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1-4函数极限的运算

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函数极限的四则运算法则

函数极限的四则运算法则

函数极限的四则运算法则函数极限是数学中重要的概念之一，它在数学分析和微积分中有着广泛的应用。

四则运算法则指的是对函数进行加减乘除运算时，其极限的运算规则。

在本文中，我们将对四则运算法则进行详细的说明。

1.加法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的和的极限等于两个极限的和，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a) g(x)。

证明如下：假设lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，我们需要证明lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L = L1 + L2根据极限的定义，我们可以找到两个足够小的正数ε1和ε2，使得当0<，x-a，<δ1时，有，f(x)-L1，<ε1，当0<，x-a，<δ2时，有，g(x)-L2，<ε2取δ = min{δ1, δ2}，则当 0 < ，x-a，< δ 时，有，f(x) - L1，< ε1 且，g(x) - L2，< ε2此时，我们可以将不等式，f(x)-L1，+，g(x)-L2，<ε1+ε2转化为不等式，f(x)+g(x)-(L1+L2)，<ε1+ε2根据极限的定义，当，f(x) + g(x) - (L1 + L2)，< ε1 + ε2 时，有，x - a，< δ，即证明了lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 +L22.减法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的差的极限等于两个极限的差，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。

证明方法与加法法则类似，略。

3.乘法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的乘积的极限等于两个极限的乘积，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] =lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。

极限的运算法则及计算方法

极限的运算法则及计算方法

极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。

在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。

本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。

一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。

2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。

3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。

4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。

二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。

2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。

三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。

1-4 函数极限的概念

1-4 函数极限的概念

1-4 函数极限的概念
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、单侧极限 三、自变量趋于无穷大时函数的极限 四、函数极限的性质
四、函数极限的性质
1、唯一性：函数极限是唯一的.
2、有界性：若 lim f (x) A ，则 f (x) 在点x0 附近有界. xx0
3、保号性：若 lim f (x) A ，且 A 0，则当 x 充分接 . xx0 近 x0时恒有 f (x) 0 .
第一章 函数、极限与连续
1-1 函数及其特性 1-2 初等函数 1-3 函数极限的重要引例 1-4 函数极限的概念 1-5 无穷小与无穷大、无穷小的比较 1-6 函数的连续性及间断点 1-7 闭区间上连续函数的性质
1-4 函数极限的概念
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、单侧极限 三、自变量趋于无穷大时函数的极限 四、函数极限的性质
【极限定义】 lim f (x) A x 对于 0 ，X 0，使得当 | x | X 时，恒有 | f (x) A |
三、自变量趋于无穷大时函数的极限
【例】已知 f (x) 2x 1 x
（1）当 | x |满足什么条件时，| f (x) 2 | 0.1 ？ （2）当 | x |满足什么条件时，| f (x) 2 | 0.01 ？ （3）当 | x |满足什么条件时，| f (x) 2 | 0.001 ？ （4）推测当 x 时该函数的极限，并证明之.
思考：怎样定量描述函数极限中“无限趋近”这个行为？ 转化：“f(x)无限趋近于3” = “| f(x) – 3| 要多小有多小”
= “| f(x) – 3| 可以小于任意小的一个正数”
定量：用一个任意小的正数 来衡量 f (x)与3的接近程度.

极限的四则运算(1)

