第七章 导行电磁波(3) 传输线理论

长线效应：
u(z) z
C z
G z
为了研究无限长传输线的支配方程，定义电压u 和电流i均是距离和时间的函数，即
⎧u = u( z , t ) ⎨ ⎩i = i( z , t )
(2-1)
二、传输线方程
利用Kirchhoff 定律，有
⎧ ∂ i( z , t ) ⎤ ⎡ − u( z + Δ z , t ) + u( z , t ) = ⎢ Ri( z , t ) + L ⎪ ⎥ Δz ∂t ⎦ ⎪ ⎣ ⎨ ⎪ − i( z + Δ z , t ) + i( z , t ) = ⎡ Gu( z , t ) + C ∂ u( z , t ) ⎤ Δ z ⎢ ⎪ ∂t ⎥ ⎣ ⎦ ⎩
四、无耗传输线的边界条件
若进一步引入：
U (0) = Γ (0)U (0)
− +
则可以简洁地写出：
U ( z ) = U + (0)e − jβz + U − (0)e jβz 1 I ( z) = (U + (0)e − jβz − U − (0)e jβz ) Z0
传 输 线 方 程 的 求 解 过 程
Z in ( z ) = U ( z) I ( z)
均匀无耗传输线
Z in ( z ) = Z 0 Z L + jZ 0 tg β z Z 0 + jZ L tg β z
小结：传输线的特性参量
4、反射系数 距终端z处的反射波电压Ur(z)与入射波电压Ui(z)之比 定义为该处的电压反射系数Γu(z)，即
U i (z ) U r (z ) R + jωL Z0 = =− = I i (z ) I r (z ) G + jωC
对于无耗传输线( R = 0, G = 0 )，则
Z0 = L C
在无耗或低耗情况下，传输线的特性阻抗为一实数，
小结：传输线的特性参量
3、输入阻抗 传输线终端接负载阻抗ZL时，距离终端z处向负载方向看 去的输入阻抗定义为该处的电压U (z)与电流I (z)之比，即
二次求导的结果 d 2U
dz 2 d2I + β2I = 0 dz 2
+ β 2U = 0
β 其中： =
ω
LC
(2-7)
三、无耗传输线方程及其通解
从而
U ( z ) = A1e
− jβz
+ A2e
jβz
(2-8)
1 − jβz jβz I ( z ) = ( A1e − A2e ) z0
其中，
Z0 = L C
传输线支配方程 ⎧ dU ( z ) ⎪ − dz = jω LI ( z ) ⎪ ⎨ ⎪ − dU ( z ) = jω CU ( z ) ⎪ dz ⎩
确定 A1， A2的边界条件 • 终端条件 (已知 Z l， U l ) • 始端条件 (已知 I 0， U 0 ) • 电源阻抗条件 (已知 E g， Z l， Z g )
Il
)
可求
1 1 ⎧ jβ ( l − z ) U ( z ) = (U l + Z0 I l )e + (U l − Z0 I l )e − jβ ( l − z ) ⎪ 2 2 ⎪ ⎨ 1 1 ⎪I( z ) = (U l + Z0 I l )e jβ ( l − z ) − (U l − Z0 I l )e − jβ ( l − z ) ⎪ 2 Z0 2 Z0 ⎩
U 0 , I0
)
⎧U ( 0) = U 0 ⎨ ⎩ I ( 0) = I 0
在求解时，用z=0代入通解(2-8)式，有
⎧ U 0 = A1 + A2 ⎪ 1 ⎨ ⎪I 0 = z ( A1 − A2 ) 0 ⎩
1 A1 = (U0 + Z0 I0 ) 2 1 A2 = (U0 − Z0 I0 ) 2
β = ω LC
Z0 = L C
μ η= ε
四、无耗传输线的边界条件
把通解转化为具体解，必须应用边界条件。所讨论的 边界条件有：终端条件、源端条件和电源、阻抗条件。 所建立的也是两套坐标，z从源出发， z'从负载出发。
边界条件坐标系(
( z + z ' ≡ 1) )
四、无耗传输线的边界条件
1. 源端边界条件(已知
四、无耗传输线的边界条件
3. 电源阻抗条件(已知
E g , Z g 和Z l
)
最后得
EgZ0 ⎧ e − j β z + Γl e − j 2 β z e j β z ⎪U (z ) = (Z + Z ) • (1 − Γ g Γl e − j 2 β z ) 0 g ⎪ ⎨ Eg e − j β z − Γl e − j 2 β z e j β z ⎪ I (z ) = • ⎪ (Z g + Z 0 ) (1 − Γ g Γl e − j 2 β z ) ⎩
(2-9)
四、无耗传输线的边界条件
