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对于③,若l⊥α,α∥β,则l⊥β,正确;
对于④,若l∥α,α⊥β,则l⊂β或l∥β或l⊥β或l与β斜交,错误.
3.(2015天津市新华中学质检)设a,b是两条直线,α ,β 是两个平面,则 a⊥b的一个充分条件是( C )
(A)a⊥α ,b∥β ,α ⊥β (B)a⊥α ,b⊥β ,α ∥β
(C)a⊂α ,b⊥β ,α ∥β (D)a⊂α ,b∥β ,α ⊥β 解析:若b⊥β,α∥β,所以b⊥α,又a⊂α,所以b⊥a,即a⊥b.
2 a. 2
a2 a2 所以 A′C= =a, 2 2
即折叠后 AC 的长(A′C)为 a.
答案:a
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 直线与平面垂直的判定和性质
【例1】 (2014高考新课标全国卷Ⅰ)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面
BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C. (1)证明:B1C⊥AB;
第5节 直线、平面垂直的判定与性质
最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为 出发点,认识和理解空间中线面垂直 的有关性质与判定定理.
2.能运用公理、 定理和已获得 的结论证明一些空间垂直关 系的简单命题.
知识链条完善
考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善
把散落的知识连起来
【教材导读】 1.直线l与平面α 内无数条直线垂直,则直线l⊥α 吗? 提示:不一定,当这无数条直线相互平行时,l与α不一定垂直. 2.若平面α 内有一条直线垂直于平面β ,则α ⊥β 吗? 提示:垂直. 3.若α ⊥β ,则α 内任意直线都与β 垂直吗? 提示:不一定,平面α内只有垂直于交线的直线才与β垂直.
(2)解:作 OD⊥BC,垂足为 D,连接 AD,作 OH⊥AD,垂足为 H, 由于 BC⊥AO,BC⊥OD,故 BC⊥平面 AOD,所以 OH⊥BC. 又 OH⊥AD,所以 OH⊥平面 ABC.因为∠CBB1=60°,所以△CBB1 为等边三角形, 又 BC=1,可得 OD=
3.二面角、平面与平面垂直 (1)二面角 ①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面. 如图,记作:二面角α l β 或二面角α AB β 或二面角 P AB Q.
②二面角的平面角:在二面角α l β 的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂足, 在半平面α 和β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构成 的∠AOB 叫做二面角的平面角.
l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直 线 平行
a ⇒ b
a∥b
2.直线与平面所成的角
(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的 射影 所成的 锐角 ,叫做这条直线和 这个平面所成的角. 如图, ∠PAO 就是斜线AP与平面α 所成的角. π (2)线面角θ 的范围 [0, ] . 2
其中错误的命题是
.(写出所有错误命题的序号)
解析:借助正方体很容易判断出①②③是正确的,只有④是错误的.
答案:④
5.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则AC的长为
.
解析:如图所示,取 BD 的中点 O,连接 A′O,CO,则∠A′OC 是二面角 A′ BD C 的平面角,即∠A′OC=90°, 又 A′O=CO=
(1)证明:连接BC1,则O为B1C与BC1的交点. 因为侧面BB1C1C为菱形, 所以B1C⊥BC1, 又AO⊥平面BB1C1C, 所以B1C⊥AO, 故B1C⊥平面ABO. 由于AB⊂平面ABO, 故B1C⊥AB.
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.
知识梳理
1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线l与平面α 内的 任意一条 直线都垂直,就说直线l与平面α 互
相 垂直 .
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
a, b a b O ⇒ la l b
判定 定理
一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直, 则该直线与此平面垂直
夯基自测
1.(2014高考浙江卷)设m,n是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面 ( C ) (A)若m⊥n,n∥α ,则m⊥α (B)若m∥β ,β ⊥α ,则m⊥α
(C)若m⊥β ,n⊥β ,n⊥α ,则m⊥α
(D)若m⊥n,n⊥β ,β ⊥α ,则m⊥α 解析:选项A,B,D中m与平面α可能平行、相交或m在平面内α;对于C,若 m⊥β,n⊥β,则m∥n,而n⊥α,所以m⊥α.
2.设α ,β 是两个不同的平面,l是一条直线,给出下列说法: ①若l⊥α ,α ⊥β ,则l⊂β ;②若l∥α ,α ∥β ,则l⊂β ;
③若l⊥α ,α ∥β ,则l⊥β ;④若l∥α ,α ⊥β ,则l⊥β . 其中说法正确的个数为( A )
(或l∥β;
(2)平面与平面的垂直 ①定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角 说这两个平面互相垂直. ,就
②平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的 垂线 ,则这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l ⇒ l α ⊥β
4.(2016武昌调研)给出下列四个命题: ①如果平面α ⊥平面β ,那么平面α 内一定存在直线平行于平面β ; ②如果平面α 不垂直于平面β ,那么平面α 内一定不存在直线垂直于 平面β ; ③如果平面α ⊥平面γ ,平面β ⊥平面γ ,α ∩β =l,那么l⊥平面γ ; ④如果平面α ⊥平面β ,那么平面α 内所有直线都垂直于平面β .
性质 定理 两个平面互相垂直,则一个平 面内垂直于 交线 的直线垂 直于另一个平面
l ⇒ a la
l⊥α
【重要结论】
1.若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
2.若两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 3.若一条直线和两个不重合的平面都垂直,那么这两个平面平行.
