求函数的极限例题

求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。

在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。

本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。

2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。

根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。

利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。

3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。

当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。

要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。

4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。

利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。

要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。

5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。

洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。

通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。

6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。

当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。

通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。

7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。

通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。

对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。

n dAl l th i nb ea rgo1．求下列极限：(1) 解：原式===22221lim(1)n n n n →∞++-2221lim 21n n n n n →∞++-+22112lim 211n n n n n→∞++-+(2) 解：原式==(3) 解：原式20lim(1)x x x →+12lim[(1)]x x x →+2e 3x →==(4) 解：原式=3x →x →141lim (1)xx x e →∞-=1(5) 求.解：原式=1(1)lim1xx e x→∞-0x ≠当当当lim cos cos cos 242nn x x x→∞==cos cos (2cos sin )2422lim2sin 2n n n n x x x x x →∞ 1cos sin22lim 2sin 2n n nx xx →∞-sin lim 2sin 2n nn x x →∞ ==(6) 解：原式==sin 2lim()sin 2n n nx x x x →∞A sin x x limx lim x (7) limx lim x 22212lim(12n nn n n n n n n→∞+++++++++ 解：令 2221212n ny n n n n n n n =+++++++++ 因 2222(1)(1)12122211n n n n n n ny n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++ 而，，2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++2(1)12lim 12n n n n n →∞+=++故222121lim(122n n n n n n n n n →∞+++=++++++ (8)解：原式=n →∞Al th ng i nt hi n g2n n →∞→∞==1.3 函数的极限 作业1.根据函数极限的定义,验证下列极限:(1) 解: ,要使, 即,31lim0x x→∞=0ε∀>3311|0|||x x ε-=<||x >只要取,则当时,恒有 , 所以. X =||x X >31|0|xε-<31lim0x x→∞=(2) 解: ,要使,2x →=0ε∀>|4||2|2x ε-=<<还要使，即，或，只要取,0x ≥44x -≥-|4|4x -<min{2,4}δε=则当时,恒有 , 所以. 0|4|x δ<-<|2|ε-<42x →=2.求下列数列极限:(1) 22212lim(12n nn n n n n n n→∞+++++++++ 解：令2221212n ny n n n n n n n =+++++++++ 因 2222(1)(1)12122211n n n n n n ny n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++ 而，，2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++2(1)12lim 12n n n n n →∞+=++故222121lim(122n n n n n n n n n →∞+++=++++++ (2)解：原式=n →∞2n n →∞→∞==3．求下列函数极限：(1) 解：原式=-9(2) 解：原式==4225lim 3x x x →+-224lim 2x x x →--2lim(2)x x →+a re (3)解：原式=1x→11x x →→==(4) 解：原式=x →∞x =(5) 解：原式=2(21)(32)lim (21)x x x x →∞--+226723lim 4412x x x x x →∞-+=++(6) 解：原式=2121lim()11x x x →---211(1)11lim lim 112x x x x x →→---==--+4.设，分别讨论在，和23 2 0() 1 01 1 x>11x x f x x x x ⎧⎪+≤⎪=+<≤⎨⎪⎪-⎩()f x 0x →1x →时的极限是否存在.2x →解：，，故不存在.0lim ()2x f x -→=0lim ()1x f x +→=0lim ()x f x →，趋向无穷大，故不存在.1lim ()2x f x -→=1lim ()x f x +→1lim ()x f x →，，故.2lim ()1x f x -→=2lim ()1x f x +→=2lim ()1x f x →=1.43．求下列函数极限：(1) =-9(3) ==4225lim 3x x x →+-224lim 2x x x →--2lim(2)x x →+1x →1x x →→==(7) 00h h h →→→===(9) =x →∞x =ngsin(11) =2(21)(32)lim(21)xx xx→∞--+226723lim4412xx xx x→∞-+=++(13) lim lim0x x==(15) =2121lim(11x x x→---211(1)11lim lim112x xxx x→→---==--+2. 设，分别讨论在，时的左右1100()01112xxxf xx xx-⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪<<⎪≤<⎪⎩()f x0x→1x→极限，并说明这两点的极限是否存在.