2019版高考数学一轮复习第10章概率10.3几何概型课后作业文2018052219

10．1 随机事件的概率[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·湖南十三校二模)同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( )A.13B.12C.23D.56 答案 B解析 分别记《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》为A 1，A 2，A 3，A 4，从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能结果为A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 2A 3，A 2A 4, A 3A 4，共6个，其中A 1未被选取的结果有3个，所以所求概率P ＝36＝12.故选B.2．(2018·广东中山模拟)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③ 答案 C解析 从1,2,3,4,5这5个数中任取两个，有三种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数．其中至少有一个是奇数包含一奇一偶，两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件，而①②④中的事件可能同时发生，不是对立事件，故选C.3．(2017·安徽“江南十校”联考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15 答案 D解析 令选取的a ，b 组成实数对(a ，b )，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共15种情况，其中b >a 的有(1,2)，(1,3)，(2,3)3种情况，所以b >a 的概率为315＝15.故选D.4．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，向量m ＝(a ，b )，n ＝(1,2)，则向量m 与向量n 不共线的概率是( )A.16B.1112C.112D.118 答案 B解析 若m 与n 共线，则2a －b ＝0.而(a ，b )的可能性情况为6×6＝36个．符合2a ＝b 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三个．故共线的概率是336＝112，从而不共线的概率是1－112＝1112.故选B.5．一个袋子里装有编号为1,2，…，12的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是( )A.116B.316C.14D.716 答案 B解析 据题意由于是有放回地抽取，故共有12×12＝144种取法，其中两次取到红球且至少有一次号码是偶数的情况共有6×6－3×3＝27种可能，故其概率为27144＝316.故选B.6．(2018·湖南常德模拟)现有一枚质地均匀且表面分别标有1,2,3,4,5,6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为( )A.13B.12C.23D.1136 答案 D解析 将这枚骰子先后抛掷两次的基本事件总数为6×6＝36(个)，这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，共11个．∴这两次出现的点数之和大于点数之积的概率P ＝1136.故选D.7．(2018·安徽黄山模拟)从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( )A.310B.15C.12D.35 答案 A解析 从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数的基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10个，取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，共3个，故所求概率P ＝310.故选A.8．(2018·河南开封月考)有5张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为( )A.13B.23C.710D.310 答案 C解析 从5张卡片中随机抽2张的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，2张卡片上的数字之积为偶数的有7种，故所求概率P ＝710.9．(2018·河南商丘模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3中任取的一个数，b 是从0,1,2中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79B.13C.59D.23 答案 D解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2>0，即a 2>b 2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2>b 2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为69＝23.故选D. 10．(2017·湖南郴州三模)从集合A ＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为a ，从集合B ＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为( )A.29B.13C.49D.14 答案 A解析 (a ，b )所有可能的结果为(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种．由ax －y ＋b ＝0得y ＝ax ＋b ，当⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0时，直线不经过第四象限，符合条件的(a ，b )的结果为(2,1)，(2,3)，共2种，∴直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率P ＝29，故选A.二、填空题11．(2017·陕西模拟)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．答案 35解析 如图，从A ，B ，C ，D ，O 这5个点中任取2个，共有(A ，B )，(A ，C )，…，(D ，O )10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )共6种，因此所求概率P ＝610＝35.12．(2017·云南昆明质检)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．答案1928解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.13．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．答案815 1415解析 (1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因此事件C “取得两个同色球”，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P (C )＝715＋115＝815. (2)由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415.14．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25. 三、解答题15．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100. 所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.16．(2015·北京高考)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解 (1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．。

