2.2 圆的对称性练习题(1)(无答案)(新版)苏科版

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.2圆的对称性》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．如图，⊙O的直径AB＝8，弦CD⊥AB于点P，若BP＝2，则CD的长为（）A．B．C．D．2．已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD 上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个3．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点M是弦AB上的动点，则（）A．4≤OM≤5B．3≤OM＜5C．3＜OM≤5D．3≤OM≤5 4．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（）A．8B．10C．4D．45．如图所示一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（）A．B．2m C．D．3m6．如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（）A．4+B．9C．4D．67．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则∠AOC等于（）A．120°B．125°C．130°D．145°8．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC ＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°二．填空题（共8小题，满分40分）9．如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝．10．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为m．11．已知⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则弦AB与CD之间的距离为cm．12．如图，⊙O的半径为9cm，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC 的中点D，则AB的长为．13．⊙O中，点C在直径AB上，AC＝3BC，过点C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝度．14．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数．15．如图，在半径为13的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD ＝24，则OP的长是．16．如图，在⊙O中，＝，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正确的是（填序号）．三．解答题（共6小题，满分40分）17．如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）＝；（2）AE＝CE．18．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD 相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．19．如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CF∥BD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．20．两龙”高速公路是目前我省高速公路隧道和桥梁最多的路段，如图，是一个单心圆曲隧道的截面．若路面AB宽为10米，净高CD为7米，求圆的半径．21．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）求证：四边形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．22．如图，已知圆O上依次有A、B、C、D四个点，弧AD＝弧BC，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若BD＝5，求BF的长；（2）设G是BD的中点，探索：在圆O上是否存在一点P（不同于点B），使得PG＝PF？并说明PB与AE的位置关系．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：连接OC，如图，∵CD⊥AB，∴CP＝DP，∵AB＝8，∴OC＝OB＝4，∴PB＝2，∴OP＝2，∴PC＝＝＝2，∴CD＝2PC＝4．故选：C．2．解：∵CD是直径，∴OC＝OD＝CD＝×10＝5，∵AB⊥CD，∴∠AMC＝∠AMD＝90°，∵AM＝4.8，∴OM＝＝1.4，∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6，∴AC＝＝8，AD＝＝6，∵AM＝4.8，∴A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，故选：C．3．解：当M与A（B）重合时，OM的值最大＝OA＝5；当OM垂直于AB时，可得出M为AB的中点，此时OM最小，连接OA，在Rt△AOM中，OA＝5，AM＝AB＝4，根据勾股定理得：OM＝＝3，∴3≤OM≤5，故选：D．4．解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∠AEC＝90°，由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣2）2+42，解得：R＝5，即OA＝OC＝5，OE＝5﹣2＝3，∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，∴AC＝＝＝4，故选：C．5．解：如图，取圆心为O，连接OA，设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD＝AB＝1m，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r＝，∴该拱门的半径为m，故选：A．6．解：连接OC，OF，设OB＝x，∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上，∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°，∵BG＝4，四边形BEFG是正方形，∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°，在Rt△BCO中，OC＝，在Rt△FEO中，OF＝，∵OF＝OC，∴5x2＝x2+8x+32，解得x＝4或x＝﹣2（舍去）当x＝4时，OC＝4，则半圆O的半径是4．故选：C．7．解：O关于直线AC的对称点是Q，连接OQ，交AC于M，则AC垂直平分OQ，即AQ＝AO，OM⊥AC，∵OQ＝OA，∴OQ＝AQ＝OA，∴△AQO是等边三角形，∴∠AOQ＝60°，∵OQ⊥AC，OA＝OC，∴∠COQ＝∠AOQ＝60°，∴∠AOC＝60°+60°＝120°，故选：A．8．解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，∴∠APO＝∠AQO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∵DE＝FG＝MN，∴OP＝OK＝OQ，∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝＝115°．故选：C．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：设OA＝OC＝r，∵OC⊥AB，OC是半径，∴AE＝EB＝4，在Rt△AEO中，OA2＝AE2+OE2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5．故答案为：5．10．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rcm，OC＝（6﹣r）m，∴22+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径长为m．故答案为：．11．解：过点O作OE⊥AB于E，直线OE交CD于F，连接OA、OC，如图：∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AB＝BE＝AB＝12，CF＝DF＝CD＝5，在Rt△OAE中，OE＝＝5，在Rt△OCF中，OF＝＝12，当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，EF＝OF﹣OE＝12﹣5＝7（cm），当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，EF＝OF+OE＝12+5＝17（cm），综上所述，弦AB和CD之间的距离为7cm或17cm．12．解：∵⊙O的半径为9cm，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OD＝CD＝9＝3（cm），OC＝OD+CD＝6cm，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴∠ACO＝90°，AC＝BC，即AB＝2AC，连接OA，由勾股定理得：AC＝＝＝3，即AC＝BC＝3，∴AB＝AC+BC＝6，故答案为：6．13．解：连接OE，∵EF⊥AB，AC＝3BC，∴BC＝OC＝OA，∴∠OEF＝30°，∴∠EOF＝180°﹣2∠OEF＝120°．故答案为：120．14．解：连接OE，如图，∵弧CE的度数为40°，∴∠COE＝40°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵弦CE∥AB，∴∠AOC＝∠OCE＝70°．15．解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝5，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB＝90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP＝∠ONP＝90°∴四边形MONP是矩形，∵OM＝ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP＝5故答案为：5．16．解：在⊙O中，＝，∴AB＝CD，故①正确；∵BC为公共弧，∴＝故④正确；∴AC＝BD，故②正确；∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．故答案为：①②③④．三．解答题（共6小题，满分40分）17．证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝．（2）∵＝，∴AD＝BC，∵∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB，∴△ADE≌△CBE（AAS），∴AE＝EC．18．（1）证明：如图：连接BD，∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，∴∠CFG＝∠GEB，∵∠CGF＝∠BGE，∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE，∵AB⊥CD于E，∴∠GEB＝∠DEB，在△GBE和△DBE中，，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG．（2）解：如图：连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，由（1）可知ED＝EG，∴OE＝，∵AB⊥CD于E，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，即（）2+42＝r2，解得：r＝，即⊙O的半径为．19．证明：∵AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点，∴AB⊥CD，∴＝，∵CF∥BD，∴∠AGF＝∠B，∴∠AGF＝∠F，∴AG＝AF．20．解：∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝×10＝5m，在Rt△OAD中，设半径OA＝R，OD＝CD﹣R＝7﹣R，∴OA2＝OD2+AD2，即R2＝（7﹣R）2+52，解得R＝，∴此隧道圆的半径OA是m．21．（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝AB，AE＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，∴四边形ADOE是正方形；（2）解：连接OA，∵AC＝2cm，∴AE＝1cm，在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），答：⊙O的半径是cm．22．解：（1）连接AC，∵AB＝BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF＝AC，∵＝，∴＝，∴BD＝AC，∴BF＝BD＝；（2）解：存在．过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE＝∠CAE，∵＝，∴∠CAB＝∠DBA，由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP＝∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG＝BD，∴BG＝BF，在△PBG和△PBF中，，∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG＝PF．。

