高考理科数学22题逐题特训第3讲 平面向量

【最新】《平面向量》专题一、选择题1．如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v（ ）A ．43AD BE +u u uv u u u vB ．53AD BE +u u uv u u u vC ．4132AD BE +u u uv u u u vD ．5132AD BE +u u uv u u u v【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减运算求解即可 【详解】 据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．故选B ． 【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题2．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v（）A ．4B ．6C ．23D ．43【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【详解】 如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =，且30BDC ∠=︒，∴|||3 302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒=⨯⨯=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．3．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.【详解】由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r，,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r， ()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.故选：B . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.4．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λ＋μ的值为（ ）A ．65B ．85C ．2D ．83【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，列出方程组求解即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u rCA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则85λμ+=.故选：B 【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.5．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r（ ）A ．2133BA AC +u uu r u u u rB ．2133BA AC -u uu r u u u rC ．1233BA AC +u uu r u u u rD ．4233BA AC +u uu r u u u r【答案】A 【解析】 【分析】连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，则()()221121332333OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===⨯+=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r . 故选：A.【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题.6．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（ ） A ．4 B ．22C ．2D ．2【答案】A 【解析】 【分析】画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可求221216y y -=，结合221244y y CD =-即可求解 【详解】如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，222212121212,,,44y y y y CA y y CB y y ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，()222221212004y y CA CB y y ⎛⎫-⋅=⇔--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，即()()222122212016y y y y ---= 解得221216y y -=（0舍去），所以222212124444y y y y CD -=-==故选：A 【点睛】本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题7．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）A ．,,M N P 三点共线B ．,,M N Q 三点共线C ．,,N P Q 三点共线D ．,,M P Q 三点共线【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r所以()2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ,因为5MN a b =+u u u u r rr ,所以MN NQ =u u u u r u u u r由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuur 为共线向量,又因为MN u u u u r 与NQ uuur 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线.故选: B 【点睛】本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.8．已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r，则AE BF ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．24B ．7-C ．10-D ．12-【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r用基底,AB AD u u u r u u u r 表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可. 