江西省吉安县第三中学届高三数学上学期期中试题理【含答案】

2020-2021学年吉安市高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知a，b为实数，i为虚数单位，若a+bi=2+ii，则a+b=()A. −3B. −1C. 1D. 32.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤π2)离原点最近的对称轴为x=x0，若满足|x0|≤π6，则称f(x)为“近轴函数”.若函数y=2sin(2x−φ)是“近轴函数”，则φ的取值范围是()A. [π6,π2] B. [−π2,−π6]C. [−π2,−π6]∪[π6,π2] D. [−π6,0]∪[0,π6]3.若a⃗=(1,2)，b⃗ =(−1,0)，则2a⃗−b⃗ 等于()A. (2,3)B. (1,3)C. (3,4)D. (2,1)4.三个数之间的大小关系是A. B. C. D.5.y=x|x|⋅a x(a>1)的图象的基本形状是()A. B. C. D.6.若tan(θ+π4)=−3，则sin2θ1+cos2θ=()A. −1B. 1C. −2D. 27.棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1在空间直角坐标系中移动，但保持点A、B分别在x轴、y轴上移动，则点C1到原点O的最远距离为()A. 2√2B. 2√3C. 5D. 48.函数y=xcosx是()A. 奇函数B. 偶函数C. 既奇又偶D. 非奇非偶9.为了得到函数y=cos(2x−2π3)，x∈R的图象，只要把函数y=cos2x，x∈R的图象()A. 向左平移π3个单位 B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π6个单位 D. 向右平移2π3个单位10.已知向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=2，|b⃗ |=1，且(a⃗+3b⃗ )⊥(2a⃗−b⃗ )，则a⃗,b⃗ 的夹角为()A. 2π3B. π2C. π3D. π611.12已知函数，则下列坐标表示的点一定在函数图象上的是()A. B. C. D.12.“函数”是“可导函数在点处取到极值”的条件。

吉安县第三中学2017-2018学年高三上学期期中考试 理科数学 试题考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

1．已知集合{}33≤<-=x x M ，{}Z k k x x N ∈+==,12，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（ ）个。

A ．1 5B ． 16C ． 7D ．82．复数a 与复数z=2i1i+所对应点关于y 轴对称，则复数a 的共轭复数为( ) A ．1i -B ．1i --C ．1i -+D ．1i +3、下列命题错误．．的是 （ ） A ．命题“21,11x x <<<若则-”的逆否命题是若1x ≥或1x ≤-，则12≥xB ．“)(2Z k k ∈+=ππϕ”是“函数y=sin （2x +φ）为偶函数”的充要条件C ．命题p ：存在R x ∈0,使得01020<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x x D ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题4．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是 ( )5．若等比数列{}n a 的首项为23，且441(12)a x dx =+⎰，则公比等于( )A.－ 3B.2C.3D.－26．已知43πβα=+，则)tan 1)(tan 1(βα--等于 ( ) A ．2B ．2-C ．1D ．1-7．向量a →=(m,1),b →=）（2,4n -,且m ＞0,n ＞ 0若a →∥b →,则nm 21+的最小值是( )A ．B ．1C ．3D ．28、若()f x 是奇函数，且0x 是()x y f x e =+的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ）A ．()1xy f x e =--B ．()1xy f x e-=+C ．()1x y e f x =-D ．()1xy e f x =+9．若实数x ，y 满足不等式组且x+y 的最大值为9，则实数m=（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．210．已知函数)(x f y =是定义在R 上的增函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点)0,1(对称，若任意的x 、R y ∈，不等式0)8()216(22<-++-y y f x x f 恒成立，则当3>x 时，22y x +的取值范围是（ ）A ． (]13,49B ．(13,49)C ．(]9,49D ．(13,34)11．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''>，且()()x f x a g x =(0a >，且1)a ≠，(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-．若数列(){}()f n g n 的前n 项和大于62，则n 的最小值 为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．912．已知f （x ）=，若a ，b ，c ，d 是互不相同的四个正数，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=f （d ），则abcd 的取值范围是（ ）A ．（21，25）B ．（21，24）C ．（20，24）D ．（ 20，25）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 在等差数列}{n a 中，若,2951π=++a a a 则)sin(64a a +=__________.14.在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立猜想在n 边形12n A A A 中，有不等式_______________________成立.15．已知M 为ABC ∆所在平面内的一点，且14AM AB nAC =+．若点M 在ABC ∆的内部(不含边界)， 则实数n 的取值范围是____．16．若函数f （x ）满足：在定义域D 内存在实数x 0，使得f （x 0+1）=f （x 0）+f （1）成立，则称函数f （x ）为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①f （x ）=；②f （x ）=2x ；③f （x ）=lg （x 2+2）；④f （x ）=cos （πx ）．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为________________________ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分10分)某同学用五点法画函数错误！未找到引用源。

一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e=；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④5．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4yx x=+B ．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 6．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1827．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-8．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += ()22234S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒9．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8110．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．3511．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．403612．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++13．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10B ．12?C ．14D ．1614．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A 33B 53C 73D 8315．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ）A ．1B ．33C ．55D ．77二、填空题16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且2m ≥，则m =______.17．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 18．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 19．在无穷等比数列{}n a 中，123,1a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 20．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.21．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？22．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用集合表示）. 23．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．24．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．25．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则14x y+的最小值为______． 三、解答题26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若6c =，ABC ∆的面积为324，求+a b 的值； 27．如图，在平面四边形ABCD 中，42AB =，22BC =，4AC =.（1）求cos BAC ∠；（2）若45D ∠=︒，90BAD ∠=︒，求CD .28．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．29．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3asinB bcosA =． （1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为235a =，，求ABC ∆的周长． 30．已知数列为等差数列，且12a =，12312a a a ++=． (1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列．（3）令11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．D3．D4．C5．C6．B7．D8．D9．B10．