第4课时 因式分解

第4课因式分解〖知识点〗因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。

〖大纲要求〗理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。

〖考查重点与常见题型〗考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。

重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。

习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。

因式分解知识点多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：(1)提公因式法如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．(2)运用公式法，即用写出结果．(3)十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.(5)求根公式法：如果有两个根X1，X2，那么考查题型：1．下列因式分解中，正确的是（）(A) 1- 14 x2= 14 (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x2 – 2 = - 2(x- 1)2(C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y – 1)(D) x2 –y2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1)2．下列各等式(1) a2－ b2 = (a + b) (a–b ),(2) x2–3x +2 = x(x–3) + 2(3 ) 1 x2 –y2 －1 ( x + y) (x – y ) ,(4 )x2 + 1 x2 －2－（ x －1x )2 从左到是因式分解的个数为（）(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4个3．若x2＋mx＋25 是一个完全平方式，则m的值是（）(A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±104．若x2＋mx＋n能分解成( x+2 ) (x – 5)，则m= ,n= ;5．若二次三项式2x2+x+5m在实数范围内能因式分解，则m= ;6．若x2+kx－6有一个因式是(x－2)，则k的值是 ;7．把下列因式因式分解：(1)a3－a2－2a (2)4m2－9n2－4m+1(3)3a2+bc－3ac-ab (4)9－x2+2xy－y28．在实数范围内因式分解：(1)2x2－3x－1 (2)－2x2+5xy+2y2考点训练：1. 分解下列因式：(1).10a(x－y)2－5b(y－x) (2).an+1－4an＋4an-1(3).x3(2x－y)－2x＋y (4).x(6x－1)－1(5).2ax－10ay＋5by＋6x (6).1－a2－ab－14 b2*(7).a4＋4 (8).(x2＋x)(x2＋x－3)＋2(9).x5y－9xy5 (10).－4x2＋3xy＋2y2(11).4a－a5 (12).2x2－4x＋1(13).4y2＋4y－5 (14)3X2－7X+2解题指导：1．下列运算:(1) (a－3)2＝a2－6a＋9 (2) x－4＝(x ＋2)( x －2)(3) ax2＋a2xy＋a＝a(x2＋ax) (4) 116 x2－14 x＋14 ＝x2－4x＋4＝(x－2)2其中是因式分解，且运算正确的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）42．不论a为何值，代数式－a2＋4a－5值（）（A）大于或等于0 （B）0 （C）大于0 （D）小于03．若x2＋2（m－3）x＋16 是一个完全平方式，则m的值是（）（A）－5 （B）7 （C）－1 （D）7或－14．(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0,则x2＋y2的值是；5．分解下列因式：(1).8xy(x－y)－2(y－x)3 ＊(2).x6－y6(3).x3＋2xy－x－xy2 ＊(4).(x＋y)(x＋y－1)－12(5).4ab－（1－a2）（1－b2） (6).－3m2－2m＋4＊4。

第4课时 因式分解学案 基训题目1、把一个多项式化成 的 的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式 .2、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( ).A 、2222)1(xy y x x xy -=-；B 、)3)(3(92-+=-x x x ；C 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-；D 、c b a x c bx ax ++=++)(.3、把代数式xy 2－9x 分解因式，结果正确的是( )A 、)9(2-y x ；B 、2)3(+y x ；C 、)3)(3(-+y y x ；D 、)9)(9(-+y y x .4、一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏因式分解不彻底的一题是( )A 、x 3－x ＝x (x 2－1)；B 、x 2－2xy ＋y 2＝(x －y )2C 、x 2y －xy 2＝xy (x －y ) ；D 、x 2－y 2＝(x －y )(x ＋y ) . 5、 y x x 225-的公因式为 ； 24x x -= ．6、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是( )A 、42+-mB 、22y x --C 、122-y xD 、()()22a m a m +--. 7、下列各式可以用完全平方公式分解因式的是( )A 、2242b ab a +- ；B 、4142+-m m ； C 、269y y +- ； D 、222y xy x --.8、分解因式：=-32a ab ．x 2－2x ＋1 = ． 9、下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )A 、4x 2＋1B 、4x 2－4x －1C 、x 2＋xy ＋y 2D 、x 2－4x ＋4 10、因式分解：x x 2172- = ． =-92x ．11、因式分解：1-+-b a ab = ．=++442x x ．12、因式分解：=--542x x ．13、若正方形的面积是 )0,0(6922>>++y x y xy x ，则它的边长是 14、若分解因式))(3(152n x x mx x ++=-+ 则m 的值为( )A 、－5B 、5C 、－2D 、215、已知46==+xy y x ，，则22xy y x +的值为_____________16、分解因式：x 2 － 4x ＋ 3 = ．17、分解因式：x 2 － 2x y －32y = ．18、下列分解因式正确的是( )A 、)1(222--=--m n n n nm nB 、)32(322---=-+-a ab b b ab abC 、2)()()(y x y x y y x x -=---D 、2)1(22--=--a a a a19、322236129xy y x y x -+的公因式为 . 20、分解因式：x xy 2-= .21、把多项式bx by ay ax -+-5102分解因式为 .22、把多项式m mn n m 552--+分解因式为 .23、把bc ac ab a -+-2分解因式．24、am ＋ an ＋ bm ＋ bn 可以分解为 .2011.3.22。

