康托尔三分集

康托尔三分集的性质及其证明06级数学系本科班祁晓庚074001061050摘要：简述康托尔三分集的定义，介绍它的六个性质并分别对每个性质进行证明。

关键词：康托尔三分集闭集 不可列 完全集1、什么是康托尔三分集将基本区间［0,1］用分点-，-与三等分，并除去中间的开区间（丄 上）3333把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间（ 丄，-），（-，-）。

9999然后再将余下的四个闭区间同法处理，如此等等。

这样便得到康托尔三分集P 。

与开集G 0。

P 。

是G 。

的补集2、康托尔三分集的性质及证明（1） P 。

是一个闭集，不含有任何区间这是显然的，G 。

是任意个开集的并，所以G 。

仍是开集，P 。

是G 。

的补集，所以P 。

是闭集。

这表明不含有任何区间的闭集是存在的（2） P 。

是完全集证明：要证P 。

是完全集即证它不含有孤立点。

假设P 。

有一孤立点X 。

，则存在（a ，B ）使（a ，B ）中不含P 。

中除X 。

以外的任一点。

所以（a ，x 0 ） - G 0， （ x 0， B ）- G 0。

）3 73，8 孑25331 2U（孑，F ） 孚）U (3)于是X。

将成为G。

的某两个区间的公共端点，但由于G。

的做法是不可能所以不存在这样的点X。

，与假设矛盾，所以得证P o是完全集（3）P o是不可列的证明：假设P o是可列的，将P o中点编号成点列X i，X2，…，X k…，也就是说，P o中任一点必在上述点列中出现。

显然，0,丄与-,1中应1 3」］3」有一个不含有X i，用I i表示这个闭区间。

将I i三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含X2，用°表示它。

然后用13表示三等分° 时不含X3的左或右的那个闭区间，如此等等。

这样，根据归纳法，得到一个闭区间列｛1讣kN。

由所述取法知，l i 二丨 2 二…二I k 二…，X k? I k，k N，同时，易见I k的长为 % T 0 （kT «）o于是根据数学分析中区间套定理，存在点X ? I k，k? N。

分形几何作者：来源：《初中生世界·九年级》2014年第08期分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学. 相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空，分形几何学的研究对象为分数维数，如0.63、1.58、2.72. 因为它的研究对象普遍存在于自然界中，比如云彩、闪电、山脉、树枝、蕨叶以及生物细胞等，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”.康托尔三分集1883年，德国著名数学家康托尔构造了一个奇异的集合：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，将剩下的两段各再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段各再三等分，这样一直继续操作下去，直至无穷，便可得到康托尔三分集.皮亚诺曲线取一个正方形并把它分成4个相等的小正方形，然后从左上角的正方形开始至左下角的正方形结束，依次将小正方形的中心连接起来；下一步把每个小正方形再分成4个相等的正方形，然后按上述方式把其中心连接起来……如此继续不断作下去，以至无穷，也便形成了一条皮亚诺曲线.一般来说，一维的直线是不可能填满二维的平面的，但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例.谢尔宾斯基三角形垫片1915～1916年，波兰数学家谢尔宾斯基构造了这样一种图形：将边长为1的等边三角形均分成四个小等边三角形，去掉中间的一个小等边三角形，再对其余3个小等边三角形进行相同操作，这样操作继续下去直至无穷，所得图形称为谢尔宾斯基三角形垫片. 我们可以发现，剩下的三角形面积在不断操作下趋近于零，但它的周长却趋近于无限大.谢尔宾斯基地毯谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的. 将一个实心正方形划分为3×3的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯.门杰海绵与谢尔宾斯基金字塔奥地利数学家门杰从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰海绵（1999年以前，大部分分形著作中，均误称之为谢尔宾斯基海绵）；谢尔宾斯基用与构造谢尔宾斯基三角形垫片类似的方法，构造了谢尔宾斯基金字塔. 这是两座宏伟的集合大厦，里面有无数的通道，连接着无数的门窗. 这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构的表面积是无穷大，它们是由反复挖去一拨比一拨小的立体所生成，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型.海岸线有多长1967年，数学家曼德尔布罗在著名的《科学》杂志上发表了一篇奇怪的文章《英国的海岸线有多长》，使人们大吃一惊. 原来海岸线长度不是一个固定不变的数值. 海岸线的长短取决于人们所用的尺. 如果用1千米的尺子测量，小于1千米的弯弯曲曲的海岸线便会被忽略；如果用1米的尺子测量，便会增加许多弯曲的部分，海岸线必然大大增大；如果让蜗牛来测量，海岸线必然大得惊人.曼德尔布罗波兰裔法国数学家曼德尔布罗是分形几何的创始人. 他的科学兴趣极其广泛，具有极强的创造能力和形象思维能力，利用计算机开创了一门崭新的分形几何学.。

0
0






证法 1. 易证 E1 x : x R1, f x a 是开集，而 F E1c ， 故 F 是闭集. 证法 2. 任取点列 xn F , 使xn x0 n ,要证x0 F .


事实上，因为 xn F , f xn a.令n ,由f 的连续性 和极限的保号性， f x0 n f xn a,x0 F . F 是闭集. lim
外测度的性质的证明： （1） 明显.
(2) 设 A B ， 对于任意一列其并集能覆盖 B 的开区间 Ii 也一 定能覆盖 A， A B Ii ， m A u Ii , m* A inf u m*B .
* i=1 i 1
(3)对于任意常数 0, 由外测度定义，对于任意 n,都应有开区 间序列 I n,m m1 ，使
是 R1 中一列单减的非空闭集，但是它们的交集是空集.
第三章
测度论
引言
§1. 外测度
定义 设
n 1
E Rn
， I n 1 是R n 中 的 开 区 间 的 一 个 序 列 ， n
I
n 1

n
E , 则 I n
确定一个非负的实数 u（也可能是 ）.所有这
样得出的 u 所组成的数集是下方有界的，它的下确界称为 E 的（勒贝格）外测度，记为 m*E.当然m*E也可能等于 .有
0 m E inf I n E I n n 1
*
n1

外测度的性质： （1） 对任何 E Rn , m*E 0 非负性.m* 0 （2） 若 A B, 则m* A m*B （单调性）

康托尔三分集定义嘿，朋友们！今天咱来聊聊一个特别神奇的东西——康托尔三分集。

你说这康托尔三分集啊，就像是一个神秘的迷宫。

想象一下，有一条线段，咱把它分成三段，然后把中间那一段去掉，接着对剩下的两段再重复这个操作，一直这么搞下去。

这像不像我们小时候玩的那种拆了又装、装了又拆的玩具呀！但可别小瞧了它，这里面的学问大着呢！你可能会问啦，这有啥特别的呀？嘿，这特别的地方可多啦！它虽然是由这么一次次去掉中间部分得到的，但是它里面的点可多了去了。

而且这些点的分布啊，特别有规律，又好像没规律，就像天上的星星，看似杂乱无章，其实有着某种我们还没参透的奥秘。

康托尔三分集还有个很神奇的特点，就是它的长度会越来越短，但里面的点却不会减少。

这多有意思呀！就好像一个口袋，虽然越变越小，但是里面装的东西却一点没少。

你说神奇不神奇？咱再想想，生活中是不是也有很多这样看似简单，实则蕴含着无穷奥秘的东西呢？比如说，天上的云，每一朵看起来都差不多，但仔细观察，每一朵都有它独特的形状和变化。

这和康托尔三分集是不是有点像呢？都是看似普通，却有着我们还没完全搞明白的奇妙之处。

而且啊，康托尔三分集在数学里可有着重要的地位呢！它让数学家们着迷，不断地去探索它背后的秘密。

这就好像是一个宝藏，吸引着无数人去挖掘。

你说，我们的世界是不是充满了这样神奇的东西呀？我们每天都在和各种奇妙的现象打交道，只是有时候我们没有留意罢了。

康托尔三分集就是这样一个提醒，让我们多去观察、多去思考，也许就能发现那些隐藏在平凡之中的伟大。

所以啊，别小看了任何一个看似普通的东西，说不定它里面就藏着像康托尔三分集这样的大秘密呢！让我们带着好奇的心，去探索这个丰富多彩的世界吧！。

康托尔三分集是第二纲集摘要：1.康托尔简介2.康托尔三分集的概念3.康托尔三分集的性质与应用4.康托尔三分集与其他集合论概念的关联5.康托尔三分集在实际问题中的应用案例正文：康托尔（Georg Cantor）是一位德国数学家，他对集合论的发展作出了巨大贡献。