极限的四则运算(1)
无限趋近于4的函数值有关，与x=4时 的函数值无关，因此可以先将分子、 分母约去公因式x-4以后再求函数的极 限。
例3
求
x2 16
lim
.
x4 x 4
解：lim x 2 16 x4 x 4
( x 4)( x 4) lim
x4 ( x 4)
lim( x 4) x4
lim( x 4) 4 4 8. x4
教材95页练习：
1.求下列极限：
(1) lim(3x2 2x 1) 312 21 1 2 ; x1
(2) lim 2x 1 2 2 1 1 ; x2 3x 1 3 2 1
(3) lim ( x 3)(2x 1) (1 3)(2 1) 3 ; x1 ( x 5)( x 6) (1 5)(1 6) 14
2.4 极限的四则运算（1）
对于一些简单的函数，可以从自变量的值按
某种规定无限变化时相应的函数值的变化趋势找 出函数的极限. 例如，简单函数的极限：
(1)若f ( x) C(C为常数),则lim f ( x) C . x
(2) lim C 0 .
x x
若 0 p 1, 则 lim px 0,lim px不存在.
x
x
解：
3x 2 lim
x
x
lim (3 2) lim 3 lim 2
x
x
x
x x
3 0 3.
法2：lim 3 x 2 3 .
x
x
（3）lim x
5x4 2x
7 4
x x
3 1 4
.
x1 2x2 1

1_4无穷小无穷大 极限运算法则

1_4无穷小无穷大 极限运算法则

定理 4 . 若 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , 则有
lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) = AB
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[ C f ( x)] = C lim f ( x) 推论 2 . lim[ f ( x)]n = [ lim f ( x) ] n ( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
x → x0
lim Pn ( x) = Pn ( x0 ).
x → x0
例2. 设 n 次多项式 Pn ( x) = a0 + a1 x + + an x n , 试证
n a lim a x 证: lim Pn ( x) = 0 + a1 lim x + + n
= Pn ( x0 )
x → x0
x →1
1 1 lim = 0 , 函数 当 x → ∞ 时为无穷小; x→ ∞ x x 1 1 lim = 0 , 函数 当 x → −∞ 时为无穷小. x→ − ∞ 1 − x 1− x
定义1. 若 x → x0 (或 x → ∞ ) 时 , 函数 f ( x) → 0 , 则 则称函数 f ( x ) 为 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小 . 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为
1 1 1 lim + + + = 1 n →∞ n n n
n
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 ∀ x ∈ ( x0 , δ 1 ) , u ( x ) ≤ M

第四节 极限的运算法则

第四节 极限的运算法则

a0 b , 当n m , 0 m m 1 a0 x a1 x a m lim 0,当n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂 除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.
. 解: x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大
先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.
3
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim 2 x 7 x 4 x 1 x 4 7 x
(无穷小因子分出法)
5 3 x 2. 7 1 3 x
小结: 当a 0 0, b0 0, m 和n为非负整数时有
x2 2
x2
x2
小结: 1. 设 f ( x ) a x n a x n 1 a , 则有 0 1 n
x x0
lim f ( x ) a 0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
a0 x0 a1 x0
lim P ( x )
二、求下列各极限:
1 1 1 1、 lim(1 ... n ) n 2 4 2
( x h) 2 x 2 2、 lim h 0 h
1 3 3、 lim( ) 3 x 1 1 x 1 x
1 x 3 4、 lim x 8 2 3 x
5、 lim ( x x x x )
0
n
x x0
n 1
a n f ( x 0 ).
x x0
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x 0 ) 0, 则有 Q( x )

第2周：函数的极限、无穷大与无穷小、极限四则运算法则

第2周：函数的极限、无穷大与无穷小、极限四则运算法则
相加、减不一定 ，相乘则仍是。 2.无穷小量与有界函数的乘积仍然是无穷小量。 例：lim sin x
x x
。 y sin x x
lim x 2 sin 1
x0
x
3.在自变量的同一变化过程中,
若
为无穷大, 则 1 为无穷小 ;
f (x)
若
为无穷小, 且
f
(x)

