Cantor集与Cantor函数

有界不一定可积的例子(一)有界不一定可积的例子1. Dirichlet 函数•Dirichlet 函数是一个经典的例子，它在实数轴上定义得很简单：对于任意实数 x，如果 x 可以表示为一个有理数的分数形式(p/q)，其中 p 和 q 是互质的整数，则 Dirichlet 函数的值为1；否则，它的值为 0。

2. Thomae 函数•Thomae 函数也称为 Riemann 函数，是一个定义在实数轴上的函数。

对于任意实数 x，如果 x 可以表示为一个有理数的分数形式 (p/q)，其中 p 和 q 是互质的整数，并且 q 不包含因子 2和 5，则 Thomae 函数的值为 1/q；如果 x 是一个无理数，则Thomae 函数的值为 0。

3. Cantor 函数•Cantor 函数是一个在闭区间 [0, 1] 上定义的函数。

它的定义方式如下：首先将 [0, 1] 这个闭区间分成三等分，去掉中间的开区间，然后将剩余的两个区间再次分成三等分，重复这个过程无限次。

最终，Cantor 函数的值在 [0, 1] 上的任意点 x 处的值为 x 在 Cantor 集合上的情况，如果 x 在 Cantor 集合上，Cantor 函数的值为 1；否则，它的值为 0。

4. Heaviside 阶跃函数•Heaviside 阶跃函数是一个常用的数学函数，表示了在一个点突然出现或消失的跃迁现象。

Heaviside 阶跃函数的定义如下：对于任意实数 x，如果 x 大于等于 0，则 Heaviside 阶跃函数的值为 1；否则，它的值为 0。

该函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有广泛的应用。

5. Fejér 冲激函数•Fejér 冲激函数是用来逼近单位冲激函数的一类函数。

它在实数轴上定义如下：对于任意实数 x，Fejér 冲激函数的值是一个基于三角函数的无穷级数。

由于它是无穷级数，因此在实际计算时，只能使用其部分和来逼近。

Lusin定理的反例Lusin定理是分析数学中的一个重要定理，它刻画了可测函数的连续性性质。

然而，正如许多定理一样，Lusin定理也存在反例。

本文将介绍Lusin定理的反例，并论述其背后的思想和意义。

一、Lusin定理简介Lusin定理是由苏联数学家利普曼（Nikolai Nikolayevich Luzin）于1912年提出的。

它探讨了可测函数在测度意义下的连续性，对于理解函数的性质具有重要意义。

具体来说，Lusin定理指出：如果$f$是定义在可测集$E$上的可测函数，且对于任意的$\varepsilon>0$，存在一个闭集$F\subset E$，使得测度$\mu(E\setminus F)<\varepsilon$，同时限制在$F$上的函数$f$是连续的。

简而言之，给定任意小的容忍度，总存在一个闭集，使得函数在该闭集上连续，并且剩余部分的测度足够小。

二、Lusin定理的反例——Cantor函数然而，Lusin定理在具体应用时可能存在反例。

一个著名的反例就是Cantor函数，它将单位区间$[0,1]$映射到自身，并且具有如下性质：它在任意闭区间上都是连续的，但在整个单位区间上是不连续的。

Cantor函数的构造过程是通过无限次迭代，每次去除区间中间的1/3，最后得到无穷个区间的交集，即Cantor集。

显然，Cantor集是闭集，因此Cantor函数在每个闭区间上都是连续的。

然而，Cantor集的测度为零，因此Cantor函数在整个单位区间上是不连续的。

三、反例的思想和意义Lusin定理的反例揭示了一种特殊情况下的现象：存在一个测度为零的集合，在剩余部分上无法保证函数的连续性。

这一现象在测度论和可测函数理论中被广泛研究，并且对于函数的性质和收敛性有重要影响。

反例的思想可以进一步拓展到其他数学领域。

在实际问题中，我们也经常会遇到类似的情况：存在一些特殊的参数或条件，使得原本成立的定理变得不适用。

十二个不可积分函数1. Dirichlet函数：定义在实数集上的函数，对于有理数为1，对于无理数为0。

2. Thomae函数：定义在实数集上的函数，对于有理数1/n（n为正整数），为1/n，对于无理数为0。

3. Riemann函数：定义在实数集上的函数，对于有理数1/n（n为正整数），为1/n，对于无理数为14. Thomae反例函数：定义在实数集上的函数，对于有理数，如果该有理数可以表示为a/b（a、b互质且b>0），则f(x)=1/b；对于无理数，f(x)=0。

