼲⾮凡⽽⼜深刻的性质。

通过对它的思考，康托和其他助⼿奠定了现代⼀般拓扑学基础。

虽然康托⾃⼰⽤抽象的⽅法定义了这个集合，但⼀般⽽⾔，现代最流⾏的构造是康托三分集，它是通过将⼀条线段的中间部分去掉⽽获得的。

康托⾃⼰只是顺便提及了三重构造，作为⽆处稠密的完备集的⼀般例⼦。

三分集的构造 康托三分集是由重复删除直线段中间的三分之⼀开区间⽽创造出来的。

先从区间[0，1]中间删除开区间(1/3, 2/3)，留下两边线段：[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]。

下⼀步，删除留下的线段的各⾃的三分之⼀中间段，剩下四条直线段：[0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]。

⽆限重复这⼀过程，则第n个集合是合是：康托三分集包含区间[0, 1]内在每⼀步没被删除的所有的点。

计算表明康托集不包括任何⾮零的长度。

事实上，令⼈惊讶的是，它可能在所有中间被扣掉的部分之和就等于它的最初的长度。

然⽽，仔细观察这个过程却有很重要的东西被剩下，因为重复地消除只是中间的1/3开集（这个集合不包含它的端点）。

从最初的[0，1]线段中除去(1/3, 2/3)，⽽两个端点1/3和 2/3被留下。

随后的操作，不移动这些端点，因为被移除的部分总是在剩余部分的内部。

所以康托集是⾮空的，⽽事实上，它包括⽆限多个点。

Cantor三分集的Lebesgue测度为0，通俗点说长度为零。

康托三分集具有1）⾃相似性；2）精细结构；3）⽆穷操作或迭代过程；4）传统⼏何学陷⼊危机。

⽤传统的⼏何学术语难以描述，它既不满⾜某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单⽅程的解集。

其局部也同样难于描述。

因为每⼀点附近都有⼤量被各种不同间隔分开的其它点存在。

Cantor集、连续延拓定理Cantor集对[0,1]区间三等分, 去掉中间⼀个开区间, 然后对留下的两个闭区间继续三等分,去掉中间的开区间, 不断做下去, 最后留下来的点集称为Cantor 三分集, 记为C.它的性质(1) 分割点⼀定在Cantor集中,(2) C的"长度"为0，去掉的区间长度和$$\sum{\infty}_{n=1}\frac{1}{3n}\cdot 2^{n-1}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}}=1.$$(3) C没有内点证明：对任意x∈C, x必被含于在第n次时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间I(n)i中,∀ε>0,1/3n<ε,I(n)i⊂B(x,ε),但由Cantor集的做法，要继续三等分去掉中间的⼀个开区间, 从⽽B(x,ε)内⾄少有⼀点不属于C, 所以x不可能是C的内点.(4) C中的点都是聚点, 从⽽没有孤⽴点.数的进制⼗进制⼩数：相应于对[0,1]⼗等分⼆进制⼩数：相应于对[0,1]⼆等分说明：对应于[0,1]⼗等分的端点有两种表⽰，如0.2000000..., 0.1999999...(⼗进制⼩数)(5) C的基数为ℵ,(利⽤三进制证明)证明思路：把[0,1]区间中的点都写成三进制⼩数, 则Cantor集的做法中去掉的点为⼩数位出现1的数的全体, 从⽽Cantor集为⼩数位只是0，2的点的全体，做对应X∈P→x=∞∑k=1a k3k(ak=0,2).说明：三等分的端点有必要特殊考虑, 因为它有两种表⽰,0.100000...=0.022222..., 0.200000...=0.122222...对x∈C, 令A={k|a k=0},则A⊂N+.对应关系x→A构成了C到P(N+)的⼀⼀映射.第⼀章集合与点集第六节点集间的距离定义1.16 设E⊂R n, f是定义在E上的实值函数, x0∈E, 若∀ε>0,∃δ>0,使得x∈E∩B(x0,δ)时候，|f(x)−f(x0)|<ε.称为f在x0点处连续.注：若f在E上连续, ⽽E0⊂E, 则f在E0连续.定理1.22 若E1,E2是闭集, f定义于E1∪E2上, 且分别在E1,E2上连续, 则f相对于E1∪E2也⼀定连续.证明：若x∈E1∪E2. 不妨设它为聚点, 因为E1,E2为闭集, 则E1∪E2内任⼀以x0为极限的点列{y k}只能有两种情况:其⼀, 从某⼀项起, 全部y k属于E1或E2(相应x0∈E1或x0∈E2.)容易证明.其⼆, {y k}由两个分别属于E1,E2的⽆穷⼦列组成, 此时, x0∈E1∪E2, 因为lim因此\lim\limits_{k\to\infty} f(y_k)=f(x_0).定理1.23 设f是\mathbb{R}^n中有界闭集E上的连续函数, 则(1) f在E上有界(2) f在E上取得最⼤值和最⼩值(3) f在E上⼀致连续定理1.24 设E\subset\mathbb{R}^n, f_1,f_2,\cdots是E上的连续函数列, 且k\to\infty时, \{f_k\}在E上⼀致收敛到函数f, 则f在E上连续.