康托尔三分集

康托尔三分集的性质及其证明06级数学系本科班祁晓庚074001061050摘要：简述康托尔三分集的定义，介绍它的六个性质并分别对每个性质进行证明。

关键词：康托尔三分集闭集 不可列 完全集1、什么是康托尔三分集将基本区间［0,1］用分点-，-与三等分，并除去中间的开区间（丄 上）3333把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间（ 丄，-），（-，-）。

9999然后再将余下的四个闭区间同法处理，如此等等。

这样便得到康托尔三分集P 。

与开集G 0。

P 。

是G 。

的补集2、康托尔三分集的性质及证明（1） P 。

是一个闭集，不含有任何区间这是显然的，G 。

是任意个开集的并，所以G 。

仍是开集，P 。

是G 。

的补集，所以P 。

是闭集。

这表明不含有任何区间的闭集是存在的（2） P 。

是完全集证明：要证P 。

是完全集即证它不含有孤立点。

假设P 。

有一孤立点X 。

，则存在（a ，B ）使（a ，B ）中不含P 。

中除X 。

以外的任一点。

所以（a ，x 0 ） - G 0， （ x 0， B ）- G 0。

）3 73，8 孑25331 2U（孑，F ） 孚）U (3)于是X。

将成为G。

的某两个区间的公共端点，但由于G。

的做法是不可能所以不存在这样的点X。

，与假设矛盾，所以得证P o是完全集（3）P o是不可列的证明：假设P o是可列的，将P o中点编号成点列X i，X2，…，X k…，也就是说，P o中任一点必在上述点列中出现。

显然，0,丄与-,1中应1 3」］3」有一个不含有X i，用I i表示这个闭区间。

将I i三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含X2，用°表示它。

然后用13表示三等分° 时不含X3的左或右的那个闭区间，如此等等。

这样，根据归纳法，得到一个闭区间列｛1讣kN。

由所述取法知，l i 二丨 2 二…二I k 二…，X k? I k，k N，同时，易见I k的长为 % T 0 （kT «）o于是根据数学分析中区间套定理，存在点X ? I k，k? N。

分形几何作者：来源：《初中生世界·九年级》2014年第08期分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学. 相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空，分形几何学的研究对象为分数维数，如0.63、1.58、2.72. 因为它的研究对象普遍存在于自然界中，比如云彩、闪电、山脉、树枝、蕨叶以及生物细胞等，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”.康托尔三分集1883年，德国著名数学家康托尔构造了一个奇异的集合：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，将剩下的两段各再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段各再三等分，这样一直继续操作下去，直至无穷，便可得到康托尔三分集.皮亚诺曲线取一个正方形并把它分成4个相等的小正方形，然后从左上角的正方形开始至左下角的正方形结束，依次将小正方形的中心连接起来；下一步把每个小正方形再分成4个相等的正方形，然后按上述方式把其中心连接起来……如此继续不断作下去，以至无穷，也便形成了一条皮亚诺曲线.一般来说，一维的直线是不可能填满二维的平面的，但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例.谢尔宾斯基三角形垫片1915～1916年，波兰数学家谢尔宾斯基构造了这样一种图形：将边长为1的等边三角形均分成四个小等边三角形，去掉中间的一个小等边三角形，再对其余3个小等边三角形进行相同操作，这样操作继续下去直至无穷，所得图形称为谢尔宾斯基三角形垫片. 我们可以发现，剩下的三角形面积在不断操作下趋近于零，但它的周长却趋近于无限大.谢尔宾斯基地毯谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的. 将一个实心正方形划分为3×3的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯.门杰海绵与谢尔宾斯基金字塔奥地利数学家门杰从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰海绵（1999年以前，大部分分形著作中，均误称之为谢尔宾斯基海绵）；谢尔宾斯基用与构造谢尔宾斯基三角形垫片类似的方法，构造了谢尔宾斯基金字塔. 这是两座宏伟的集合大厦，里面有无数的通道，连接着无数的门窗. 这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构的表面积是无穷大，它们是由反复挖去一拨比一拨小的立体所生成，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型.海岸线有多长1967年，数学家曼德尔布罗在著名的《科学》杂志上发表了一篇奇怪的文章《英国的海岸线有多长》，使人们大吃一惊. 原来海岸线长度不是一个固定不变的数值. 海岸线的长短取决于人们所用的尺. 如果用1千米的尺子测量，小于1千米的弯弯曲曲的海岸线便会被忽略；如果用1米的尺子测量，便会增加许多弯曲的部分，海岸线必然大大增大；如果让蜗牛来测量，海岸线必然大得惊人.曼德尔布罗波兰裔法国数学家曼德尔布罗是分形几何的创始人. 他的科学兴趣极其广泛，具有极强的创造能力和形象思维能力，利用计算机开创了一门崭新的分形几何学.。

