3.2圆的对称性(第一课时)作业

21.3.2 圆的对称性一、夯实基础1.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度。

A. 30B. 45C. 50D. 602.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为( )A. 26°B. 64°C. 52°D. 128°3.下列说法正确的是（）A. 等弧所对的圆心角相等B. 三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C. 经过三点可以作一个圆D. 相等的圆心角所对的弧相等4.已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）A.（）aB. 1C. /2D. a5.在半径为2cm的⊙O中，弦长为2cm的弦所对的圆心角为（）A. 30°B. 60°C. 90°D.120°6.下列命题中，正确的个数是（）①直径是圆中最长的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆周角所对的弧相等；④圆心角等于圆周角的2倍；⑤圆的内接平行四边形是矩形。

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、能力提升7.如图，AB是半圆O的直径，点C、D、E、F在半圆上，AC=CD=DE=EF=FB，则∠COF=（）A. 90°B. 100°C. 108°D. 120°8.下列命题正确的是( )A. 相等的圆周角对的弧相等B. 等弧所对的弦相等C. 三点确定一个圆D. 平分弦的直径垂直于弦9.同圆中的两条弦长为m1和m2，圆心到两条弦的距离分别为d1和d2，且d1＞d2，那么m1，m2的大小关系是( )A. m1＞m2B. m1＜m2C. m1=m2D. m1≤m210.若一弦长等于圆的半径，则这弦所对的弧的度数是( )A. 120°B. 60°C. 120°或240°D. 60°或300°11.若圆的一条弦把圆分成度数比例为2：7的两条弧，则弦所对的圆心角等于。

3.2圆的对称性作业答案
1.解析：A，C，D中没有强调在同圆和等圆中，故错误，只有B正确．故选
B.
2.解：∵∠AOC＝∠BOC，
∴AC＝BC.(在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等)
∴∠ABC＝∠BAC .
3.解：连接BO、CO.
∵AB＝AC，
∴∠AOB＝∠AOC.(在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么他们对应的其余各组量都分别相等)
∴∠BOD＝∠COD.
∴BD＝CD.(在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等)
4.解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=1
2
AB，CF=
1
2
CD
∴AE=CF
又∵OA=OC
∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴OE=OF
（2）如果OE=OF，那么AB=CD，AB=CD，∠AOB=∠COD 理由是：∵OA=OC，OE=OF
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴AE=CF
又∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=1
2
AB，CF=
1
2
CD
∴AB=2AE，CD=2CF
∴AB=CD
∴AB=CD，∠AOB=∠COD 5.解：CD=2AB成立,CD=2AB不成立.理由如下：取CD的中点E,连接OE，CE，DE.
那么∠AOB=∠COE=∠DOE,
所以∠COD=2∠AOB,弦AB=CE=DE,
弧AB=弧CE=弧DE, 即CD=2AB
在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.。

