【金版学案】2016-2017苏教版高中数学必修4 章末过关检测卷(二) Word版含解析

第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数1.2.3 诱导公式A 级 基础巩固一、选择题1．若sin (π＋α)＝－12，则sin (4π－α)的值是( )A.12 B ．－12 C ．－32 D.32 解析：因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以sin α＝12，sin(4π－α)＝－sin α＝－12.答案：B2．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β)解析：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误． 答案：B3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α， 所以cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝15. 答案：C4．设tan (5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝tan α. 所以tan α＝m .所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：A5．若sin (π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin (2π－α)的值为( )A ．－23mB.23m C ．－32mD.32m 解析：因为sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，所以－sin α－sin α＝－m ，则sin α＝m2.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .答案：C6．已知sin (π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.故cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35.答案：357．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin (π＋α)＋cos (π－α)＝________．解析：因为tan α＝43，α为第一象限角，所以sin α＝45，cos α＝35.所以sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin α－cos α＝－75.答案：－758．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于_______．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0， 所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角．所以cos C ＝－1－sin 2C ＝－223.所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－24. 9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1. 10．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan （π－α）·sin （π－α）·sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）的值．解：(1)因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.(2)f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－45＝－920.B 级 能力提升11．若cos 165°＝a ，则tan 195°＝( ) A.1－a 2 B ．－1－a 2aC.1－a 2aD.1＋a 2a解析：cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝a ， 故cos 15°＝－a (a <0)，得sin 15°＝1－a 2， tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝1－a 2－a .答案：B12．设φ(x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(19π－x )，则φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________．解析：因为φ(x )＝cos 2x ＋sin 2x －tan x ＝1－tan x ，所以φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1－tan π3＝1－ 3.答案：1－313．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45.又因为sin αcos α<0.所以cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43.所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73.14．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 证明：因为sin(α＋β)＝1， 所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)．所以α＝2k π＋π2－β(k ∈Z)．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.所以tan(2α＋β)＋tan β＝0得证．15．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α为第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan 2（2π－α）·tan （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解：因为5x 2－7x －6＝0的两根为x ＝2或x ＝－35，所以sin α＝－35.又因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝34.所以原式＝（－cos α）·（－cos α）·tan 2α·（－tan α）sin α·（－sin α）＝tan α＝34.。

章末过关检测卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°的值为( ) A.12 B ．－12 C.22 D ．－22 解析：原式＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°＝sin 45°＝22.答案：C2．若函数f (x )＝－sin 2 x ＋12(x ∈R)，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数 解析：f (x )＝－1－cos 2x 2＋12＝12cos 2x .答案：D3．sin π12－3cos π12的值是( )A ．0B ．－ 2 C. 2 D ．2解析：原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π3＝－2sin π4＝－ 2.答案：B4．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2解析： f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，振幅为1，T ＝2πω＝2π2＝π. 答案：A5．已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：sin α＝2sin α2cos α2＝－2425<0，cos α＝2cos 2 α2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－1＝－725<0. 所以α为第三象限角． 答案：C6.2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A. 3B.62 C ．1 D.12解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3. 答案：A7．设向量a ＝(sin 15°，cos 15°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ，b 的夹角为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 解析：因为|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 30°＝12，所以a ，b 的夹角θ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝12.又因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°. 答案：B8．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B的值为( )A.14B.13C.12D.53 解析：△ABC 中，C ＝120°，得A ＋B ＝60°，所以(tan A ＋tan B )＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝3(1－tan A tan B )＝233.所以tan A tan B ＝13.答案：B9．在△ABC 中，cos A ＝55，cos B ＝31010，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 解析：因为cos A ＝55，所以sin A ＝255. 同理sin B ＝1010. 因为cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－55×31010＋255×1010＝－5050<0， 所以C 为钝角． 答案：B10．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 所以由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α.所以2α－β＝π2.答案：B11．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2⎝⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值是( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．3D ．1解析：由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2，且0≤x ≤π2，所以π4≤x ＋π4≤34π.所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1. 所以3≤y ≤2＋2. 答案：C12．(2014·天津卷)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3C ．πD ．2π 解析：由题意得函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)，又曲线y ＝f (x )与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π3，由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π3，即2π3ω＝π3，解得ω＝2，所以f (x )的最小正周期是T ＝2πω＝π.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)13．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________．解析：因为cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13，所以cos 2(x －y )＝2cos 2(x －y )－1＝－79.答案：－7914．(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17－（－2）1＋17×（－2）＝3.答案：315．设f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )有最大值4，则a ＝________．解析：f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1. 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2知，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， 所以f (x )max ＝3＋a ＝4.所以a ＝1. 答案：116．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A 等于________．解析：在△ABC 中，B ＋C 2＝π2－A2，所以sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＋cos 2A ＝cos 2 A 2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1＝－19. 答案：－19三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知sin(α－β)＝35，sin(α＋β)＝－35，且α－β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π， α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求cos 2β的值．解：由sin(α－β)＝35及α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得：cos(α－β)＝ －45，由sin(α＋β)＝－35及α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π得：cos(α＋β)＝ 45.所以cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－1.18．(本小题满分12分)(2014·江苏卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值． 解：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π且α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝2sin 2α－1＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.19．(本小题满分12分)在斜△ABC 中，sin A ＝－cos B cos C 且tan B tan C ＝1－3，求角A .解：在三角形中，有A ＋B ＋C ＝π， 所以sin A ＝sin(B ＋C )．所以－cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C .上式两边同时除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝－1. 又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－11－（1－3）＝－33.因此tan A ＝33. 又0<A <π，所以A ＝π6.20．(本小题满分12分)设函数f ()x ＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R)．且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是π3.(1)求ω的值；(2)如果f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6上的最小值为3，求a 的值．解：(1)f ()x ＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx ＋a ＝1＋cos 2ωx2＋3sin 2ωx2＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12＋a . 依题意得2ω·π3＋π6＝π2⇒ω＝12.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋12＋a ，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，从而f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6 上的最小值为3＝－12＋12＋a ，故a ＝ 3.21．(本小题满分12分)设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f (x )＝a ·(a ＋b )．(1)求函数f (x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式f (x )≥32成立的x 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝a ·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝32＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f (x )的最大值为32＋22，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )≥32⇔32＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥32， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥0. 所以2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π，解之得k π－π8≤x ≤k π＋3π8.所以使f (x )≥32成立的x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .22．(本小题满分12分)(2014·福建卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解：法一：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.。