0, 则
1 f (x)
为无穷大。
x
5.定理：x 时y=f (x)的极限存在的充要条件是 x 和 x 时的极限都存在且相等。
即：lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
x
x
x
例：观察图形判断以下极限是否存在：
lim ex 不存在， lim ex 0, lim ex 不存在
x x0
3.以上法则，对于 x 等情形也同样成立。
例：lim x2
2x2 x x2 4
2
注1：求初等函数在x x0 时的极限，如果把 x x0 代入函数有意义，则函数值就是极限值。
例：lim x3
x2
3x 2x
4 15
注2：运用无穷小与无穷大的关系求极限。
例如: lim 1 x0 x
Байду номын сангаас
lim(2x2 1)
x
注：1.说一个函数是无穷小（大）量需说明x变化
趋势。
2.无穷小（大）量表示的是函数的一种变化趋势，
而不是一个很小（大）的数。
问题：零是无穷小量吗？ 是（特例）
3.无穷大量的极限并不存在，lim f (x) 只是
一个记号而已。
x

极限的公式总结

极限的公式总结

极限的公式总结极限是微积分的一个重要概念，用来描述函数在某一点附近的趋势。

在求解极限时，我们经常会用到各种公式，这些公式帮助我们简化计算，更快地得到结果。

在本文中，我将总结一些常见的极限公式，希望能帮助读者更加深入地理解极限的本质。

一、基本极限1. 常数函数：lim(x→a) c = c，其中c为常数；2. 幂函数：lim(x→a) x^n = a^n，其中n为正整数；3. 指数函数：lim(x→∞) e^x = ∞，lim(x→-∞) e^x = 0；4. 对数函数：lim(x→0) log(x) = -∞，lim(x→∞) log(x) = ∞；5. 三角函数：lim(x→0) sin(x)/x = 1；lim(x→0) (1 - cos(x))/x = 0；lim(x→π/2) (sin(x))^n = 1，其中n为正整数；lim(x→0) (1 + x)^a ≈ 1 + ax；lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e。

二、极限运算1. 四则运算：lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)；lim(x→a) [f(x)g(x)] = lim(x→a) f(x) · lim(x→a) g(x)；lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)，其中lim(x→a) g(x) ≠ 0；2. 复合函数：lim(x→a) f(g(x)) = lim(x→a) f(u) = f(lim(x→a) g(x))，其中lim(x→a) g(x)存在。

三、特殊极限1. 自然对数的极限：lim(x→∞) ln(x)/x = 0；2. 无穷小的高阶无穷小：lim(x→0) (1 + x)^{1/x} = e；3. 无穷小和无穷大的比较：lim(x→∞) [f(x)/g(x)] = 0，若lim(x→∞) [f(x)] = 0；lim(x→∞) [f(x)/g(x)] = ∞，若lim(x→∞) [g(x)] = 0；lim(x→∞) [f(x)/g(x)] = L，若lim(x→∞) [f(x)] = L且lim(x→∞)[g(x)] = L；4. 多项式函数的极限：lim(x→∞) [P(x)/Q(x)] = a/b，其中P(x)和Q(x)分别为n次多项式，且n为高次项的系数为a，Q(x)的最高次项系数为b。