康托尔三分集定义嘿，朋友们！今天咱来聊聊一个特别神奇的东西——康托尔三分集。

你说这康托尔三分集啊，就像是一个神秘的迷宫。

想象一下，有一条线段，咱把它分成三段，然后把中间那一段去掉，接着对剩下的两段再重复这个操作，一直这么搞下去。

这像不像我们小时候玩的那种拆了又装、装了又拆的玩具呀！但可别小瞧了它，这里面的学问大着呢！你可能会问啦，这有啥特别的呀？嘿，这特别的地方可多啦！它虽然是由这么一次次去掉中间部分得到的，但是它里面的点可多了去了。

而且这些点的分布啊，特别有规律，又好像没规律，就像天上的星星，看似杂乱无章，其实有着某种我们还没参透的奥秘。

康托尔三分集还有个很神奇的特点，就是它的长度会越来越短，但里面的点却不会减少。

这多有意思呀！就好像一个口袋，虽然越变越小，但是里面装的东西却一点没少。

你说神奇不神奇？咱再想想，生活中是不是也有很多这样看似简单，实则蕴含着无穷奥秘的东西呢？比如说，天上的云，每一朵看起来都差不多，但仔细观察，每一朵都有它独特的形状和变化。

这和康托尔三分集是不是有点像呢？都是看似普通，却有着我们还没完全搞明白的奇妙之处。

而且啊，康托尔三分集在数学里可有着重要的地位呢！它让数学家们着迷，不断地去探索它背后的秘密。

这就好像是一个宝藏，吸引着无数人去挖掘。

你说，我们的世界是不是充满了这样神奇的东西呀？我们每天都在和各种奇妙的现象打交道，只是有时候我们没有留意罢了。

康托尔三分集就是这样一个提醒，让我们多去观察、多去思考，也许就能发现那些隐藏在平凡之中的伟大。

所以啊，别小看了任何一个看似普通的东西，说不定它里面就藏着像康托尔三分集这样的大秘密呢！让我们带着好奇的心，去探索这个丰富多彩的世界吧！。

康托尔三分集是第二纲集摘要：1.康托尔简介2.康托尔三分集的概念3.康托尔三分集的性质与应用4.康托尔三分集与其他集合论概念的关联5.康托尔三分集在实际问题中的应用案例正文：康托尔（Georg Cantor）是一位德国数学家，他对集合论的发展作出了巨大贡献。