例20 对于任意的x_0\in\mathbb{R}^n, E\subset\mathbb{R}^n, 定义x_0到E的距离为d(x_0,E)=\inf\{d(x_0,y)|y\in E\}.证明：(1)若E是闭集, 则存在y_0\in E, 使得d(x_0,y_0)=d(x_0,E).对于任意点集A, B, 定义A, B之间的距离为d(A,B)=\inf\{d(x,y)|x\in A,y\in B\}.证明：(2)若A和B都是闭集, 其中⾄少有⼀个有界, 则存在x_0\in A, y_0\in B, 使得d(x_0,y_0)=d(A,B).集合的简单写法：{x\in E|f(x)>a}:=E(f>a).定理1.25 若函数f在E上连续, 则对任意的实数a, 存在开集G_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f>a)=G_a\cap E.也存在开集H_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f<a)=H_a\cap E.证明：对任意x\in E(f>a), 由于f在E上的点x连续, 必存在\delta=\delta(x,a)>0,使得y\in E\cap B(x,\delta)时, f(y)>a.因此若令G_a=\bigcup_{x\in E(f>a)} B(x,\delta), 则G_a是开集, 并且E(f>a)=G_a\cap E.同理可证, H_a.推论1 若函数f在E上连续, 则对任意的实数a, 存在闭集F_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f\geq a)=F_a\cap E.也存在开集K_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f\leq a)=K_a\cap E.推论2 若f在开集E连续, 则对于任意实数a, E(f>a)和E(f<a)是开集, 若函数f在闭集E上连续, 则对于任意实数a, E(f\geq a), E(f\leq a)是闭集.定理1.26 若f是\mathbb{R}^n的函数, 则对于任意实数a, E(f>a), E(f<a)总是开集, 则f在\mathbb{R}^n上连续. (开集与开集的交是开集，闭集与闭集的交为闭集）连续延拓定理引理：若F_1,F_2是\mathbb{R}^n中的两个不交的⾮空闭集, 则有连续函数f(x), 使得(1) 0\leq f(x)\leq 1(x\in\mathbb{R}^n);(2) F_1=\{x: f(x)=1\}, F_2=\{x: f(x)=0\}.证明：构造函数f(x)=\frac{d(x,F_2)}{d(x,F_1)+d(x,F_2)}, x\in\mathbb{R}^n.定理1.27 连续延拓定理：若F是\mathbb{R}^n中的闭集, f(x)是F上的连续函数, 且|f(x)|\leq M(x\in F),则存在\mathbb{R}^n上的连续函数g(x)满⾜|g(x)|\leq M, g(x)=f(x), x\in F.证明：把F分成三个点集：A=\{x\in F:M/3\leq f(x)\leq M\},B=\{x\in F:-M\leq f(x)\leq -M/3\},C=\{x\in F:其他\}.并作函数g_1(x)=\frac{M}{3}\cdot\frac{d(x,B)-d(x,A)}{d(x,B)+d(x,A)},x\in\mathbb{R}^n.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。

康托尔集的性质及应用1 Cantor集的概念及性质1.1 Cantor集的概念我们先来回忆一下康托尔集的作法。

12将闭区间三等分，去掉中间的开区间，剩下两个闭区间[0,1](,)3312。

又把这两个闭区间各三等分，去掉中间的两个开区间，即[0,],[,1]33 1278n,1n。

一般地，当进行到第n次时，一共去掉个开区间，剩下个22(,),(,)9999n,n长度是的相互隔离的闭区间，而在第n+1次时，再将这2个闭区间各三等分，3并去掉中间的一个开区间，如此继续下去，就从去掉了可数个互不相交(而[0,1]且没有公共端点)的开区间。

剩下的集合称为康托尔集，记为P。

Cantor集是一个完全集,为具有连续基数的点集和不可数的零测度集,其性质在对许多问题的讨论中都起着很大的作用,也常是构造反例的基础,其特殊的构造过程和算术结构使它有许多奇特的性质.1.2 集合的性质Cantor集具有如下性质:非空有界闭集;具有连续基数,其基数为c;完备集,亦即为无孤立点的闭集,被挖去的开集G没有相邻接的构成区间;疏朗集;可测集且异常的公式结尾函数Lebesgue可积且积分值为零;P上的任何函数均是可测函数,零测度集上的任何函数均是可测函数。