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.2圆的对称性》能力达标专题训练（附答案）1．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，OE＝3，CD＝8，AB ＝（）A．B．10C．D．52．如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（）A．8B．16 C．32D．323．工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个槽孔的宽口AB的长度为（）A．6mm B．8mm C．10mm D．5mm4．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三时寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则r＝cm．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．5．如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF的长度的取值范围是．6．如图，⊙O的半径为13，AB＝24，若点P在弦AB上运动，则OP的取值范围是．7．如图⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD＝8，BE＝2，则⊙O的直径为．8．在半径为2的圆中，弦AB、AC的长度分别是2、2，则弦BC的长度是．9．如图，在⊙O中，C是弦AB上一点，AC＝2，CB＝4．连接OC，过点C作DC⊥OC，与⊙O交于点D，DC的长为．10．在⊙O中，弦AB＝8，直径EF＝10，则点O到弦AB的距离为．11．如图，⊙O半径为2，弦AB∥弦CD，AB＝2，CD＝2，则AB和CD之间的距离．12．如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径长为6，AB＝6，在⊙O上取一点C，使得AC ＝8，则弦BC的长度为．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝6cm，则AE＝cm．14．如图，⊙O是一个油罐的截面图．已知⊙O的直径为5m，油的最大深度CD＝4m（CD ⊥AB），则油面宽度AB为m．15．小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD ＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为cm．16．如图，⊙O的半径为4，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于点D，OD＝2，则∠BAC ＝．17．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC＝BD；（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC 的长．18．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．19．已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝CD．求证：∠AOC＝∠DOB．20．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．21．如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度AB为24m，点O是所在圆的圆心，⊙O 的半径为13m，求桥拱的高度．（弧的中点到弦的距离）参考答案1．解：∵CD⊥AB且AB为直径，CD＝8，∴，连接CO，∵在Rt△COE中，OE＝3，CE＝4，∴，∴AB＝2CO＝10，故选：B．2．解：过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，连接OA，OB，OD，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∵分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，∴OH＝OA，∴∠HAO＝30°，∴∠AOH＝60°，同理∠DOG＝60°，∴∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOD+∠AOB＝180°，∴D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝AO＝4，AB＝AD＝4，∴四边形ABCD的面积是16，故选：B．3．解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm，∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD＝3mm，在Rt△AOD中，∵AD＝＝＝4mm，∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．故选：B．4．解：∵OC⊥AB，AB＝90cm，∴AD＝AB＝45（cm），由题意得：OD＝（r﹣15）cm，在Rt△OAD中，由勾股定理得：r2＝452+（r﹣15）2，解得：r＝75，即车轮半径为75cm，∴车轮直径为150cm，通过单位换算车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．故答案为：75．5．解：连接OE、OF、OA、OC，如图所示：∵⊙O的直径为10，∴OA＝OC＝5，∵点E、F分别是弦AB、CD的中点，AB＝6，CD＝8，∴OE⊥AB，OF⊥CD，AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，∴OE＝＝＝4，OF＝＝＝3，当AB∥CD时，E、O、F三点共线，当AB、CD位于O的同侧时，线段EF的长度最短＝OE﹣OF＝1，当AB、CD位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OE+OF＝7，∴线段EF的长度的取值范围是1≤EF≤7，故答案为：1≤EF≤7．6．解：作OC⊥AB，连接OA，则AC＝AB＝12，∵OA＝13，∴OC＝5，∴OP的取值范围是：5≤OP≤13．故答案为：5≤OP≤13．7．解：连接OC，如图，∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，OC＝r，在Rt△OCE中，42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，∴⊙O的直径为10．故答案为10．8．解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．连接OC，OB，∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴AE＝AC＝，AD＝AB＝1，AE＝CE，AD＝BD，∴sin∠AOE＝＝，sin∠AOD＝＝，∴∠AOE＝60°，∠AOD＝30°，∵OC＝OA＝OB，∴∠AOE＝∠COE，∠AOD＝∠BOD，当AB，AC在圆心O的异侧时，∠BOC＝180°，∴BC是直径，∴BC的长度为4；当AB，AC′在圆心O的同侧时，∠BOC′＝120°﹣60°＝60°，∵OB＝OC′，∴△OBC′是等边三角形，∴BC′＝OA，∴BC′的长度为2；∴弦BC的长度是2或4；故答案为：2或4．9．解：延长DC交⊙O于点E．∵OC⊥DE，∴DC＝CE，∵AC•CB＝DC•CE（相交弦定理，可以证明△ADC∽△EBC得到），∴DC2＝2×4＝8，∵DC＞0，∴DC＝2，故答案为2．10．解：连接OA，作OC⊥AB于C，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝4，在Rt△AOC中，OC＝＝＝3，即点O到弦AB的距离为3．故答案为：3．11．解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示，∵AB＝2，CD＝2，∴AF＝1，CE＝，∵OA＝OC＝2，∴EO＝＝＝，OF＝＝，∴EF＝OF﹣OE＝﹣；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2所示，∵AB＝2，CD＝2，∴AE＝1，CF＝，∵OA＝OC＝2，同法可得EO＝，OF＝，∴EF＝OF+OE＝+；综上所述：AB和CD之间的距离为﹣或+．故答案为：﹣或+．12．解：如图所示：连接OA、OB，作BD⊥AC于D，∵OA＝OB＝6，AB＝6，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝45°，∵BD⊥AC，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，BC＝BD，设BD＝CD＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：x2+（8﹣x）2＝（6）2，解得：x＝4±2，∴BC＝（4±2）＝8±2；故答案为：8±2．13．解：∵AB⊥CD，AB是直径，∴CE＝ED＝3cm，在Rt△OEC中，OE＝＝＝4（cm），∴AE＝OA+OE＝5+4＝9（cm），故答案为9．14．解：连接OA，由题意得，OA＝2.5m，OD＝1.5m，∵CD⊥AB，∴AD＝＝2m，∴AB＝2AD＝4m，故答案为：4．15．解：∵C点是的中点，CD⊥AB，∴CD过圆心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2（cm），设圆心为O，连接OA，如图，设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，在Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm），所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm．故答案为4．16．解：连接OB，如图所示：∵OD⊥BC，∴∠ODC＝90°，∵OC＝4，OD＝2，∴OC＝2OD，∴∠OCD＝30°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°，故答案为：60°．17．（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE，∴BE﹣DE＝AE﹣CE，即AC＝BD；（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE＝6，∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8，∴AC＝AE﹣CE＝8﹣2．18．证明：连接BD．∵AB＝CD，∴＝∴﹣＝﹣，即＝，∴∠B＝∠D，∴PB＝PD．19．解：∵弦AB＝CD（已知），∴＝；∴∠AOB＝∠COD，∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，即∠AOC＝∠BOD．20．解：（1）连接AC，如图，∵CD⊥AB，∴AF＝BF，即CD垂直平分AB，∴CA＝CB＝3，∵AO⊥BC，∴CE＝BE，即AE垂直平分BC，∴AB＝AC＝3；（2）∵AB＝AC＝BC，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴AE⊥BC，∴AE平分∠BAC，即∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，∵OF＝AF＝×＝，∴OA＝2OF＝，即⊙O的半径为．21．解：如图所示：过O作OD⊥AB交于C，垂足为D，则AD＝BD＝×24＝12（m），设CD＝xm，则OD＝（13﹣x）m，根据勾股定理得：122+（13﹣x）2＝132，解得：x＝8，即桥拱的高度为8m．。