第2章平面解析几何初步2.1 直线与方程2.1.2 直线的方程A组基础巩固1．直线x＋y－3＝0的倾斜角的大小是()A．45°B．135°C．1 D．－1解析：直线x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°.答案：B2．直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点()A．(3，2) B．(－3，2)C．(－3，－2) D．(3，－2)解析：由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3)．所以直线必过点(3，2)．答案：A3．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是()A．x＝－1 B．y＝1C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝22(x＋1)解析：由方程知，已知直线的斜率为22，所以所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝2(x＋1)．答案：C4．直线xa＋yb＝1过第一、第二、第三象限，则()A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析：因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、第二、第三象限，故a<0，b>0.答案：C5．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m 的值为()A．－2 B．2C．－3 D．3解析：由已知得m2－4≠0，且2m2－5m＋2m2－4＝1，解得m＝3或m＝2(舍去)．答案：D6．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x－y－3＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()A.3，1B.3，－1C．－3，1 D．－3，－1解析：原方程化为x1a＋y1b＝1，所以1b＝－1.所以b＝－1.又因为ax＋by－1＝0的斜率k＝－ab＝a，且3x－y－3＝0的倾斜角为60°，所以k＝tan 120°.所以a＝－ 3.答案：D7．直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于()A．－3 B．3C.13 D ．－13解析：由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax ＋3ay ＋2a ＝0 (a ≠0)，所以x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13. 答案：D8．下列三个说法中正确的有________(填序号)．①任何一条直线在y 轴上都有截距；②直线在y 轴上的截距一定是正数；③直线的斜截式方程可以表示任何不垂直于x 轴的直线．解析：因为当直线垂直于x 轴时，直线在y 轴上的截距不存在，所以①错误．直线在y 轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误．不垂直于x 轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线的斜截式方程表示，所以③正确．答案：③9．直线3x －2y －4＝0的截距式方程是________．解析：直线方程化为3x －2y ＝4，所以34x －y 2＝1. 所以x 43＋y －2＝1. 答案：x 43＋y －2＝1 10．已知三角形的顶点是A (8，5)，B (4，－2)，C (－6，3)，求经过每两边中点的三条直线的方程．解：设AB ，BC ，CA 的中点分别为D ，E ，F ，如图所示．根据中点坐标公式得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，32，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，F (1，4)． 由两点式得DE 的直线方程为y －3212－32＝x －6－1－6， 整理得2x －14y ＋9＝0，这就是直线DE 的方程．由两点式得EF 的直线方程为y －124－12＝x －（－1）1－（－1）， 整理得7x －4y ＋9＝0，这就是直线EF 的方程．由两点式得DF 的直线方程为y －324－32＝x －61－6， 整理得x ＋2y －9＝0，这就是直线DF 的方程．11．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定实数m 的值．(1)在x 轴上的截距是－3；(2)斜率是－1.解：(1)令y ＝0，所以2m －6m 2－2m －3＝－3. 所以2m －6＝－3m 2＋6m ＋9，即3m 2－4m －15＝0.所以m ＝－53或m ＝3. 当m ＝3时，m 2－2m －3＝0.此时方程为y ＝0不符合题设条件，从而m ＝－53.(2)由m2－2m－32m2＋m－1＝1，所以m2＋3m＋2＝0.所以m＝－2或m＝－1(舍去)．故m＝－2.B级能力提升12．过点A(3，－1)，B(5，4)的直线方程的两点式为__________，一般式为__________________．答案：y－（－1）4－（－1）＝x－35－35x－2y－17＝013．已知△ABC的一个顶点为A(3，－1)，AB被y轴垂直平分，AC被直线y＝x垂直平分，则直线BC的方程是________．解析：A(3，－1)关于y轴的对称点为B(－3，－1)，A(3，－1)关于直线y＝x的对称点为C(－1，3)，所以BC的方程为y＋13＋1＝x＋3－1＋3，即2x－y＋5＝0.答案：2x－y＋5＝014．过点P(1，1)作直线l与两坐标轴相交，所得三角形面积为2，则这样的直线l有________条．解析：设l为y＝k(x－1)＋1即为y＝kx－k＋1，则12×（k－1）2|k|＝2，解得k＝3±22或k＝－1.答案：315．过点(a，0)，(0，b)，(1，3)，且a，b均为正整数的直线方程为________________________．解析：设所求直线方程为：xa＋yb＝1，则1a＋3b＝1(a，b∈N*)，所以a＝bb－3∈N*，故⎩⎪⎨⎪⎧a＝4，b＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝6.所求方程为x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0.答案：x＋y－4＝0或3x＋y－6＝016.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)之间的关系用直线AB的方程表示．如图所示，试求：(1)直线AB的方程；(2)旅客最多可免费携带多少行李．解：(1)由题图知，点A(60，6)，B(80，10)．所以直线AB的方程是x－5y－30＝0.(2)依题意，令y＝0，得x＝30.故旅客最多可免费携带30 kg行李．。

模块综合检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．当|a |＝|b |≠0，且a ，b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( ) A ．平行 B ．相等 C ．相交但不垂直D ．垂直解析：根据向量的几何意义，作OA →＝a ，OB →＝b ， 则在▱CAOB 中，OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ， 因为|a |＝|b |，即OA ＝OB ，所以▱CAOB 是菱形． 所以AB ⊥OC ，即BA →⊥OC →.所以(a ＋b )⊥(a －b )． 答案：D2．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( )A ．－35 B.45 C.25 D ．－25解析：因为α的终边过点P (4，－3)， 所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP |＝5. 所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45.所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C4．要得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将函数y ＝3sin 2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析：因为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8，所以由y ＝3sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度可得y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．答案：C5．(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x解析：A 为奇函数，B 、C 为偶函数，D 中，y ＝x 2＋sin x 是非奇非偶函数．答案：D6．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是( )A ．πB ．2π C.π2D ．2解析：f (x )＝sin 2x －sin x cos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ＝12－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.答案：A7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 解析：由题意得y ＝f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x . 显然A ，B ，C 均错误，只有D 正确． 答案：D8．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32 B ．－32C ．±32D ．±12解析：由sin θ－cos θ＝22，得1－2sin θcos θ＝12，则sin 2θ＝12.即1－2sin θcos θ＝12，所以sin 2θ＝12.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ >cos θ， 所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－32. 答案：B9．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π·14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z. 答案：D10．先令函数y ＝cos x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再把图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，则所得图象对应的函数表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4解析：第一步变换后所得函数表达式是y ＝cos 2x ，第二步变换后所得函数表达式是y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x答案：B11．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z) 解析：由题可得y ＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z ， 所以原函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z)． 答案：C12．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( )A ．φ B.π2－φ C.π2＋φ D.3π2－φ 解析：|a |＝（2cos φ）2＋（2sin φ）2＝2，|b |＝1，a ·b ＝－2sin φ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝sin(－φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，则cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，且3π2－φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以θ＝3π2－φ.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)13．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设此三角形的底角为α，顶角为β，则cos α＝45，sin α＝35，所以sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425.答案：242514．(2014·陕西卷)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．解析：因为a ∥b ，所以sin 2θ·1－cos 2θ＝0.所以2sin θcos θ－cos 2θ＝0.因为0<θ<π2，所以cos θ >0.所以2sin θ＝cos θ.所以tan θ＝12.答案：1215．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________． 解析：取BA →，BC →为一组基底，则AE →＝BE →－BA →＝23BC →－BA →，AF→＝AB →＋BC →＋CF →＝－BA →＋BC →＋512BA →＝－712BA →＋BC →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23BC →－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－712BA →＋BC →＝712|BA →|2－2518BA →·BC→＋23|BC →|2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. 答案：291816．(2015·天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z.又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2， 所以ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a·b ；(2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)因为a ∥b ，所以θ＝0°或180°， 所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝±2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b )·a ＝0，即|a |2－a·b ＝1－2cos θ＝0. 