在他的研究过程中，他提出了一种特殊的集合，被称为康托尔三分集。

这个名字来源于集合的构造方式，即通过对一个给定的集合进行三次划分，最终得到一个新的集合。

接下来，我们将详细了解康托尔三分集的概念、性质及其应用。

康托尔三分集是这样构造的：假设有一个集合A，首先将其划分为两个子集B和C，使得B中的元素数量是C中元素数量的一半。

接着，将B和C分别划分为两个子集D和E，使得D中的元素数量是E中元素数量的一半。

最后，将D和E合并成一个新集合，这个新集合就是康托尔三分集。

康托尔三分集具有以下性质：1.它是一个无穷集合。

2.集合中的元素可以根据某种方式排列，例如按照大小顺序。

3.集合中的元素具有某种特定的分布规律，例如均匀分布。

康托尔三分集在实际问题中有很多应用，例如在概率论、统计学和计算机科学等领域。

以下是一个应用案例：假设有一个包含n个元素的集合，我们想要计算其中的某个子集的概率。

为了简化问题，我们可以将这个集合划分为两个子集，其中一个子集包含n/2个元素，另一个子集包含n/2个元素。

接着，我们将这个过程重复两次，得到一个四级划分。

根据康托尔三分集的性质，我们可以知道，原集合中的任意一个子集，都可以通过这个过程得到。

因此，我们可以用康托尔三分集来估计原集合中某个子集的概率。

总之，康托尔三分集是一个有趣的集合论概念，它不仅在理论研究中具有重要意义，而且在实际问题中也具有广泛的应用。

Cantor集的拓展及其应用黄玉霞指导老师：郭金生（河西学院数学与应用数学专业2012届1班09号, 甘肃张掖734000）摘要本文对Cantor三分集进行了拓展,也就是以五分法构成了Cantor集,然后讨论在此分下Cantor集的相关性质及应用.关键词Cantor集; 测度; 稠密集; 完备集中图分类号O174The Expandability and Applications of Cantor SetHuang Yuxia Instructor Guo Jinsheng（No.09,Class1 of 2012.Specislty of Mathematics and Applied Mathematics,Hexi University,Zhangye,Gansu,734000）Abstract: This paper expands Cantor set ,as well as makes Cantor set by dividing it into five parts, then discusses it’s related properties and applications in this situation.Keywords: Cantor set; measure; dense set; exhaustive set1 引言Cantor三分集是由德国数学家康托尔在研究三角级数问题时构造出来的一个特殊点集,具有许多显著和深刻的性质.它是人类理性思维的产物,并非某个现实原型的摹写,尤其是用传统的几何术语很难对他进行描述.它既不是满足某些简单条件的点的轨迹,也不是一个简单方程的解集,可以说,它是一种新的集合对象.厦门大学数学科学学院的伍火熊通过分析康托三分集的构造过程,剖析了其构造思想的本质特征在于对所给闭区间进行奇数次对等划分,去掉中央开区间后对存留的每一个闭子区间作同样的处理的无限构作过程.董大校指出康托尔集的构造过程是一个无穷操作或迭代过程.本文主要说明康托尔五分集与三分集具有完全相同的奇特性质,康托尔三分集的构造方法的奇特性并非偶然,它适用于由任何正奇数分得的集合,康托尔集巧妙构思和它奇特性质在解决实变函数中一些典型例题中起了重要作用.2 预备知识=(E'表示E的导集),则称E为完备集或完全集.定义2.1[1]设nE R⊂,如果E E'定义2.2[2] 凡和全体正整数所成集合Z +对等的集合都称为可数集,不是可数集的无限集合,称为不可数集.定义2.3[3] 若两个集合A ,B 之间存在着一一的到上的映射,则A 与B 是对等的,记为A B .此时也称A 与B 等势或者有相同的基数,记为A ==B =.定义2.4[4] 设E 为n R 中的一个点集,0x 是n R 中的一个定点,若0x 附近全是E 的点,即0,δ∃>使0(,)U x E δ⊂,则称0x 为E 的内点.定义2.5[5] 设A ,B 是直线上的两个点集,如果B 中每一点的任一环境中必有A 的点,那么称A 在B 中稠密.如果直线上的点集S 在每一个不空的开集中都不稠密,就称S 是疏朗集或无处稠密集.定理1.1(闭集的构造定理) 直线上的闭集F 或是全直线,或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间（即F 的余区间）所得到的集.3 主要内容3.1 Cantor 集的构成(1)将闭区间[0,1]R ⊂三等分,去掉中间一个()02个个长度为13的开区间12,33⎛⎫⎪⎝⎭,记作1F ;剩下两个()12个长度均为13的闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为11G 和21G ;(2)将剩下的两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别继续三等分,去掉其中间两个()12个长度为213的开区间12,99⎛⎫ ⎪⎝⎭和78,99⎛⎫⎪⎝⎭,分别记为12F 和22F ,剩下的四个()22个小闭区间,分别是10,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦,23,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦,67,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦和8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为123222,,G G G 和42G ;(3)如此继续下去,第次n 去掉12n -个长度为13n 的开区间1221,,,-n n n n F F F ,剩下2n 个长度为13n 的闭区间,记为12,,n n G G nn G 2, ;上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表1:第1次分割第2次分割第3次分割第n 次分割开区间个数 02 12 22 12n -闭区间个数 12 22 32 2n小区间长度1321331313n表1(4)将上述过程无限进行. 最终得到一集合列12211n n n G G GG=()=1,2n ，.作点集P =1n n G ∞=,则称P 为Cantor 集.3.2 对Cantor 集构造方法的拓展基于Cantor 三分集巧妙的构造方法,尝试将闭区间[0,1]五等分、甚至任意正奇数等分.3.2.1 将闭区间[0,1]五等分,进行构造(1)将闭区间[0,1]R ⊂五等分,去掉中间两个()12个长度为15的开区间12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,记作11F 和21F ;剩下三个长度均为15的闭区间10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦,23,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为11G ,21G 和31G ;(2)将剩下的三个闭区间1[0,]5,23[,]55和4[,1]5分别继续五等分,然后去掉其中间六个长度为215的开区间2212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,2234,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,221112,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,221314,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,222122,55⎛⎫ ⎪⎝⎭222324,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 分别记为12F ,22F ,345222,,F F F 和62F .剩九个小闭区间,分别为210,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦2223,,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,241,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2211,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,221213,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2143,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2421,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,222223,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,224,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 分别记为123222,,G G G ,42G ,52G ,62,G 72,G 82G 和92G ;(3)如此继续下去,第n 次去掉()1221n -+个长度为15n 的开区间()122112,,,n n n nF F F-+,剩下3n 个长度为15n的闭区间,记为12,,n n G G nn G 3, ; 上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表2:第1次分割 第2次分割 第3次分割第n 次分割开区间个数 023⨯ 123⨯223⨯ 123n -⨯闭区间个数 1323 333n小区间长度15 21531515n表2(4)将上述过程无限进行.最终得到一集合列12311n n n G G GG=()=1,2n ，.作点集2P =1n n G ∞=.在下面3.3中可证得2P 具有与Cantor 三分集完全相同的性质.3.2.2 对于任意给定的正奇数21k +()k N +∈.(1) 将闭区间[0,1]进行21k +等分,并去掉中间的第2,4,k 2 个开区间1112(,)2121F k k =++,2134(,)2121F k k =++,,1212(,)2121k k kF k k -=++记留存部分为1G ,即111111k G G G G +=1232[0,][,][,1]21212121kk k k k =++++. (2) 将剩下的1k +个闭区间分别继续五等分,并去掉每一等分闭区间中的第2,4,,2k 个中间开区间;记1G 中留下来的部分为2G , (3) 如此继续下去,第n 次去掉()11n k k -+个长度为()121nk +的开区间,剩下()1nk +个长度为()121nk +的闭区间,记为()112,,,nk n n nG G G +; 上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系件表3:第1次分割 第2次分割 第3次分割第n 次分割开区间个数 ()01k k + ()11k k +()21k k +()11n k k -+闭区间个数 1k +()21k + ()31k +()1nk +小区间长度121k + ()2121k +()3121k +()121nk +表3(4) 将上述过程无限进行. 最终得到一集合列()11211nk n nG GGG +=()=1,2n ，.作点集k P =1n n G ∞=.3.3 五分法下Cantor 集2P 的性质性质3.3.1 2P 是闭集.证明 由2P 的构造过程可知,第一次去掉的开区间为11F 和21F ,第二次去掉的开区间为1234522222,,,,F F F F F 和62F ,那么由表2知,第n 次去掉的是11223,,,n n n n F F F -⨯,依次下去,可以推想,共去掉的开区间可表示为12311n m n n m F -∞⨯==,则123211[0,1]\n m n n m P F -∞⨯===,由闭集构造定理知2P 为闭集.性质3.3.2 2P 是完备集.证明 由于2P 的邻接区间的作法,它们中的任何两个之间根本不存在公共的端点故2P 没有孤立点,因而2P 自密,又2P 是闭集,因此2P 是完备集.性质3.3.3 2P 没有内点.证明 在2P 的作法中,“去掉”过程进行到第n 次为止时,剩下3n 个长度是15n的互相隔离的闭区间,因此任何一点02x P ∈必含在3n 个闭区间的某一个里面.从而在0x 的任意邻域01(,)5n U x 内至少有一点不属于2P ,但105n →()n →∞,故0x 不是2P 的内点.性质3.3.4 2[0,1]\P 是可数个互不相交的开区间,其长度之和为1.证明 在2P 的构造过程中,第n 次去掉的123n -⨯个长度为15n 的开区间,因2[0,1]\P中互不相交的开区间之和为11235n nn -∞=⨯∑1222323555n n-⨯⨯=+++ 11233(1)555n n --=⋅+++1=. 性质3.3.5 2P 是零测度集.证明 用2c P 表示[0,1]上2P 的余集,则22[0,1]\c P P =.由性质3.3.4知()21cm P =.故()()()22[0,1]c m P m m P =-110=-=.性质3.3.6 2P 是不可数集.证明 假设2P 是可数的,将2P 中点编号成点列1x ,2x ,,k x ,,也就是说,2P 中任一点必在上述点列中出现.显然,1[0,]5,23[,]55与4[,1]5中应至少有一个不含有1x ,用1G 表示这个闭区间.将1G 五等分后所得的三个闭区间中,应至少有一个不含2x ,用2G 表示它.然后用3G 表示五等分2G 时不含3x 的那个闭区间,如此下去.由归纳法,得到一个闭区间列{}k kN G ∈.由上述取法知,1G ⊃2G ⊃⊃k G ⊃,,k x ∉k G ,k ∈N ,同时,易见k G 的长为()105k k →→∞.于是根据数学分析中区间套定理,存在点∈ξk G ,k ∈N .可ξ是k G 的端 点集的聚点,从而是闭集2P 的聚点,故∈ξ2P .由于上面已指出k x ∉k G ,k ∈N ,故≠ξk x ,k ∈N .这是一个矛盾.故2P 不可数.性质3.3.7 2P 非空.证明 从2P 的构造过程来看,每个区间的端点,例如0,125,23,,12525这样的端点都是被保留下来的,故2P ≠∅.性质3.3.8[6] 2P 不含任何区间.证明 由2P 的构造过程可知,第n 次分割后的第i ()1,2,,3n i =个小区间的长度为10()5n n L n =→→∞ 故2P 中不含任何区间. 性质3.3.9 2P 是疏朗集.证明 由2P 的构造,02x P ∀∈和0ε>,0(,)U x ε内包含有无穷多个被去掉的小区间,因此02(,)U x P ε⊄,即2P 在0(,)U x ε中不稠密,根据定义2.5即得2P 是疏朗集. 性质3.3.10 2P 没有孤立点.证明 由性质3.3.1知2P 是闭集,又由闭集构造定理知,闭集的孤立点一定是它的两个余区间的公共端点,由2P 的构造过程知,这样的公共端点是不存在的,即2P 没有孤立点.性质3.3.11 2P 与R 对等.证明 由性质3.3.6知,2P c ==,又R c ==,从而2P R .由此说明2P 中的点与R 中的一样多.又因为2P ⊂[0,1]⊂R ,由此说明,“部分小于全体”的结论在无穷集合中是不成立的.4 Cantor 集的应用Cantor 集的巧妙构思和它奇特的性质为构造一些反例提供了启示,也为一些题目的证明与求解带来的方便,下面将分别举例来说明.4.1 Cantor 集在反例中的应用.例1 孤立点集必是疏朗集,而疏朗集未必是孤立点集. 例如 Cantor 集中的任一元都是疏朗集,但不是孤立点集. 例2 存在R 中零测度集E ,使得对每个x E ∈及任意0δ>,有E(0,x δ-)0x δ+为不可数集.此题中可取{},E P Q x y x P y Q =+=+∈∈.其中P 为Cantor 集,Q 为有理数集.例3 在[]0,1上做出的完备疏朗集的测度必为1. 反例 2P 是[]0,1上的完备疏朗集,但其测度为零.例 4 可数集的测度为零,但测度为零的集合未必都是可数集. 反例 2P 的测度为零,但它是不可数集. 4.2 Cantor 集及其性质在证明题中的应用.例1[8] 无理数在R 中是稠密的,但由无理数组成的疏朗的完全集是存在的.证明 任取两个无理数α和β()αβ<,设闭区间[],αβ中有理数为{}12,,,,n r r r ,仿照Cantor 集的构造法,第一步,从[],αβ中挖掉开区间1F ,1F 满足以[],αβ的中点为中点,长度小于βα-且包含1r ;从余下的两个闭区间中挖掉与1F 性质类似的两个开区间12F 和22F ,且使122r F ∈,232r F ∈,如此这样做下去,[],αβ中余下的即是一个由无理数组成的疏朗的完备集.例2 设P 是Cantor 集,E 在[]0,1中为不可数集,在[]0,1上定义函数[]22,,()4,0,1.x x P E f x x x PE +∈⎧⎪=⎨+∈-⎪⎩判断()f x 在[]0,1上是否可测.解 由性质3.3.5知,0mP =.又P E P ⊂,由测度的非负性及单调性,有()0m PE ≥,()m PE mP ≤故()0m PE =即2()4f x x →+.a e 于[0,1],从而()f x 在[0,1]上可测.例3 设()f x 在集合2P 上为1,而在2P 的补集G 中的长度为15n的构成区间上()f x 为n ,求积分10()f x dx ⎰.解 记n G 为G 中长度为15n 的各个开区间之并,则nG 有123n -⨯个长度为15n的开区间且115n n G ∞==∑,1235n n nmG -⨯=. 由题意知21,,()(1,2,),.x P f x n n x G ∈⎧==⎨∈⎩1()f x dx ⎰=2()()P G f x dx f x dx +⎰⎰=21()nP G n f x dx ndx ∞=+∑⎰⎰1nG n ndx ∞==∑⎰=1n n n mG ∞=⋅∑=111235n n n n ∞-=⋅⨯⋅∑=12335nn n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ 令12335nN N n S n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑,则11323535n N N n S n +=⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑. 21323333535555N N N N S S N +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即23211555NN S N ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭535252NN S N ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5355lim lim 2522N N N N S N →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故105()2f x dx =⎰.5 小结综合上述内容,根据Cantor 三分集的构造特征,对其构造进行了拓展,即以五分法构成了2P ,并对集合2P 所具有的性质做了探究证明,进而发现在五分法下构成的集合2P 具有与Cantor 三分集完全相同的奇特性质.从而揭示了Cantor 三分集这种奇特的构造方法并非偶然.之后通过实例将Cantor 三分集、五分集及其性质得以运用,特别是在范例中的运用破除了一些似是而非的错觉,体现了Cantor 集在数学问题的解决中的重要性. 致谢 诚挚的感谢郭金生老师的悉心指导！参 考 文 献[1]于兴太,杨明顺.Cantor 三分集构造方法探究[J].江西科学学报,2010,28(2):147-149. [2]程其襄等.实变函数与泛函分析基础[M].三版.高等教育出版社,2010,6. [3]刘培德.实变函数教程[M].科学出版社,2006.[4]徐森林,薛春华.实变函数论[M].清华大学出版社,2009,8.[5]夏道行,吴卓人等.实变函数论与泛函分析[M].二版.高等教育出版社,2010,1. [6]熊国敏.谈谈Cantor 集[J].安顺师专学报,2002,4(4):53-55.[7]王有一.Cantor 集合的应用[J].宝鸡文理学院学报(自然科学版),1994,1(1):122-125. [8]董大校.Cantor 集性质的应用[J].玉溪师范学报2009,25(8):18-22.。

contor集的结构及性质在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。

通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。

虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。

康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。

取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集，记为P。

称为康托尔点集的极限图形长度趋于0，线段数目趋于无穷，实际上相当于一个点集。

操作n次后边长r=(1/3)^n，边数N(r)=2^n，根据公式D=lnN(r)/ln(1/r) , D=ln2/ln3=0.631。

所以康托尔点集分数维是0.631。

康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。

此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。

康托三分集具有（1）自相似性；（2）精细结构；（3）无穷操作或迭代过程；（4）传统几何学陷入危机。

用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。

其局部也同样难于描述。

因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。

（5）长度为零；（6）简单与复杂的统一。

康托尔集P具有三条性质：1、P是完备集。

2、P没有内点。

3、P的基数为c。

4、P是不可数集。

康托尔集是一个基数为c的疏朗完备集。

Ｃａ ｎ ｔ ｏ ｒ三分点集 的连续像
Ｆ． Ｄｒ ｅ ｈ ｅ ｒ Ｔ． Ｓ ａ ｍｕ ｅ ｌ
摘 要 Ｈａ ｕ ｓ ｄ ｏ ｒ ｆ － Ａ ｌ ｅ ｘ ａ ｎ ｄ ｒ ｏ ｆ（ 豪斯 多夫 一亚历 山德 罗夫） 定理 说，任 意 紧度 量 空 间都是 Ｃａ ｎ ｔ ｏ ｒ （ 康托 尔）三分 集 Ｃ 的连 续像 ．众所周知 ，存 在基数 （ ｃ ａ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ ）
在本文 中， 我 们感 兴趣 的是 Ｈａ ｕ ｓ ｄ ｏ ｒ ｆ － Ａ ｌ ｅ ｘ ａ ｎ ｄ ｒ ｏ ｆ定理能 否被强化 ． 为 了避 免对 紧性 条件 的任何 误解 一 一这 也许源 于不 同 的命 名 习惯 ，我 们将 明确地 定 义我 们所说 的 “ 紧” ．
１ ） 原文意为 ‘ ｌ 把单位 区间 【 ０ ， １ 】 分为 ３部分 ’ ． —— 译注
・
３ ８１ ．
ｆ ６ ）集合 是 Ｈ ａ ｕ ｓ ｄ ｏ ｒ ｆ的 ． （ ７ ）集合 是正 规 的 （ ｎ ｏ ｒ ｍａ １ ） ．
（ ８ ）集合 的基数等于连续统的基数． （ ９ ） 的一维 Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ 测度和外 Ｊ ｏ ｒ ｄ ａ ｎ（ 若尔当） 容度 （ ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｎ ｔ ） 都等于 ０ ． （ １ ０ ）集合 Ｃ是一个 自 相似集，其 Ｈ ａ ｕ ｓ ｄ ｏ ｒ ｆ维数等于 ｌ ｏ ｇ （ ２ ） ／ ｌ ｏ ｇ （ ３ ） ．
它是 由Ｈ． Ｓ ｍｉ ｔ ｈ【 ６ ］ 和Ｇ ． Ｃ ａ ｎ ｔ ｏ ｒ ［ ２ 】 引进的． 通过把单位区间 ［ ０ ， １ 】 等分为 ３ 部分， ） 除去
中 间的开 区间， 然 后继续 这个过 程 ， 使得 在每 一步剩 下的子 区间被类似地 分为 ３ 部分 ，再 除去 中 间的开 区 间这 样 的简单步 骤 ，生 成 了 Ｃ ａ ｎ ｔ ｏ ｒ 的三 分集 ．无 止境 地继续 这个过 程 ，