5.欧拉函数：定义在正整数集上的函数，表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。

6.莫比乌斯函数：定义在正整数集上的函数，根据n的素因子分解形式确定。

如果n有平方因子，则f(n)=0；如果n是不同素数的乘积且素数个数为奇数，则f(n)=-1；如果n是不同素数的乘积且素数个数为偶数，则f(n)=17. Sierpinski函数：定义在实数集上的函数，对于有理数，如果该有理数可以表示为a/b（a、b互质且b>0），则f(x)=1/b^2；对于无理数，f(x)=0。

8. Weierstrass函数：定义在实数集上的函数，为以2^(-n)cos(3^n x)的无穷和。

9. Cantor函数：定义在实数集上的函数，是一个实数x在Cantor集合中的特征函数。

10.不连续开关函数：定义在实数集上的函数，当x为有理数时为1，当x为无理数时为0。

11.阶梯函数：定义在实数集上的函数，在n为整数的区间[n,n+1)上取常数值n。

12. Riemann定积分不可积函数：定义在实数集上的函数，只在一列分割区间中有限个点的函数。

一类Cantor函数不可微点集合的Hausdorff维数自相似集是分形几何中最简单,最经典的分形集.对经典Cantor三分集以及它的一些推广的研究是分形几何研究的热点问题,我们对经典三分Cantor集的测度已经进行了大量而深入的研究.利用数的三进制展式,我们可以计算出经典三分Cantor集的Hausdorff维数为ln2/ln3.关于经典三分Cantor集,我们对它的研究不仅仅限于最初的测度计算和维数的证明.而很多学者对于Cantor函数不可微点的研究产生了很大的兴趣.其中对相应的Cantor函数的不可微点的研究具有重要意义.1995年, Darst证明了经典三分Cantor集的Cantor函数的不可微点集合的Haus-dorff维数是(ln2/ln3)2,并提到这一结论可以推广到一般的Cantor函数.2005年,李文侠老师对Cantor函数不可微点的集合作出了全面而完善的研究.本文主要是根据Darst的方法,利用五进制,研究Cantor五分集的Cantor函数的不可微点集合的Hausdorff维数.本文首先介绍了Cantor函数不可微点的研究背景.第二部分,我们引述了Hausdorff测度与维数基本性质.第三部分,利用数的五进制展式,给出Cantor五分集的Cantor函数的不可微点的刻画,即S=N+∪N∪{C的端点值},其中其中N+:对于C的非端点值,当函数f(x)右上导数无穷的点时,其右下导数有限, N:对于C的非端点值,当函数f(x)左上导数无穷的点时,其左下导数有限.并计算Cantor五分集的Cantor函数的不可微集合的Hausdorff维数.第四部分,对全文进行总结和展望.。

康托尔集的性质及应用1 Cantor集的概念及性质1.1 Cantor集的概念我们先来回忆一下康托尔集的作法。

12将闭区间三等分，去掉中间的开区间，剩下两个闭区间[0,1](,)3312。

又把这两个闭区间各三等分，去掉中间的两个开区间，即[0,],[,1]33 1278n,1n。

一般地，当进行到第n次时，一共去掉个开区间，剩下个22(,),(,)9999n,n长度是的相互隔离的闭区间，而在第n+1次时，再将这2个闭区间各三等分，3并去掉中间的一个开区间，如此继续下去，就从去掉了可数个互不相交(而[0,1]且没有公共端点)的开区间。

剩下的集合称为康托尔集，记为P。

Cantor集是一个完全集,为具有连续基数的点集和不可数的零测度集,其性质在对许多问题的讨论中都起着很大的作用,也常是构造反例的基础,其特殊的构造过程和算术结构使它有许多奇特的性质.1.2 集合的性质Cantor集具有如下性质:非空有界闭集;具有连续基数,其基数为c;完备集,亦即为无孤立点的闭集,被挖去的开集G没有相邻接的构成区间;疏朗集;可测集且异常的公式结尾函数Lebesgue可积且积分值为零;P上的任何函数均是可测函数,零测度集上的任何函数均是可测函数。