下面我们从康托尔集合的做法中讨论一下它的性质，仅供读者学习实变函数论之参考。

2 Cantor集性质的应用2. 1 研究集合的有关性质为了推广区间长度的概念,对一般点集建立一种能反映集合的“容量”与长度概念相当的度量,这种度量既要发展长度的概念,又必须保留长度概念的某些最基本的性质,也就是集合的“测度”,测度理论是建立新型积分理论的基础.,定理1 对任何非负数,,,可作[,]ab的一个完备疏朗集E,0,,,llba,,使。

mE,,证明按下面的步骤完成E的构造:,,lG[,]ab第1步:在的中心处挖去的长度为的开区间,该开区间记为; 13l,,1第2步:在余下的两个闭区间中分别挖去其中心处的长度为,的开区33 G间,这些开区间的并记为; 2………l,,1n,1n,12第n步:在余下的个闭区间中,分别挖去其中心处的长度为的开,()33n,1G2区间,记这个互不相交的开区间之并为。

ｆ ； ＋ 一） Ｋ ［］ 义， （ ）ｆ ． （ ｙ 。 。 ， Ｋ Ｋ Ｕ２ ） 一 ， 定 一 （ Ｋ
＊
收 稿 日期 ： ０ ７～０ ２０ ２一Ｏ ５
基 金 项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（０ ７０ ２ ； 南 省 青 年 骨 干 教 师 基 金 资 助 项 目 （０ ５ ． 国 ５４４５）湖 ２０ ） 作者简介 ： 宣云（９５ ， ， 南永州人 ， 南大 学数学科 学 与计算技 术学 院副教 授 ， 士 ， 究 方 向： 形 、 秦 １ ６ 一） 男 湖 中 博 研 分 图 像处理 、 学计算 及可 学 院 学 报
第 ２ ９卷
令 Ｋ 一 ］Ｋ， ， ｒ 表示 广义 Ｃ ｎ ｏ 集 ， ： ａ ｔｒ 则 厂 （ ）一 ［ ，］ ｆ （ ）一 ［ 一 ｙ １ ． Ｋ。 ０ 口 ， ２Ｋ。 １ ，］ 有： Ｋ 一 ｆ （ ）Ｕ （ ）一 ［ ，］Ｕ ［ 一 ｙ １ ， Ｋ。 Ｋ。 ０ａ １ ，］ ｆ （ ）一 ［ ， Ｋ ０ 口］Ｕ ［ （ 一 ｙ ，］ ｆ （ ） Ｋ 口 １ ） 口 Ｋ。 ， ｆ （ ）一 ［ 一 ｙ １ ｙ ０ ］Ｕ ［ 一 ，］ ｆ （ ） Ｋ ２Ｋ １ ，一 ＋ 。 ， １ １ ２Ｋ。 ． 有： Ｋ 一 ｆ （ （ ）一 ［ ， Ｋ ）Ｕ Ｋ ０ 口 ］Ｕ ［ （ 一 ｙ ，］Ｕ ［ 一ｙ １一ｙ＋０ ］Ｕ ［ 一 ｙ ，］． 口１ ）口 １ ， 。 ， １ １ Ｋ 的 区间长度 分别 为 ：。ａ ， ， ｙ ． 推下 去到第 Ｊ 时 ， 有 ２ 个分 区 间 ， ａ ，ｙ ０ 和 递 。 步 Ｋ， 且长 度在 ，川 ｙ ａ ｙ ａ ， ，
关于一类广 义 Ｃ ｎｏ 集 的盒维 数计算 ａ ｔｒ
秦 宣云 ，管 继 虹

Cantor集合和Hilbert曲线的数学思考Cantor集合和Hilbert曲线都是数学中非常有趣的对象，它们不但具有美妙的几何形态，同时也蕴含着丰富的数学思考。

在本文中，我们将探讨这两个对象，并思考它们背后的数学原理和思想。

一、Cantor集合Cantor集合是由德国数学家Georg Cantor在19世纪末提出的。

它是一种闭合集合，具有以下性质：1. Cantor集合是一个无限集合，其中的元素是实数。

2. Cantor集合是不可数的（即其基数大于aleph-null，即自然数的基数），这意味着不能将其一一映射到自然数集合上。

3. Cantor集合是一个完全不连通的集合，因为它是由一系列逐步删除的区间组成的，这些区间被视为孤立的。

Cantor集合的构造方法非常简单而又富有迭代性，即从一个单元区间开始，不断去掉每个区间的中间第三部分，得到一系列包含越来越少点的区间，并将它们放在一起得到Cantor集合。