2 圆的对称性一、选择题（共10小题）1．（2012•江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（）A．（﹣1，）B．（0，）C．（，0）D．（1，）2．已知⊙O中，弦AB长为，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（）A．1B．2C．3D．43．下列说法：①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．34．（2013•邵东县模拟）⊙O的半径为R，若∠AOB=α，则弦AB的长为（）A．B．2RsinαC．D．R sinα5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）A．3＜r＜5 B．3＜r≤4 C．4＜r≤5 D．无法确定6．已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm，那么这条弦长是（）A．3cm B．6cm C．8cm D．10cm7．半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定8．一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm C．6.5 cm D．5 cm或13cm9．（2010•昌平区一模）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．10．（2013•合肥模拟）如图，是半径为1的圆弧，△AOC为等边三角形，D 是上的一动点，则四边形AODC 的面积s的取值范围是（）A．≤s ≤B．＜s ≤C．≤s ≤D．＜s ＜二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？12．一条弦AB分圆的直径为3cm和7cm两部分，弦和直径相交成60°角，则AB=_________cm．13．若⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则弦AB的长为_________cm．14．已知点P是半径为5的⊙O内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是_________．15．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P在⊙A_________．16．在下图所列的图形中选出轴对称图形：_________．17．作圆，使这些圆都经过线段AB的两个端点A和B，这些圆的圆心所组成的图形是_________．18．以已知点O为圆心，可以画_________个圆．19．如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD=84°，则∠BOC=_________．20．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，则∠D=_________度．三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）21．已知：AB交⊙O于C、D，且AC=BD．请证明：OA=OB．22．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，求证：AE=BF．23．如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．24．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．（1）求圆心O到弦AB的距离；（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？25．如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）26．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，（1）求CD的长；（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．27．已知：如图，在⊙O中，∠A=∠C，求证：AB=CD（利用三角函数证明）．28．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，求弦AB的长．29．已知：等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，AB=AC，点O到BC的距离OD的长等于2cm．求AB的长．30．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=7，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC的长．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．（2012•江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（）A．（﹣1，）B．（0，）C．（，0）D．（1，）考点：圆心角、弧、弦的关系；坐标与图形性质；解直角三角形．分析：连接OQ、OP，求出∠POQ的度数，得出等边三角形POQ，得出PQ=OQ=OP=2，∠OPQ=∠OQP=60°，求出∠AOQ度数，根据三角形的内角和定理求出∠QAO，求出AQ、OA，即可得出答案．解答：解：连接OQ、PO，则∠POQ=120°﹣60°=60，∵PO=OQ，∴△POQ是等边三角形，∴PQ=OP=OQ=×4cm=2cm，∠OPQ=∠OQP=60°，∵∠AOQ=90°﹣60°=30°，∴∠QAO=180°﹣60°﹣30°=90°，∴AQ=OQ=2cm，∵在Rt△AOQ中，由勾股定理得：OA==，∴A的坐标是（0，），故选B．点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的内角和定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是构造三角形后求出OA的长，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．2．已知⊙O中，弦AB长为，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（）A．1B．2C．3D．4考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OA，根据垂径定理求出AD，设⊙O的半径是R，则OA=R，OD=R﹣1，在Rt△OAD中，由勾股定理得出方程R2=（R﹣1）2+（）2，求出R即可．解答：解：连接OA，∵OC是半径，OC⊥AB，∴AD=BD=AB=，设⊙O的半径是R，则OA=R，OD=R﹣1，在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2=OD2+AD2，即R2=（R﹣1）2+（）2，R=2，故选B．点评：本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是构造直角三角形，用了方程思想．3．下列说法：①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：垂径定理；同位角、内错角、同旁内角；等腰三角形的性质；正方形的判定；等腰梯形的性质．分析：根据只有在平行线中，同位角才相等，等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，即可判断①②③④；画出反例图形即可判断⑤．解答：解：∵只有在平行线中，同位角才相等，∴①错误；∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，∴②错误；∵对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，∴③错误；∵等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴④正确；如图AB是⊙O直径，CD是⊙O弦，AB平分CD，但AB和CD不垂直，∴⑤错误；故选B．