2.2圆的对称性—2023-2024学年苏科版数学九年级上册堂堂练1.下列说法中，不正确的是( )A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B.圆有无数条对称轴C.圆的每一条直径都是它的对称轴D.圆的对称中心是它的圆心2.如图，在中，，则以下数量关系正确的是( )A. B. C. D.3.如图，AB是的直径，已知，，那么的度数为( )A.80°B.85°C.90°D.95°4.在中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为( )A.120°B.75°C.60°D.30°5.下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等.真命题的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.给出下列说法：①垂直于弦的直径平分弦；②平分弦的直径垂直于弦；③平分弦所对的一条弧的直径不一定平分另一条弧；④平分任意一条弦所对的两条弧的弦一定是直径.其中正确的是_____.（填序号）7.如图，已知AB，CD是的直径，，，那么的度数为_________.8.如图，在中，弦AB，CD相交于点P，且.求证：.答案以及解析1.答案：C解析：A选项，圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项正确；B选项，圆有无数条对称轴，此选项正确；C选项，圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，此选项错误；D选项，圆的对称中心是它的圆心，此选项正确.故选C.2.答案：C解析：如图，连接BC.，，.，，故选C.3.答案：C解析：，，，，，；故选C.4.答案：C解析：连接OA、OB，如图，，为等边三角形，，即弦AB所对应的圆心角的度数为60°.故选C.5.答案：C解析：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，真命题有3个，故选C.6.答案：①④解析：由垂径定理，知①正确；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②错误；平分弦所对的一条弧的直径一定平分另一条弧，故③错误；易知④正确.综上，正确的是①④.7.答案：64°解析：，.又，，.8.答案：证明见解析解析：证明：连接BD，，，即。