C11．D12．A13．D14．B15．D二、填空题16．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项17．【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：设等差数列的首项为公差为2前n项和为且成等比数列则：解得：所以：所以：所以：故答案为：【点睛】本题考查的18．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(119．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出【详解】解：根据等比数列的性质数列是首项为公比为的等比数列又因为公比所以故答案为：【点睛】本题考查了无穷等比数列的求和公式考查了推理能力与计算能力属20．【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数21．9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有：故：满足题意时数列的前n项和为由等差数列前n项和公式可得：解得：即二马相逢需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题(1)22．或【解析】【分析】根据同侧同号列不等式解得结果【详解】因为原点和点在直线的同侧所以或即的取值范围是或【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题考查基本应用求解能力属基本题23．【解析】设等差数列的公差为d∵且成等差数列∴解得∴24．【解析】【分析】△ACD中求出AC△ABD中求出BC△ABC中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知△ACD中∠ACD＝15°∠ADC＝150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD中∠BDC＝1525．【解析】【分析】变形之后用基本不等式：求解即可【详解】原式可变形为：当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．D解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．3．D解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．4．C解析：C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x 可能为负数，没有最小值；选项B错误，化简可得2y ⎫=，=，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e-=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.6．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．7．D解析：D 【解析】 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.8．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)222S b a c =+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．10．C解析：C 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则()()174127477272822a a a a a a a +⨯+++====考点：等差数列的前n 项和11．D解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 13．D 解析：D 【解析】 【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1，∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.14．B解析：B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，3534623v ==（米/秒）． 故选B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．15．D解析：D 【解析】分析：由正弦定理可将sin23sin 0b A a B =化简得3cosA =，由余弦定理可得222227a b c bccosA c =+-=，从而得解.详解：由正弦定理，sin23sin 0b A a B +=，可得sin23sin 0sinB A sinA B +=， 即2sin 3sin 0sinB AcosA sinA B = 由于：0sinBsinA ≠， 所以3cosA =：， 因为0＜A ＜π，所以5πA 6=． 又3b c =，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c =+-=++=.即227a c =，所以7c a =. 故选：D ．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．二、填空题16．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项 解析：5 【解析】 【分析】设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m . 【详解】因为0m S =，所以设()n An n m S =-， 因为12m S -=-，13m S +=，所以(1)(1)2,125(1)13,13A m m m A m m -⋅-=-⎧-⇒=⇒=⎨+⋅=+⎩. 故答案为：5. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少.17．【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：设等差数列的首项为公差为2前n 项和为且成等比数列则：解得：所以：所以：所以：故答案为：【点睛】本题考查的 解析：200201【解析】 【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．则：()2111(22)412a a a +=+，解得：11a =，所以：()12121n a n n =+-=-，所以：111411(1)(1)2121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-⋅+ ⎪-+⎝⎭， 所以：100111111335199201S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12001201201=-=， 故答案为：200201【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q ＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q ＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(1解析：32或6 【解析】 【分析】由题意，要分公比1,1q q =≠两种情况分类讨论，当q ＝1时，S 3＝3a 1即可求解，当q ≠1时，根据求和公式求解. 【详解】当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3＝3×32＝92，符合题意，所以a 1＝32； 当q ≠1时，S 3＝()3111a q q--＝a 1(1＋q ＋q 2)＝92，又a 3＝a 1q 2＝32得a 1＝232q ，代入上式，得232q (1＋q ＋q 2)＝92，即21q ＋1q －2＝0， 解得1q ＝－2或1q＝1(舍去)．因为q ＝－12，所以a 1＝23122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ ＝6，综上可得a 1＝32或6. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档题.19．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出【详解】解：根据等比数列的性质数列是首项为公比为的等比数列又因为公比所以故答案为：【点睛】本题考查了无穷等比数列的求和公式考查了推理能力与计算能力属解析：2【解析】 【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出． 【详解】解：根据等比数列的性质，数列1321,,,n a a a -⋯是首项为1a ，公比为2q 的等比数列。

江西省吉安市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）数列满足：,且当时，，则（）A .B .C . 5D . 62. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 复数﹣的实部与虚部的和为（）A . ﹣B . 1C .D .3. （2分）下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A . y=2xB . y=2|x|C . y=2x﹣2﹣xD . y=2x+2﹣x4. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 已知两个非零向量，满足•（﹣）=0，且2| |=| |，则＜，＞=（）A . 30°C . 120°D . 150°5. （2分） (2016高三上·闽侯期中) “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 设等差数列{an}满足a2=7，a4=3，Sn是数列{an}的前n项和，则使得Sn＞0最大的自然数n是（）A . 9C . 11D . 127. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A . ﹣B . 0C .D .9. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 实数x，y满足，则z=|x﹣y|的最大值是（）A . 2B . 4C . 6D . 810. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 已知P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则的值是（）A . ﹣B .C . ﹣D . 不能确定11. （2分）将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A . 24种B . 28种C . 32种D . 36种12. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 已知函数y=x2的图象在点（x0 ， x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（）A . 0＜x0＜B . ＜x0＜1C . ＜x0＜D . ＜x0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·南宁期中) 已知为锐角，，则 ________.14. （1分） (2016高三上·闽侯期中) 已知抛物线x2=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P 作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|=________．15. （1分） (2016高三上·闽侯期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，an+1=2Sn+3，则S4=________．