所以cos θ＝22.又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，求sinα及tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3.解：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22 (sin α－cos α)＝7210，所以sin α－cos α＝75.①因为cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α) (cos α＋sin α)＝－75(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝－15.②由①②得：sin α＝35，cos α＝－45.所以tan α＝－34.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan α＋31－3tan α＝3－341＋334＝48－25311.所以sin α＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝48－25311.19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos(β－α)的值；(2)已知点C 是单位圆上的一点，且OC →＝OA →＋OB →，求OA →和OB →的夹角θ.解：(1)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，45，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1213，则x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1，又x 1>0，所以x 1＝35，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝1，又x 2<0，所以x 2＝－513. 所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－513，1213.所以sin α＝45，cos α＝35，sin β＝1213，cos β＝－513，所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365.(2)根据题意知|OA →|＝1，|OB →|＝1，|OC →|＝1，又OC →＝OA →＋OB →，所以四边形CAOB 是平行四边形． 又|OA →|＝|OB →|，所以▱CAOB 是菱形．又|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以△AOC 是等边三角形． 所以∠AOC ＝60°.所以∠AOB ＝120°. 即OA →与OB →的夹角θ为120°.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x ·cos x .(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的简图；(3)说明f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．解：f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cosx ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3·sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π3≤2x ＋π3≤4π3.所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π32－2图象如图所示．(3)法一：由以下变换可得f (x )的图象：先将y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．法二：由以下变换可得f (x )的图象：先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，再将图象向左平移π6个单位长度，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， 所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12. 又因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4.所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.22．(本小题满分12分)已知f (x )＝2cos 2ωx2＋3sin ωx ＋a 的图象上相邻两对称轴的距离为π2.(1)若x ∈R ，求f (x )的递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值．解：由f (x )＝2cos 2ωx2＋3sin ωx ＋a ＝3sin ωx ＋cos ωx ＋a ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＋1.因为f (x )的图象上相邻对称轴的距离为π2，故T 2＝π2⇒T ＝π⇒ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1. (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z)，所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)． (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1. 所以f (x )max ＝2＋a ＋1＝4. 所以a ＝1.。

章末过关检测卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．角α终边经过点(1，－1)，则cos α＝( ) A ．1 B ．－1 C.22 D ．－22解析：角α终边经过点(1，－1)， 所以cos α＝112＋（－1）2＝22. 答案：C2．已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( ) A.π3 B ．1 C.2π3 D ．3 解析：因为弧长l ＝3r －2r ＝r ， 所以圆心角α＝lr ＝1.答案：B3．(2014·四川卷)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析：根据三角函数图象的平移和伸缩变换求解．y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象，即函数y＝sin(2x ＋1)的图象．答案：A4．如果函数f (x )＝sin (πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π2解析：T ＝2π|ω|，当ωx ＋θ＝2k π＋π2(k ∈Z)时取得最大值．由题意知T ＝2ππ＝2，又当x ＝2时，有2π＋θ＝2k π＋π2， 所以θ＝2(k －1)π＋π2，0＜θ＜2π.所以k ＝1.则θ＝π2.答案：A5．函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪φ⎪⎪⎪<π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝( )A.π6B.π3C.π4 D ．－π4解析：由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z)，可得3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，则φ＝k π＋π4.又|φ|<π2，所以取k ＝0，得φ＝π4.答案：C6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，则tan α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．±34解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝35，sin α＝－35，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，所以cos α＝－45.所以tan α＝34.答案：B7．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．b >c >aD ．a >c >b解析：a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos 234π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8π－π4＝－sin π4＝－22，所以b >a >c . 答案：A8．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( )A.5π3B.5π6C.π2D.π6解析：把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32代入f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2，解得θ＝π3，所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2φ.把P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32代入得，φ＝k π或φ＝k π－π6.答案：B9．函数y ＝3x －x 2tan x 的定义域是( )A ．(0，3]B ．(0，π)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 解析：由y ＝3x －x 2tan x 有意义，得0≤x ≤3且x ≠k π＋π2(k ∈Z)，且x ≠k π(k ∈Z)，所以x ≠0且x ≠π2.所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3. 答案：C10．如图所示，函数y ＝f (x )图象的一部分，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：14T ＝π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，排除A 、C.将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1代入可排除B. 答案：D11．(2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解析：因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π.又因为当0≤x <π时，f (x )＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12. 答案：A12．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sint2(0≤t ≤20)给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：因为10≤t ≤15时，有32π<5≤t 2≤152<52π，此时F (t )＝50＋4sin t2是增函数，即车流量在增加．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．(2015·四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 答案：－114．(2014·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析：利用函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的交点横坐标，列方程求解．由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.答案：π615．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )有两个零点，即m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实根．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，结合正弦曲线知m ∈[1，2)． 答案：[1，2)16．(2014·北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．解析：因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，所以T 2≥π2－π6.所以T ≥2π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， 所以f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.所以14T ＝7π12－π3＝π4.所以T ＝π.答案：π三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知tan (2 013π＋α)＝3，试求：sin （α－3π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 013π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）的值．解：由tan(2 013π＋α)＝3, 可得 tan α＝3，故sin （α－3π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 013π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝33－1＝32.18．(本小题满分12分)已知函数y ＝2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， π2，值域是[－5，1]，求a ，b 的值． 解：因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.所以－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.当a >0时，－a ＋b ≤2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b ≤2a ＋b .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝－5，2a ＋b ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3.当a <0时，2a ＋b ≤2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b ≤－a ＋b . 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－5，－a ＋b ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.19.(本小题满分12分)(2014·北京卷)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)在f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12， 所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1. 所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z.因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z.所以k π＋π8≤x ≤k π＋58π，k ∈Z ，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z.21．(本小题满分12分)(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知 f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ， 即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0. 22．(本小题满分12分)2016年的元旦，N 市从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ，ω>0，|φ|≤π)．从天气台得知：N 市在2016年的第一天的气温为1到9度，其中最高气温只出现在下午14时，最低气温只出现在凌晨2时．(1) 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的表达式．(2)若元旦当天M 市的气温变化曲线也近似地满足函数y 1＝A 1sin(ω1x ＋φ1)＋b 1，且气温变化也为1到9度，只不过最高气温和最低气温出现的时间都比N 市迟了4个小时．①求早上7时，N 市与M 市的两地温差；②若同一时刻两地的温差不超过2度，我们称之为温度相近，求2016年元旦当日，N 市与M 市温度相近的时长．解：由已知可得：b ＝5，A ＝4，T ＝24⇒ω＝π12. 又最低气温出现在凌晨2时，则有2ω＋φ＝2k π－π2， 又|φ|≤π⇒φ＝－23π. 则所求的函数表达式为y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －23π＋5. (2)由已知得M 市的气温变化曲线近似地满足函数y 1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －π＋5， y －y 1＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －23π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －π ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －23π＋sin π12x ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －13π. ①当x ＝7时，y －y 1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12·7－13π＝2 2.②由|y －y 1|≤2⇒－2≤4sin≤2⇒2≤x ≤6或14≤x ≤18. 则2016年元旦当日，N 市与M 市温度相近的时长为8小时．。