极限的四则运算 人教课标版精品课件

极限的四则运算 人教课标版精品课件
时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。
我们每个人都有很多在选择，学业、事业、爱情……我们都有各种各样的选择，可以说生活中我们时刻面临着选择，选择不一样，结局也会不一样，只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的无奈，已经无人理会。人生路需要走很久，我们总会遇到各种各样的人，各种各样的事，正如我们工作平台选择不一样，起点也会不一样，领导选择不一样，或许你的结局也会不一样，我们不能选择自己的出生，所以不要怨天尤人，更不要去指责，生活对谁都一样，选择永远在你手中，跟着心走，或许你就能找到一个真正的自己。
老吴走后每一天孩子起床都是老李叫他们起床，洗脸，吃饭上学，都是老李管的。孩子们放学就在老李家里学习，写作业，吃饭。每到星期天老石钓来鱼做熟以后，就端到老李家让老吴的孩子打牙祭。老赵的孩子学习好，只要有时间就去老吴家帮助他的孩子辅导功课。就这样两个多月很快过去了，老吴两口子回来了，他们看到家里面收拾的整整齐齐的。孩子们也长胖了，也爱学习了。他当面给老李鞠了一躬表示十分的感激，还给老石的孩子带了一些当地的土特产，给老赵的孩子买了几件衣服。 老干部老李当时家里有一部电话机，这个电话机就成了几家人共同使用的了。那个时候打个电话一般不太容易，当时电话机是个除了单位有一部以外，根本很少有个人电话的。老石在休息的时候喜欢出去钓鱼，他这个人喜欢钓鱼，就是不太喜欢吃鱼。钓的鱼一部分留下给自家孩子吃一些，大部分的鱼都分给邻居吃了。老李特别喜欢吃鱼，老石就经常把钓的鱼给他吃。老赵是个食堂的采购员，经常可以买到别人还没有吃到的反季节蔬菜，大家经常让他给代买一点便宜的蔬菜，或者便宜的鸡蛋，或者便宜的肉和其他调味品。 当时一般的人家里都没有电视机，最多有个半导体收音机就是很好的了。大多数人下班吃完饭没有事就是喜欢串串门，一起都聊的是过去的事情，以及现在的工作和家常事。串门是特别普遍的现象。现在这个年代在一起住了好久也不知道邻居是干啥的，或者姓啥叫啥，哪里的人都不知道。就是住在隔壁的也就是看见了打个招呼点个头，各自开门关门就走开了，与那个时候的邻里关系没法相比。老吴是个老师，也是一个戏迷，爱听京剧，也是一个爱下象棋的。老吴一有空就和老李下棋玩，于是他们有了深厚的情谊。他们几家人的孩子相处得也是特别的好，一般放了学就在一起学习玩耍。 在那个时候，人们心里都是充满着英雄主义和共产主义的理想，就是跟着毛主席共产党好好的为人民服务。小孩玩的游戏，多是是刀枪、打仗的游戏，还有电影里看见的剧情。他们拿着玩具枪，还有木头做的宝剑，或者花五角钱可以买一根长杆木头大刀。他们拿着这些玩具就分出两个队伍。你这个队伍藏起来，他们埋伏起来之前还要伪装好，他们一般都是藏在山坡底下或者是草多的地方。有的头上还要带上细树枝编的帽子或者是柳树条编的头箍，他们就趴在草丛里一般很难被另外一群小伙伴发现的。那个队伍就到处找他们，这个游戏叫做抓特务，或者叫做打伏击抓俘虏。他们一有时间，或者一放寒暑假，一群孩子就喜欢玩这个游戏，特别好玩。那一两个月就是孩子们的天下了，非常热闹。除此之外就是滚铁环、碰膝盖游戏。女孩子喜欢跳皮筋、跳格子、跳绳、打沙包、唱歌，也喜欢玩抓

1-4无穷小与无穷大1-5(部分)

1-4无穷小与无穷大1-5(部分)

am bn
为非负常数 )
Qm (x0 ) 0,
lim Pn (x) Pn (x0 ) . xx0 Qm (x) Qm (x0 )
Qm (x0 ) 0, Pn (x0 ) 0,
Qm (x0) 0, Pn (x0) 0,
lim Pn (x) . xx0 Qm (x)
目前可通过因式分解的方法处理,以后有更好的方法.
当
时,有
当
时,有
则 0, 取 min1 , 2 , 当 0 x x0 时, 有
<
2
2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
例如，
lim
n
n
1
1
n
1
2
n
1
n
ln
2
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
xx0
u
例7. 求
解:
令
u
x3 x2 9
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 = 6. 6
1 6
例8 . 求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
一切满足不等式
( x X ) 的 x , 总有
①
则称函数
当
( x ) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) )
x
若在定义中将 ①式改为
( f (x) M ),

