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2.2圆的对称性(1).2 圆的对称性 第1课时 圆的旋转不变性

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2.2圆的对称性(1).2 圆的对称性(1)课件

2.2圆的对称性(1).2 圆的对称性(1)课件
初中数学九年级上册 （苏科版）
2.2
圆的对称性（一）
复习回忆
1、什么是中心对称图形？举例说明
把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋 转后的图形能够和原来的图形互相重合，那 么这个图形叫做中心对称图形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形
2、圆是中心对称图形，圆心是它的 对称中心。
尝 试
1.在两张透明纸片上，分别作半径相等的 O和 O’
AB = A’B’ AOB= A’O’B’
3.
AB=A’B’

1的圆心角
C D
1的弧
O
n的圆心角
B A
n的弧
n的圆心角对着 n的弧， n的弧对着 n的圆心角。
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
典型例题
例 1：如图在 ABC 中， C=90， B=28，以 C为圆心， 以 CA为半径的圆交 AB于点 D，交 BC于点 E ， 求 AD， DE的度数。
B
D
E
A
C
例 2：如图 ,AB,AC,BC 都是 O的弦， AOC= BOC， ABC与 BAC相等吗？为什么？
解： ABC= BAC
∵ AOC= BOC
O
AC=BC
ABC= BAC
A C B
巩固练习
1.如图，在 O中，AC =BD ， AOB=50，求 COD的度数。 A
C D O B A
O B C
2.如图，在 O中，AB =AC， A=40，求 ABC的度数。
3.如图，在同圆中，若 AOB=2 COD，则AB与 2CD的大小关系是（ （ A）AB ＞ 2CD (B) AB ＜ 2CD (C) AB＝ 2CD (D) 不能确定

华师大版圆的对称性第一课时课件

华师大版圆的对称性第一课时课件
解析时应指导学生如何找到对 称点，并连接对称点得到新的
圆。
PART 06
总结与展望
REPORTING
本课重点回顾
01
02
03
圆的对称性定义
理解什么是圆的对称性， 以及如何判断一个图形是 否具有对称性。
圆的对称轴
掌握如何找到圆的对称轴 ，并理解对称轴在圆中的 作用。
圆的对称性质
掌握圆的对称性质，如对 称点的连线经过对称轴， 对称轴垂直平分对称点的 连线等。
PART 05
课堂互动与练习
REPORTING
问题解答
01
02
03
04
题目1
什么是圆的对称性？
答案1
圆的对称性是指圆在旋转或平 移过程中，其形状和大小保持
不变的性质。
题目2
如何判断一个图形是否具有圆 的对称性？
答案2
可以通过观察图形的旋转或平 移后的形状是否与原图形重合
来判断。
学生互动讨论
讨论主题
在日常生活和生产实 践中，圆的对称性应 用广泛。
对称性的定义与重要性
对称性是指图形在某种变换下 保持不变的性质。
对称性是数学中一个重要的概 念，广泛应用于几何、代数、 分析等领域。
掌握对称性的知识有助于理解 其他几何图形的性质和特点。
圆的对称性简介
圆具有旋转对称性，即绕圆心旋 转任意角度后仍与原图重合。
圆还具有轴对称性，即沿直径折 叠后与另一半重合。
圆的对称性在几何、代数、分析 等领域有着广泛的应用。
PART 02
圆的对称性概念
REPORTING
圆的基本性质
圆上任一点到圆心的距离相等
01
这是圆的基本定义，也是圆的根本性质。

2 圆的对称性 第1课时

2 圆的对称性 第1课时

A′ B B′ B′
A′ B
O
·
A
O
·
A
A B 与 A ' B ' 重合，AB与A′B′重合． 因此
所以 AB A ' B ',
A B A ' B '.
【归纳】
定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦相等. A B A′
●
A
O
B B′
可推出
●
O
A′
●
O′
由条件: ①∠AOB=∠A′OB′
●
B
C
(2、3题图)
归纳：在圆中有长度不等的弦，直径是圆中最长的弦.
ABBC, AC 4.如图,弧有:______________ ACB BAC ABC