【详解】由已知得13AF AD =u u u r u u u r ,12BE BC =u u u r u u u r ,AD BC =u u u r u u u r,所以1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13BF AF AB AD AB =-=-u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r .因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111||||16(8)16126666AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：D 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想.9．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u ur u u u r 的最小值为（ ） A ．1- B ．3-C ．12-D ．32-【答案】A 【解析】 【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解． 【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r，故223131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r223322122x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当32x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.故选：A ． 【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.10．如图，已知1OA OB ==u u u v u u u v ，2OC =u u u v ，4tan 3AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOBu u u v u u u v u u u v =+，则mn等于（ ）A ．57B ．75C ．37D ．73【答案】A 【解析】 【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B 、C 的坐标，利用向量相等建立关于m 、n 的方程，求解即可． 【详解】以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系如图所示：因为1OA OB ==u u u r u u u r ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55AOB AOB ∠=-∠=，，∴A （1，0），B （3455-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴413tan θ413--=-=7，又如图点C 在∠AOB 内，∴cos θ=10，sin θ=10,又OC u u u v =C （1755，）， ∵OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，45n ） 即15= m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =， 故选A ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．11．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ） A ．13- B ．13C ．12-D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ+.【详解】解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点， 由向量的加减法运算， 得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩，则12λμ+=-. 故选：C.【点睛】本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.12．已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>的离心率为32，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线与T 相交于A ，B 两点，若3AF FB =uu u r uu r，则k =（ ）A ．2B 3C 2D ．1【答案】C 【解析】 【分析】由32e =可得3a =，3b =，可设椭圆的方程为222334x y c +=，()()1122,,,A x y B x y ，并不妨设B 在x 轴上方，由3AF FB =uu u r uu r得到12123430x x c y y +=⎧⎨+=⎩，再由22211334x y c +=，22222334x y c +=得到A 、B 两点的坐标，利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】因为2231c b e a a ==-=，所以2a b =，所以3a =，3b =，则椭圆方程22221x y a b+=变为222334x y c +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设B 在x 轴上方，则210,0y y ><，又3AF FB =uu u r uu r，所以()()1122,3,c x y x c y --=-，所以()121233c x x c y y ⎧-=-⎨-=⎩，12123430x x cy y +=⎧⎨+=⎩因为A ，B 在椭圆上，所以22211334x y c +=，①22222334x y c +=②. 由①—9×②，得2121212123(3)(3)3(3)(3)84x x x x y y y y c +-++-=-，所以21234(3)84c x x c ⨯-=-，所以12833x x c -=-， 所以123x c =，2109x c =，从而1y =，2y =所以2(,)33A c -，10(,)99B c c，故9102393k c c +==- 故选：C. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，当然本题也可以利用根与系数的关系来解决，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.13．已知向量(b =r ，向量a r 在b r方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．3【答案】A 【解析】 【分析】设(),a x y =r，转化条件得62x +=-，()4x λ=-，整体代换即可得解.【详解】 设(),a x y =r，Q a r 在b r方向上的投影为6-，∴6a b b⋅==-r rr即12x +=-. 