10.3 几何概型[知识梳理] 1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点3．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[诊断自测] 1．概念思辨(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A3P 137例1)在区间[10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是( )A.13B.17C.310D.710 答案 C解析 因为a ∈[10,13)，所以P (a <13)＝13－1020－10＝310.故选C.(2)(必修A3P 142A 组T 2)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．故选A.3．小题热身(1)(2018·承德质检)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78 答案 C解析 设通电x 秒后第一串彩灯闪亮，y 秒后第二串彩灯闪亮．依题意得0≤x ≤4,0≤y ≤4，其对应区域的面积为S ＝4×4＝16.又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x －y |≤2，如图，易知阴影区域的面积为S ′＝16－12×2×2－12×2×2＝12，∴P ＝S ′S ＝1216＝34.故选C.(2)(2017·贵阳质检)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18 解析 由题意知，S 阴S 正＝1801000＝0.18. ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.题型1 与长度(角度)有关的几何概型典例1 (2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34将时间长度转化为实数的区间长度代入几何概型概率公式．答案 B解析 解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12.故选B.解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12.故选B.典例2(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．本题是属于不等式解区间长度的几何概型．首先由题意列出不等式组求解区间，然后代入公式．答案 23解析 设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个根分别为x 1，x 2，由题意得， ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1·x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或p ≥2，结合p ∈[0,5]得p ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1∪[2,5]， 故所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋(5－2)5＝23. [条件探究1] 若将典例2条件“两个负根”变为“无实根”，试求其概率． 解 由Δ＝4p 2－4(3p －2)<0，解得1<p <2.所以无实根的概率为p ＝15.[条件探究2] 若将典例2条件“两个负根”变为“一正一负两根”，试求其概率． 解 欲使该方程有一正一负两根，只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)>0，x 1x 2＝3p －2<0，解得p <23，所以有一正一负两根的概率为p ＝215.方法技巧1．与长度有关的几何概型(1)试验的结果构成的区域的几何度量可直接用长度表示，代入几何概型计算公式． (2)与时间、不等式及其解有关的概率问题与时间、不等式及其解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型，利用几何概型概率公式进行求解．见典例1,2.2．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．见冲关针对训练2.冲关针对训练1．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710 B.58 C.38 D.310答案 B解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58.故选B.2．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ︵，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．答案 13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线AP ”，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，区域H 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13.题型2 与面积有关的几何概型角度1 与随机模拟相关的几何概型典例 (2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nm B.2n m C.4m n D.2m n答案C解析 如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12⇒π＝4mn.故选C.角度2 与线性规划有关的几何概型典例 (2014·湖北高考)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78 答案 D解析 区域Ω1为直角△AOB 及其内部，S △AOB ＝12×2×2＝2.区域Ω2是直线x ＋y ＝1和x ＋y ＝－2夹成的条形区域．由题意得所求的概率P ＝S 四边形AODCS △AOB ＝2－142＝78.故选D.方法技巧1．与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．见角度1典例．2．与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．见角度2典例．冲关针对训练1．在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b2＝1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732 D.3132 答案 B解析 ∵x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，∴a >b >0，a <2b ，它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为P ＝S 阴影S 矩形＝1－12×(1＋3)×2＋12×12×12×4＝1532，故选B.2．欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．答案49π解析 由题意易得P ＝12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝49π.题型3 与体积有关的几何概型典例1 (2018·兰州名校检测)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.4π81 B.81－4π81 C.127 D.827答案 C解析 由已知条件，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.故选C.典例2 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P ，则点P 满足V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC 的概率是________．答案 78解析 设三棱锥P －ABC 的高为h .由V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC ，得13S △ABC ·h <12·13S △ABC ·3，解得h <32，即点P 在三棱锥的中截面以下的空间．∴点P 满足V三棱锥P －ABC<12V 三棱锥S －ABC的概率是P ＝1－13·14S △ABC ·3213S △ABC ·3＝78.方法技巧与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.求解的关键是计算事件的总体积以及事件A 的体积． 冲关针对训练1．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6答案 B解析 正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.故选B.2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________．答案 12解析 过M 作平面RS ∥平面AC ，则两平面间的距离是四棱锥M －ABCD 的高，显然M 在平面RS 上任意位置时，四棱锥M －ABCD 的体积都相等．若此时四棱锥M －ABCD 的体积等于16.只要M 在截面以下即可小于16，当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，即点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B.2．(2015·陕西高考)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12πB.14－12πC.12－1πD.12＋1π 答案 B解析∵|z |≤1，∴(x －1)2＋y 2≤1，表示以M (1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，如图：∵∠OMA ＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12.故所求的概率P ＝S 阴影S ⊙M ＝π4－12π＝14－12π.故选B.3．(2018·湖北华师一附中联考)在区间[0,4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A.14B.316C.916D.34 答案 D解析 如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4表示的平面区域为正方形OBCD 及其内部，x ＋2y ≤8(x ，y ∈[0,4])表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率P ＝4×4－12×4×24×4＝34，故选D.4．(2017·江西赣州十四县联考)已知定义在区间[－3,3]上的单调函数f (x )满足：对任意的x ∈[－3,3]，都有f [f (x )－2x]＝6，则在[－3,3]上随机取一个实数x ，使得f (x )的值不小于4的概率为( )A.16B.56C.13D.12 答案 C解析 由题意设对任意的x ∈[－3,3]，都有f (x )－2x＝a ，其中a 为常数，且a ∈[－3,3]，则f (a )＝6，f (a )－2a＝a ，∴6－2a＝a ，得a ＝2，故f (x )＝2x＋2，由f (x )≥4得x ≥1，因此所求概率为3－13＋3＝13.故选C.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·陕西榆林二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，0≤x <1，ln x ＋e ，1≤x ≤e 在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( )A.1e B ．1－1e C.e 1＋e D.11＋e 答案 B解析 当0≤x ＜1时，f (x )<e ，当1≤x ≤e 时，e≤f (x )≤1＋e ，∵f (x )的值不小于常数e ，∴1≤x ≤e，∴所求概率为e －1e ＝1－1e，故选B.2．(2018·绵阳模拟)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.23 答案 C解析 如图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP |∶|AB |>14”，即P ⎝⎛⎭⎪⎫△PBC 的面积大于S 4＝|PA ||BA |＝34.故选C.3．已知实数a 满足－3<a <4，函数f (x )＝lg (x 2＋ax ＋1)的值域为R 的概率为P 1，定义域为R 的概率为P 2，则( )A ．P 1>P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1<P 2D ．P 1与P 2的大小不确定 答案 C解析 若f (x )的值域为R ，则Δ1＝a 2－4≥0，得a ≤－2或a ≥2. 故P 1＝－2－(－3)4－(－3)＋4－24－(－3)＝37.若f (x )的定义域为R ，则Δ2＝a 2－4<0，得－2<a <2.故P 2＝47.∴P 1<P 2.故选C.4．(2017·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4 B.π12 C.π4 D ．1－π12答案 A解析 鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4，故选A.5．(2017·铁岭模拟)已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )A.16B.13C.12D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.故选C.6．(2018·沧州七校联考)用一平面截一半径为5的球面得到一个圆，则此圆面积小于9π的概率是( )A.45B.15C.13D.12 答案 B解析 如图，此问题属几何概型，球的直径为10，用一平面截该球面，所得的圆面积大于等于9π的概率为P (A )＝810＝45.∴所截得圆的面积小于9π的概率为P (A －)＝1－45＝15.故选B.7．(2017·福建莆田3月质检)从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是( )A.π8 B.π4 C.12 D.34答案B解析 任取的两个数记为x ，y ，所在区域是正方形OABC 内部，而符合题意的x ，y 位于阴影区域内(不包括x ，y 轴)，故所求概率P ＝14π×121×1＝π4.故选B.8．(2017·河南三市联考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A ．1－π8B ．1－π4C ．1－π2D ．1－3π4答案 B解析函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点，需Δ＝4a 2－4(－b 2＋π2)≥0，即a 2＋b 2≥π2成立．而a ，b ∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a 2＋b 2≥π2，点(a ，b )如图阴影部分所示，所求事件的概率为P ＝2π×2π－π32π×2π＝4π2－π34π2＝1－π4.故选B. 9．(2018·江西模拟)向面积为S 的平行四边形ABCD 中任投一点M ，则△MCD 的面积小于S3的概率为( )A.13B.35C.23D.34 答案C解析 设△MCD 的高为ME ，ME 的反向延长线交AB 于F ，当“△MCD 的面积等于S3”时，12CD ·ME ＝13CD ·EF ，即ME ＝23EF ，过M 作GH ∥AB ，则满足△MCD 的面积小于S3的点M 在▱CDGH 中，由几何概型的概率公式得到△MCD 的面积小于S3的概率为2S3S ＝23.故选C.10．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2 答案 D解析 (x ，y )构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x ＋y ≤12的区域如图1中阴影部分所示，所以p 1＝12×12×121×1＝18，满足xy ≤12的区域如图2中阴影部分所示，所以p 2＝S 1＋S 21×1＝12＋S 21>12，所以p 1<12<p 2，故选D.二、填空题11.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率是________．答案 25解析 ∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，BD ＝ADtan60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.12．一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5米、4米、3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．答案π120解析 依题意，放在地面一角处的捕蝇器能捕捉到的空间体积V 0＝18×4π3×13＝π6(立方米)，又空屋子的体积V ＝5×4×3＝60(立方米)，三个捕蝇器捕捉到的空间体积V ′＝3V 0＝π2(立方米)．故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.13．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．答案1316解析 记“小波周末去看电影”为事件A ，则P (A )＝1－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π＝34，记“小波周末去打篮球”为事件B ，则P (B )＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π＝116，点到圆心的距离大于12与点到圆心的距离小于14不可能同时发生，所以事件A 与事件B 互斥，则小波周末不在家看书为事件A ∪B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝34＋116＝1316.14．(2018·河南洛阳模拟)已知O (0,0)，A (2,1)，B (1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，动点P (x ，y )满足0≤OP →·OA →≤2且0≤OP →·OB →≤2，则点P 到点C 的距离大于14的概率为________．答案 1－5π64解析 ∵O (0,0)，A (2,1)，B (1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，动点P (x ，y )满足0≤OP →·OA →≤2且0≤OP →·OB →≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ＋y ≤2，0≤x －2y ≤2.如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ＋y ≤2，0≤x －2y ≤2对应的平面区域为正方形OEFG 及其内部，|CP |>14对应的平面区域为阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝25，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25， ∴|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255， ∴正方形OEFG 的面积为45，则阴影部分的面积为45－π16，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为45－π1645＝1－5π64.三、解答题15．(2018·广东深圳模拟)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )在复平面上对应的点为M . (1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机抽取一个数作为x ，从集合Q 中随机抽取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解 (1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型， 其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， ∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，0≤y ≤4内，属于几何概型．该平面区域的图形为图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴，y 轴的交点分别为A (3,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.16．设f (x )和g (x )都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”，设f (x )＝ax ，g (x )＝bx.(1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率； (2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率．解 (1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”， 则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有 x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a >0，b >0时ax ＋b x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， b a 上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，＋∞上递增； x －1x 和4x －1x在(0，＋∞)上递增，∴对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x， 故事件A 包含的基本事件有4种，∴P (A )＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数，∴点(a ，b )所在区域是长为3，宽为3的正方形区域．要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立，需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b 2≤8， ∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分．∴P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋114×33×3＝1924， 故所求的概率是1924.。