A B O
●
⌒ 劣弧有： AB
⌒ BC
⌒ 优弧有： ACB
BAC
⌒
你知道优弧与劣弧的区别么？
C )
5.判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.(
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.了解圆的轴对称性和中心对称性； 2.理解弦，直径，弧，半圆，优弧，劣弧，半圆，等圆， 等弧等与圆有关的概念； 3.掌握同圆或等圆中，两条弦、两条弧，两个圆心角， 两条弦心距之间的关系.
1.判断下列说法的正误：
(1)弦是直径.(
(2)半圆是弧.(
)
) ) ) ) ) )
②AB=A′B′
⌒
⌒
B′
③AB=A′B′
同样，我们可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它 们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它

2.2圆的对称性(1)教案

2.2圆的对称性(1)教案

2.2圆的对称性（1）教案【教学目标】1、知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；2、理解圆的对称性；掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系；会运用圆心角、弧、弦之间的相等关系来解决具体的问题。

3、经历用“叠合法”、旋转的思想探索圆的对称性的过程，引出圆心角、弧、弦之间的相等关系定理，体现了知识之间的密切联系。

4、通过分析、观察、归纳、类比等数学活动，激励学生努力探求未知知识的积极性，并从中获取解决具体问题的方法。

【重点、难点】重点：认识圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，同时圆还具有旋转不变性，从而得出圆心角、弧、弦之间的相等关系。

难点：如何运用圆心角、弧、弦之间的相等关系来解决具体的问题。

【教学过程】一、情境创设：情境1：（1）我们在八年级已经学过中心对称图形，那什么是中心对称图形呢？（2）我们采用的是什么方法来研究中心对称图形的呢？让几位学生回答（直至有学生回答中有“旋转”一词）通过引出“旋转”的概念，为下面的操作、思考埋下伏笔。

情境2：操作、思考：把学生分四个学习小组学生动手活动、折叠、旋转圆的图片，多媒体演示，引导学生观察、归纳探究本节课的第一个知识点。

将其中一个圆旋转任意角度，两个圆还能重合吗？利用旋转的方法可以得到：一个圆绕它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合。

特别是：圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

设计意图：以复习中心对称的概念作为情境创设，并指出旋转变换是我们研究中心对称图形的常用方法，引起学生思考：是否可以用类似的方法研究圆的中心对称性呢？二、探索活动：活动一：尝试与交流 请同学们拿出课前准备好的两张透明白纸，（操作步骤）（1）分别作半径都为5㎝的⊙O 、⊙O /； （2）在⊙O 、⊙O /中，分别作相等的圆心角∠AOB 、∠A /O /B /，连接AB 、A /B /； （3）将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O /重合；（4）用图钉固定圆心，将其中的一个圆旋转某个角度，使得OA 与O /A /重合。

圆的轴对称性第一课时课件

圆的轴对称性第一课时课件
在数学中，许多函数的图像是圆或圆弧，这些图像具有轴对 称性。利用这种对称性，可以更好地理解和分析函数的性质 和特征。
几何证明
在几何证明中，圆的轴对称性常常被用来证明某些几何定理 和性质。例如，利用圆的对称性证明圆周角定理等重要的几 何定理。
05
课堂互动与讨论
问题一：如何理解圆的轴对称性？
总结词：直观理解 总结词：数学定义 总结词：几何特性
的直线对称。
详细描述：对于矩形，可以通过连接 对角线，证明矩形关于对角线所在的 直线对称。
总结词：菱形
总结词：矩形
详细描述：对于菱形，可以通过连接 对角线，证明菱形关于其中垂线所在 的直线对称。
THANKS
感谢观看
03
圆的轴对称性证明
证明方法一：几何证明
总结词：直观明了
详细描述：通过观察圆在平面上的形状，可以直观地看出圆具有轴对称性。当一 个圆沿一条直线对折时，两侧的图形完全重合，证明了圆的轴对称性。
证明方法二：代数证明
总结词：严谨推导
详细描述：利用代数公式和定理，通过严谨的推导证明圆的轴对称性。具体来说，设圆心为$O$，任 意一点$P$在圆上，当点$P$关于直线$l$对称时，有$OP = OP'$且$angle P'OP = angle P'PO = angle PLO$，从而证明了圆的轴对称性。
问题二：圆的轴对称性有哪些应用场景？
在此添加您的文本17字
总结词：几何证明
在此添加您的文本16字
详细描述：在建筑设计中，圆的轴对称性被广泛应用于穹 顶、拱门、桥梁等结构的设计，以实现力量的均匀分布和 视觉的美感。
在此添加您的文本16字
详细描述：在几何证明中，圆的轴对称性常常用于证明与 圆相关的定理和性质，如垂径定理、切线长定理等。