康托尔三分集1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今⼴为⼈知的三分康托集，或称康托尔集。

三分康托集是很容易构造的，然⽽，它却显⽰出许多最典型的分形特征。

它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分⼦区间的过程。

三分康托集的构造过程是：第⼀步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。

第⼆步，再将剩下的两个闭区间各⾃平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。

第三步，重复删除每个⼩区间中间的 1/3 段。

如此不断的分割下去，最后剩下的各个⼩区间段就构成了三分康托集。

后⼀个间隔的开端是前⼀个间隔的后端加⼀个单位#include <stdio.h>int Pow(int a,int n){long long sum=1;for(int i=1;i<=n;i++){sum *= a;}return sum;}void Contract(int x,int y){int m = x,n = y;if(x%y==0) printf("%d",x/y);else {while (n != 0) {int temp = m % n;m = n;n = temp;}printf("%d/%d",x/m,y/m);}}int Contract1(int x,int y){int m = x,n = y;if(x%y==0) return x/y;else {while (n != 0) {int temp = m % n;m = n;n = temp;}return y/m;}}void Cantor(int begin,int end,int n){long long sum=1;int temp = begin,cnt=0,num=0,N=4,judge=0,t=0;int length = end -temp;sum = Pow(2,n);for(int i=0;i<sum;i++){if(i==0) {printf("[%d,", temp);begin = temp*Pow(3,n) + length;Contract(begin,Pow(3,n));printf("]\n");cnt++;}else {printf("[");Contract(begin,Pow(3,n));printf(",");Contract(begin+length,Pow(3,n));if(cnt!=1 ) begin += length ;printf("]\n");cnt++;}t = Contract1(begin+length,Pow(3,n));if(cnt==2) {num+=2;if(num%N==0){begin += length*Pow(3,n)/t ;}else begin += length*3;cnt = 0;}if(cnt!=2) begin += length ;}}int main(){int n,begin,end;scanf("%d %d %d",&begin,&end,&n); Cantor(begin,end,n);return 0;}。

晋中学院XX学院本科毕业论文（设计）题目cantor集合的构造及推广院系XX学院_____________专业XXXXXX ___________姓名XXX __________________学号XXXXXXX ___________________ 学习年限20XX 年XX 月至201XX 年XX月指导教师XXX 职称讲师申请学位学士学位Can tor集的构造及其推广学生姓名:X X （XX级XX班）指导教师:XXX摘要：Can tor集是实变函数课程中一个重要的例子，它的非同寻常和神奇，不但表现在它的构造的特殊性，而且在于它有许多奇特的性质.本文首先从一维空间Can tor集的构造出发，讨论了它的性质，并给出了其一些简单的应用.同时，阐述了Cantor函数的定义；其次，从不同方面、不同角度探讨了一维空间中推广的Cantor集的构造，另外，还给出了一类疏朗完备集在区间a,b】中的构造方法；最后，简单论述了二维空间的类Can tor集的构造.关键词：Cantor集；性质；应用；疏朗集；推广Construction and Generalization of Cantor setStudent: X XXInstructor: X XXAbstract: The Can tor set is an importa nt example in the course of real variable fun ctio n , it unusual and mysterious, not only in its structure is special, moreover lies in its unique properties. This paper first from one dime nsional Can tor sets ou, discussed its properties and gives some simple applicati ons. At the same time, elaborated the Can tor fun ctio n is defi ned； Sec on dly, from differe nt aspects, differe nt an gles of the on e-dime nsional space of gen eralized Can tor set con struct ion, in additi on , a con structi on method of nondense set in closed in terval a, b 1 is give n in this paper；Fin ally , discusses the two-dime nsional space of class Can tor sets simply.Key words: Can tor se；properties； applicati on；nondense sejt gen eralizati on目录引言 (1)1 .集合论的产生背景与历史意义 (1)2. 一维空间中的Can tor集 (2)2. 2 Can tor 集的构造 (2)2. 2 Can tor集的重要性质 (2)2. 3 Can tor集的应用 (5)3. ...................................................................................................................... Ca ntor 函数的定义及性质 .. (8)4. 一维空间中推广的Cantor集 (10)4. 1 一维空间中推广的Can tor集的构造 (10)4. 2 P n{,b的重要性质 (11)5. 二维空间的类Cantor集 (12)参考文献 (14)引言集合论是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家康托尔创立的，是现代数学中的基础理论，同时也被誉为“数学大厦的基石”.它的概念和方法已经渗透到分析、代数及拓扑学等众多数学分支以及物理学等一些学科中，并为这些学科提供了理论基础，推动了它们的发展.Cantor集也是实变函数中的一类重要的集合，其特殊的构造过程和算术结构，使它拥有许多奇特的性质，康托尔三分集就是Can tor集合中最常见的构造.本文阐述了Cantor集在一维空间中的构造、性质、应用以及Cantor函数的定义，叙述了一维空间中推广的Can tor集的构造及其重要性质，最后简单的说明了二维空间的类Cantor集.1. 集合论的产生背景与历史意义集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动.数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念.在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使无穷概念在数学中信誉扫地.19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述•在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论.正是这19世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难.但是，柯西并没有彻底完成微积分的严密化.柯西思想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾.19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极限概念上•严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹严密的算术的基础上.于是，许多受分析基础危机影响的数学家致力于分析的严格化•在这一过程中，都涉及到对微积分的基本研究对象一连续函数的描述.在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论.因此，无限集合在数学上的存在问题又被提出来了•这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作•总之，为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因•如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解.所以康托尔对集合论的创立，不仅对数学基础的研究有重要的意义，而且对现代数学的发展、哲学、逻辑学的学习也有深远的的影响.因此康托尔成为世纪之交的最伟大的数学家之一.2. 一维空间中Cantor集2.1 Cantor集的构造Cantor 集的构造主要是指Cantor 三分集的构造.将直线上的基本空间〔0,11用分点1和2三等分，去掉中间的开区间，记为3 3-把剩下两个闭区间Y ，予分别再三等分，然后各去掉中间的开区间,又分别把这些闭区间三等分，并各去掉中间的开区间，记为小6自，如此方法进行下去，第n 次时，去掉的开区间（称为第n 级区间，每个区间的长度为*， 计有2n 」个）:记G o I k ， k =1,2,3，…P'n = 1,2/这是开集，所以P o - b,1 L G °是闭级，称P o 为 n ,kCan tor 集.2.2 Can tor 集的重要性质1. P 0是非空闭集•这是显然的，在P o 的构造中G o 是任意个开集的并，所以G o 仍是 开集，P o 是G o 的补集，所以P o 是闭集•同时被去掉的开区间的端点及 0，1都不会被除 去而留在P o 内，所以P o 是非空的•所以P o 是非空闭集.明P o 中无孤立点，若不然，假设P o 有一个孤立点X o ，易知端点0与1是P o 的聚点，故X o = o 或1.在o,1中存在构成区间=o ,X o 与X °「o ，其中均无P o 的点，即- o ,X o G o 且 X o , ：o G o ，但X o^G o . 〉o ,X o ， X o , ：o 将分别包含在的两个构成区间 :,X o 与 Xo/中，也即X o 为G o 的某个构成区间的公共端点，而据 G o 的构造可知，这是不可能 的.所以,P o 是无孤立点的非空闭集• P o 是完备集3. R 没有内点且为疏朗集.事实上，在P o 的作法中讲过，“去掉”过程进行到第n 次 记为『二,9'1鳥9,9 .余下4个闭区间Q 宁，訂，昇I 23 =炸，'3- 39,|?，'「爭笋「=扌易，自昴，…，「I = 3n -2 3n 3n -1 亍」 2. R 是完备集.由性质1可知, P o 是一个非空闭集.欲证明P o 是完备集，只须证为止时，剩下2n个长度是3』的互相隔离的闭区间，因此任何一点P o必含在这2n个闭区间的某一个里面.从而在x o的任一邻域U x°,3』内至少有一点不属于P o，但3』＞o n—:],故x o不可能是P o的内点.R既然是没有内点的闭集，那么在直线上任一开区间I内必至少含有开集P o的一点，从而I内必至少有一子开区间，其中不含P o的点.凡是一个点集E （不限于R1中），如果具有性质：空间任一邻域内至少包含某点的一个邻域，其中不含E的点，则称E为疏朗集合，或无处稠密集合（E是疏朗集合的特征是E没有内点）.因此P o是一个疏朗集合•4. F o有连续基数.先用三进位有限小数来表示P o的余区间的端点•则有Ii O= (0.1,0.2 ), lQ=(0.01,0.02 ), 0=(0.21,0.22 ), I『)=( 0.001,0.002 ),123二0.021,0.022 , 133二0.201,0.202 , 143二0.221,0.222 .可以看出第n级余区间I k n k =1,2^l,2nJ形如0.—2川:」,0；" 2—2，其中-1,〉2,川.〉n_1都是0或2.因此，P o的余区间中的点有形式0〉1〉2…….即0,1 G中的数展成三进制小数时，其中至少有一位是 1.我们考察形如十III的小数，其中每个系数:n都是0或者2,这种小数全体记为A.由于A 0,11而0,1L G o中的数展开成三进制小数中0jl-G o：n至少有一位是1，所以中没有A的数，因而有A P o.令B是〔0,11的二进制小数表示全体（也采用二进制有理小数的有限位小数表示）.作■n1 -n n n3n nJ 2n 2其中^=0或2,这个映射是一一映射，但B 的基数是X ,所以A 的基数也是X .由A Po 得 P o —X ，又 P o ，所以 P o .5. F 0是不可列集.若不然，假设P o 是可列的，将P o 中点编号成点列X !,X 2/ ,X k/ ， 也就是说，P o 中任一点必在上述点列中出现.显然，o,l 与-,1中应有一个不含有X !，1 3」［3」用I l 表示这个闭区间.将I l 三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含X 2，用丨2 表示它.然后用I 3表示三等分12时不含X 3的左或右的那个闭区间，如此等等.这样，根 据归纳法，得到一个闭区间列M “kN .由所述取法知，h 二 12二 二 I k 二，X k Tk ，k N ;同时，易见I k 的长为2 > o^ ：：.于是根据数学分析中区间套定理，存在点 I k ，3k ・N .可是•是I k 等的端点集的聚点，从而是闭集 P o 的聚点，故：P o .由于上面已指 出X k 「T k ， k N ，故.X k ， k N .这是一个矛盾.故P o 不可列.6. P o 的测度为零.为了证明P o 的测度为零，只需证明被挖去的区间* ! k =1,2j||,2nJ 的长度之和为1.事实上，第n 级区间I k n 的长度是冷，但第n 级区 3 间共有2n4个，所以被挖去的区间1的总长度为牛=1 .则 nm 3所以P o 是一个测度为零的不可列集7. R 上的任何函数均是可测函数.零测度集上的任何子集都是可测的.8. P o 上的任何函数勒贝格可积.零测度集上的任何函数勒贝格可积，且积分值为2.3 Cantor 集的应用O0 :X 二、 n =1 mR 二 m b,11 - G 二 m b,1 丨-mG 二 1 -m U I ,n,k 3n 二 o.例1试作一闭集F 0,1 1,使F 中不含任何开区间，且^F =-.4解仿照Can tor 集的作法步骤完成F 的构造：第一步：在0,1 ]的中央去掉长为-的开区间G i 二4们的并是却唱却；第n 步：在余下的2nd 个闭区间中，分别去掉其中央处长为 1 -的开区间，记这2心13丿 4个互不相交的开区间之并为G n .令G 为开集，且F = 0,11 —G 与Can tor 集具有类似的性质；从而F 为可测集，且例2在0,1上定义f x :在Cantor 集P 。