点评：本题考查了等腰三角形性质，平行线的性质，同位角，等腰梯形性质，正方形的判定等知识点的应用，主要考查学生的辨析能力．4．（2013•邵东县模拟）⊙O的半径为R，若∠AOB=α，则弦AB的长为（）A．B．2RsinαC．D．R sinα考点：垂径定理；解直角三角形．分析：过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得出AB=2AC，根据等腰三角形性质求出∠AOC=∠BOC=∠AOB=，根据sin∠AOC=求出AC=Rsin，即可求出AB．解答：解：过O作OC⊥AB于C，则由垂径定理得：AB=2AC=2BC，∵OA=OB，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=，在△AOC中，sin∠AOC=，∴AC=Rsin，∴AB=2AC=2Rsin，故选A．点评：本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，解直角三角形等知识点，关键是求出AC的长和得出AB=2AC．5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）A．3＜r＜5 B．3＜r≤4 C．4＜r≤5 D．无法确定考点：点与圆的位置关系．分析：四边形ABCD是矩形，则△ABC是直角三角形．根据勾股定理得到：AC=5，B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，由题意可知一定是B在圆内，则半径r＞3，一定是点C在圆外，则半径r＜5，所以3＜r＜5．解答：解：∵AB=3，AD=4，∴AC=5，∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，∴⊙A的半径r的取值范围是：3＜r＜5．故选A．点评：本题主要考查了勾股定理，以及点和圆的位置关系，可以通过点到圆心的距离与圆的半径比较大小，判定点和圆的位置关系．6．已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm，那么这条弦长是（）A．3cm B．6cm C．8cm D．10cm考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：连接OA，根据垂径定理求出AC=BC，根据勾股定理求出AC即可．解答：解：连接OA，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AC=BC，由勾股定理得：AC===3（cm），∴AB=2AC=6（cm）．故选B．点评：本题主要考查对勾股定理，垂径定理等知识点的理解和掌握，能求出AC=BC和AC的长是解此题的关键．7．半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定考点：点与圆的位置关系；勾股定理．专题：计算题．分析：连接OP，根据勾股定理求出OP，把OP和圆的半径比较即可．解答：解：连接OP．∵P（﹣3，4），由勾股定理得：OP==5，∵圆的半径5，∴P在圆O上．故选B．点评：本题主要考查对勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的理解和掌握，能求出OP长和能根据直线与圆的位置关系性质进行判断是解此题的关键．8．一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm C．6.5 cm D．5 cm或13cm考点：点与圆的位置关系．分析：点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．解答：解：当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是13cm，因而半径是6.5cm；当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．故选A．点评：本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．9．（2010•昌平区一模）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象；垂径定理．专题：压轴题；动点型．分析：连接OP，根据条件可判断出PO⊥AB，即AP是定值，与x的大小无关，所以是平行于x轴的线段．要注意CE的长度是小于1而大于0的．解答：解：连接OP，∵OC=OP，∴∠OCP=∠OPC．∵∠OCP=∠DCP，CD⊥AB，∴∠OPC=∠DCP．∴OP∥CD．∴PO⊥AB．∵OA=OP=1，∴AP=y=（0＜x＜1）．故选A．点评：解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．10．（2013•合肥模拟）如图，是半径为1的圆弧，△AOC为等边三角形，D 是上的一动点，则四边形AODC的面积s的取值范围是（）A．≤s≤B．＜s≤C．≤s≤D．＜s＜考点：等边三角形的性质；垂径定理．专题：压轴题；动点型．分析：根据题意，得四边形AODC的最小面积即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD⊥OC时四边形的面积．要求三角形AOC的面积，作CD⊥AO于D．根据等边三角形的性质以及直角三角形的性质，求得CD=，得其面积是；要求最大面积，只需再进一步求得三角形DOC的面积，即是，则最大面积是．解答：解：根据题意，得四边形AODC的面积最小即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD⊥OC 时四边形的面积．作CH⊥AO于H，∵△AOC为等边三角形∴CH=∴S△AOC=；当OD⊥OC时面积最大，∴S△OCD=，则最大面积是+=∴四边形AODC的面积s的取值范围是＜s≤．故选B．点评：此题首先要能够正确分析出要求的四边形的最小面积和最大面积，然后根据等边三角形的性质以及三角形的面积公式进行计算．二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？考点：圆的认识．分析：根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合可以得到答案．解答：解：可让牛牛站在原地旋转，壮壮拉直牛牛的手臂，绕牛牛走一圈，用脚在沙滩上画出一条曲线，就是一个圆．点评：本题考查了圆的认识，了解圆的定义是解决本题的关键．12．一条弦AB分圆的直径为3cm和7cm两部分，弦和直径相交成60°角，则AB=2cm．考点：垂径定理．分析：根据题意画出图形，作弦的弦心距，根据题意可知，半径OA=5cm，ND=3cm，ON=2cm，利用勾股定理易求得NM=1cm，OM=cm，进一步可求出AM，进而求出AB．解答：解：根据题意画出图形，如图示，作OM⊥AB于M，连接OA，∴AM=BM，CD=10cm，ND=3cm，∴ON=2cm，∵∠ONM=60°，OM⊥AB，∴MN=1cm，∴OM=，在Rt△OMA中，AM===，∴AB=2AM=2．点评：本题主要考查了垂径定理，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，设法确定其中两边，进而利用勾股定理确定第三边．13．若⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则弦AB的长为24cm．考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：在△OBD中，利用勾股定理即可求得BD的长，然后根据垂径定理可得：AB=2BD，即可求解．解答：解：连接OB，∵在Rt△ODB中，OD=4cm，OB=5cm．由勾股定理得：BD2=OB2﹣OD2=132﹣52=144，∴BD=12，又OD⊥AB，∴AB=2BD=2×12=24cm．故答案是24．点评：本题主要考查垂径定理，圆中有关半径、弦长以及弦心距的计算一般是利用垂径定理转化成解直角三角形．14．已知点P是半径为5的⊙O内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是8条．考点：垂径定理；勾股定理．专题：推理填空题．分析：求出最长弦（直径）和最短弦（垂直于OP的弦），再求出之间的数，得出符合条件的弦，相加即可求出答案．