解：，，故001lim()lim11x xf xx--→→-==-00lim()lim0x xf x x++→→==00lim()lim()x xf x f x-+→→≠不存在.，lim()xf x→11lim()lim1x xf x x--→→==11lim()lim11x xf x++→→==.11lim()lim()x xf x f x-+→→=1lim()1xf x→=1.51．求下列极限：(1)00sin3sin3lim lim333x xx xx x→→=⋅=00tan333(3)lim limsin444x xx xx x→→==2220002sin22(5)24()2x x xxxxxx→→→⋅===注:在，.0(0,)Uδ2sin02x≥220002(5)4x x xxx→→→===Al ng snt he (7) 解: 原式=0x →0x →=202sin sin lim sin 2x x x x x x→→+==42021sin sin lim2()2x x x xx →+220sin sin 2lim ()x x x x x →=+注意: 代数和中的一部分不能用无穷小替换.错 原式=0x →0→ (8)1sin cos lim1sin cos x x xx xββ→+-+-解: 原式==2022sin cos 2sin 222lim2sin cos 2sin 222x x x x x x x βββ→++0sin (cos sin )222lim sin (cos sin )222x x x x x x x βββ→++===00sin cos sin 222limlim sin cos sin222x x x x x x x x βββ→→++A 02lim 12x x x β→A 1β注意: 代数和的一部分不能用无穷小替换.错 =01sin cos lim 1sin cos x x x x x ββ→+-+-202112lim 12x x xx x βββ→+=+33333(9)lim(1)lim[(1)]xx x x e x x →∞→∞+=+=244424(11)lim(lim[(1]22x x x x x e x x +---→∞→∞--=+=++113330(13)lim(13)lim[(13)]xx x x x x e →→+=+=4. 当时，下列函数中哪些是的高阶无穷小，哪些是的同阶0x →x x无穷小，哪些是的低阶无穷小？x32(1)1000x x+322001000lim lim(1000)0x xx xx xx→→+=+=解：因为321000()x x o x+=所以3(2)2sin x32002sin sinlim lim2sin0x xx xxx x→→=⋅=解：因为3sin()x o x=所以(3) 解:ln(1)x+100ln(1)lim lim ln(1)1xx xxxx→→+=+=因为ln(1)~x x+所以(4) 解: ，1cos x-20002sin sin1cos22lim lim lim(sin)022x x xx xx xxx x→→→-===A因为1cos()x o x-=所以(5) 解: 因为==2，故是的同sinx x+sinlimxx xx→+sinlim(1xxx→+sinx x+x阶无穷小.解: 因为==，x→131233sin11lim[()cosxxxx x→A A∞的低阶无穷小.或：因为=xx→0x→是的低阶无穷小.x→x思考题：1．==9=911331lim(39)lim9(13xxx x x xxx x→+∞→+∞+=+A A1331lim9[(1]3x xxxx→+∞+A0e2．，因为当时，.arccotlimxxx→=∞0x→arccot2xπ→习题2.2 1．求下列函数的导数：解：2(1)cosy x x=+'sin2y x x=-+(3) 解：（注：）sin cosy x x e=++'cos1y x=+(cos)'0e=(5) 解2cos2xy='2cos(cos)'22x xy=A==2cos(sin)('222x x x-A A2cos(sin)22x x-cos sin22x x-A解：(7)sin3y x='3cos3y x=解：2(9)sin(1)y x x=++2'(21)cos(1)y x x x=+++解：3(11)lny x=+1139'(ln)'(3ln)'222y x xx x x=+=+=(6) 解：=6(21)y x=+5'6(21)2y x=+A512(21)x+(10) 解：=ln(ln)y x=1'(ln)'lny xx=11ln x xA(11) 解：ln(sin)y x=1''(sin)'siny xx=+1cossinxx+A2．在下列方程中，求隐函数的导数：(1)解：cos()y x y=+'sin()(1')y x y y=-+⋅+(2)解：222333x y a+=113322'033x y y--+=3. 求反函数的导数：(1)解：lny x x=+1111dxdydydx x===+(2) 解：，故arcsin xy e=sin lnx y=1cos lndxydy y=⋅4. 求下列函数的导数(1) 解：2siny x x='y=22sin cosx x x x+(5) 解：3(3)lny x x=23221'3ln3lny x x x x x xx=+=+解：1ln1lnxyx-=+21ln1ln'(1ln)x xx xyx+---=+211lnyx=-++eanrb22212'0(1ln)(1ln)yx x x x=-⋅=-++(7) 解21cosy xx=1'2cosy xx=+2x1(sinx-12cosxx+2x1(sinx-(9)ln(y x=+''y x=+==解：(10) 解：12 (0)xy x e a=->112'2x xy xe x e=+A(ln(x xa a a--(11) arccos xyx=-arccosln(1lnxy xx=-+-解：1'yx=-+2arccos1xx x=+2arccos xx=-ln(13)xy x=2ln ln(ln)x x xy e e⋅==解：ln ln11'2ln2lnx xy x x x xx-=⋅⋅=⋅(14) cos(sin)xy x=解：，对该式两边求导数得ln cos ln siny x x=11'sin ln sin cos cossiny x x x xy x=-+cos'(sin)(sin ln sin cos tan)xy x x x x x∴=-+(15) 解：，对该式两边求导y x=11ln ln ln(1)ln(1)22y x x x=+--+数得1111'2(1)2(1)yy x x x=---+Al t he (10)解：arcsin lnx y x =-'[ln(1(ln )'y x =++-(1'1x+(2)x -1x +1x4. 求反函数的导数：(1)解：ln y x x =+1111dxdy dydx x===+arcsin xy e =解：，故求下列参数方程的导数：sin ln x y =1cos ln dx y dy y =⋅'y 211(1)(1)x t t y t ⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩242(1)2(1)'()1(1)1'()1(1)t t t dy y t t t dx x t t t +-⋅+-+===+-+解： (2) 解：3233131at x t at y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩322332323326(1)333(2)(1)3(1)333(12)(1)at t at t dy dy at t t dt dxa x at t dx a t dt t +-⋅-+===+-⋅-+(3) 解：2ln(1)arctan x t y t t ⎧=+⎨=-⎩222111221dy dyt dt tdx t dx t dt t-+===+2．若在点连续，且。