初中数学苏科版九年级上册 2.2 圆的对称性同步测试一、单选题1.下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。

其中正确的命题有（)A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在⊙O中，＝，⊙A＝40°，则⊙B的度数是（）A.60°B.40°C.50°D.70°3.将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2：3：4，则这个扇形圆心角的度数为（）A.30°，60°，90°B.60°，120°，180°C.50°，100°，150°D.80°，120°，160°4.如图，已知点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，则⊙BAD的度数是（）A.36°B.48°C.72°D.96°5.如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊙CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（）A.8B.12C.16D.26.已知⊙O的半径是10cm，是120°，那么弦AB的弦心距是（）A.5cmB.cmC.cmD.cm7.如图，在⊙O中= ，⊙AOB=40°，则⊙COD的度数（）A.20°B.40°C.50°D.60°8.为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（）A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分⊙BAD，则下列结论正确的是（）A.AB=ADB.BC=CDC.D.⊙BCA=⊙DCA10.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊙CD，垂足为M，则AC的长为（）A.2 cmB.4 cmC.2 cm或4 cmD.2 cm或4cm二、填空题11.过圆内的一点(非圆心)有________条弦，有________条直径．12.已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为________度。

2.2 圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； （2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O 中弦AB CD ．求证：AD=BC ．看例题，涨知识教材知识总结【例题2】如图，在⊙O 中，弧AB ＝弧AC ，∠A ＝120°，求∠ABC 的度数．【例题3】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若BE ＝5，CD ＝6，求AE 的长．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF 的中点P ；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接OP 交EF 于点Q ，10AB =，6EF =，求PQ 的长度．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB CD⊥，垂足为E，1CE=，10AB=，则CD的长为（）A．20 B．24 C．25 D．265．如图，在O中，⊥OD AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm课后习题巩固一下6．如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥于点E，如果20CD=，那么线段OE的长为（）AB=，16A．4 B．6 C．8 D．97．如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若6BC=，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？AC=，2（）A．3 B．4 C11D138．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42DE=，AC=4则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．49．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A 41B 34C ．4D ．3二、填空题11．在⊙O 中，弦AB ＝16cm ，弦心距OC ＝6cm ，那么该圆的半径为__cm ．12．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于E ，AB ＝8，CE ＝2，则⊙O 的半径为_____．13．已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB ＝6cm ，则弦AB 所对的圆心角是________度．14．如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC __2CD （填“>”，“ <”或“=” )．15．如图，AB ，CD 是O 的直径，弦CE AB ，CE 所对的圆心角为40°，则AOC ∠的度数为______．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．三、解答题17．如图，O的弦AB、CD相交于点E，且AB CD=．求证：BE DE=．18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．∠，求19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD 证：劣弧BC与劣弧BD相等．20．如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r的长．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．22．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上．(1)尺规作图：在BC 上求作一点E ，使OE AC ∥（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)探究OE 与AC 的数量关系．23．如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． (1)求证：四边形ADOE 是正方形； (2)若AC=2cm ，求⊙O 的半径．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点． (1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA ①求OGC ∠；②请比较GE 和BE 的大小．2.2 圆的对称性解析教材知识总结圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.（3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（4）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（5）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（6）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O中弦AB CD=．求证：AD=BC．【答案】见解析【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到AB CD=，从而得到AD AB BD CD BD BC=-=-=，再由等弧所对的弦相等即可得到AD BC=．【解析】证明：∵AB=CD，∴AB CD=，∴AD AB BD CD BD BC=-=-=，∴AD BC=．【例题2】如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝120°，求∠ABC的度数．【答案】30°【分析】根据同圆中，相等的弧所对的弦相等，再根据等腰三角形的性质即可求解．【解析】解：∵在⊙O中，弧AB＝弧AC，∴AB=AC，∵∠A＝120°，∴∠ABC=()1801203012⨯︒-︒=︒．【例题3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．看例题，涨知识【答案】95【分析】如图，连接OC ，设OE x =，由垂径定理知132CE CD ==，5OC BE OE x =-=-，在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =-，解出x 的值，由2AE BE OE =-，计算求解即可． 