又 ()a b b λ+⊥r r r，∴()0a b b λ+⋅=r r r即130x y λ++=，∴()4x λ+=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.14．已知平面向量,,a b c r r r 满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ）A B C ．2-D ．12【答案】A【解析】【分析】根据题意，易知a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r ，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果.【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，因为()()21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202x y x +-+=，又b c -=r r所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭，所以点()20，与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为=. 故选：A.【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．15．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v ，则λ=（ ）A ．13B ．12C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】 根据2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()BA BC u u u r u u u r ，表示，再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解. 【详解】 因为2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ， 所以1122,+3333AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 因为AD DC λ=u u u v u u u v ， 所以λ=12， 故选：B【点睛】 本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题. 16．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r ，则以下说法不正确的是（ ）A ．若//a b r r ，则1tan 2α=B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2α=C ．若()f a b α=⋅r r 取得最大值，则1tan 2α= D ．||a b -r r 1 【答案】B【解析】【分析】A 选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.B 选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.C 选项求得()f α的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C 选项的正确性.D 选项利用向量模的运算来判断正确性.【详解】A 选项，若//a b r r ，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确.B 选项，若a b ⊥r r ，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.C 选项，si (n )2cos in()f a b ααααϕ+==⋅=+r r ，其中tan 2ϕ=.取得最大值时，22k παϕπ+=+，22k πϕπα=+-，tan 2tan 2k πϕπα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭1tan 22tan παα⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，则1tan 2α=，则C 正确. D 选项，由向量减法、模的几何意义可知||a b -r r1，此时a =r，,a b r r 反向.故选项D 正确.故选：B【点睛】 本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.17．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v ，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （ ） A．8+B．8-C ．12 D ．4【答案】C【解析】【分析】【详解】 由题意1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，则2252115113322632OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又圆的半径为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，2216OA OB ==u u u v u u u v ，所以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r ．故本题答案选C ．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.18．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是【答案】B【解析】【分析】 取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r代入计算，再利用向量的线性运算求解．如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111()()()53326GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<，由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r ．19．已知向量()1,3a =-v ，()3,b m =v ，若a b ⊥v v ，则2a b +v v 等于（ ）A ．10B ．16C ．52D ．410【答案】C【解析】【分析】 先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值，得出向量b r 的坐标，并计算出向量2a b +r r ，最后利用向量模的坐标运算得出结果．【详解】 ()1,3a =-r Q ，()3,b m =r ，a b ⊥r r ，则1330a b m ⋅=⨯-=r r ，得1m =，()3,1b ∴=r ，则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ，因此，()2225552a b +=+-=r r C.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．20．已知向量(),1a x =-r ， (3b =r ，若a b ⊥r r ，则a =r （ ） A 2 B 3 C ．2 D ．4【解析】由a b r r ⊥，(),1a x =-r ， (b r =，可得：x 0x ，==，即)1a =-r所以2a ==r 故选C。