第二讲函数的极限一 内容提要1•函数在一点处的定义注2 的存在性（以x x o 为例）：在数列的“ N ”定义中，我们曾经提到过，N 的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的Heine ）定理•它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁.因此，利用定理必要性的逆否命题，又可以借用数列极限的现成结果来论证函 ） 2函数在无穷处的极限设 f (X)在［a,）上有定义，则lim f (x) AX0, X a, 使得 x: x X ，有『(x)lim f (x) AX0, X a, 使得 x: x X ，有『(x)lim f (x) A0, X a, 使得 x:xX ，有 f(x)注1 lim f (x)XAlimXf(x) lim f(x) A .X注2 X im f(X ) A{X n } {X n }|X nlim f (x)X X 0A 0,0,使得 x:0 X X。

右极限lim f (x)XxA0,0,使得X 0X X。

左极限lim f(x)X X 0A 0, 0, 使得 X 0XX注1同数列极限一样，函数极限中的同样具有双重性.，有 f(x) A，有 | f (x) A，有 | f (x) AN 无关紧要；对 也是如此,只要对给定的 0，能找到某一个 ，能使0 x x 0 时，有f （x ） A 即可.注3 讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究 f （x ）是否无限趋近于A .注 4 lim f (x)x x 0A lim f (x)x x 0lim f (x) A .x X 0注5 lim f (x)x X 0A {X n } {X n } |X n X 0,且X nx 0 ，有 lim nf (X n ) A ，称为归结原则一一海涅（ 条件下函数极限与数列极限可以相互转化.验证某些函数极限不存在； 而利用定理的充分性,数极限问题.（会叙述，证明，特别充分性的证明. 说明在一定可以方便地注 6 lim f (x) Ax x0 0,X 。