17.2一元二次方程求根公式（第4课时）（2种题型基础练+提升练）考查题型一 公式法解一元二次方程1.24x -【答案】1x =2x =【详解】解：∵4a =，b =-1c =．∴(()22444148b ac D =-=--´´-=，∴x =，∴1x =2x =．2.解方程：220x --=【答案】122, 2.x x =-【详解】解：由题意得：1,2,a b c ==-=-(()22441216b ac \=-=--´´-=V ＞0,2,x \==122, 2.x x \=+=3．解方程：21-【答案】12x x ==【详解】解：23410x x --=a=3, b=-4, c=-1,∴()()2244431280b ac D =-=--´´-=>方程有两个不相等的实数根=即12x x =4．解方程： 2430x x +-=【答案】1222x x =-=-【详解】解：其中143a b c ===-，，，22428b -=得2x ====-即2x =-2x =-所以原方程的根是1222x x =-=-5.解方程：23【答案】12x x ==【详解】原方程可化为：23620x x --=x =12x x ==6.解方程：21=(用公式法)【答案】x 1x 2．【详解】解：23410x x --=，24b ac -=()()24431--´´- =28，x 1x 2．7.解方程：x 2﹣12x ＝4【答案】x 1＝26x =-【详解】解：2124x x -=，21240x x --=，1a =Q ，12b =-，4c =-，\△2(12)41(4)1600=--´´-=>，则6x ===±16x \=+26x =-．8.解方程：（x +2）（x ﹣3）＝4x +8；【答案】x 1=7，x 2=-2【详解】解：方程整理得：x 2-5x -14=0，则a =1，b =-5，c =-14，∵b 2-4ac =25+56=81＞0，∴x =592±，解得：x 1=7，x 2=-2．9．解方程：()()2131x x -+=【答案】1x =，2x =【详解】解：方程整理得：22540x x +-=，这里2a =，5b =，4c =-，Q 224542(4)570b ac D =-=-´´-=>，x \=即1x 2x =．10．用公式法解方程：x 2﹣﹣3＝0．【答案】x 1x 2【详解】解：∵x 2x -3=0，∴13a b c ==-=-，，∴()22Δ=4=-41-3=8+12=20b ac -´´，∴x ==，∴x 1x 211.解方程：230x --=．【答案】1x =，2x =-【详解】解：1a =Q ，b =-3c =-，224(41(3)81220b ac \-=--´´-=+=，x \===即1x =2x =考查题型二 公式法解一元二次方程的应用12.已知等腰三角形的周长为20,腰长是方程212310x x -+=的一个根,则这个等腰三角形的腰长为_______.【答案】6+【详解】212310x x -+=公式法解得：1266x x ==（1）当腰长为6时，由周长可得，底边为202(68-´+=-（686->；（2）当腰长为6202(68-´=+系（668<+.13.阅读理解：对于()321x n x n -++这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：()()()()3232222()()(1)()1x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx -++=--+=---=+-=-+--一理解运用：如果()3210x n x n -++=，那么()2(10)x n x nx -+-=，即有0x n -=或210x nx +-=，因此，方程0x n -=和210x nx +-=的所有解就是方程()321x n x n -++=0 的解．解决问题：求方程31030x x -+=的解为___________．【答案】1233,x x x ===【详解】解：∵x 3−10x ＋3＝0，∴x 3−9x−x ＋3＝0，x （x 2−9）−（x−3）＝0，（x−3）（x 2＋3x−1）＝0，∴x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，∴1233,x x x ===．故答案为：1233,x x x ===．14.解方程：()()2210290x x --++=【答案】1277x x =+=-【详解】解：()()2210290x x --++=整理，得：21470x x --=1,14,7a b c ==-=-224(14)41-7b ac =-=--´´V （）=224>0∴7x ===±1277x x =+=-15.用公式法解下列方程：（1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【答案】（1）方程无解；（2）方程无解．【解析】（1）因为536a b c ==-=，，，则011142<-=-ac b ，所以原方程无解；（2）整理可得：0145142=++x x ，则042<-ac b ，所以原方程无解．【总结】本题主要考查对求根公式的理解及运用．16.用公式法解下列方程：（120x --=；（2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【答案】（1）221-=x ，22=x ；（2）4531+=x ，4532-=x ；（3）41751+=x ，41752-=x ．【解析】（1）∵1a b c ==-=，942=-ac b ，∴2231±=x ，∴原方程的解为：221-=x ，22=x ；（2）整理可得：01642=+-x x ，461a b c ==-=，，，则2042=-ac b ，8526±=x ，∴原方程的解为：4531+=x ，4532-=x ；（3）整理可得：01522=+-x x ，251a b c ==-=，，，则1742=-ac b ，4175±=x ，∴原方程的解为：41751+=x ，41752-=x ．17.用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）2100.1a x a --=．【解析】（1）∵c b 42+=D ，∴当042≥+c b 时，2421c b b x ++=，2422c b b x +-=；当042<+c b 时，原方程无实数根；（2）原方程可化为：22100x a --=，∵2222400a b a D =+≥，∴原方程的解为：1x ，2x =．【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论．18.设m 是满足不等式1≤m ≤50的正整数，关于x 的二次方程（x ﹣2）2+（a ﹣m ）2＝2mx +a 2﹣2am 的两根都是正整数，求m 的值．【答案】1、4、9、16、25、36、49【详解】将方程整理得：x 2﹣（2m +4）x +m 2+4＝0，∴x 2+m ，∵x ，m 均是整数且1≤m ≤50，∴m 为完全平方数即可，∴m ＝1、4、9、16、25、36、49．19．阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题：下列方程的解法对不对？为什么？ ()()310=1x x +-解：()31x +=或()10=1x -．解得2x =-或11x =．所以12x =-，211x =．同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等．小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下：取()3x +与()10x -的平均值72x æö-ç÷èø，即将()3x +与()10x -相加再除以2．那么原方程可化为713713=12222x x æöæö-+--ç÷ç÷èøèø左边用平方差公式可化为22713=122x æöæö--ç÷ç÷èøèø．再移项，开平方可得x =请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导：关于x 的方程()200++=¹ax bx c a 的求根公式（此时240b ac -≥）．【答案】)240x b ac =-≥【详解】∵()200++=¹ax bx c a ∴2b c x x a a+=-∴b c x x a a æö+=-ç÷èø 取x 与b x a æö+ç÷èø的平均值2b x a æö+ç÷èø，即将x 与b x a æö+ç÷èø相加再除以2，即b 2x b a x 22a+=+ 那么原方程可化为：2222b b b b c x x a a a a a æöæö+-++=-ç÷ç÷èøèø 左边用平方差公式可化为：2222b b c x a a a æöæö+-=-ç÷ç÷èøèø 再移项可得：222224244b c b ac b x a a a a -+æö+=-+=ç÷èø240b ac -≥Q开平方可得：b x 2a =-±2b a -=．。