16. （1分）(2016·桂林模拟) 定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a 的取值范围是________．三、解答题 (共8题；共80分)17. （10分） (2020高二上·榆树期末) 已知数列的首项且．（1）求证：数列是等比数列，求出它的通项公式；（2）求数列的前项和．18. （10分）(2020高一下·揭阳月考) 设向量的夹角为且如果（1）证明：三点共线.（2）试确定实数的值，使的取值满足向量与向量垂直.19. （10分） (2016高三上·闽侯期中) 某中学根据2002﹣2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．20. （10分） (2016高三上·闽侯期中) 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y= x2的焦点，离心率等于．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1 ，，求证：λ1+λ2为定值．21. （10分） (2016高三上·闽侯期中) 已知函数f（x）=xlnx﹣ x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点分别为x1 ， x2 ，且x1＜x2 ．已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．22. （10分） (2016高三上·闽侯期中) 如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．（1）求证：C、D、G、E四点共圆．（2）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．23. （10分） (2016高三上·闽侯期中) 已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．24. （10分） (2016高三上·闽侯期中) 设函数f（x）=|2x﹣ |+|2x+m|（m≠0）．（1）证明：f（x）≥2 ；（2）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣ t恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共80分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。

江西省吉安市第三中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设的定义域为，若满足下面两个条件则称为闭函数：①是上单调函数；②存在，使在上值域为. 现已知为闭函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A略2. 已知三棱锥A﹣BCD内接与球O，且，若三棱锥A﹣BCD体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．16πB．25πC．36πD．64π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】确定S△BCD=3，利用三棱锥A﹣BCD体积的最大值为，可得A到平面BCD的最大距离为4，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：∵，∴S△BCD=3，∵三棱锥A﹣BCD体积的最大值为，∴A到平面BCD的最大距离为4，设球的半径为R，则（）2=4×（2R﹣4），∴2R=5，∴球O的表面积为4πR2=25π．故选B．【点评】本题考查球的半径，考查表面积的计算，确定A到平面BCD的最大距离为4是关键．3. 已知函数，使得的自变量的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：A4. 已知命题：存在，使得；命题：对任意，都有，则（）A．命题“或”是假命题 B．命题“且”是真命题C．命题“非”是假命题D．命题“且‘非’”是真命题参考答案：D略5. 双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离是（）A． B． C． D．参考答案：B略6. i为虚数单位，若，则|z|=( )A．1 B．C．D．2参考答案：A【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数模的运算性质，将已知关系式等号两端取模，即可即可求得答案【解答】解：∵，∴|||z|=||，即2|z|=2，∴|z|=1，故选：A．【点评】本题考查了复数求模、熟练应用模的运算性质是关键，属于基础题．7. 已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a1a2a3=10，且，则a2=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由数列{a n}是等差数列，，可得a1a3=5，利用a1a2a3=10，即可求出a2的值．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，∴S1=a1，S5=5a3，又∵，∴a1a3=5又∵a1a2a3=10∴a2=2故选A．【点评】本题考查的知识点是等差数列的前n项和，及等差数列的性质，在等差数列中：若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；在等比数列中：若m+n=p+q，则a m?a n=a p?a q；这是等差数列和等比数列最重要的性质之一，大家一定要熟练掌握．8. 等于（）A． B． C．D．参考答案：B9. 设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．πB．C．D．参考答案：C【考点】正弦函数的图象．【分析】由x∈[0，]求出2x+的范围，由正弦函数的图象画出函数的大致图象，由函数的图象，以及正弦图象的对称轴求出x1+x2、x2+x3的值，即可求出x1+2x2+x3的值．【解答】解：由题意x∈[0，]，则2x+∈[，]，画出函数的大致图象：由图得，当时，方程f（x）=a恰好有三个根，由2x+=得x=，由2x+=得x=，由图知，点（x1，0）与点（x2，0）关于直线对称，点（x2，0）与点（x3，0）关于直线对称，∴x1+x2=，x2+x3=，即x1+2x2+x3=+=，故选C．【点评】本题考查正弦函数的图象，以及正弦函数图象对称性的应用，考查整体思想，数形结合思想．10. 在某商业促销的最后一场活动中，甲、乙、丙、丁、戊、己6名成员随机抽取4个礼品，每人最多抽一个礼品，且礼品中有两个完全相同的笔记本电脑，两个完全相同的山地车，则甲、乙两人都抽到礼品的情况有（ ） A ．36种B ．24种C ．18种D ．9种参考答案：A【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据礼品的性质进行分类，若甲乙抽取的是一个笔记本电脑和一个山地车，若两个都是笔记本电脑或两个山地车，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲乙抽取的一个笔记本电脑和一个山地车，剩下2个礼品， 被剩下的4人中的2个人抽取，有A 22A 42=24种，若甲乙抽取的都是笔记本电脑或两个山地车，剩下2个礼品， 被剩下的4人中的2个人抽取，有A 22C 42=12种， 根据分类计数原理可得，共有24+12=36种， 故选：A ．【点评】本题考查了分类计数原理，排列组合的实际应用，关键是分类，属于中档题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知cos （）=，则sin （）= .参考答案：∵cos （θ+π）=﹣ ， ∴cosθ=，∴sin （2θ+ ）=cos2θ=2cos 2θ﹣1= ﹣1=﹣， 故答案为：﹣12. 定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：（1）当时，f （x ）=|；（2）f （2x ）=2f （x ），则关于x 的函数F （x ）=f （x ）﹣a 的零点从小到大依次为x 1，x 2，…，x n …x 2n ，若，则x 1+x 2+…+x 2n ﹣1+x 2n = ．参考答案：3×（2n ﹣1）【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】f （x ）=，此时f （x ）∈[0，]，∵f（2x ）=2f （x ），∴x∈[1，2）时，f （x ）∈[0，1]，∴x∈[2，4）时，f （x ）∈[0，2]，…以此类推，则F （x ）=f （x ）﹣a 在区间（1，2）有2个零点，分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2=2×=3， 依此类推：x 3+x 4=6，…，x 2n ﹣1+x 2n =3×2n ﹣1．利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：f （x ）=，此时f （x ）∈[0，]，∵f（2x ）=2f （x ），∴x∈[1，2）时，f （x ）∈[0，1]，∴x∈[2，4）时，f （x ）∈[0，2]，…以此类推，则F （x ）=f （x ）﹣a 在区间（1，2）有2个零点，分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2=2×=3， 依此类推：x 3+x 4=6，…，x 2n ﹣1+x 2n =3×2n ﹣1．如图所示：则x 1+x 2+…+x 2n ﹣1+x 2n =3×（2n ﹣1）． 故答案为：3×（2n ﹣1）．13. 若二项式的展开式中，的系数为，则常数的值为. 参考答案：214. 定义：区间长度为.已知函数定义域为，值域为，则区间长度的最小值为 .参考答案：略15. 若一个球的体积是36π，则它的表面积是______参考答案：36π设铁球的半径为,则，解得；则该铁球的表面积为.考点：球的表面积与体积公式.16. 如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= ．参考答案：17. 如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”.给出下列函数①;②;③;④.以上函数是“函数”的所有序号为 .参考答案：②;③三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2020届江西省吉安市高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．设复数z 满足(1)2i z i +=，则z =（ ）A ．12B C D ．2【答案】C 【解析】【详解】 ∵(1＋i)z ＝2i ， ∴z ＝2i1i +＝()()()()2121112i i i i i -+=+-=1＋i.∴|z|. 故答案：C 【点睛】本题考查复数的运算及复数的模．复数的常见考点有：复数的几何意义，z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量OZ 都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作z ． 2．函数cos 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是（ ）A ．122⎛⎤-⎥ ⎝⎦B ．12⎡-⎢⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦算出6x π+的范围,再根据余弦函数图形性质求值域即可.