解答：解：过P点最长的弦是直径，等于10，最短的弦是垂直于PO的弦，根据勾股定理和垂径定理求出是6，10和6之间有7，8，9，每个都有两条弦，关于OP对称，共6条，1+1+6=8，故答案为：8条．点评：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，此题是一道比较容易出错的题目，考虑一定要全面，争取做到不重不漏．15．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P在⊙A内部．考点：点与圆的位置关系；坐标与图形性质．分析：首先根据两点的坐标求得两点之间的距离，然后利用两点之间的距离和圆A的半径求得点与圆的位置关系．解答：解：∵A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），∴AP==2∵⊙A的半径为5，∴5＞2∴点P在⊙A的内部故答案为：内部．点评：本题考查了点与圆的位置关系，解题得到关键是根据两点的坐标求得两点之间的距离．16．在下图所列的图形中选出轴对称图形：②③④⑥．考点：圆的认识；轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形进行判断．解答：解：①⑤都不是轴对称图形，②③④⑥是轴对称图形，故答案为：②③④⑥．点评：本题主要考查轴对称的知识点，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．17．作圆，使这些圆都经过线段AB的两个端点A和B，这些圆的圆心所组成的图形是线段AB的垂直平分线．考点：圆的认识；线段垂直平分线的性质．分析：利用圆的性质可以得到圆上的所有点到圆心的距离相等，从而得到所有圆心到A、B两点的距离相等，从而得到结论．解答：解：∵圆上的所有点到圆心的距离相等，∴无论圆心O在哪里，总有OA=OB，即：所有圆心到A、B两点的距离相等，∵到A、B两点的距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，故答案为：线段AB的垂直平分线．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．18．以已知点O为圆心，可以画无数个圆．考点：圆的认识．分析：圆心固定，半径不确定，可以画出无数个圆，由此选择答案解决问题．解答：解：以一点为圆心，以任意长为半径可以画无数个同心圆，故答案为：无数．点评：此题考查：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小这一知识．19．如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD=84°，则∠BOC=48°．考点：圆的认识；平行线的性质．分析：根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D=∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．解答：解：∵OD=OC，∴∠D=∠A，∵∠AOD=84°，∴∠A=（180°﹣84°）=48°，又∵AD∥OC，∴∠BOC=∠A=48°．故答案为：48°．点评：本题考查了有关圆的知识：圆的半径都相等．也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．20．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，则∠D=25度．考点：圆的认识；三角形内角和定理；三角形的外角性质．分析：解答此题要作辅助线OB，根据OA=OB=BD=半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角和内角的关系解决．解答：解：连接OB，∵BD=OA，OA=OB所以△AOB和△BOD为等腰三角形，设∠D=x度，则∠OBA=2x°，因为OB=OA，所以∠A=2x°，在△AOB中，2x+2x+（105﹣x）=180，解得x=25，即∠D=25°．点评：此题主要考查了等腰三角形的基本性质，以及三角形内角和定理，难易程度适中．三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）21．已知：AB交⊙O于C、D，且AC=BD．请证明：OA=OB．考点：垂径定理；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出CE=DE，求出AE=BE，根据线段的垂直平分线定理求出即可．解答：证明：过O作OE⊥AB于E，∵OE过圆心O，∴CE=DE，∵AC=BD，∴AE=BE，∵OE⊥AB，∴OA=OB．点评：本题考查了线段的垂直平分线定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．22．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，求证：AE=BF．考点：垂径定理．专题：证明题．分析：过O作OG⊥CD，由垂径定理可知OG垂直平分CD，再由平行线分线段成比例定理即可求解．解答：证明：过O作OG⊥CD，由垂径定理可知OG垂直平分CD，则CG=DG，∵CE⊥CD，DF⊥CD，OG⊥CD，∴CE∥OG∥DF，∵CG=DG，∴OE=OF，∵OA=OB，∴AE=BF．点评：本题综合考查了垂径定理和平行线分线段成比例定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出平行线，再利用平行线的性质解答．23．如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．考点：圆心角、弧、弦的关系；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形．专题：证明题．分析：连接OE，推出DE⊥OC，求出∠EDO=90°，根据OD=OC=OE，求出∠DEO=30°，求出∠EOC，根据OC⊥AB，求出∠AOC=90°，求出∠AOE=30°，即可求出答案．解答：证明：连接OE，∵AB⊥OC，DE∥AB，∴DE⊥OC，∴∠EDO=90°，∵D为OC中点，∴OD=OC=OE，∴∠DEO=30°，∴∠EOC=90°﹣30°=60°，∵OC⊥AB，∴∠AOC=90°，∴∠AOE=90°﹣60°=30°，即∠AOE=30°，∠COE=60°，∴=2（圆心角的度数等于它所对的弧的度数）．点评：本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，综合性比较强．24．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．（1）求圆心O到弦AB的距离；（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，求出BC，再根据勾股定理求出OC即可；（2）弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4cm为半径的圆周．解答：（1）解：连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AC=BC=AB=8cm，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC===4（cm），答：圆心O到弦AB的距离是4cm．（2）解：如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点到圆心O的距离都是4cm，∴如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4cm为半径的圆周．点评：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理和计算的能力，题型较好，难度适中．25．如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）考点：圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．专题：证明题．分析：方法一：连接OB，利用同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等即可证明此题．