在他的研究过程中，他提出了一种特殊的集合，被称为康托尔三分集。

这个名字来源于集合的构造方式，即通过对一个给定的集合进行三次划分，最终得到一个新的集合。

接下来，我们将详细了解康托尔三分集的概念、性质及其应用。

康托尔三分集是这样构造的：假设有一个集合A，首先将其划分为两个子集B和C，使得B中的元素数量是C中元素数量的一半。

接着，将B和C分别划分为两个子集D和E，使得D中的元素数量是E中元素数量的一半。

最后，将D和E合并成一个新集合，这个新集合就是康托尔三分集。

康托尔三分集具有以下性质：1.它是一个无穷集合。

2.集合中的元素可以根据某种方式排列，例如按照大小顺序。

3.集合中的元素具有某种特定的分布规律，例如均匀分布。

康托尔三分集在实际问题中有很多应用，例如在概率论、统计学和计算机科学等领域。

以下是一个应用案例：假设有一个包含n个元素的集合，我们想要计算其中的某个子集的概率。

为了简化问题，我们可以将这个集合划分为两个子集，其中一个子集包含n/2个元素，另一个子集包含n/2个元素。

接着，我们将这个过程重复两次，得到一个四级划分。

根据康托尔三分集的性质，我们可以知道，原集合中的任意一个子集，都可以通过这个过程得到。

因此，我们可以用康托尔三分集来估计原集合中某个子集的概率。

总之，康托尔三分集是一个有趣的集合论概念，它不仅在理论研究中具有重要意义，而且在实际问题中也具有广泛的应用。

Cantor集的拓展及其应用黄玉霞指导老师：郭金生（河西学院数学与应用数学专业2012届1班09号, 甘肃张掖734000）摘要本文对Cantor三分集进行了拓展,也就是以五分法构成了Cantor集,然后讨论在此分下Cantor集的相关性质及应用.关键词Cantor集; 测度; 稠密集; 完备集中图分类号O174The Expandability and Applications of Cantor SetHuang Yuxia Instructor Guo Jinsheng（No.09,Class1 of 2012.Specislty of Mathematics and Applied Mathematics,Hexi University,Zhangye,Gansu,734000）Abstract: This paper expands Cantor set ,as well as makes Cantor set by dividing it into five parts, then discusses it’s related properties and applications in this situation.Keywords: Cantor set; measure; dense set; exhaustive set1 引言Cantor三分集是由德国数学家康托尔在研究三角级数问题时构造出来的一个特殊点集,具有许多显著和深刻的性质.它是人类理性思维的产物,并非某个现实原型的摹写,尤其是用传统的几何术语很难对他进行描述.它既不是满足某些简单条件的点的轨迹,也不是一个简单方程的解集,可以说,它是一种新的集合对象.厦门大学数学科学学院的伍火熊通过分析康托三分集的构造过程,剖析了其构造思想的本质特征在于对所给闭区间进行奇数次对等划分,去掉中央开区间后对存留的每一个闭子区间作同样的处理的无限构作过程.董大校指出康托尔集的构造过程是一个无穷操作或迭代过程.本文主要说明康托尔五分集与三分集具有完全相同的奇特性质,康托尔三分集的构造方法的奇特性并非偶然,它适用于由任何正奇数分得的集合,康托尔集巧妙构思和它奇特性质在解决实变函数中一些典型例题中起了重要作用.2 预备知识=(E'表示E的导集),则称E为完备集或完全集.定义2.1[1]设nE R⊂,如果E E'定义2.2[2] 凡和全体正整数所成集合Z +对等的集合都称为可数集,不是可数集的无限集合,称为不可数集.定义2.3[3] 若两个集合A ,B 之间存在着一一的到上的映射,则A 与B 是对等的,记为A B .此时也称A 与B 等势或者有相同的基数,记为A ==B =.定义2.4[4] 设E 为n R 中的一个点集,0x 是n R 中的一个定点,若0x 附近全是E 的点,即0,δ∃>使0(,)U x E δ⊂,则称0x 为E 的内点.定义2.5[5] 设A ,B 是直线上的两个点集,如果B 中每一点的任一环境中必有A 的点,那么称A 在B 中稠密.如果直线上的点集S 在每一个不空的开集中都不稠密,就称S 是疏朗集或无处稠密集.定理1.1(闭集的构造定理) 直线上的闭集F 或是全直线,或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间（即F 的余区间）所得到的集.3 主要内容3.1 Cantor 集的构成(1)将闭区间[0,1]R ⊂三等分,去掉中间一个()02个个长度为13的开区间12,33⎛⎫⎪⎝⎭,记作1F ;剩下两个()12个长度均为13的闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为11G 和21G ;(2)将剩下的两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别继续三等分,去掉其中间两个()12个长度为213的开区间12,99⎛⎫ ⎪⎝⎭和78,99⎛⎫⎪⎝⎭,分别记为12F 和22F ,剩下的四个()22个小闭区间,分别是10,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦,23,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦,67,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦和8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为123222,,G G G 和42G ;(3)如此继续下去,第次n 去掉12n -个长度为13n 的开区间1221,,,-n n n n F F F ,剩下2n 个长度为13n 的闭区间,记为12,,n n G G nn G 2, ;上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表1:第1次分割第2次分割第3次分割第n 次分割开区间个数 02 12 22 12n -闭区间个数 12 22 32 2n小区间长度1321331313n表1(4)将上述过程无限进行. 最终得到一集合列12211n n n G G GG=()=1,2n ，.