1-4,5 无穷大与无穷小 极限运算法则

1-4,5 无穷大与无穷小 极限运算法则
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 例如, n 时, 是无穷 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
解
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 2 1 例如,当x 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
例1. 求
解:
sin x y x
1 lim 0 x x
利用定理 3 可知
1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; 2) 零是可以作为无穷小的唯一的数. 3) 称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
; 如, 当x 0时, 函数sinx是 无穷小 sin x 当x 时,函 数 ; 是无穷小 x 当x 2时, 函 数x 2是无穷小 ;
( 1)n 当n 时, 数 列 { }是 无 穷 小 . n
当x 1时,
皆非无 穷小.
无穷小是指
在某个过程中
函数变化的趋势.
定义1 0(不论它多么小 ), 0 (或X 0),
本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先来介绍无穷小。 在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理 论价值，值得我们单独给出定义。

1-4_函数的极限(讲稿)

1-4_函数的极限(讲稿)

sin x 明 = 0. 例1 证 lim x→∞ x
1 sin x sin x < 1 证 ∵ < = ε, −0 = x X x x
1 ∀ε > 0, 取 X = , 则 x > X时 有 当 恒 ε
sin x − 0 < ε, x
sin x 故lim = 0. x→∞ x
X与 意 定 正 ε有 任 给 的 数 关
x→x0 −0 − ( x→x0 )
右极限
, ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使 x0 < x < x0 + δ时 当 有 恒 f ( x) − A < ε.
作 记 lim f ( x) = A 或 f ( x0 + 0) = A.
x→x0 +0 + ( x→x0 )
{x 0 < x − x0 < δ} ={x −δ < x − x0 < 0}∪{x 0 < x − x0 < δ}
3
1 1 ⇒| x |> 3 ⇒ 只要 | x | > 2ε 2ε
1 故 取X = 3 , 则 | x |> X 时, 2ε
3
1+ x 1 − < ε 成立， 3 2 2x
3
1+ x 1 即lim = . 3 x→∞ 2x 2
2、自变量趋向有限值时函数的极限
问题: 过程中,对应 问题:函数y = f (x)在x → x0 的过程中 对应 数 值A. 函 值f (x)无 趋 于 定 限 近 确 值
பைடு நூலகம்
理 定 : lim f ( x) = A ⇔ x→ ∞
→ ∞
x→+∞

1-4极限法则和几类重要极限

1-4极限法则和几类重要极限

h
lim 1 x 1
x0
x
lim x 1 x1 3 x 1
小结 思考
1. 极限的四则运算法则及其推论; 2. 极限求法;
a.多项式与有理函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.创建并消去公因子法求极限;
几类很重要的极限
当a0 0,b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xm b0 xn
f (x0 ) a0 x0n
a1x0n1
an
lim x2 3x 5
x2
lim x3 4x2 3
xc
2. 设
f (x)
P( Q(
x) x)
,
且Q(
x0
)
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) x x0
x x0
lim Q( x)
x x0
求
lim
x1
x3
4x2 x2 5
Hale Waihona Puke a1 b1x m 1 x n1
am bn
0ab,00当,当n n
m, m,
,当n m,
同次的分子和分母
5x2 8x 3
lim
x
3x2 2
分子的次小于分母的次
11x 2
lim
x
2x3
1
分子的次大于分母的次
lim 2x2 3 x 7x 4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
1 2
x
lim k k
x
lim 1 x x x 1
极限运算法则和几类重要的极限
极限运算法则