方法二：连接OE，利用垂径定理可得OE⊥BC，再利用AD⊥BC，可得OE∥AD，然后即可证明．解答：证明：（1）连接OB，则∠AOB=2∠ACB，∠OAB=∠OBA，∵AD⊥BC，∴∠OAB=（180°﹣∠AOB），=90°﹣∠AOB=90°﹣∠ACB=∠DAC，∵E是弧BC的中点，∴∠EAB=∠EAC，∴∠EAO=∠EAB﹣∠OAB=∠EAC﹣∠DAC=∠EAD．（2）连接OE，∵E是的中点，∴弧BE=弧EC，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD，∵OE=OA，∴∠OAE=∠OEA，∴∠OAE=∠EAD．点评：此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线，方法一：连接OB，方法二：连接OE，属于中档题．26．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，（1）求CD的长；（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．考点：垂径定理；勾股定理．分析：（1）作OH⊥CD于H，连接OD，求出AB=6cm，半径OD=3cm，在Rt△OHE中，OE=2cm，∠OEH=60°，由勾股定理求出OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得求出HD=cm，由垂径定理得出DC=2DH，代入即可；（2）求出OE，∠OEH=45°，根据勾股定理求出OH，在Rt△OHD中，由勾股定理得求出HD，由垂径定理得出DC=2DH，代入即可．解答：解：（1）作OH⊥CD于H，连接OD，∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，∴AB=1cm+5cm=6cm，半径OD=3cm，∵在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=60°，∴OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD=cm，∵OH⊥CD，∴由垂径定理得：DC=2DH=2cm；（2）作OH⊥CD于H，连接OD，∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，∴AB=1cm+5cm=cm6，半径OD=3cm，∵若直线CD绕点E顺时针旋转15°，∴∠OEH=60°﹣15°=45°，在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=45°，∴OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD==（cm），∵OH⊥CD，∴由垂径定理得：DC=2DH=2cm；即CD=2cm．点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．27．已知：如图，在⊙O中，∠A=∠C，求证：AB=CD（利用三角函数证明）．考点：垂径定理；解直角三角形．专题：证明题．分析：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，设⊙O半径为R，根据sinA=，、inC=和∠A=∠C求出OE=OF，由勾股定理求出AE=CF，由垂径定理得出DC=2DF，AB=2AE，即可求出答案．解答：证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F设⊙O半径为R，sinA=，sinC=，∴OE=RsinA，OF=RsinC，∵∠A=∠C，∴sinA=sinC，∴OE=OF，由勾股定理得：CF2=OC2﹣OF2，AE2=OA2﹣OE2，∴AE=CF，由垂径定理得：DC=2DF，AB=2AE，∴AB=CD．点评：本题考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识点，主要培养学生运用定理进行推理的能力．28．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，求弦AB的长．考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：连接OA，根据等腰三角形性质求出∠D=∠OAD=30°，求出∠AOH=60°，根据垂径定理求出AB=2AH=2BH，求出∠HAO=30°，推出AO=2OH=C0，求出OH=CH=1cm，AO=2cm，在Rt△AHO 中，由勾股定理求出AH即可．解答：解：连接OA，∵OA=OD，∴∠D=∠OAD=30°，∴∠AOH=30°+30°=60°，∵AB⊥DH，∴∠AHO=90°，AB=2AH=2BH，∴∠HAO=30°，∴AO=2OH=C0，∴OH=CH=1cm，∴AO=2cm，在Rt△AHO中，由勾股定理得：AH==cm，∴AB=2cm．点评：本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算和推理的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．29．已知：等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，AB=AC，点O到BC的距离OD的长等于2cm．求AB 的长．考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：①连接AD、OB，根据三线合一得出AO过D，在Rt△OBD中，根据勾股定理求出BD，在Rt△ADB 中，根据勾股定理求出AB即可．②求出BD、AD，根据勾股定理求出AB即可．解答：解：①如图，连接AD，连接OB，∵△ABC是等腰三角形，∴根据等腰三角形的性质（三线合一定理）得出，AO⊥BC，AO平分BC，∵OD⊥BC，∴根据垂直定理得：OD平分BC，即A、O、D三点共线，∴AO过D，∵等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，∴OA=6cm，BD=DC，AD⊥BC，在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD===4（cm），在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB===4（cm），②如图：同法求出BD=4cm，AD=6cm﹣2cm=4cm，由勾股定理得：AB===4（cm），答：AB的长是4cm或4cm．点评：本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，勾股定理等知识点的应用，关键是正确作辅助线后求出BD的长，题目具有一定的代表性，难度也适中，是一道比较好的题目．注意：分类讨论．30．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=7，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC的长．考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：延长AO交BC于D，过O作OE⊥BC于E，根据垂径定理求出BC=2BE，根据等边三角形的性质和判定求出AD=BD=AB=12，求出OD的长，根据含30度角的直角三角形性质求出DE即可解答：解：延长AO交BC于D，过O作OE⊥BC于E，∵OE过圆心O，OE⊥BC，∴BC=2CE=2BE（垂径定理），∵∠A=∠B=60°，∴DA=DB，∴△DAB是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形），∴AD=BD=AB=12，∠ADB=60°，∴OD=AD﹣OA=12﹣7=5，∵∠OED=90°，∠ODE=60°，∴∠DOE=30°，∴DE=OD=（在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半），∴BE=12﹣=，∴BC=2BE=19（根据垂径定理已推出，在第三行）．点评：本题考查了垂径定理，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，关键是正确作辅助线后求出BE的长，题目比较典型，难度适中．。