下面我们从康托尔集合的做法中讨论一下它的性质，仅供读者学习实变函数论之参考。

2 Cantor集性质的应用2. 1 研究集合的有关性质为了推广区间长度的概念,对一般点集建立一种能反映集合的“容量”与长度概念相当的度量,这种度量既要发展长度的概念,又必须保留长度概念的某些最基本的性质,也就是集合的“测度”,测度理论是建立新型积分理论的基础.,定理1 对任何非负数,,,可作[,]ab的一个完备疏朗集E,0,,,llba,,使。

mE,,证明按下面的步骤完成E的构造:,,lG[,]ab第1步:在的中心处挖去的长度为的开区间,该开区间记为; 13l,,1第2步:在余下的两个闭区间中分别挖去其中心处的长度为,的开区33 G间,这些开区间的并记为; 2………l,,1n,1n,12第n步:在余下的个闭区间中,分别挖去其中心处的长度为的开,()33n,1G2区间,记这个互不相交的开区间之并为。

cantor函数开题报告Cantor函数开题报告一、引言在数学领域中，有一类特殊的函数引起了学者们的广泛关注，它们被称为分形函数。

分形函数以其独特的性质和形式引发了无数的研究和探索。

其中，Cantor函数是一种经典的分形函数，具有许多有趣的性质和应用。

本报告旨在介绍Cantor函数的定义、性质和应用，以及相关的研究进展。

二、Cantor函数的定义Cantor函数最早由德国数学家Georg Cantor在19世纪末提出。

它是一个定义在闭区间[0,1]上的函数，其定义如下：1. 在[0,1]的中间点1/3处，函数值为1/2；2. 在[0,1]的中间点2/3处，函数值为1/2；3. 在[0,1]的其他点上，函数值按照以下规则递归定义：a) 如果该点在[0,1]的左1/3处，则函数值为前一点的函数值的1/2；b) 如果该点在[0,1]的右1/3处，则函数值为前一点的函数值的1/2加上1/2。

三、Cantor函数的性质Cantor函数具有多个引人注目的性质，其中一些是：1. 介值性：Cantor函数的值域是[0,1]，它能够覆盖整个区间；2. 不连续性：Cantor函数在[0,1]的无理数点上处处不连续，只在有理数点上连续；3. 严格递增性：Cantor函数在[0,1]上是严格递增的，即对于任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)；4. 可微性：Cantor函数在[0,1]的大部分点上都不可微，只在少数点上可微。

四、Cantor函数的应用Cantor函数作为一种特殊的分形函数，在实际应用中有着广泛的用途。

以下是一些Cantor函数的应用案例：1. 数据压缩：Cantor函数可以用于数据的压缩和编码，通过将数据映射到Cantor函数的值域上，实现数据的高效存储和传输；2. 图像处理：Cantor函数可以用于图像的压缩和分形编码，通过对图像的每个像素点应用Cantor函数，实现图像的分形压缩和重构；3. 金融建模：Cantor函数可以用于金融市场的建模和预测，通过分析金融时间序列数据的Cantor函数特征，提供对市场波动和趋势的预测；4. 模拟算法：Cantor函数可以用于模拟算法的设计和优化，通过利用Cantor函数的性质，提高模拟算法的收敛速度和精度。