第3讲 几何概型板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 几何概型 1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点考点2 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[必会结论]几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零. ( )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)×2．[2017·全国卷Ⅰ]如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B.3．[2018·重庆一中模拟]在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为( )A.25B.14C.35D.45 答案 D解析 由(x ＋1)(x －3)≤0，得－1≤x ≤3.由几何概型得所求概率为45.4．[2018·衡水中学调研]已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( )A.π4 B.π8 C.π6 D.π12答案 C解析 设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝16πa 3，故M 在球O 内的概率为16πa 3a 3＝π6.5．[2016·全国卷Ⅱ]从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nm B.2n m C.4m n D.2mn答案 C解析 设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1，构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn.故选C.板块二 典例探究·考向突破 考向与长度有关的几何概型例 1 (1)[2016·全国卷Ⅱ]某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710 B.58 C.38 D.310答案 B解析 行人在红灯亮起的25秒内到达该路口，即满足至少需要等待15秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P ＝2540＝58.故选B.(2)[2017·江苏高考]记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．答案 59解析 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝59.触类旁通求解与长度有关的几何概型应注意的问题(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比； (2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度．【变式训练1】 (1)[2018·辽宁模拟]在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45 答案 C解析 设AC ＝x cm(0<x <12)，则CB ＝(12－x ) cm ，则矩形面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2<32，即(x －8)(x －4)>0，解得0<x <4或8<x <12，在数轴上表示为由几何概型概率公式，得概率为812＝23.故选C.(2)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是________．答案 35解析 本题可以看成向区间[0,5] 内均匀投点，设A ＝{某乘客候车时间不超过3分钟}，则P (A )＝区间[2，5]的长度区间[0，5]的长度＝35.考向与面积有关的几何概型命题角度1 与平面图形面积有关的问题例 2 [2015·陕西高考]设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12π B.12＋1π C.14－12π D.12－1π答案 C解析 ∵|z |≤1，∴(x －1)2＋y 2≤1，表示以M (1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，作图如右：∵∠OMA ＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12.故所求的概率P ＝S 阴影S ⊙M ＝π4－12π＝14－12π.命题角度2 与线性规划交汇的问题例 3 [2018·湖北联考]在区间[0,4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A.14B.316C.619D.34 答案 D解析 如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4表示的平面区域为正方形OBCD 及其内部，x ＋2y ≤8(x ，y ∈[0,4])表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率P ＝4×4－12×4×24×4＝34.故选D.命题角度3 随机模拟估算例 4 如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32 答案 C解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得S 椭圆S 矩形＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32. 触类旁通利用落在椭圆内的黄豆数落在矩形内的黄豆数＝椭圆的面积矩形的面积求解．考向与体积有关的几何概型例 5 有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 23解析 圆柱的体积V 柱＝πR 2h ＝2π， 半球的体积V 半球＝12×43πR 3＝23π.∴圆柱内一点P 到点O 的距离小于等于1的概率为13.∴点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.触类旁通与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【变式训练2】 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P ，则点P 满足V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC 的概率是________．答案 78解析 设三棱锥P －ABC 的高为h .由V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC ，得13S △ABC ·h <12·13S △ABC ·3，解得h <32，即点P 在三棱锥的中截面以下的空间．∴点P 满足V三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC的概率是P ＝1－13·14S △ABC ·3213S △ABC ·3＝78.考向与角度有关的几何概型例 6 [2017·鞍山模拟]过等腰Rt △ABC 的直角顶点C 在∠ACB 内部随机作一条射线，设射线与AB 相交于点D ，求AD <AC 的概率．解 在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连接CE (如图)，则当射线CD 落在∠ACE 内部时，AD <AC .易知∠ACE ＝67.5°，∴AD <AC 的概率P ＝67.5°90°＝0.75.触类旁通与角度有关的几何概型的求解方法(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果所构成区域的角度.(2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算．【变式训练3】 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°，在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝ADtan60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.核心规律几何概型中的转化思想(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可．(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型．(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．满分策略几何概型求解中的注意事项(1)计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题．(2)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果． (3)几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”“角度”“面积”“体积”等，但要注意求概率时作比的上下“测度”要一致.板块三 启智培优·破译高考数学思想系列11——转化与化归思想解决几何概型的应用问题[2018·珠海模拟]某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)解题视点 先设出两人到校的时间，得到两变量满足的不等式组，再在平面直角坐标系中画出不等式组表示的区域，最后根据面积型几何概型求概率．解析 设小张和小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示．则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝{(x ，y )|y －x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝932.答案932答题启示 本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x ，y ，将已知转化为x ，y 所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x ，y )的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型的几何概型问题求解.若题中涉及到三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解.跟踪训练[2018·海口调研]张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________．答案 78解析 以横坐标x 表示报纸送到时间，以纵坐标y 表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A 发生，所以P (A )＝1×1－12×12×121×1＝78.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．在长为6 m 的木棒上任取一点P ，使点P 到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率是( )A.14B.13C.12D.23 答案 B解析 将木棒三等分，当P 位于中间一段时，到两端A ，B 的距离都大于2 m ，∴P ＝26＝13. 2．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于15°的概率为( )A.14B.13C.12D.23 答案 D解析 依题意可知∠AOC ∈[15°，75°]，∠BOC ∈[15°，75°]，故OC 活动区域为与OA ，OB 构成的角均为15°的扇形区域，可求得该扇形圆心角为(90°－30°)＝60°.P (A )＝OC 活动区域的圆心角度数∠AOB 的度数＝60°90°＝23.3．[2018·山东师大附中模拟]设x ∈[0，π]，则sin x <12的概率为( )A.16B.14C.13D.12 答案 C解析 由sin x <12且x ∈[0，π]，借助于正弦曲线可得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，∴P ＝π6×2π－0＝13. 4．[2018·湖南长沙联考]如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4 B.π12 C.π4 D ．1－π12答案 A解析 鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4.故选A.5．[2018·福建莆田质检]从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是( )A.π8 B.π4 C.12 D.34答案 B解析 任取的两个数记为x ，y ，所在区域是正方形OABC 内部，而符合题意的x ，y 位于阴影区域内(不包括x ，y 轴)，故所求概率P ＝π4×121×1＝π4.6．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6答案 B解析 正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×4π3×13＝2π3，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－2π38＝1－π12.7．[2018·铁岭模拟]已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )A.16B.13C.12D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含F 点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.8．[2018·绵阳模拟]在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是________．答案 34解析 如图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP |∶|AB |>14”．即P ⎝⎛⎭⎪⎫△PBC 的面积大于S 4＝|PA ||BA |＝34.9．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析 由题意知m >0，当0<m <2时，－m ≤x ≤m ，此时所求概率为m －(－m )4－(－2)＝56，解得m＝52(舍去)；当2≤m <4时，所求概率为m －(－2)4－(－2)＝56，解得m ＝3；当m ≥4时，概率为1，不合题意，故m ＝3.10．[2018·保定调研]在区间[－1,1]内随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x －1的概率是________．答案 78解析 点(x ，y )分布在如图所示的正方形区域内，画出x －y －1≤0表示的区域，可知所求的概率为1－124＝78.[B 级 知能提升]1．[2018·郑州模拟]分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为()A.4－π2 B.π－22 C.4－π4 D.π－24答案 B解析 设AB ＝2，则S 阴影＝2π－4.∴所求概率P ＝2π－44＝π－22，故选B 项．2．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黑芝麻随机撒在△ABC 内，则该粒黑芝麻落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.23D.12 答案 D解析 由PB →＋PC →＋2PA →＝0，得PB →＋PC →＝－2PA →，设BC 边中点为D ，连接PD ，则2PD →＝－2PA →，P 为AD 中点，所以所求概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，即该粒黑芝麻落在△PBC 内的概率是12.故选D.3．[2018·山东模拟]在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为________．答案 34解析 不等式－1≤log 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 12 2≤log 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 12 12，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.4．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}， 构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，如图． 所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.5．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ，则0≤x <24,0≤y <24且y －x >4或y －x <－4.作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x <24，0≤y <24，y －x >4或y －x <－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ， 则P (A )＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y >2或y －x >4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＜24，0≤y ＜24，y －x >4或x －y >2.P (B )＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.。