【解析】解：如图，连接OC ，设OE x =由垂径定理知132CE CD ==5OC BE OE x =-=-在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =- ∴()22235x x =-- 解得85x =92525AE BE OE x =-=-=∴AE 的长为95．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接OP交EF于点Q，10AB=，6EF=，求PQ的长度．【答案】(1)见解析；(2)1【分析】（1）如图，连接BE，AF，BE交AF于C，作直线OC交EF于点P，点P即为所求．（2）利用垂径定理结合勾股定理求得OQ=4，进一步计算即可求解．【解析】(1)解：如图中，点P即为所求．(2)解：连接OF，由作图知OP⊥EF，EQ=QF=12EF=3，∵AB=10，∴OF=OP=12AB=5，∴OQ222254OF QF-=-，∴PQ= OP-OQ=1，∴PQ的长度为1．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦课后习题巩固一下②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④【答案】D【分析】根据垂径定理及其推论进行判断．【解析】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【分析】根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．【解析】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，AB＝4，连接OA，AM＝12由勾股定理知，OA2＝OM2+AM2．即OA2＝42+32，解得：OA＝5．所以⊙O的半径是5cm．故选：B．3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】C【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解析】A 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C 、如图，四边形ABCD ，AB ∥CD ，∠A=∠C ，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，又∵∠A =∠C ，∴∠C +∠D =180°，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；D 、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C ．4．如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，10AB =，则CD 的长为（ ）A ．20B ．24C ．25D ．26【答案】D 【分析】连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =5，Rt △OAE 中由勾股定理建立方程求解即可；【解析】如图，连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =BE =12AB =5，Rt △OAE 中，OA 2=AE 2+OE 2，x 2=25+（x -1）2，解得：x =13，，∴CD =26， 故选： D ．5．如图，在O 中，⊥OD AB 于点D ，AD 的长为3cm ，则弦AB 的长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD =BD =3cm 即可．【解析】解：∵AB 为非直径的弦，⊥OD AB ，∴AD =BD =3cm ，∴AB =AD +BD =6cm ．故选B ．6．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果20AB =，16CD =，那么线段OE 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B 【分析】连接OD ，那么OD =OA =12AB ，根据垂径定理得出DE =12CD ，然后在Rt △ODE 中，根据勾股定理求出OE ．【解析】解：如图，∵弦CD ⊥AB ，垂足为E∴CE =DE =1116822CD =⨯=， ∵OA 是半径∴OA =11201022AB =⨯=， 在Rt △ODE 中，OD =OA =10，DE =8，22221086OE OD DE =--=，故选：B ．7．如图，AB 为圆O 的一弦，且C 点在AB 上．若6AC =，2BC =，AB 的弦心距为3，则OC 的长度为何？（ ）A ．3B ．4C 11D 13【答案】D 【分析】作⊥OD AB 于点D ，由垂径定理得4AD BD ==，Rt OCD △中勾股定理即可求解．【解析】解：作⊥OD AB 于点D ，如图所示，由题意可知：6AC =，2BC =，3OD =， 8AB ∴=，4AD BD∴==，2CD∴=，在Rt OCD△中22223213OC OD CD∴+=+故选：D．8．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42AC=4DE=，则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．4【答案】C【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．【解析】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点，42AC=∴1222AD DC AC===∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵222OA OD AD=+∴222(4)(22)x x-=+，解得1x=∴BC=2OD=2x=2故选：C9．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°【答案】C【分析】过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，由于DE ＝FG ＝MN ，所以弦的弦心距也相等，所以OB 、OC 是角平分线，根据∠A ＝50°，先求出180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，再求出，进而可求出∠BOC ．【解析】解：过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，∵DE ＝FG ＝MN ，∴OP ＝OK ＝OQ ，∴OB 、OC 平分∠ABC 和∠ACB ， 12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠， ∵∠A ＝50°，∴180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，∴1122OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠ ()12ABC ACB =∠+∠ 65=︒，∴∠BOC ＝()180OBC OCB ︒-∠+∠18065=-︒115=︒故选：C ．10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A41B 34C．4 D．3【答案】D【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF=3．【解析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴DE BF=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=12BF=3,故选：D.二、填空题11．在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为__cm．【答案】10【分析】根据题意画出相应的图形，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB别的中点，由AB的长求出BC的长，再由弦心距OC的长，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径．【解析】解：如图所示：过点O作OC AB⊥于点C，∵AB＝16cm，OC⊥AB，∴BC＝AC12=AB＝8cm，6OC cm＝，在Rt△BOC中，2210.OB OC BC cm∴=+故答案为：10．12．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于E，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为_____．