【详解】 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,余弦函数在区间上为减函数,故2coscos cos 366x πππ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭,即1cos 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭所以y ∈1,22⎡-⎢⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查根据定义域求余弦函数的范围问题,属于基础题型.3．在△ABC 中，,AB a AC b ==， M 是AB 的中点，N 是CM 的中点，则AN =( )A ．1233a b +,B ．1132a b +C ．1124a b +r rD ．1142a b + 【答案】D【解析】利用向量的加减法的三角形法则与平行四边形法则将AN 表达出来即可. 【详解】11111()()22242AN AM AC AB AC AB AC =+=+=+,即AN =1142a b +故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则,主要是用三角形法则与平行四边法则. 4．下列四个结论：①命题“000,sin cos 1x R x x ∃∈+<”的否定是“,sin cos 1x R x x ∀∈+≥”； ②若p q ∧是真命题，则p ⌝可能是真命题； ③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件； ④当0a <时，幂函数a y x =在区间()0,∞+上单调递减. 其中正确的是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①③D ．②④【答案】A【解析】对①②③根据全称特称命题否定,真值表与充要条件的方法判断.④根据幂函数的性质判断即可. 【详解】对①,命题“000,sin cos 1x R x x ∃∈+<”的否定是“,sin cos 1x R x x ∀∈+≥”,故①正确. 对②,p q ∧是真命题则,p q 均为真命题,故p ⌝为假命题,故②错误. 对③,当1,1a b ==时满足0a b +>但不满足5a >且5b >-,故③错误.对④,当0a <时,幂函数a y x =在区间()0,∞+上单调递减正确,故④正确. 故选：A 【点睛】本题主要考查命题真假的判断与充分必要条件的性质等,属于基础题型.5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数cos(sin )y x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据奇偶性与函数的正负判断即可. 【详解】因为cos(sin )cos(sin )y x x =-=,故cos(sin )y x =为偶函数,排除,D. 又[]sin 1,1x ∈-,故cos(sin )0x >恒成立,排除A. 当0x =时cos(sin 0)cos01y ===取得最大值, 即函数cos(sin )y x =在0x =处有最大值,排除C. 故选：B 【点睛】判断函数图像一般用奇偶性与正负排除选项,同时注意函数的取值范围,属于基本题型. 6．已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ）A ．-B ．C ．D 【答案】A【解析】用和差角公式展开sin ,cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求得tan α后再算tan2α即可.【详解】 由有sin coscos sin3(cos cossin sin )3366ππππαααα-=-+,故13sin cos cos sin 2222αααα-=--,合并同类型有2sin αα=, 显然cos 0α≠,所以tan 2α=-,故22tan tan 231tan 14ααα===---故选：A 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换,包括和差角公式与二倍角公式等,属于中等题型. 7．函数12log (sin 2coscos 2sin )44y x x ππ=-的单调递减区间是（ ） A ．5(,),88k k k Z ππππ++∈B ．3(,],88k k k Z ππππ++∈C ．3[,),88k k k Z ππππ-+∈ D ．35[,),88k k k Z ππππ++∈ 【答案】B【解析】分析：首先利用差角公式将解析式化简，应用复合函数单调性法则，结合对数式的底数是12，从而得到应该求sin(2)4u x π=-的增区间，并且首先满足真数大于零的条件，从而得到22242k x k ππππ≤-<+，化简，最后求得其结果为3[,),88k k k Z ππππ++∈，从而确定选项. 详解：根据题意有12log (sin 2coscos 2sin )44y x x ππ=-12log sin(2)4x π=-，所以要求sin(2)04x π->，结合复合函数单调性法则，实则求sin(2)4y x π=-的增区间，所以有22242k x k ππππ≤-<+，解得388k x k ππππ+≤<+，所以函数的单调减区间是3[,),88k k k Z ππππ++∈，故选B. 点睛：该题考查的是有关复合函数的单调区间的问题，在解题的过程中，需要首先化简函数解析式，之后根据复合函数单调性法则同增异减的原则，得到其结果，在解题的过程中，需要时刻注意定义域优先原则，得保证函数有意义，之后列出相应的式子，求得结果.8．α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ> B ．0αβ+>C ．αβ<D ．22αβ>【答案】D【解析】构造函数()sin f x x x =，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项. 【详解】构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x +'=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又 ()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D. 【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.9．5y A sinx x R 66ππωϕ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦如图是函数（）（）在区间，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 D ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A【解析】【详解】试题分析：由图象知，A=1,T=π，所以ω=2，y=sin （2x+ϕ），将（6π-，0）代入得：sin(ϕ3π-)=0，所以ϕ3π-=kπ，k z ∈，取ϕ=3π，得y=sin （2x+3π），故只要将y=sinx （x ∈R ）的图象上所有点向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变,故选A. 【考点】本题主要考查三角函数图象变换，三角函数解析式.点评：基础题，根据图象求函数解析式及三角函数图象的变换均是高考常见题目，本题将二者结合在一起，解得思路明确，应先观察图象，确定“振幅”“周期”，再通过计算求ϕ.10．在边长为1的正三角形ABC 中,,,0,0BD xBA CE yCA x y ==>> ,且1x y += ,则CD BE ∙的最大值为( ) A ．58- B ．38-C ．32-D ．34-【答案】B【解析】如图所示，建立直角坐标系，则12211(,0),(,0),(0,),(,0),(,),222A B C D x E x y -设1111,(,00)(1,0),;22BD xBA x x x x =∴--=-∴=-+222211,(,(,,;222222CE yCA x y y x y y y =∴-=--∴=-=-211(,(1,)(1)22222x CD BE x x x x ⋅=-+-⋅-+=--+，因101,2x x <<∴=当时函数取得最大值3.8-故答案为C.11．设函数,0(),013,1x xe xf x e x x x -⎧<⎪=≤≤⎨⎪->⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则() +()()af a bf b cf c +的取值范围是（ ） A ．91,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[1,2)C ．92,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】画出()f x 的图像,再表达出() +()()af a bf b cf c +分析最值即可. 【详解】由题意作图,由()()()f a f b f c ==有3a b c e e -==-,故a b -=.当031c e -==时,2c =.所以(1,2)c ∈,又2() +()()(3)3a b b b af a bf b cf c ae be c c be be c c -+=++-=-++-23,(1,2)c c c ∈=-+. 所以当32c =时取最大值94,当2c =时取最小值2.所以9() +()()2,4af a bf b cf c ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦故选：C【点睛】本题主要考查函数的零点问题,主要通过画图求得自变量之间的关系.注意在求函数值的取值范围时先求解自变量的取值范围.12．已知函数2()ln f x ax x x =--存在极值，若这些极值的和大于5ln 2+，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,4)-∞ B ．(4,)+∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】B【解析】求导分析2()ln f x ax x x =--的极值点,再求出极值相加大于5ln 2+,求得关于a 的不等式求解即可.【详解】由2()ln f x ax x x =--有2121'()2x ax f x a x x x-+=--=-,令2()21,(0)g x x ax x =-+>, 因为2()ln f x ax x x =--存在极值故()0g x =有正根,且不为重根,故280a ∆=->.设两根分别为12,x x ,则12121,22a x x x x +==,故()0g x =有两个不相等的正根.故()f x 极值之和为2221211122212121212()()ln +ln (+)(+)2ln f x f x ax x x ax x x a x x x x x x x x +=----=-+-,代入韦达定理得221211()()1ln 5ln 2422a a f x f x +=-+->-,故216a >, 又1202ax x +=>,故4a >,且满足280a ∆=-> 故选：B 【点睛】本题主要考查极值点的求法以及导函数中关于二次函数根的韦达定理应用,计算的时候注意根的取值范围与判别式.属于综合题型.二、填空题13．已知函数()sin f x x x =+，若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为______________. 【答案】1【解析】由()sin f x x x =+知()f x 为奇函数,求导分析()f x 为增函数,故利用()()490f a f b +-=可以算得,a b 的关系,再利用基本不等式的方法求11a b+的最小值即可. 【详解】()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-,故()f x 为奇函数,又()'1cos 0f x x =+≥,所以()f x 为增函数.又()()()()()490,499f a f b f a f b f b +-==--=-,故49,49a b a b =-+=,所以()11111144599b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1519⎛≥+= ⎝,当且仅当4b aa b =时取得最小值1.