湖南省怀化市2019届高三第二次模拟考试数学(文)试题及参考答案

2019年湖南省怀化市高考数学模拟试卷（文科）（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，则复数z =i 32−i 的虚部为（ ）A.−25i| B.−25 C.25D.25i【答案】 B【考点】复数的运算 【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】∵ z =i 32−i =−i2−i =−i(2+i)(2−i)(2+i)=15−25i ． ∴ 复数z 的虚部为−25．2. 已知集合M ＝{(x, y)|y|x|}，N ＝{(x, y)|y1}，若A ⊆(M ∩N)，则集合A 的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.8 【答案】 C【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】推导出M ∩N ={(x,y)|{y =|x|y =1 }={(−1, 1), (1, 1)}，再由A ⊆(M ∩N)，能求出集合A 的个数． 【解答】∵ 集合M ＝{(x, y)|y|x|}，N ＝{(x, y)|y1}， ∴ M ∩N ={(x,y)|{y =|x|y =1}={(−1, 1), (1, 1)}，∵ A ⊆(M ∩N)，∴ 集合A 的个数为22＝4．3. 已知数列{a n }满足a n+12＝a n a n+2(n ∈N ∗)，若a 3＝1，a 7＝4a 3，则a 4a 5a 6＝（ ）A.±8B.−8C.8D.16 【答案】 C【考点】等比数列的性质 【解析】由数列{a n }满足a n+12＝a n a n+2(n ∈N ∗)，得到{a n }是等比数列，推导出a 5=√a 3a 7=2，a 4a 5a 6=a 53，由此能求出结果． 【解答】∵ 数列{a n }满足a n+12＝a n a n+2(n ∈N ∗)，∴{a n}是等比数列，∴a3，a5，a7同号，∵a3＝1，a7＝4a3，∴a5=√a3a7=2，∴a4a5a6=a53=8．4. 已知圆锥曲线x22+y2cosθ=1(0<θ<π,θ≠π2)的离心率为√426，则cosθ＝（）A.−13B.13C.2√23D.−2√23【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】判断曲线是双曲线，利用离心率列出方程求解即可．【解答】圆锥曲线x22+y2cosθ=1(0<θ<π,θ≠π2)的离心率为√426>1，所以曲线是双曲线，可得：e2=c2a2=2−cosθ2=76，解得cosθ=−13．5. 某网店2018年全年的月收支数据如图所示，则针对2018年这一年的收支情况，说法错误的是（）A.月收入的极差为60B.7月份的利润最大C.这12个月利润的中位数与众数均为30D.这一年的总利润超过400万元【答案】D【考点】众数、中位数、平均数频率分布折线图、密度曲线【解析】根据所给的折线图逐项分析即可．【解答】由图可知月收入的极差为90−30＝60，故A正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30.7月份的利润最高，故B正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故C正确，D错误．6. 已知命题p：“∃x0∈R，1x0+1>0”的否定是“∀x∈R,1x+1≤0”；命题q：“x<2020”的一个充分不必要条件是“x<2019”，则下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.￢qC.p∨(￢q)D.(￢p)∧q 【答案】D【考点】复合命题及其真假判断【解析】根据条件分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】命题p：“∃x0∈R，1x0+1>0”的否定是“∀x∈R，1x+1<0或x+1＝0”；则命题p是假命题，命题q：“x<2020”的一个充分不必要条件是“x<2019”，为真命题，则(￢p)∧q为真命题，其余为假命题，7. 《九章算术》勾股章有一问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？其意思是：现有正方形水池边长为1丈（一丈等于十尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺，将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示），问水深、芦苇的长度是多少？现从静止的芦苇上任取一点，则该点取自水面以下的概率为（）A.11 12B.1213C.113D.910【答案】B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由题意画出图形，设芦苇长AB＝AE＝x尺，则水深AC＝(x−1)尺，求解三角形求得x 值，再由测度比是长度比得答案．【解答】依题意画出图形，设芦苇长AB＝AE＝x尺，则水深AC＝(x−1)尺，由池宽B′E＝10尺，得CE＝5尺，在RT△ACE中，由勾股定理，得52+(x−1)2＝x2，解得x＝13．即水深12尺，芦苇长13尺，∴所求的概率为P=ACAB =1213．8. 设实数a，b满足log b2<log a2<0，则a a，a b，b a的大小关系是（）A.b a>a b>a aB.b a>a a>a bC.a a>b a>a bD.a a>a b>b a【答案】B【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】先判断0<a<b<1，再利用指数函数、幂函数的单调性，得出结论．【解答】∵实数a，b满足log b2<log a2<0，∴0<a<b<1，∴y＝a x在R上是单调递减函数，故a a>a b，∵y＝x a在(0, +∞)上单调递增，∴b a>a a，则a a，a b，b a的大小关系为b a>a a>a b，9. 某四棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A.2πB.3πC.√32π D.4π【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解答】由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为1的正方形为底面，高为1的四棱锥，做出其直观图所示：则PD＝1，BD=√2，PD⊥面ABCD，PB=√3，所以PC即为该棱锥的外接球的直径，则R=√32，即该棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝3π，10. 已知函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ<π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，则当x∈[0, π]时，不等式g(x)< 1的解集为（）A.[0,π4] B.(7π12,π]C.[0,π4)∪(7π12,π] D.(π4,7π12)【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由图象可知A，根据周期求出ω，将(7π12,2)代入求出φ的值，可得f(x)的解析式，再利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．【解答】由图象可知A＝2，周期34T=7π12−(−π6)，∴T＝π，则ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x+φ)，图象过点(7π12,2)带入可得2sin(2×7π12+φ)＝2，∵−π<φ<π，∴φ=−2π3，∴f(x)＝2sin(2x−2π3)，f(x)的图象向左平移π6个单位，y＝2sin[2(x+π6)−2π3]＝2sin(2x−π3)，∴函数g(x)＝2sin(2x−π3)，不等式g(x)<1，即sin(2x−π3)<12，当x∈[0, π]时，则2x−π3∈[−π3, 5π3]，结合正弦函数图象可得：−π3≤2x−π3<π6或5π6<2x−π3≤5π3，解得0<x≤π4或7π12<x≤π，11. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，过AB作一垂直于BA的平面交平面ADD1A1于直线l，动点M在l上，则直线BM与CD1所成角的余弦值的最大值是（）A.√32B.√22C.12D.1【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【解析】先作出异面直线直线BM与CD1所成角，再结合图象得当A1M最小时，sin∠A1BM取最小值，此时cos∠A1BM取最大值，运算即可得解．【解答】设该正方体的棱长为1，如图，易知与B1C垂直且过AB的平面即为平面ABC1D1，故直线l即为直线AD1，又CD1 // A1B，则直线CD1与直线BM所成角即为∠A1BM（或其补角），连接A1M，显然当A1M最小时，sin∠A1BM取最小值，此时cos∠A1BM取最大值，当点M为AD1的中点时，A1M最小，其值为√22，此时sinA1BM=A1MA1B=√22√2=12，即cos∠A1BM=√32，12. 对于函数：y＝f(x)与y＝g(x)，若存在x0，使f(x0)＝g(−x0)，则称M（x0, f(x0)），N（−x o, g(−x o)）是函数f(x)与g(x)图象的一对“隐对称点已知函数f(x)＝m(x+1)，(x∈R)，g(x)是定义在R上的函数，且满足g(x)+g(2−x)＝0，当：x>1时，g(x)＝x2−4x+5，若函数g(x)与g(x)的图象恰好存在五对“隐对称点”，则实数m的取值范围为若函数f(x)与g(x)的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（）A.