或７ 的 小数全部去掉ｆ ＝０ ． ５ ９ １ ． 然后把余下的
八个 区间的每 一个 再 进 行 十等 分 ， 去掉 各 自的第
七个 左开 右 闭区间 以 及第 八 个 左 闭 右 开 区 间 ， 即 又去 掉一 个大 的开 区间 。 于是表 示式 中 ａ ＝６或
Ｅ＝｛ ∈［ ０ ， １ ］ ： ＝∑ａ ｎ ／ １ ０ ，
要 特 例 的基 础 ．
１ ／ ｐ 的 同心开 区 间 ； 第 三步 ， 在 留存 的 四个 闭区 间
中再 移去 长 度 为 １ ／ ｐ 的 同 心 开 区间 ； …・ 一 ． 继 续
此过 程 ， 可得 一列 移 去 的 开 区间 ， 记 其 并 集 为 Ｇ （ 开集 ） ， 则 Ｇ 的总 长 度 为 ． 我们 称 Ｃ 。＝ ［ ０ ， １ ］ ＼ Ｇ为类 Ｃ ａ ｎ ｔ ｏ ｒ 集 （ 当Ｐ＝３ 时， Ｃ 。 就是 Ｃ ａ ｎ ｔ ｏ ｒ
两 个 闭 区间各 三 等分 ， 去掉 中间的 两个 开 区间 ， 即
更 一般 的 ， 已有 文献 对 ［ ０， １ ］做 相关 的构
造， 所得 到 的点集 也 具 有 Ｃ ａ ｎ ｔ ｏ ｒ 三 分 集完 全 相 同
（ 吉 ， 吾 ） ， （ 吾 ， 詈 ） ． 一 般 地 ， 当 进 行 到 第 ｎ 次 时 ， 一 ３ Ｃ ａ ｎ ｔ ｏ ｒ 集构 造拓展后 的应用
共去掉 ２ 个开区间， 剩下 ２ 个 长 度 是 ３ 的互
的奇特 实数 都 可 以唯一 地 表示 为 ｐ 进位 正规 表示 Ｊ ， 其 中 ｐ是 任 意 的 大 于 １的正 整 数． Ｃ ａ ｎ ｔ ｏ ｒ 三分 集 与三 进 位 中用 不 着 数 字 １的小 数集 之 间有对 应 关 系 ． 将［ ０ ， １ ］中 的实 数 按 三进 位小 数展 开 ， 则 Ｃ ａ ｎ ｔ ｏ ｒ 集 中点 与 下 述 三进 位 小

第03讲等比数列及其前n 项和(练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲等比数列及其前n 项和（精练）A 夯实基础一、单选题（2022·全国·高二课时练习）1．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温26℃时，该元件的电子数目接近（）A ．860个B ．1730个C ．3072个D ．3900个（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高二阶段练习）2．方程2540x x -+=的两根的等比中项是（）A ．2-和2B ．1和4C ．2和4D ．2和1（2022·辽宁·大连市一0三中学高二期中）3．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（）A ．4B ．8C ．32D ．64（2022·全国·高三专题练习（理））4．在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（）A ．6小时末B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末（2022·全国·高二课时练习）5．在各项均为正数的等比数列中{}n a ，32a =，51a =，则1526372a a a a a a ++=（）A ．1B ．9C ．7D ．9（2022·全国·高三专题练习）6．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“112n n n S S S -++>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·福建龙岩·模拟预测）7．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积约为（）(lg 20.3010)≈A ．30010B ．30110C ．30810D ．31010（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63:1:2S S =，则93:S S =（）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:3二、多选题（2022·全国·高二单元测试）9．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若数列{}n a 的前n 项和13n n S r -=+，则1r =-D ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列（2022·吉林·长春十一高高二期末）10．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，下列结论一定成立的是（）A ．若30a >，则20210a >B ．若40a >，则20210a <C ．若30a >，则20210S >D ．若40a >，则20210S >（2022·全国·高三专题练习）11．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n T 是其前n 项的积，且67T T <，789T T T =>，则下列结论正确的是（）A ．1q >B ．81a=C ．106T T >D ．7T 与8T 均为nT的最大值三、填空题（2022·湖北十堰·高二阶段练习）12．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34S =，919S =，则6S ，9S 的等差中项为__________.四、解答题（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）13．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且252a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若m S ，9a ，15a 成等比数列，求m 的值．（2022·江苏·高二课时练习）14．如图，正三角形ABC 的边长为20cm ，取BC 边的中点E ，作正三角形BDE ；取DE 边的中点G ，作正三角形DFG ……如此继续下去，可得到一列三角形ABC ，BDE △，DFG …，求前20个正三角形的面积和.B 能力提升（2022·河南·模拟预测（文））15．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，202120220a a >，()()20212022110a a --<，下列结论正确的是（）A ．202320211a a >B ．202220211S S ->C ．数列{}n S 存在最大值D ．2021T 是数列{}n T 中的最大值（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）16．以下有四个命题：①一个等差数列{}n a 中，若存在()*10k k a a k N +>>∈，则对于任意自然数n k >，都有0n a >；②一个等比数列{}n a 中，若存在0k a <，()10k a k N *+<∈，则对于任意n N *∈，都有0n a <；③一个等差数列{}n a 中，若存在0k a <，()10k a k N *+<∈，则对于任意n N *∈，都有0n a <；④一个等比数列{}n a 中，若存在自然数k ，使10k k a a +⋅<则对于任意n N *∈，都有10n n a a +⋅<．其中正确命题的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（2022·全国·高三专题练习）17．等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r -=+，则r 的值为A ．13B ．13-C ．19D ．19-（2022·广东·佛山市顺德区郑裕彤中学高二期中）18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()0n n S a n λλ=≠-.若数列{}1n a +为摆动数列（从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项），则实数λ的取值范围为_________.（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）19．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,),33记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于9,10则需要操作的次数n 的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)（2022·浙江·高二阶段练习）20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()12,2(1)N n n a n a n S n *=⋅=+⋅∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)判断数列231⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭n n a n 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．C 综合素养（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）21．1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间1[0,3和2[,1]3；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：1[0,]9，21[,]93，27[,]39，8[,1]9；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历n 步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n 的最小值是（）．A ．7B ．8C ．9D ．10（2022·全国·高三阶段练习）22．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年）．他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M ，插入11个数后这13个数之和为N ，则依此规则，下列说法正确的是（）．A ．插入的第8B ．插入的第5个数是插入的第1倍C ．3M >D ．7N <（2022·全国·高三专题练习）23．我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均率”的音乐理论，该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方，对西方的音乐产生了深远的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就是基于“十二平均率”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键（7个白键5个黑键）构成一个“八度”，每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍，如图中所示的琴键的音高524C C =⋅（4C 称为“中央C ”）.将每个“八度”（如4C 与5C 之间的音高变化）按等比数列十二等份，得到钢琴上88个琴键的音阶.当钢琴的4A 键调为标准音440Hz 时，下列选项中的哪些频率（单位：Hz ）的音可以是此时的钢琴发出的音（）（参考数据：122 1.414=，132 1.260=，142 1.189=，152 1.148=，162 1.122=，1122 1.059=）A ．110B ．233C ．505D ．1244（2022·全国·高二单元测试）24．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为___________.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）（2022·全国·高三专题练习）25．九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪()19061967-也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有n 个圆环，用n a 表示按照某种规则解下n 个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动次数，且数列{}n a 满足11a =，22a =，()1223,n n n n a a n *--≥=+∈N ，则10a =_______．参考答案：1．C【分析】根据题意和等比数列的概念可知该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，进而得出首项和公比，即可求出11a .【详解】由题设知，该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，且13a =，公比2q =．由()263460--=，60106=，得1011323072a =⨯=．故选：C ．2．A【分析】先根据韦达定理求出两根之积，再结合等比中项公式计算即可.【详解】由一元二次方程根与系数的关系可知方程2540x x -+=的两根之积为4，又因为()242=±，故方程2540x x -+=的两根的等比中项是2±．故选：A 3．D【分析】依题意5a ，34a ，42a -成等差数列，可求出公比q ，进而由212a =求出4a ，根据等比中项求出17a a 的值.【详解】由题意可知，5a ，34a ，42a -成等差数列，所以45328a a a -=，即233328a q a q a -=，所以2280q q --=，4q =或2q =-（舍），所以2428a a q ==，421764a a a ==，故选：D.4．A【分析】由题意可知每小时末的细菌数构成了等比数列，求出其通项公式，列出相应的不等式，求得答案.【详解】设n a 表示第n 小时末的细菌数，依题意有()11332242n n n a a a n --=⨯=≥，133242a m m =⨯=，则{}n a 是等比数列，首项为32m ，公比32q =，所以32nn a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭.依题意，10n a m >，即3102nm m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭,由于563310,24372932102642⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=<，又*N n ∈，所以6n ≥，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍,故选:A.5．B【解析】利用等比数列的性质：若m n p q r r +=+=+，则m n p q r r a a a a a a == 可解.【详解】因为{}n a 为各项为正的等比数列，32a =-51a =，所以1526373552222335()(2)2219a a a a a a a a a a a a ++=++===+故选：B【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．6．D【分析】由112n n n S S S -++>可得出1n n a a +>，取10a <，由101n n q a a +<⇔，进而判断可得出结论.【详解】若112n n n S S S -++>，则11n n n n S S S S +-->-，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为递增数列，若10a <，101n n q a a +<<⇔>，所以，“1q >”是“112n n n S S S -++>”的既不充分也不必要条件.故选：D.7．C【分析】根据题意可知第n 行第i 个数2n i k -的指数为二项式系数，第n 行数字的指数之和为二项式系数之和等于12n -，利用等比数列求和得该“数字塔”前10层的所有数字之积10212T -=，利用对数运算进行计算估计．【详解】根据题意可得，“数字塔”中第n 行第i 个数均为2n i k -的形式，该“数字塔”前10层的所有数字之积()()()()11212210110210101011021010112122......222....22..22kk k k k k k k k k k k------------+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=根据指数运算可知，则n i k -按原位置排列即构成杨辉三角，可得n i k -为二项式系数，则第n 行数字的和为二项式系数之和等于12n -∴前10层的所有数字之和0191022..221+++=-该“数字塔”前10层的所有数字之积10212T -=()102110lg lg 221lg 2308T -==-≈，则30810T ≈故选：C．8．C【分析】利用等比数列前n 项和的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -，L 成等比数列求解.【详解】解：因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列，设3S m =，则62mS =，则632m S S -=-，故633S S S -=966312S S S S -=--，所以964m S S -=，得到934S m =，所以9334S S =.故选：C.9．AD【分析】利用等比数列的定义可判断A ；利用等比数列的通项公式可判断B ；利用等比数列的前n 项和公式可判断C ；由123a a a <<，求出1q >可判断D.【详解】由数列{}n a 是等比数列，设公比为q ，则222112n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭是常数，故A 正确；由32a =，732a =，则47316a q a ==，即22q =，所以253248a a q ==⨯=，故B 错误；若数列{}n a 的前n 项和13n n S r -=+，则111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=，()()332936a S S r r =-=+-+=，123,,a a a 成等比数列，2213a a a ∴=，即()461r =+，解得13r =-，故C 错误；若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则01q <<，数列{}n a 是递增数列，故D 正确.故选：AD 10．AC【分析】利用等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可判断出正误即可．【详解】解：A 、若2310a a q =>，则10a >，所以2020202110a a q=>，故本选项正确；B 、3410a a q =>，则无法判定1a 的正负，所以202020211a a q=的正负也无法判定，故本选项错误；C 、2310a a q =>，则10a >，若1q =时，2021120210S a =>；若1q ≠，202112021(1)01a q S q -=>-，故本选项正确；D 、若3410a a q =>，若10a >，1q =时，2021120210S a =>；若1q ≠，202112021(1)1a q S q -=-，当1q <-时，则10a <，所以20210S <，故本选项错误.故选：AC.11．BD【分析】结合等比数列的性质依次分析选项即可.【详解】由题意知，A ：由67T T <得71a >，由78=T T 得887=1T a T =，所以87=1a q a <，又0q >，所以01q <<，故A 错误；B ：由78=T T 得887=1T a T =，故B 正确；C ：因为{}n a 是各项为正数的等比数列，(01)q ∈，，有12789101a a a a a a >>>>=>>> ，所以2210789108996=()1T a a a a a a a T ==<，所以106T T <，故C 错误；D ：1278910T T T T T T <<<<>>> ，则7T 与8T 均为n T 的最大值，故D 正确.故选：BD 12．292##14.5【分析】利用等比数列部分和的性质求出6S ，然后利用等差中项求解答案.【详解】设6S x =，因为{}n a 为等比数列，所以3S ，63S S -，96S S -成等比数列.因为34S =，919S =，所以()()24194x x -=-，解得10x =或6x =-（舍去）.所以6S ，9S 的等差中项为292.故答案为：292.13．(1)26n a n =-(2)6m =【分析】（1）由11252102a d a +=+=，求得14a =-，进而得到数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知26n a n =-，求得25n S n n =-，912a =，1524a =，根据m S ，9a ，15a 成等比数列，列出方程，即可求解.(1)解：因为252a a +=且2d =，可得11252102a d a +=+=，解得14a =-，所以数列{}n a 的通项公式为4(1)226n a n n =-+-⨯=-.(2)解：由（1）知26n a n =-，可得2(4265)2n S n n n n -+-=-=，912a =，1524a =，因为m S ，9a ，15a 成等比数列，所以2915m a S a =，整理得2560m m --=，解得6m =或1m =-，又因为m N *∈，所以6m =.142201)cm 4-.【分析】由题意可知面积成等比数列，则可求总面积．【详解】设第n 个三角形边长为a ，则第n +1个三角形边长为2a，设第n 个三角形面积为n a ，则24n a =，2214216n a a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，∵114n n a a +=，2120ABC a S === ，所以这些三角形面积成等比数列，且公比14q =，首项1a =所以前20个正三角形的面积和为：20220201)14)cm 1414S -==--．15．D【分析】根据题意可得20211a >，202201a <<，所以在等比数列{}n a 中，从1a 到2021a 的每一项都大于1，从2022a 开始后面所有的项的值都小于1且大于0.再分析每一个选项即可求解.【详解】因为{}n a 是公比为q 的等比数列，且11a >，202120220a a >，()()20212022110a a --<，所以20211a >，202201a <<，所以01q <<，所以在等比数列{}n a 中，从1a 到2021a 的每一项都大于1，从2022a 开始后面所有的项的值都小于1且大于0.对于A ：因为22023202120221a a a =<，所以202320211a a <，故A 不正确；对于B ：()2022202120220,1S S a -=∈，故B 不正确；对于C ：根据上面的分析，等比数列{}n a 中每一项都为正值，所以n S 无最大值，所以数列{}n S 无最大值，故C 不正确；对于D ：因为在等比数列{}n a 中，从1a 到2021a 的每一项都大于1，从2022a 开始后面所有的项的值都小于1且大于0，所以2021T 是数列{}n T 中的最大值，故D 正确.故选：D.16．D【分析】在等差数列中，由10k k d a a +=->可知数列为递增数列，知①正确；等比数列中，由公比1k ka q a +=知数列各项符号相同或为摆动数列，从而得到②④正误；利用反例可知③错误.【详解】对于①，由10k k a a +>>知：公差10k k d a a +=->，∴自第k 项起，数列{}n a 为递增数列，又0k a >，∴对于任意自然数n k >，都有0n a >，①正确；对于②，由0k a <，10k a +<知：公比10k ka q a +=>，∴数列{}n a 各项符号相同，即对于任意n N *∈，都有0n a <，②正确；对于③，若等差数列{}n a 中，21a =-，33a =-，则公差2d =-，110a ∴=>，③错误；对于④，由10k k a a +⋅<知：公比10k ka q a +=<，∴等比数列{}n a 为摆动数列，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同，且奇数项与偶数项异号，∴对于任意n N *∈，都有10n n a a +⋅<，④正确；综上所述：正确的命题的个数为3个.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列的单调性和各项的符号特征；解题关键是能够根据相邻两项之间的关系确定等差或等比数列的公差或公比的正负，进而得到等差数列的单调性和等比数列各项的符号特征.17．B【详解】当1n =时,113a S r ==+,当2n ≥时，212323223221118333(31)8383393n n n n n n n n n a S S --------=-=-=-=⋅=⋅⋅=⋅所以81333r r +=∴=-，故选B.18．()0,1【分析】由退位相减法求得1()1n n n a a a λ-=--，化简整理后得1111n n a a λλ-+=+-，数列{}1n a +是公比为1λλ-的等比数列，要是摆动数列，则有公比小于0，求解即可.【详解】由n n S a n λ=-①，得111(2)n n S a n n λ--=+≥-②，①－②得1()1n n n a a a λ-=--，即()111n n a a λλ--=+，整理得()()()1111n n a a λλ--+=+，当1λ=时，不合题意，当1λ≠且0λ≠时，1111n n a a λλ-+=+-，且1n =时，111S a λ=-，111a λ=-，数列{}1n a +是公比为1λλ-的等比数列，若数列{}1n a +为摆动数列，则有01λλ<-，解得01λ<<.故答案为：()0,1.19．6【分析】根据给定条件，分别计算前面每次操作去掉的区间长度和，进而求出第n 次操作去掉的区间长度和n a ，再求数列{}n a 前n 项和，列不等式求解作答.【详解】设n a 为第n 次操作去掉的区间长度和，113a =，第1次操作后剩下两个长度为13的闭区间，则第2次操作去掉的区间长度和222122()33a =⋅=，第2次操作后剩下4个长度为213的闭区间，则第3次操作去掉的区间长度和3231144333a =⋅⋅=，如此下去，第1(2,N )n n n *-≥∈次操作后剩下12n -个长度为113n -的闭区间，则第n 次操作去掉的区间长度和1111122333n n n n n a ---=⋅⋅=，显然，数列{}n a 是等比数列，首项113a =，公式23q =，其前n 项和12[1()]2331()2313n nn S -==--，由910n S ≥得：21()310n ≤，11 5.6786lg 3lg 20.47710.3010n ≥≈≈--，而N n *∈，则min 6n =，所以需要操作的次数n 的最小值为6.故答案为：620．(1)1(1)2n n a n -=+⋅；(2)不存在，证明见解析.【分析】（1）利用给定的递推公式，结合“当2n ≥时，1n n n a S S -=-”变形，构造数列{}nS n即可求解作答.（2）假定存在符合条件的三项，列出等式，结合3()212⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n nf n 的单调性推理作答.【详解】（1）N n *∈，2(1)n n n a n S ⋅=+⋅，则当2n ≥时，()12(1)-⋅-=+⋅n n n n S S n S ，即121-=⋅-n n S Sn n ，而121S =，因此，数列{}n S n 是公比为2的等比数列，则11221n nn S S n -=⋅=，即2n n S n =⋅，所以1(1)(1)22-+⋅==+⋅n nn n S a n n.（2）记231=-+nn n b a n ，由（1）知，123(1)2321-=-⋅+=-+n n n n n b n n ，不妨假设存在,,()<<m n p b b b m n p 三项成等差数列，则()2323232-=-+-n n m m p p，因为(),,N m n p m n p *<<∈，所以1+≤n p ，令()()32N nnf n n *=-∈，则3()212⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n nf n ，于是有()f n 对N n *∈是递增的，则()(1)≥+f p f n ，即113232++-≥-p p n n ，因此()1123232323232++-=-+-≥-+-n n m m p p m m n n ，即332n m m -≥-，其左边为负数，右边为正数，矛盾，所以数列231⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭n n a n 中不存在成等差数列的三项．21．A【分析】根据三分康托集的构造过程可知：经历第n 步，每个去掉的开区间以及留下的闭区间的区间长度都是13n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据规律即可求出20212022属于1112,133n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，进而根据不等式可求解.【详解】20212022不属于剩下的闭区间，20212022属于去掉的开区间经历第1步，剩下的最后一个区间为2[,1]3，经历第2步，剩下的最后一个区间为8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦，……，经历第n 步，剩下的最后一个区间为1113n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，，去掉的最后开区间为1112,133n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由120111121320223n n⎛⎫⎛⎫-⨯<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得4044320223n n ⎧>⎨<⎩，解得7n =故选:A 22．BC【分析】设该等比数列为{}n a ，公比为q ，根据题意11a =，132a =，即可求出122q =，再根据等比数列的性质和等比数列前n 项和公式，逐项判断，即可得到结果.【详解】设该等比数列为{}n a ，公比为q ，则11a =，132a =，故121312a q a ==，所以8128912a a q ===A 错误；因为462a q a ==B 正确；()112111212112112111111212a q M q----====-----，要证3M >，即证11211312-->-，即证1121421>-，即证112524>，即证12524⎛⎫> ⎪⎝⎭，而()1265 1.524⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故C 正确；而3N M =+，因()()12636 1.4 1.925⎛⎫>>> ⎪⎝⎭，所以112625>，1121521>-，所以11211412-->-即4M >,所以7N >，D 错误.故选：BC ．23．ABD 【分析】A.由244042110==可得答案；对于BCD ，通过524C C =⋅求出相邻音阶的公比，逐一检验选项即可.【详解】∵A 4=440，244042110==，故110Hz 是A 4往左两个“八度”A 2键的音，A 正确.设相邻音阶的公比为q ，则12524C q C ==，∴1122q =.而A 3=220，A 4=440，A 5=880，112233 1.0592220q ===，B 正确；155051.1482440n q ==≠（n ∈N *），C 不正确；16212441.4142880q ===，D 正确.故选：ABD.24．8【分析】根据题设可得第n 次操作去掉的线段长度之和为12133n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，则有12113360n -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，再根据指对数关系及对数运算性质求n 的最大值.【详解】第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为2133⨯，第三次操作去掉的线段长度之和为221333⨯⨯，…，第n 次操作去掉的线段长度之和为12133n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，由题意知，12113360n -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，则21330n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则2lg lg 301lg 33n -=--≥，∴()lg 2lg 31lg 3n -≥--，即1lg 3lg 3lg 2n +-≤，又lg 20.3010≈，lg30.4771≈，可得8n ≤，故最大值为8.故答案为：8.25．682【分析】利用累加法可求得10a 的值.【详解】当3n ≥且n N *∈时，122n n n a a ---=，所以，()()()()()535791024264861082142222268214a a a a a a a a a a -=+-+-+-+-=++++==-.故答案为：682.。