第二节古典概型与几何概型A组基础题组1.(2016北京,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )A.15 B.25C.825D.9252.设p在[0,5]上随机地取值,则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为( )A.15 B.25C.35D.453.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.1204.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为.5.某同学同时掷两颗骰子,得到的点数分别为a,b,则双曲线x 2a -y2b=1(a>0,b>0)的离心率e>是.6.已知正方形ABCD的边长为2,H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P,则满足PH<为.7.(2017北京东城二模)某单位附近只有甲乙两个临时停车场,它们各有50个车位,为了方便市民停车,某互联网停车公司对这两个停车场在工作日某些固定时刻的剩余停车位进行记录,如下表:如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于总车位数的10%,那么当车主驱车抵达单位附近时,该公司将会向车主发出停车场饱和警报.(1)假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同,求他收到甲停车场饱和警报的概率;(2)从这六个时刻中任选一个时刻,求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率;(3)当停车场乙发出饱和警报时,求停车场甲也发出饱和警报的概率.8.某超市为了促销,举行了抽奖活动:在一个不透明的抽奖箱中装有四个形状、大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)顾客甲从抽奖箱中一次性随机取出两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)顾客甲从抽奖箱中随机取一个球,记下编号后放回,再从抽奖箱中随机取一个球,记下编号放回.设这两次取出的球的编号之和为M.超市奖项设置:若M=8,则为一等奖;若M=7,则为二等奖;若5≤M≤6,则为三等奖;其他情况无奖.求顾客甲中奖的概率.B组提升题组9.从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nm B.2nmC.4mnD.2mn10.已知P是△ABC所在平面内一点,PB+PC+2PA=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14 B.13C.12D.2311.(2015北京海淀一模)某单位计划在3月1日至7日举办人才交流会,某人随机选择其中的连续两天参加交流会,那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为( )A.12 B.13C.14D.1612.一个三位数的百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称为“凹数”(如213,312等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率是( )A.16 B.524C.13D.72413.一个不透明的袋中装有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.,其中P i为第i题的难度,R i 14.(2017北京西城一模,17改编)在测试中,客观题难度的计算公式为P i=R iN为答对该题的人数,N为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试,共5道客观题.测试前根据对学生的了解,预估了每道题的难度,如下表所示:测试后,从中随机抽取了10名学生,将他们编号后统计各题的作答情况,如下表所示(“√”表示答对,“×”表示答错):(1)根据题中数据,将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表,并估计这120名学生中第5题的实测答对人数;(2)从编号为1到5的5人中随机抽取2人,求恰好有1人答对第5题的概率.答案精解精析A 组 基础题组1.B 设其他3名学生为丙、丁、戊,从中任选2人的所有情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊), (乙,丙),(乙,丁),(乙,戊), (丙,丁),(丙,戊), (丁,戊), 共4+3+2+1=10种.其中甲被选中的情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4种, 故甲被选中的概率为410=25.故选B.2.C 方程x 2+px+1=0有实根,则Δ=p 2-4≥0,解得p≥2或p≤-2(舍去).由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为5-25-0=35.3.C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有10种取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构成一组勾股数的有1种:(3,4,5),故所求事件的概率P=110,故选C.4.答案 13解析 甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝9种,其中颜色相同的有3种,所以所求概率为39=13.5.答案 16解析 由e= 1+b 2a 2> 5,得b>2a.当a=1时,有b=3,4,5,6四种情况;当a=2时,有b=5,6两种情况,总共有6种情况.而同时掷两颗骰子,得到的点数(a,b)共有36种情况,∴所求事件的概率P=636=16. 6.答案 π8+14解析 如图,设E 、F 分别为边AB 、CD 的中点,则满足PH< 2的点P 在阴影区域内(不包括弧EF),由几何概型的概率计算公式知,所求概率为14π( 2)2+12×1×1×22×2=π8+14.7.解析(1)事件“该车主收到甲停车场饱和警报”只有10点这一种情况,该车主抵达单位共有六种情况,所以该车主收到甲停车场饱和警报的概率P=16.(2)事件“甲停车场比乙停车场剩余车位数少”有8点、10点、18点三种情况,一共有六个时刻,所以甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率P=36=12 .(3)事件“停车场乙发出饱和警报”有10点、12点、14点三种情况,事件“停车场甲也发出饱和警报”只有10点一种情况,所以当停车场乙发出饱和警报时,停车场甲也发出饱和警报的概率P=13.8.解析(1)从抽奖箱中一次性随机取出两个球,其基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个.设“从抽奖箱中一次性随机取出两个球的编号之和不大于4”为事件A,则事件A包含的事件有(1,2),(1,3),共2个.因此P(A)=26=13 .(2)先从抽奖箱中随机取一个球,记下编号,为a,放回后,再从抽奖箱中随机取一个球,记下编号,为b,其所有可能的结果(a,b)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4 ,3),(4,4),共16个.设“顾客甲中奖”为事件B,则事件B包含的事件有(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共10个.所以P(B)=1016=58 .B组提升题组9.C 如图,数对(x i,y i)(i=1,2,…,n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界),两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分,不包括弧AC)内,则由几何概型的概率公式可得mn =14π12⇒π=4mn.故选C.10.C 如图所示,设点M是BC边的中点,因为PB+PC+2PA=0,所以点P是中线AM的中点,所以黄豆落在△PBC内的概率P=S△PBCS△ABC =12,故选C.11.B 在1日至7日选连续两天,基本事件有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),共6个. 符合条件的基本事件有(1,2),(2,3),共2个.∴所求概率P=26=13,故选B.12.C 由1,2,3组成的三位数有123,132,213,231,312,321,共6个; 由1,2,4组成的三位数有124,142,214,241,412,421,共6个;由1,3,4组成的三位数有134,143,314,341,413,431,共6个;由2,3,4组成的三位数有234,243,324,342,432,423,共6个.所以共有6+6+6+6=24个三位数.当b=1时,有214,213,314,412,312,413,共6个“凹数”;当b=2时,有324,423,共2个“凹数”.∴这个三位数为“凹数”的概率P=6+224=13 .13.解析(1)将标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A,B,C,标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D,E.从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10种.由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A,D),(A,E),(B,D),共3种.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)将标号为0的绿色卡片记为F.从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,F),(C,F),(D,F),(E,F),共8种.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.14.解析(1)每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表:所以,估计120人中有120×0.2=24人答对第5题.(2)记编号为i的学生为A i(i=1,2,3,4,5),从这5人中随机抽取2人,不同的抽取方法为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A3,A4),(A3,A5),(A4,A5),共10种.其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A2,A5),(A3,A5),(A4,A5),共6种.所以,从编号为1到5的5人中随机抽取2人,恰好有1人答对第5题的概率P=610=35 .。