一、选择题1．如下图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点,C B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43,,,55AOC α⎛⎫-∠= ⎪⎝⎭若1BC =，则233cos sin cos 2222ααα--的值为（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．352．已知72cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=（ ） A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24253．函数()()sin 0y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,记APB θ∠=,则sin 2θ的值是（ ）A ．1665B ．6365C ．1663-D ．1665-4．在ABC 中三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2223b c bc a +=，23bc a =，则角C 的大小是（ ）A ．6π或23π B ．3πC ．23π D ．6π 5．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．7D ．36．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（ ）． A ．5B ．5C ．42D ．317．已知向量(3,0)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若(2)a b c -⊥，则k =（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-8．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．62km/hB ．8 km/hC ．234km/hD ．10 km/h9．已知实数a ，b 满足0<2a <b <3-2a ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．sin sin2b a < B ．()2cos >cos 3a b -C ．()2sin sin3a b +< D ．23cos >sin 2b a ⎛⎫-⎪⎝⎭10．将函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），然后向左平移3π个单位，所得函数记为()g x .若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12g x g x =，则()12g x x +=（ ） A ．12-B ．3-C ．12D ．3 11．已知函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．1ω=，6π=ϕ B ．1ω=，6πϕ=-C ．2ω=，6π=ϕ D ．2ω=，6πϕ=-12．现有四个函数：①y =x |sin x |，②y =x 2cos x ，③y =x ·e x ；④1y x x=+的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．①②③④B ．①③②④C ．②①③④D ．③②①④二、填空题13．已知函数2()23sincos2cos (0)222xxxf x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________. 14．已知4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________． 15．已知1sin cos 5αα-=，0απ≤≤，则sin(2)4απ-=__________； 16．记集合{|X x b a xc ==+且||||4}a b a b ++-=中所有元素的绝对值之和为(,)S a c ，其中平面向量a ，b ，c 不共线，且||||1a c ==，则(,)S a c 的取值范围是______________．17．向量a ，b ，c 在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量a b λ+与c 共线，则||a b λ-=________．18．将函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为125,,...,A A A ，若P 点坐标为(，则125...PA PA PA +++=____.19．已知如下变换：①将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变； ②将图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变； ③将图像整体向右平移3π个单位长度； ④将图像整体向右平移6π个单位长度； ⑤将图像整体向左平移3π个单位长度； ⑥将图像整体向左平移6π个单位长度； 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin y x =的图象经过变换____________（填上你认为正确的一种情况即可，注意编号顺序）20．已知平面向量a ，b 满足1a =，2a b -与2b a -的夹角为120°，则2b 的最大值是_______.三、解答题21．已知sin2α=，()5cos 13αβ+=，()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求sin 2α的值； （2）求sin β的值.22．已知函数2()22cos 1f x x x =--，x ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 的内角A 、B 、C ，满足()0f C =且sin 2sin B A =，求角A ，B 的值． 23．已知(),2A x ，()2,3B ，()2,5C -.（1）若1x =，判断ABC 的形状，并给出证明； （2）求实数x 的值，使得CA CB +最小；（3）若存在实数λ，使得CA CB λ=，求x 、λ的值.24．函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求()f x 取最小值时的自变量x 的集合. 25．已知函数2()3cos cos (0)f x x x x ωωωω=->周期是2π. （1）求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移6π个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数()g x 的图像，若263x ππ≤≤时，()2g x m -<恒成立，求m 得取值范围.26．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 ∵点B 的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭，设AOB θ∠=，∴325sinπθ-=-（），425cos πθ-=（）， 即35sin θ=，45cos θ=， ∵AOC α∠=，若1BC =，∴3πθα+=，则3παθ=-，则213sincossin cos cos sin 2222625αααππαααθθ⎛⎫⎛⎫-=-=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B.点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键；利用降幂公式可将所求表达式化简为关于α的表达式，设AOB θ∠=，当角α的终边与单位圆的交点坐标为(),u v 时，sin v α=，cos u α=，可先求出关于θ的三角函数式，结合等边三角形寻找,αθ之间的关系即可.2．D解析：D 【分析】由2sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1244πππθθθθ=-=-=--，代入即可求解. 【详解】因为cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 由24924sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1212445025πππθθθθ=-=-=--=⨯-=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简、求值，其中解答中熟记余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.3．A解析：A 【分析】过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，由三角函数性质得2AB =，12AD =，1DP =，32DB =，故1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=，进而得()tan tan 8APD BPD θ=∠+∠=，故2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan165θθθθθθθθθ====++.【详解】解：根据题意，如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ， 由于函数的最小正周期为22T ππ==，最大值为max 1y =，所以2AB =，12AD =，1DP =，32DB =， 所以在直角三角形ADP 和直角三角形BDP 中，1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=， 所以()tan tan tan APB APD BPD θ=∠=∠+∠tan tan 28311tan tan 122APD BPD APD BPD ∠+∠===-∠⋅∠-⨯， 所以2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan 165θθθθθθθθθ====++.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的性质，同角三角函数关系，正切的和角公式，考查运算能力，是中档题.4．A解析：A 【分析】由2223b c bc a +=可得cosA 32=2bc 3a =可得2A 4=结合内角和定理可得C 值. 【详解】∵222b c a +=，∴cos A 2222b c a bc +-===， 由0＜A ＜π，可得A 6π=，∵2bc =，∴2A =∴5sin 64C sinC π⎛⎫-=⎪⎝⎭，即)1sinCcosC 122cos C +-=解得50C 6π<< ∴2C=3π或43π，即C=6π或23π 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题．5．C解析：C 【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】设a 、b 所成角为θ， 由||||2==a b ，2a b ，则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=，记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离， 由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点3,22Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上，()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力.6．B解析：B 【分析】由向量垂直可得0a b ⋅=，求得x ，及向量b 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模. 【详解】由a b ⊥，可得0a b ⋅=，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b + ()5,0=，得a b +=5，选B.【点睛】求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+，二是利用性质2a a =，结合向量数量积求解. 7．B解析：B 【分析】 求出2a b -()3,2=，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】由(3,0)a =，(0,1)b =-， 得2a b -()3,2=，若(2)c a b -⊥，则(2)?0a b c -=， 所以3230,2k k +=∴=-.故选B. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.8．A解析：A 【解析】设客船在静水中的速度大小为 /v km h 静，水流速度为 v 水，则2/v km h =水，则船实际航行的速度v v v =+静水，60.160t h =，由题意得100.1AB v ≤=． 把船在静水中的速度正交分解为x y v v v 静=+， ∴0.660.1y v ==，在Rt ABC 中，221060.8BC =-=．． ∵80.1x x BCv v v v +=+==水水，∴826x v =-= ∴2262x yv v v 静=+=设v v 静水＜，＞＝θ，则tan 1yxv v θ==，∴cos 2θ=．此时222721010v v v v v v v +=+⋅+==≤静水静静水水＝ ，满足条件，故选A.9．D解析：D 【分析】对各个选项一一验证：对于A.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出2ba <，借助于正弦函数的单调性判断； 对于B.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b <-，借助于余弦函数的单调性判断； 对于C.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b +<，借助于正弦函数的单调性判断； 对于D.先用诱导公式转化为同名三角函数，借助于余弦函数的单调性判断； 【详解】 因为0<2a <b <3-2a 对于A. 有0<2b a <， 若22b a π<<，有sin sin 2b a <；若22b a π<<，有sin sin 2ba >，故A 错； 对于B.有 23ab <-，若232a b π<<-，有()2cos >cos 3a b -，故B 错；对于C. 23a b +<，若232a b π<+<，有()2sin sin 3a b +>，故C 错；对于D. 222333sin cos cos 2222a a a ππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为b <3-2a <3，所以2cos >cos(3)b a - ∵22332a a π+-<-∴()223cos 3cos 2a a π+⎛⎫->-⎪⎝⎭∴()22233cos cos 3cos sin 22a a b a π+⎛⎫⎛⎫>->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 对. 故选：D. 【点睛】利用函数单调性比较大小，需要在同一个单调区间内．