Cantor集与Cantor函数

十二个不可积分函数1. Dirichlet函数：定义在实数集上的函数，对于有理数为1，对于无理数为0。

2. Thomae函数：定义在实数集上的函数，对于有理数1/n（n为正整数），为1/n，对于无理数为0。

3. Riemann函数：定义在实数集上的函数，对于有理数1/n（n为正整数），为1/n，对于无理数为14. Thomae反例函数：定义在实数集上的函数，对于有理数，如果该有理数可以表示为a/b（a、b互质且b>0），则f(x)=1/b；对于无理数，f(x)=0。

5.欧拉函数：定义在正整数集上的函数，表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。

6.莫比乌斯函数：定义在正整数集上的函数，根据n的素因子分解形式确定。

如果n有平方因子，则f(n)=0；如果n是不同素数的乘积且素数个数为奇数，则f(n)=-1；如果n是不同素数的乘积且素数个数为偶数，则f(n)=17. Sierpinski函数：定义在实数集上的函数，对于有理数，如果该有理数可以表示为a/b（a、b互质且b>0），则f(x)=1/b^2；对于无理数，f(x)=0。

8. Weierstrass函数：定义在实数集上的函数，为以2^(-n)cos(3^n x)的无穷和。

9. Cantor函数：定义在实数集上的函数，是一个实数x在Cantor集合中的特征函数。

10.不连续开关函数：定义在实数集上的函数，当x为有理数时为1，当x为无理数时为0。

11.阶梯函数：定义在实数集上的函数，在n为整数的区间[n,n+1)上取常数值n。

12. Riemann定积分不可积函数：定义在实数集上的函数，只在一列分割区间中有限个点的函数。

一类Cantor函数不可微点集合的Hausdorff维数自相似集是分形几何中最简单,最经典的分形集.对经典Cantor三分集以及它的一些推广的研究是分形几何研究的热点问题,我们对经典三分Cantor集的测度已经进行了大量而深入的研究.利用数的三进制展式,我们可以计算出经典三分Cantor集的Hausdorff维数为ln2/ln3.关于经典三分Cantor集,我们对它的研究不仅仅限于最初的测度计算和维数的证明.而很多学者对于Cantor函数不可微点的研究产生了很大的兴趣.其中对相应的Cantor函数的不可微点的研究具有重要意义.1995年, Darst证明了经典三分Cantor集的Cantor函数的不可微点集合的Haus-dorff维数是(ln2/ln3)2,并提到这一结论可以推广到一般的Cantor函数.2005年,李文侠老师对Cantor函数不可微点的集合作出了全面而完善的研究.本文主要是根据Darst的方法,利用五进制,研究Cantor五分集的Cantor函数的不可微点集合的Hausdorff维数.本文首先介绍了Cantor函数不可微点的研究背景.第二部分,我们引述了Hausdorff测度与维数基本性质.第三部分,利用数的五进制展式,给出Cantor五分集的Cantor函数的不可微点的刻画,即S=N+∪N∪{C的端点值},其中其中N+:对于C的非端点值,当函数f(x)右上导数无穷的点时,其右下导数有限, N:对于C的非端点值,当函数f(x)左上导数无穷的点时,其左下导数有限.并计算Cantor五分集的Cantor函数的不可微集合的Hausdorff维数.第四部分,对全文进行总结和展望.。