2019高考数学一轮复习 10-3 几何概型课时作业 文一、选择题1．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.23 解析：如图，要使S △PBC>14S △ABC ，只需PB>14AB.故所求概率为P ＝34AB AB ＝34.答案：C2．(2014年高考湖南卷)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X≤1的概率为( ) A.45 B.35 C.25D.15解析：区间[－2,3]的长度为5，区间[－2,1]的长度为3，因此P(X≤1)＝35，选B.答案：B3．函数f(x)＝x2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率为( ) A ．1 B.23C.310D.25解析：令x2－x －2＝0，得x1＝－1，x2＝2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，与x 轴的交点为(－1,0)，(2,0)，图象在x 轴下方，即f(x0)≤0的x0的取值范围为[－1,2]， ∴P ＝2－－5－－＝310. 答案：C4.(2014年高考辽宁卷)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是()A.π2B.π4C.π6D.π8解析：P ＝S 半圆S 矩形＝12×π×122×1＝π4.故选B.答案：B5．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得VP -ABC<12VS -ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12D.14解析：当点P 到底面ABC 的距离小于32时，VP -ABC<12VS -ABC. 由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78.答案：A 二、填空题6．记集合A ＝{(x ，y)|x2＋y2≤4}和集合B ＝{(x ，y)|x ＋y －2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x ，y)，则点M 落在区域Ω2的概率为________． 解析：作圆O ：x2＋y2＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△OAB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为24π＝12π.答案：12π7．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4 cm 的圆面，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴整体落在铜钱内)，则油滴整体(油滴是直径为0.2 cm 的球)正好落入孔中的概率是________(不作近似计算)． 解析：注意到油滴整体落在铜钱边界内，所以油滴的球心所在区域是以2－0.1＝1.9 cm 为半径的圆，而要使油滴整体正好落入孔中，则油滴的球心所在区域是以1－0.2＝0.8 cm 为边长的正方形，故所求概率为P ＝0.82π·1.92＝64361π.答案：64361π8.如图，长方体ABCD -A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A -A1BD 内的概率为________．解析：设事件M ＝“动点在三棱锥A -A1BD 内”， P(M)＝V 三棱锥A -A1BDV 长方体ABCD -A1B1C1D1＝V 三棱锥A1 -ABDV 长方体ABCD -A1B1C1D1 ＝13AA1·S △ABD V 长方体ABCD -A1B1C1D1 ＝13AA1·12S 矩形ABCD V 长方体ABCD -A1B1C1D1＝16. 答案：16三、解答题9．(2015年济南调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y)．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率；(2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解析：(1)设“a ∥b”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y.基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件； 其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件． 则P(A)＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x ＋y<0，且x≠2y. 基本事件空间为Ω＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫，⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x≤2，－1≤y≤1，，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x≤2，－1≤y≤1，2x ＋y<0，x≠2y，则由图可知，P(B)＝μB μΩ＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13， 即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.10．已知关于x 的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx ＋1.设点(a ，b)是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x>0，y>0内的随机点，求函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解析：因为函数f(x)＝ax2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba ，要使f(x)＝ax2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且2ba ≤1，即2b≤a.依条件，可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫，⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a>0，b>0. 构成所求事件的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫，⎪⎪⎪⎪2ba ≤1，a>0，b>0. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝⎛⎭⎫163，83， 所以所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.B 组 高考题型专练1．(2015年韶关调研)在区间[0,2]之间随机抽取一个数x ，则x 满足2x －1≥0的概率为( ) A.34 B.12 C.14D.13解析：区间[0,2]看作总长度为2，区间[0,2]中满足2x －1≥0的只有⎣⎡⎦⎤12，2，长度为32，P ＝322＝34. 答案：A2．在区间[0,2]上任取两个实数a ，b ，则函数f(x)＝x3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且只有一个零点的概率是( ) A.18 B.14 C.34D.78解析：∵a ∈[0,2]，∴f ′(x)＝3x2＋a≥0，∴f(x)是增函数．若f(x)在[－1,1]上有且仅有一个零点，则f(－1)·f(1)≤0，即(－1－a －b)(1＋a －b)≤0，则(1＋a ＋b)(1＋a －b)≥0.由题意知全部事件的面积为2×2＝4，满足条件的面积为4－12×1×1＝72，∴所求概率P ＝724＝78，故选D.答案：D3．一艘轮船从O 点的正东方向10 km 处出发，沿直线向O 点的正北方向10 km 处的港口航行，某台风中心在点O ，距中心不超过r km 的位置都会受其影响，且r 是区间[5,10]内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是( ) A.2－12B ．1－22C.2－1 D ．2－ 2解析：以O 为圆心，r 为半径作圆，易知当r>52时，轮船会遭受台风影响，所以P ＝10－5210－5＝10－525＝2－ 2.答案：D4．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率为( ) A.25 B.25C.35D.3210解析：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a|2＝|a －1|2≤ 2，解得－1≤a≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25. 答案：B5．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f(x)＝x2＋2ax －b2＋π有零点的概率为( ) A.78 B.34 C.12D.14解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为矩形ABCD 及其内部．要使函数f(x)＝x2＋2ax －b2＋π有零点，则必须有Δ＝4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，其表示的区域为图中阴影部分．故所求概率P ＝S 阴影S 矩形＝3π24π2＝34.答案：B6．(2015年青岛模拟)如图是某算法的程序框图，若任意输入[1,19]中的实数x ，则输出的x 大于49的概率为________．解析：第一次循环：x 变为2x －1，n ＝2；第二次循环：x 变为2(2x －1)－1，n ＝3；第三次循环：x 变为2[2(2x －1)－1]－1，n ＝4，不满足循环条件，此时输出2[2(2x －1)－1]－1，由2[2(2x －1)－1]－1>49，得x>7，所以所求概率为1218＝23.答案：23.7．(2015年厦门模拟)记曲线y ＝x2与y ＝x 围成的区域为D.若利用计算机产生(0,1)内的两个均匀随机数x ，y ，则点(x ，y)恰好落在区域D 内的概率等于________．解析：曲线y ＝x2与y ＝x 所围成的区域如图阴影部分所示，其面积为⎠⎛01(x －x2)dx ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－13x3| 10＝23－13＝13，∴所求的概率P ＝131×1＝13.答案：138.如图所示，在单位圆O 的某一直径上随机地取一点Q ，则过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率是________．解析：弦长不超过1，即|OQ|≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，事件A ＝{弦长超过1}． 由几何概型的概率公式得P(A)＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－32. 答案：1－32。