10．D解析：D 【分析】先利用函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的图像的对称性，求得12x x +的值，可得()12g x x +的值. 【详解】将函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再向左平移3π个单位，所得函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，则142,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ()()12g x g x =，12223322x x πππ+++∴=，126x x π∴+=，则()122sin 2sin 633g x x πππ⎛⎫+=⨯+==⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题.11．D解析：D 【分析】根据函数的图象求出函数的周期，然后可以求出ω，通过函数经过的最大值点求出ϕ值，即可得到结果. 【详解】由函数的图象可知:74123T πππ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，22T πω∴==.当3x π=，函数取得最大值1，所以sin 213πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，2232k k Z ππϕπ+=+∈，， ||,02k πϕ<∴=，6πϕ∴=-，故选：D. 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式，通过周期求ω的值，通过最值点求ϕ的值是解题的关键，属于基础题.12．D解析：D 【分析】根据各函数的特征如函数值的正负，单调性、奇偶性，定义域、值域等进行判断．【详解】左边第一个图象中0x <时，0y <，只有③满足，此时只有D 可选，实际上，左边第二个图象关于y 轴对称，是偶函数，只有②满足，而0x >时，10y x x=+>恒成立，只有最右边的图象满足，由此也可得顺序是③②①④，选D ． 故选：D ． 【点睛】思路点睛：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可两者结合，由函数解析式和图象分别确定函数的性质，如奇偶性、单调性、函数值的正负，特殊的函数值，变化趋势等等，两者对照可得结论．二、填空题13．【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式结合周期为求得然后将时函数恰有两个不同的零点转化为时恰有两个不同的根在同一坐标系中作出函数的图象利用数形结合法求解【详解】函数因为函数的周期为所以因为时函数恰有两 解析：(3,2]--【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式，结合周期为23π求得()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后将0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，转化为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象，利用数形结合法求解. 【详解】函数2()cos2cos 222xxxf x ωωω=+，cos 1x x ωω=++，2sin 16x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的周期为， 所以2323πωπ==，()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点， 所以0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象如图所示：由图象可知：23k ≤-<，即2k -3<≤-， 所以实数k 的取值范围是(3,2]--， 故答案为：(3,2]-- 【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．14．【分析】由且求得得到再结合两角和的正切公式即可求解【详解】因为且可得所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及两角和的正切公式的化简求证其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角解析：17【分析】 由4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求得3sin 5θ=-，得到3tan 4θ=-，再结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】 因为4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 可得2243sin 1cos 1()55θθ=-=--=-，所以sin 3tan cos 4θθθ==-， 又由311tan 14tan 341tan 714πθθθ-+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭+.故答案为：17. 【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及两角和的正切公式的化简、求证，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角和的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.15．【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得和进而由二倍角公式可得和代入两角差的正弦公式计算可得【详解】又故解得故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式涉及同角三角函数的基本关系和二倍角公式属解析：50【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得sin α和cos α，进而由二倍角公式可得sin 2α和cos2α，代入两角差的正弦公式计算可得． 【详解】221sin cos ,sin cos 15αααα-=+=又0απ≤≤，sin 0α∴≥，故解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，24sin 22sin cos 25ααα∴==， 227cos 2cos sin 25ααα=-=-，sin(2)224πααα∴-=247()22525=+=.故答案为：50. 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属中档题．16．【分析】由条件有两边平方可得当时当时可得答案【详解】解：因为所以所以两边平方得化简得设向量的夹角为则当时当时所以集合中所有元素的绝对值之和为因为所以所以所以所以的取值范围为【点睛】关键点点睛：此题考 解析：[3,4)【分析】由条件有|2||||2|||4a xc xc a xc x ++=++=，两边平方可得3xa c x ⋅=-，当0x ≥时，32cos x θ=+，当0x <时，3cos 2x θ=-，可得答案【详解】解：因为||||4a b a b ++-=，b a xc =+，||||1a c == 所以|2||||2|||4a xc xc a xc x ++=++=， 所以|2|4||a xc x +=-，两边平方得，2244168xa c x x x +⋅+=-+， 化简得，3xa c x ⋅=-，设向量,a c 的夹角为θ，(0,)θπ∈，则cos 32x x θ=-， 当0x ≥时，32cos x θ=+，当0x <时，3cos 2x θ=-，所以集合X 中所有元素的绝对值之和为233122cos 2cos 4cos θθθ+=+--， 因为(0,)θπ∈，所以20cos 1θ≤<， 所以234cos 4θ<-≤，所以212344cos θ≤<-，所以(,)S a c 的取值范围为[3,4)【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积的性质的运用，解题的关键是由已知条件得到3xa c x ⋅=-，然后设出向量,a c 的夹角为θ，则当0x ≥时，32cos x θ=+，当0x <时，3cos 2x θ=-，从而可得集合X 中所有元素的绝对值之和为233122cos 2cos 4cos θθθ+=+--，再利用三角函数的有界性可求得结果，考查数学转化思想17．【分析】建立平面直角坐标系从而得到的坐标这样即可得出的坐标根据与共线可求出从而求出的坐标即得解【详解】建立如图所示平面直角坐标系则：；与共线故答案为：【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表 解析：13【分析】建立平面直角坐标系，从而得到,,a b c 的坐标，这样即可得出a b λ+的坐标，根据a b λ+与c 共线，可求出λ，从而求出a b λ-的坐标，即得解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则：(1,1),(0,1),(2,1)a b c ==-= ；(,1)a b λλλ∴+=-a b λ+与c 共线2(1)02λλλ∴--=∴=(2,3)a b λ∴-=22||2313a b λ∴-=+=13【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.18．10【分析】由函数与直线的图象可知它们都关于点中心对称再由向量的加法运算得最后求得向量的模【详解】由函数与直线的图象可知它们都关于点中心对称所以【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景与平面向量解析：10 【分析】由函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的图象可知，它们都关于点3(1,0)A 中心对称，再由向量的加法运算得1253...5PA PA PA PA +++=，最后求得向量的模. 【详解】由函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的图象可知， 它们都关于点3(1,0)A 中心对称，所以1253...5||5(010PA PA PA PA +++===. 【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景，与平面向量进行交会，考查运用数形结合思想解决问题的能力.19．②④或③②(填一种即可)【分析】利用三角函数图象变换可以先平移后伸缩也可以先伸缩后平移即可得到结论【详解】经过变换②可得到再经过变换④可得;或者经过变换③可得到再经过变换②可得故答案为:②④或③②(解析：②④或③②(填一种即可) 【分析】利用三角函数图象变换,可以“先平移，后伸缩”,也可以“先伸缩，后平移”即可得到结论. 【详解】sin y x =经过变换②可得到sin 2y x =,再经过变换④可得sin(2)3y x π=-;或者sin y x =经过变换③可得到sin()3y x π=-,再经过变换②可得sin 2y x =.故答案为: ②④或③②(填一种即可). 【点睛】本题考查三角函数图象变换,分辨清“先平移，后伸缩”,还是“先伸缩，后平移”是解题的关键,熟练掌握无论是哪种变换,切记每一个变换总是对x 而言,属于中档题.20．【分析】设设则有联立四个方程令整理得到从方程有根判别式大于等于零求得结果【详解】设由题意可知则由与夹角为所以①且②③④因为联立①②③④令即整理得将其看作关于的方程若方程有解则有整理得解得因为所以的最【分析】设设2a b c =-，2b d a =-，则有cos120c d c d ⋅=︒，22(2)(2)522c d a b b a a b a b ⋅=-⋅-=⋅--，2222(2)44c a b a a b b =-=-⋅+，2222(2)44d b a b a b a =-=-⋅+，联立四个方程，令21,m b n a b =+=⋅，整理得到2228204330n mn m m -+-+=，从方程有根，判别式大于等于零求得结果.【详解】设2a b c =-，2b d a =-，由题意可知，则由c 与d 夹角为120︒， 所以cos120c d c d ⋅=︒，①且22(2)(2)522c d a b b a a b a b ⋅=-⋅-=⋅--，②2222(2)44c a b a a b b =-=-⋅+，③2222(2)44d b a b a b a =-=-⋅+，④因为11,cos1202a =︒=-， 联立①②③④，2222244104444b a b a a b b b a b a +-⋅=-⋅+⋅-⋅+，令21,m b n a b =+=⋅，即410m n -=2222168010044316161212129m mn n m mn m mn n n m n -+=---+++--，整理得2228204330n mn m m -+-+=，将其看作关于n 的方程，若方程有解，则有22(20)428(433)0m m m ∆=-⨯⨯-+≥，整理得2770m m -+≤，解得7722m +≤≤因为21m b =+，所以2b 的最大值是75122++-=，故答案为：52+. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题思路如下： （1）根据向量数量积的定义式求得两向量的数量积； （2）根据向量数量积运算法则求得其结果；（3）利用向量的平方与向量模的平方相等，得到等量关系式；（4）联立，从方程有根，判别式大于等于零，得到不等关系式，求得结果.三、解答题21．（1）2425；（2）1665．【分析】（1）由二倍角公式求得cos α，再由平方关系得sin α，然后由正弦的二倍角公式得sin 2α；（2）确定α的范围，得αβ+范围，从而可求得sin()αβ+，再由两角差的正弦公式计算． 【详解】（1）由已知223cos 12sin 1225αα=-=-⨯=⎝⎭，又(0,)απ∈，∴(0,)2πα∈，∴sin 45α==，∴4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=； （2）∵(0,)2πβ∈，∴(0,)αβπ+∈，∴12sin()13αβ+=，∴1235416sin sin[()]sin()cos cos()sin 13513565βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯=． 【点睛】关键点点睛：本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，同角间的三角函数关系，解题关键是确定“已知角”和“未知角”之间的关系，确定选用的公式和应用公式的顺序．在应用三角函数恒等变换公式时注意“单角”和“复角”的相对性．如在sin ,cos αβ，求cos()a β+时，,αβ是单角，αβ+是两个单角的和，但象本题中求sin β时，αβ+作为一个单角，α作为一个单角，()βαβα=+-．由此直接应用公式求解． 22．（1）,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，；（2）,62A B ππ==. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数转化为()2sin 226f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈求解.（2）由()2sin 2206f C C π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，求得3C π=，再由sin 2sin B A =，利用两角和的正弦公式，由sin 2sin 3A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解. 【详解】（1）因为函数2()22cos 1f x x x =--，2cos22x x =--，2sin 226x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得 ,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，； （2）由()2sin 2206f C C π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 得sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22,62C k k Z πππ-=+∈，即,3C k k Z ππ=+∈，因为()0,C π∈， 所以3C π=， 又sin 2sin B A =， 所以sin 2sin 3A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin cos 2sin 22A A A +=，所以tan 3A =， 因为()0,A π∈， 所以,62A B ππ==.【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．23．（1）ABC ∆为直角三角形；（2）5；（3）34,2x λ==. 