【标题】<B style='color:black;background-color:#ffff66'>浅谈</B>Cantor集【作者】刘勇【关键词】Cantor集??函数??测度【指导老师】林昌盛【专业】数学与应用数学【正文】1引言集合论自19世纪80年代由Cantor创立以来，现在已经发展成为一个独立的数学分支，它的基本思想与基本方法已渗透到各个数学分支，成为近代数学的基础.Cantor集，又称为三分集，是一个构思非常巧妙的特殊的点集.Cantor集是Cantor在解三角级数的时候构造出来的.学习和掌握Cantor集具有的重要特征，对于学习和掌握集合论的基本知识是很有帮助的.2基本理论2.1定义Cantor集的两种定义1.?区间定义cantor集合将闭区间?三等分，去掉中间的开区间；再将余下的两个闭区间?和?分别三等分，去掉中间的两个开区间?和?；再将余下的四个闭区间分别三等分，去掉中间的开区间，这种过程无限次地做下去，?中余下的点所组成的集合，称为康托集，记为??(见图2.1)? ?????????? 0???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1 ?????????????????????????????????????图 2.1显然?.?因为每次去掉的开区间的端点都属于?，去掉的所有开区间所组成的集合记为?，则?为开集.?通常称为康托余集.?[[]1]2.映射定义cantor集先定义映射?，?：?使得对于任何?有?和?.容易验证映射?和?都是同胚，因此任何开集?的?象?和?的象?都是开集.现在按归纳原则定义一系列开集，?如下：令?；对于任何?，定义?.事实上，?是两个开区间?和?之并，?是四个开区间?，?，?，?之并，…令?，它是可数个开集之并，当然是一个开集，容易验证，?.集合?称为cantor集，或称为标准cantor三分集.它是一个闭集.由康托集的定义可知下列事实成立.???从??中第?次去掉??个长度为??的开区间后，余下的每个闭区间的长度仍是??.???无论去掉开区间的过程进行多少次，?的点必属于每次留下来的某个闭区间.???从??中每次去掉开区间后，开区间的端点都属于?.?2.2性质Cantor集的主要性质[[]2]性质1??非空.在?的构造过程中,被挖去的开区间的端点及0、1都不会被除去而留在?内.性质2??的基数为?.已知(0,1)和?进位无限小数全体是一一对应的，考虑三进位小数表示法，由?的作法，每次都是把区间三等分，然后去掉中间的开区间.所以去掉的点，即?中的点在用三进位小数表示时，必出现1这个数字，令?为三进位无限小数中不出现数字1的全体，即?则?且?.故?，但?显然与二进位无限小数全体可建立一一对应，只要令?即可.故?.而?，由伯恩斯坦定理，?.性质3??是闭集.因??为可数个互不相交的开区间的并集，故?为开集，而?为闭集. 性质4??是完备集.被挖去的开集?没有相邻接的构成区间，故?没有孤立点.性质5??是疏朗集.在?的构造过程中，“挖去”手续进行到第?次后，剩下的是?个长度为?的小闭区间，对于以?中某点?为中心的无论怎样小的开区间??，当?充分大时总有? ?，因此这个小区间不可能包含在?中.性质6??是可测集且测度为零.第?次挖去的开区间记为?，共有?个，每个小区间的测度?，这?个互不相交的开区间的并集的测度?是?的构成区间，从?.因此?.性质7??上的任何函数均是可测函数.零测度集上的任何函数都是可测函数.性质8??上的任何函数Lebesgue可积.零测度集上的任何函数Lebesgue可积，且积分值为零.3具体举例为了推广区间长度的概念，对一般点集建立一种能反映集合的“容量”、与长度概念相当的度量,这种度量既要发展长度的概念，又必须保留长度概念的一些最基本的性质，也就是集合的“测度”，测度理论是建立新型积分理论的基础.例1 设在[[]0,1]中作点集：??={?|在?的十进位小数表示中只出现9个数码}，试问??的测度与基数是多少？[[]3]解?不妨设?在的十进位制小数中不出现数字“2”(约定采用0.2=0.1999…,0.62=0.61999…等表示)，于是按照Cantor集的方法作一开集?，?.其中，?是将[[]0,1]分成十等分所得的第三个开区间，显然?中任一小数点后第一位数字是“2”；将[[]0,1]十等分并去掉?后所余下的9个区间分别再十等分，各自的第三个开区间之并记为?，?中任一数，其小数点后第二位数字是“2”…，将余下的?个区间每个进行十等分，取各自的第三开区间，它们的并记为?，则?中任一数，其小数点后第?位数字是“2”；…令?，由?的作法知，?中任一数，其小数点后任一数字都不是“2”，且?与Cantor集的构造完全类似，由性质2及性质6有(1)??的基数是?；(2)??可测，且?，事实上?.例2 试作一闭集?，使Ｆ中不含任何开区间，且?.解?仿照Cantor集的作法步骤完成?的构作，第一步：在[[]0,1]的中央挖去长为?的开区间?；第二步：在余下的两个闭区间?