康托尔三分集是第二纲集
摘要：
一、康托尔三分集简介
1.康托尔三分集的概念
2.康托尔三分集的性质
二、第二纲集的概念
1.第二纲集的定义
2.第二纲集与康托尔三分集的关系
三、康托尔三分集作为第二纲集的证明
1.证明过程概述
2.证明关键步骤
四、结论
1.康托尔三分集是第二纲集的意义
2.对康托尔三分集的认识和应用
正文：
康托尔三分集是第二纲集。

康托尔三分集，也被称为康托尔集合，是由数学家康托尔在19 世纪末提出的一个集合。

它由三个元素组成，分别是空集、全集和本身。

康托尔三分集具有许多有趣的性质，其中一个重要的性质就是它是第二纲集。

第二纲集是一个数学概念，它指的是一个集合，如果该集合的任何非空子集都有上确界，则该集合被称为第二纲集。

简单来说，第二纲集就是具有上确
界的集合。

康托尔三分集作为第二纲集，可以通过以下证明来理解。

首先，康托尔三分集的任何一个非空子集，必然包含至少一个元素。

假设有一个非空子集A，那么A 至少包含空集或者全集或者本身这三个元素中的一个。

接下来，我们可以构造一个新的集合B，B 包含A 的所有非空子集。

显然，B 中的元素是有限的，因为A 的元素不超过三个。

而B 的每个元素都是A 的非空子集，所以B 中的元素都有上确界。

综上所述，康托尔三分集满足第二纲集的定义，因此康托尔三分集是第二纲集。

这个结论对于我们理解康托尔三分集以及第二纲集的概念具有重要意义。

它不仅展示了康托尔三分集的独特性质，同时也为我们提供了一个理解第二纲集的新视角。

、分形理论1.1、引言欧氏几何、三角学、微积分学使我们能够用直线、圆、抛物线等其他简单曲线来建立现实世界中的形状模型。

比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空等，它们所描述的几何对象是规则和光滑的。

而在自然界中存在着大量的复杂事物：变幻莫测的云彩、雄浑壮阔的地貌、回转曲折的海岸线、动物的神经网络、不断分叉的树枝、纵横交流的血管烧结过程中形成的各种尺寸的聚积团等等。

面对这些事物和现象，传统科学显得束手无策。

因为目前还没有哪一种几何学能更好地描述自然形态，象山、云、火这类的自然形态尚缺少必要的数学模型。

近30 年来，科学家们朦胧地“感觉” 到了另一个几何世界，即关于自然形态的几何学，或者说分形几何学。

这种几何学把自然形态看作是具有无限嵌套层次的逻辑结构，并且在不同尺度之下保持某种相似的属性，例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。

这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。

于是在变换与迭代的过程中得到描述自然形态的有效方法(其中L系统和IFS方法便是典型的代表)。

分形理论是非线性科学的一个重要分支，主要研究的就是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的具有自相似性且没有特征长度的形状和现象。

1.2、分形理论的起源与发展1967年美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。

海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。

我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体态的相似。

在没有建筑物或其他东西作为参照物时，在空中拍摄的 1 00公里长的海岸线与放大了的10 公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。