高考数学（理）真题专题汇编：平面向量一、选择题1.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ） 已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．－3 B ．－2C ．2D ．33.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ） 已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64.【来源】2018年高考真题——理科数学（天津卷）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为(A) 2116(B) 32(C) 2516(D) 35.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷II ） 已知向量a ，b 满足|a |=1，a ·b =－1，则a ·(2a －b )= A ．4B ．3C ．2D ．06.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ） 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=A.43AB －41ACB. 41AB －43AC C. 43AB ＋41AC D. 41AB ＋43AC7.【来源】2016年高考真题——理科数学（天津卷）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ）（A ）85-（B ）81（C ）41（D ）8118.【来源】2017年高考真题——数学（浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OB OA ⋅，I 2=OC OB ⋅，I 3=OD OC ⋅，则A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3 ＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ． I 2＜I 1＜I 39.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅲ卷）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3B ．22C 5D ．210.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅱ卷）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是（ ）A.-2B.23-C. 43-D.-111.【来源】2016年高考真题——理科数学（新课标Ⅱ卷）12.【来源】2014高考真题理科数学（福建卷）在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e二、填空题13.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.14.【来源】2019年高考真题——理科数学（天津卷）在四边形ABCD 中，,23,5,30ADBC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= . 15.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅲ）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若25=-c a b ，则cos ,<>=a c ___________. 16.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．17.【来源】2019年高考真题——数学（江苏卷）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.18.【来源】2018年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________． 19.【来源】2018年高考真题——数学（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ． 20.【来源】2017年高考真题——数学（浙江卷）已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，则|a +b |+|a －b |的最小值是________，最大值是_______．21.【来源】2017年高考真题——数学（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，A （－12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若20≤⋅PB PA ，则点P 的横坐标的取值范围是 .22.【来源】2017年高考真题——数学（江苏卷）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°。

高考数学专题训练：平面向量基本定理一、单选题1．在ABCD 中，点N 为对角线AC 上靠近A 点的三等分点，连结BN 并延长交AD 于M ，则MN = （）A ．1136AB AD -+ B ．1136AB AD -C ．1344AB AD-D ．3144AB AD-2．如图，在66⨯的方格中，已知向量,,a b c的起点和终点均在格点，且满足向量(),a xb yc x y R =+∈r r r，那么x y -=（）．A ．0B ．2-C ．1D ．23．如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=-，则λμ+=（）A ．43B ．53C ．1D ．24．若a ，b 是两个不共线的向量，已知2MN a b =- ，2PN a kb =+ ，3PQ a b =-，若M ，N ，Q 三点共线，则k =（）A ．1-B ．1C ．32D ．25．如图所示，M ，N 分别是ABC 的边AB ，AC 上的点，且2AM MB = ，2NC AN =，则向量MN =（）．A ．1233AB AC - B ．1233AB AC +C ．1233AC AB-D ．1233AC AB+6．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M 、N ，若12AB AM = ，AC nAN =，则n =（）A ．1B ．32C ．