和?中分别挖去中央处的长为?的开区间，它们的并是?.……第?步：在余下的?个闭区间中，分别挖去其中央处长为?的开区间，记这?个互不相交的开区间之并为?.……令?，则?为开集，且??=?与Cantor集具有类似的性质；从而?为可测集，且?.故?再看看Cantor集的结构公式.????第一步：在实直线Ｒ上将单位闭区间?分成三等分，去掉中间的开区间?剩下两个分离的区间?，??，记??第?步：设已得到?上的点集?为?个闭区间的分离并，其长均为?，记? 第?步：对?，把闭区间?分成三等分，去掉中间的开区间，将剩下的两个闭区间记作?与?得到?个长度为?的不交闭区间，有?在形成Cantor集的过程中，对?，?其中，???????????????????????????????????（*）这里?取值0或1，使?；可以这样理解，将?化为2进位制数，??，则取?即可?及（*）式就是Cantor集合的结构式.[[]4]4 Cantor集性质的应用实变函数论的中心问题是建立一种新型的积分理论，从而扩大函数的可积性范围，诸如Dirichlet函数?之类的点点不连续的函数也能求出其积分值，而我们建立新积分的思路就是从研究集合的测度,到定义在可测集上函数的可测性，最终讨论可测函数的可积性问题，Cantor函数起着积极的作用.下面给出几个应用实例：实例1 存在连续函数，将疏朗集映成区间.[[]5]Cantor函数?即为一例，它将疏朗集?映成区间[[]0,1].下面说明?=[[]0,1]?.只需说明?在?所取的值，?在?上也均能取到即可.而由?的定义这是明显的，因为每个余区间的右端点都属于?，而?在此点的取值等于?在该余区间上的值.所以??.实例2 存在连续函数，它把零测集映成正测度集，把正测集映成零测度集.[[]6]当?是区间?上的绝对连续函数时（?定义在?上,若?，使得对于任意两两不交的开区间族?，只要满足?，就有?，则称?是绝对连续的)，它将零测度集仍然映射成零测度集.但是，如果?连续而非绝对连续，则它可将零测度集映成正测度集.例如Cantor函数?是[[]0,1]上的连续增函数，由它的构造知，它将零测度集?映成测度为1的区间[[]0,1]；将?映成零测集，即将测度为1的集映成零测度集.实例3??(1)?可测集在连续映射下的像未必可测.[[]7]绝对连续函数将可测集映成可测集，然而，即使是严格单调的函数也不能保证可测集的像仍为可测集,当然可测函数更不能保证可测集的像仍为可测集.反例?设?为[[]0,1]上的Cantor函数，令?，则?：[[]0,1]→[[]0,1]为严格递增的连续函数，使?，其中?为Cantor集，取?为不可测集，则?可测，使?不可测.[[]8](2)?可测集在连续映射下的原象未必可测.连续映射能保证Borel集的原像仍为Borel集，但不能保证可测集的原像仍为可测集，当然可测函数更不能保证可测集的原像为可测集.[[]9]反例?上例中的?为[[]0,1]上的同胚映射，易知其反函数?于[[]0,1]上连续且递增.但此连续映射?使可测集?的原像?不可测.(3)?连续函数与可测函数的复合函数未必可测.若?为?上的可测函数，??为?上的连续函数，则复合函数?仍为可测函数，但??未必是可测函数，从而两个可测函数的复合函数也未必是可测函数.记?，则?连续且严格递增，并使?不可测，?可测；令?为?的特征函数，则?可测；记?，则由?不可测知，?为不可测函数.实例4?（1）存在导数几乎处处为零的递增的连续函数.[[]10]例如[[]0,1]上的Cantor函数?，它连续且单调不减，?，?，它在?的每个余区间上为常数,所以在[[]0,1]上几乎处处有?.(更强有,存在导数几乎处处为0的严格递增的连续函数)?.（2）存在递增函数?，使得?.由实变函数中的知识，如果?为?上的递增函数，则?在?上可积且?，不等号可能成立，例如Cantor函数?，?几乎处处为0，?.5结束语Cantor29岁（1874）时在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇论文，提出了“无穷集合”这个数学概念，引起了数学界的极大关注，他引进了无穷点集的一些概念，如：基数，势，序数等，试图把不同的无穷离散点集和无穷连续点集按某种方式加以区分，他还构造了实变函数论中著名的“Cantor集”，“Cantor序列”.本文通过对cantor集性质，定义，定理及其基本概念的阐述，结合诸多具体实例，说明了cantor集在数学领域，在实际生活中的广泛应用.Cantor函数是一类性质很好的函数，它的特有性质在上述实例中得以体现，决定了Cantor函数巧妙应用的广泛性. Cantor集合作为一个构思非常巧妙的特殊的点集，对于学习和掌握集合论的基本知识是很有帮助的.<div id="loadingAD"><div class="ad_box"><div class="waiting"><strong>文档加载中...</strong>广告还剩<emid="adtime"></em>秒。