第3讲 几何概型板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 几何概型 1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点考点2 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[必会结论]几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零. ( )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)×2．[2017·全国卷Ⅰ]如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B.3．[2018·重庆一中模拟]在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为( )A.25B.14C.35D.45 答案 D解析 由(x ＋1)(x －3)≤0，得－1≤x ≤3.由几何概型得所求概率为45.4．[2018·衡水中学调研]已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( )A.π4 B.π8 C.π6 D.π12答案 C解析 设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝16πa 3，故M 在球O 内的概率为16πa 3a 3＝π6.5．[2016·全国卷Ⅱ]从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nm B.2n m C.4m n D.2mn答案 C解析 设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1，构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn.故选C.板块二 典例探究·考向突破 考向与长度有关的几何概型例 1 (1)[2016·全国卷Ⅱ]某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710 B.58 C.38 D.310答案 B解析 行人在红灯亮起的25秒内到达该路口，即满足至少需要等待15秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P ＝2540＝58.故选B.(2)[2017·江苏高考]记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．答案 59解析 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝59.触类旁通求解与长度有关的几何概型应注意的问题(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比； (2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度．【变式训练1】 (1)[2018·辽宁模拟]在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45 答案 C解析 设AC ＝x cm(0<x <12)，则CB ＝(12－x ) cm ，则矩形面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2<32，即(x －8)(x －4)>0，解得0<x <4或8<x <12，在数轴上表示为由几何概型概率公式，得概率为812＝23.故选C.(2)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是________．答案 35解析 本题可以看成向区间[0,5] 内均匀投点，设A ＝{某乘客候车时间不超过3分钟}，则P (A )＝区间[2，5]的长度区间[0，5]的长度＝35.考向与面积有关的几何概型命题角度1 与平面图形面积有关的问题例 2 [2015·陕西高考]设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12π B.12＋1π C.14－12πD.12－1π答案 C解析 ∵|z |≤1，∴(x －1)2＋y 2≤1，表示以M (1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，作图如右：∵∠OMA ＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12.故所求的概率P ＝S 阴影S ⊙M ＝π4－12π＝14－12π.命题角度2 与线性规划交汇的问题例 3 [2018·湖北联考]在区间[0,4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A.14B.316C.619D.34 答案 D解析 如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4表示的平面区域为正方形OBCD 及其内部，x ＋2y ≤8(x ，y ∈[0,4])表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率P ＝4×4－12×4×24×4＝34.故选D.命题角度3 随机模拟估算例 4 如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32 答案 C解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得S 椭圆S 矩形＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32. 触类旁通利用落在椭圆内的黄豆数落在矩形内的黄豆数＝椭圆的面积矩形的面积求解．考向与体积有关的几何概型例 5 有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 23解析 圆柱的体积V 柱＝πR 2h ＝2π， 半球的体积V 半球＝12×43πR 3＝23π.∴圆柱内一点P 到点O 的距离小于等于1的概率为13.∴点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.触类旁通与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【变式训练2】 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P ，则点P 满足V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC 的概率是________．答案 78解析 设三棱锥P －ABC 的高为h .由V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC ，得13S △ABC ·h <12·13S △ABC ·3，解得h <32，即点P 在三棱锥的中截面以下的空间．∴点P 满足V三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC的概率是P ＝1－13·14S △ABC ·3213S △ABC ·3＝78.考向与角度有关的几何概型例 6 [2017·鞍山模拟]过等腰Rt △ABC 的直角顶点C 在∠ACB 内部随机作一条射线，设射线与AB 相交于点D ，求AD <AC 的概率．解 在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连接CE (如图)，则当射线CD 落在∠ACE 内部时，AD <AC .易知∠ACE ＝67.5°，∴AD <AC 的概率P ＝67.5°90°＝0.75.触类旁通与角度有关的几何概型的求解方法(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果所构成区域的角度.(2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算．【变式训练3】 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°，在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝ADtan60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.核心规律几何概型中的转化思想(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可．(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型．(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．满分策略几何概型求解中的注意事项(1)计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题．(2)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果． (3)几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”“角度”“面积”“体积”等，但要注意求概率时作比的上下“测度”要一致.板块三 启智培优·破译高考数学思想系列11——转化与化归思想解决几何概型的应用问题[2018·珠海模拟]某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)解题视点 先设出两人到校的时间，得到两变量满足的不等式组，再在平面直角坐标系中画出不等式组表示的区域，最后根据面积型几何概型求概率．解析 设小张和小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示．则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝{(x ，y )|y －x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝932.答案932答题启示 本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x ，y ，将已知转化为x ，y 所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x ，y )的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型的几何概型问题求解.若题中涉及到三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解.跟踪训练[2018·海口调研]张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________．答案 78解析 以横坐标x 表示报纸送到时间，以纵坐标y 表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A 发生，所以P (A )＝1×1－12×12×121×1＝78.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．在长为6 m 的木棒上任取一点P ，使点P 到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率是( )A.14B.13C.12D.23 答案 B解析 将木棒三等分，当P 位于中间一段时，到两端A ，B 的距离都大于2 m ，∴P ＝26＝13. 2．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于15°的概率为( )A.14B.13C.12D.23 答案 D解析 依题意可知∠AOC ∈[15°，75°]，∠BOC ∈[15°，75°]，故OC 活动区域为与OA ，OB 构成的角均为15°的扇形区域，可求得该扇形圆心角为(90°－30°)＝60°.P (A )＝OC 活动区域的圆心角度数∠AOB 的度数＝60°90°＝23.3．[2018·山东师大附中模拟]设x ∈[0，π]，则sin x <12的概率为( )A.16B.14C.13D.12 答案 C解析 由sin x <12且x ∈[0，π]，借助于正弦曲线可得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，∴P ＝π6×2π－0＝13. 4．[2018·湖南长沙联考]如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4 B.π12 C.π4 D ．1－π12答案 A解析 鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4.故选A.5．[2018·福建莆田质检]从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是( )A.π8 B.π4 C.12 D.34答案 B解析 任取的两个数记为x ，y ，所在区域是正方形OABC 内部，而符合题意的x ，y 位于阴影区域内(不包括x ，y 轴)，故所求概率P ＝π4×121×1＝π4.6．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6答案 B解析 正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×4π3×13＝2π3，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－2π38＝1－π12.7．[2018·铁岭模拟]已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )A.16B.13C.12D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含F 点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.8．[2018·绵阳模拟]在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是________．答案 34解析 如图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP |∶|AB |>14”．即P ⎝⎛⎭⎪⎫△PBC 的面积大于S 4＝|PA ||BA |＝34.9．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析 由题意知m >0，当0<m <2时，－m ≤x ≤m ，此时所求概率为m －(－m )4－(－2)＝56，解得m＝52(舍去)；当2≤m <4时，所求概率为m －(－2)4－(－2)＝56，解得m ＝3；当m ≥4时，概率为1，不合题意，故m ＝3.10．[2018·保定调研]在区间[－1,1]内随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x －1的概率是________．答案 78解析 点(x ，y )分布在如图所示的正方形区域内，画出x －y －1≤0表示的区域，可知所求的概率为1－124＝78.[B 级 知能提升]1．[2018·郑州模拟]分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为()A.4－π2 B.π－22 C.4－π4 D.π－24答案 B解析 设AB ＝2，则S 阴影＝2π－4.∴所求概率P ＝2π－44＝π－22，故选B 项．2．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黑芝麻随机撒在△ABC 内，则该粒黑芝麻落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.23D.12 答案 D解析 由PB →＋PC →＋2PA →＝0，得PB →＋PC →＝－2PA →，设BC 边中点为D ，连接PD ，则2PD →＝－2PA →，P 为AD 中点，所以所求概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，即该粒黑芝麻落在△PBC 内的概率是12.故选D.3．[2018·山东模拟]在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为________．答案 34解析 不等式－1≤log 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 12 2≤log 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 12 12，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.4．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}， 构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，如图． 所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.5．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ，则0≤x <24,0≤y <24且y －x >4或y －x <－4.作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x <24，0≤y <24，y －x >4或y －x <－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ， 则P (A )＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y >2或y －x >4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＜24，0≤y ＜24，y －x >4或x －y >2.P (B )＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.。