1 1 ⎧ − jβz U ( z ) = (U 0 + Z0 I 0 )e + (U 0 − Z0 I 0 )e jβz ⎪ 2 2 ⎪ ⎨ 1 1 ⎪I( z ) = (U 0 + Z0 I 0 )e − jβz − (U 0 − Z0 I 0 )e jβz ⎪ 2 Z0 2 Z0 ⎩
一次特征量 L — 单位长度电感 C — 电位长度电容
终端条件 ⎧U ( z ' ) = cos β z ' U l + jZ 0 sin β z ' I l ⎪ 1 ⎨ I ( z ' ) = j cos β z ' U l + cos β z ' I l ⎪ Z0 ⎩
二次特征量
β = ω LC
Z0 = L C
一、场的方法向路的方法转化
分布参数及分布参数电路
传输线有长线和短线之分。所谓长线是指传输线的 几何长度与线上传输电磁波的波长比值(电长度)大于或 接近1，反之称为短线。 长线 短线 分布参数电路 集总参数电路 考虑分布参数效应 忽略分布参数效应
当频率提高到微波波段时，这些分布效应不可忽 略，所以微波传输线是一种分布参数电路。这导致传 输线上的电压和电流是随时间和空间位置而变化的二 元函数。
− jβ z jβ z
z
)
EgZ0 ⎧ e − j β z + Γl e − j 2 β z e j β z ⎪U ( z ) = (Z + Z ) • (1 − Γ g Γl e − j 2 β z ) g 0 ⎪ ⎨ Eg e − j β z − Γl e − j 2 β z e jβ z ⎪ I (z ) = • ⎪ (Z g − Z 0 ) (1 − Γ g Γl e − j 2 β z ) ⎩
为传输线的特性阻抗
式(2-8)称为传输线方程之通解。 而A1,A2的确定还需要边界条件。
场方法
dE − = jωμH dz dH − = jωεE dz
d 2E + k2E = 0 dz 2 d2H + k2H = 0 dz 2
路方法
dU = jωLI dz dI − = jωCU dz −
d 2U + β 2U = 0 2 dz d2I + β2I = 0 dz 2
其中 α =
β = ω LC
对于低耗传输线有(无耗传输线 R = 0, G = 0 )
⎧α = 0 ⎨ ⎩ β = ω LC
小结：传输线的特性参量
2、特性阻抗 传输线的特性阻抗定义为传输线上入射波电压Ui (z) 与入射波电流Ii (z)之比，或反射波电压Ur (z)与反射波 电流Ir (z)之比的负值，即
第七章（3） 传输线基本理论
（微波传输线电报方程的求解）
一、场的方法向路的方法转化
微波技术的基本理论是经典的电磁场理论:即从麦 克斯韦方程出发，在特定边界条件下解电磁波动方 程，求得场量的时空变化规律，分析电磁波沿线的各 种传输特性。但是，作为偏微分方程组的Maxwell方 程又很难求解。因此，在微波中又探讨第二种研究方 法，即路的方法。 微波可以用路技术有它的客观原因。因为不论是 低频电路，或者微波，在工程应用中都十分关心能量 的传输情况。它们间有着共同的方法本质，成为用路 技术进一步研究的基础。
A2 e − jβ z A Γ u ( z) = = = 2 e − j2β z U i ( z ) A1e − jβ z A1 终端反射系数 Γ L = A2 = A2 e j (φ 2 −φ1 ) = Γ L e jφ L A1 A1 U r ( z)
场 方 法 与 路 方 法 对 比
E( z) = A1e− jkz + A2e jkz H ( z) = ( A1e− jkz − A2e jkz ) 1
U ( z ) = A1e − jβz + A2e jβz 1 I ( z ) = ( A1e − jβz − A2e jβz ) z0
η
k = ω με
[ [
]
]
dU − = ( R + jωL) I = ZI dz dI − = (G + jωC )U = YU dz
(2-5)
三、无耗传输线方程及其通解
无耗传输线是我们所研究的最重要条件之一，可表示 为：R=0，G=0， 这时方程写出
dU − = jωLI dz dI − = jωCU dz
(2-6)
νp = λg =
f
ω = β
= 2π
1 LC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱνp
β
始端条件 ⎧U ( z ) = cos β zU 0 + jZ 0 sin β zI 0 ⎪ 1 ⎨ I ( z' ) = − j cos β zU 0 + cos β zI 0 ⎪ Z0 ⎩