圆的对称性课件

圆的对称性课件

总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注 意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
知2－讲
例3 如图, AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且 AD=CE . BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE=CE. 理由是 ∵ ∠AOD=∠BOE, ∴ AD=BE . 又∵ AD=CE， ∴ BE=CE . ∴ BE=CE.
图形的个数是( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
知1－练
3 下列说法中，不正确的是( ) A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D．圆的每一条直径都是它的对称轴
知识点 2 圆心角、弧、弦之间的关系
知2－导
总结
知1－讲
将一个图形绕一个定点旋转时, 具有下列特性:一 是旋转角度、方向相同，二是图形的形状、大小保持 不变，因此本题圆中变换位置前后对应的弧、角、线 段都相等．
知1－练
1 (202X·徐州)下列图案中，是轴对称图X·凉山州)在线段、平行四边形、矩形、等腰三角 形、圆这几个图形中，既是轴对称图形又是中心对称
知2－讲
要点精析：(1)上述三种关系成立的前提条件是“在同圆 或等圆中”，否则不成立．
(2)由于一条弦对着两条弧，“弦相等，所对的弧相等”中 的“弧相等”指的是“劣弧相等”或“优弧相等”．
拓展：(1)弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距． 弦与弦心距的关系：在同一个圆中，两条弦相等，则它 们的弦心距相等，反之亦成立；在同一个圆中，弦越长, 则其弦心距越小．

2022-2023学年鲁教版(五四制)数学九年级下册 圆的对称性 课件PPT


感悟新知
1-1. 下列说法中，不正确的是( D ) A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合 C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴

感悟新知
知识点 2 圆心角、弧、弦之间的关系
1. 圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的 圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
AB，求证：BC = AE.
解题秘方：构造圆心角，利 用“相等的圆心角所对的弧 相等”证明
感悟新知
证明：如图3-2-2，连接OE. ∵ OE=OC，∴∠ C= ∠ E. ∵ CE ∥ AB， ∴∠ C= ∠ BOC，∠ E= ∠ AOE.
︵︵ ∴∠ BOC= ∠ AOE. ∴BC = AE.
感悟新知
以不能说“圆的对称轴是直径”.
感悟新知
例 1 下列命题中，正确的是( A ) A. 圆和正方形都既是轴对称图形，又是中心对称 图形 B. 圆和正方形的对称轴都有无数条 C. 圆和正方形绕其对称中心旋转任意一个角度， 都能与原来的图形重合 D. 圆和正方形都有有限条对称轴
感悟新知
解题秘方：紧扣圆和正方形的轴对称性及中 心对称性进行辨析. 解：圆和正方形都既是轴对称图形，又是中心对称图形， 所以A 中命题正确；圆的对称轴有无数条，正方形的对 称轴有4 条，所以B，D 中命题错误；圆绕其对称中心 旋转任意一个角度都能与原来的图形重合，而正方形只 有绕它的对称中心旋转90°的整数倍才能与原图形重合， 所以C 中命题错误.
警示误区 不能忽略在同圆或等圆中这个前提，如果丢掉了这
个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.
感悟新知
2. 示例 弧、弦、圆心角的关系 ︵︵

九上数学课件 圆的对称性(课件)