知识点2：圆的对称性圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线。

注意：（1）圆的对称轴有无数条。

（2）圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后，仍与自身重合。

知识点 3：圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等例1如图，⊙O 的半径O A、OB 分别交弦C D 于点E、F，且C E＝DF．试问：(1) OE 等于O F 吗？(2) AC 与 B D 有怎样的数量关系？例2如图，AB 是⊙O 的直径．(1)若 OD//AC， C D 与 B D 的大小有什么关系？为什么？(2) 把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由．知识点4：圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系1.10的弧：将顶点在圆心的周角等分成360 份时，每一份的圆心角是10的角。

因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360 份，我们把10的圆心角所对的弧叫做10的弧。

2.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

注意：（1）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，不是指角与弧相等（角与弧是两个不同的图形）（2）度数相等的角为等角，但度数相等的弧不一定是等弧。

例1如图，在☉O 中，弦A D∥BC，DA=DC，∠AOC=1600，则∠BCO 的度数() A．200B．600 C. 400D．500例 2 如图，在△ABC 中，∠A=700，☉O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为例3如图，AB，CD 是⊙O 的两条直径，过点A作A E//CD 交⊙O 于点E，连接B D，DE．求证：BD＝DE.例4如图，点O在∠MPN 的平分线上，☉O 分别交P N、PM 于点A、B 和点C、D．求证：∠PCO=∠NAO．知识点5：垂径定理及垂径定理的推论1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