求极限的⽅法和例题总结8.⽤初等⽅法变形后，再利⽤极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。

注：本题也可以⽤洛⽐达法则。

例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分⼦分母同除以。

例3 nn n n n 323)1(lim++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以。

3．两个重要极限（1） 1sin lim0=→x xx（2） e x xx =+→10)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运⽤这两个重要极限本⾝，还应能够熟练运⽤它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，e x xx =--→21)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。

利⽤两个重要极限求极限例5 203cos 1lim x xx -→解：原式=61)2(122sin 2lim 32sin 2lim 220220=?=→→x xx x x x 。

注：本题也可以⽤洛⽐达法则。

例6xx x 2)sin 31(lim -→=6sin 6sin 31sin 6sin 310])sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-?-→=-=-e x x xx xx xxx x例7nn n n )12(lim +-∞→=313311331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-?-+∞→=+-+=+-+e n n n n n n n nn n 。

4．等价⽆穷⼩定理2 ⽆穷⼩与有界函数的乘积仍然是⽆穷⼩（即极限是0）。

定理3 当0→x 时，下列函数都是⽆穷⼩（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-xe 。

函数极限练习题一、求以下函数的极限：1. $f(x) = \frac{x}{x+1}$，当$x$趋近于正无穷时的极限。

由于函数为有理函数，我们可以将其分子分母同时除以$x$，得到：$f(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{x}}$当$x$趋近于正无穷时，$\frac{1}{x}$趋近于0，因此分母趋近于1。

所以极限为：$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \frac{1}{1+0} = 1$2. $g(x) = \sin(x)$，当$x$趋近于0时的极限。

根据三角函数的性质，$\sin(x)$的极限为：$\lim\limits_{x\to0} g(x) = \sin(0) = 0$3. $h(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$，当$x$趋近于2时的极限。

首先，我们可以对函数进行因式分解：$h(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$当$x$趋近于2时，分母趋近于0，但由于分子中同样存在$(x-2)$这一因子，两者相除后可以约去，所以极限为：$\lim\limits_{x\to2} h(x) = \lim\limits_{x\to2} (x+2) = 4$二、求以下函数的极限：1. $f(x) = \frac{x^3-2x^2-3x+2}{x^2-4}$，当$x$趋近于2时的极限。

首先，我们可以对函数进行因式分解：$f(x) = \frac{(x-2)(x^2+x-1)}{(x-2)(x+2)}$当$x$趋近于2时，分子和分母都趋近于0，所以可以将相同的 $(x-2)$ 因子约去，得到：$\lim\limits_{x\to2} f(x) = \lim\limits_{x\to2} \frac{x^2+x-1}{x+2} =\frac{2^2+2-1}{2+2} = \frac{5}{4}$2. $g(x) = \frac{\sqrt{x+1}-3}{x-8}$，当$x$趋近于8时的极限。

二元函数求极限例题极限是数学上最重要的概念之一，极限是指当某个变量的值趋近于某个值时，它的函数的值会趋近于某个值。

针对二元函数求极限，也就是求解一元函数y=f(x)当x趋近于某个值时，y的值趋近于某个值，我们只需要将该函数中x替换为这个某个值，就可以求出当x趋近于某个值时，函数y的值。

接下来我们就通过一个具体的例题来探讨如何求解二元函数极限。

假设有函数y=f(x)，其中f(x)为一个三次函数：f(x)=2x^3-3x^2+5那么，我们就是要计算这个函数当x趋近于1时的极限，那么我们就可以将f(x)中的x替换为1：f(1)=2(1)^3-3(1)^2+5可以得到极限为4，因此，当x趋近于1时，y的极限为4。