A
则AC与AE的大小关
系是 AC=AE .
C
D B
O
2.如图，在△ABC中，
∠C=90°，∠A=25°，以点C
为圆心，BC为半径的圆交
AB于点D，交AC于点E，
则弧BD度数5为0°
.
B D
C
EA
能力提升： 我们已经知道在⊙O中，如果2∠AOB=∠COD，则 C⌒D=2A⌒B，那么CD=2AB也成立吗？若成立，请说明 理由；若不成立，那它们之间的关系又是什么？
B D OC A
知 一 推 三
1.判断题 （1）等弦所对的弧相等.
（× ）
（2）等弧所对的弦相等.
（√ ）
（3）圆心角相等，所对的弦相等. ( × )
2.弦长等于半径的弦所对的 圆心角等于 60 ° .
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，如果 两个圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分 别相等．
( ( ( (
( (
填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么_A_B_=__C_D___，∠__A_O_B__=_∠__C_O_D_． （2）如果AB=CD ，那么_A_B__=_C_D___，∠_A_O__B_=_∠__C_O__D__．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么__A__B_=__C_D___，A__B_=_C__D___．
2AB＞CD
AB C
O
E
D
如图，已知⊙O与△ABC三
A
边均相交，在三边上截得的
D
H
线段DE＝FG＝HK，∠A＝ 50°，则∠BOC的度数
N
Q
O E

圆的对称性

圆的对称性（一）【教学目标】：1．理解圆的中心对称性及有关性质，会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题．2．经历利用圆的旋转不变性探索圆的中心对称性及有关性质的过程，了解采用叠合法探索圆心角、弧、弦之间的关系．教学重点：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．教学难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题．【课前延伸】：古希腊的大数学家毕达哥拉斯曾经说过：“一切平面图形中最美的是圆形。

”将下列图形（正方形、正六边形、圆）绕其中心旋转多少度后能和原来的图形互相重合？结论：1、圆具有旋转不变性．2、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．【课上探究】一、自主学习活动1：操作1．作⊙O，使其半径为3 cm，画圆心角∠AOB=50°．2．连接AB，量一量弦AB的长度，你发现了什么？3．这是为什么呢？请与同学交流．4．在⊙O中，再画出一条弦A’B’，使A’B’=AB．说一说你的画法．5．请与同学交流，并说明你的理由．6．观察∠AOB和∠A’OB’所对的弧，你又发现了什么？为什么？依据圆的旋转不变性，采用叠合法对圆心角、弧、弦之间的相等关系进行探索．结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．注意：“在同圆或等圆中”条件的理解，并用反例说明。

活动2：在同圆或等圆中，关于圆心角、弧、弦之间的关系，你还有哪些猜想？并说明其中的道理．归纳：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．二、课上探究例1、如图，AB、AC、BC都是圆O的弦，弧AC=弧BC，∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？例2、如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？三、精讲点拨如图，弦DC、FE的延长线交于⊙O外一点P，直线PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件：，使∠1=∠2．四、达标练习练习1、如图，AB、AC、BC都是圆O的弦，弧AC=弧BC，若D、E分别是OA、OB的中点．CD与CE相等吗？为什么？练习2、如图，AB、AC、BC都是圆O的弦，弧AC=弧BC，若OA∥BC，求弧BC的度数？（与例1同图）课时小结通过这节课，你对圆的对称性有了哪些新的认识？课后延伸：A层1、如图1，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD 的长为（）A．23B．3C．5D．252．已知：如图2，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．42cm D．23cm3．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）A．3：2 B．5：2 C．5：2D．5：4B层：4．如图4，AB、CD是⊙O的直径OE⊥AB，OF⊥CD，则∠EOD ∠BOF，⌒AC⌒AE，AC AE．5．如图5，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径．6．如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D．（1）求证：AC=DB；（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．7．⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离．。