故答案为：1 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的运用以及基本不等式的用法,属于中等题型. 14．若211(2)3ln 2mx dx x+=+⎰，则实数m 的值为____________. 【答案】1 【解析】先求12mx x+的原函数()F x ,再令(2)(1)3ln 2F F -=+即可. 【详解】 易得12mx x +的原函数2()ln F x x mx =+,所以211(2)(2)(1)3ln 2mx dx F F x +=-=+⎰,即ln 243ln 2m m +-=+,故1m = 故答案为：1 【点睛】本题主要考查定积分的基本运算,属于基础题型. 15．已知02πβαπ<<<<且12cos ,sin 2923βααβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则cos()αβ+=_________【答案】239729-【解析】观察到2222βααβαβ⎛⎫⎛⎫---=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故算出sin ,cos 22βααβ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭进而求得cos()2αβ+,再根据二倍角公式求得cos()αβ+即可.【详解】 因为02πβαπ<<<<,所以,24βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,,242αππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,故sin ,cos 2923βααβ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故cos()cos ()()cos()cos()sin()sin()2222222αββαβαβααβαβαβ+⎡⎤=---=--+--⎢⎥⎣⎦1293⎛⎫-+= ⎪⎝=⎭故22245239cos()2cos ()112729729αβαβ+⨯+=-=-=-故答案为：239729- 【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换,注意观察角度的关系,同时题目给了角度的范围需要用来判断所求三角函数值的正负.16．若函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意的实数x 都有()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则()2log 2019f = _________ 【答案】10091010【解析】()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦为复合函数问题,故考虑将括号内的()221x f x ++换元进行分步求解.进而根据单调性求得()f x ,再求()2log 2019f 即可. 【详解】 令()221x f x t +=+则()13f t =且()221x f x t =-+,故()21213t f t t =-=+,观察得1t =为一个根,且()221tf t t =-+为增函数,故()13f t =有唯一解1t =,又 ()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦且()f x 是R 上的单调函数,故()2121xf x +=+,()2121x f x =-+, 故()22log 2019221009log 20191=12120201010f =--=+. 故答案为：10091010 【点睛】本题主要考查复合函数与单调性的用法,需要利用单调性来判断函数的取值与范围,注意在求超越方程时观察出对应的简单的根.三、解答题17．已知函数()121f x m x x =---+. （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）4,03⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）4m ≥． 【解析】（1）将5m =代入函数解析式，并将函数()y f x =表示为分段函数形式，利用零点分段法可解出不等式的解集；（2）首先求得二次函数的最小值和函数()y f x =的最大值，据此得到关于实数m 的不等式，求得不等式可得出实数m 的取值范围。

江西省吉安县第三中学、安福二中2024年高三数学第一学期期末经典试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆2．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π3．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)43z i =，则z =（ ）A ．23B ．4C ．83D ．165．已知2cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-6．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元7．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．212+B ．12C ．212-D ．214-9．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A 5B 5C ．102D ．10510．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种11．已知函数()sin 3f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 12．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或a =B ．1a <<C ．01a <<或1e a e =D ．01a <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年江西省吉安市高三（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设复数z满足(1+i)z=2i，则|z|=()A.1 2B.√22C.√2D.2【答案】C【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵(1+i)z=2i，∴(1−i)(1+i)z=2i(1−i)，z=i+1．则|z|=√2．故选C.2. 函数y＝cos(x+π6)，x∈[0, π2]的值域是（）A.(−√32, 12] B.[−12, √32] C.[√32, 1] D.[12, 1]【答案】B【考点】余弦函数的图象【解析】由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得函数y的值域．【解答】由x∈[0, π2]，可得x+π6∈[π6, 2π3]，∴函数y＝cos(x+π6)∈[−12, √32]，3. 在△ABC中，AB→=a→,AC→=b→，M是AB的中点，N是CM的中点，则AN→=()A.1 3a→+23b→B.13a→+12b→C.12a→+14b→D.14a→+12b→【答案】D【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量数乘的运算及其几何意义【解析】可画出图形，根据条件及向量加法的平行四边形法则和向量数乘的几何意义即可用a→,b→表示出AN→．【解答】如图，∵AB→=a→,AC→=b→，M是AB的中点，N是CM的中点；∴AN→=12(AM→+AC→)=12(12AB→+AC→)=14a→+12b→．4. 下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0<1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；③“a>5且b>−5”是“a+b>0”的充要条件；④当a<0时，幂函数y＝x a在区间(0, +∞)上单调递减其中正确的是（）A.①④B.②③C.①③D.②④【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】利用命题的否定判断①的正误；命题的否定判断②的正误；充要条件判断③的正误；幂函数的形状判断④的正误；【解答】①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0<1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；满足命题的否定形式，正确；②若p∧q是真命题，p是真命题，则￢p是假命题；所以②不正确；③“a>5且b>−5”可得“a+b>0”成立，“a+b>0”得不到“a>5且b>−5”所以③不正确；④当a<0时，幂函数y＝x a在区间(0, +∞)上单调递减，正确，反例：y=x−23，可知：x∈(−∞, 0)时，函数是增函数，在(0, +∞)上单调递减，所以④正确；5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数y＝cos(sin|x|)的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据三角函数的图象和性质，先判断函数的奇偶性，然后判断函数的单调性利用排除法进行判断即可．【解答】f(−x)＝cos(sin|−x|)＝cos(sin|x|)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除D，∵−1≤sin|x|≤1，∴y＝cos(sin|x|)>0，排除A，在x＝0的右侧，t＝sinx为增函数，y＝cost为减函数，此时函数f(x)为减函数，排除C，6. 已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，则tan2α＝（）A.−4√3B.−√32C.4√3 D.√32【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意利用两角和差的三角公式求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】∵已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，即12sinα−√32cosα＝−3(√32cosα+12sinα)，求得tanα=√32，则tan2α=2tanα1−tan2α=−4√3，7. 函数y=log12(sin2xcosπ4−cos2xsinπ4)的单调递减区间是（）A.(kπ+π8, kπ+5π8)，k∈ZB.(kπ+π8, kπ+3π8)，k∈ZC.(kπ−π8, kπ+3π8)，k∈ZD.(kπ+3π8, kπ+5π8)，k∈Z【答案】B【考点】复合函数的单调性两角和与差的三角函数【解析】先确定定义域可得2x−π4≥2kπ，按“同增异减”的原则，确定2kπ≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，从而可得解．【解答】∵sin2xcosπ4−cos2xsinπ4=sin(2x−π4)>0，∴2kπ+π>2x−π4>2kπ，又∵函数y=log12(sin2xcosπ4−cos2xsinπ4)单调递减，∴由2kπ<2x−π4<2kπ+π2，k∈Z可解得函数y=log12(sin2xcosπ4−cos2xsinπ4)的单调递减区间是：(kπ+π8, kπ+3π8)，k∈Z8. 若α、β∈[−π2, π2]，且αsinα−βsinβ>0，则下面结论正确的是（）A.α>βB.α+β>0C.α<βD.