2D ．37．如图所示，在ABC 中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，25AM AD = ；若AM AB BC λμ=+，则λμ+的值为（）A ．43B ．815C ．23D ．4158．如图，在ABC 中，点M 是AB 上的点且满足3AM MB =，P 是CM 上的点，且15MP MC = ，设,AB a AC b == ，则AP = （）A ．1124a b+ B ．3155a b+ C ．1142a b+ D ．33105a b + 9．如图，ABC 中，D 为AB 上靠近B 的三等分点，点F 在线段CD 上，设AB a = ，AC b =，AF xa yb =+ ，则21x y+的最小值为（）A ．6B ．7C ．4+D ．4+10．在ABC 中，90ACB ∠= ，CB a = ，CA b =，点D 是ABC 的外心，E 是AC 的中点，则CD ＋BE＝（）A ．1122a b- B ．12a b -- C ．123a b- D ．12a b-+ 11．在等边△ABC 中，D 为BC 的中点，点P 为△ACD 内一点（含边界），若14AP AB AC λ→→→=+，则λ的取值（）A ．13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题12．在下列向量组中，可以把向量()3,2a →=表示出来的是（）A ．()()120,0,1,2e e →→==B ．()()121,2,5,2e e →→=-=-C ．()()123,5,6,10e e →→==D ．()()122,3,2,3e e →→=-=13．四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，22AB AD DC ==，3BC EC = ，2AE AF =，则下列表示错误的是（）A ．12CB AB AD=-+B ．1133AF AB AD=+C ．1263CF AB AD =- D ．2133BF AB AD =-+ 14．如图，在OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 上的一点，且4BC BF =，若OC mOE nOF =+uuu r uu u r uu u r，其中m ，n R ∈，则（）A ．107m n +=B ．2-7m n =C ．23m n =D ．32m n=15．如图所示的各个向量中，下列结论不正确的是（）A ．3322PQ a b=+ B ．3322PT a b=--C ．3122PS a b =- D ．32PR a b =+ 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、双空题16．如图，在OCB 中，点A 是BC 的中点，点D 是靠近点B 将OB 分成2:1的一个分点，DC 和OA 交于点E ，设OA a =，OB b= （1）用a ，b表示向量DC =u u u r __________；（2）若OE OA λ=，则λ=__________17．如图，在ABC 中，13BD BC =，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE AB AC λμ=+ ，则λμ=___________，2λμ-的最小值为___________.18．如图，3AB AD = ，4AC AE = ，BE 与CD 交于P 点，若AP m AB n AC =+，则m =______，n =______．四、填空题19．如图，在ABC 中，13AN NC →→=，P 是BN 上的一点，若311AP AB AC m →→→=+，则实数m 的值为________.20．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC AE AF λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+=________.五、解答题21．如图，ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，设,BA a BC c ==.（1）用a ，c 表示向量A E；（2）若点F 在AC 上，且1455BF a c =+，求:AF CF .22．如图，在平行四边形ABCD 中，2BE EC = ，3CF FD =，BF 与DE 交于点G ．(1)用AB ，AD 表示EF ；(2)用AB ，AD 表示AG ．23．如图所示，ABC 中，AB a = ，AC b =，D 为AB 的中点，E 为CD 上的一点，且4DC EC =，AE 的延长线与BC 的交点为F .(1)用向量a ，b 表示A E；(2)用向量a ，b 表示AF，并求出:AE EF 和:BF FC 的值.参考答案：1．B 【解析】【分析】把向量,AB AD作为基底，根据题意可得M 为AD 的中点，然后根据向量的加减法法则和平面向量基本定理求解即可【详解】解：因为点N 为对角线AC 上靠近A 点的三等分点，所以2CN AN =，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，所以2BC CNAM AN ==，所以12AM BC =，所以12AM AD =，MN AN AM=- 1132AC AD =- 11()32AB AD AD =+-1136AB AD =-,故选：B2．A 【解析】【分析】先设出水平向右的单位向量m 和水平向上的单位向量n，用单位向量表示题中的,,a b c ，结合(),a xb yc x y R =+∈r r r代入化简后联立方程组求解得到,x y 的值相减即可.【详解】设m 为水平向右的单位向量，n为水平向上的单位向量.则2a m n =- ，22b m n =+ ，24c m n =- .因为a xb yc =+ ，所以()()22224m n x m n y m n -=++- ，即()()22224m n x y m x y n -=++- .所以222241x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以11022x y -=-=.故选:A 3．C 【解析】【分析】根据向量的线性运算和平面向量基本定理得到()1 2AC AB AD λμλμ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭,再与AC AB AD =+对比,得到λμ+=1即可.【详解】因为AC AB AD =+ ，12AM AB BM AB AD =+=+ ， BD AD AB=-所以()()1122AC AM BD AB AD AD AB AB AD λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-=+--=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以λμ+=1.故选:C.4．B 【解析】【分析】利用向量的减法以及向量共线定理即可求解.【详解】由题意知，()1NQ PQ PN a k b =-=-+，因为M ，N ，Q 三点共线，故MN NQ λ=，即()21a b λa k b ⎡⎤-=-+⎣⎦ ，解得1λ=，1k =，5．