(1−√2, 0) B.(2−√2, −1)C.(−∞, 2−2√2)D.(0, 2−√2)【答案】C【考点】函数与方程的综合运用【解析】利用函数f(x)与g(x)图象的一对“隐对称点”的定义，函数的对称和函数的导数解得函数切线方程的切点，由对称和数形结合可得m的范围；【解答】设y＝(x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，则ℎ(x)＝f(−x)＝m(1−x)＝−m(x−1)，由g(x)+g(2−x)＝0，知g(x)的图象关于点(1, 0)对称，且g(1)＝0．当：x>1时，g(x)＝x2−4x+5，若函数g(x)与g(x)的图象恰好存在五对“隐对称点”，由题意知函数ℎ(x)与g(x)的图象恰有5个交点，g(x)的图象如下图所示：设直线y ＝−m(x −1)与曲线y ＝g(x)(x >1)的切点为(x 0, y 0)， 则−m ＝g′(x 0)＝2x 0−4，∴ 切线方程为y −y 0＝(2x 0−4)(x −x 0)，即y −x 02+4x 0−5＝(2x 0−4)(x −x 0)，因为点(1, 0)在切线上，∴ −x 02+4x 0−5＝(2x 0−4)(1−x 0)，解得x 0＝1+√2，或x 0＝1−√2（舍去），此时−m ＝2(1+√2)−4＝2√2−2， 因为f(−x)，g(x)的图象均关于点(1, 0)对称，且f(−1)＝0， 结合图象可知，所以实数−m >2√2−2， 即m <2−2√2， 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．已知向量a →，b →的夹角为l20∘，|a →−2b →|＝2|a →|＝2，则|b →|＝________．【答案】√13−14【考点】向量的概念与向量的模 【解析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，求得|b →|． 【解答】向量a →，b →的夹角为l20∘，|a →−2b →|＝2|a →|＝2， ∴ (a →−2b →)2=4，|a →|＝1． ∴ a →2−4a →⋅b →+4b →2=4，即 1−4⋅1⋅|b →|⋅cos120∘+4|b →|2=4， 求得|b →|=−1+√134，已知x 3(3−1x )n ,(n ∈N ∗)的展开式的系数和为16，则展开式中的常数项为________． 【答案】 −12【考点】二项式定理及相关概念 【解析】由题意利用二项式系数的性质求出n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项． 【解答】已知x 3(3−1x )n ,(n ∈N ∗)的展开式的系数和为2n ＝16，∴ n ＝4，则展开式中的通项公式为 T r+1=C 4r⋅34−r ⋅(−1)r ⋅x 3−r ，令r ＝3，可得常数项为−12，已知中心在原点的椭圆C 的一个焦点F 恰为圆F:x 2+y 2−10√2y =0的圆心，直线l:y ＝3x −2截C 所得弦AB 的中点的横坐标为12，则C 的短轴长为________． 【答案】 10【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】椭圆被直线l:y ＝3x −2截得的弦的中点横坐标为12，可得中点M( 12, −12)．设椭圆标准方程为：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)．设直线l 与椭圆相交于点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．利用平方差法及其a 2−b 2＝50，联立解得a 2，b 2．【解答】椭圆C 的一个焦点F 恰为圆F:x 2+y 2−10√2y =0的圆心，所以c ＝5√2，椭圆被直线l:y ＝3x −2截得的弦的中点横坐标为12，可得中点的纵坐标：3×12−2=−12，所以中点M( 12, −12)． 设椭圆标准方程为：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)．设直线l 与椭圆相交于点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 则y 12a 2+x 12b 2=1，y22a 2+x 22b 2=1，相减可得：(y 1+y 2)(y 1−y 2)a 2+(x 1+x 2)(x 1−x 2)b 2=0，又y 1+y 2＝−1，x 1+x 2＝1，y 1−y 2x1−x 2=a 2b 2=3，又a 2−b 2＝50，联立解得a 2＝75，b 2＝25． ∴ 则C 的短轴长为：10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中B 为钝角，b −√3asinA =bcos2A ，点P 在线段AC 上，且2AP ＝PC ，BP ＝2，则△ABC 面积的最大值为________． 【答案】9√3【考点】 正弦定理 【解析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinB ，由B 为钝角，可得B =2π3，由题意2AP →=PC →，可得3BP →=2BA →+BC →，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式可求|BA →||BC →|≤18，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】由b −√3asinA ＝bcos2A ，可得：sinB −√3sin 2A ＝sinB(1−2sin 2A)， 可得：√3sin 2A ＝2sinBsin 2A ， 可得：sinB =√32，由B 为钝角，可得B =2π3，由2AP ＝PC ，可得2AP →=PC →，∴ 2BP →−2BA →=BC →−BP →，即3BP →=2BA →+BC →，两边平方可得9BP →2＝4BA →2+BC →2+4BA →⋅BC →，即36＝4BA →2+BC →2+4|BA →||BC →|cos∠ABC ＝4BA →2+BC →2−2|BA →||BC →|≥2√4|BA →|2|BC →2|−2|BA →||BC →|＝2|BA →||BC →|，∴ |BA →||BC →|≤18，当且仅当2|BA →|＝|BC →|时取等号， ∴ S △ABC =12BA ⋅BC ⋅sin∠ABC ≤12×18×sin2π3=9√32．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知正项数列{a n }满足a 1＝1，2a n 2−a n−1a n −6a n−12＝0(n ≥2，且n ∈N ∗)设b n ＝log 2a n ．（1）求b 1，b 2b 3；（2）判断数列{b n }是否为等差数列，并说明理由；（3）{b n }的通项公式，并求其前n 项和为S n ． 【答案】a 1＝1，2a n 2−a n−1a n −6a n−12＝0，a n >0， 可得(2a n +3a n−1)(a n −2a n−1)＝0， 则a n ＝2a n−1，数列{a n }为首项为1，公比为2的等比数列， 可得a n ＝2n−1；b n ＝log 2a n ＝n −1， b 1＝0，b 2b 3＝1×2＝2；数列{b n }为等差数列，理由：b n+1−b n ＝n −(n −1)＝1， 则数列{b n }为首项为0，公差为1的等差数列； b n ＝log 2a n ＝log 22n−1＝n −1， 前n 项和为S n =12n(0+n −1)=n 2−n 2．【考点】 数列递推式 数列的求和 【解析】（1）运用因式分解和等比数列的定义，可得a n ，由对数的运算性质可得所求值；（2）运用等差数列的定义，即可得到结论；（3）由对数的运算性质可得b n ，再由等差数列的求和公式，可得所求和． 【解答】a 1＝1，2a n 2−a n−1a n −6a n−12＝0，a n >0， 可得(2a n +3a n−1)(a n −2a n−1)＝0， 则a n ＝2a n−1，数列{a n }为首项为1，公比为2的等比数列， 可得a n ＝2n−1；b n ＝log 2a n ＝n −1， b 1＝0，b 2b 3＝1×2＝2；数列{b n }为等差数列，理由：b n+1−b n ＝n −(n −1)＝1， 则数列{b n }为首项为0，公差为1的等差数列； b n ＝log 2a n ＝log 22n−1＝n −1， 前n 项和为S n =12n(0+n −1)=n 2−n 2．在五边形ABCDE 中，CD // BE ，AB ＝AE =√2，BA ⊥AE ，BC ⊥CD ，BE ＝2BC ＝2CD ，现将AABE 沿着BE 折起，使得点A 到达点P 的位置，且使平面PBE ⊥平面BCDE ，记线段PE 的中点为M ．（1）求证：MD // 平面PBC ；（2）求三棱锥M −PCD 的体积． 【答案】 证明：如图，取PB 中点N ，连接MN ，CN ， 则MN 为△PBE 的中位线， ∴ MN // BE ，且MN =12BE ，又CD // BE ，BE ＝2CD ， ∴ MN // CD ，且MN ＝CD ， ∴ 四边形CDMN 为平行四边形， ∴ MD // CN ，∵ MD 平面PBC ，CN ⊂平面PBC ， ∴ MD // 平面PBC ； ∵ M 为PE 的中点，∴ 点P 、E 到平面MCD 的距离相等，∴ V M−PCD ＝V P−MCD ＝V E−MCD ＝V M−CDE ， 取BE 的中点O ，连接PO ， 则由PB ＝PE ，得OP ⊥BE ，又平面PBE ⊥平面BCDE ，平面PBE ∩平面BCDE ＝BE ， ∴ OP ⊥平面BCDE ，即OP的长为点P到平面CDE的距离，由AB＝AE=√2，AB⊥AE，得BE＝2，∴OP=12BE=1，∴点M到平面CDE的距离d=12OP=12，又S△CDE=12CD×BC=12×1×1=12，∴V M−PCD=V M−CDE=13S△CDE×d=13×12×12=112，故三棱锥M−PCD的体积为112．