1-4极限运算法则

1-4极限运算法则
2
又 Q lim(4 x − 1) = 3 ≠ 0, x →1
由无穷小与无穷大的关系,得 由无穷小与无穷大的关系 得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
x2 − 1 . 例3 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
先约去不为零的无穷小 因子x − 1后再求极限 . 后再求极限
y
x →0
lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 1) = 1,
1
左右极限存在且相等, 左右极限存在且相等
o
x
故 lim f ( x ) = 1.
x→0
定理（ 运算法则） 定理（复合函数的极限运算法则）设函数 u = ϕ ( x ) 当 x → x0 时的极限存在且等于 a，即 lim ϕ ( x ) = a，
n
n −1
+ L + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = = f ( x 0 ). x → x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
x → x0 x → x0
0
1 有意义 由保号性知∃U ( x0 )使g ( x ) ≠ 0. ∴ g( x )
1 (Ι). lim g( x) = B ⇒ ∀ε > 0(ε < | B |), x→x0 2 0 ∃Uδ ( x0 )使得
0
| g ( x ) − B |< ε , ∀x ∈ Uδ ( x0 ).
由此,
| g ( x ) | B| ≤| g ( x ) − B |< ε , |1 0 | g ( x ) | > | B | −ε > | B |, ∀x ∈ Uδ ( x0 ) 2

1-4函数的连续性和间断点

1-4函数的连续性和间断点

第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
四、复合函数的连续性
定理1 若u ( x)在点x0处连续， 且u0 ( x0 ), 函数 y f (u)在对应点u0处连续, 则复合函数
y f [ ( x )]在x0处连续.
定理2
x x0
若 lim ( x ) a , 函数 f (u ) 在点a连续,
解
y 3.75 7.5; x 0.5 (2) x 0.5 1 0.5, y f (0.5) f (1) 0.25 2 2.25,
y 2.25 4.5; x 0.5
(1) x 1.5 1 0.5, y f (1.5) f (1) 5.75 2 3.75,
y
x (或 y )的乘积,而是不可分割的整体记号;
(2)增量 x (或 y )可以是正数也可以是负数;
y (3) x 称为函数 y
y f ( x)
y
0
f ( x) 的平均变化率.
x x0 x 0 x x
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
2
[例 1] 设 y f ( x) 3x 1 ,在下列条件下求自变量 x 的增量和函数 y 的 增量以及函数的平均变化率: (1)当 x 从 1 变到 1.5 时; (2)当 x 从 1 变到 0.5 时; (3)当 x 从 x0 变到 x1 时.
由x0变到x1时， 函数y相应地由f ( x0 )变到f ( x1 ),此时有 x x1 x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x1 ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x)在x0处相应于x的增量.
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·复习 极限的定义的几种形式·引入 如何求一个函数的极限，是高等数学的基本运算之一，为此，要切实掌握求极限的基本方法·讲授新课第四节 函数极限的运算一 函数极限的四则运算法则 (一)极限的运算法则设lim ()f x A =，lim ()g x B =，则法则 1 两个具有极限的函数的代数和的极限等于这两个函数的极限的代数和，即 lim[()()]lim ()lim()f x g x f x x A B ±=±=±。

法则2 两个具有极限的函数的积的极限等于这两个函数极限的积，即 lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x A B ⋅=⋅=⋅。

特别地，（1）若()g x C =，则lim ()lim ()Cf x C f x C A =⋅=⋅ （C 是常数）， （2）若()()g x f x =，则 222lim[()][lim ()]f x f x A ==， 法则3 两个具有极限的函数的商的极限，当分母的极限不为0时，等于这两个函数的极限的商，即()()limlim ()()f x f x Ag x g x B== （0B ≠）证法则2 因为lim ()f x A =，lim ()g x B =，所以()()f x A x α=+，()()g x B x β=+（,αβ都是无穷小）， 于是()()()(()f x g x A B AB A B αββααβ=++=+++，由无穷小的性质知A B βααβ++仍为无穷小， 再由极限与无穷小的关系，得lim[()()]lim ()lim ()f x g x A B f x g x ⋅=⋅=⋅.法则1和法则2可以推广到具有极限的有限个函数的情形。