作点集P =1n n G ∞=,则称P 为Cantor 集.3.2 对Cantor 集构造方法的拓展基于Cantor 三分集巧妙的构造方法,尝试将闭区间[0,1]五等分、甚至任意正奇数等分.3.2.1 将闭区间[0,1]五等分,进行构造(1)将闭区间[0,1]R ⊂五等分,去掉中间两个()12个长度为15的开区间12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,记作11F 和21F ;剩下三个长度均为15的闭区间10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦,23,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为11G ,21G 和31G ;(2)将剩下的三个闭区间1[0,]5,23[,]55和4[,1]5分别继续五等分,然后去掉其中间六个长度为215的开区间2212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,2234,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,221112,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,221314,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,222122,55⎛⎫ ⎪⎝⎭222324,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 分别记为12F ,22F ,345222,,F F F 和62F .剩九个小闭区间,分别为210,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦2223,,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,241,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2211,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,221213,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2143,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2421,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,222223,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,224,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 分别记为123222,,G G G ,42G ,52G ,62,G 72,G 82G 和92G ;(3)如此继续下去,第n 次去掉()1221n -+个长度为15n 的开区间()122112,,,n n n nF F F-+,剩下3n 个长度为15n的闭区间,记为12,,n n G G nn G 3, ; 上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表2:第1次分割 第2次分割 第3次分割第n 次分割开区间个数 023⨯ 123⨯223⨯ 123n -⨯闭区间个数 1323 333n小区间长度15 21531515n表2(4)将上述过程无限进行.最终得到一集合列12311n n n G G GG=()=1,2n ，.作点集2P =1n n G ∞=.在下面3.3中可证得2P 具有与Cantor 三分集完全相同的性质.3.2.2 对于任意给定的正奇数21k +()k N +∈.(1) 将闭区间[0,1]进行21k +等分,并去掉中间的第2,4,k 2 个开区间1112(,)2121F k k =++,2134(,)2121F k k =++,,1212(,)2121k k kF k k -=++记留存部分为1G ,即111111k G G G G +=1232[0,][,][,1]21212121kk k k k =++++. (2) 将剩下的1k +个闭区间分别继续五等分,并去掉每一等分闭区间中的第2,4,,2k 个中间开区间;记1G 中留下来的部分为2G , (3) 如此继续下去,第n 次去掉()11n k k -+个长度为()121nk +的开区间,剩下()1nk +个长度为()121nk +的闭区间,记为()112,,,nk n n nG G G +; 上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系件表3:第1次分割 第2次分割 第3次分割第n 次分割开区间个数 ()01k k + ()11k k +()21k k +()11n k k -+闭区间个数 1k +()21k + ()31k +()1nk +小区间长度121k + ()2121k +()3121k +()121nk +表3(4) 将上述过程无限进行. 最终得到一集合列()11211nk n nG GGG +=()=1,2n ，.作点集k P =1n n G ∞=.3.3 五分法下Cantor 集2P 的性质性质3.3.1 2P 是闭集.证明 由2P 的构造过程可知,第一次去掉的开区间为11F 和21F ,第二次去掉的开区间为1234522222,,,,F F F F F 和62F ,那么由表2知,第n 次去掉的是11223,,,n n n n F F F -⨯,依次下去,可以推想,共去掉的开区间可表示为12311n m n n m F -∞⨯==,则123211[0,1]\n m n n m P F -∞⨯===,由闭集构造定理知2P 为闭集.性质3.3.2 2P 是完备集.证明 由于2P 的邻接区间的作法,它们中的任何两个之间根本不存在公共的端点故2P 没有孤立点,因而2P 自密,又2P 是闭集,因此2P 是完备集.性质3.3.3 2P 没有内点.证明 在2P 的作法中,“去掉”过程进行到第n 次为止时,剩下3n 个长度是15n的互相隔离的闭区间,因此任何一点02x P ∈必含在3n 个闭区间的某一个里面.从而在0x 的任意邻域01(,)5n U x 内至少有一点不属于2P ,但105n →()n →∞,故0x 不是2P 的内点.性质3.3.4 2[0,1]\P 是可数个互不相交的开区间,其长度之和为1.证明 在2P 的构造过程中,第n 次去掉的123n -⨯个长度为15n 的开区间,因2[0,1]\P中互不相交的开区间之和为11235n nn -∞=⨯∑1222323555n n-⨯⨯=+++ 11233(1)555n n --=⋅+++1=. 性质3.3.5 2P 是零测度集.证明 用2c P 表示[0,1]上2P 的余集,则22[0,1]\c P P =.由性质3.3.4知()21cm P =.故()()()22[0,1]c m P m m P =-110=-=.性质3.3.6 2P 是不可数集.证明 假设2P 是可数的,将2P 中点编号成点列1x ,2x ,,k x ,,也就是说,2P 中任一点必在上述点列中出现.显然,1[0,]5,23[,]55与4[,1]5中应至少有一个不含有1x ,用1G 表示这个闭区间.