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行【解析】（1）取PB中点N，去证MN，CD平行且相等，得到CDMN为平行四边形，进而得到MD，NC平行，得证；（2）把求M−PCD的体积转化为求M−ECD的体积，先取BE中点O，证得PO⊥平面BCDE，以下的求解不难．【解答】证明：如图，取PB中点N，连接MN，CN，则MN为△PBE的中位线，∴MN // BE，且MN=12BE，又CD // BE，BE＝2CD，∴MN // CD，且MN＝CD，∴四边形CDMN为平行四边形，∴MD // CN，∵MD平面PBC，CN⊂平面PBC，∴MD // 平面PBC；∵M为PE的中点，∴点P、E到平面MCD的距离相等，∴V M−PCD＝V P−MCD＝V E−MCD＝V M−CDE，取BE的中点O，连接PO，则由PB＝PE，得OP⊥BE，又平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE＝BE，∴OP⊥平面BCDE，即OP的长为点P到平面CDE的距离，由AB＝AE=√2，AB⊥AE，得BE＝2，∴OP=12BE=1，∴点M到平面CDE的距离d=12OP=12，又S△CDE=12CD×BC=12×1×1=12，∴V M−PCD=V M−CDE=13S△CDE×d=13×12×12=112，故三棱锥M−PCD的体积为112．柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更近一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某镇团委对春节期间该镇燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：（1）据统计表明，x与y之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明；（若|r|> 0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系，r精确到0.01）（2）试用最小二乘法求出y关于工的线性回归方程（系数用分数表示），并预测：当x ＝25时，y的值；（精确到个位）（3）若在春节所在的那个月内，雾霾的天数y落在区间(y−2x, y+2s)的右侧（其中s 为标准差），则认为雾霾将对该镇人们的生产、生活造成较大的影响，镇政府将根据该结果出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例，否则将暂不采取相应措施．现巳知2019年2月该镇雾霾天数为9，问：该镇是否需要出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例，试说明理由．附：参考数据：∑5i=1x i y i＝537，∑5i=1x i2=1519，√(∑−i=15xi25x5)(∑−i=15yi25y2)≈27.2，s=√15∑5i=1(y i−y)2≈1.4．参考公式：回归方程y ^=b ^x +a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^=∑−i=1n xiyi nxy∑−i=1n xi 2nx 2，a ^=y −b ^x ，相关系数r =∑i=1 xiyi √(∑−i=1n xi 2nx )(∑ i=1(y i −ny )． 【答案】由题意，计算x =15×(11+15+17+20+22)＝17，y =15×(4+5+6+7+8)＝6，所以相关系数r =5i=1i i √(∑ 5i=1x i −5x 2)(∑ 5i=1y i −5y 2)=537−5×17×627.2≈0.99>0.75，所以可以认为y 与x 有较强的线性关系；由（1）知，计算b ^=∑−i=1n xiyi nxy ∑−i=1n xi 2nx 2=537−5×17×61519−5×172=2774，a ^=y −b ^x =6−2774×17=−1574，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^=2774x −1574；当x ＝25时，y ^=2774×25−1574≈9（天）；由题意知s =√15∑ 5i=1(y i −y)2≈1.4，所以(y −2s, y +2s)＝(3.2, 8.8)； 且9>8.8，所以该镇需要出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例．【考点】求解线性回归方程 【解析】（1）由题意计算x 、y ，求出相关系数r ，即可得出y 与x 有较强的线性关系； （2）计算回归系数，写出线性回归方程，利用方程计算x ＝25时y ^的值； （3）由题意知s 的值，再求出(y −2s, y +2s)，即可得出结论． 【解答】由题意，计算x =15×(11+15+17+20+22)＝17，y =15×(4+5+6+7+8)＝6，所以相关系数r =5i=1i i √(∑ 5i=1x i −5x 2)(∑ 5i=1y i −5y 2)=537−5×17×627.2≈0.99>0.75，所以可以认为y 与x 有较强的线性关系；由（1）知，计算b ^=∑−i=1n xiyi nxy ∑−i=1n xi 2nx2=537−5×17×61519−5×172=2774， a ^=y −b ^x =6−2774×17=−1574，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^=2774x −1574；当x ＝25时，y ^=2774×25−1574≈9（天）；由题意知s =√15∑ 5i=1(y i −y)2≈1.4，所以(y −2s, y +2s)＝(3.2, 8.8)；且9>8.8，所以该镇需要出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例．已知抛物线C:x 2＝2py(p >0)，过其焦点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于两点，且线段的中点的横坐标为2．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过抛物线C 上非顶点的任一点M 作抛物线的切线l ′与直线y ＝−1交于点N ，问：在y 轴上是否存在定点P ，使得MP →⋅(MP →−MN →)=0？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】设A ，B 两点坐标为(x A , y A )，(x B , y B )，AB 的中点横坐标为x 0＝2，即x A 2＝2py A ，x A 2＝2py A ，两式相减得(x A +x B )(x A −x B )＝2p(y A −y B )，所以k AB =y A −yBx A−x B=x A +x B 2p=x 0p=1，所以p ＝2，即抛物线的方程为x 2＝4y ．设M(x 0, y 0)，则x 02＝2py 0， 由y =x 24，求导y′=x2，所以直线l′的方程为y −y 0=x 02(x −x 0)，令y ＝−1，得x =x 02−42x 0，则N(x 02−42x 0, −1)，假设存在点P ，使得MP →⋅(MP →−MN →)=0，即MP →⋅NP →=0，设P(0, t)，因此x 02−42x×x 0+(x 024−t)(−1−t)=0， 即(1−t)(x 024−t −2)=0，所以t ＝1，即存在定点P(0, 1)，使得MP →⋅(MP →−MN →)=0．【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】（1）利用点差法即可求得p 的值，求得抛物线方程；（2）利用导数求得M 的切线方程斜率及切线方程，求得N 点坐标，根据向量的坐标运算，求得P 点坐标． 【解答】设A ，B 两点坐标为(x A , y A )，(x B , y B )，AB 的中点横坐标为x 0＝2，即x A 2＝2py A ，x A 2＝2py A ，两式相减得(x A +x B )(x A −x B )＝2p(y A −y B )，所以k AB =y A −yBx A−x B=x A +x B 2p=x 0p=1，所以p ＝2，即抛物线的方程为x 2＝4y ．设M(x 0, y 0)，则x 02＝2py 0， 由y =x 24，求导y′=x2，所以直线l′的方程为y −y 0=x 02(x −x 0)，令y ＝−1，得x =x 02−42x 0，则N(x 02−42x 0, −1)，假设存在点P ，使得MP →⋅(MP →−MN →)=0，即MP →⋅NP →=0，设P(0, t)，因此x 02−42x×x 0+(x 024−t)(−1−t)=0， 即(1−t)(x 024−t −2)=0，所以t ＝1，即存在定点P(0, 1)，使得MP →⋅(MP →−MN →)=0．已知函数f(x)＝1−axlnx −ax(a ≠0)． （1）试讨论f(x)的单调性与极值；（2）当f(x)>0时，设函数g(x)＝x 2−3x +3+xlnx ，若∀x 1∈(0, +∞)，∀x 2∈(0, +∞)，使不等式g(x 1)+f(x 2)≥4成立，求实数a 的取值范围． 【答案】函数f(x)＝1−axlnx −ax(a ≠0)，x ∈(0, +∞)． f′(x)＝−a(lnx +2)．①当a <0时，可得：x ∈(0, 1e 2)，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减； x ∈(1e 2, +∞)，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递增． ∴ x =1e 2时，函数f(x)取得极小值，f(1e 2)＝1+ae ．②当a >0时，可得：x ∈(0, 1e 2)，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增； x ∈(1e 2, +∞)，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减． ∴ x =1e 2时，函数f(x)取得极大值，f(1e 2)＝1+ae 2． 