【分析】（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0，即可证明； （2）根据题意可得()6,5CA CB x +=+-，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；（3）利用向量共线可得方程组，解得即可. 【详解】（1）当1x =时，ABC ∆为直角三角形.证明如下：当1x =时，由()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则()3,3AC =-，()1,1AB =， 此时31310AC AB ⋅=-⨯+⨯=，即AC AB ⊥，即2A π∠=，所以，ABC ∆为直角三角形.（2）由题意，()2,3CA x =+-，()4,2CB =-，则()6,5CA CB x +=+-， 所以，()6255CA CB x +=++≥，当且仅当6x =-时取等号.故当6x =-时，CA CB +取得最小值为5.（3）由题意，()2,3CA x =+-，()4,2CB =-，因CA CB λ=，所以2432x λλ+=⎧⎨-=-⎩，解得432x λ=⎧⎪⎨=⎪⎩.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题. 24．（1）()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）递增区间为7,,1212ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ，x 的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）先求出2A =，根据图形得出周期，可求出2ω=，再代入,06π⎛⎫⎪⎝⎭可求出ϕ；（2）令2222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出增区间，当2322,32x k k Z πππ+=+∈时可得最小值. 【详解】（1）由图可知，2A =， 46124T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即T π=，22πωπ∴==， 则()()2sin 2f x x ϕ=+，2sin 2066f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即,3k k Z πϕπ+=∈，则,3k k Z πϕπ=-∈，0πϕ<<，23πϕ∴=， ()22sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；（2）令2222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得27,121ππππ-+≤≤-+∈k x k k Z ， 故()f x 的单调递增区间为7,,1212ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ，当2322,32x k k Z πππ+=+∈，即25,1ππ=+∈x k k Z 时，()f x 取得最小值为2-， 此时x 的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x =+ωϕ部分图象求解析式的方法： （1）根据图象的最值可求出A ； （2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω；（3）取点代入函数可求得ϕ. 25．（1）1()sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，单调递增区间为,21226k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）()0,2. 【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式化简可得1()sin 262f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由222T ππω==，解得2ω=，带入正弦函数的递增区间242262k x k πππππ-≤-≤+，化简即可得解； （2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据题意只需要max min [()2][()2]g x m g x -<<+，分别在263x ππ≤≤范围内求出()g x 的最值即可得解. 【详解】（1）2()cos cos f x x x x ωωω=-12(cos 21)2x x ωω=-+ 1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由222T ππω==，解得2ω= 所以，1()sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ∵242262k x k πππππ-≤-≤+∴224233k x k ππππ-≤≤+∴21226k k x ππππ-≤≤+ ∴()f x 的单调递增区间为,21226k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ （2）依题意得()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为|()|2g x m -<，所以()2()2g x m g x -<<+因为当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2()2g x m g x -<<+恒成立所以只需max min [()2][()2]g x m g x -<<+转化为求()g x 的最大值与最小值当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()y g x =为单调减函数所以max ()1126g x g π⎛⎫==+=⎪⎝⎭，()min 21103g x g π⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭， 从而max [()2]0g x -=，min [()2]2g x +=，即02m << 所以m 的取值范围是()0,2. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性和最值，考查了三角函数的辅助角公式和平移伸缩变换，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有： （1）三角函数基本量的理解应用； （2）三角函数图像平移伸缩变换的方法； （3）恒成立思想的理解及转化. 26．(1)()26f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=.【分析】(1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴.(3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴.【详解】(1)()()21122ωωωωωω=-=-f x sin x sin x x sin x xcos x ，1222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1，故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ; (3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<， 令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=. 【点睛】本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

【金版学案】2014-2015学年高中数学 第二章章末知识整合试题 苏教版必修4e1，e2是不共线的向量，已知向量AB →＝2e1＋ke2，CB →＝e1＋3e2，CD →＝2e1－e2，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值．分析：因为A 、B 、D 三点共线，所以存在λ∈R ，使AB →＝λBD →，可由已知条件表示出BD →，由向量相等得到关于λ、k 的方程组，求得k 值． 解析：BD →＝CD →－CB →＝e1－4e2.∵A 、B 、D 三点共线，故存在λ∈R ，使AB →＝λBD →.∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)．解得k ＝－8.◎规律总结：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题，利用向量的相等及向量共线的充要条件是将向量问题实数化的根据，是解决问题的关键． 变式训练1．设两个非零向量e1和e2不共线，如果AB →＝e1＋e2，BC →＝2(e1＋4e2)，CD →＝3(e1－e2)，求证：A ，B ，D 三点共线．分析：要证明A ，B ，D 三点共线，只需证AB →∥AD →.证明：∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e1＋e2)＋2(e1＋4e2)＋3(e1－e2)＝6(e1＋e2)＝6AB →. ∴AB →，AD →为共线向量，又AB →，AD →有公共点A ，故A ，B ，D 三点共线．2．如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线所围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是________________，当x ＝－12时，y 的取值范围是________．解析：∵OP →＝xOA →＋yOB →，据平面向量基本定理，取OA →的相反向量OA ′→， ∵y 可以变化，∴x 可以取任意负实数，故x ∈(－∞，0)． 当x ＝－12时，OA ′→＝－12OA →.过A ′作OB →的平行线交OM →于M ，过M 作OA ′的平行线交OB →于E ，则OE →＝12OB →.同理，过A ′作OB →的平行线交AB →的延长线于F.再过F 作OA →的平行线交OB →的延长线于H ，则OH →＝32OB →，因不包括边界，故y ∈⎝⎛⎭⎫12，32. 答案：(－∞，0) ⎝⎛⎭⎫12，32已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP →＝OA →＋tAB →.(1)当t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 分析：(1)将OP →的坐标用t 表示出来，然后讨论OP →的横、纵坐标．(2)若能成为平行四边形，则有OA →＝PB →，解出t 的值；若t 无解，则不能构成平行四边形． 解析：(1)∵OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)， ∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t)． 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，t ＝－13；若点P 在第二象限，则 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.解得－23＜t ＜－13.(2)∵OA →＝(1,2)，PB →＝PO →＋OB →＝(3－3t,3－3t)． 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.又⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1， 3－3t ＝2 无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形． ◎规律总结：向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，引入向量的坐标表示，向量的运算完全化为代数运算，达到了数与形的统一，通过向量的坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题． 变式训练3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求向量MN →的坐标．分析：要求MN →的坐标只要求出M 、N 点的坐标即可．为此须设出M 、N 的坐标，然后用已知条件求出．解析：设M 点坐标为(x ，y)，依题意有 CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)，CM →＝(x ＋3，y ＋4)． ∵CM →＝3CA →，∴(x ＋3，y ＋4)＝3 (1,8)，解得x ＝0，y ＝20，即M 的坐标为(0,20)， 同理可得N 的坐标为(9,2)， ∴MN →＝(9，－18)．4．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E 为△ACD 的重心，F 为△ABC 的外心，证明EF ⊥CD.证明：建立如图所示的平面直角坐标系． 设A(0，b)，B(－a,0)，C(a ，0)，则D ⎝⎛⎭⎫－a 2，b 2，CD →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，易知△ABC 的外心F 在y 轴上． 可设F(0，y)，由|AF →|＝|CF →|，可得(y －b)2＝a2＋y2， 所以y ＝b2－a22b ，即F ⎝⎛⎭⎫0，b2－a22b . 又由重心坐标公式得E ⎝⎛⎫a 6，b 2，则EF →＝⎝⎛⎭⎫－a 6，－a22b ， 所以CD →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－32a ×⎝⎛⎭⎫－a 6＋b 2×⎝⎛⎭⎫－a22b ＝0. 所以CD →⊥EF →，即EF ⊥CD.设0＜|a|≤2，且函数f(x)＝cos2x －|a|sin x －|b|的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b|.分析：要求|a ＋b|需知道|a|、|b|，故可利用函数的最值确立|a|、|b|的值． 解析：f(x)＝1－sin2x －|a|sin x －|b|＝－⎝⎛⎭⎫sin x ＋|a|22＋|a|24－|b|＋1.∵0＜|a|≤2，∴当sin x ＝－|a|2时，14|a|2－|b|＋1＝0；当sin x ＝1时，－|a|－|b|＝－4. 由⎩⎪⎨⎪⎧1 4 |a|2－|b|＋1＝0， －|a|－|b|＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧|a|＝2，|b|＝2.∴|a ＋b|2＝8＋42， 即|a ＋b|＝22＋ 2.◎规律总结：平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用数量积可以计算向量的夹角、长度等．对数量积的正确理解及其性质的灵活应用是解决这类问题的关键．变式训练5．如右图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中：①P1P2→·P1P3→，②P1P2→·P1P4→，③P1P2→·P1P5→，④P1P2→·P1P6→，向量的数量积最大的是________(填序号)．解析：设正六边形边长为a ，则P1P2→·P1P3→＝a ·3a ·cos 30°＝32a2，P1P2→·P1P4→＝a ·2a ·cos60°＝a2，P1P2→·P1P5→＝a ·3a ·cos 90°＝0，P1P2→·P1P6→＝a ·a ·cos 120°＝－12a2，∴数量积最大的是P1P2→·P1P3→.故填①. 答案：①6．如图，在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝1，l 为BC 的垂直平分线且交BC 于点D ，E 为l 上异于点D 的任意一点，F 为线段AD 上的任意一点． (1)求AD →·(AB →－AC →)的值．(2)判断AE →·(AB →－AC →)的值是否为一常数，并说明理由． (3)若AC ⊥BC ，求AF →·(FB →＋FC →)的最大值．解析：( 1)AD →·(AB →－AC →)＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(|AB →|2－|AC →|2)＝4.(2)AE →·(AB →－AC →)的值为一常数． AE →·(AB →－AC →)＝(AD →＋DE →)·(AB →－AC →)＝AD →·(AB →－AC →)＋DE →·(AB →－AC →)＝AD →·(AB →－AC →)＝4. (3)当AC ⊥BC 时，BC ＝22，AD ＝3， AF →·(FB →＋FC →)＝AF →·2FD → ＝2(AF →·FD →)＝2|AF →||FD →|cos 0° ＝2|AF →||FD →|.设|AF →|＝x ，则|FD →|＝3－x ， 所以AF →·(FB →＋FC →)＝2x(3－x) ＝－2⎝⎛⎭⎫x －322＋32， 所以当x ＝32时，AF →·(FB →＋FC →)的最大值为32.如下图所示，以△ABC 的两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC的中点，求证：AM ⊥EF.分析：要证AM ⊥EF ，只需证明AM →·EF →＝0，将AM →用AB →、AC →表示，EF →用AE →、AF →表示，然后通过向量运算证明．