地地道道的达到 第2讲几何概型一、选择题1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上边扔一颗玻璃小球，若小球落在暗影部分，则可中奖，小明要想增添中奖时机，应选择的游戏盘是 ( )分析： 选 A ．如题干选项中图，各样状况的概率都是其面积比， 中奖的概率挨次为( )P A32 2 1＝ ，P (B )＝ ，P (C )＝ ，P (D )＝ ，因此 P ( A )> P ( C ) ＝ P ( D )> P ( B ) ．8863－ 2a2．设 a ∈[0 ， 10] ，则函数 g ( x ) ＝ x 在区间 (0 ，＋∞ ) 内为增函数的概率为 ()1 1A ．B ．2 5 1 1 C ． 6D ． 8分析：选 B ．由于函数 () ＝ a － 2 在区间 (0 ，＋∞ ) 内为增函数，因此a － 2＜0，解得ag xx＜2，因此函数 g ( x ) ＝a － 2在区间 (0 ，＋∞ ) 内为增函数的概率为 2 ＝ 1．x10 53．在如下图的圆形图案中有 12 片树叶，组成树叶的圆弧均同样且所对的圆心角为π3， 若在圆内随机取一点，则此点取自树叶( 即图中暗影部分 ) 的概率是 ()A ． 2－ 3 36 3πB ． 4－π 132 C ． 3－ 2πD ． 3分析：选 B ．设圆的半径为 r ，依据扇形面积公式和三角形面积公式得暗影部分的面积 12－ 3 r 2 2 22，因此此点取自树叶 ( 即图中暗影S ＝ 24 π r4 ＝ 4π r － 63r ，圆的面积 S ′＝ πr6地地道道的达到S 6 3部分 ) 的概率为S′＝4－π，应选 B．4．一个多面体的直观图和三视图如下图，点M是 AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF - BCE内自由翱翔，则它飞入几何体F- AMCD内的概率为()3 2A．4 B．3C．1D．1 3 2分析：选 D．由题图可知V- ＝3× S ×DF＝4a ，V -＝2a ，因此它飞入几何体 F- AMCDF AMCD 1 AMCD 1 3 ADF BCE 1 31a34 1内的概率为＝．1a3 25．如下图， A 是圆上必定点，在圆上其余地点任取一点A′，连结 AA′，获得一条弦，则此弦的长度小于或等于半径的概率为()1 3A．B．2 21 1C．3 D．4π分析：选 C．当AA′的长度等于半径长度时，∠ AOA′＝3，A′点在 A 点左右都可获得，2π31故由几何概型的概率计算公式得P＝2π＝3，应选C．6．已知P 是△ABC所在平面内一点，→ ＋→＋2→＝ 0，现将一粒黄豆随机撒在△ABCPB PC PA内，则黄豆落在△PBC内的概率是()地地道道的达到A ． 1B ． 1 4312 C ． 2D ． 3分析：选 C ．如下图，→ →→设点 M 是 BC 边的中点， 由于 PB ＋ PC ＋ 2PA ＝ 0，因此点 P 是中线 AM 的中点， 因此黄豆落S 1在△ PBC 内的概率 P ＝ △PBC ，应选 C ． ＝S △ABC 2二、填空题 7．某人随机地在如下图的正三角形及其外接圆地区内部投针( 不包含三角形界限及圆的外界 ) ，则针扎到暗影地区 ( 不包含界限 ) 的概率为 ________．分析：设正三角形的边长为a ，圆的半径为 R ，32则正三角形的面积为4 a ．a3由正弦定理得2R ＝sin 60 ° ，即 R ＝ 3 a ，2 1 2因此圆的面积 S ＝ π R ＝ 3πa ．由几何概型的概率计算公式得概率43a 23 3．P ＝＝12 4π3π a3 3答案： 4π8．如下图， OA ＝ 1，在以 O 为圆心， OA 为半径的半圆弧上随机取一点B ，则△ AOB的1面积小于 4的概率为 ________．呵呵复生复生复生地地道道的达到分析：由于＝ 1，若△ 的面积小于 1 1114，则 ×1×1× sin ∠< ，因此 sin ∠< ，OAAOB2AOB 4AOB 2因此 0<∠ AOB <π或5π <∠ AOB <π ，因此△ AOB 的面积小于 1的概率为1．66431答案：39．一只昆虫在边长分别为5，12， 13 的三角形地区内随机爬行，则其到三角形极点的距离小于 2 的概率为 ________．分析：如图，△ ABC 为直角三角形，且 BC ＝ 5，AC ＝ 12．图中暗影部分是三个分别以 A ， B ，C 为圆心， 2 为半径的扇形，因此 S＝ 1阴 2π×2 2＝ 2π ．因此昆虫到三角形极点的距离小于阴＝2π＝π．2的概率 P ＝S△ABC115S2×12×5π答案： 1510．在区间－ π， π 上随机取一个数x ，则 sin x ＋ cos x ∈ [1 ， 2] 的概率是 ________．62 分析：由于 x ∈ － π π6 ， 2 ，ππ3π 因此 x ＋∈ ， ，由 sin x ＋ cos x ＝ 2sin x ＋ π ∈[1 ， 2] ，4得 2 ＋π ≤ 1， 2 ≤ sin x 4因此 x ∈ 0，π，2π－ 02 3故要求的概率为 ππ ＝ 4．地地道道的达到3答案：4三、解答题11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M．(1) 求四棱锥 M- ABCD的体积小于16的概率；(2)1 1 1求 M落在三棱柱 ABC-A B C 内的概率．解： (1) 正方体ABCD-A B CD中，设M- ABCD的高为h，令3× S ×h＝6．1 1 1 1 1 四边形 ABCD 1由于 S四边形ABCD＝1，因此 h＝1 2．1 1 若体积小于，则 h<，6 2 即点 M在正方体的下半部分，1因此＝2V正方体＝1 ．P V 2正方体21(2)由于 V 三棱柱 ABC- A1B1C1＝2×1×1＝2，1V三棱柱 ABC-A1B1C11因此所求概率P1＝V正方体＝2．12．