§3.2 圆的对称性学习目标:经历探索圆的对称性及相关性质的过程，理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理，圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理重点:垂径定理及其应用，圆心角、弧、弦之间关系定理．难点:垂径定理及其应用，“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明学习过程:一、举例：【例1】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．【例2】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．【例3】如图1,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2,若直线EF平移到与直径AB相交于点P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？二、当堂训练：1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有 .3、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.6.已知：AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，BE ⊥CD 于E ，AF ⊥CD 于F ，连结OE ，OF 求证：⑴OE ＝OF ⑵ CE ＝DF 7.在⊙O 中,弦AB ∥EF,连结OE 、OF 交AB 于C 、D 求证：AC ＝DB8.已知如图等腰三角形ABC 中,AB ＝AC,半径OB ＝5，圆心O 到BC 的距离为3，求ABC 的长 9.已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F.求证：EC ＝DF 第6题 5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．三、课后练习：1.已知，如图在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：AC ＝BD2.已知AB 、CD 为⊙O 的弦,且AB ⊥CD ，AB 将CD 分成3cm 和7cm 两部分，求：圆心O 到弦AB 的距离3.已知：⊙O 弦AB ∥CD 求证：⋂=⋂BD AC4.已知：⊙O 半径为6cm ，弦AB 与直径CD 垂直，且将CD 分成1∶3两部分,求：弦AB 的长5、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CE ⊥CD 交AB 于E DF ⊥CD 交AB 于F 求证：AE ＝BF 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第7题 第8题 第9题§3.2 圆的对称性（第二课时）学习目标:圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理．学习过程:一、例题讲解：【例1】如图，AB 、CD 、EF 都是⊙O 的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC 、EB 、DF是否相等？为什么？【例2】如图，弦DC 、FE 的延长线交于⊙O 外一点P ，直线PAB 经过圆心O ，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件： ，使∠1=∠2．二、当堂训练：1、判断题（1）相等的圆心角所对弦相等 （ ）（2）相等的弦所对的弧相等 （ ）2、填空题⊙O 中，弦AB 的长恰等于半径，则弦AB 所对圆心角是________度．3、选择题:如图，O 为两个同圆的圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点,OE ⊥AB ，垂足为E ，若AC ＝2.5 cm ，ED ＝1.5 cm ，OA ＝5 cm ，则AB 长度是___________．A 、6 cmB 、8 cmC 、7 cmD 、7.5 cm4、选择填空题: 如图2，过⊙O 内一点P 引两条弦AB 、CD ，使AB ＝CD ，求证：OP 平分∠BPD ．证明：过O 作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ．A.OM⊥PBB.OM⊥ABC.ON⊥CDD.ON⊥PD三、课后练习：1．下列命题中，正确的有（ ）A ．圆只有一条对称轴B ．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C ．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D ．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴2．下列说法中，正确的是（ ）A ．等弦所对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．圆心角相等，所对的弦相等D ．弦相等所对的圆心角相等3．下列命题中，不正确的是（ ）A ．圆是轴对称图形B ．圆是中心对称图形C ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D ．以上都不对4．半径为R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ）A ．43RB ．23RC ．3RD ．23R5．如图1，半圆的直径AB=4，O 为圆心，半径OE ⊥AB ，F 为OE 的中点，CD ∥AB ，则弦CD 的长为（ ）A ．23B ．3C ．5D ．256．已知：如图2，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为P ，且AP=4cm ，PD=2cm ，则⊙O 的半径为（ ）第3题 第4题例2图例1图A．4cm B．5cm C．42cm D．23cm7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（） A．3：2 B．5：2 C．5：2D．5：48．半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE：OF=（）A．2：1 B．3：2 C．2：3 D．09．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A．42B．82C．24 D．1610．如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对11．⊙O中若直径为25cm，弦AB的弦心距为10cm，则弦AB的长为．12．若圆的半径为2cm，圆中的一条弦长23cm，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为．13．AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，则AB= ．14．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是．15．弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为 cm．16．在半径为6cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 cm．17．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为．18．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．19．如图4，AB、CD是⊙O的直径OE⊥AB，OF⊥CD，则∠EOD ∠BOF，⌒AC⌒AE，AC AE．20．如图5，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径．21．如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D．（1）求证：AC=DB；（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．22．⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离．23．已知一弓形的弦长为4 ，弓形所在的圆的半径为7，求弓形的高．6。