Cantor集、连续延拓定理Cantor集对[0,1]区间三等分, 去掉中间⼀个开区间, 然后对留下的两个闭区间继续三等分,去掉中间的开区间, 不断做下去, 最后留下来的点集称为Cantor 三分集, 记为C.它的性质(1) 分割点⼀定在Cantor集中,(2) C的"长度"为0，去掉的区间长度和$$\sum{\infty}_{n=1}\frac{1}{3n}\cdot 2^{n-1}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}}=1.$$(3) C没有内点证明：对任意x∈C, x必被含于在第n次时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间I(n)i中,∀ε>0,1/3n<ε,I(n)i⊂B(x,ε),但由Cantor集的做法，要继续三等分去掉中间的⼀个开区间, 从⽽B(x,ε)内⾄少有⼀点不属于C, 所以x不可能是C的内点.(4) C中的点都是聚点, 从⽽没有孤⽴点.数的进制⼗进制⼩数：相应于对[0,1]⼗等分⼆进制⼩数：相应于对[0,1]⼆等分说明：对应于[0,1]⼗等分的端点有两种表⽰，如0.2000000..., 0.1999999...(⼗进制⼩数)(5) C的基数为ℵ,(利⽤三进制证明)证明思路：把[0,1]区间中的点都写成三进制⼩数, 则Cantor集的做法中去掉的点为⼩数位出现1的数的全体, 从⽽Cantor集为⼩数位只是0，2的点的全体，做对应X∈P→x=∞∑k=1a k3k(ak=0,2).说明：三等分的端点有必要特殊考虑, 因为它有两种表⽰,0.100000...=0.022222..., 0.200000...=0.122222...对x∈C, 令A={k|a k=0},则A⊂N+.对应关系x→A构成了C到P(N+)的⼀⼀映射.第⼀章集合与点集第六节点集间的距离定义1.16 设E⊂R n, f是定义在E上的实值函数, x0∈E, 若∀ε>0,∃δ>0,使得x∈E∩B(x0,δ)时候，|f(x)−f(x0)|<ε.称为f在x0点处连续.注：若f在E上连续, ⽽E0⊂E, 则f在E0连续.定理1.22 若E1,E2是闭集, f定义于E1∪E2上, 且分别在E1,E2上连续, 则f相对于E1∪E2也⼀定连续.证明：若x∈E1∪E2. 不妨设它为聚点, 因为E1,E2为闭集, 则E1∪E2内任⼀以x0为极限的点列{y k}只能有两种情况:其⼀, 从某⼀项起, 全部y k属于E1或E2(相应x0∈E1或x0∈E2.)容易证明.其⼆, {y k}由两个分别属于E1,E2的⽆穷⼦列组成, 此时, x0∈E1∪E2, 因为lim因此\lim\limits_{k\to\infty} f(y_k)=f(x_0).定理1.23 设f是\mathbb{R}^n中有界闭集E上的连续函数, 则(1) f在E上有界(2) f在E上取得最⼤值和最⼩值(3) f在E上⼀致连续定理1.24 设E\subset\mathbb{R}^n, f_1,f_2,\cdots是E上的连续函数列, 且k\to\infty时, \{f_k\}在E上⼀致收敛到函数f, 则f在E上连续.例20 对于任意的x_0\in\mathbb{R}^n, E\subset\mathbb{R}^n, 定义x_0到E的距离为d(x_0,E)=\inf\{d(x_0,y)|y\in E\}.证明：(1)若E是闭集, 则存在y_0\in E, 使得d(x_0,y_0)=d(x_0,E).对于任意点集A, B, 定义A, B之间的距离为d(A,B)=\inf\{d(x,y)|x\in A,y\in B\}.证明：(2)若A和B都是闭集, 其中⾄少有⼀个有界, 则存在x_0\in A, y_0\in B, 使得d(x_0,y_0)=d(A,B).集合的简单写法：{x\in E|f(x)>a}:=E(f>a).定理1.25 若函数f在E上连续, 则对任意的实数a, 存在开集G_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f>a)=G_a\cap E.也存在开集H_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f<a)=H_a\cap E.证明：对任意x\in E(f>a), 由于f在E上的点x连续, 必存在\delta=\delta(x,a)>0,使得y\in E\cap B(x,\delta)时, f(y)>a.因此若令G_a=\bigcup_{x\in E(f>a)} B(x,\delta), 则G_a是开集, 并且E(f>a)=G_a\cap E.同理可证, H_a.推论1 若函数f在E上连续, 则对任意的实数a, 存在闭集F_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f\geq a)=F_a\cap E.也存在开集K_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f\leq a)=K_a\cap E.推论2 若f在开集E连续, 则对于任意实数a, E(f>a)和E(f<a)是开集, 若函数f在闭集E上连续, 则对于任意实数a, E(f\geq a), E(f\leq a)是闭集.定理1.26 若f是\mathbb{R}^n的函数, 则对于任意实数a, E(f>a), E(f<a)总是开集, 则f在\mathbb{R}^n上连续. (开集与开集的交是开集，闭集与闭集的交为闭集）连续延拓定理引理：若F_1,F_2是\mathbb{R}^n中的两个不交的⾮空闭集, 则有连续函数f(x), 使得(1) 0\leq f(x)\leq 1(x\in\mathbb{R}^n);(2) F_1=\{x: f(x)=1\}, F_2=\{x: f(x)=0\}.证明：构造函数f(x)=\frac{d(x,F_2)}{d(x,F_1)+d(x,F_2)}, x\in\mathbb{R}^n.定理1.27 连续延拓定理：若F是\mathbb{R}^n中的闭集, f(x)是F上的连续函数, 且|f(x)|\leq M(x\in F),则存在\mathbb{R}^n上的连续函数g(x)满⾜|g(x)|\leq M, g(x)=f(x), x\in F.证明：把F分成三个点集：A=\{x\in F:M/3\leq f(x)\leq M\},B=\{x\in F:-M\leq f(x)\leq -M/3\},C=\{x\in F:其他\}.并作函数g_1(x)=\frac{M}{3}\cdot\frac{d(x,B)-d(x,A)}{d(x,B)+d(x,A)},x\in\mathbb{R}^n.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。