C 【解析】根据平面向量基本定理，由平面向量的线性运算，利用题中条件直接计算，即可得出结果.【详解】因为2AM MB = ，2NC AN =，所以1233MN AN AM AC AB =-=- .故选：C.6．B 【解析】【分析】根据向量的共线定理可得解.【详解】连接AO ，由点O 是BC 的中点，则1122AO AB AC =+，又12AB AM = ，AC nAN = ，则1112242n AO AB AC AM =+=+ ，又O ，M ，N 三点共线，则1142n+=，解得32n =，故选：B.7．B【分析】根据题意求得1BD =，化简得到22515AM AB BC =+ ，结合AM AB BC λμ=+，求得,λμ的值，即可求解.【详解】在ABC 中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，可得cos 601BD AB == ，由222122()()5553515AM AD AB BD AB BC AB BC==+=+=+又因为AM AB BC λμ=+ ，所以22,515λμ==，所以815λμ+=.故选：B.8．B 【解析】【分析】先将AP 用AM ，MP 表示，然后AM ，MP 再用,a b表示即可.【详解】3313133()445455AM MB AM AB AP AM MP AB MC AB AC AM AB =⇒==+=+=+-=+，131555AC a b =+.故选：B 9．D 【解析】【分析】由题意,用向量,AD AC 表示出向量AF ,根据点F 在线段CD 上可得到312x y +=，再根据基本不等式即可求得答案.【详解】由于D 为AB 上靠近B 的三等分点，故23AD AB = ,所以32x AF xa yb x AB y AC AD y AC =+=+=+ ,又因为点F 在线段CD 上，所以312x y +=，故2121332()()422x x yy x y x y y x+=++=++，由题意可知0,0x y >>，故2132442x yx y y x+=++≥+当且仅当322x y y x =时，即1132x y -=-=时，等号取得，故选：D.10．D 【解析】【分析】根据题意得点D 是Rt ACB 的斜边AB 的中点，进而根据向量加减法运算求解即可.【详解】解：因为点D 是ABC 的外心，且90ACB ∠= ，所以点D 是Rt ACB 的斜边AB 的中点，所以()111222CD CB CA a b =+=+.又E 是AC 的中点，所以12BE BC CE a b =+=-+，所以12CD BE a b +=-+ .故选：D.11．D 【解析】【分析】过AB 靠近A 的四等分点作AC 的平行线分别交AD ，BC 于点E ，F ，过E ，F 分别作AB 的平行线交AC 于M ，N ，求出min 14λ=，max 34λ=，即得解.【详解】解；过AB 靠近A 的四等分点作AC 的平行线分别交AD ，BC 于点E ，F ，由题意知，点P 在线段EF 上，过E ，F 分别作AB 的平行线交AC 于M ，N （如图所示），由题得13,44AM AC AN AC →→→→==，即min 14λ=，max 34λ=.所以1344λ≤≤.故选：D.12．BD 【解析】【分析】根据12a e e λμ→→→=+，选项A ：无解，故选项A 不能；选项B ：解得2λ=，1μ=，故选项B 能．选项C ：无解，故选项C 不能．选项D ：解得513==1212λμ，，故选项D 能．【详解】解：根据12a e e λμ→→→=+，选项A ：(3，2)(0λ=，0)(1μ+，2)，则3μ=，22μ=，无解，故选项A 不能；选项B ：(3，2)(1λ=-，2)(5μ+，2)-，则35λμ=-+，222λμ=-，解得，2λ=，1μ=，故选项B 能．选项C ：(3，2)(3λ=，5)(6μ+，10)，则336λμ=+，2510λμ=+，无解，故选项C 不能．选项D ：(3，2)(2λ=，3)(2μ-+，3)，则322λμ=+，233λμ=-+，解得513==1212λμ，，故选项D 能．故选：BD 13．AC 【解析】【分析】利用向量的线性运算将CB ,,,AF CF BF 用基底AB 和AD表示，与选项比较即可得正确选项.【详解】对于选项A ：1122CB CD DA AB AB DA AB AB DA =++=-++=+，故选项A 不正确；()11121122112223223333AF AE AB BE AB AB DA AB DA AB AD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=-+=-=+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项B 正确；1111223363CF CD DA AF AB AD AB AD AB AD =++=--++=--，故选项C 不正确，11213333BF AF AB AB AD AB AB AD =-=+-=-+，故选项D 正确；故选：AC.14．ABC 【解析】【分析】根据向量的线性运算法则及平面向量的基本定理，可得12OE OA OB =+ ，14OF OB OA =+，又OC OA OB =+，根据题意，化简计算，可得m ，n 的值，逐一分析选项，即可得答案.【详解】在平行四边形中OA BC = ，OB AC = ，OC OA OB =+，因为E 是AC 中点，所以1122AE AC OB ==，所以12OE OA AE OA OB =+=+ ，因为4BC BF =，所以11 44BF BC OA == ，所以14OF OB BF OB OA =+=+ ，因为OC mOE nOF =+uuu r uu u r uuu r ，所以1142OC m n OA m n OB ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以114112m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6747m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以107m n +=，27m n -=，23m n =，故选：ABC ．15．BD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，可得向量(1,1),(1,1)a b ==- ,由此以向量(1,1),(1,1)a b ==-为基底分别表示PQ ，,,PT PS PR，由向量的坐标运算判断选项A,B,C,D,可得正确答案.【详解】如图，建立空间直角坐标系：则(1,1),(1,1)a b ==-，故3333(0,3)(1,1)(1,1)2222PQ a b ==+-=+，A 选项正确，3333(3,0)(1,1)(1,1)2222PT a b ==--=-，B 选项错误，3131(2,1)(1,1)(1,1)2222PS a b ==--=-，C 选项正确，3131(1,2)(1,1)(1,1)2222PR a b ==+-=+，D 选项错误，故选：BD.16．