由题意可知：g(x)min −4≥[−f(x)]max ＝−f(x)min ． 由（1）可知：a >0时，−f(x)min ＝−f(1e 2)＝−1−ae 2．由g(x)＝x 2−3x +3+xlnx ，x ∈(0, +∞)． g′(x)＝2x −2+lnx ．则g(x)在x ∈(0, +∞)上单调递增．又g′(1)＝0，∴ 函数g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增． ∴ x ＝1时，函数g(x)取得极小值即最小值，g(1)＝1． ∴ −3≥−1−ae 2，解得a ≥2e 2． ∴ 实数a 的取值范围是[2e 2, +∞)． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）函数f(x)＝1−axlnx −ax(a ≠0)，x ∈(0, +∞)．f′(x)＝−a(lnx +2)．对a 分类讨论即可得出单调性．（2）由题意可知：g(x)min −4≥[−f(x)]max ＝−f(x)min ．由（1）可知：a >0时，−f(x)min ＝−f(1e 2)．由g(x)＝x 2−3x +3+xlnx ，x ∈(0, +∞)．利用导数研究其单调性即可得出极小值，进而得出结论． 【解答】函数f(x)＝1−axlnx −ax(a ≠0)，x ∈(0, +∞)． f′(x)＝−a(lnx +2)．①当a <0时，可得：x ∈(0, 1e 2)，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减； x ∈(1e 2, +∞)，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递增．∴ x =1e 2时，函数f(x)取得极小值，f(1e 2)＝1+ae 2．②当a >0时，可得：x ∈(0, 1e 2)，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增； x ∈(1e 2, +∞)，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减． ∴ x =1e 2时，函数f(x)取得极大值，f(1e 2)＝1+ae ． 由题意可知：g(x)min −4≥[−f(x)]max ＝−f(x)min ． 由（1）可知：a >0时，−f(x)min ＝−f(1e 2)＝−1−ae 2．由g(x)＝x 2−3x +3+xlnx ，x ∈(0, +∞)． g′(x)＝2x −2+lnx ．则g(x)在x ∈(0, +∞)上单调递增．又g′(1)＝0，∴ 函数g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增． ∴ x ＝1时，函数g(x)取得极小值即最小值，g(1)＝1． ∴ −3≥−1−ae 2，解得a ≥2e 2．∴ 实数a 的取值范围是[2e 2, +∞)．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−√22t +1,y =√22t （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2√2cos(θ+π4)．（1）求直线l 的普通方程与圆C 在直角坐标系下的标准方程；（2）设圆C 与直线l 交于两点，若P 点的直角坐标为(1, 0)，求PA 2+PB 2的值． 【答案】由{x =−√22t +1,y =√22t（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程为x +y −1＝0．由ρ＝2√2cos(θ+π4)，得ρ2＝2ρcosθ−2ρsinθ，∴ x 2+y 2−2x +2y ＝0，即圆C 在直角坐标系下的标准方程为(x −1)2+(y +1)2＝2； 点P(1, 0)在直线l 上且在圆C 内，将直线l 的参数方程代入x 2+y 2−2x +2y ＝0， 得t 2+√2t −1=0．设A ，B 所对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=−√2，t 1t 2＝−1．∴ |PA|+|PB|＝|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√6，|PA||PB|＝|t 1t 2|＝1． ∴ PA 2+PB 2＝(|PA|+|PB|)2−2|PA||PB|＝6−2＝4． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）直接把直线参数方程中的参数t 消去，可得直线的普通方程，把ρ＝2√2cos(θ+π4)右边展开两角和的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化可得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入x 2+y 2−2x +2y ＝0，得到关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t 的几何意义求解． 【解答】由{x =−√22t +1,y =√22t（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程为x +y −1＝0．由ρ＝2√2cos(θ+π4)，得ρ2＝2ρcosθ−2ρsinθ，∴ x 2+y 2−2x +2y ＝0，即圆C 在直角坐标系下的标准方程为(x −1)2+(y +1)2＝2； 点P(1, 0)在直线l 上且在圆C 内，将直线l 的参数方程代入x 2+y 2−2x +2y ＝0， 得t 2+√2t −1=0．设A ，B 所对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=−√2，t 1t 2＝−1．∴ |PA|+|PB|＝|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√6，|PA||PB|＝|t 1t 2|＝1． ∴ PA 2+PB 2＝(|PA|+|PB|)2−2|PA||PB|＝6−2＝4． [选修4一5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x +1|−2|x −3|． （1）解不等式f(x)<6；（2）已知a ，b ，c 都是正数，记f(x)的最大值为t ，若a +b +2c ＝t ，求证：1a+c +1b+c≥47． 【答案】f(x)＝|2x +1|−2|x −3|={7,x >34x −5,−12≤x ≤3−7,x <−12 ． ∵ f(x)<6，∴ {−12≤x ≤34x −5<6或x <−12，∴ x <114，∴ 不等式的解集为{x|x <114}；由（1）知，当x ≥3时，f(x)的最大值为t ＝7， ∴ a +b +2c ＝t ＝7．∴ 1a+c +1b+c =17[(a +c)+(b +c)]⋅(1a+c +1b+c ) =17(2+b +c a +c +a +c b +c )≥17[2+2√b +c a +c ⋅a +c b +c ] =47，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴ 1a+c +1b+c ≥47．【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）将f(x)写为分段函数的形式，根据f(x)<6，然后分别解不等式即可； （2）由（1）可得a +b +2c ＝t ＝7，然后根据1a+c +1b+c =17[(a +c)+(b +c)]⋅(1a+c +1b+c )利用基本不等式求出最小值即可得证． 【解答】f(x)＝|2x +1|−2|x −3|={7,x >34x −5,−12≤x ≤3−7,x <−12． ∵ f(x)<6，∴ {−12≤x ≤34x −5<6或x <−12，∴ x <114，∴ 不等式的解集为{x|x <114}；由（1）知，当x ≥3时，f(x)的最大值为t ＝7， ∴ a +b +2c ＝t ＝7．∴ 1a+c +1b+c =17[(a +c)+(b +c)]⋅(1a+c +1b+c ) =17(2+b +c a +c +a +c b +c )≥17[2+2√b +c a +c ⋅a +c b +c]=47，当且仅当a＝b时取等号，∴1a+c +1b+c≥47．。