α2>β2【答案】D【考点】正弦函数的单调性函数奇偶性的性质与判断【解析】观察本题的形式，当角的取值范围是[−π2,π2]时，角与其正弦值符号是相同的，故αsinα与βsinβ皆为正，αsinα−βsinβ>0可以得出|α|>|β|，故可以确定结论．【解答】y＝xsinx是偶函数且在(0, π2)上递增，∵αβ∈[−π2,π2 ]，∴αsinα，βsinβ皆为非负数，∵αsinα−βsinβ>0，∴αsinα>βsinβ∴|α|>|β|，∴α2>β29. 如图是函数y＝Asin(ωx+φ)(x∈R, A>0, ω>0, 0<φ<π2)在区间[−π6,5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sinx(x∈R)的图象上的所有的点（）A.向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B.向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C.向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D.向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由图可知A＝1，T＝π，从而可求得ω，再由−π6ω+φ＝0可求得φ，利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换即可求得答案．【解答】由图可知A＝1，T＝π，∴ω＝2，又−π6ω+φ＝2kπ(k∈Z)，∴φ＝2kπ+π3(k∈Z)，又0<ϕ<π2，∴φ=π3，∴y＝sin(2x+π3)．∴为了得到这个函数的图象，只需将y＝sinx(x∈R)的图象上的所有向左平移π3个长度单位，得到y＝sin(x+π3)的图象，再将y＝sin(x+π3)的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可．10. 在边长为1的正三角形ABC中，BD→=xBA→，CE→=yCA→，x>0，y>0，且x+y＝1，则CD→⋅BE→的最大值为（）A.−58B.−38C.−32D.−34【答案】B【考点】数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据BD →=xBA →,CE →=yCA →，可得CD →⋅BE →=(CB →+BD →)⋅(BC →+CE →)=(CB →+xBA →)⋅(BC →+yCA →)=−1+x+y+xy2，利用x >0，y >0，且x +y ＝1，可求CD →⋅BE →的最大值．【解答】由题意，CD →⋅BE →=(CB →+BD →)⋅(BC →+CE →) ∵ BD →=xBA →,CE →=yCA →∴ CD →⋅BE →=(CB →+BD →)⋅(BC →+CE →)=(CB →+xBA →)⋅(BC →+yCA →)=−1+x+y+xy 2∵ x >0，y >0，且x +y ＝1 ∴ xy ≤14 ∴ −1+x+y+xy2=−1+1+xy 2≤−38当且仅当x ＝y =12时，取等号∴ 当x ＝y =12时，CD →⋅BE →的最大值为−3811. 设函数f(x)={e −x (x <0)e x (0≤x ≤1)3−x(x >1) ，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则af(a)+bf(b)+cf(c)的取值范围是（ ）A.(1, 92] B.[1, 2) C.(2, 94]D.(1, 94]【答案】C【考点】分段函数的应用 【解析】画出函数f(x)={e −x (x <0)e x (0≤x ≤1)3−x(x >1) 的图象，可得af(a)+bf(b)+cf(c)＝cf(c)＝c(3−c)，c ∈(1, 2)，结合二次函数的图象和性质，可得答案． 【解答】函数f(x)={e −x (x <0)e x (0≤x ≤1)3−x(x >1) 的图象如下图所示：若互不相等的实数a ，b ，c 满足f(a)＝f(b)＝f(c)， 不妨令a <b <c ，则a ，b 互为相反数，即af(a)+bf(b)＝0， c ∈(1, 2)，则af(a)+bf(b)+cf(c)＝cf(c)＝c(3−c)＝−(c −32)2+94，当c =32时，取最大值94，又由c ＝1或c ＝2时，c(3−c)＝2，故af(a)+bf(b)+cf(c)的取值范围是(2, 94]，12. 已知函数f(x)=ax −x 2−lnx 存在极值，若这些极值的和大于5+ln2，则实数a 的取值范围为( ) A.(−∞, 4) B.(4, +∞) C.(−∞, 2) D.(2, +∞) 【答案】 B【考点】根与系数的关系利用导数研究函数的极值 【解析】求函数f(x)的定义域，求出f′(x)，利用导数和极值之间的关系将条件转化：f′(x)＝0在(0, +∞)上有根，即即2x 2−ax +1＝0在(0, +∞)上有根，根据二次方程根的分布问题列出方程组，根据条件列出关于a 的不等式，求出a 的范围． 【解答】解：f(x)=ax −x 2−lnx ，x ∈(0, +∞)， 则f′(x)=a −2x −1x=−2x 2−ax+1x，∵ 函数f(x)存在极值，∴ f′(x)=0在(0, +∞)上有根， 即2x 2−ax +1=0在(0, +∞)上有根， ∴ Δ=a 2−8≥0，显然当Δ=0时，f(x)无极值，不合题意； ∴ 方程必有两个不等正根，记方程2x 2−ax +1=0的两根为x 1，x 2， x 1+x 2=a2，x 1x 2=12，f(x 1)，f(x 2)是函数f(x)的两个极值， 由题意得，f(x 1)+f(x 2)=a(x 1+x 2)−(x 12+x 22)−(lnx 1+lnx 2) =a 22−a 24+1−ln 12>5−ln 12，化简解得，a 2>16，满足Δ>0， 又x 1+x 2=a2>0，即a >0，∴ a 的取值范围是(4, +∞). 故选B .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知函数f(x)＝x +sinx ，若正实数a ，b 满足f(4a)+f(b −9)＝0，则1a +1b 的最小值为________． 【答案】 1【考点】基本不等式及其应用【解析】通过求导数，根据导数符号可判断出f(x)是R上的增函数，且f(x)是奇函数，从而根据f(4a)+f(b−9)＝0可得出4a＝9−b，从而得出4a+b9=1，从而得出1a+1b=(1a+1b)⋅4a+b 9=59+b9a+4a9b，且a，b都为正数，从而根据基本不等式即可求出最小值．【解答】f′(x)＝1+cosx≥0，∴f(x)是增函数，且f(x)是奇函数，∴由f(4a)+f(b−9)＝0得，f(4a)＝f(9−b)，∴4a＝9−b，∴4a+b9=1，且a，b都为正数，∴1a +1b=(1a+1b)⋅4a+b9=49+b9a+4a9b+19≥59+2√b9a⋅4a9b=59+49=1，当且仅当b9a=4a9b，即b＝2a＝3时取等号，∴1a +1b的最小值为1．若∫21(1x+2mx)dx=3+ln2，则实数m的值为________．【答案】1【考点】定积分的简单应用【解析】直接利用定积分和被积函数的原函数的应用求出结果．【解答】由于∫21(1x+2mx)dx=lnx|12+mx2|12=ln2+4m−m＝3+ln2，整理得3m＝3，解得m＝（1）故答案为：1已知0<β<π2<α<π且cos(α−β2)=−19，sin(α2−β)=23，则cos(α+β)＝________【答案】−239 729【考点】两角和与差的三角函数【解析】由给出的角的范围得到α−β2，α2−β的范围，从而求得对应角的异名三角函数值，进一步求出α+β2的余弦值，由倍角的余弦公式求得cos(α+β)的值．【解答】 ∵ 0<β<π2<α<π，∴ 0<β2<π4<α2<π2，则π4<α−β2<π，−π4<α2−β<π2． ∵ cos(α−β2)=−19，∴ sin(α−β2)=4√59，∵ sin(α2−β)=23，∴ cos(α2−β)=√53．∴ cos(α+β2)＝cos[(α−β2)−(α2−β)]＝cos(α−β2)⋅cos(α2−β)+sin(α−β2)⋅sin(α2−β)=−19×√53+4√59×23=7√527． cos(α+β)=2cos 2α+β2−1=2×(7√527)2−1=−239729．若函数f(x)是R 上的单调函数，且对任意的实数x 都有f[f(x)+22x +1]=13，则f(log 22019)＝________． 【答案】 10091010 【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】根据f(x)是R 上的单调函数，并且f[f(x)+22+1]=13，从而可判断f(x)+22+1为常数，从而设f(x)=−22x +1+c ，进而可求出c ＝1，即得出f(x)=−22x +1+1，从而可求出答案． 【解答】∵ f(x)是R 上的单调函数，且对任意的实数x 都有f[f(x)+22x +1]=13， ∴ f(x)+22+1=c ， ∴ f(x)=−22x +1+c ，∴ f(c)=−22c +1+c =13，解得c ＝1， ∴ f(x)=−22x +1+1，∴ f(log 22019)=−22log 22019+1+1=−22019+1+1=10091010． 三、解答题（70分）已知函数f(x)＝m −|x −1|−2|x +1|． （1）当m ＝5时，求不等式f(x)>2的解集；（2）若二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围． 【答案】当m ＝5时，f(x)={3x +6,x <−1−x +2,−1≤x ≤14−3x,x >1，由f(x)>2结合函数的单调性易得不等式解集为 (−43,0)； 由二次函数的解析式可得该函数在对称轴x ＝−1处取得最小值2， 而 f(x)={3x +1+m,x <−1−x −3+m,−1≤x ≤1−3x +m −1,x >1在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，只需m −2≥2， 即m ≥4． 【考点】绝对值三角不等式 【解析】（1）将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合函数的单调性和不等式的特点即可确定不等式的解集；（2）首先求得二次函数的最小值和f(x)的最大值，据此得到关于实数m 的不等式，求解不等式即可求得最终结果． 【解答】当m ＝5时，f(x)={3x +6,x <−1−x +2,−1≤x ≤14−3x,x >1，由f(x)>2结合函数的单调性易得不等式解集为 (−43,0)； 由二次函数的解析式可得该函数在对称轴x ＝−1处取得最小值2， 而 f(x)={3x +1+m,x <−1−x −3+m,−1≤x ≤1−3x +m −1,x >1在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，只需m −2≥2， 即m ≥4．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持应该保留态度的人的概率为0.05．(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．【答案】解：(1)频率即为概率，∴由题意得120+x3600=0.05，解得x=60，∴持“无所谓”态度的人数共有：3600−2100−120−600−60=720，∴按分层抽样应在持“无所谓”态度的人中抽取：720×3603600=72人．(2)由(1)知持“应该保留”态度的人一共有180人，按分层抽样得到在所抽取的6人中，在校学生为120180×6=4人，社会人员为60180×6=2人，将这6人平均分成2组，则第一组在校学生人数ξ的所有可能取值为1，2，3，P(ξ=1)=C41C22C63=15，P(ξ=2)=C42C21C63=35，P(ξ=3)=C42C20C63=15，∴ξ的分布列为：E(ξ)=1×15+2×35+3×15=2．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）频率即为概率，由题意得120+x3600=0.05，由此求出x，从而得到持“无所谓”态度的人数，由此能求出按分层抽样应在持“无所谓”态度的人中抽取的人数．