523a b-r r 45【解析】（1）由22=-=- OC OA OB a b ，2233OD ==，再结合DC OC OD =- ，即可得出答案；（2）由C ，E ，D 三点共线，可知存在实数μ，使得EC DC μ=，进而由又()2EC OC OE a b a λ=-=-- ，523=- DC a b ，可建立等式关系，从而得22513λμμ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解即可.【详解】（1）因为点A 是BC 的中点，所以()12OA OB OC =+，所以22=-=- OC OA OB a b ，又点D 是靠近点B 将OB 分成2:1的一个分点，所以23OD OB = ，所以()252233DC OC OD a b b a b =-=--=- .（2）因为C ，E ，D 三点共线，所以存在实数μ，使得EC DC μ=，又()()22EC OC OE a b a a b λλ=-=--=-- ，523=-DC a b ，所以()5223a b a b λμ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ，又a ，b不共线，则22513λμμ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得45λ=.故答案为：（1）523a b -r r ；（2）45.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题.17．2116-【解析】【分析】先得出2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，设出(01)AE x AD x =<<得出233x x AE AB AC =+ ，则2=,33x xλμ=，两问分别代入计算即可.【详解】因为在ABC 中，13BD BC =，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,即2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r .因为点E 在线段AD 上移动（不含端点），所以设(01)AE x AD x =<<.所以233x x AE AB AC =+ ，对比AE AB AC λμ=+ 可得2=,33x x λμ=.代入2=,33x x λμ=，得2323xx λμ==；代入2=,33x x λμ=可得22224=33(0931)x x x x x λμ⎛⎫--=- <⎝<⎪⎭，根据二次函数性质知当1334829x -=-=⨯时，()22min 43131=983816λμ⎛⎫--⨯=- ⎪⎝⎭.故答案为：12;16-18．311211【解析】【分析】通过向量三点共线定理，以及基底转化的方法，将AP 用,AB AC表示，根据平面向量基本定理，可以得到,m n 的值【详解】设1BP BE λ= ，2CP CD λ= ，可得()1114AP AB AC λλ=-+ ，()2213AP AC AB λλ=-+，所以2113λλ-=且2214λλ=-，可得1811λ=，2911λ=，代入上式从而可得()13111m λ=-=，12411n λ==．另外，也可用梅涅劳斯定理．由梅涅劳斯定理可知1CE AB DP EA BD PC⋅⋅=，因为3CE EA =，32=AB BD ，所以，29DP PC =，则923211111111AP AD AC AB AC =+=+ ，故311m =，211n =．故答案为;311，211．19．211【解析】【分析】解法1：先根据13AN NC →→=得到4AC AN →→=，从而可得3411AP AB N m A →→→=+，再根据三点共线定理，即可得到m 的值.解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底AB AC →→，去表示AP →，根据图形可得：AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=，通过向量线性运算可得：()14AP AB AC λλ→→→=-+，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得m 的值.【详解】解法1：因为13AN NC →→=，所以4AC AN →→=，又311AP AB AC m →→→=+，所以3411AP AB N m A →→→=+因为点,,P B N 三点共线，所以3+4111m =，解得：211m =.解法2：因为AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=，所以AP AB BN λ→→→=+，因为13AN NC →→=，所以14AN AC →→=，又BN AN AB →→→=-，所以14BN AC AB →→→=-，所以()=4141AP AB AC AB AB AC λλλ→→→→→→⎛⎫=+-+ ⎝-⎪⎭，又311AP AB AC m →→→=+，所以31114m λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：8=11211m λ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以211m =.故答案为：211.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.20．43【解析】【分析】设,AB a AD b ==，根据题意得到11,22AE a b AF a b =+=+ ，得到2()3AC AE AF =+ ，进而得到23λμ==，即可求解.【详解】设,AB a AD b ==，因为E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，可得11,22AE a b AF a b =+=+,又因为AC a b =+，所以2()3AC AE AF =+ ，因为AC AE AF λμ=+ ，所以23λμ==，所以43λμ+=.故答案为：43.21．（1）1344AE c a =-；（2）:4:1AF CF =.【解析】【分析】（1）由于点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，所以12AD AC = ，1()2AE AB AD =+，而AC BC BA c a =-=-，从而可求得结果，（2）设AF AC λ= ，从而可得BF BA AF BA AC λ=+=+ ，再用a ，c表示，然后结合1455BF a c =+，可求得λ的值，从而可求得:AF CF 的值【详解】（1）因为AC BC BA c a =-=-，点D 是AC 的中点，所以11()22AD AC c a ==- ，因为点E 是BD 的中点，所以1111113()()2222444AE AB AD AB AD a c a c a =+=+=-+-=-.（2）设AF AC λ=，所以()(1)BF BA AF BA AC a c a a c λλλλ=+=+=+-=-+ .又1455BF a c =+ ，所以45λ=，所以45AF AC =，所以:4:1AF CF =.22．