康托尔集的性质及应用1 Cantor集的概念及性质1.1 Cantor集的概念我们先来回忆一下康托尔集的作法。

12将闭区间三等分，去掉中间的开区间，剩下两个闭区间[0,1](,)3312。

又把这两个闭区间各三等分，去掉中间的两个开区间，即[0,],[,1]33 1278n,1n。

一般地，当进行到第n次时，一共去掉个开区间，剩下个22(,),(,)9999n,n长度是的相互隔离的闭区间，而在第n+1次时，再将这2个闭区间各三等分，3并去掉中间的一个开区间，如此继续下去，就从去掉了可数个互不相交(而[0,1]且没有公共端点)的开区间。

剩下的集合称为康托尔集，记为P。

Cantor集是一个完全集,为具有连续基数的点集和不可数的零测度集,其性质在对许多问题的讨论中都起着很大的作用,也常是构造反例的基础,其特殊的构造过程和算术结构使它有许多奇特的性质.1.2 集合的性质Cantor集具有如下性质:非空有界闭集;具有连续基数,其基数为c;完备集,亦即为无孤立点的闭集,被挖去的开集G没有相邻接的构成区间;疏朗集;可测集且异常的公式结尾函数Lebesgue可积且积分值为零;P上的任何函数均是可测函数,零测度集上的任何函数均是可测函数。

下面我们从康托尔集合的做法中讨论一下它的性质，仅供读者学习实变函数论之参考。

2 Cantor集性质的应用2. 1 研究集合的有关性质为了推广区间长度的概念,对一般点集建立一种能反映集合的“容量”与长度概念相当的度量,这种度量既要发展长度的概念,又必须保留长度概念的某些最基本的性质,也就是集合的“测度”,测度理论是建立新型积分理论的基础.,定理1 对任何非负数,,,可作[,]ab的一个完备疏朗集E,0,,,llba,,使。

mE,,证明按下面的步骤完成E的构造:,,lG[,]ab第1步:在的中心处挖去的长度为的开区间,该开区间记为; 13l,,1第2步:在余下的两个闭区间中分别挖去其中心处的长度为,的开区33 G间,这些开区间的并记为; 2………l,,1n,1n,12第n步:在余下的个闭区间中,分别挖去其中心处的长度为的开,()33n,1G2区间,记这个互不相交的开区间之并为。

cantor函数开题报告Cantor函数开题报告一、引言在数学领域中，有一类特殊的函数引起了学者们的广泛关注，它们被称为分形函数。

分形函数以其独特的性质和形式引发了无数的研究和探索。

其中，Cantor函数是一种经典的分形函数，具有许多有趣的性质和应用。

本报告旨在介绍Cantor函数的定义、性质和应用，以及相关的研究进展。

二、Cantor函数的定义Cantor函数最早由德国数学家Georg Cantor在19世纪末提出。

它是一个定义在闭区间[0,1]上的函数，其定义如下：1. 在[0,1]的中间点1/3处，函数值为1/2；2. 在[0,1]的中间点2/3处，函数值为1/2；3. 在[0,1]的其他点上，函数值按照以下规则递归定义：a) 如果该点在[0,1]的左1/3处，则函数值为前一点的函数值的1/2；b) 如果该点在[0,1]的右1/3处，则函数值为前一点的函数值的1/2加上1/2。