几类常见的不可数集合证明摘要：文中首先介绍实变函数论的背景、由来和在数学领域中的作用,并由实变函数引出其最为基础的可数集合和不可数集合.最后给出本文的主要容---几种常见的不可数集合及其证明方法.本文多次利用反证法证明一个集合是否为不可数集合,并对几种常见的不可数集合证明方法作一个总结归纳.关键词：可数集不可数集合无理数集实数集合康托尔集在大学,我有幸接触到了《实变函数论》.对于这门课程,初次接触就被它的高深和精细所吸引."实变函数"是以实数作为自变量的函数,它和古典的数学分析是不同的,它不仅是一种比较高深和精细的理论,还是数学的一个重要分支,而且它的应用非常广泛.在《实变函数论》中,可数集与不可数集合是最为基本的知识.之所以选择它们来进行研究,主要考虑到以下几个方面：首先,不可数集合虽然是实变函数课程中最为基本的容,但也是最繁琐的容.本文旨在对几种常见的不可数集合证明方法作出总结和归纳,以达到化繁为简的目的.其次,不可数集合已经成为某些数学领域的重要工具,而且它在各个数学领域之中的应用,对于形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响.其中康托尔集在现代物理学科研究领域上也被广泛应用.基于以上几点,本文专门对常见的不可数集合证明方法作出总结.下面就让我们先来认识一下可数集和不可数集：1 可数集和不可数集的定义和性质1.1可数集和不可数集的定义定义1.1 凡和全体正整数所成之集合N对等的集合都称为可数集合或者可列集合.由于N可按大小顺序排列成一无穷序列：1,2,3,…,n…,因此,一个集合A是可数集合的充要条件为: A可以排成一个无穷序列：1a ,2a ,3a ,…,n a ,….例如,全体正偶数的集合是一个可数集,全体正奇数的集合也是可数集,它们与自然数集可以建立如下的一一对应.自然数1,2,3,4,5,6,…,n ,…, 正偶数2,4,6,8,10,12,…,2n ,…, 正奇数1,3,5,7,9,11,…,2n －1,….这说明一个可数集可以含有可数的真子集,反过来,两个可数集也可以并成一个可数集.整数集与有理数集都是可数集.定义1.2 不是可数集合的无限集合我们称为不可数集合.不可数集是无穷集合中的一种.一个无穷集合和整数集合之间要是不存在一个双射〔不存在一一对应关系和法则,那么它就是一个不可数集.譬如无理数集就是不可数集.1.2 可数集和不可数集的性质 可数集的性质：<1> 任何无限集合都至少包含一个可数子集.<2> 可数集合的任何无限子集必为可数集合,从而可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集.<3> 设A 为可数集,B 为有限或可数集,则A B 为可数集. <4> 设(),...3,2,1=i A i 都是可数集,则 ∞=1i i A 也是可数集.<5> 设()n i A i ,...,2,1=是有限集或可数集,则 ni i A 1=也是有限集或可数集,但如果至少有一个i A 是可数集,则 ni i A 1=必为可数集.<6> 有理数全体成一可数集合.<7> 若A 中每个元素可由n 个互相独立的记号一对一地加以决定,各记号跑遍一个可数集A ={}n x x x a ,...,,21(),,...,2,1,...;,)2()1(n k x x x k kk ==则A 为可数集. <8> 代数数的全体成一可数集. 不可数集的性质：<1> 全体实数所成之集合R 是一个不可数集合.<2> 任意区间()[)(]()[)∞∞,0,,0,,,,,,b a b a b a 均具有连续基数c .〔这里b a <. <3> 设,...,...,,21n A A A 是一列互不相交的集合,它们的基数均为c ,则它们的和集的基数也为c .<4>实数列全体E ∞的基数为c . <5>n 维欧几里得空间n R 的基数为c .<6> 设M 是任意的一个集合,它的所有子集作成新的集合μ则μ>M . <7> 若用c 表示全体实数所成集合R 的基数,用a 表示全体正整数所成集合N 的基数,则c >a .<8> 设有c 个〔c 表示连续基数集的并集,若每个集的基数都是c ,则其和集的基数也是c .2全体实数所成之集合R 是一个不可数集合实数包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数.通俗地认为,包含所有有理数和无理数的集合就是实数集.18世纪,微积分学在实数的基础上发展起来.但当时的实数集并没有精确的定义.直到1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义.定义是由四组公理为基础的：加法公理；乘法公理；序公理；完备公理；符合以上四组公理的任何一个集合都叫做实数集,实数集的元素就是实数.定理2.1 全体实数所成之集合R 是一个不可数集合.证法一用反证法证明.因为实数集合与()1,0是有一一对应的,故只需说明()1,0不可数就可以了.因为f ：()1,0→R 是双射函数,令S ={x |x ∈R <0<x <1>},若能证S 是不可数集,则R 也必为不可数集.假设S 是可数的,则S 必可表示为：S ＝{1S ,2S ,…},其中i S 是()1,0区间的任意实数.设i S ＝.....0321y y y ,其中i y ∈{}9,...,2,1,0,设.......011312111n a a a a S =,.......022322212n a a a a S =, .......033332313n a a a a S =,……………………其次,我们构造一个实数r =....0321b b b 使．，，，1121=≠⎩⎨⎧jj jj j a a b ,....2,1=j .这样,r 与所有实数,...,...,,21n S S S 不同,这证明了r ∉S ,与假设产生矛盾,因此S 是不可数的,即R 是不可数集.在第二种证明方法之前先来回顾一下闭区间套定义以及定理. 定义2.1 设有一闭区间列[]{},,n n b a 具有如下性质:<1>[][]；，，，...21,,11=⊃++n b a b a n n n n<2>()0lim =-∞→n n n a b则称这闭区间列[]{},,n n b a 为一个闭区间套,或简称区间套.定理2.2 若[]{}n n b a ,是一区间套,则存在唯一的，R ∈ξ使得∈ξ[n a ,]n b , ）（,...2,1=n ,即）（,...2,1=≤≤n b a n n ξ. 下面我们利用闭区间套定义和定理来证明实数集合是不可数集合. 证法二 用闭区间套定理证明. 假设[]1,0是可数集,则可设[]1,0={},...,...,,21n a a a记0I =[]1,0,在0I 作一闭区间1I ,使其长度|1I |<21且∈1a 1I ；然后又在1I 作一闭区间2I ,使得|2I |<221且2a ∈2I .一般说来,设已经作好了一个包含一个闭区间：0I ⊃1I ⊃…⊃n I ,|i I |<i21,i a ∈i I <n i ，，，...21=>, 取1+n I ⊂n I ,且满足|1+n I |<121+n ,1+n a ∈1+n I .根据归纳法,我们就得到了一个区间套：0I ⊃1I ⊃…⊃n I ⊃…,|n I |<n21,n a ∈n I <，，21=n …> 因为n 21→0 <∞→n >,所以由区间套定理,存在点∈ξn I <，，21=n …>.由于n a ∈n I ,故≠ξn a <，，21=n …>.但∈ξ0I ,因而ξ是[]1,0中的点,因此,[]1,0≠{},...,...,,21n a a a .这与假设矛盾,因此[]1,0是不可数集合.证法三利用Lebesgue 测度证明. 假设[]1,0可以排成一个序列：[]1,0={},...,...,,21n a a a .利用Lebesgue 测度知识,知[]()11,0=m .而实际上{}()0,...,...,,21=n a a a m .两者是矛盾的,所以[]1,0是不可数集. 证法四利用Baire 纲定理证明.把闭区间[]1,0看作完备度量空间1R <一维Euclid 空间的闭子集.由于完备空间的闭集本身构成完备的子空间,所以[]1,0是一完备子空间.一方面,由Baire 纲定理,我们知道任一完备空间是第二纲的,所以[]1,0是第二纲集；另一方面,由于单点集是[]1,0中的疏朗集.假若[]1,0是可数集,则它可表示为可数个疏朗集的并,从而为第一纲集.这便推出了矛盾.这样就证明了[]1,0是不可数集.证法五 利用单调有界法则证明. 假设[]1,0是可数集,令[]1,0={},...,...,,21n a a a .现构造递归数列如下：令01=X ,⎪⎩⎪⎨⎧+≥+<+=+，若，，若，n n n n n n n nn n X a X X a X X 323232121，=n ,…, 则｛Xn ｝显然是递增数列,且1X =0,Xn ≤1-n X +132-n ≤1223232---++n n n X ≤…≤++321X …+123232--+n n ≤1 ()...32，，=n 根据单调有界法则,[]10lim ，且∈=∞→X X X n n ,但X 不等于任一n a .假若不然,则有某个r a =X ,下面分两种情形讨论：<1>若r a <r X +r 32,则X =nn X 1sup ≥≥1+r X =r X +r32>r a ,这与X =r a 矛盾. <2>若r a ≥r X +r 32,则此时有1+r X =r X ,2+r X ≤1+r X +232+r =r X +132+r ,……………………………,≤…≤r X +++132r …+123232-+-++k r k r令∞→k ,两边取极限得：X =kr k X +∞→lim ≤r X +311321-+r =r X +r 31. 故 r a ≥r X +r32>r X +r 31≥X .这也与X =r a 矛盾.因此,不论哪种情形,总有X ≠n a <...21，，=n >.所以,[]1,0≠{},...,...,,21n a a a .这与假设矛盾,从而[]1,0是不可数集合. 3 其它几类常见的不可数集证明其它几类常见的不可数集合有：无理数集、康托尔集、可数集的幂集等等. 3.1 无理数集是一个不可数集合无理数集是由全体无理数所组成的集合.无理数,即非有理数之实数,不能写作两整数之比.若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环.常见的无理数有大多数平方根、π和e〔其中后两者同时为超越数等.无理数的另一特征是无限的连分数表达式.定理3.1 无理数集是一个不可数集合.按照箭头顺序可将 ∞=1i i A 排成:∞=1i i A ={},...,,,,,,14132231211211a a a a a a a因此, ∞=1i i A 是可数集.第三步,接着证明实数集是不可数集.关于这个证明本文在前面已经给出了很多种证明方法,在此就不赘述了,基本上都是用反证法,即先用一种排列来表示实数集,再由这种表示法推出一定有一个实数不能被这种排列所表示,由此推出矛盾.第四步,证明无理数集是不可数集.用反证法证明.假设无理数集是可数集,在第一步我们已经证出有理数集是可数集,那么实数集也应该是可数集<实数集等于有理数与无理数的并>.而第三步我们已经证出了实数集是不可数集,与假设矛盾.所以无理数集是不可数集.证毕.3.2 Cantor 集是一个不可数集合Cantor 集,又称三分集.是位于一条线段上的一些点的集合,具有许多显著和深刻的性质,常常是集合论中构造特例的基础.最常见的构造是康托尔三分点集,由不断地去掉一条线段的中间三分之一得出.著名的康托尔集是这样构成的：定义3.1 <1>设闭区间[]1,0R ⊂,将[]1,0三等分,并除去中间开区间1I =<31,32>.得两个闭区间1.1F =[0,31],2.1F =[32,1],区间长度为1L =31.<2>分别将闭区间1.1F ,2.1F 三等分,并出去中间两个开区间1.2I =<91,92>,2.2I =<97,98>.得到四个闭区间1.2F =[0,91]、2.2F =[92,31]、3.2F =[32,97]、4.2F =[98,1],区间长度为2L =231.<3>一般地,仿此继续下去,到第n 次,除去了12-n 个开区间,得到n 2个闭区间,n n n n F F F 2.2.1.,,, ,区间长度031n L =.我们得到集合列=n F 2.1.n n F F … n n F 2.< 21，=n >.作集合 ∞==1n n F C称集合C 为Cantor<三分>集. 定理3.2 Cantor 集合是不可数集.证明 如果一个集合E 与D 1—1对应,则E 是不可数的.其中D 是由两个数字重复排列而得到的序列,如0.110001110…构成的集合D =｛.021b b …n b …|i b =0或1,i =1,2,…｝不可数.我们对于[]1,0上的点,用三进位表示法来表示.构建Cantor 集合时,每次都把区间[]1,0三等分,并且除去了中间的开区间,三进位表示方法为：[]1,0上的点,每一次三等分后,依据它在三个区间的位置,对应位数依次记为0,1,2,如下图所示：0 A B C 1第一次三等分0.0 0.1 0.2第二次三等分0.00 0.01 0.02 0.20 0.21 0.22 第三次三等分0.0000.0010.002 0.0200.0210.022 0.200 0.201 0.202 0.220 0.221 0.222……………………………………………………………………… 由上述图示可知,Cantor 集合中的点三进位表示法中仅出现数字0和2,不含数字1,即C x ∈∀<Cantor 集合>,则x 可以表示为：20.021或，==i n a a a a x ,< ，，21=i >得=C ｛20|.021或，=i n a a a a ,< ，，21=i >｝与D 1—1对应.所以,Cantor 集合是不可数集. 3.3 可数集的幂集是一个不可数集合证明 令N 为全体正整数所成的集合.分别记N 的所有子集,所有有限子集,所有无限子集所成的集族为A ,0A 和∞A ,则A =0A ∞A ,0A ∞A 为空集.对于任意的B ∈∞A ,令()∑∈=B k kB 21ϕ,那么ϕ是一个从∞A 到(]1,0上的一对一的对应.故c A =∞.另一方面,可证a A =0.因此c A =,即c a =2.即可数集的幂集是不可数集. 4 总结与应用本文对几类常见的不可数集合证明做出了总结和归纳.其中在证明实数集是不可数集时用了很多种方法,并多次利用反证法证明,在用反证法证明的过程中,做了假设之后,经过推理出现了矛盾,应该的做法是：① 如果推理完全正确,推翻假设是应该的.② 如果推理本身有误,必先纠错而不是简单地推翻假设.不可数集合在数学领域上有着重要的地位,其中康托尔集合在现代的物理科学的研究领域上,也有着它特殊的贡献.参考文献：[1] 薛昌兴等.实变函数与泛函分析[M].高等教育,2004. [2] 熊金城.点集拓扑讲义〔第三版[M].高等教育,2003. [3] 左亚丽.民族师专学报[J].民族师专,2007.[4] 奠宙等.实变函数与泛函分析基础[M].高等教育,2003..[5] 夏道行等.实变函数论与泛函分析[M].高等教育,1985.[6] 江泽坚等. 实变函数论[M].人民教育,1961.[7] W·卢丁著.慈庚等译.教学分析原理[M].人民教育,1979.[8] 温邦彦.什么是康托的不可列集合[J].工学院学报,2009.[9] 熊国敏.谈谈Cantor集合[J].师专学报,2002.[10]胡世耕.实变函数[M].高等教育,1999.THE PROVE OF SEVERAL COMMON UNCOUNTABLECOLLECTIONLI Yu-huiAbstract:This paper firstly introduces the background of realvariable funktion theory ,origi n and the role in mathematic,and by realvariable funktion raises its most basic denumerable set an d uncountable collection.The main contents of this,several common uncountable collection metho ds of proof.Text first given the definitions and theorems for collection,several common uncountabl e collection,and the number of several common methods of proof shall set,one of the most commo n is not real number of four sets are proved.This makes us in understanding uncountable set meani ng,On the basis of the theorem,skilled use them to solve the relevant proof of several sets,And ho w to use various methods to demonstrate a set number for not set.Key words:Countable collection;uncountable collection;Irrational collection;Real collection;Cantor's collection11 / 11。

康托尔集合论TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-（1）0P 是一个闭集，不含有任何区间。