已知会合A＝[ － 2， 2] ，B＝ [ － 1， 1] ，设M＝ {( x，y)| x∈ A， y∈ B}，在会合 M内随机拿出一个元素( x，y) ．(1) 求以 ( x，y) 为坐标的点落在圆x2＋ y2＝1内的概率；(2) 求以 ( x，y) 为坐标的点到直线x＋ y＝0的距离不大于2的概率．2解： (1) 会合 M内的点形成的地区面积S＝8．2 2由于 x ＋y ＝1的面积 S ＝π，11 S π1故所求概率为P＝S＝8．| x＋y| 2 2(2) 由题意 2 ≤2，即－ 1≤x＋y≤1，形成的地区如图中暗影部分所示，面积S2 S 12＝4，故所求概率为P ＝S＝2．呵呵复生复生复生地地道道的达到 1．已知袋子中放有大小和形状同样的小球若干，此中标号为0 的小球 1 个，标号为 1的小球 1 个，标号为 2 的小球 n 个．若从袋子中随机抽取 1 个小球， 取到标号为2 的小球的1概率是 2．(1) 求 n 的值；(2) 从袋子中不放回地随机抽取2 个小球，记第一次拿出的小球标号为 a ，第二次拿出的小球标号为 b ．①记“ a ＋ b ＝2”为事件 A ，求事件 A 的概率；②在区间 [0 ， 2] 内任取 2 个实数 x ，y ，求事件“ x 2＋ y 2>( a － b ) 2 恒建立”的概率．n1解： (1) 依题意 n ＋ 2＝ 2，得 n ＝ 2．(2) ①记标号为 0 的小球为 s ，标号为 1 的小球为 t ，标号为 2 的小球为 k ，h ，则拿出 2个小球的可能状况有： ( s ， t ) ，( s ， k ) ，( s ， h ) ， ( t ， s ) ， ( t ， k ) ， ( t ， h ) ， ( k ， s ) ， ( k ，t ) ， ( k ，h ) ，( h ，s ) ，( h ，t ) ，( h ，k ) ，共 12 种，此中知足“ a ＋ b ＝2”的有 4 种： ( s ，k ) ，4 1( s ， h ) ， ( k ， s ) ， ( h ， s ) ．因此所求概率为 P ( A ) ＝ 12＝ 3．②记“ x 2＋ y 2>( a － ) 2 恒建立”为事件 ，则事件 B 等价于“x 2＋2>4 恒建立”， ( x ， y )b By能够当作平面中的点的坐标，则所有结果所组成的地区为Ω＝ {( x ，y )|0 ≤ x ≤2， 0≤ y ≤ 2，x ， y ∈ R} ，而事件 B 组成的地区为 B ＝{( x ，y )| x 2＋y 2>4，( x ，y ) ∈ Ω } ．因此所求的概率为πP (B )＝1－ 4 ．2．已知对于 x 的二次函数 f ( x ) ＝ b 2x 2－( a ＋ 1) x ＋ 1．(1) 若 a ，b 分别表示将一质地平均的正方体骰子( 六个面的点数分别为1，2，3，4， 5，6) 先后投掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y ＝ f ( x ) 恰有一个零点的概率；(2) 若 a ， b ∈ [1 ， 6] ，求知足 y ＝ f ( x ) 有零点的概率．解： (1) 设 ( a ， b ) 表示一个基本领件，则投掷两次骰子的所有基本领件有 (1 ，1)，(1 ，2) ， (1 ，3) ，(1 ，4) ，(1 ，5) ， (1 ， 6) ， (2 ， 1) ，(2 ，2) ， ， (6 ，5) ， (6 ，6) ，共 36 个．用 A 表示事件“ y ＝ f ( x ) 恰有一个零点”， 即 ＝ [ －( a ＋ 1)] 2－ 4b 2 ＝0，则 a ＋1＝ 2b ．则3 1A 包含的基本领件有 (1 ， 1) ，(3 ， 2) ，(5 ， 3) ，共 3 个，因此 P ( A ) ＝ 36＝ 12．地地道道的达到1即事件“ y ＝ f ( x ) 恰有一个零点”的概率为12．(2) 用 B 表示事件“ y ＝ f ( x ) 有零点”，即 a ＋1≥2b ．试验的所有结果所组成的地区为 {( a ， b )|1 ≤ a ≤6， 1≤ b ≤ 6} ，组成事件 B 的地区为 {( a ， b )|1 ≤ a ≤6， 1≤b ≤ 6， a － 2b ＋1≥0} ，如下图：1 52×5× 2 1因此所求的概率为P (B )＝ 5×5 ＝ 4．1 即事件“ y ＝ f ( x ) 有零点”的概率为．4。

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第三节几何概型A组基础题组1。

如图,在一边长为2的正方形ABCD内有一曲线L围成的不规则图形.往正方形内随机撒一把豆子(共m颗).落在曲线L围成的区域内的豆子有n颗（n<m)，则L围成的区域面积(阴影部分)为（)A。

B. C.D。

2.在区间[0，2］上随机地取一个数x，则事件“—1≤lo≤1”发生的概率为（)A。

B.C.D。

3。

在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为( ）A。

B. C.D。

4。

在区间[0,1]上随机取两个数x,y，记p1为事件“x+y≤"的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则( ）A。

p1<p2< B。

p2<<p1C。

<p2〈p1D。

p1<〈p25。

如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A',连接AA',得到一条弦,则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( ）A.B。

C。

D.6。

在区间上随机取一个数x,则cos x的值介于0到之间的概率为。

7.如图所示，OA=1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上随机取一点B,则△AOB的面积小于的概率为。