将1G 五等分后所得的三个闭区间中,应至少有一个不含2x ,用2G 表示它.然后用3G 表示五等分2G 时不含3x 的那个闭区间,如此下去.由归纳法,得到一个闭区间列{}k kN G ∈.由上述取法知,1G ⊃2G ⊃⊃k G ⊃,,k x ∉k G ,k ∈N ,同时,易见k G 的长为()105k k →→∞.于是根据数学分析中区间套定理,存在点∈ξk G ,k ∈N .可ξ是k G 的端 点集的聚点,从而是闭集2P 的聚点,故∈ξ2P .由于上面已指出k x ∉k G ,k ∈N ,故≠ξk x ,k ∈N .这是一个矛盾.故2P 不可数.性质3.3.7 2P 非空.证明 从2P 的构造过程来看,每个区间的端点,例如0,125,23,,12525这样的端点都是被保留下来的,故2P ≠∅.性质3.3.8[6] 2P 不含任何区间.证明 由2P 的构造过程可知,第n 次分割后的第i ()1,2,,3n i =个小区间的长度为10()5n n L n =→→∞ 故2P 中不含任何区间. 性质3.3.9 2P 是疏朗集.证明 由2P 的构造,02x P ∀∈和0ε>,0(,)U x ε内包含有无穷多个被去掉的小区间,因此02(,)U x P ε⊄,即2P 在0(,)U x ε中不稠密,根据定义2.5即得2P 是疏朗集. 性质3.3.10 2P 没有孤立点.证明 由性质3.3.1知2P 是闭集,又由闭集构造定理知,闭集的孤立点一定是它的两个余区间的公共端点,由2P 的构造过程知,这样的公共端点是不存在的,即2P 没有孤立点.性质3.3.11 2P 与R 对等.证明 由性质3.3.6知,2P c ==,又R c ==,从而2P R .由此说明2P 中的点与R 中的一样多.又因为2P ⊂[0,1]⊂R ,由此说明,“部分小于全体”的结论在无穷集合中是不成立的.4 Cantor 集的应用Cantor 集的巧妙构思和它奇特的性质为构造一些反例提供了启示,也为一些题目的证明与求解带来的方便,下面将分别举例来说明.4.1 Cantor 集在反例中的应用.例1 孤立点集必是疏朗集,而疏朗集未必是孤立点集. 例如 Cantor 集中的任一元都是疏朗集,但不是孤立点集. 例2 存在R 中零测度集E ,使得对每个x E ∈及任意0δ>,有E(0,x δ-)0x δ+为不可数集.此题中可取{},E P Q x y x P y Q =+=+∈∈.其中P 为Cantor 集,Q 为有理数集.例3 在[]0,1上做出的完备疏朗集的测度必为1. 反例 2P 是[]0,1上的完备疏朗集,但其测度为零.例 4 可数集的测度为零,但测度为零的集合未必都是可数集. 反例 2P 的测度为零,但它是不可数集. 4.2 Cantor 集及其性质在证明题中的应用.例1[8] 无理数在R 中是稠密的,但由无理数组成的疏朗的完全集是存在的.证明 任取两个无理数α和β()αβ<,设闭区间[],αβ中有理数为{}12,,,,n r r r ,仿照Cantor 集的构造法,第一步,从[],αβ中挖掉开区间1F ,1F 满足以[],αβ的中点为中点,长度小于βα-且包含1r ;从余下的两个闭区间中挖掉与1F 性质类似的两个开区间12F 和22F ,且使122r F ∈,232r F ∈,如此这样做下去,[],αβ中余下的即是一个由无理数组成的疏朗的完备集.例2 设P 是Cantor 集,E 在[]0,1中为不可数集,在[]0,1上定义函数[]22,,()4,0,1.x x P E f x x x PE +∈⎧⎪=⎨+∈-⎪⎩判断()f x 在[]0,1上是否可测.解 由性质3.3.5知,0mP =.又P E P ⊂,由测度的非负性及单调性,有()0m PE ≥,()m PE mP ≤故()0m PE =即2()4f x x →+.a e 于[0,1],从而()f x 在[0,1]上可测.例3 设()f x 在集合2P 上为1,而在2P 的补集G 中的长度为15n的构成区间上()f x 为n ,求积分10()f x dx ⎰.解 记n G 为G 中长度为15n 的各个开区间之并,则nG 有123n -⨯个长度为15n的开区间且115n n G ∞==∑,1235n n nmG -⨯=. 由题意知21,,()(1,2,),.x P f x n n x G ∈⎧==⎨∈⎩1()f x dx ⎰=2()()P G f x dx f x dx +⎰⎰=21()nP G n f x dx ndx ∞=+∑⎰⎰1nG n ndx ∞==∑⎰=1n n n mG ∞=⋅∑=111235n n n n ∞-=⋅⨯⋅∑=12335nn n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ 令12335nN N n S n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑,则11323535n N N n S n +=⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑. 21323333535555N N N N S S N +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即23211555NN S N ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭535252NN S N ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5355lim lim 2522N N N N S N →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故105()2f x dx =⎰.5 小结综合上述内容,根据Cantor 三分集的构造特征,对其构造进行了拓展,即以五分法构成了2P ,并对集合2P 所具有的性质做了探究证明,进而发现在五分法下构成的集合2P 具有与Cantor 三分集完全相同的奇特性质.从而揭示了Cantor 三分集这种奇特的构造方法并非偶然.之后通过实例将Cantor 三分集、五分集及其性质得以运用,特别是在范例中的运用破除了一些似是而非的错觉,体现了Cantor 集在数学问题的解决中的重要性. 致谢 诚挚的感谢郭金生老师的悉心指导！参 考 文 献[1]于兴太,杨明顺.Cantor 三分集构造方法探究[J].江西科学学报,2010,28(2):147-149. [2]程其襄等.实变函数与泛函分析基础[M].三版.高等教育出版社,2010,6. [3]刘培德.实变函数教程[M].科学出版社,2006.[4]徐森林,薛春华.实变函数论[M].清华大学出版社,2009,8.[5]夏道行,吴卓人等.实变函数论与泛函分析[M].二版.高等教育出版社,2010,1. [6]熊国敏.谈谈Cantor 集[J].安顺师专学报,2002,4(4):53-55.[7]王有一.Cantor 集合的应用[J].宝鸡文理学院学报(自然科学版),1994,1(1):122-125. [8]董大校.Cantor 集性质的应用[J].玉溪师范学报2009,25(8):18-22.。