这个过程可以用以下伪代码表示：function CantorSet(start, end, depth) {if (depth = 0) {return [start, end];}var interval = (end - start) / 3;return CantorSet(start, start + interval, depth - 1).concat(CantorSet(end - interval, end, depth - 1));}例如，当depth=1（即只有一层）时，Cantor集合就是一个从0到1的单元区间；当depth=2时，Cantor集合是由0到1/3、2/3到1这两个子区间加上去掉了中间1/3到2/3部分的区间得到的；当depth=3时，Cantor集合就是由0到1/9、2/9到1/3、2/3到7/9、8/9到1这四个子区间加上去掉了中间1/3到2/3和1/9到7/9部分的区间得到的。

1 5
的開區間,
第二次刪去餘下的 2 個閉區間中央的長
度皆為
(
1 5
)2
的開區間,
第三次刪去餘下的 22個閉區間中央的
長度皆為
(
1 5
)3
的開區間,
···
一般說來, 第 n 次刪去餘下的 2n−1 個
閉區間中央的長度皆為
(
1 5
)n
的開區間。
如此等等, 這樣便得到類 Cantor 集 P
與開集 G = [0, 1] − P , 易知
p3
由六十四個面積皆為
1 27
×
1 27
的位於
p2的
十六個正方形四隅的閉正方形組成; 等等。 對
於任給的 α ∈ [−1, 1], 直線 y = x + α 與
p1 的四個正方形中至少有一個相交, 選出這
Cantor 集合的基本性質及其用於反例 77
樣一個正方形並記為 S1。 這條直線也必然與
p2 的位於 S1 之內的四個正方形中至少有一
m[0, 1] − mG= Nhomakorabea2。 因
3
P
是沒有
內點的完全集, 即 P 中沒有 G 的外點, 都是
G 的邊界點, 故 ∂G = P , 由約當外測度與
勒貝格外測度的關係, 可知
(m∗∂G)J
=
(m∗p)J
≥
m∗p
=
2 3
即 G 的邊界的約當外測度不能是零, 但因有 界點集約當可測的充要條件是其邊界的約當 外測度為零, 所以 G 不是約當可測集。
=
g(
x b
− −
a a
),
x ∈ E1
則 g1(E1) = R。 (3) 定義所要求的函數 f , 先令它在整

学校代码：10327学号：**********硕士学位论文一类推广的Cantor集的维数研究学院：应用数学学院专业：应用数学研究方向：分形理论与金融应用*名：*****师：**完成日期：2018.3答辩日期：2018.5STUDY ON THE DIMENSIONS OF A CLASS OF GENERALIZED CANTORSETSA Dissertation Submitted toNanjing University of Finance and EconomicsFor the Professional Degree of Master of ScienceBYZhang XianSupervised by(Associate) Professor Wu BoSchool of Applied MathematicsNanjing University of Finance and EconomicsMay 2018学位论文独创性声明本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。

其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。

作者签名：日期：学位论文使用授权声明本人完全了解南京财经大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。

保密的论文在解密后遵守此规定。

作者签名：导师签名：日期：摘要自19世纪至今，人们通过观察研究发现自然界中出现的分形图像,将其引入数学中，继而得出了几种经典的分形集，并对该类集合做出了大量关于结构特征的分析。