初三第一轮复习任务单今天的努力是为了明天的成绩。

加油了，认真做。

_____月_____日复习第4课时《因式分解》班级___学号___姓名________ __月__日【复习检测】：1．多项式－3x2y3z+9x3y3z－6x4y z2的公因式是．2．因式分解：3ab2+a2b= ；x2－16= ；a2+4a+4=____________．3．下列式子变形是因式分解的是()A．x2－5x+6=x(x－5)+6 B．x2－5x+6=(x－2)(x－3) C．(x－2)(x－3)=x2－5x+6 D．x2－5x+6=(x+2)(x+3)4．下列各因式分解正确的是()。

A．－x2+(－2)2=(x－2)(x+2) B．x2+2x－1=(x－1) C．4x2－4x+1=(2x－1)2D．x2－4x=x(x+2)(x－2)5．若m2－n2=6且m－n=3，则m+n=_______。

6．若a+b─2=0，则12(a2+b2)+ab=______。

【例题讲解】：例1．把下列各式分解因式：(1)m3－4m；(2)3x3－6x2y+3xy2；(3)(a+b)2+2(a+b)+1；(4)5x2+17x-12；(5) (x+2)(x－6)+16．例2．已知：x=3+1，y=3－1，求22222x xy yx y-+-的值．例3．阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：(1)am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)(2)x2－y2－2y－1=x2－(y2+2y+1)=x2－(y+1)2=(x+y+1)(x－y－1)试用上述方法分解因式①a2+2ab+ac+bc+b2．②a3+a2－a－1．例4．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状．【课堂检测】：1．下列各式中与2mn－m2－n2相等的是( )。