【答案】5【分析】如图，连接OA，设OA＝r．在Rt△AOE中，根据OA2＝OE2+AE2，构建方程即可解决问题；【解析】解：如图，连接OA，设OA＝r．∵OC⊥AB，∴AE＝EB＝4，∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，故答案为：5．13．已知⊙O的半径为6cm，弦AB＝6cm，则弦AB所对的圆心角是________度．【答案】60【分析】连接OA、OB，可证得△OAB是等边三角形，由此得解．【解析】如图，连接OA、OB，∵OA=OB=AB=6，∴△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°故弦AB所对的圆心角的度数为60°．故答案为：60．14．如图，在O中，AB BC CD==，连接AC，CD，则AC__2CD（填“>”，“ <”或“=” )．【答案】<【分析】根据AB BC CD==推出AB=BC=CD，利用三角形三边关系得到答案【解析】解：∵AB BC CD==，AB BC CD∴==，<+，AC AB BCAC CD∴<，2故答案为：<．∠的度数为______．15．如图，AB，CD是O的直径，弦CE AB，CE所对的圆心角为40°，则AOC【答案】70°【分析】连接OE，由弧CE的所对的圆心角度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE ，根据平行线的性质即可得到∠AOC 的度数．【解析】解：连接OE ，如图，∵弧CE 所对的圆心角度数为40°，∴∠COE =40°，∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ，∴∠OCE =(180°-40°)÷2=70°，∵CE //AB ，∴∠AOC =∠OCE =70°，故答案为：70°．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．【答案】30【分析】先根据圆心角定理可得40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，从而可得120AOD ∠=︒，再根据等腰三角形的性质即可得．【解析】解：∵AB BC CD ==，40COD ∠=︒，∴40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，∴120AOD ∠=︒， 又OA OD =，∴1(180)302ADO OAD AOD ∠=∠=︒-∠=︒， 故答案为：30．三、解答题17．如图，O 的弦AB 、CD 相交于点E ，且AB CD =．求证：BE DE =．【答案】详见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【解析】证明：AB CD=，CAB D∴=，AB AC CD AC∴-=-，即AD BC=，B D∴∠=∠，BE DE∴=；18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．【答案】(1)见解析；(2)10【分析】（1）过点O作OD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D；（2）由题意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，继而可得118422AE AC==⨯=，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．【解析】(1)解：如图，点E即为所求；(2)解：如图，连接AD，∵⊙O的直径是10，∴OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，∴118422AE AC==⨯=，∴11541022OADS OD AE=⋅=⨯⨯=．19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD∠，求证：劣弧BC与劣弧BD相等．【答案】见详解【分析】过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，由题意易得OE=OF，然后可得BOC BOD∠=∠，进而问题可求证．【解析】证明：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，如图所示：∵PB 平分CPD ∠，∴OE =OF ，∵OC =OD ，∴EOC FOD △≌△（HL ），∴C D ∠=∠，∴BOC BOD ∠=∠，∴BC BD =．20．如图，已知弓形的弦长AB ＝8，弓高CD ＝2（CD ⊥AB 并经过圆心O ）．求弓形所在⊙O 的半径r 的长．【答案】r ＝5．【分析】先由垂径定理得AD =4，由于OD =r －2，则利用勾股定理得到62+（r －2）2=r 2，然后解方程即可．【解析】CD AB ⊥并经过圆心O ，∴118422AD BD AB ===⨯=，2OD OC CD r =-=-， 在Rt △OAD 中，2224(2)r r +-=，解得r ＝5．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．【答案】见解析【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB CD=，∵AM DM=，∴AB AM CD DM+=+，即BM CM=，∴BM＝CM．22．如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上．∥（不写作法，只保留作图痕迹）；(1)尺规作图：在BC上求作一点E，使OE AC(2)探究OE与AC的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)AC＝2OE【分析】（1）过点O作OE⊥BC即可．（2）利用三角形中位线定理证明即可．【解析】(1)如图所示，点E即为所求的点．(2)结论：AC＝2OE．理由：由作图得：OE⊥BC∴BE=CE，即点E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴AC＝2OC．23．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；2cm【分析】（1）根据AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，可得四边形ADOE 是矩形，由垂径定理可得AD=AE ，根据邻边相等的矩形是正方形可证；（2）连接OA ，由勾股定理可得．【解析】(1)证明：∵AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴四边形ADOE 是矩形，12AD AB =，12AE AC =， 又∵AB=AC ，∴AD=AE ，∴四边形ADOE 是正方形．(2)解：如图，连接OA ，∵四边形ADOE 是正方形，∴112OE AE AC ===cm ， 在Rt △OAE 中，由勾股定理可得：22+2OA OE AE ， 即⊙O 2cm ．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点．(1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA①求OGC ∠； ②请比较GE 和BE 的大小．【答案】(1)证明见解析(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE【分析】（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可；（2）①先由C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解；②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得3OG OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得23GE= 232BE=，再比较即可得出结论；=OC，【解析】(1)解：∵DE AB2AC∴∠COD=∠ODE，∵OC=OD，OF=DE，∴△OCF≌△DOE(SAS)；(2)解：①∵C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，∵△OCF≌△DOE，∴∠OCF=∠DOE=30°，∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，∴∠OGC=90°．②∵23===，OA OC OB∴3OG又∵∠DOE=30°，∴OF=2，∵∠OCF=∠COF=30°，∴CF=OF，∵△OCF≌△DOE，∴OE=CF=OF=2，∴23GE OE OG=-=232=-=，BE OB OE∵3340－，BE GE=>∴BE＞GE．。