（2）由（1）知持“应该保留”态度的人一共有180人，按分层抽样得到在所抽取的6人中，在校学生为4人，社会人员为2人，从而得到第一组在校学生人数ξ的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：(1)频率即为概率，∴由题意得120+x3600=0.05，解得x=60，∴持“无所谓”态度的人数共有：3600−2100−120−600−60=720，∴按分层抽样应在持“无所谓”态度的人中抽取：720×3603600=72人．(2)由(1)知持“应该保留”态度的人一共有180人，按分层抽样得到在所抽取的6人中，在校学生为120180×6=4人，社会人员为60180×6=2人，将这6人平均分成2组，则第一组在校学生人数ξ的所有可能取值为1，2，3，P(ξ=1)=C41C22C63=15，P(ξ=2)=C42C21C63=35，P(ξ=3)=C42C20C63=15，∴ξ的分布列为：E(ξ)=1×15+2×35+3×15=2．已知函数f(x)=√3sinxsin(π2−x)+cos2(π2+x)−12．（1）若对任意x∈[−π3,π2]，都有f(x)≥a成立，求a的取值范围；（2）若先将y＝f(x)的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移π6个单位得到函数y＝g(x)的图象，求函数y=g(x)−13在区间[−π, 3π]内的所有零点之和．【答案】函数f(x)=√3sinxsin(π2−x)+cos2(π2+x)−12=√3sinxcosx+12(2sin2x−1)=√3 2sin2x−12cos2x＝sin(2x−π6)，若对任意x∈[−π3,π2]，都有f(x)≥a成立，则只需f min(x)≥a即可．∵x∈[−π3,π2]，∴2x−π6∈[−5π6, 5π6]，故当2x−π6=−5π6时，f(x)取得最小值为−1，∴a≤−1．先将y＝f(x)的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝sin(x−π6)的图象；然后再向左平移π6个单位得到函数y＝g(x)＝sinx的图象．函数y=g(x)−13在区间[−π, 3π]内的零点，即sinx=13的实数根，它的实数根共计4个，设为x1、x2、x3、x4，且为x1<x2<x3<x4，则根据对称性这4个根关于直线x=3π2对称，故有x1+x2+x3+4x4=3π2，∴x1+x2+x3+x4＝6π．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】（1）利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最小值，可得a的取值范围．（2）根据题意，利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，先得到g(x)的解析式，函数y=g(x)−13在区间[−π, 3π]内的零点，即sinx=13的实数根，它的实数根共计4个，再根据正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】函数f(x)=√3sinxsin(π2−x)+cos2(π2+x)−12=√3sinxcosx+12(2sin2x−1)=√3 2sin2x−12cos2x＝sin(2x−π6)，若对任意x∈[−π3,π2]，都有f(x)≥a成立，则只需f min(x)≥a即可．∵x∈[−π3,π2]，∴2x−π6∈[−5π6, 5π6]，故当2x−π6=−5π6时，f(x)取得最小值为−1，∴a≤−1．先将y＝f(x)的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝sin(x−π6)的图象；然后再向左平移π6个单位得到函数y＝g(x)＝sinx的图象．函数y=g(x)−13在区间[−π, 3π]内的零点，即sinx=13的实数根，它的实数根共计4个，设为x1、x2、x3、x4，且为x1<x2<x3<x4，则根据对称性这4个根关于直线x=3π2对称，故有x1+x2+x3+4x4=3π2，∴x1+x2+x3+x4＝6π．如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC＝90∘，AB＝AC，D，E分别为AA1、B1C的中点．（1）证明：DE ⊥平面BCC 1B 1；（2）已知B 1C 与平面BCD 所成的角为30∘，求二面角D −BC −B 1的余弦值． 【答案】证明：以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A −xyz ． 设AB ＝1，AD ＝a ，则B(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，B 1(1, 0, 2a)，D(0, 0, a)，B 1(1, 0, 2a)， E(12,12,a)，DE →=(12,12,0)，BC →=(−1,1,0)，B 1C →=(−1,1,−2a)．∵ DE →⋅BC →=0，DE →⋅B 1C →=0，∴ DE ⊥BC ，DE ⊥B 1C ， 又BC ∩B 1C ＝C ，∴ DE ⊥平面BCC 1B 1；设平面BCD 的法向量n →=(x 0, y 0, z 0)，则{n →⋅BC →=0n →⋅BD →=0 ，又BD →=(−1,0,a)，故{−x 0+y 0=0−x 0+az 0=0，取x 0＝1，得n →=(1,1,1a )． ∵ B 1C 与平面BCD 所成的角为30∘，B 1C →=(−1,1,−2a)， ∴ |cos <n →,B 1C →>|=√(2+4a )(2+1a 2)=12，解得a =√22，∴ n →=(1,1,√2)．由（1）知平面BCB 1的法向量AF →=(12,12,0)，∴ cos <n →,AF →>=n →⋅AF →|n →||AF →|=1×12+1×122×√22=√22． ∴ 二面角D −BC −B 1的余弦值为√22．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直 【解析】（1）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A −xyz ．求出DE →与平面BCC 1B 1中两个不共线的向量的坐标，由数量积为0证明向量垂直，得到DE 垂直于平面内两相交直线，可得DE ⊥平面BCC 1B 1；（2）由B 1C 与平面BCD 所成的角为30∘，求出平面BCD 的一个法向量，再结合（1）求出平面BCB 1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值解得二面角D −BC −B 1的余弦值． 【解答】证明：以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A −xyz ． 设AB ＝1，AD ＝a ，则B(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，B 1(1, 0, 2a)，D(0, 0, a)，B 1(1, 0, 2a)， E(12,12,a)，DE →=(12,12,0)，BC →=(−1,1,0)，B 1C →=(−1,1,−2a)．∵ DE →⋅BC →=0，DE →⋅B 1C →=0，∴ DE ⊥BC ，DE ⊥B 1C ， 又BC ∩B 1C ＝C ，∴ DE ⊥平面BCC 1B 1；设平面BCD 的法向量n →=(x 0, y 0, z 0)，则{n →⋅BC →=0n →⋅BD →=0 ，又BD →=(−1,0,a)，故{−x 0+y 0=0−x 0+az 0=0，取x 0＝1，得n →=(1,1,1a )． ∵ B 1C 与平面BCD 所成的角为30∘，B 1C →=(−1,1,−2a)， ∴ |cos <n →,B 1C →>|=√(2+4a )(2+1a 2)=12，解得a =√22，∴ n →=(1,1,√2)．由（1）知平面BCB 1的法向量AF →=(12,12,0)，∴ cos <n →,AF →>=n →⋅AF →|n →||AF →|=1×12+1×122×√22=√22． ∴ 二面角D −BC −B 1的余弦值为√22．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，∠BAD ＝60∘，∠BCD ＝120∘．（1）若BC＝2√2，求∠CBD的大小；（2）设△BCD的面积为S，求S的取值范围．【答案】在△ABD中，因为AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60∘，则：BD2＝AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos∠BAD＝16+4−2×4×2×12=12，所以BD＝2√3⋯在△BCD中，因为∠BCD＝120∘，BC＝2√2，BD＝2√3，由BCsin∠CDB =BDsin∠BCD，得：sin∠CDB=BCsin∠BCDBD =√2sin1202√3=√22，则∠CDB＝45∘所以∠CBD＝60∘−∠CDB＝15∘设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60∘−θ．在△BCD中，因为BCsin(60−θ)=BDsin120=4，则BC＝4sin(60∘−θ)所以S=12BD⋅BC⋅sin∠CBD ＝4√3sin(60∘−θ)sinθ＝4√3(√32cosθ−12sinθ)sinθ＝3sin2θ−2√3sin2θ＝3sin2θ−√3(1−cos2θ)＝3sin2θ+√3cos2θ−√3＝2√3sin(2θ+30∘)−√3⋯因为0∘<θ<60∘，则30∘<2θ+30∘<150∘，12<sin(2θ+30∘)≤1，所以0<S≤√3．故S的取值范围是(0, √3]【考点】正弦函数的定义域和值域【解析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，进而在△BCD中，由正弦定理可求sin∠CDB=√22，求得∠CDB，即可得解∠CBD＝60∘−∠CDB＝15∘．（2）设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60∘−θ．在△BCD中，由正弦定理可求BC＝4sin(60∘−θ)，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S＝2√3sin(2θ+30∘)−√3，结合范围0∘<θ<60∘，利用正弦函数的性质可求S的取值范围．【解答】在△ABD中，因为AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60∘，则：BD 2＝AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos∠BAD ＝16+4−2×4×2×12=12， 所以BD ＝2√3⋯在△BCD 中，因为∠BCD ＝120∘，BC ＝2√2，BD ＝2√3， 由BCsin∠CDB =BDsin∠BCD ， 得：sin∠CDB =BCsin∠BCDBD=√2sin1202√3=√22， 则∠CDB ＝45∘所以∠CBD ＝60∘−∠CDB ＝15∘ 设∠CBD ＝θ，则∠CDB ＝60∘−θ．在△BCD 中，因为BCsin(60−θ)=BDsin120=4，则BC ＝4sin(60∘−θ) 所以S =12BD ⋅BC ⋅sin∠CBD ＝4√3sin(60∘−θ)sinθ ＝4√3(√32cosθ−12sinθ)sinθ＝3sin2θ−2√3sin 2θ＝3sin2θ−√3(1−cos2θ) ＝3sin2θ+√3cos2θ−√3 ＝2√3sin(2θ+30∘)−√3⋯因为0∘<θ<60∘，则30∘<2θ+30∘<150∘，12<sin(2θ+30∘)≤1， 所以0<S ≤√3．故S 的取值范围是(0, √3]已知函数f(x)＝xlnx −2ax 2+x ，a ∈R ．(Ⅰ)若f(x)在(0, +∞)内单调递减，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点分别为x 1，x 2，证明：x 1+x 2>12a ． 