特别是在19世纪后期，通过对分形集的构造的细致研究与发展，分形几何被数学家确立为一门独立的数学学科。

三分Cantor集作为分形几何中最典型的集合，也是最易于构造的分形图像。

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第 ｌ ５卷 第 ２ 期
２０ Ｏ ２年 ６月
宁 波 大 学 学 报 （ 工 版） 理
Ｊ ＲＮＡ ＯＦ ＮＩ ＧＢ Ｕ Ｖ ＯＵ Ｌ Ｎ Ｏ ＮＩ ＥＲＳＴ （ Ｅ Ｉ Ｙ ＮＳ Ｅ）
Ｖ０ １ １． ５ Ｎｏ． ２
Ｊ ｎ ０ ２ ｕ ｅ２ ０
在 分 形 几 何 研 究 中 ， ａ ｓｏｆ维 数 与 测 度 是 基 Ｈ ｕｄ ｒ
本 概 念 ， ａｓｏｆ 维 数 计 算 与 估 计 的 研 究 已取 得 相 Ｈ ｕｄ ｒ
Ｆ 的一 个 覆 盖 ． 中 Ｉ Ｉ 集 合 其 是
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塌 （Ｆ ） ＝ ｉ ｎ ｆ
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ｓｐ Ｉ —Ｙｆ Ｙ Ｕ ｝ 给定 一个 非负 实 ｕ｛ ： ， ∈ ｉ．
＞ ０，定 义
当进 展 ， 其 Ｉ ｕｄ ｒ 测 度 的 计 算 仍 然 很 困难 ． ａ ． 但 － ｓｏｆ Ｉ ａ Ｃ ｎ
ｔｒ 分 集 是 经 典 的 自相 似 分 形 ， 的 Ｈ ｕｄ ｒ 维 数 ｏ三 它 ａ ｓｏｆ ｓ ｎ２ ｌ ， ａ ｓｏｆ测 度 ／ Ｅ） ＿ ． 者 在 文 ＝Ｉ ／ｎ３ Ｈ ｕｄ ｒ Ｐ（ ＝ｌｌ 作 Ｆ Ｊ 献 ［ ］ 构 造 了一 类 广 义 Ｃ ｔｒ ， 给 出 了 Ｈ ｕ． ２中 ｎ ａｏ集 并 ａｓ ｄｒ 维 数 ． 文 进 一 步 证 明其 测 度 ． ｏｆ 本
ｌ ｏ ｐｅ ｅ ｅ ａｓ ｒ ｓ ｎｔ ． ｄ Ｋ ｅ ｒ ｓ： ｎ ｔ ｒｓ ｔ ｙ ｗｏ ｄ Ｃａ ｏ ｅ ｓ； ＣＬＣ ｎｕｍ ｂｅ ０ １ ４． ２ ｒ： ７ １ Ｈａ ｓ ｏｆ ｍｅ ｓｏ ｄ ｍｅ ｕｒ ： ｓ ｌ－ｉ ｌ ｒｓ ｔ ｕ ｄ ｒ ｄｉ ｎ ｉｎ ａ ａ ｅ ｅｆ ｓｍｉａ ｅ ｎ ｓ Ｄｏ ｕ ｅ ｔ ｃ ｄｅ： ｃ ｍ ｎ ｏ Ａ

广义Cantor 集张北一中 郭彦军摘要：本文考察了包括直线上的各种广义Cantor 集，由相似变换导出它们的级数表达式，给出它们维数的定义及计算方法，并考察了它们的性质。

关键词：广义Cantor 集；迭代函数系；Hausdorff 维数 1．定义：选取[]1,0区间作为初始元，然后进行m 等分，从中选取l 个小闭区间作为生成元，如此生成的分形集我们称之为广义Cantor 集，记作C 。

2．迭代函数系：广义Cantor 集C 的构造过程可描述为迭代函数系ma x m x f ma x m x f ma x m x f l l +=+=+=1)(1)(1)(2211[]1,0=∈I x其中i a 取}{1,2,1,0-m 中的某些值，l i ,2,1=。

即广义Cantor 集满足l 个相似变换： ma mf x ii +==ξξ)( l i ,2,1= ， 10≤≤x ，10≤≤ξ。

3．将[]1,0区间推广到任意区间[]b a ,： 首先我们给出这样一个一一对应：x a b a y )(-+= []1,0=∈I x则mb a a a m m a a b a m b i i i i +-=-+=)()( 下面给出任意区间[]b a ,上的相似变换：mb mag y ii +-==ηη)( b a ≤≤η b y a ≤≤ i b 取}{b m a b a m ma )1(,)1(,-++- 中的某些值。

4．广义Cantor 集的级数表示：首先回顾一下广义Cantor 集的定义过程：第一次生成l 个闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=m m a ma F i i i 1,0)1()1(,1 {}l i a a a a ,,21)1(∈区间长度为mL 11=。

第二次对每个小闭区间i F ,1进行m 等分，从中选取l 个闭区间，得2l 个闭区间2)2()1()2()1()1()1(*)1(ma m a m a m a m m a m a i i i i i i +=-++ 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=22)2()1(2)2()1(,21,m m a m a m a m a F i i i i i }{l i i a a a a a ,,,21)2()1(∈区间长度为=2L 21m 。