——————————新学期新成绩新目标新方向——————————2.2 圆的对称性专题1 弧、弦、圆心角1．A 如果两个圆心角相等，那么( )A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对2．B 如图，⊙O中，如果AB=2AC，那么( )．A．AB=AC B．AB=2ACC．AB<2AC D．AB>2AC3．A 交通工具上的轮子都是做成圆的，这是运用了圆的性质中的_________．4．B如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求BE的度数和EF的度数．5．B 如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．———————————————————专题2 垂径定理1．B 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中⌒CD )，点O 是⌒CD 的圆心，其中CD =600m ，E 为⌒CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m ，求这段弯路的半径．2．B 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB =60m ，水面到拱顶距离CD =18m ，水面宽MN =32m 时是否需要采取紧急措施(当水面离拱顶距离小于3m 时， 需要采取紧急措施)？请说明理由．3．A 如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，错误的是( )．A ．CE =DEB ．⌒BC =⌒BDC ．∠BAC =∠BAD D ．AC >AD4．A 如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是( )A ．4B ．6C ．7D ．85．B 如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是( )A ．AB ⊥CD B ．∠AOB =4∠ACDC ．⌒AD =⌒BD D ．PO =PD6．B 如图，AB 为⊙O 直径，E 是⌒BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD =3，AB =10，则AC =_____．7．B P 为⊙O 内一点，OP =3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；最长弦长为_______．8．B 如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE =2，EB =6，∠DEB =30°，求弦CD 长．9．B 已知⊙O的半径为5cm，AB和CD是⊙O的弦，AB//CD, AB=6cm，CD=8cm，求AB与CD 之间的距离是多少？10．B 如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=____cm．11．B 如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，AE=4cm，CE=2cm，则⊙O的半径是______cm．12．C 已知，如图，A ，B 是半圆O 上的两点，CD 是⊙O 的直径，∠AOD =80°，B 是弧AD 的中点．(1)在CD 上求作一点P ，使得AP +PB 最短；(2)若CD =4cm ，求AP +PB 的最小值．13．C 如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，AB =8，∠CBA =30° ，点D 在线段AB 上从点A 运动到点B ，点E 与点D 关于AC 对称，DF ⊥DE 于点D ，并交EC 的延长线于点F ．（1）求证：CE =CF ；（2）求线段EF 的最小值；（3）当点D 从点A 运动到点B 时，线段EF扫过的面积的大小是 ________.——————————————————2.2 圆的对称性专题1 弧、弦、圆心角1．D2．C3．圆上的点到圆心的距离是定值4．80°，50°5．连接AC ，∵在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，C 、D 为弧AB 的三等分点，又∵在⊙O 中，OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =45°，∵∠AOC =∠BOD =30°，AOE BOF AOE BOF OA OBOAE OBF ∆∆∠∠∠⎧⎪⎨⎪∠⎩在与中，＝＝＝AOE BOF∆≅∆∴(ASA)∴AE =BF∵453075OEF OAB AOC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴∠ACO =∠AEC ．∴AC =AE∴AE =BF =CD ．专题2 垂径定理1．这段弯路的半径为545m2．不需采取紧急措施3．D4．D5．D6．87．最短弦长为8cm ，最长弦长为10cm8．过点O 作OM ⊥CD ，连结O 、C (如图所示)∵AE =2,EB =6∴AB =8, OC =OA =12AB =4, OE =OA －AE =4－2=2在直角△OME 中，∠DEB =30°,所以OM =1在直角△OMC 中，MC ∵根据垂径定理，可知12MC DC =∴DC =9．1cm 或7cm10．AB =8cm11．5 cm 12．(1)提示：作A 点或者B 点关于直径CD 的对称点A ′或者B ′，然后连接A ′B 或者B ′A ．(2)最小值cm13．（1）证明：连接CD ，∵根据轴对称性质，知CE =CD ，∴∠E =∠CDE .又∵DF ⊥DE .∴∠CDE +∠CDF =90°.又∵在Rt △EDF 中，∠E +∠F =90°.∴∠CDF =∠F.∴CD =CF .∴CE =CF .（2）；（3）线段EF 扫过的面积是．。