contor集的结构及性质在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。

通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。

虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。

康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。

取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集，记为P。

称为康托尔点集的极限图形长度趋于0，线段数目趋于无穷，实际上相当于一个点集。

操作n次后边长r=(1/3)^n，边数N(r)=2^n，根据公式D=lnN(r)/ln(1/r) , D=ln2/ln3=0.631。

所以康托尔点集分数维是0.631。

康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。

此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。

康托三分集具有（1）自相似性；（2）精细结构；（3）无穷操作或迭代过程；（4）传统几何学陷入危机。

用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。

其局部也同样难于描述。

因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。

（5）长度为零；（6）简单与复杂的统一。

康托尔集P具有三条性质：1、P是完备集。

2、P没有内点。

3、P的基数为c。

4、P是不可数集。

康托尔集是一个基数为c的疏朗完备集。

康托尔三分集1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今⼴为⼈知的三分康托集，或称康托尔集。

三分康托集是很容易构造的，然⽽，它却显⽰出许多最典型的分形特征。

它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分⼦区间的过程。

三分康托集的构造过程是：第⼀步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。

第⼆步，再将剩下的两个闭区间各⾃平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。

第三步，重复删除每个⼩区间中间的 1/3 段。

如此不断的分割下去，最后剩下的各个⼩区间段就构成了三分康托集。

后⼀个间隔的开端是前⼀个间隔的后端加⼀个单位#include <stdio.h>int Pow(int a,int n){long long sum=1;for(int i=1;i<=n;i++){sum *= a;}return sum;}void Contract(int x,int y){int m = x,n = y;if(x%y==0) printf("%d",x/y);else {while (n != 0) {int temp = m % n;m = n;n = temp;}printf("%d/%d",x/m,y/m);}}int Contract1(int x,int y){int m = x,n = y;if(x%y==0) return x/y;else {while (n != 0) {int temp = m % n;m = n;n = temp;}return y/m;}}void Cantor(int begin,int end,int n){long long sum=1;int temp = begin,cnt=0,num=0,N=4,judge=0,t=0;int length = end -temp;sum = Pow(2,n);for(int i=0;i<sum;i++){if(i==0) {printf("[%d,", temp);begin = temp*Pow(3,n) + length;Contract(begin,Pow(3,n));printf("]\n");cnt++;}else {printf("[");Contract(begin,Pow(3,n));printf(",");Contract(begin+length,Pow(3,n));if(cnt!=1 ) begin += length ;printf("]\n");cnt++;}t = Contract1(begin+length,Pow(3,n));if(cnt==2) {num+=2;if(num%N==0){begin += length*Pow(3,n)/t ;}else begin += length*3;cnt = 0;}if(cnt!=2) begin += length ;}}int main(){int n,begin,end;scanf("%d %d %d",&begin,&end,&n); Cantor(begin,end,n);return 0;}。