这是显然的，0G 是任意个开集的并，所以0G 仍是开集，0P 是0G 的补集，所以0P 是闭集。

这表明不含有任何区间的闭集是存在的。

（2）0P 是完全集证明：要证0P 是完全集即证它不含有孤立点。

假设0P 有一孤立点0x ，则存在（α，β）使（α，β）中不含0P 中除0x 以外的任一点。

所以（α，0x ）⊂0G ，（0x ，β）⊂0G 。

于是0x 将成为0G 的某两个区间的公共端点，但由于0G 的做法是不可能的。

所以不存在这样的点0x ，与假设矛盾，所以得证0P 是完全集。

（3）0P 是不可列的证明：假设0P 是可列的，将0P 中点编号成点列1x ，2x ，…，k x …，也就是说，0P 中任一点必在上述点列中出现。

显然，10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦与2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦中应有一个不含有1x ，用1I 表示这个闭区间。

将1I 三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含2x ，用2I 表示它。

然后用3I 表示三等分2I 时不含3x 的左或右的那个闭区间，如此等等。

这样，根据归纳法，得到一个闭区间列N k k I ∈}{。

由所述取法知，1I ⊃2I ⊃…⊃k I ⊃…，k x k I ，k ∈N ， 同时，易见k I 的长为13k →0（k →∞）。

于是根据数学分析中区间套定理，存在点k I ，k N 。

可是是k I 等的端点集的聚点，从而是闭集0P 的聚点，故0P 。

由于上面已指出k x k I ，k ∈N ，故k x ，k N 。

这是一个矛盾。

故0P 不可列。

（4）0P 的势等于与0,1同势证明：引进0,1中小数的三进表示来考察区间（13，23）中每个点x 可表示成x=2x 3x …，其中2x ，3x ，…是0，1，2三个数字中之一。

这区间的两个端点均有两种表示，规定采用（不出现数字1）：13=…，23=…，区间（213，223），（273，283）中的点x 可表示成x=3x 4x …或x=3x 4x …，其中3x ，4x ，…是0，1，2中任一数字。