接下来，我们将介绍另一种更直接地求解极限的方法，即使用定义求解极限，我们将以函数f(x)=x^2+2为例来说明这种方法：首先，我们将f(x)的解析式写成如下形式：f(x)=limn→∞[(x+1/n)^2+2]也就是说，当x趋近于某个值时，要求极限，只需要将x的值替换为这个值，然后用n的值求解，当n的值趋近于无穷大时，就可以得到极限值。

接下来，我们以函数f(x)=x^2+2为例，求x趋近于1时的极限： f(x)=limn→∞[(1+1/n)^2+2]将x替换为1之后，可以得到f(1)=limn→∞[(1+1/n)^2+2]当n的值趋近于无穷大时，上式的结果可以简化为f(1)=limn→∞[1+2/n+1/n^2+2]可以得到极限为5，因此，当x趋近于1时，y的极限为5。

以上就是求解二元函数极限的方法，以上求解极限的方法可以用于求解其他任何函数的极限。

总之，求解二元函数极限要求我们要熟练掌握极限的概念，能够灵活地把握数学公式，最重要的就是熟悉求解极限的方法，有一定的练习和实践才能真正掌握这种技能。

求极限例题一、什么是极限？极限是微积分中的一个重要概念。

简单来说，一个函数在某一点的极限表示当自变量趋近于这一点时，函数的取值会趋近于某一个确定的值。

极限在解析几何、微分学和积分学中都有广泛的应用。

二、极限的定义极限的定义是通过自变量逼近某一值时函数的取值来进行的。

设函数f(x)在点a的某一空心邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0，总存在另一个正数δ>0，使得当x满足0<|x-a|<δ时，对应的函数值f(x)满足|f(x)-L|<ε，就说当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

三、求极限的方法1.代入法当函数在某一点a的极限存在时，可以通过直接将自变量代入函数中计算得出。

2.近似法对于某些形式较为复杂的函数，可以通过将自变量换成一个趋近于a的值进行计算，以得到一个接近极限的结果。

3.极限法则极限法则是求极限的基本规则，包括常数的极限、函数的和差的极限、函数的积的极限、函数的商的极限等。

4.夹逼定理夹逼定理也称为挤压定理，用于求解一些较为复杂的极限。

它的核心思想是在函数f(x)和g(x)之间夹入一个函数h(x)，且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)g(x)=L，那么lim(x→a)h(x)=L。