三、Cantor函数的性质Cantor函数具有多个引人注目的性质，其中一些是：1. 介值性：Cantor函数的值域是[0,1]，它能够覆盖整个区间；2. 不连续性：Cantor函数在[0,1]的无理数点上处处不连续，只在有理数点上连续；3. 严格递增性：Cantor函数在[0,1]上是严格递增的，即对于任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)；4. 可微性：Cantor函数在[0,1]的大部分点上都不可微，只在少数点上可微。

四、Cantor函数的应用Cantor函数作为一种特殊的分形函数，在实际应用中有着广泛的用途。

以下是一些Cantor函数的应用案例：1. 数据压缩：Cantor函数可以用于数据的压缩和编码，通过将数据映射到Cantor函数的值域上，实现数据的高效存储和传输；2. 图像处理：Cantor函数可以用于图像的压缩和分形编码，通过对图像的每个像素点应用Cantor函数，实现图像的分形压缩和重构；3. 金融建模：Cantor函数可以用于金融市场的建模和预测，通过分析金融时间序列数据的Cantor函数特征，提供对市场波动和趋势的预测；4. 模拟算法：Cantor函数可以用于模拟算法的设计和优化，通过利用Cantor函数的性质，提高模拟算法的收敛速度和精度。

广义Cantor 集张北一中 郭彦军摘要：本文考察了包括直线上的各种广义Cantor 集，由相似变换导出它们的级数表达式，给出它们维数的定义及计算方法，并考察了它们的性质。

关键词：广义Cantor 集；迭代函数系；Hausdorff 维数 1．定义：选取[]1,0区间作为初始元，然后进行m 等分，从中选取l 个小闭区间作为生成元，如此生成的分形集我们称之为广义Cantor 集，记作C 。

2．迭代函数系：广义Cantor 集C 的构造过程可描述为迭代函数系ma x m x f ma x m x f ma x m x f l l +=+=+=1)(1)(1)(2211[]1,0=∈I x其中i a 取}{1,2,1,0-m 中的某些值，l i ,2,1=。

即广义Cantor 集满足l 个相似变换： ma mf x ii +==ξξ)( l i ,2,1= ， 10≤≤x ，10≤≤ξ。

3．将[]1,0区间推广到任意区间[]b a ,： 首先我们给出这样一个一一对应：x a b a y )(-+= []1,0=∈I x则mb a a a m m a a b a m b i i i i +-=-+=)()( 下面给出任意区间[]b a ,上的相似变换：mb mag y ii +-==ηη)( b a ≤≤η b y a ≤≤ i b 取}{b m a b a m ma )1(,)1(,-++- 中的某些值。

4．广义Cantor 集的级数表示：首先回顾一下广义Cantor 集的定义过程：第一次生成l 个闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=m m a ma F i i i 1,0)1()1(,1 {}l i a a a a ,,21)1(∈区间长度为mL 11=。

第二次对每个小闭区间i F ,1进行m 等分，从中选取l 个闭区间，得2l 个闭区间2)2()1()2()1()1()1(*)1(ma m a m a m a m m a m a i i i i i i +=-++ 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=22)2()1(2)2()1(,21,m m a m a m a m a F i i i i i }{l i i a a a a a ,,,21)2()1(∈区间长度为=2L 21m 。