晋中学院XX学院本科毕业论文（设计）题目cantor集合的构造及推广院系XX学院_____________专业XXXXXX ___________姓名XXX __________________学号XXXXXXX ___________________ 学习年限20XX 年XX 月至201XX 年XX月指导教师XXX 职称讲师申请学位学士学位Can tor集的构造及其推广学生姓名:X X （XX级XX班）指导教师:XXX摘要：Can tor集是实变函数课程中一个重要的例子，它的非同寻常和神奇，不但表现在它的构造的特殊性，而且在于它有许多奇特的性质.本文首先从一维空间Can tor集的构造出发，讨论了它的性质，并给出了其一些简单的应用.同时，阐述了Cantor函数的定义；其次，从不同方面、不同角度探讨了一维空间中推广的Cantor集的构造，另外，还给出了一类疏朗完备集在区间a,b】中的构造方法；最后，简单论述了二维空间的类Can tor集的构造.关键词：Cantor集；性质；应用；疏朗集；推广Construction and Generalization of Cantor setStudent: X XXInstructor: X XXAbstract: The Can tor set is an importa nt example in the course of real variable fun ctio n , it unusual and mysterious, not only in its structure is special, moreover lies in its unique properties. This paper first from one dime nsional Can tor sets ou, discussed its properties and gives some simple applicati ons. At the same time, elaborated the Can tor fun ctio n is defi ned； Sec on dly, from differe nt aspects, differe nt an gles of the on e-dime nsional space of gen eralized Can tor set con struct ion, in additi on , a con structi on method of nondense set in closed in terval a, b 1 is give n in this paper；Fin ally , discusses the two-dime nsional space of class Can tor sets simply.Key words: Can tor se；properties； applicati on；nondense sejt gen eralizati on目录引言 (1)1 .集合论的产生背景与历史意义 (1)2. 一维空间中的Can tor集 (2)2. 2 Can tor 集的构造 (2)2. 2 Can tor集的重要性质 (2)2. 3 Can tor集的应用 (5)3. ...................................................................................................................... Ca ntor 函数的定义及性质 .. (8)4. 一维空间中推广的Cantor集 (10)4. 1 一维空间中推广的Can tor集的构造 (10)4. 2 P n{,b的重要性质 (11)5. 二维空间的类Cantor集 (12)参考文献 (14)引言集合论是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家康托尔创立的，是现代数学中的基础理论，同时也被誉为“数学大厦的基石”.它的概念和方法已经渗透到分析、代数及拓扑学等众多数学分支以及物理学等一些学科中，并为这些学科提供了理论基础，推动了它们的发展.Cantor集也是实变函数中的一类重要的集合，其特殊的构造过程和算术结构，使它拥有许多奇特的性质，康托尔三分集就是Can tor集合中最常见的构造.本文阐述了Cantor集在一维空间中的构造、性质、应用以及Cantor函数的定义，叙述了一维空间中推广的Can tor集的构造及其重要性质，最后简单的说明了二维空间的类Cantor集.1. 集合论的产生背景与历史意义集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动.数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念.在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使无穷概念在数学中信誉扫地.19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述•在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论.正是这19世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难.但是，柯西并没有彻底完成微积分的严密化.柯西思想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾.19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极限概念上•严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹严密的算术的基础上.于是，许多受分析基础危机影响的数学家致力于分析的严格化•在这一过程中，都涉及到对微积分的基本研究对象一连续函数的描述.在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论.因此，无限集合在数学上的存在问题又被提出来了•这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作•总之，为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因•如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解.