四、极限的例题1.例题1: 求极限lim(x→3)(2x+1)。

解: 可以直接将x代入函数中进行计算，得到结果为2 * 3 + 1 = 7。

因此，极限lim(x→3)(2x+1)等于7。

2.例题2: 求极限lim(x→0)(sinx / x)。

解: 当x趋近于0时，sinx / x的极限为1。

这是因为sinx / x在x趋近于0时会趋近于1，所以lim(x→0)(sinx / x)等于1。

3.例题3: 求极限lim(x→∞)(1 / x)。

解: 当x趋近于无穷大时，1 / x的极限为0。

这是因为x越大，1 / x的值越小，所以lim(x→∞)(1 / x)等于0。

（完整word版）第⼀章求极限练习题答案1．求下列极限：(1) 2221lim (1)n n n n →∞++- 解：原式=2221lim 21n n n n n →∞++-+=22112lim 211n n n n n→∞++-+=2 (2) 20lim(1)x x x →+解：原式=12lim[(1)]x x x →+=2e(3) 32lim3x x →- 解：原式=3x →=x →=14(4) 1lim (1)x x x e →∞-解：原式=1(1)lim1xx e x→∞-=1(5) 0x ≠当时，求lim cos cos cos 242n n x x x→∞L .解：原式=cos cos (2cos sin )2422lim2sin 2n n n n x x x x x →∞L =1cos sin22lim 2sin 2n n nx x x →∞-=sin lim 2sin 2n nn x x →∞ =sin 2lim()sin 2n n n x x x x →∞g =sin x x(6) 21sinlim x x 解：原式=21limx x g=limx=limx=(7)22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++L 解：令2221212n ny n n n n n n n=+++++++++L 因 2222(1)(1)12122211n n n n n n ny n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++L L ⽽2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++， 2(1) 12lim 12n n n n n →∞+=++，故222121n n n n n n n n n →∞+++=++++++L(8) n →∞解：原式=2n n →∞→∞==1.3 函数的极限作业1. 根据函数极限的定义,验证下列极限: (1) 3 1lim0x x→∞= 解: 0ε?>,要使3311|0|||x x ε-=<,即||x >只要取X =,则当||x X >时,恒有 31|0|x ε-<, 所以31lim 0x x →∞=.(2) 42x →= 解: 0ε?>,要使|4||2|2x ε-=<<,则当0|4|x δ<-<时,恒有|2|ε<,所以42x →=. 2. 求下列数列极限:(1) 22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++L 解：令2221212n ny n n n n n n n =+++++++++L 因 2222(1)(1)12122211n n n n n n ny n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++L L ⽽2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++， 2(1) 12lim 12n n n n n →∞+=++，故222121lim()122n n n n n n n n n →∞+++=++++++L(2) n →∞解：原式=2n n →∞→∞==3．求下列函数极限：(1) 225lim 3x x x →+- 解：原式=-9(2) 224lim 2x x x →-- 解：原式=2 lim(2)x x →+=4(3) 21lim1x x →-解：原式=14x x →→==-(4) x →∞ 解：原式=0x =(5) 2(21)(32)lim (21)x x x x →∞--+ 解：原式=226723lim4412x x x x x →∞-+=++ (6) 2121lim()11x x x →--- 解：原式=211(1)11lim lim 112x x x x x →→---==--+ 4. 设23 2 0() 1 01 1 x>11x x f x x x x ?+≤=+<≤-? ，分别讨论()f x 在0x →，1x →和2x →时的极限是否存在.解：0lim ()2x f x -→=，0lim ()1x f x +lim ()x f x →不存在. 1lim ()2x f x -→=，1lim ()x f x +→趋向⽆穷⼤，故1lim ()x f x →不存在. 2lim ()1x f x -→=，2lim ()1x f x +→=，故2lim ()1x f x →=.1.43．求下列函数极限：(1) 225lim 3x x x →+-=-9(3) 224lim 2x x x →--=2lim(2)x x →+=4 1x →14x x →→==-(7) 000h h h →→→===(9) x →∞=0x =(11) 2(21)(32)lim (21)x x x x →∞--+=226723lim 4412x x x x x →∞-+=++(13) limlim0x x == (15) 2121lim()11x x x →---=211(1)11lim lim 112x x x x x →→---==--+ 2. 设10100()01112x x x f x x x x -?==<极限，并说明这两点的极限是否存在. 解：001lim ()lim11x x f x x --→→-==-，00lim ()lim 0x x f x x ++→→==，00lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠ 故lim ()x f x →不存在.11lim ()lim 1x x f x x --→→==，11lim ()lim11x x f x ++→→== 11lim ()lim ()x x f x f x -+→→= 1lim ()1x f x →=. 1.51．求下列极限：(1) 0sin 3sin 3lim lim 333x x x xx x→→=?=00tan 333(3)limlim sin 444x x x x x x →→==222200022sin 222(5)lim 2sin 224()2x x x x x x x xx→→→?===? 注:在0(0,)U δ，2sin 02x ≥.222000222(5)lim 2sin24x x x x x x x →→→===(7) 02cos lim sin 2x x x →解: 原式=2021sin cos lim sin cos )2x x x x=2002sin sin lim sin 2x x x x x x →→+g =2021sin sin lim2()2x x x xx →+220sin sin 2lim ()x x x x x →=+=4 注意: 代数和中的⼀部分不能⽤⽆穷⼩替换. 