【标题】<B style='color:black;background-color:#ffff66'>浅谈</B>Cantor集【作者】刘勇【关键词】Cantor集??函数??测度【指导老师】林昌盛【专业】数学与应用数学【正文】1引言集合论自19世纪80年代由Cantor创立以来，现在已经发展成为一个独立的数学分支，它的基本思想与基本方法已渗透到各个数学分支，成为近代数学的基础.Cantor集，又称为三分集，是一个构思非常巧妙的特殊的点集.Cantor集是Cantor在解三角级数的时候构造出来的.学习和掌握Cantor集具有的重要特征，对于学习和掌握集合论的基本知识是很有帮助的.2基本理论2.1定义Cantor集的两种定义1.?区间定义cantor集合将闭区间?三等分，去掉中间的开区间；再将余下的两个闭区间?和?分别三等分，去掉中间的两个开区间?和?；再将余下的四个闭区间分别三等分，去掉中间的开区间，这种过程无限次地做下去，?中余下的点所组成的集合，称为康托集，记为??(见图2.1)? ?????????? 0???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1 ?????????????????????????????????????图 2.1显然?.?因为每次去掉的开区间的端点都属于?，去掉的所有开区间所组成的集合记为?，则?为开集.?通常称为康托余集.?[[]1]2.映射定义cantor集先定义映射?，?：?使得对于任何?有?和?.容易验证映射?和?都是同胚，因此任何开集?的?象?和?的象?都是开集.现在按归纳原则定义一系列开集，?如下：令?；对于任何?，定义?.事实上，?是两个开区间?和?之并，?是四个开区间?，?，?，?之并，…令?，它是可数个开集之并，当然是一个开集，容易验证，?.集合?称为cantor集，或称为标准cantor三分集.它是一个闭集.由康托集的定义可知下列事实成立.???从??中第?次去掉??个长度为??的开区间后，余下的每个闭区间的长度仍是??.???无论去掉开区间的过程进行多少次，?的点必属于每次留下来的某个闭区间.???从??中每次去掉开区间后，开区间的端点都属于?.?2.2性质Cantor集的主要性质[[]2]性质1??非空.在?的构造过程中,被挖去的开区间的端点及0、1都不会被除去而留在?内.性质2??的基数为?.已知(0,1)和?进位无限小数全体是一一对应的，考虑三进位小数表示法，由?的作法，每次都是把区间三等分，然后去掉中间的开区间.所以去掉的点，即?中的点在用三进位小数表示时，必出现1这个数字，令?为三进位无限小数中不出现数字1的全体，即?则?且?.故?，但?显然与二进位无限小数全体可建立一一对应，只要令?即可.故?.而?，由伯恩斯坦定理，?.性质3??是闭集.因??为可数个互不相交的开区间的并集，故?为开集，而?为闭集. 性质4??是完备集.被挖去的开集?没有相邻接的构成区间，故?没有孤立点.性质5??是疏朗集.在?的构造过程中，“挖去”手续进行到第?次后，剩下的是?个长度为?的小闭区间，对于以?中某点?为中心的无论怎样小的开区间??，当?充分大时总有? ?，因此这个小区间不可能包含在?中.性质6??是可测集且测度为零.第?次挖去的开区间记为?，共有?个，每个小区间的测度?，这?个互不相交的开区间的并集的测度?是?的构成区间，从?.因此?.性质7??上的任何函数均是可测函数.零测度集上的任何函数都是可测函数.性质8??上的任何函数Lebesgue可积.零测度集上的任何函数Lebesgue可积，且积分值为零.3具体举例为了推广区间长度的概念，对一般点集建立一种能反映集合的“容量”、与长度概念相当的度量,这种度量既要发展长度的概念，又必须保留长度概念的一些最基本的性质，也就是集合的“测度”，测度理论是建立新型积分理论的基础.例1 设在[[]0,1]中作点集：??={?|在?的十进位小数表示中只出现9个数码}，试问??的测度与基数是多少？[[]3]解?不妨设?在的十进位制小数中不出现数字“2”(约定采用0.2=0.1999…,0.62=0.61999…等表示)，于是按照Cantor集的方法作一开集?，?.其中，?是将[[]0,1]分成十等分所得的第三个开区间，显然?中任一小数点后第一位数字是“2”；将[[]0,1]十等分并去掉?后所余下的9个区间分别再十等分，各自的第三个开区间之并记为?，?中任一数，其小数点后第二位数字是“2”…，将余下的?个区间每个进行十等分，取各自的第三开区间，它们的并记为?，则?中任一数，其小数点后第?位数字是“2”；…令?，由?的作法知，?中任一数，其小数点后任一数字都不是“2”，且?与Cantor集的构造完全类似，由性质2及性质6有(1)??的基数是?；(2)??可测，且?，事实上?.例2 试作一闭集?，使Ｆ中不含任何开区间，且?.解?仿照Cantor集的作法步骤完成?的构作，第一步：在[[]0,1]的中央挖去长为?的开区间?；第二步：在余下的两个闭区间?