2019届高三文科数学测试题(二)附答案2019届高三理科数学测试卷（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合(){}2log 2A x y x ==-，若全集U A =，{}12B x x =<<，则U B =（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞2．设i 是虚数单位，若复数()5i12ia a +∈-R 是纯虚数，则a =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．23．若()0,πα∈，()2sin πcos 3αα-+=，则sin cos αα-的值为（ ） A ．23B ．23-C ．43D ．43-4．设平面向量()3,1=a ，(),3x =-b ，⊥a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．3x =是⊥a b 的充分不必要条件B ．-a b 与a 的夹角为π3 C ．12=bD ．-a b 与b 的夹角为π65．已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的离心率为3，且经过点()2,2，则双曲线的实轴长为（ ） A ．12B ．1C ．22D ．26．若321n xdx =+⎰，则二项式22nx x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．45256B ．45256-C ．45128D ．45128-7．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b 分别为10，4，则输出的a =（ ）A ．0B ．14C ．4D ．28．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163B ．203C ．169D ．209 9．已知0a >，1a ≠，()2x f x x a =-，当()1,1x ∈-时，均有()12f x <则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦B ．(]10,1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为（ ） A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元11．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象经过点()0,1B -，在区间ππ,183⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，且()f x 的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合，当1t ，217π2π,123t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12t t ≠时，()()12f t f t =，则()12f t t +=（ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．312．已知点P 是曲线sin ln y x x =+上任意一点，记直线OP （O 为坐标原点）的斜率为k ，则（ ）A ．存在点P 使得1k ≥B ．对于任意点P 都有1k <C ．对于任意点P 都有0k <D ．至少存在两个点P 使得1k =-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量()1,x y =-a ，1≤a ，则事件“y x ≥”的概率为__________．14．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上任意一点，且满足32NF MN =，则NMF ∠=_________． 15．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，AB AD ⊥，AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．16．在三棱锥A BCD -中，底面为Rt △，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11n n a S +=+， （1）求{}n a 的通项公式；（2）记()21log n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12111...2nT T T +++<．18．（12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=︒，BE BC =，F 为CE 的中点． （1）求证：平面BDF ⊥平面ACE ；（2）2AE EB =，在线段AE 上是否存在一点P ，使得二面角P DB F --10请说明理由．21．（12分）已知()()()ln f x x m mx m =+-∈R ， （1）求()f x 的单调区间；（2）设1m >，1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，求证：120x x +<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数)，在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C上的点1,2M ⎛ ⎝⎭对应的参数π3ϕ=，射线π3θ=与曲线2C 交于点π1,3D ⎛⎫⎪⎝⎭， （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；（2）若点A ，B 在曲线1C 上的两个点且OA OB ⊥，求2211OAOB+的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()34f x x x =-++． （1）求()()4f x f ≥的解集；（2）设函数()()()3g x k x k =-∈R ，若()()f x g x >对x ∀∈R 成立，求实数k 的取值范围．高三理科数学（二）答 案一、选择题． 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】B 二、填空题．13．【答案】1142π-14．【答案】π615．【答案】3 16．【答案】43三、解答题． 17．【答案】（1）12n n a -=；（2）见解析．【解析】（1）11n n a S +=+，2n ≥，11n n a S -=+，所以()122n n a a n +=≥， 又11a =，所以22a =，212a a =符合上式，所以{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列．所以12n n a -=． （2）由（1）知()()1212log log 2221n n n n n b a a n -+=⋅=⨯=-，所以()21212n n T n n +-==， 所以()22212111111111......1...1212131n T T T n n n+++=+++≤++++⋅⋅- 11111223=+-+-111...221n n n++-=-<-．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵平面ABCD ⊥平面ABE ，BC AB ⊥，平面ABCD 平面ABE AB =，∴BC ⊥平面ABE ，又∵AE ⊂平面ABE ， ∴BC AE ⊥，又∵AE BE ⊥，BCBE B =，∴AE ⊥平面BCE ，BF ⊂平面BCE ，即AE BF ⊥， 在BCE △中，BE CB =，F 为CE 的中点， ∴BF CE ⊥，AE CE E =，∴BF ⊥平面ACE ， 又BF ⊂平面BDF ，∴平面BDF ⊥平面ACE ． （2）如图建立空间直角坐标系，设1AE =，则()2,0,0B ，()0,1,2D ，()2,0,2C ，()1,0,1F ，()0,0,0E ，设()0,,0P a ，()2,1,2BD =-，()1,0,1BF =-，()2,,0PB a =-，()2,0,2EC =，因为0EC BD ⋅=，0EC BF ⋅=，所以EC ⊥平面BDF ，故()2,0,2EC =为平面BDF 的一个法向量， 设⊥n 平面BDP ，且(),,x y z =n ，则由BD ⊥n 得220x y z -++=， 由PB ⊥n 得20x ay -=，从而(),2,1a a =-n ，cos ,EC EC EC ⋅<>==n n n，∴cos ,10EC <>=n ，解得0a =或1a =，即P 在E 处或A 处． 19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）依题意可知， 4.5x =，21y =，88i ix y x yr -==∑940.924 4.58 5.57===≈⨯⨯，因为[]0.920.75,1∈，所以变量x ，y 线性相关性很强．（2）818222188508 4.521ˆ 2.242048 4.58i ii i i x yx ybx x===⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑， ˆˆ21 2.24 4.510.92ay bx =-=-⨯=， 即y 关于x 的回归方程为ˆ 2.2410.92yx =+， 当10x =，ˆ 2.241010.9233.32y=⨯+=， 所以预计2018年6月份的二手房成交量为33． （3）二人所获奖金总额X 的所有可能取值有0，3，6，9，12千元， ()1110224P X ==⨯=，()11132233P X ==⨯⨯=，()1111562336218P X ==⨯+⨯⨯=，()11192369P X ==⨯⨯=，()111126636P X ==⨯=， 所以奖金总额的分布列如下表：()03691244318936E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元．20．【答案】（1）2212x y +=；（2）．