2023届浙江省绍兴市上虞区高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2log 1A xy x ==+∣，{}2log 1B y y x ==+∣，则A B =（ ） A ．()0,∞+ B ．()1,+∞C ．∅D ．R【答案】A【分析】集合A 与集合B 分别为函数2log 1y x =+的定义域和值域，求出集合A 与集合B 再求其交集即可.【详解】由已知，集合A 与集合B 分别为函数2log 1y x =+的定义域和值域， 求得2log 1y x =+定义域为()0,∞+，值域为R ， ∴()0,A =+∞，(),B =-∞+∞， ∴()0,A B =+∞. 故选：A. 2．设复数1i1i-=+z （i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2 BC D ．1【答案】D【分析】根据复数计算规则计算即可. 【详解】()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以1z =； 故选：D3．“2r ≥”是“圆2221:(0)C x y r r +=>与圆222:(3)1C x y -+=有公切线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由圆的方程可得两圆圆心和半径，由两圆有公切线时圆心距和两圆半径之间的关系可确定结果．【详解】由已知有，圆2221:(0)C x y r r +=>的圆心为()0,0，半径为r ，圆222:(3)1C x y -+=的圆心为()3,0，半径为1，两圆圆心距3d =，当两圆有公切线时，两圆的位置关系为：内切、相交、外切和相离， 此时两圆的半径与圆心之间的距离满足1d r ≥-， 即31r ≥-，又0r >，故解得04r <≤，当04r <≤时，两圆的位置关系可能为：内切、相交、外切和相离，此时两圆有公切线，所以圆2221:(0)C x y r r +=>与圆222:(3)1C x y -+=有公切线的充要条件为04r <≤，所以“2r ≥”是“两圆有公切线”的既不充分也不必要条件， 故选：D ．4．康托尔三分集是一种重要的自相似分形集.具体操作如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作，，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集，记为P .若使留下的各区间长度之和不超过110，则至少需要操作（ ）次（参考数据：lg20.3010,lg30.4771≈≈） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】根据条件得到规律：第n 次操作去掉的线段长度之和为12133n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，然后利用等比数列的求和公式可得留下的各区间长度之和，然后解不等式可得答案. 【详解】第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为2133⨯，第三次操作去掉的线段长度之和为221333⨯⨯，……第n 次操作去掉的线段长度之和为12133n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭， 所以留下的各区间长度之和为11213312121211233333313nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⨯--⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以21310n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2311log 5.710lg3lg2n ≥=≈-； 故选：C. 5．已知向量()()3,1,1,3,a b c ta b ==-=+，若c 在a 方向上的投影向量模长为1，则实数t 的值为（ ） A ．1± B ．12±C ．1-D ．12-【答案】B【分析】先求出c 的坐标，再求出,||ca a ⋅，即得解. 【详解】解：由题得()(3,11,1c tt =++，，所以223(31)34,||312c a t t t a ⋅=++-==+=，所以c 在a 方向上的投影向量模长为21c a t a ⋅==，解得12t =±. 故选：B6．若椭圆2222:1(0)x y C ab a b+=>>的左焦点F关于y =对称的点P在椭圆C 上，则椭圆的离心率为（ ） AB C1 D 1【答案】C【分析】设(),0F c -，由题意求出2c P ⎛ ⎝⎭，代入椭圆C 的方程得，222234c ca b +=，化简即可得出答案.【详解】设(),0F c -，设(),P x y ，则由题意可得：(122yx cy x c ⎧⋅=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪⎩，解得：2c x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2c P ⎛⎝⎭，代入椭圆C 的方程得，222234c c ab +=.又222c a b =-，可得223b a =，所以222214c b a a=-=-1.故选：C. 7．已知0.0110011,e ,1tan 99249a b c ===+，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b<c<a D ．b a c <<【答案】D【分析】构造函数1()ln 1f x x x=+-讨论单调性和最值可比较得a b >，再构造函数()tan =-g x x x 可比较得c a >.【详解】设221111()ln 1,()x f x x f x xxx x-'=+-=-=， 令()0f x '>解得1x >，令()0f x '<解得01x <<， 所以()f x 在(0,1)单调递减，()1,+∞单调递增，所以()(1)0f x f ≥=，即1ln 1x x≥-，当且仅当1x =时取等， 所以10099ln10.0199100>-=，所以0.01100e 99>，即a b >. 设2222πcos sin 0,,()1tan 02cos ()tan ,x x x g x g x x x x x +⎪=-⎛⎫'∈=-=> ⎝⎭， 所以()tan (0)0g x x x g =->=， 即当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，所以11111001tan124924999c a =+>+⨯>=， 综上所述，b a c <<， 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用导数与最值之间的关系证明不等式1ln 1x x≥-和当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，根据不等式赋值即可比较大小. 8．在四棱锥E ABCD -中，正方形ABCD 所在平面与EAB 所在平面相互垂直，,AE BE F ⊥为EC 上一点，且,BF EC O ⊥为正方形ABCD 的中心，四棱锥E ABCD -体积的最大值为43，则三棱锥O BCF -的外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】B【分析】根据题意，由四棱锥体积的最大值可得正方形ABCD 的边长，然后可得BC 是三棱锥O BCF -的外接球的一条直径，再结合球的表面积公式即可得到结果.【详解】设AB a ，则点E 到直线AB 的距离的最大值为2a ，即点E 到平面ABCD 距离的最大值为2a .因为四棱锥E ABCD -体积的最大值为43，所以241332aa =⨯⨯，得2a =.因为,BF EC BO OC ⊥⊥，所以BC 是三棱锥O BCF -的外接球的一条直径， 故三棱锥O BCF -的外接球半径为1，其表面积为4π. 故选:B.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若事件,M N 互斥，()()11,23P M P N ==，则()56P M N ⋃=B ．若事件,M N 相互独立，()()11,23P M P N ==，则()23P M N ⋃=C ．若133(),(),()248P M P M N P M N ===∣∣，则()13P N = D ．若133(),(),()248P M P M N P M N ===∣∣，则()14P N M =∣ 【答案】ABC【分析】根据互斥事件的概率加法公式判断A ；根据独立事件的乘法公式判断B ；根据条件概率以及全概率公式可判断C,D .【详解】对于A ：()()()56P M N P M P N ⋃=+=，正确； 对于B ：()()()()1111223233P MN P M P N P MN =+-=+-⨯=，正确； 对于C ：()3()1()()()3(),()()4()1()8P MN P MN P M P N P MN P MN P M N P N P N P N --+=====-∣∣，31()()()()(),()()44P N P MN P MN P MN P N P MN P N =+=+∴=，所以()()()()113418P M P N P N P N --+=-，解得()1,3P N =C 正确； 对于D ：由C 得()()()11143162P MN P NM P M ⨯===∣，D 错误， 故选：ABC.10．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声.设噪声声波曲线函数为()y f x =，降噪声波曲线函数为()y g x =，已知某噪声的声波曲线()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()()f x g x =-B ．()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()y g x =的单调减区间为π3ππ,π64k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）D ．()y f x =图像可以由()y g x =图像向右平移π个单位得到 【答案】AB【分析】由图象求出()f x 解析式，依据题意得出()g x 解析式，对各选项逐个辨析即可. 【详解】对于A ，由已知，()()()()sin sin g x A x A x f x ωϕωϕ=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦， ∴()()f x g x =-，故选项A 正确； 对于B ，∵0ω>，∴由图象知，12π11π5π221212T ω=⨯=-，∴2ω=， 又∵sin 205π5π1212f A ϕ⎛⎛⎪⎫⨯+= ⎪⎝=⎝⎭⎫ ⎭，且5π12x =在()f x 的单调递减区间上，∴5π5πππ22126k ϕϕ⨯=+=++，（k ∈Z ），∵π2ϕ<，∴π6ϕ=，又∵()sin1π06A f ==，∴2A =， ∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选项B 正确；对于C ，()ππ2sin 22sin 266g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎝⎭，由πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，（k ∈Z ），解得ππππ36k x k -+≤≤+，（k ∈Z ），∴()y g x =的单调减区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ），故选项C 错误；对于D ，()y g x =图像向右平移π个单位得到：()()()ππππ2sin 2π2sin 22π2sin 2666y g x x x f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--+=-+-=-+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，故选项D 错误. 故选：AB.11．已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线2:C y x =上不同于原点O 的两点，点F 是抛物线C 的焦点，下列说法正确的是（ ）A ．点F 的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1212AB x x =++C ．若OA OB ⊥，则直线AB 经过定点()1,0D ．若点()2,1,P PA PB -､为抛物线C 的两条切线，则直线AB 的方程为220x y --= 【答案】CD【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标可判断A ，根据焦点弦的性质可判断B ，根据垂直关系得121y y =-，由两点坐标求解直线方程即可判断C,根据切线方程求出切点坐标，进而根据两点求解直线方程即可求解D.【详解】因为拋物线2:C y x =，故F 的坐标为1,0,4⎛⎫⎪⎝⎭故A 错误；由于直线AB 不一定过焦点，所以AB 不是经过焦点的弦长，故B 错误； 若OA OB ⊥，故()2121212120x x y y y y y y +=+=，即121y y =-或120y y =（舍去）， 因为直线()121112:x x y y AB y x x y -=-+-，即()212122*********1y y y y y x y y x y y y y y y ---=+++=+，得()1211y x y y =-+，故直线AB 经过定点()1,0,C 正确； 点设过()2,1P -的切线方程为()12x m y =--，联立()221220x m y y my m y x⎧=--⇒-++=⎨=⎩ ，所以2480m m ∆=--=，故2m =+或2m =-2m y =， 故切线,PA PB的斜率分别为12m =+和22m =-，故121222m m y y ++==， 121224m m y y ==-， 可得直线()21212111212122211:12y y y y AB y x y y x x y y y y y y =-+=+=-+--+，即220x y --=，故D 正确； 故选:CD.12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为()()()R,112,f x f x f x ++-=为奇函数且0x >时0f x，则（ ）A ．()f x '为偶函数B ．()()8f x f x +=C ．当Z x ∈时，()f x x =D ．存在实数M ，使得()f x x M -≤【答案】ACD【分析】由题意可得()()f x f x -=-，求导后可得()()f x f x ''-=，判断A ；由题意设设()()g x f x x =-，可推得()()20g x g x +-=，结合题意推出()()2g x g x +=，可得()()88f x f x +=+，判断B ；结合()()g x f x x =-的性质采用赋值法推得当Z x ∈时，()0g x =，即()f x x =，判断C ；利用()f x 的单调性，结合()()g x f x x =-的性质推出()R,1x g x ∀∈≤，可判断D. 【详解】对于A ，()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，求导得()()()1f x f x '-=-'-⋅， 即()()f x f x ''-=，所以()f x '为偶函数，故A 正确；对于B ，设()()g x f x x =-，因为()f x 为奇函数，所以()g x 也是奇函数；()()()()112,1111f x f x f x f x x x ++-=∴++-=++-，()()()()11110f x x f x x ∴+-++---=，即()()110g x g x ++-=，所以()g x 关于()1,0对称，即()()20g x g x +-=，又()g x 关于()0,0对称，即()()g x g x -=-， 故()()2g x g x -=-，即()()2g x g x +=，所以()g x 的周期为2，故()()()()()()()8,88,88g x g x f x x f x x f x f x +=∴+-+=-∴+=+，故B 不正确；对于C ，因为()g x 是奇函数，所以()00g =，令0x =，则()()()()()110,110,10g x g x g g g ++-=∴+=∴=，又()g x 的周期为2， 所以当x 为奇数时，()()10g x g ==；当x 为偶数时，()()00g x g ==， 故当Z x ∈时，()0g x =，即()f x x =，故C 正确； 对于D ，由0x >时0fx，可知()f x 单调递增，且由C 选项知()()()00,11,22f f f ===，所以当01x ≤≤时，()01f x ≤≤， 所以()()11g x f x x -≤=-≤，同理，当12x ≤≤时，()12f x ≤≤，所以()()11g x f x x -≤=-≤， 所以02x ≤≤时，()1g x ≤，根据()g x 的周期为2知，()R,1x g x ∀∈≤， 故存在1M =，使得()f x x M -≤，故D 正确； 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：B,C,D 选项的判断比较困难，因此要根据函数性质结合函数结构特点设出()()g x f x x =-，结合()f x 的性质，判断出函数()g x 的性质，特别困难的是判断D 选项，要结合()f x 的单调性以及函数值情况推出()R,1xg x ∀∈≤，继而解决问题.三、填空题13．已知tanα＝3，π＜α32＜π，则cosα﹣sinα＝_____．【分析】根据tan 3α=，求cos ,sin αα的值，由此求得cos sin αα-的值.【详解】∵tanα＝3，π＜α32＜π，∴cosα=sinα==则cosα﹣sinα==【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.14．若展开式312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为__________. 【答案】7【分析】由展开式中只有第5项最大，得8n =，写出展开式的通项，求常数项. 【详解】由题意8n =，所以展开式第1r +项为8483318811C ()C 22r rrrrr r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令8403r -=，得2r =，故常数项为2281C 72⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.故答案为：7.15．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ､分别是棱AB AD ､的中点，过1C 、M 、N 的平面α把正方体截成两部分体积分别为()1212,V V V V ≥，则12V V =__________. 【答案】4725【分析】根据平面的基本性质画出过,,D E F 的截面，再利用柱体、锥体的体积公式求12,V V ，即可得结果.【详解】延长MN 交CD 的延长线与点O ，连接1C O 交1DD 于点E ，连接EN ： 延长NM 交CB 的延长线与点P ，连接1C P 交1BB 于点F ，连接FM ： 所以过1C 、M 、N 的截面为1C ENMF ，如下图所示：设正方体的棱长为2a ，由PBM NAM NDO ≅≅， M N ､分别是棱AB 、AD 的中点， 所以BP BM AM AN DN OD a ======， 所以3OC a =，3PC a =，则过1C 、M 、N 的截面下方几何体的体积为1321111112252323233323239C CPEDMa V SOC S OD a a a a a a =⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以另一部分体积为33312547899V a a a =-=，则124725VV =. 故答案为：4725. 16．设0a >，若函数()2e 0x f x a =+-恒成立，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】(]0,4【分析】t =结合()()21gx x x =-在()1,+∞的单调性得e x≥进一步结合基本不等式得2≥a 的取值范围.【详解】由0a >，函数()2e 0xf x a =+-≥恒成立得：2e 1xa+≥t =（显然1t ≥，否则不等式自然成立），于是得到：()22e 1e 1x xa t t a⎧-=⎪⎨≥-⎪⎩ 两式相乘：()()22e 1e 1x x t t -≥-.令()()21g x x x =-，()2230g x x x '->=在()1,+∞恒成立，故()g x 在()1,+∞单调递增，则e x t ≥，从而ex≥=由0a >0x≥≥2≥，即ln 2x =时取等，则2≥04a <≤. 故答案为：(]0,4a ∈.四、解答题17．在①2sin tan a B b A =，②222c a bc b -=-.1cos A A =+这三个条件中任选一个，填在以下的横线中，并完成解答.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且__________.(1)求角A 的大小；(2)若1AB AC ⋅=，点D 满足3BD DC =，求线段AD 长的最小值. 【答案】(1)π3A =【分析】（1）选择①利用正弦定理化边为角可求答案，选择②利用余弦定理可得答案，选择③利用恒等变换可求答案；（2）利用向量的运算表示AD ，结合数量积运算和基本不等式求解. 【详解】（1）选择①：由2sin tan a B b A =得，sin 2sin sin sin cos AA B B A=⋅， 因为三角形中sin sin 0A B ≠，所以1cos 2A =，故π3A =.选择②：由222c a bc b -=-可知2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，故π3A =.选择③1cos A A =+得2cos 2cos 222A A A=，显然cos 02A ≠，cos22A A =，即tan 2A =π3A =.（2）因为1AB AC ⋅=，故2bc =. 又因为3BD DC =，则1344AD AB AC =+，于是222111(3)96444AD AB AC AB AC AB AC c =+=++⋅=由2bc =得324AD ≥3c b =，即b c ==.故线段AD . 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21123222121n nn a a a a n -+++⋯+=-⋅+.(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)设n A 为为数列2n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求大于2023A 的最小的整数k .【答案】(1)n a n =； (2)2k =.【分析】(1)根据题意得出当2n ≥时，()2211231222221n n n a a a a n ---+++⋯+=-⋅+，两式作差可得n a n =，验证1n =时是否成立，即可求解；(2)结合(1)得出22n n n a a n =，利用错位相减法得出222n n n A +=-，再结合202320232025222A =-<，进而求解. 【详解】（1）()21123222121n nn a a a a n -+++⋯+=-⋅+ ① 2n ∴≥时，()2211231222221n n n a a a a n ---+++⋯+=-⋅+ ②①-②得1122n n n a n --=⋅，n a n ∴=，当1n =时，11a =，满足上式， 故n a n =； （2）由（1）得：22n nn a a n =， 31231212312322222222n n n a a a a na a a a nA ∴=+++⋯+=+++⋯+ ③， 两边同乘以12得：2341112322222n n nA +=+++⋯+ ④ ③-④得：231111111111221222222212nn n n n n n A ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++⋯+-=-- 111211222nn n n n +++=--=- 222n nn A +∴=-，202320232025222A ∴=-<，2k ∴=. 19．从某学校获取了容量为200的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：(1)依据0.05α=的独立性检验能否认为数学成绩与语文成绩有关联？(2)从200个样本中任取3个，记这3人中语文数学成绩至少一门优秀的人数为X ，求X 的分布列与期望. 附：参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1)认为数学成绩与语文成绩有关联. (2)分布列见解析，95【分析】（1）计算出2χ，比较临界值可得；（2）确定X 的取值可能为0,1,2,3，求出语文数学成绩至少一门优秀的概率P ，然后由独立重复试验的概率公式计算概率得分布列，再由期望公式计算期望． 【详解】（1）根据表格计算可得：220.05200(80404040) 5.556 3.8411208012080x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯所以依据0.05α=的独立性检验，即认为数学成绩与语文成绩有关联； （2）语文数学成绩至少一门优秀的概率为80312005P =-=， 因为X 的取值可能为0,1,2,3，()()3201332832360C ,1C 512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()23233332543272C ,3C 551255125P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为：于是，()8365427901231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．在四棱锥P ABCD -中，,1,2,CD AB AD DC CB AB AC PB ====⊥∥(1)证明：平面PAC ⊥平面PBC ；(2)若,3PB BC PB ⊥=PD 与平面PAC 所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 2【分析】（1）根据已知条件及等腰梯形的性质，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）解法1：由平面几何知识可知:1:2DO BO =，利用平面PAC ⊥平面PBC 的性质可求点B 到面PAC 的距离，从而可求点D 到面PAC 的距离，再根据直线与平面所成角的定义即可求解；解法2：根据（1）的结论及已知条件，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线PD 的方向向量及平面PAC 的法向量，利用向量的夹角公式即可求解． 【详解】（1）在平面四边形ABCD 中， ∵,1,2CD AB AD DC CB AB ====∥， ∴四边形ABCD 是等腰梯形过点C 作CE AB ⊥于E ,因为四边形ABCD 是等腰梯形，所以13,22BE AE ==,22221312CE BC BE ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 222233232AC AE CE ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥， 又,AC PB BCPB B ⊥=，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC ，又AC ⊂平面PAC ， 所以，平面PAC ⊥平面PBC .（2）解法1：连接BD 交AC 于O ，因为AC PB ⊥且BC PB ⊥，AC BC C =，AC BC ⊂，平面ABCD ，所以PB ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PB BD ⊥，由平面几何知识可知，3BD =，故6PD =， 同理可知:1:2DO BO =，由（1）知，平面PAC ⊥平面PBC ，过点B 作BH PC ⊥交PC 于点H ， 由面面垂直性质知BH ⊥面PAC ，且32BH =， 因为:1:2DO BO =，且BD 与平面PAC 相交于点O ，所以D 到平面PAC 的距离与B 到平面PAC 的距离之比也是1:2， 所以点D 到平面PAC 的距离为34， 设直线PD 与平面PAC 所成的角为θ，则324sin 86θ==，即直线PD 与平面PAC 所成的角的正弦值为28．（2）解法2：以C 为原点，,CA CB 分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系， 则)()3,0,0,0,1,0AB因为AC ⊥平面,PBC PB BC ⊥，可设(3P ，则()3,0,0CA =，()3133,0,0,1,3,3222D CP DP ⎫⎛-==-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ 设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，则3030CA n x CP n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3y =()0,3,1n =-. 设直线PD 与平面PAC 所成的角为θ， 则33322sin |cos ,|826DP n θ-===. 即直线PD 与平面PAC 2．21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点. 【答案】(1)2213y x -= (2)证明见解析【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得3b =,,a b c 的关系即可求解，（2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，根据两点坐标求解直线MB 的方程，即可求解过定点. 【详解】（1）由题意，设右焦点F 的坐标为(),0c ， 双曲线C 的渐近线方程为：0bx ay ±=， 右焦点F 22bcb ca b ==+，可得3b = 又因为2222,ce a b c a==+=，解得1,2a c ==， 故双曲线C 的标准方程为2213y x -=. （2）当直线AB 的斜率不为0时，设()()1122,,,,:2AB A x y B x y l x my =+，则11,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭联立方程组22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得223(2)3my y +-=整理得：()22311290m y my -++=.()()222Δ1243190310m m m ⎧=-⨯-⨯>⎪∴⎨-≠⎪⎩，且121222129,3131m y y y y m m +=-⋅=-- 121212493y y m m y y +∴=-=-，121234y y y y m ==-+,21121:122MB y y l y y x x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-，令0y =得，21121122y y y x x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭- 221211121212113312222x my my y y x y y y y y y y y -+--∴-=-⋅=-⋅=--- ()121212121333335424444m y y y y y m x y y y y ⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭===∴=--， ∴直线MB 过定点5,04D ⎛⎫⎪⎝⎭.当直线AB 的斜率为0时，此时直线AB :0y =，此时,M B 均在x 轴上，故直线MB 过定点5,04D ⎛⎫⎪⎝⎭.综上：直线MB 过定点5,04D ⎛⎫⎪⎝⎭.22．已知函数()()ln 1f x x x x λ=--. (1)当1x ≥时，()0f x ≥，求λ的取值范围；(2)函数()()()21g x f x x x λλ=-+-有两个不同的极值点12,x x （其中12x x <），证明：12ln 3ln 4x x +>；(3)求证：()*1111ln21232n n n n n+++⋯+<∈+++N . 【答案】(1)(],1-∞ (2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）由()10f =，利用导数研究函数单调性，转化为当1x ≥，()0f x '≥恒成立问题；（2）函数()g x 极值点12,x x ，是()g x '的两个零点，要证12ln 3ln 4x x +>，等价于证12112241ln 3x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，通过换元，构造函数，利用导数研究单调性可证. （3）由（1）可知1ln x x x ->，11x n =+则有()1ln 1ln 1n n n <+-+，类似于数列求和的裂项相消法可证.【详解】（1）函数()()ln 1f x x x x λ=--，()ln 1f x x λ'=+-，且()10f =，①当1λ≤时，因为1x ≥，故()0f x '≥恒成立，此时()f x 单调递增，所以()0f x ≥成立； ②当1λ>时，令()ln 10f x x λ+'=-=，得1e x λ-=，当)11,ex λ-⎡∈⎣时()0f x '≤，此时()f x 单调递减，故()()10f x f ≤=，不满足题意； 综上可知：1λ≤. 即λ的取值范围为(],1-∞.（2）由()()()221ln g x f x x x x x x x λλλλ=-+-=-+-，故()ln 121ln 2g x x x x x λλ-='=+--，因为函数有两个不同的极值点12,x x （其中12x x <），故1122ln 2,ln 2x x x x λλ==. 要证：12ln 3ln 4x x +>，只要证：()1212124ln 3ln 2623x x x x x x λλλ<+=+=+. 因为120x x <<，于是只要证明12423x x λ>+即可.因为1122ln 2,ln 2x x x x λλ==，故1212ln ln 2x x x x λ-=-，因此只要证121212ln ln 43x x x x x x ->-+，等价于证()1212124ln 3x x x x x x -<+， 即证12112241ln 3x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，令12(01)x t t x =<<，等价于证明()41ln 3t t t -<+，令()()()()()22224119116109ln (01),3(3)(3)(3)t t t t t t t t t t t t t t t t ϕϕ----+'=-<<=-==++++，因为01t <<，所以()0t ϕ'>，故()t ϕ在()0,1上单调递增，所以()()10t ϕϕ<=，得证. （3）由（1）可知当1x >时，()()ln 10f x x x x =-->，故1ln x x x->， 令11x n =+，所以111ln 111n n n n n⎛⎫+>= ⎪++⎝⎭，所以()1ln 1ln 1n n n <+-+， ()][()()][()()1111ln 1ln ln 2ln 1ln 2ln 211232n n n n n n n n n n ⎡⎤+++⋯+<+-++-+++--⎣⎦+++ln2ln ln2n n =-=， 所以1111ln21232n n n n+++⋯+<+++.【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。