所以康托尔对集合论的创立，不仅对数学基础的研究有重要的意义，而且对现代数学的发展、哲学、逻辑学的学习也有深远的的影响.因此康托尔成为世纪之交的最伟大的数学家之一.2. 一维空间中Cantor集2.1 Cantor集的构造Cantor 集的构造主要是指Cantor 三分集的构造.将直线上的基本空间〔0,11用分点1和2三等分，去掉中间的开区间，记为3 3-把剩下两个闭区间Y ，予分别再三等分，然后各去掉中间的开区间,又分别把这些闭区间三等分，并各去掉中间的开区间，记为小6自，如此方法进行下去，第n 次时，去掉的开区间（称为第n 级区间，每个区间的长度为*， 计有2n 」个）:记G o I k ， k =1,2,3，…P'n = 1,2/这是开集，所以P o - b,1 L G °是闭级，称P o 为 n ,kCan tor 集.2.2 Can tor 集的重要性质1. P 0是非空闭集•这是显然的，在P o 的构造中G o 是任意个开集的并，所以G o 仍是 开集，P o 是G o 的补集，所以P o 是闭集•同时被去掉的开区间的端点及 0，1都不会被除 去而留在P o 内，所以P o 是非空的•所以P o 是非空闭集.明P o 中无孤立点，若不然，假设P o 有一个孤立点X o ，易知端点0与1是P o 的聚点，故X o = o 或1.在o,1中存在构成区间=o ,X o 与X °「o ，其中均无P o 的点，即- o ,X o G o 且 X o , ：o G o ，但X o^G o . 〉o ,X o ， X o , ：o 将分别包含在的两个构成区间 :,X o 与 Xo/中，也即X o 为G o 的某个构成区间的公共端点，而据 G o 的构造可知，这是不可能 的.所以,P o 是无孤立点的非空闭集• P o 是完备集3. R 没有内点且为疏朗集.事实上，在P o 的作法中讲过，“去掉”过程进行到第n 次 记为『二,9'1鳥9,9 .余下4个闭区间Q 宁，訂，昇I 23 =炸，'3- 39,|?，'「爭笋「=扌易，自昴，…，「I = 3n -2 3n 3n -1 亍」 2. R 是完备集.由性质1可知, P o 是一个非空闭集.欲证明P o 是完备集，只须证为止时，剩下2n个长度是3』的互相隔离的闭区间，因此任何一点P o必含在这2n个闭区间的某一个里面.从而在x o的任一邻域U x°,3』内至少有一点不属于P o，但3』＞o n—:],故x o不可能是P o的内点.R既然是没有内点的闭集，那么在直线上任一开区间I内必至少含有开集P o的一点，从而I内必至少有一子开区间，其中不含P o的点.凡是一个点集E （不限于R1中），如果具有性质：空间任一邻域内至少包含某点的一个邻域，其中不含E的点，则称E为疏朗集合，或无处稠密集合（E是疏朗集合的特征是E没有内点）.因此P o是一个疏朗集合•4. F o有连续基数.先用三进位有限小数来表示P o的余区间的端点•则有Ii O= (0.1,0.2 ), lQ=(0.01,0.02 ), 0=(0.21,0.22 ), I『)=( 0.001,0.002 ),123二0.021,0.022 , 133二0.201,0.202 , 143二0.221,0.222 .可以看出第n级余区间I k n k =1,2^l,2nJ形如0.—2川:」,0；" 2—2，其中-1,〉2,川.〉n_1都是0或2.因此，P o的余区间中的点有形式0〉1〉2…….即0,1 G中的数展成三进制小数时，其中至少有一位是 1.我们考察形如十III的小数，其中每个系数:n都是0或者2,这种小数全体记为A.由于A 0,11而0,1L G o中的数展开成三进制小数中0jl-G o：n至少有一位是1，所以中没有A的数，因而有A P o.令B是〔0,11的二进制小数表示全体（也采用二进制有理小数的有限位小数表示）.作■n1 -n n n3n nJ 2n 2其中^=0或2,这个映射是一一映射，但B 的基数是X ,所以A 的基数也是X .由A Po 得 P o —X ，又 P o ，所以 P o .5. F 0是不可列集.若不然，假设P o 是可列的，将P o 中点编号成点列X !,X 2/ ,X k/ ， 也就是说，P o 中任一点必在上述点列中出现.显然，o,l 与-,1中应有一个不含有X !，1 3」［3」用I l 表示这个闭区间.将I l 三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含X 2，用丨2 表示它.然后用I 3表示三等分12时不含X 3的左或右的那个闭区间，如此等等.这样，根 据归纳法，得到一个闭区间列M “kN .由所述取法知，h 二 12二 二 I k 二，X k Tk ，k N ;同时，易见I k 的长为2 > o^ ：：.于是根据数学分析中区间套定理，存在点 I k ，3k ・N .可是•是I k 等的端点集的聚点，从而是闭集 P o 的聚点，故：P o .由于上面已指 出X k 「T k ， k N ，故.X k ， k N .这是一个矛盾.故P o 不可列.6. P o 的测度为零.为了证明P o 的测度为零，只需证明被挖去的区间* ! k =1,2j||,2nJ 的长度之和为1.事实上，第n 级区间I k n 的长度是冷，但第n 级区 3 间共有2n4个，所以被挖去的区间1的总长度为牛=1 .则 nm 3所以P o 是一个测度为零的不可列集7. R 上的任何函数均是可测函数.零测度集上的任何子集都是可测的.8. P o 上的任何函数勒贝格可积.零测度集上的任何函数勒贝格可积，且积分值为2.3 Cantor 集的应用O0 :X 二、 n =1 mR 二 m b,11 - G 二 m b,1 丨-mG 二 1 -m U I ,n,k 3n 二 o.例1试作一闭集F 0,1 1,使F 中不含任何开区间，且^F =-.4解仿照Can tor 集的作法步骤完成F 的构造：第一步：在0,1 ]的中央去掉长为-的开区间G i 二4们的并是却唱却；第n 步：在余下的2nd 个闭区间中，分别去掉其中央处长为 1 -的开区间，记这2心13丿 4个互不相交的开区间之并为G n .令G 为开集，且F = 0,11 —G 与Can tor 集具有类似的性质；从而F 为可测集，且例2在0,1上定义f x :在Cantor 集P 。