【解析】（1，∴22b a=， ∵离心率为2，∴2c a =，又222a b c =+，解得a =1c =，1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）①当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0， 此时4MN =，PQ =，PMQN S =四边形②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()()10y k x k =-≠，联立24y x =， 得()()22222400k x k x k ∆-++=>， 设M ，N 的横坐标分别为M x ，N x ，则242M N x x k +=+，∴244M NMN x x p k =++=+， 由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程为()()110y x k k =--≠，联立椭圆C 的方程，消去y，得()()222242200k x x k ∆+-+-=>，设P ，Q 的横坐标为P x ，Q x ，则242P Q x x k+=+，22222P Q k x x k -=+， ∴)2212k PQ k +==+，)()22221122PMQNk S MN PQ k k +=⋅=+四边形，令()211k t t +=>，则()()2222111111PMQNS t t t t ⎫===+>⎪-+--⎭四边形 综上()minPMQNS =四边形21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵()()ln f x x m mx =+-，∴()1f x m x m'=-+， 当0m ≤时，∴()10f x m x m'=->+， 即()f x 的单调递增区间为(),m -+∞，无减区间；当0m >时，∴()11m x m m f x m x m x m⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'=-=++， 由()0f x '=，得()1,x m m m =-+∈-+∞，1,x m m m ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，1,x m m ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴当0m >时，()f x 的单调递增区间为1,m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,m m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭．（2）由（1）知()f x 的单调递增区间为1,m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,m m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭，不妨设12m x x -<<，由条件知()()1122ln ln x m mx x m mx +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，即1212e e mxmx x m x m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 构造函数()e mx g x x =-，()e mx g x x =-与y m =图象两交点的横坐标为1x ，2x ，由()e 10mx g x m '=-=可得ln 0mx m-=<， 而()2ln 1m m m >>，∴()ln ,mm m-∈-+∞， 知()e mx g x x =-在区间ln ,m m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间ln ,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， 可知12ln mm x x m--<<< 欲证120x x +<，只需证122ln m x x m +<-，即证212ln ln ,m m x x m m ⎛⎫<--∈-+∞ ⎪⎝⎭， 考虑到()g x 在ln ,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增，只需证()212ln m g x g x m -⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 由()()21g x g x =知，只需证()112ln m g x g x m -⎛⎫<-⎪⎝⎭， 令()()2ln 2ln 2ln e 2e mx m mx m m h x g x g x x m m ---⎛⎫=--=--- ⎪⎝⎭， 则()()2ln 2ln e e 2ee 222220e m mxm mxmx mx h x m m m ---⎛⎫'=---=+-≥== ⎪⎝⎭，所以()h x 为增函数，又ln 0m h m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合1ln m m x m --<<知()10h x <， 即()112ln m g x g x m -⎛⎫<-⎪⎝⎭成立，即120x x +<成立． 22．【答案】（1）见解析；（2）54．【解析】（1）将M ⎛ ⎝⎭及对应的参数π3ϕ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩，得π1cos 3πsin 3a b ⎧=⎪⎪=，即21a b =⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，ϕ为参数，即2214x y +=．设圆2C 的半径为R ，由题意可得，圆2C 的极坐标方程为2cos R ρθ= （或()222x R y R -+=），将点π1,3D ⎛⎫⎪⎝⎭代入2cos R ρθ=，得π12cos 3R =，即1R =，所以曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=即()2211x y -+=．（2）设()1,A ρθ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线1C 上，所以222211cos sin 14ρθρθ+=，222222sin cos 14ρθρθ+=，所以22222222121111cos sin 5sin cos 444OAOBθθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 23．【答案】（1）{5x x ≤-或}4x ≥；（2）12k -<≤．【解析】（1）()34f x x x =-++，∴()()4f x f ≥，即349x x -++≥，∴4349x x x ≤-⎧⎨---≥⎩①或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩②或3349x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③，解不等式①：5x ≤-；②：无解；③：4x ≥， 所以()()4f x f ≥的解集为{5x x ≤-或}4x ≥．（2）()()f x g x >即()34f x x x =-++的图象恒在()()3g x k x =-，k ∈R 图象的上方，可以作出()21,4347,4321,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩的图象，而()()3g x k x =-，k ∈R 图象为恒过定点()3,0P ，且斜率k 变化的一条直线， 作出函数()y f x =，()y g x =图象如图，其中2PB k =，可得()4,7A -，∴1PA k =-，由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方， 实数k 的取值范围为12k -<≤．。

湖南省怀化市2019 届高三数学统一模拟考试试题（二）理本试卷共 4 页 ,23 题 ( 含选考题 ) 。

全卷满分150 分。

考试用时120 分钟。

注意事项 :1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答 : 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 填空题和解答题的作答: 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4. 选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。

5.考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看考题视频讲解。

第 I 卷一、选择题 : 本题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知 i 为虚数单位，a, b R，复数1i i a bi ，则 a biA. 12 i 1 2 i2 i2 1 i 2 1 iB. C. D.5 5 5 5 5 5 5 52. 已知集合 A x 2 x 3 , B x log(2x2 2x 2) 0，则A B =A. 2, 1B. [ 2, 1)C. (1,3]D. 0,2,33.某地的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改变.教育督导一年后 . 分别随机抽查了初中 ( 用 A 表示 ) 与小学( 用 B表示 ) 各 10 所学校 . 得到相关指标的综合评价得分( 百分制 ) 的茎叶图如图所示 . 则从茎叶图可得出正确的信息为 (80 分及以上为优秀)①初中得分与小学得分的优秀率相同②初中得分与小学得分的中位数相同③初中得分的方差比小学得分的方差大④初中得分与小学得分的平均分相同A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④4. 等差数列 a 的前 n 项和为S n，且a3a7 22, S11 143 ，若 S n 195 ，则 n 的最小值为nA. 13B. 14C. 15D.165. 函数 f ( x) ln x (cos x 1) sin x 的部分图象大致是6. 已知抛物线 C：x2 1 y 的焦点为F，点P为抛物线C上任意一点，过P 点作抛物线的切线交 y2轴于点 Q，. 若2 OQ PF (O为坐标原点)，则点P的横坐标为2 2 2 1A. B. C'. D.4 4 4 47.某组合体的三视图如图所示 . 则该组合体的体积为A. 4B. 84 8C. D.3 38. 如图所示，在边长为 2 的菱形 ABCD中，BAD 120 ，点E，F分别为对角线BD上两个三等分点，则 AE CF4 4 28 28A. B. C. D.3 3 3 310. 已知点 G在△ ABC内，且满足2GA 3GB 4GC 0 ，现在△ABC内随机取一点，此点取自?GAB、?GAC、?GBC的概率分别记为P1、 P2、 P3，则A.P =P=PB. P3 >P>P C. P1> P >P3D. P >P >P1 2 3 2 1 2 2 1 311. 已知双曲线 C：x2y21(a 0, b 0) ，O为坐标原点，F:为C的右焦点，过点 F 作倾斜角为a2 b2135 的直线与C在第一象限的渐近线及y 轴的交点分别为M，N。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学(二)本试卷共4页,23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。