１
Ｈ ｕｄｒ 维数 为 １ ａｓｏｆ ｏ — ｇ
厶
及 Ｈ ｕｄｒ 测 度为 １ ａｓｏｆ ｆ ．
关于 自相似映射 、 开集条件 和 Ｈ ｕｄｒ 维数 和测度 的定义 ， ａｓｏｆ ｆ 见文献 【】 ３．
本文 的证明利用 了 以下 引理： 引理 １ 设 ｛ ｔ 是 上 的满足 开集条件 的 自相 似压缩 映射族， 有 Ｉ ‘ ５｝ｏ 则
各去掉中间的开区间， Ｆ ＝［， 】 ｓ 】 １ ， 一 十 】 １ ， ］如此无限重复上述 记 ２ ０ Ｕ［ 一占， Ｕ［ 一 １ Ｕ【 一 １． 过 程， 得到 Ｆ ３ ３… ３ ］…， Ｆ１ｌ 则 Ｆ称 为广义 的三分 Ｃ ｎｏ 集 ． ， 记 ｉ Ｆ， ｍ ａｔｒ
（ ｉ ）存在唯一的 Ｒ 的紧集 Ｅ 称为不变集）使得 Ｅ＝Ｕ ， （ ） （ ， Ｓ Ｅ 成立；
（ ） Ｅ的 Ｈ ｕｄｒ 维 数 ｓ是一个 实数 ）由指 数方程 ｉ ｉ ａｓｏｆ ｆ （ ，
ｐｉ＋ ＋ … ＋ｐ ＝ １
唯一决定， 中 Ｐ 是 Ｓ（ ＝１２ …， 的压缩 比． 其 ｉ ， ， ｍ）
收 稿 日期 ：０ ９—１ ２ ２０ ０— １
作 者 简介 ： 王
艳 （９３一 ）女 ， １８ ， 安徽 宿 州 人， 究 方 向： 波 与 分形 的理 论 与 应 用 研 小
第１ 期
王 艳 等 ： 类广 义 Ｃ ｎｏ 集的 Ｈ ｕｄ ｒ 维数 与 测度 一 ａｔ ｒ ａ ｓｏｆ ｆ
如 下构造广义 的三 分 Ｃ ｎ ｒ ： ａｔ 集 ｏ
／ １ － Ｅ－
设 ＝［， 】第一 步将 区间 ［， 】 成 三份 ， ０ Ｉ； ０ １分 令其 第 一个 区 间的长 度为 ｅ ０ ｅ ＿ （＜ ＜上

Cantor集与Cantor函数【摘要】：本文总结了Cantor集的、Cantor函数的定义和一些基本的性质及其证明。

文末还简单的介绍了有关分形的概念和一些常见分形。

【关键词】：Cantor集、Cantor函数、分形1、Cantor集与Cantor函数的定义1.1、Cantor集的定义将基本区间[0，1]三等分，并除去中间的开区间,把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间,,然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。

这样，当进行到n次时，一共去掉个开区间如此下去，就从中去掉了可数个不相交的开区间G=(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪......集合C=[0，1]\ G称为Cantor集。

1.2、Cantor函数的定义定义C是Cantor集，在[0,1]上定义函数f(x) 如下：f=称为Cantor函数2、Cantor集与Cantor函数的基本性质2.1、Cantor集的性质2.1.1、完备性Cantor集是完备集：证明： C是闭集显然，下面证C中没有孤立点.假设C中有孤立点x，则存在δ>0，使（x-δ，x+δ）∩ C=｛x｝因此（x-δ，x），（x，x+δ）⊂ G故上述两区间包含于G的两个构成区间，而由C的构造过程知，G的构成区间的端点不重合，故矛盾.因此，C中没有孤立点.所以C是完备集.2.1.2、Cantor集是疏集，没有内点证明：假设是C的内点，则存在使得这样⊂ [0,1]，且这个开集的各个构成区间互不相交，这些区间的长度之和大于1，矛盾。