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2.2 圆的对称性
知识梳理 知识点一 圆的旋转不变性
圆具有旋转不变性的特征，即一个圆绕着它的圆心旋转
任何角度后，都能与它自身______ 重合 ，是中心对称图形， 圆心 是它的对称中心． ______
2.2 圆的对称性
知识点二
圆心角、弧、弦之间的关系
相等 ，所对的 (1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________ 相等 ． 弦________ (2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一 相等 ，那么它们所对应的其余各组量都分别________ 相等 ． 组量________ [说明] 圆心角、弧、弦之间的关系成立的前提条件是“在同圆
2.2 圆的对称性
证明：∵点 A，B，C 都在⊙O 上， ∴∠AOB，∠BOC，∠AOC 都是圆心角． 又∵∠AOB＝∠BOC＝120°， ∴∠AOC＝120°， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC 是等边三角形．
2.2 圆的对称性
题型二
证明弦相等
例 2[教材习题 2.2 第 2 题变式题] 如图 2－2－3，AD ＝CB，求证：AB＝CD.
2.2 圆的对称性
第1课时 圆的旋转不变性
江苏省徐州市丰县初级中学 白广明
2.2 圆的对称性
新知自学梳理
探究新知 活动1 知识准备 是 平行四边形、矩形、菱形、正方形________( 填“是”或“不是” )中心对称图形．
2.2 圆的对称性
活动2
教材导学
探究圆心角、弧、弦之间的有关性质 (1)一个圆绕圆心旋转任何角度后，都与它自身重合，圆是 圆心 是它的对称中心． 中心对称图形，________ (2)阅读教材第44页“操作与思考”，动手操作后，你有什
︵ ︵ [解析] 根据 AD＝CB 可以得到它们所对的弧相等，即AD＝CB，再根据等式的 ︵ ︵ 性质得出AB＝CD，再由弧相等得出所对应的弦相等．
证明：∵AD＝CB， ︵ ︵ ∴AD＝CB， ︵ ︵ ︵ ︵ ∴AD＋AC＝CB＋AC， ︵ ︵ 即AB＝CD， ∴AB＝CD.
2.2 圆的对称性
题型三
么发现？
︵ ︵ (2)AB＝A′B′，AB＝A′B′
2.2 圆的对称性
知识链接——[新知梳理]知识点二 尝试：如图2－2－1所示，已知⊙O与⊙O′的半径相等，AB，
CD分别是⊙O，⊙O′的两条弦，已知下列条件中的一个能否推
出其他两个？并说明理由． ①AB＝CD；②∠AOB＝∠CO′D；③ ＝ .
图2－2－1 [答案] 能，理由略
或等圆中”．
2.2 圆的对称性
知识点三
圆心角度数的性质
1°的角：将°的圆心角所对的弧叫做1°的弧． 圆心角的度数与它所对的弧的度数______ 相等 ． [说明] (1)此性质说明两个不同概念：圆心角、弧之间的关
系是“度数”相等，不能误认为“圆心角＝弧”．
2.2 圆的对称性
︵ ︵ ︵ ︵ [反思] 已知AB，CD是同圆的两段弧，且AB＝2CD，则弦 AB 与 2CD 之间的关系为 AB＝2CD，这种说法对吗？请说明理由．
[反思]
这种说法不对．理由：
︵ ︵ ︵ ︵ 如图，在圆上截取DE＝CD，AB＝CE，则有 CD＝DE，AB＝CE.∵在 △CDE 中，CD＋DE＝2CD＞CE＝AB，∴AB＜2CD.
证明：如图，连接 OE， ∵CE∥AB， ∴∠DOB＝∠C， ∠BOE＝∠E. ∵OC＝OE，∴∠C＝∠E， ∴∠DOB＝∠BOE， ︵ ︵ ∴BD＝BE.
2.2 圆的对称性
课堂总结反思
2.2 圆的对称性
布置作业
1.课堂作业：课本P48第2、3、4题； 2.补充习题：2.2圆的对称性（1）P30
(2)度数相等的角是等角，但度数相等的弧不一定是等弧． (3)等弧包括两种含义：一是度数相等；二是长度相等．
2.2 圆的对称性
重难题型探究
题型一 弧、弦、圆心角之间的关系
例 1 如图 2－2－2， 点 A， B， C 都在⊙O 上， ∠AOB＝∠BOC＝120°. 求证：△ABC 是等边三角形．
图 2－2－2
证明弧相等
例 3 [教材“拓展与延伸”变式题] 如图 2－2－4， 在⊙O 中， ︵ ︵ AB，CD 是直径，CE∥AB 且交⊙O 于点 E.求证：BD＝BE.
图 2－2－4
2.2 圆的对称性
[解析] 首先连接 OE，由 CE∥AB，可证得∠DOB＝∠C，∠ BOE＝∠E，然后由 OC＝OE，可得∠C＝∠E，继而证得∠DOB ︵ ＝BE ︵. ＝∠BOE，则可证得BD