5.考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看考题视频讲解。

第I 卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 为虚数单位，,a b R ∈，复数12i i a bi i+-=+-，则a bi -= A. 1255i - B. 1255i + C. 2155i - D. 2155i + 2.已知集合{}{}2(22)223,log 0x x A x x B x --=-≤≤=>，则A B =A. {}2,1--B. [2,1)--C. (1,3]D. {}0,2,33. 某地的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改变.教育督导一年后.分别随机抽查了初中(用A 表示)与小学(用B 表示)各10所学校.得到相关指标的综合评价得分(百分制)的茎叶图如图所示.则从茎叶图可得出正确的信息为(80分及以上为优秀)①初中得分与小学得分的优秀率相同②初中得分与小学得分的中位数相同③初中得分的方差比小学得分的方差大④初中得分与小学得分的平均分相同A.①②B.①③C.②④D.③④4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且371122,143a a S +==，若195n S >，则n 的最小值为A. 13B. 14C. 15D.165.函数()ln (cos 1)sin f x x x x =++的部分图象大致是6.已知抛物线C ：212x y =的焦点为F ，点P 为抛物线C 上任意一点，过P 点作抛物线的切线交y 轴于点Q ，.若2OQ PF =(O 为坐标原点)，则点P 的横坐标为A. 24B. 24- C'. 24± D. 14± 7.某组合体的三视图如图所示.则该组合体的体积为A. 4B. 8C. 43D. 838.如图所示，在边长为2的菱形ABCD 中，120BAD ︒∠=，点E ，F 分别为对角线BD 上两个三等分点，则AE CF ⋅=A. 43-B. 43C. 283-D. 28310.已知点G 在△ABC 内，且满足2340GA GB GC ++=，现在△ABC 内随机取一点，此点取自∆GAB 、∆GAC 、∆GBC 的概率分别记为P 1、P 2、P 3，则A.P 1=P 2=P 3B. P 3>P 2>P 1C. P 1> P 2 >P 3D. P 2>P 1>P 311.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，O 为坐标原点，F:为C 的右焦点，过点F 作倾斜角为135︒的直线与C 在第一象限的渐近线及y 轴的交点分别为M ，N。

湖南省怀化市高三数学第二次模拟考试统一检测试题 文第一部分（选择题）一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共计45分Q在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上Q）1Q设i 是虚数单位，复数i-21的实部为 A Q51 B Q51-C Q52D Q52-2Q若R a ∈，则"2"=a 是"2"=a 的A Q充分而不必要条件 B Q必要而不充分条件C Q充要条件 D Q既不充分也不必要条件3Q函数)1(log 9)(22-+-=x x x f 的定义域为A Q(]3,1 B Q[]3,1 C Q[)+∞,3 D Q[]3,3- 4Q将函数x x f 2sin 2)(=的图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 的解析式为A Q1)42sin(2)(-+=πx x g B Q12cos 2)(-=x x gC Q1)42sin(2)(--=πx x gD Q12cos 2)(+=x x g5Q已知集合}1,,),{(},1,,),{(22=+∈==+∈=y x R y x y x B y x R y x y x A 且且，则B A 的元素个数为 A Q4B Q3C Q 2D Q16Q一组数据的平均数是2Q8，方差是3Q6，若将这组数据中的每一数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 A Q57Q2 ; 3Q6B Q57Q2; 56Q4C Q62Q8; 63Q6D Q62Q8; 3Q67Q已知数列}{n a 中，1273==a a ，，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a 21为等差数列，则11a 等于A Q21 B Q32C Q1 D Q2 8Q如图，一个空间几何体的正视图，侧视图的面积都是23，且是一个内角为3π的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为A Q32 B Q34C Q4 D Q89Q已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且)()4(x f x f =-，当[]2,0∈x 时，x x x f 2)(2+=，则)2011(f 的值为A Q8 B Q3 C QD Q第二部分（非选择题）二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分Q把答案填在答题卡上的相应横线上Q（一）选作题（请考生在9、10二题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）10Q直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线⎩⎨⎧-=+=3sin cos 4:1θθy x C 和 010sin 3cos 4:2=+-θρθρC 的图象上，则AB 的最小值为 Q11Q用0Q618法确定试点，经过4次试验后，存优范围缩小为原来的 Q（二）必做题（11～16题）12Q已知向量→→b a ,满足1=→a ，→b =2，→→b a 与的夹角为3π，则=+→→b a Q13Q已知双曲线C ：1422=-my x )0(>m 的离心率为2，则该双曲线渐近线的斜率是 Q14Q 某算法的程序框图如图所示，若输出的结果为1，则输入的实数x 的值是 Q15Q在可行域⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥203y x x x y 内任取一点P （x ，y ），则点P 满足122≤+y x 的概率是 Q16Q如右图，对于大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的分裂，仿此，25的分裂中最大的数是 ， 若3m 的分裂中最小的数是211，则m 的值为 Q三、解答题（本大题共6小题，共75分，答题时应写出文字说明、证明过程或和演算步骤） 17Q（本小题12分）在锐角三角形中，c b a ,,分别为角A ，B ，C 的对边，向量)2cos 2,sin 2(B B m -=→，)1,sin 1(-+=→B n ，且→m ⊥→n Q（1） 求角B 的大小； （2） 若3=b ，且三角形的面积为233，求c a +的值Q18Q（本小题12分）一次数学考试后，对高三文理科学生进行抽样调查, 调查其对本次考试的结果满意或不满意，现随机抽取100名学生的数据如下表所示：满意 不满意 总计 文科 22 18 40 理科 48 12 60 总计7030100（1） 根据数据，有多大的把握认为对考试的结果满意与科别有关；（2） 用分层抽样方法在感觉不满意的学生中随机抽取5名，理科生应抽取几人； （3） 在（2）抽取的5名学生中任取2名，求文理科各有一名的概率Q（ ))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-= 其中d c b a n +++= ）)(2k K P ≥0Q 1000Q0500Q0250Q0100Q001k2Q 7063Q8415Q024 6Q63510Q82819Q（本小题12分）如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，∠PAD=2π，且PA=AD ，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点Q（1）求证：PC ⊥BD（2）求直线EF 与面PAD 所成角的余弦值Q20Q（本小题13分）设一家公司开业后每年的利润为n a 万元，前n 年的总利润为n S 万元，现知第一年的利润为2万元，且点),(1+n n S S 在函数12)(++=n x x f （)*∈N n 图象上Q（1） 求证：数列{})1(1>+n a n 是等比数列； （2） 若11=b ，)55(log )55(log 122222++=+n n n a a b )2(≥n ，求数列}{n b 的前n 项和nT （)*∈N n Q21Q（本小题13分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率22=e ，左右焦点分别为21,F F ，点P )3,2(，点2F 在线段1PF 的中垂线上Q（1） 求椭圆C 的方程；（2） 设直线l :m kx y +=与椭圆C 交于M ，N 两点，直线N F M F 