一、选择题(每题5分，共15分)1．[2012·济宁]下列式子变形是因式分解的是( B ) A ．x 2－5x ＋6＝x ()x －5＋6B ．x 2－5x ＋6＝()x －2()x －3C.()x －2()x －3＝x 2－5x ＋6D ．x 2－5x ＋6＝()x ＋2()x ＋32．[2012·凉山州]下列多项式能分解因式的是( C ) A ．x 2＋y 2B ．－x 2－y 2C ．－x 2＋2xy －y 2D ．x 2－xy ＋y 23．[2013·佛山]分解因式a 3－a 的结果是( C ) A ．a (a 2－1)B ．a (a －1)2C ．a (a ＋1)(a －1)D ．(a 2＋a )(a ＋1)【解析】 首先提取公因式a ，再利用平方差公式进行二次分解a 3－a ＝a (a 2－1)＝a (a ＋1)(a －1)，故选C.二、填空题(每题5分，共25分)4．[2013·广东]分解因式：x 2－9＝__(x ＋3)(x －3)__．5．[2013·黄冈]分解因式：ab 2－4a ＝__a (b －2)(b ＋2)__．6．[2013·南充]分解因式：x 2－4(x －1)＝__(x －2)2__．7．[2013·北京]分解因式：ab 2－4ab ＋4a ＝__a (b －2)2__．8．[2013·潍坊]分解因式：(a ＋2)(a －2)＋3a ＝__(a ＋4)(a －1)__．三、解答题(共14分)9．(6分)[2011·广州]分解因式：8(x 2－2y 2)－x (7x ＋y )＋xy .解：8(x 2－2y 2)－x (7x ＋y )＋xy＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy＝x 2－16y 2＝(x ＋4y )(x －4y )．10．(8分)[2011·三明]给出三个多项式：2a 2＋3ab ＋b 2，3a 2＋3ab ，a 2＋ab ，请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式．解：本题答案不唯一；选择加法运算有以下三种情况：(2a 2＋3ab ＋b 2)＋(3a 2＋3ab )＝5a 2＋6ab ＋b 2＝(a ＋b )(5a ＋b )；(2a 2＋3ab ＋b 2)＋(a 2＋ab )＝3a 2＋4ab ＋b 2＝(a ＋b )(3a ＋b )；(3a 2＋3ab )＋(a 2＋ab )＝4a 2＋4ab ＝4a (a ＋b )．选择减法运算有六种情况，选三种供参考．(2a 2＋3ab ＋b 2)－(3a 2＋3ab )＝b 2－a 2＝(b ＋a )(b －a )；(2a 2＋3ab ＋b 2)－(a 2＋ab )＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2；(3a 2＋3ab )－(a 2＋ab )＝2a 2＋2ab ＝2a (a ＋b )．11．(4分)[2013·衡阳]已知a ＋b ＝2，ab ＝1，则a 2b ＋ab 2的值为__2__．12．(4分)[2013·枣庄]若a 2－b 2＝16，a －b ＝13，则a ＋b 的值为__12__．13．(4分)[2013·徐州]当m ＋n ＝3时，式子m 2＋2mn ＋n 2的值为__9__．14．(15分)[2014·预测题]分解因式：(a ＋b )2－12(a ＋b )＋36.【解析】 将a ＋b 看作一个整体，应用完全平方公式进行因式分解． 解：(a ＋b )2－12(a ＋b )＋36＝[(a ＋b )－6]2＝(a ＋b －6)2.15．(9分)已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足等式a 2－c 2＋2ab －2bc ＝0，试说明△ABC 是等腰三角形．解：∵a 2－c 2＋2ab －2bc ＝0，∴(a ＋c )(a －c )＋2b (a －c )＝0，∴(a －c )(a ＋c ＋2b )＝0.∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a＋c＋2b>0，∴a－c＝0，∴a＝c，∴△ABC是等腰三角形．16．(10分)已知x2－x－1＝0，求－x3＋2x2＋2 014的值．解：∵－x3＋2x2＋2 014＝－x3＋x2＋x2＋2 014＝x(－x2＋x)＋x2＋2 014；①又∵x2－x－1＝0，∴－x2＋x＝－1，②将②代入①，得原式＝x(－1)＋x2＋2 014＝－x＋x2＋2014＝－(－x2＋x)＋2 014；③将②代入③，得原式＝－(－1)＋2 014＝2 015.。

朱桥中心初中七年级数学下册教学设计课题：二次三项式的因式分解授课人：王海涛班级：七（2）班【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式；2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力；3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质. 【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式.【教学难点】把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p.【教学过程】复习导入1．口答计算结果：(1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x－1)(5) (x+2)(x+3) (6) (x+2)(x－3) (7) (x－2)(x+3) (8) (x－2)(x－3)2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?[在多项式的乘法中,有(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + ab ]二、探索新知1、观察与发现:等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算.反过来可得 x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解.体会与尝试：①试一试 因式分解: x2 + 4x + 3 ； x2 － 2x －3将二次三项式x2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x ·x ，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示:x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).三、尝试运用例1 把232x x ++分解因式。

分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=1×2=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。