【答案】(I)f′(x)＝lnx −4ax +2，若f(x)在(0, +∞)内单调递减，则f′(x)≤0恒成立， 即4a ≥lnx+2x在(0, +∞)上恒成立． 令g(x)=lnx+2x，则g′(x)=−1−lnx x 2，∴ 当0<x <1e 时，g′(x)>0，当x >1e 时，g′(x)<0， ∴ g(x)在(0, 1e )上单调递增，在(1e , +∞)上单调递减， ∴ g(x)的最大值为g(1e )＝e ，∴ 4a ≥e ，即a ≥e4． ∴ a 的取值范围是[e 4, +∞)． (II)∵ f(x)有两个极值点，∴ f′(x)＝0在(0, +∞)上有两解， 即4a =lnx+2x有两解，由（1）可知0<a <e4．由lnx 1−4ax 1+2＝0，lnx 2−4ax 2+2＝0，可得lnx 1−lnx 2＝4a(x 1−x 2)， 不妨设0<x 1<x 2，要证明x 1+x 2>12a ，只需证明x 1+x 24a(x 1−x 2)<12a(lnx 1−lnx 2)，即证明2(x 1−x 2)x 1+x 2>lnx 1−lnx 2， 只需证明2(x 1x 2−1)x 1x 2+1>ln x1x 2，令ℎ(x)=2(x−1)x+1−lnx(0<x <1)，则ℎ′(x)=−(x−1)2x(x+1)2<0，故ℎ(x)在(0, 1)上单调递减， ∴ ℎ(x)>ℎ(1)＝0，即2(x−1)x+1>lnx 在(0, 1)上恒成立，∴ 不等式2(x 1x 2−1)x 1x 2+1>ln x1x 2恒成立，综上，x 1+x 2>12a ． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（I ）令f′(x)≤0恒成立，分离参数得出4a ≥lnx+2x，利用函数单调性求出函数g(x)=lnx+2x的最大值即可得出a 的范围；(II)令x1x 2=t ，根据分析法构造关于t 的不等式，再利用函数单调性证明不等式恒成立即可． 【解答】(I)f′(x)＝lnx −4ax +2，若f(x)在(0, +∞)内单调递减，则f′(x)≤0恒成立， 即4a ≥lnx+2x在(0, +∞)上恒成立． 令g(x)=lnx+2x，则g′(x)=−1−lnx x 2，∴ 当0<x <1e 时，g′(x)>0，当x >1e 时，g′(x)<0， ∴ g(x)在(0, 1e )上单调递增，在(1e , +∞)上单调递减，∴ g(x)的最大值为g(1e )＝e ， ∴ 4a ≥e ，即a ≥e4． ∴ a 的取值范围是[e 4, +∞)． (II)∵ f(x)有两个极值点，∴ f′(x)＝0在(0, +∞)上有两解， 即4a =lnx+2x有两解，由（1）可知0<a <e4．由lnx 1−4ax 1+2＝0，lnx 2−4ax 2+2＝0，可得lnx 1−lnx 2＝4a(x 1−x 2)， 不妨设0<x 1<x 2，要证明x 1+x 2>12a ，只需证明x 1+x 24a(x 1−x 2)<12a(lnx 1−lnx 2)，即证明2(x 1−x 2)x 1+x 2>lnx 1−lnx 2， 只需证明2(x 1x 2−1)x 1x 2+1>ln x1x 2，令ℎ(x)=2(x−1)x+1−lnx(0<x <1)，则ℎ′(x)=−(x−1)2x(x+1)2<0，故ℎ(x)在(0, 1)上单调递减， ∴ ℎ(x)>ℎ(1)＝0，即2(x−1)x+1>lnx 在(0, 1)上恒成立，∴ 不等式2(x 1x 2−1)x 1x 2+1>ln x1x2恒成立，综上，x 1+x 2>12a ．。

江西省吉安市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A . {0，1}B . {1}C . {1，2}D . {0，1，2}2. （2分）已知z=（i为虚数单位），则|z|=（）A .B . 1C .D . 23. （2分） (2016高一上·叶县期中) 已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2 ，则f（7）=（）A . 2B . ﹣2C . ﹣98D . 984. （2分） a，b是两条异面直线，a⊂平面α，b⊂平面β，若α∩β=c，则直线c必定（）A . 与a，b均相交B . 与a，b都不相交C . 至少与a，b中的一条相交D . 至多与a，b中的一条相交5. （2分）数列{an}的前n项和为Sn ，若，则S5=（）A . 1B .C .D .6. （2分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A .B .C .D .7. （2分）如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分）已知点F1 ， F2是双曲线（a>0,b>0）的左右焦点，点P是双曲线上的一点，且，则△PF1F2面积为（）A .B .C .D .9. （2分）由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为（）A .B .C .D .10. （2分）直径为6的球的表面积和体积分别是（）A . 144π，144πB . 144π，36πC . 36π，144πD . 36π，36π11. （2分）(2016·赤峰模拟) 若关于x的不等式a﹣ax＞ex（2x﹣1）（a＞﹣1）有且仅有两个整数解，则实数a的取值范围为（）A . （﹣， ]B . （﹣1， ]C . （﹣，﹣ ]D . （﹣，﹣）12. （2分）方程sinx+cosx=k在[0，π]上有两个解，则k的取值范围为（）A . （﹣，）B . [﹣1， ]C . [0， ]D . [1，）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若f（x）=x2 ，∃t∈R，对于∀x∈[2，m]，都有f（x+t）≤2x成立，则m的最大值是________ ．14. （1分）已知角α，β∈（﹣，），且α，β，依次成等差数列，若cosβ= ，则sinα•sinβ的值为________．15. （1分）若f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）=f（x﹣1），当x∈（0，1）时，f（x）=2x﹣2，则f（log 24）的值等于________．16. （1分）(2020·龙岩模拟) 函数在点处的切线方程为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高三上·哈尔滨月考) 已知数列中， .（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设数列是等差数列，令，求数列的前项和 .18. （10分） (2020高三上·永州月考) 的内角的对边分别为，若（1）求角的大小；（2）若，求的周长.19. （5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=2BC，∠ACB=90°．（Ⅰ）求证：AC1⊥A1B；（Ⅱ）求直线AB与平面A1BC所成角的正切值．20. （10分）(2017·长沙模拟) 已知函数，其中 .（1）设，讨论的单调性；（2）若函数在内存在零点，求的范围.21. （10分）已知△ABC是边长为l的等边三角形，D、E分别是AB、AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到三棱锥A﹣BCF，其中BC= ．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF．22. （10分）(2017·烟台模拟) 已知向量，向量，函数．（1）求f（x）的单调减区间；（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式及其图象的对称中心．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

一、单选题二、多选题1. 若，则的虚部是A ．3B．C．D．2. 如图，四棱柱中，为棱的中点，为四边形对角线的交点，下列说法：①平面；②若平面，则；③若四边形矩形，且，则四棱柱为直四棱柱.其中正确说法的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33. （ ）A．B．C．D．4. 已知A ,B ,C 分别是的内角，，，则C 的值是（ ）A．B．C．D．5. 若虚数的共轭虚数为，，则（ ）A．B．C．D．6. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ）A ．76B ．72C ．36D ．327. 某中学高三年级从A ，B 两班各选出5名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分：100分）的茎叶图如图所示．若从A ，B 两班参赛学生的成绩中各随机抽取1名学生的竞赛成绩，则A 班学生成绩高于B 班学生成绩的概率是（）A．B．C．D．8. 已知l表示一条直线，表示两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若，则B．若，则C ．若，则D ．若，则9. 已知数列，，有，，，则（ ）A ．若存在，，则B．若，则存在大于2的正整数n，使得江西省吉安市第三中学2023届高三第一次模拟理科数学试题江西省吉安市第三中学2023届高三第一次模拟理科数学试题三、填空题四、解答题C ．若，，且，则D ．若，，则关于的方程的所有实数根可构成一个等差数列10. 某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，，，，，，得到如右所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（）A．B ．长度落在区间内的个数为35C ．长度的众数一定落在区间内D ．长度的中位数一定落在区间内11.关于函数，下列说法正确的是（ ）A ．函数以为周期且在处取得最大值B．函数以为周期且在区间单调递增C．函数是偶函数且在区间单调递减D．将的图像向右平移1个单位得到12.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是（ ）A ．函数的图象关于直线对称B ．函数的图象关于点对称C ．函数在上单调递减D ．函数在上恰有4个极值点13. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，若，，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为__．14. 已知向量，则_______________．15. 一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为__________.16.已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)已知，，求数列的前20项和.17. 已知抛物线C ：，过抛物线外一点N 作抛物线C 的两条切线，A ，B 是切点．(1)若点N的纵坐标为，求证：直线AB 恒过定点；(2)若，求△ABN 面积的最大值（结果用m 表示）．18.如图，在三棱柱中，点在底面ABC的射影为BC的中点O，底面ABC是边长为2的正三角形，．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．19. 已知数列{a n}满足＋＋＋…＋＝n2＋n.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和S n.20. 随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.为调查某款订餐软件的商家的服务情况，统计了10次订餐“送达时间”，得到茎叶图如下：（时间：分钟）（1）请计算“送达时间”的平均数与方差：（2）根据茎叶图填写下表：送达时间35分组以内（包括35分钟）超过35分钟频数A B频率C D在答题卡上写出，，，的值；（3）在（2）的情况下，以频率代替概率.现有3个客户应用此软件订餐，求出在35分钟以内（包括35分钟）收到餐品的人数的分布列，并求出数学期望.21.设函数.(1)求的极值；(2)已知，有最小值，求的取值范围.。