苏教版九年级-圆的对称性-知识点及典型例题（附答案）圆的对称性主要内容：1. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。

经过圆心的直线是对称轴。

圆心是它的对称中心。

2. 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

如图，用几何语言表示如下：⊙O中，（1）∵∠AOB＝∠A'OB'（3）∵AB＝A'B'5. 直径垂直于弦的性质（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图：几何语言【典型例题】例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C 为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。

求AB、AD的长。

分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。

解：例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA ＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。

分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。

解：第8题例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。

分析：略解：【模拟试题】一. 选择题。

1. ⊙O 中，弦AB 所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB 的距离OC 为（）A.B. 1C.D.2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果，则AE 的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 如图，⊙O 的弦AB 垂直于直径MN ，C 为垂足，若OA ＝5cm ，下面四个结论中可能成立的是（）A. B.C. D.4. 下列命题中正确的是（）A. 圆只有一条对称轴B. 平分弦的直径垂直于弦C. 垂直于弦的直径平分这条弦D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（）A. AB ＞CDB. AB ＝CDC. AB ＜CDD. 不能确定二. 填空题。

第2章对称图形一一圆2.2圆的对称性（1）【基础提优】1. 如果两个圆心角相等，那么（） A.这两个圆心角所对的弦相等C.这两个圆心角所对的眩的眩心距相等2. 如图，在屮，AB=2CD,那么（）3. 如图，在 RtAABC 中，ZA=25° , D.応与2&S 的大小无法确定 BC 为半径的圆交AB 于点D,交AC 于点E,则囲的度数为（） 4. 如图，AB, CD 是<30的直径，AB//ED,贝I 」（ ）B ・ AC>AED. AC 与AE 的大小关系无法确定5. 在G»O 中，若©和都是劣弧，且AB=2CD,则弦AB 和CD 的大小关系是（ ）A. AB>2CDB. AB<2CDB.这两个圆心角所对的弧相等 D.以上说法都不对A. 40°B. 50°C. 55°D. 60° C- AB=2CD（第2题）（第3题） 以点C 为圆心,A. AB=2CDB. AB>2CDC. AB<2CDD.无法比较6.若一条弦把圆分成1： 3两部分，则劣弧所对的圆心角为 _____________ •（第7题）（第8题）8.如图，AB, CD为OO的两条直径，弦CE〃AB, CE的度数为40°,则ZBO8 ___________ .9.如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC, AD于点E, F,交BA的延长线于G,若ZD=50°,求匪的度数和的度数.【拓展提优】ZAOB=90° , C, D是届三等分点，AB分别交OC, OD于点E, F,则下列正D 1.如图，① AE+BF=2CD ；® AE ・ BF=CD 2 A. 1个 B. 2个 ② AE=BF=CD ；④ AE 二 BF>CD.D. 4个 点 A, C 在OO±, AB = BC, ZAOB=60° ,贝iJZBDC 如图，AB 是的直径，BC, CD, DA 是OO 的弦,RBC=CD=DA, ZBCD 的度数2•如图，己知BD 是O 的直径,（第2题） （第3题）6. __________________________________________________________________ 在0O 中，弦AB 的长恰好等于半径，则弦AB 所对的圆心角的度数为 ____________________ 7. 如图，AB 为G>0 的直径，点 C, D 在O0±,已知ZAOD=50。

2.2圆的对称性（1）1. 下列说法正确的是（）A. 相等的弦所对的弧相等B. 相等的圆心角所对的弧相等C. 相等的弧所对的弦相等D. 相等的弦所对的圆心角相等2.若两条弧的度数相等，那么（）A. 两条弧所对的弦相等B. 两条弧的长度相等C. 两条弧所对的圆心角相等D. 两条弧是等弧3. 如图，在⊙ O中， AB=AC，∠ A=40°，则∠ B=_______。

AAOOBB C第 3 题第4题4. 如图，点 A、B 把⊙ O分成 2∶7 两条弧，则∠ AOB=。

5.在⊙ O中，弦 AB的长恰好等于半径，弦 AB所对的圆心角为 _______。

6.如图，在⊙ O中，弧 AB＝弧 AC，∠ B＝ 80°，求∠ A 的度数．A·OB C7.如图，在⊙ O中，∠ AOC＝∠ BOD，AD的度数为 55°，求∠ BOC的度数．O B·ACD8.（2014?菏泽）如图，在△ABC中∠ A=25°，以点 C为圆心， BC为半径的圆交AB 于点 D，交 AC于点 E，则的度数是多少？一、选择题1.（2014?菏泽）如图，在△ ABC中∠ A=25°，以点 C为圆心， BC为半径的圆交AB于点 D，交 AC于点 E，则的度数是2.如图，DE分别是⊙ O的半径OA、OB上的点，CD⊥ OA，CE⊥OB，CD=?CE，?则AC与 BC 的大小关系是（A．＞ B ．=）C．＜D．不能确定第 2 题第 3 题3．如图， C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①AD CD BC ；②∠AOD=∠ DOC=∠ BOC；③ AD=CD=OC；④△ AOD沿 OD翻折与△ COD重合 . 正确的有（）A．4 个B． 3 个 C ． 2 个 D ．1 个二、填空题4. 如图，在⊙ O中，AB AC ，∠B=70°，则∠C=_____．D CAOBE第 4 题第 5 题第 2 题5. 如图， AB、 CE是⊙ O的直径，∠ COD=60°，且AD BC ，?那么与∠AOE?相等的角有 _____，与∠ AOC相等的角有 _________．6. 如图， AB是⊙ O 的直径，，∠ COD=35°，∠ AOE=。