22与的倾斜角分别为πβαβα=+且,,，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标Q22Q（本小题13分）已知函数)(x ϕxa=，a 为常数，且a >0 (1) 若)()1ln()(x x x f ϕ+-=，且a =6，求函数)(x f 的单调区间；(2) 若)()1ln()(x x x g ϕ+-=，且对任意(]2121,3,1,x x x x ≠∈，都有0)()(1212<--x x x g x g ，求a 的取值范围Q怀化市年高三第二次模拟考试统一检测试卷文科数学参考答案及评分标准三、解答题(共6小题)17解：（1）由⊥得： 2sinB(1+sinB)—(2—cos2B)=0化简得 2sinB —1=0 所以 sinB=21--------------------4分 因为B 为锐角三角形的内角所以B=6π--------------------6分 （2）由233=S 得: 2336sin 21=πac 化简得36=ac ----------8分 由余弦定理有: ac b c a B 2cos 222-+= 所以31232)(232--+=ac c a ----10分 所以31221)(2+=+c a ------------------------11分 所以 323+=+c a --------------12分18解：(1) 由题意有: 635.6143.730706040)48181222(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K -----------3分 所以有99%的把握认为对考试的结果满意与科别有关-----------------4分 (2) 感觉不满意的学生共有30人，抽取的比例为61305= -------------6分 所以理科生应抽取 26112=⨯人--------------------8分 （3） 记抽取的3名文科生为1A ，2A ，3A ，2名理科生1B ，2B ，则任取2名的基本事件如下：),,(),,(),,(113121B A A A A A ),,(),,(),,(123221B A A A B A),(),,(2123B B B A ，),(),,(1322B A B A 共10个-----------------10分文理科各有一名的有：),(),,(),,(),,(),,(),,(231322122111B A B A B A B A B A B A 共6个------------11分 所以所求概率为 53106==P ----------------------12分19解：（1）因面PAD ⊥面ABCD ，且PA ⊥AD ， 所以PA ⊥面ABCD ，所以PA ⊥BD-----------------------------3分 因为底面ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC又因PA 和AC 是面PAC 上两相交直线，所以BD ⊥面PAC ，所以PC ⊥BD -------6分()2因为面PAD ⊥面ABCD ，且CD ⊥AD ，所以CD ⊥面PAD ，故EF 在面PAD 上的射影是ED ，所以∠FED 为所求----------8分 设PA=AD=b ，在直角三角形FDE 中， DF=21CD=b 21，DE=b b b AD EA 25412222=+=+ 所以b b b DF DE EF 2641452222=+=+=-------------10分 所以 cos ∠FED=6302625==b bEF DE 所以直线EF 与面PAD 所成角的余弦值为630---------------------12分20解：（1）由题意有: )2(21211≥+=++=-+n n S S n S S n n n n 所以 两式相减得 )2(121≥+=+n a a n n ---------------------------3分 所以21)1(21112111=++=+++=+++n n n n n n a a a a a a )2(≥n -------------5分所以数列}{)2(1≥+n a n 是公比为2的等比数列 ------------------6分 （2）因为62212=+=S S ，所以 426122=-=-=S S a 所以 ⎩⎨⎧-⨯=≥⨯=+=+---1252)2(252)1(12222n n n n n a n a a 所以 21≥=n n -----9分 因为22225151-=+n n a ，所以 )111(41)1(412log 2log 122222nn n n b nn n --=-==- )2(≥n ---------------11分nn n b b b b T n n 4145)1113121211(411321-=--+-+-+=++++= -----13分21解：（1）点)0,(),0,(21c F c F -，又212F F PF =得 c c 23)2(2=+-化简得 100)1)(73(07432=∴>=-+⇒=-+c c c c c c -------------3分112222122222=-=-=∴=∴=∴==c a b a a a c e所以椭圆的方程为 1222=+y x -------------------------6分 （2）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x m kx y 消去y 得 0224)21(222=-+++m kmx x k ------------- 8分 由0>∆得 222222210)1)(21(816m k m k m k >+>-+-得 设),(),,(2211y x N y x M 由根与系数的关系有：221214k km x x +-=+ 22212122km x x +-=------------------------9分 由（1）知)0,1(2F ，所以1tan ,1tan 221122-==-==x y k x y k N F M F βα 由 πβα=+ 得0112211=-+-x yx y ⇒0)1()1(1221=-+-x y x y 0)1)(()1)((1221=-++-+⇒x m kx x m kx ⇒0221)(421)22(2222=-+--+-m k k m km k m k k m 2-=⇒ ----------------11分代入（1）式得 2222212<<-⇒<k k 代入直线方程得 )2(2-=⇒-=x k y k kx y ----------------12分所以直线l 过定点（2，0）-----------------13分22解：（1）)(x f 的定义域为),1(+∞，22611)('6,11)('xx x f a x a x x f --=∴=--= 令333306110)('2+>-<⇒>-->x x xx x f 或得-------------5分 所以)(x f 的单调增区间为(][)+∞+-,3333,1和，减区间为[]33,33+- -----6分 （2）0)()(1212<--x x x g x g)(x g ∴在(]3,1是减函数当(]2,1∈x 时 211)(',)1ln()(xa x x g x a x x g ---=+--=，由题意0)('≤x g 恒成立 所以 222222)1()2()1()1(2',1,1011---=----=--=--≥⇒≤---x x x x x x x y x x y x x a x a x 令 0'>y 恒成立，所以y 关于(]2,1∈x 递增，所以y 的最大值为4-所以0>a ------------------------------------9分 当[]3,2∈x 时211)(',)1ln()(xa x x g x a x x g --=+-=，由题意0)('≤x g 恒成立 222222)1()2()1()1(2',1,1011--=---=-=-≥⇒≤--x x x x x x x y x x y x x a x a x 令。

数 学(文史类）(试卷分值:150分 考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合A={0>12|-x x }，B={0 <12|2--x x x }。

若A B ⊆，则 A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=3< <21|x x B A I B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=1< <21|x x B A I C. {}3< <1|x x B A -=YD. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21>|x x B A Y 2.高三第一学期甲、乙两名同学5次月考的地理学科得分的茎叶图如图所示，其中两竖线之间是得分的十位数，两边分别是甲、乙得分的个位数。

则下列结论正确的是 A.甲得分的中位数是78B. 甲得分的平均敢等于乙得分的平均数 C 乙得分的平均数和众数都是75 D.乙得分的方差大于甲得分的方差3.已知复数z 满足i i z 43)1(2-=-，其中i 是虚数单位，则=||zA.225 B.25 C. 25 D.454.从1,2,3.4中选取两个不同数字组成两位数，则这个两位数能被4整除的概率为 A.31 B. 41 C. 61 D.1215. 已知R n m ∈,，则“01=-nm”是“0=-n m ”成立的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知抛物线x y 42=焦点为F ，抛物线上一点P 满足4||=PF ，则△OPF 的面积为 A.1 B. 3 C.2 D. 327. 榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，广泛用于建筑，榫卯是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，榫卯结构中凸出的部分叫榫 (或叫榫头)。