错原式=0x →220212lim 1cos )4x x x x x →+ (8) 01sin cos lim1sin cos x x xx xββ→+-+-解: 原式=2022sin cos 2sin 222lim 2sin cos 2sin 222x x x x x x x βββ→++=0sin (cos sin ) 222lim sin (cos sin )222x x x x x x x βββ→++=00sin cos sin 222limlim sin cos sin222x x x x x x x x βββ→→++g =02lim 12x x x β→g =1β注意: 代数和的⼀部分不能⽤⽆穷⼩替换.错 01sin cos lim 1sin cos x x x x x ββ→+-+-=202112lim 12x x x x x βββ→+=+ 33333(9)lim(1)lim[(1)]xx x x e x x →∞→∞+=+=244424(11)lim()lim[(1)]22x x x x x e x x +---→∞→∞--=+=++330(13)lim(13)lim[(13)]x x x x x x e →→+=+=4. 当0x →时，下列函数中哪些是x 的⾼阶⽆穷⼩，哪些是x 的同阶⽆穷⼩，哪些是x的低阶⽆穷⼩？32(1)1000x x +322001000lim lim (1000)0x x x x x x x→→+=+=解：因为 321000()x x o x +=所以3(2)2sin x 32002sin sin lim lim 2sin 0x x x x x x x→→=?=解：因为 3sin ()x o x =所以(3) ln(1)x +解: 100ln(1)limlim ln(1)1x x x x x x→→+=+=因为ln(1)~x x +所以 (4) 1cos x -解: 2002sin sin1cos 22limlim lim(sin )022x x x x xxx xxx →→→-===g 因为，1cos ()x o x -=所以(5) sin x x + 解: 因为 0sin limx x x x →+=0sin lim(1)x xx→+=2，故sin x x +是x 的同阶⽆穷⼩.(6): 因为0x →=1312033sin 11lim[())cos x x xx x →g g =∞，故是x的低阶⽆穷⼩.或：因为0x →=0x →0x →x 的低阶⽆穷⼩. 思考题：1．11331lim (39)lim 9(1)3x x xx xx x x x →+∞→+∞+=+g g =1331lim 9[(1)]3x xx x x →+∞+g =90e =9 2．0arccot limx x x →=∞，因为当0x →时，arccot 2 x π→.习题2.2 1．求下列函数的导数：2(1)cos y x x =+解：'sin 2y x x =-+=2cos (sin )()'222x x x -g g =2cos (sin )22x x -gcos sin 22x x -g(7)sin 3y x =解：'3cos3y x =2(9)sin(1)y x x =++解：2'(21)cos(1)y x x x =+++3(11)ln y x =解：1139'(ln )'(3ln )'222y x x x x x=+=+=(6) 6(21)y x =+解：5'6(21)2y x =+g =512(21)x + (10) ln(ln )y x =解：1'(ln )'ln y x x ==11ln x x g(11)ln ln(sin )y x =解：1'(sin )'sin y x x =+1cos sin x x +g2．在下列⽅程中，求隐函数的导数： (1)cos()y x y =+解：'sin()(1')y x y y =-+?+(2)222333x y a +=解：113322x y y --+=3. 求反函数的导数：(1)ln y x x =+解：1111dx dy dy dx x==+(2) arcsin x y e =解：sin ln x y =，故1cos ln dx y dyy=?=4. 求下列函数的导数(1) 2sin y x x =解：'y =22sin cos x x x x + 3(3)ln y x x=23221'3ln 3ln y x x x x x x x=+=+解： (5) 1ln 1ln xy x-=+解：21ln 1ln '(1ln )x xx x y x +---=+211ln y x=-++ 22212'0(1ln )(1ln )y x x x x =-=-++ (7) 21cosy x x=解1'2cos y x x =+2x 1(sinx -12cos x x +2x 1(sin)x -(9)ln(y x ='y x =+==解：(10)12(0)xxy x e a =->解：112'2xxy xe x e =+g g(ln (x x a a a --(11) arccos ln x y x = -arccos ln(1ln xy x x=--解：1'y x=-+2arccos 1x x x =-+2arccos x x =- ln (13)x y x =2ln ln (ln )x x x y e e ?==解： ln ln 11'2ln 2ln x x y x x x x x-=??=? (14) cos (sin )xy x =解：ln cos lnsin y x x =Q ，对该式两边求导数得11'sin ln sin cos cos sin y x x x x y x=-+cos '(sin )(sin ln sin cos tan )x y x x x x x ∴=-+ (15) y x =11ln ln ln(1)ln(1)22y x x x =+--+Q ，对该式两边求导数得1111'2(1)2(1)y yxx x =---+arcsin lnx y x =-解：'[ln(1(ln )'y x =++(11x +(2)x -1x +1x4. 求反函数的导数：(1)ln y x x =+解：1111dx dy dydx x==+arcsin x y e =解：sin ln x y =，故=?=求下列参数⽅程的导数'y ： 211(1)(1)x t t y t ?=?+?=+242(1)2(1)'()1(1)1'()1(1)t t t dy y t t t dx x t t t +-?+-+===+-+解：(2)3233131at x t at y t ?=??+??=?+? 解：322332323326(1)333(2)(1)3(1)333(12)(1)at t at t dydy at t t dt dx a x at t dxa t dt t +-?-+===+-?-+(3)2ln(1)arctan x t y t t ?=+?=-? 解：222111221dy dyt dt tdx t dx t dt t-+===+2．若()F x 在点a 连续，且()0F x ≠。