如当n 为正整数时，有 lim[()][lim ()]n n n f x f x A ==例1（1）求22lim(22)xx x →-+ ，（2）求22124lim 32x x x x →-+-+.解：（1）由极限的四则运算法则得22222222lim(22)lim 2lim lim 22222x x x x x x x x →→→→-+=-+=-+=（2）因为2-1lim 3250x x →+=≠，所以由极限的四则运算法则得 221243lim 325x x x x →-+-=-+由例1可以看出,当0x x →时,求有理多项式或有理分式(分母在0x x →时的极限不为0)的极限,只要把0x 直接代人表达式级数函数值即可例2 （1）求224lim 2x x x →--，（2）2147lim 1x x x →+-解：（1）由于2lim(2)x x →-=0，商的运算法则不能用，但是当 2x →时，2x ≠，因此20x -≠，可以先行约掉2x -这个因子，再求极限22224(2)(2)lim lim lim(2)422x x x x x x x x x →→→--+==+=--. （2）由于21lim(1)0x x →-=，1lim(47)11x x →+=，因此，不能使用商的运算法则，分析、分子、分母又没有非零公因式可约。

此时，先考虑函数的倒数的极限，由于2110lim04711x x x →-==+，根据无穷小的与无穷大的关系可得2147lim1x x x →+=∞-。

例3 求下列极限。

（1）22234lim 2x x x x x →∞----，（2）232321lim 25x x x x x →∞---+, （3）求3222lim7x x x xx →∞-++.解：(1)因为当x →∞时，分式的分子、分母都趋于无穷大，因此不能直接利用积的极限，可以先把分子、分母同除以2x ，再求极限22222234342lim 2lim lim 234lim lim 2121221lim1lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞------===------ 此例所用的方法称为无穷小分出法。

一般地，如果一个分式函数，当x →∞时，分子和分母都是无穷大，求此分式函数的极限时，都应用分子、分母中自变量最高次幂去除分子、分母，以分出无穷小，然后再求极限。

（2）2233223213210lim lim 0152522x x x x x x x x x x x→∞→∞----===-+-+（3）因为2233223213210lim lim 02522x x x x x x x x x x x→∞→∞----===-+-+ 所以 3222lim 7x x x xx →∞-+=∞+ 当000,0a b ≠≠时，有理函数当x →∞的极限有如下结果：101101,lim0,,m m mn n x na n mb a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪++⋅⋅⋅+⎪=<⎨++⋅⋅⋅+⎪∞>⎪⎪⎩。

例4 求下列极限 (1)3131lim()11x x x →---，(2)0x →.解 (1) 321131(2)(1)()111(1)(1)lim limx x x x xxx x x →→+--=---++=(2) 01lim12x x x→→===例5 limx解 (3)因为limlim0x x ==且|cos x |≤1，由有界量与无穷小的积仍是无穷小的性质，得limx =0.练习 1 求下列函数的极限 （1）2225lim32x x x x x →∞+--+，（2）233lim231x x x x x →∞---+，（3）22323lim43x x x x x →---+，（4）1123lim 23n n n nn +-→∞++，（5）2121lim()11x x x →---，（6）33lim 2231x x x x x --→∞-+. 答 (1)13, (2)0, (3)2, (4)13, (5)12,（6）∞.2 求极限 cos limx x xx→∞-. 答 1.（二）无穷递缩等比数列的和定义：称公比为q 且||1q <的无穷等比数列23,,,......n q a aq aq aq aq -为无穷递缩等比数列。

该数列所有项之和s 为它的前n 项之和n s 当n →∞时的极限，即(1)lim lim lim(1)111n n n n n n a q a as s q q q q→∞→∞→∞-===-=---。

这就是无穷递缩等比数列的求和公式。

例6 求231111112222n -+++++ 。

解 121112a s q ===--。

例7 将循环小数化成分数。

（1）.0.2，（2）..0.315.解 （1）.0.20.22220.20.020.002==+++222221011010010009110=+++==- 。

（2）..0.3150.31515150.30.0150.00015==+++15315153315521000110100010000010109901651100=+++=+=+=- 。