并且可得C中不含开区间，由定义，C显然为疏集。

2.1.3、G=[0,1]\C是[0,1]中的稠密集证明：题目可转化为证明，且显然有,证明即可：反证：任取x且x，则存在x的一个邻域，其中不含有G的点。

可得这个领域在C内。

又，故x C，所以x是C中的内点。

与C是疏集矛盾。

所以。

故，G是[0,1]中的稠密集，证毕。

2.1.4、C具有连续统势证明：由定理可得，(0,1)与无限n元数列全体等价。

【标题】<B style='color:black;background-color:#ffff66'>浅谈</B>Cantor集【作者】刘勇【关键词】Cantor集??函数??测度【指导老师】林昌盛【专业】数学与应用数学【正文】1引言集合论自19世纪80年代由Cantor创立以来，现在已经发展成为一个独立的数学分支，它的基本思想与基本方法已渗透到各个数学分支，成为近代数学的基础.Cantor集，又称为三分集，是一个构思非常巧妙的特殊的点集.Cantor集是Cantor在解三角级数的时候构造出来的.学习和掌握Cantor集具有的重要特征，对于学习和掌握集合论的基本知识是很有帮助的.2基本理论2.1定义Cantor集的两种定义1.?区间定义cantor集合将闭区间?三等分，去掉中间的开区间；再将余下的两个闭区间?和?分别三等分，去掉中间的两个开区间?和?；再将余下的四个闭区间分别三等分，去掉中间的开区间，这种过程无限次地做下去，?中余下的点所组成的集合，称为康托集，记为??(见图2.1)?0 1图 2.1显然?.?因为每次去掉的开区间的端点都属于?，去掉的所有开区间所组成的集合记为?，则?为开集.?通常称为康托余集.?[[]1]2.映射定义cantor集先定义映射?，?：?使得对于任何?有和?.容易验证映射?和?都是同胚，因此任何开集?的?象?和?的象?都是开集.现在按归纳原则定义一系列开集，?如下：令?；对于任何?，定义?.事实上，?是两个开区间?和?之并，?是四个开区间?，?，?，?之并，…令?，它是可数个开集之并，当然是一个开集，容易验证，?.集合?称为cantor集，或称为标准cantor三分集.它是一个闭集.由康托集的定义可知下列事实成立.???从??中第?次去掉??个长度为??的开区间后，余下的每个闭区间的长度仍是??.?无论去掉开区间的过程进行多少次，?的点必属于每次留下来的某个闭区间.?从??中每次去掉开区间后，开区间的端点都属于?.?2.2性质Cantor集的主要性质[[]2]性质1??非空.在?的构造过程中,被挖去的开区间的端点及0、1都不会被除去而留在?内.性质2??的基数为?.已知(0,1)和?进位无限小数全体是一一对应的，考虑三进位小数表示法，由?的作法，每次都是把区间三等分，然后去掉中间的开区间.所以去掉的点，即?中的点在用三进位小数表示时，必出现1这个数字，令?为三进位无限小数中不出现数字1的全体，即则?且?.故?，但?显然与二进位无限小数全体可建立一一对应，只要令?即可.故?.而?，由伯恩斯坦定理，?.性质3??是闭集.因??为可数个互不相交的开区间的并集，故?为开集，而?为闭集. 性质4??是完备集.被挖去的开集?没有相邻接的构成区间，故?没有孤立点.性质5??是疏朗集.在?的构造过程中，“挖去”手续进行到第?次后，剩下的是?个长度为?的小闭区间，对于以?中某点?为中心的无论怎样小的开区间??，当?充分大时总有? ?，因此这个小区间不可能包含在?中.性质6??是可测集且测度为零.第?次挖去的开区间记为?，共有?个，每个小区间的测度?，这?个互不相交的开区间的并集的测度?是?的构成区间，从.因此?.性质7??上的任何函数均是可测函数.零测度集上的任何函数都是可测函数.性质8??上的任何函数Lebesgue可积.零测度集上的任何函数Lebesgue可积，且积分值为零.3具体举例为了推广区间长度的概念，对一般点集建立一种能反映集合的“容量”、与长度概念相当的度量,这种度量既要发展长度的概念，又必须保留长度概念的一些最基本的性质，也就是集合的“测度”，测度理论是建立新型积分理论的基础.例1 设在[[]0,1]中作点集：??={?|在?的十进位小数表示中只出现9个数码}，试问??的测度与基数是多少？[[]3]解?不妨设?在的十进位制小数中不出现数字“2”(约定采用0.2=0.1999…,0.62=0.61999…等表示)，于是按照Cantor集的方法作一开集?，?.其中，?是将[[]0,1]分成十等分所得的第三个开区间，显然?中任一小数点后第一位数字是“2”；将[[]0,1]十等分并去掉?后所余下的9个区间分别再十等分，各自的第三个开区间之并记为?，?中任一数，其小数点后第二位数字是“2”…，将余下的?个区间每个进行十等分，取各自的第三开区间，它们的并记为?，则?中任一数，其小数点后第?位数字是“2”；…令?，由?的作法知，?中任一数，其小数点后任一数字都不是“2”，且?