夹逼法求函数极限经典例题在初中数学中，函数极限经常作为一个常考概念出现。

如果求出函数极限时，你使用哪些方法呢？如果你能熟练运用夹逼法就能轻松解决。

夹逼法是函数极限学习中的一个重要方法。

夹逼法主要是利用函数的相关性质求解函数的极限。

所谓的夹逼法就是在掌握公式的前提下，使用一种特殊的夹逼法，通过夹住函数的某一元素或者函数一阶极限区域上的一个点来达到求解函数极限的目的。

本例例中求解函数极限就是利用了夹逼法的运算法则来求出某一元素或者函数上限区域上的一个点，所以我们可以说该类型题是一种典型的夹逼法求极限例题。

首先要说明一下夹逼法计算函数的极限并不是很困难的运算法则哦，主要是借助夹逼法可以得到函数的极限条件！所以当你学会夹逼题也会很轻松就能计算出函数极限区域上的一个点了！一、例题（模拟题）解：由定义可知, f (x)在坐标轴上的坐标为 x+1,函数的 f (x)的值在该坐标轴上最大值为1 (即 f (x)在坐标轴上的值为 a-1)’=x-1/n+2,由式中可以看出 f (x)的值不会大于1。

设函数 f (x)在 x轴上的最大最小值为1.分析：此题中，要求函数 f (x)在坐标轴上的最大值不小于2.由于 f (t)为一个连续 n阶数，故在坐标轴上唯一确定的是 t+2.因此，利用夹逼法可得到函数极限区的所有解中，只要 t>0即可得出极限区域上任何一个点可以包含两个素数。

因此正确答案是: a-1/2= b-1/3=0.因此 c为函数 f (x-3)在坐标轴中最大值。

解：请将原函数 f (x-3)分解成为函数 g 0、 g=2、 N 1四个解析式。

运用夹逼法能得出以下结论：此方法适合于复杂的数学题时，如直线解方程，圆解方程.当然这里要说明的是本例中使用夹逼法求极限区域上任意一个点都可以。

但在计算时一定不能仅考虑到变量间相互影响而是考虑到变量间相互独立性和对变量间相互影响。

所以要注意以下几点：求解极限区间及边界条件：首先我们要明确一点，函数有多个值之和时，若求出函数在某一个区间对应的一个极限可以省略某些值或直接将极限区间写成整数是不可行的。