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2
2
1
2 ) 1
1
2
e
2 (1
2
[ 2 )
( x 1 )( y 2 )
1 2
2 2
]
dy
2
( x 1 ) 2 (1
2
2
1
1
e
2
2 ) 1
e
2 (1
2
[( )
y2
2
x 1
1
)
2
2
( x 1 )
2 1
]
dy
( x 1 ) 2 1
2
2
1
e
2
1
e
2 (1
2
( )
y2
2
x 1
1
)
2
dy
fX (x)
1 2 π σ 1σ 2
t 1
( x μ1 ) 2 σ1
2
2
1
e
2
e
y μ2 x μ1 ρ 2 σ1 2 (1 ρ ) σ 2 1
0
1 10
1 2
P{D i}
0 0
4 10
0
0 2 10 1 10
0
2 10 3 10
1 10 4 10
2 10
1
或将边缘分布律表示为
D
1 2
4 10
3
4
F
pk
0
1 10
1
7 10
2
2 10
p k 1 10
2 10 3 10
fX (x)
f ( x , y )d y ,
1 2 (1
2
1
2
e
[ )
( x 1 )
2 1
2
2
( x 1 )( y 2 )
e
1 2
( y2 )
2
2 2
]
dy
( y2 )
2
( x 1 ) 2 (1
N 的素数的个数 .
.并求边缘分布律
解 样本点
D F
1
1
0
2
2 1
3
2 1
4
3
5
2 1
6
4
7
2 1
8
4
9
3
10
4
1
2
1
1
2
由此得
D 和 F 的联合分布律与边缘分
布律 :
样本点
D F
F
D
1
1
0
2
2 1
1
3
2 1
2
0
4
3
5
2 1
3
0
6
4
7
2 1
8
4
9
3
10
4
1
2
4
1
1
2
P {F j}
1 10 7 10 2 10Βιβλιοθήκη (1 x ).
例4
设二维随机变量
1 2 σ 1σ 2 1 ρ
2
( X , Y ) 的概率密度为
f ( x, y )
1 ex p 2 2 (1 ρ )
2 ( x μ1 ) 2 ( x μ 1 )( y μ 2 ) ( y μ 2 ) 2ρ 2 2 σ1 σ1 σ 2 σ2
Y 的边缘概率密度.
例2
设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度 6, f ( x, y ) 0, x y x,
2
其 它.
求 边 缘 概 率 密 度 f X ( x ), f Y ( y ).
解
当 0 x 1时,
y y x
( 1 ,1 )
fX (x)
fY ( y )
f ( x , y ) d x.
联合分布
边缘分布
备份题
例2
一整数 N 等可能地在 1 , 2 , 3 , ,10 十个值中取 N 的正整数的个数 . 试写出 D 和 F , 一个值 . 设 D D ( N ) 是能整除 F F ( N ) 是能整除 的联合分布律
fY ( y ) 1 2 σ 2
( y μ2 ) 2σ2
2 2
e
,
y .
二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,
并且都不依赖于参数 ρ.
当且仅当 ρ 0时, f ( x, y) f X ( x) fY ( y).
请同学们思考
边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分
3.2
边缘分布
一、边缘分布函数
二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、小结
一、边缘分布函数
定义
设 F ( x , y ) P { X x , Y y }为 随 机 变 量 ( X , Y )的 分 布 函 数 , 令 y , F ( x , ) P { X x , Y } P { X x} , 称 其 为 随 机 变 量 ( X , Y )关 于 X 的 边 缘 分 布 函 数 .
解
当 x 0时 ,
fX (x)
当 x 0时,
f ( x , y )d y
e
x
y
x dy e .
fX (x)
y
f ( x , y )d y 0 .
y x
故
e , fX (x) 0,
x
x 0, 其 它.
O
x
( 2 ) P { X Y 1}
2
dy
令
y μ2 x μ1 , ρ 2 σ1 1 ρ σ2
则有
fX (x)
1 2 σ 1
( x μ1 ) 2 σ1
2
2
e
t
2
e
2
2
dt
即
fX (x)
1 2 π σ1
( x μ1 ) 2 σ1
2
e
,
x .
同理可得
记为
同理,
F X ( x ), 即 F X ( x ) F ( x , ).
FY ( y ) P {Y y } P { X , Y y } F ( , y )
为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
二、离散型随机变量的边缘分布律
定义
律为 记 设二维离散型随机变量 ( X , Y )的联合分布 P { X x i , Y y j } p ij , i , j 1 , 2 , . p i p j 分别称
f ( x , y )d y
x x
2
y x
2
6dy
2
O
x
6 ( x x ).
y
当 x 0 或 x 1时 ,
( 1 ,1 )
y x
y x
O
2
fX (x)
f ( x , y )d y 0 .
x
因而得
6 ( x x ), fX (x) 0,
j1
p ij P { X x i }, p ij P { Y y j },
i 1,2 , ,
i1
j 1,2 , ,
p i ( i 1,2 , ) 和 p j ( j 1,2 , ) 为 ( X , Y ) .
关于 X 和关于 Y 的边缘分布律
x , y ,
其中 μ 1 , μ 2 , σ 1 , σ 2 , ρ 都是常数 1 ρ 1.
,且 σ1 0, σ 2 0,
试求二维正态随机变量
的边缘概率密度
.
解
2 π σ 1σ 2 2 π σ 1σ 2 2 π σ 1σ 2 2 π σ 1σ 2 1 1 1 1
j1
p ij P { X x i }, p ij P { Y y j },
i 1,2 , ,
i1
j 1,2 , ,
分别称
p i ( i 1,2 , ) 和 p j ( j 1,2 , ) 为 ( X , Y ) .
关于 X 和关于 Y 的边缘分布律
y
1
y x
x y 1
f ( x , y )d x d y
y
G
y 1 x
e
G
O
dxdy
1 x y
1 2
x
1
2 0
dx
1 2
e
x
dy
x
1 1 2
[e e y]d x 1 e 2 e e , 0 x y, 0 f ( x, y ) 其 它. 0,
x
2
e
2
,
fY ( y )
1 2
y
2
e
2
因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合 分布不一定是二维正态分布.
四、小结
1.离散型随机变量的边缘分布律