与Cantor集的构造完全类似，由性质2及性质6有(1)??的基数是?；(2)??可测，且?，事实上?.例2 试作一闭集?，使Ｆ中不含任何开区间，且?.解?仿照Cantor集的作法步骤完成?的构作，第一步：在[[]0,1]的中央挖去长为?的开区间?；第二步：在余下的两个闭区间?和?中分别挖去中央处的长为?的开区间，它们的并是?.……第?步：在余下的?个闭区间中，分别挖去其中央处长为?的开区间，记这?个互不相交的开区间之并为?.……令?，则?为开集，且??=?与Cantor集具有类似的性质；从而?为可测集，且.故?再看看Cantor集的结构公式.第一步：在实直线Ｒ上将单位闭区间?分成三等分，去掉中间的开区间?剩下两个分离的区间?，??，记第?步：设已得到?上的点集?为?个闭区间的分离并，其长均为?，记? 第?步：对?，把闭区间?分成三等分，去掉中间的开区间，将剩下的两个闭区间记作?与?得到?个长度为?的不交闭区间，有在形成Cantor集的过程中，对?，?其中，（*）这里?取值0或1，使?；可以这样理解，将?化为2进位制数，??，则取?即可及（*）式就是Cantor集合的结构式.[[]4]4 Cantor集性质的应用实变函数论的中心问题是建立一种新型的积分理论，从而扩大函数的可积性范围，诸如Dirichlet函数?之类的点点不连续的函数也能求出其积分值，而我们建立新积分的思路就是从研究集合的测度,到定义在可测集上函数的可测性，最终讨论可测函数的可积性问题，Cantor函数起着积极的作用.下面给出几个应用实例：实例1 存在连续函数，将疏朗集映成区间.[[]5]Cantor函数?即为一例，它将疏朗集?映成区间[[]0,1].下面说明?=[[]0,1]?.只需说明?在?所取的值，?在?上也均能取到即可.而由?的定义这是明显的，因为每个余区间的右端点都属于?，而?在此点的取值等于?在该余区间上的值.所以??.实例2 存在连续函数，它把零测集映成正测度集，把正测集映成零测度集.[[]6]当?是区间?上的绝对连续函数时（?定义在?上,若?，使得对于任意两两不交的开区间族?，只要满足?，就有?，则称?是绝对连续的)，它将零测度集仍然映射成零测度集.但是，如果?连续而非绝对连续，则它可将零测度集映成正测度集.例如Cantor函数?是[[]0,1]上的连续增函数，由它的构造知，它将零测度集?映成测度为1的区间[[]0,1]；将?映成零测集，即将测度为1的集映成零测度集.实例3??(1)?可测集在连续映射下的像未必可测.[[]7]绝对连续函数将可测集映成可测集，然而，即使是严格单调的函数也不能保证可测集的像仍为可测集,当然可测函数更不能保证可测集的像仍为可测集.反例?设?为[[]0,1]上的Cantor函数，令?，则?：[[]0,1]→[[]0,1]为严格递增的连续函数，使?，其中?为Cantor集，取?为不可测集，则?可测，使?不可测.[[]8](2)?可测集在连续映射下的原象未必可测.连续映射能保证Borel集的原像仍为Borel集，但不能保证可测集的原像仍为可测集，当然可测函数更不能保证可测集的原像为可测集.[[]9]反例?上例中的?为[[]0,1]上的同胚映射，易知其反函数?于[[]0,1]上连续且递增.但此连续映射?使可测集?的原像?不可测.(3)?连续函数与可测函数的复合函数未必可测.若?为?上的可测函数，??为?上的连续函数，则复合函数?仍为可测函数，但??未必是可测函数，从而两个可测函数的复合函数也未必是可测函数.记?，则?连续且严格递增，并使?不可测，?可测；令?为?的特征函数，则?可测；记?，则由?不可测知，?为不可测函数.实例4?（1）存在导数几乎处处为零的递增的连续函数.[[]10]例如[[]0,1]上的Cantor函数?，它连续且单调不减，?，?，它在?的每个余区间上为常数,所以在[[]0,1]上几乎处处有?.(更强有,存在导数几乎处处为0的严格递增的连续函数)?.（2）存在递增函数?，使得?.由实变函数中的知识，如果?为?上的递增函数，则?在?上可积且?，不等号可能成立，例如Cantor函数?，?几乎处处为0，?.5结束语Cantor29岁（1874）时在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇论文，提出了“无穷集合”这个数学概念，引起了数学界的极大关注，他引进了无穷点集的一些概念，如：基数，势，序数等，试图把不同的无穷离散点集和无穷连续点集按某种方式加以区分，他还构造了实变函数论中著名的“Cantor集”，“Cantor序列”.本文通过对cantor集性质，定义，定理及其基本概念的阐述，结合诸多具体实例，说明了cantor集在数学领域，在实际生活中的广泛应用.Cantor函数是一类性质很好的函数，它的特有性质在上述实例中得以体现，决定了Cantor函数巧妙应用的广泛性. Cantor集合作为一个构思非常巧妙的特殊的点集，对于学习和掌握集合论的基本知识是很有帮助的.。