练习 P18 4，5.小结 （1）应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用．（2）求函数极限时，经常出现0,0,∞∞∞-∞等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限.常使用的有以下几种方法．i 、对于∞-∞型，往往需要先通分，化简，再求极限，ii 、对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限，iii 、对分子、分母进行因式分解，再求极限，iv 、对于当∞→x 时的∞∞型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，然后再求极限．作业 P17 3，4 板书设计·复习 极限的四则运算法则.·讲授新课二 两个重要极限重要极限一如图，设<AOB =x (rad)于是BC =sin x ,AB =x ,AD =tan x有图可知OAB OAD OAB S S S ∆∆<<扇形即111sin tan 222x x x <<得sin x <x <tan x ,从而有cos x <sin x x<1上述不等式是当02x π<<时得到的，但因当x 用-x 代换时cos x ,sin xx都不变号，所以x 为负时关系式也成立.因为0lim cos 1x x →=，又0lim11x →=，由两边夹定理知0sin lim1x xx→=.在使用重要极限0sin lim 1x xx→=来计算函数极限时,要注意其使用条件： （1）极限属于型；（2）所求变量中带有三角函数；(3)在极限sin lim x →∆∆∆表达式中，∆处要保持一致例1 求0sin 3lim 2x xx →解：030sin 33sin 3lim lim 223x x x xx x →→=⋅303sin 333lim 1=2322x x x →==⨯一般地，有0sin limx mx mnx n→=例2 （1）求21cos limx xx→-，（2）3tan sin limx x xx→-解：（1）2222sin 1cos 2limlimx x x xxx→→-=220sin1112lim()12222x xx →==⨯=.（2）3300tan sin tan (1cos )lim lim x x x x x x x x →→--=201sin 1cos 1lim()cos 2x x x x x x →-=⋅⋅=. 练习 求下列极限.（1）lim 2sin 2nn n x →∞，（2）0sin 5lim sin 3x x x →，（3）0tan 2lim x x x→，（4）0lim cot x x x →.答 （1） 1，（2） 53，（3） 2，（4）1重要极限二或在使用重要极限1lim(1)xx e x →∞+=或10lim(1)x x x e →+=来计算函数极限时,要注意其使用条件：（1）极限属于∞1型；（2）在极限1lim(1)x ∆→∆+∆或1lim(1)x ∆→∆+∆表达式中，∆处要保持一致例3 （1）求1lim(1)x x x →∞-，（2）求3lim(1)xx x→∞+，（3）求2lim()3xx x x →∞-- 解：（1）1111lim(1)lim(1)lim[(1)]x x x x x x x x x--→∞→∞-→∞-=+=+--111[lim (1)]x x e x----→∞=+=- （2）31lim(1)lim(1)3x x x x x x→∞→∞+=+33333311lim(1)[lim(1)]33x xx x e x x ⨯→∞→∞=+=+=（3）3321lim()lim(1)33x x x x x xx -+→∞→∞-=+--3311lim(1)lim(1)33x x x e x x -→∞→∞=+⋅+=--练习 求下列函数的极限（1）21lim()xx x x→∞+，（2）1lim(12)x x x →-，21lim()21x x x x →∞-+.答 (1) (2) (3)三 无穷小的比较两个无穷小的和、差、积都是无穷小，但是两个无穷小的商确会出现三种不同的结果.如0x →时，x 、2x 、2x 虽然都是无穷小，但是趋向于零的速度却快慢不同，2x 比x 、2x 趋于零的速度快得多. 为此引入关于无穷小的阶的概念.定义 在某一极限过程中，设lim 0α=，lim 0β=，如果（1）lim0βα=，那么称β是比α高阶的无穷小. （2）lim βα=∞，那么称β是比α低阶的无穷小.（3）lim C βα=（C 为非零常数），那么称β与α是同阶的无穷小.特别地，当1C =时，称β与α是等价的无穷小，记作α～β. 例4 当1x →时，比较无穷小11-的阶。