证明：因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，EF →＝AF →－AE →，所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF →－AE →)＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →) ＝12(0＋AC →·AF →－AB →·AE →－0) ＝12(AC →·AF →－AB →·AE →) ＝12[|AC →||AB →|cos(90°＋∠BAC)－ |AB →||AC →|cos(90°＋∠BAC)]＝0， 所以AM →⊥EF →，即AM ⊥EF.◎规律总结：平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和全等、平行、数乘向量和相似，距离、夹角和向量的数量积之间有密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．解决问题的关键是恰当地引入向量，通过向量运算，解释几何性质．二是在物理中的应用，主要解决力、位移、速度等问题．解题的关键在于运用向量的观点将物理问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型．变式训练7．如右图，O 为△ABC 的外心，E 为三角形内的一点，满足OE →＝OA →＋OB →＋OC →，求证：AE →⊥BC →.证明：∵BC →＝OC →－OB →，AE →＝OE →－OA →＝(OA →＋OB →＋OC →)－OA →＝OB →＋OC →， ∴AE →·BC →＝(OC →＋OB →)·(OC →－OB →) ＝|OC →|2－|OB →|2.∵O 为外心，∴|OC →|＝|OB →|. 即AE →·BC →＝0，∴AE →⊥BC →.8．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．解析：如题图所示，5|x|＝tan 30°，∴|x|＝53≈8.66 (km/h)． 5|y|＝sin 30°，∴|y|＝10 (km/h)． 即水速约为8.66 km/h ，船实际速度为10 km/h.在直角坐标平面中，已知点P1(1,2)，P2(2,22)，P3(3,23)，…，Pn(n,2n)，其中n 是正整数，对平面上任意一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，An 为An －1关于点Pn 的对称点． (1)求向量A0A2→的坐标；(2)当点A0在曲线C 上移动时，点A2的轨迹是函数y ＝f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x ∈(0,3]时，f(x)＝lg x ，求以曲线C 为图象的函数在(1,4]上的解析式． 分析：(1)求一点关于另一点的对称点，利用中点坐标公式求之； (2)由图象的平移和周期求出函数的解析式． 解析：(1)设点A0(x ，y)，A0关于点P1的对称点A1的坐标为A1(2－x,4－y)， A1关于点P2的对称点A2的坐标为A2(2＋x,4＋y)， 所以A0A2→＝(2,4)．(2)方法一 ∵A0A2→＝(2,4)，∴f(x)的图象由曲线C 向右平移2个单位，再向上平称4个单位得到．因此，曲线C 是函数y ＝g(x)的图象，其中g(x)是以3为周期的周期函数， 且当x ∈(－2,1]时，g(x)＝lg(x ＋2)－4. 于是，当x ∈(1,4]时，g(x)＝lg(x －1)－4. 方法二 设A0(x ，y)，A2(x2，y2)，于是⎩⎪⎨⎪⎧x2－x ＝2，y2－y ＝4.若3＜x2≤6，则0＜x2－3≤3， 于是f(x2)＝f(x2－3)＝lg(x2－3)．当1＜x ≤4时，则3＜x2≤6，y ＋4＝lg(x －1)． ∴当x ∈(1,4]时，g(x)＝lg(x －1)－4.◎规律总结：向量作为一种基本工具，在数学解题中有着重要的地位与作用，它的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其他许多问题时获得了广泛的应用．利用向量知识和向量方法可以非常简捷、规范地处理代数中的数列、函数、方程、不等式等有关问题． 变式训练9．已知点A(2,2)，B(4,1)，O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点，当AP →·BP →取最小值时，求向量PA →与PB →的夹角的余弦值．解析：设P 点的坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)， ∴AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.∴当x ＝3时，AP →·BP →取最小值1，此时PA →＝(2,2)－(3,0)＝(－1,2)，PB →＝(4,1)－(3,0)＝(1,1)． ∴|PA →|＝5，|PB →|＝ 2.∴cos ∠APB ＝PA →·PB →|PA →||PB →|＝1010.10．如右图，在平面斜坐标xOy 中．∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的：若OP →＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y)．(1)若点P 的斜坐标为(2，－2)，求P 到O 的距离|OP|；(2)求以O 为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程．解析：(1)因点P 的坐标为(2，－2)，故OP →＝2e1－2e2，|OP →|＝2，即|OP|＝2. (2)设圆上动点M 的坐标为(x ，y)， 则OM →＝xe1＋ye2，又|OM →|＝1.∴(xe1＋ye2)2＝1. ∴x2＋y2＋2xye1·e2＝1， 即x2＋y2＋xy ＝1，故所求方程为x2＋y2＋xy －1＝0.。

【金版学案】2016-2017学年苏教版高中数学必修2(测试)模块综合检测卷(二)-Word版含解析模块综合检测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是M (1，2)，则直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0解析：由题意知k OM ＝2－01－0＝2， 所以k PQ ＝－12. 所以直线PQ 的方程为：y －2＝－12(x －1)， 即：x ＋2y －5＝0.答案：B2．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5，1)到l 的距离为10，则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：由⎩⎨⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2，2)． 设l 的方程为y －2＝k (x －2)，解析：C1：(x－1)2＋y2＝1，C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．如图所示，当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意，则－33<m<0或0<m<3 3.答案：B10．已知实数x，y满足x2＋y2＝4，则S＝x2＋y2－6x－8y＋25的最大值和最小值分别为()A．49，9 B．7，3C.7， 3 D．7， 3解析：函数S＝x2＋y2－6x－8y＋25化为(x－3)2＋(y－4)2＝S，它是以点C(3，4)为圆心，半径为S的圆，当此圆和已知圆x2＋y2＝4外切和内切时，对应的S的值即为要求的最小值和最大值．当圆C与已知圆x2＋y2＝4相外切时，对应的S为最小值，此时两圆圆心距等于两圆半径之和，即5＝S min＋2，求得S min＝9；当圆C与已知圆x2＋y2＝4相内切时，对应的S 为最大值，此时两圆圆心距等于两圆半径之差，即5＝S max －2，求得S max ＝49.答案：A11．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14 解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14，故选A. 答案：A12．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9解析：设动圆圆心为P ，已知圆的圆心为A (5，－7)，则外切时|PA |＝5，内切时|PA |＝3，所以P 的轨迹为以A 为圆心，3或5为半径的圆，选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________．解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线， 故得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4，所以a ＋b ＝2. 答案：214．圆x 2＋(y ＋1)2＝3绕直线kx －y －1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为________．解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx －y －1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S ＝4π(3)2＝12π.答案：12π15．过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：借助圆的几何性质，确定圆的最短弦的位置，利用半径、弦心距及半弦长的关系求弦长．设A (3，1)，易知圆心C (2，2)，半径r ＝2，当弦过点A (3，1)且与|CA |＝（2－3）2＋（2－1）2＝ 2. 所以半弦长＝r 2－|CA |2＝4－2＝ 2.所以最短弦长为2 2.答案：2216．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.解析：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所示．三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，三棱柱的高为5，故其体积V1＝12×3×4×5＝30(cm3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为3，故其体积V2＝13×12×3×4×3＝6(cm3)，所以所求几何体的体积为30－6＝24(cm3)．答案：24三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x ＋my－1＝0，试确定m，n的值，使：(1)l1与l2相交于点(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.解：(1)因为l1与l2相交于点(m，－1)，所以点(m，－1)在l1，l2上．将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1.又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7.故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，则有⎩⎨⎧m 2－16＝0，m ×（－1）－2n ≠0，解得⎩⎨⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8×m ＝0，得m ＝0.则l 1为y ＝－n 8，由于l 1在y 轴上的截距为－1， 所以－n 8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8. 18．(本小题满分12分)有一块扇形铁皮OAB ，∠AOB ＝60°，OA ＝72 cm ，要剪下来一个扇环形ABCD ，作圆台容器的侧面，并且在余下的扇形OCD 内能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面)．(1)AD 应取多长？(2)容器的容积为多大？解：(1)如图①和图②所示，设圆台上、下底面半径分别为r ，R ，AD ＝x ，则OD ＝72－x .图① 图②由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2πR ＝60×π180·72，2πr ＝60×π180（72－x ），72－x ＝3R .所以R ＝12，r ＝6，x ＝36，所以AD ＝36 cm.(2)圆台所在圆锥的高H ＝722－R 2＝1235， 圆台的高h ＝H 2＝635，小圆锥的高h ′＝635， 所以V 容＝V 大锥－V 小锥＝13πR 2H －13πr 2h ′＝50435π. 19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥S -ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ；(2)BC ⊥SA .证明：(1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB.所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.20．(本小题满分12分)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2.所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.21．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E-ABC的体积．(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：如图所示，取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)解：因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33. 22．(本小题满分12分)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.所以圆C 1的圆心坐标为(3，0)．(2)设动直线l 的方程为y ＝kx .联立⎩⎨⎧（x －3）2＋y 2＝4，y ＝kx⇒(k 2＋1)x 2－6x ＋5＝0， 则Δ＝36－4(k 2＋1)×5>0⇒k 2<45. 设A ，B 两点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 2＋1⇒AB 中点M 的轨迹C 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 2＋1，y ＝3k k 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－255<k <255，即轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，53<x ≤3. (3)联立⎩⎨⎧x 2－3x ＋y 2＝0，y ＝k （x －4）⇒(1＋k 2)x 2－(3＋8k )x ＋16k 2＝0. 令Δ＝(3＋8k )2－4(1＋k 2)16k 2＝0⇒k ＝±34. 又因为轨迹C (即圆弧)的端点⎝ ⎛⎭⎪⎫53，±253与点(4，0)决定的直线斜率为±257. 所以当直线y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－257，257∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34.。