和?中分别挖去中央处的长为?的开区间，它们的并是?.……第?步：在余下的?个闭区间中，分别挖去其中央处长为?的开区间，记这?个互不相交的开区间之并为?.……令?，则?为开集，且??=?与Cantor集具有类似的性质；从而?为可测集，且?.故?再看看Cantor集的结构公式.????第一步：在实直线Ｒ上将单位闭区间?分成三等分，去掉中间的开区间?剩下两个分离的区间?，??，记??第?步：设已得到?上的点集?为?个闭区间的分离并，其长均为?，记? 第?步：对?，把闭区间?分成三等分，去掉中间的开区间，将剩下的两个闭区间记作?与?得到?个长度为?的不交闭区间，有?在形成Cantor集的过程中，对?，?其中，???????????????????????????????????（*）这里?取值0或1，使?；可以这样理解，将?化为2进位制数，??，则取?即可?及（*）式就是Cantor集合的结构式.[[]4]4 Cantor集性质的应用实变函数论的中心问题是建立一种新型的积分理论，从而扩大函数的可积性范围，诸如Dirichlet函数?之类的点点不连续的函数也能求出其积分值，而我们建立新积分的思路就是从研究集合的测度,到定义在可测集上函数的可测性，最终讨论可测函数的可积性问题，Cantor函数起着积极的作用.下面给出几个应用实例：实例1 存在连续函数，将疏朗集映成区间.[[]5]Cantor函数?即为一例，它将疏朗集?映成区间[[]0,1].下面说明?=[[]0,1]?.只需说明?在?所取的值，?在?上也均能取到即可.而由?的定义这是明显的，因为每个余区间的右端点都属于?，而?在此点的取值等于?在该余区间上的值.所以??.实例2 存在连续函数，它把零测集映成正测度集，把正测集映成零测度集.[[]6]当?是区间?上的绝对连续函数时（?定义在?上,若?，使得对于任意两两不交的开区间族?，只要满足?，就有?，则称?是绝对连续的)，它将零测度集仍然映射成零测度集.但是，如果?连续而非绝对连续，则它可将零测度集映成正测度集.例如Cantor函数?是[[]0,1]上的连续增函数，由它的构造知，它将零测度集?映成测度为1的区间[[]0,1]；将?映成零测集，即将测度为1的集映成零测度集.实例3??(1)?可测集在连续映射下的像未必可测.[[]7]绝对连续函数将可测集映成可测集，然而，即使是严格单调的函数也不能保证可测集的像仍为可测集,当然可测函数更不能保证可测集的像仍为可测集.反例?设?为[[]0,1]上的Cantor函数，令?，则?：[[]0,1]→[[]0,1]为严格递增的连续函数，使?，其中?为Cantor集，取?为不可测集，则?可测，使?不可测.[[]8](2)?可测集在连续映射下的原象未必可测.连续映射能保证Borel集的原像仍为Borel集，但不能保证可测集的原像仍为可测集，当然可测函数更不能保证可测集的原像为可测集.[[]9]反例?上例中的?为[[]0,1]上的同胚映射，易知其反函数?于[[]0,1]上连续且递增.但此连续映射?使可测集?的原像?不可测.(3)?连续函数与可测函数的复合函数未必可测.若?为?上的可测函数，??为?上的连续函数，则复合函数?仍为可测函数，但??未必是可测函数，从而两个可测函数的复合函数也未必是可测函数.记?，则?连续且严格递增，并使?不可测，?可测；令?为?的特征函数，则?可测；记?，则由?不可测知，?为不可测函数.实例4?（1）存在导数几乎处处为零的递增的连续函数.[[]10]例如[[]0,1]上的Cantor函数?，它连续且单调不减，?，?，它在?的每个余区间上为常数,所以在[[]0,1]上几乎处处有?.(更强有,存在导数几乎处处为0的严格递增的连续函数)?.（2）存在递增函数?，使得?.由实变函数中的知识，如果?为?上的递增函数，则?在?上可积且?，不等号可能成立，例如Cantor函数?，?几乎处处为0，?.5结束语Cantor29岁（1874）时在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇论文，提出了“无穷集合”这个数学概念，引起了数学界的极大关注，他引进了无穷点集的一些概念，如：基数，势，序数等，试图把不同的无穷离散点集和无穷连续点集按某种方式加以区分，他还构造了实变函数论中著名的“Cantor集”，“Cantor序列”.本文通过对cantor集性质，定义，定理及其基本概念的阐述，结合诸多具体实例，说明了cantor集在数学领域，在实际生活中的广泛应用.Cantor函数是一类性质很好的函数，它的特有性质在上述实例中得以体现，决定了Cantor函数巧妙应用的广泛性. Cantor集合作为一个构思非常巧妙的特殊的点集，对于学习和掌握集合论的基本知识是很有帮助的.<div id="loadingAD"><div class="ad_box"><div class="waiting"><strong>文档加载中...</strong>广告还剩<emid="adtime"></em>秒。