第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数关系A 级 基础巩固一、选择题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：由sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.答案：B2．sin 2α＋cos 4α＋sin 2α cos 2α的化简结果是( ) A.14 B.12 C.32D ．1 解析：sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1.答案： D3．已知tan α＝13，且0≤α≤π，则sin α·cos α的值为( )A ．±310 B.310 C.310 D ．±310解析：sin α·cos αsin α＋cos α＝tan αtan α＋1＝310.答案：B4．若α∈[0，2π)，且有1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π 解析：因为1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α， 所以sin α≥0，且cos α≤0.又α∈[0，2π)，所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.答案：B5．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为( )A ．0B ．8C ．0或8D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 解得m ＝0或8. 答案：C6．化简sin α1＋sin α－sin α1－sin α的结果为________．解析：sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α. 答案：－2tan 2α7．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α. 所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2. 答案：－28．若A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则△ABC的形状为________三角形．解析：因为sin A ＋cos A ＝23，则(sin A ＋cos A )2＝49.所以sin A cos A ＝－518<0，则A 为钝角． 故△ABC 为钝角三角形． 答案：钝角9．cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎨⎧sin α＝－25，cos α＝－15.所以tan α＝sin αcos α＝2. 答案：210．化简下列各式： (1)1＋sin θ1－sin θ＋1－sin θ1＋sin θ；(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－sin x1＋sin x－1＋sin x 1－sin x ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－cos x1＋cos x－1＋cos x 1－cos x .解：(1)原式＝ （1＋sin θ）21－sin 2θ＋（1－sin θ）21－sin 2θ＝1＋sin θ|cos θ|＋1－sin θ|cos θ|＝2|cos θ|. (2)原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－sin 2x（1＋sin x ）2－1－sin 2x （1－sin x ）2·⎣⎢⎢⎡1－cos 2x（1＋cos x ）2－⎦⎥⎥⎤1－cos 2x （1－cos x ）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|cos x |1＋sin x －|cos x |1－sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫|sin x |1＋cos x －|sin x |1－cos x ＝－2sin x ·|cos x |cos 2x ·－2cos x ·|sin x |sin 2x ＝4|sin x ·cos x |sin x ·cos x⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠n π2，n ∈Z ，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫n π，n π＋π2时，原式＝4； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π2，（n ＋1）π时，原式＝－4. B 级 能力提升11．若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－cos θ的值为( )A ．－32 B.32 C ．－52 D.52解析：由题意知θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ＝（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝52.答案：D12．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( )A.45B.35C.25D.15解析：因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角， 所以tan α＝34.所以cos α＝43sin α.代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＋169sin 2α＝1.所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.答案：B 13．使 1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是________．解析：1－cos α1＋cos α＝（1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，所以sin α<0.故2k π－π<α<2k π，k ∈Z. 答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z} 14．化简：tan α＋tan αsin αtan α＋sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α·sin α1＋sin α. 解：原式＝tan α（1＋sin α）tan α＋sin α·cos α＋1cos α·sin α1＋sin α＝sin αcos αsin αcos α＋sin α·1＋cos αcos α·sin α＝11＋cos α·1＋cos αcos α·sin α＝sin αcos α＝tanα.15．已知3sin α－2cos α＝0，求1sin αcos α的值．解：由3sin α－2cos α＝0，得tan α＝2 3.1sin αcos α＝sin2α＋cos2αsin αcos α＝tan2α＋1tan α＝136.。

章末过关检测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析：直线斜率为k ＝2＋3－24－1＝33，故倾斜角为30°.答案：A2．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为( ) A ．(－2，1) B ．(2，1) C ．(1，－2)D ．(1，2)解析：直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为 (x ＋2)m ＋1－y ＝0，令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.答案：A3．直线x ＋ky ＝0，2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点，则k 的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，则点(－1，－2)在直线x ＋ky ＝0上，得k ＝－12.答案：B4．若坐标原点在圆x 2＋y 2－2mx ＋2my ＋2m 2－4＝0的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－22，22C ．(－3，3)D ．(－2，2)解析：由题设把原点代入方程 02＋02－2m ·0＋2m ·0＋2m 2－4<0， 所以－2<m < 2. 答案：D5．两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0与x 2＋y 2＋2x －12＝0的公共弦长等于( )A ．4B ．2 3C ．3 2D ．4 2 解析：公共弦方程为x －2y ＋6＝0，圆x 2＋y 2＋2x －12＝0的圆心(－1，0)，半径r ＝13，d ＝ 5. 所以弦长＝2×13－5＝4 2.答案：D6．与圆(x ＋2)2＋y 2＝2相切，且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线条数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：当截距均为0时，即直线过原点易知有两条切线；当截距不为0时，设切线为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0，由圆心(－2，0)到切线的距离等于半径2，解得a ＝－4，即此时切线为x ＋y ＋4＝0，故共有3条．答案：C7．(2014·安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.(]0°，30°B.(]0°，60°C.[]0°，30°D.[]0°，60°解析：法一 如图所示，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知|OP |＝2，|OA |＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0°，60°.故选D.法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0°，60°.答案：D8．以A (－2，－2)，B (－3，1)，C (3，5)，D (7，－7)为顶点的四边形是( )A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．梯形答案：D9．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0答案：A10．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x －y －5＝0或2x －y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0解析：设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.答案：D11．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的( )A.316B.916C.38D.58 答案：A12．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°解析：S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝l .设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl 180°＝2πr ，所以θ＝180°.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中的横线上)13．直线5x ＋12y ＋13＝0与直线10x ＋24y ＋5＝0的距离是________．解析：把5x ＋12y ＋13＝0化为10x ＋24y ＋26＝0，由平行线之间的距离公式d ＝|26－5|26＝2126.答案：212614．在z 轴上与点A (－4，1，7)和点B (3，5，－2)等距离的点C 的坐标为________．解析：设C 点的坐标为(0，0，z )， 由|AC |＝|BC |，得|AC |2＝|BC |2.于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2， 解得z ＝149.故点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149 15．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.设圆O 到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________．解析：圆心O 到直线x cos θ＋y sin θ＝1距离d ＝1，即直线与圆相交．因为半径r ＝5＞2，所以O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4个，所以k ＝4.答案：416．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________．解析：作出图象，如图所示．依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°，此时a ＝1，b ＝－1，满足题意， 所以a 2＋b 2＝2. 答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过A (－2，3)，B (4，－1)的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式．解：过A ，B 两点的直线方程是y ＋13＋1＝x －4－2－4， 点斜式为：y ＋1＝－23(x －4)，斜截式为：y ＝－23x ＋53，截距式为：x 52＋y53＝1，一般式为：2x ＋3y －5＝0.18．(本小题满分12分)点A (0，2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．解：设点M (x ，y )．M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC ， 又因为∠BAC ＝90°，所以|MA |＝12|BC |＝|MB |.因为|MB |2＝|OB |2－|OM |2，所以|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.所以所求轨迹为以(0，1)为圆心，以7为半径的圆．19．(本小题满分12分)若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，求圆C 的方程．解：如图所示，因为圆C 经过坐标原点O 和点A (4，0)，所以圆心必在线段OA 的中垂线上， 所以圆心的横坐标为2，设圆心坐标为C (2，b )，b ＜0，半径为R . 因为圆与直线y ＝1相切， 所以R ＝1－b ，且b 2＋22＝ R 2＝(1－b )2.解得b ＝－32，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－32，半径R ＝1－b ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝52. 所以圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.20．(本小题满分12分)已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值．解：设x ＋y ＝t ，则直线y ＝－x ＋t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点．所以|3＋3－t |2≤ 6.所以6－23≤t ≤6＋2 3.因此x ＋y 最小值为6－23，最大值为6＋2 3.21．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R)．(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长．解：(1)直线l 可变形为y －1＝m (x －1)， 因此直线l 过定点D (1，1)， 又12＋（1－1）2＝1<5，所以点D 在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交． (2)由题意知m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝m ， 又k ＝tan 120°＝－3，即m ＝－ 3.此时，圆心C (0，1)到直线l ：3x ＋y －3－1＝0的距离 d ＝|－3|（3）2＋12＝32，又圆C 的半径r ＝5， 所以|AB |＝2r 2－d 2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝17. 22．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线l 1：2x －y ＋1＝0上，与直线3x －4y ＋9＝0相切，且截直线l 2：4x －3y ＋3＝0所得的弦长为2，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＋1＝0，|3a －4b ＋9|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4a －3b ＋352＋1＝r 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|3a －4（2a ＋1）＋9|＝5r ，[4a －3（2a ＋1）＋3]2＋25＝25r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|a －1|＝r ，4a 2＋25＝25r 2.化简，得4a 2＋25＝25(a －1)2. 解得a ＝0或a ＝5021.因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5021，b ＝12121，r ＝2921.故所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1或⎝⎛⎭⎪⎫x －50212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －121212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫29212.。