(1)3143EF AB AD =-+ (2)1839AG AB AD=+ 【解析】【分析】（1）利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可，（2）过E 作EH ∥BF ，交CD 于H ，则由平行线分线段成比例结合已知条件可得3FB HE =，13FG HE = ，从而可得83GB HE = ，再将HE 用AB ，AD表示，代入化简可得结果(1)因为在平行四边形ABCD 中，2BE EC = ，3CF FD =，所以1133CE CB AD ==- ，3344CF CD AB ==- ，所以3143EF CF CE AB AD=-=-+(2)过E 作EH ∥BF ，交CD 于H ，因为2BE EC = ，所以12CH FH =，因为3CF FD = ，所以3CFFD=,所以::1:2:1DF FH HC =,因为EH ∥BF ，2BE EC =，所以13EH CE FB CB ==，所以3FB HE = 因为12DF FH =,EH ∥BF ，所以13FG DF HE DH ==，所以13FG HE = ，所以18333GB FB FG HE HE HE =-=-= ,因为11113434HE CE CH CB CD AD AB =-=-=-+ ，所以8118233493GB AD AB AD AB ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，所以28183939AG AB BG AB GB AB AB AD AB AD=+=-=-+=+ 23．(1)1384AE a b=+(2)1677AF a b =+，7，6【解析】【分析】（1）由已知得()4AC AD AC AE -=- ，3144AE AC AD =+，D 为AB 的中点，可得答案；（2）设BF t BC =，得()1AF tb t a =+- ，设AF AE λ= ，可得1384AE a b =+ ，即384AF a b λλ=+ ，由a ，b不共线和平面向量基本定理求得λ、t ，可得答案.(1)答案第15页，共15页根据题意因为：4DC EC = ，所以()4AC AD AC AE -=- ，所以3144AE AC AD =+ ，D 为AB 的中点，AB a = ，AC b = ，所以12AD a = ，1384AE a b =+ .(2)因为B ，F ，C 三点共线，设BF t BC = ，所以()1AF t AB t AC =-+ ，即()1AF tb t a =+- ，A ，F ，E 三点共线，设AF AE λ=，由（1）可知1384AE a b =+ ，即384AF a b λλ=+ ，a ，b 不共线，由平面向量基本定理，所以1834t t λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以87λ=，67t =，所以87AF AE = ，67BF BC = ，则:AE EF 的值为7，:BF FC 的值为6.。

《最易丢分的送分题（数学）》2019届高三三轮【拣分必备】之6.平面向量1.（衡水模拟）已知A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sinA,1)，q ＝(1，－cosB)，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定[答案] A [解析] 解法1：p ·q ＝sinA －cosB ，若p 与q 夹角为直角，则p ·q ＝0，∴sinA ＝cosB ，∵A 、B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝B ＝π4，则C ＝π2，与条件矛盾；若p 与q 夹角为钝角，则p ·q<0，∴sinA<c osB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，[:∵sinx 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，∴A<π2－B ，∴A ＋B<π2，∴C>π2这与条件矛盾，∴p 与q 的夹角为锐角． 解法2：由题意可知A ＋B>π2⇒A>π2－B ⇒sinA>sin(π2－B)＝cosB ⇒p ·q ＝sinA －cosB>0，又显然p 、q 不同向，故p 与q 夹角为锐角．[:[:2.(珠海调研)已知△ABC 及其平面内点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] B[解析] 解法1：由已知条件MB →＋MC →＝－MA →.[:如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E ，延长CM 交AB 于F ，则E 、F 分别为AC 、AB 的中点，即M 为△ABC 的重心．AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.[: 解法2：∵AB →＋AC →＝MB →－MA →＋MC →－MA →＝MB →＋MC →－2MA →＝mAM →，∴MB →＋MC →＝(m －2)AM →，∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴(m －2)AM →＝AM →，∴m ＝3.3.(惠州模拟)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝λCA →＋μCB →，则μλ的值为( ) A ．1B.12 C ．2D.13 [答案] C[解析] CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB → ＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →， ∴λ＝13，μ＝23，∴μλ＝2. 4. (合肥模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________. [答案] 13[解析] ∵OC →＝23OA →＋13OB →，23＋13＝1， ∴A 、B 、C 三点共线，∵AC →＝OC →－OA →＝13OB →－13OA →＝13AB →， ∴|AC →||AB →|＝13.。

专题22 平面向量的数量积及其应用【考点预测】一．平面向量的数量积a （1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与b ，我们把数量||||cos θa b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作⋅a b ，即⋅a b =||||cos θa b ，规定：零向量与任一向量的数量积为0． （2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：||cos θa 叫做向量a 在b 方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0．②⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上射影||cos θb 的乘积． 二．数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则： ①⋅=⋅a b b a ；②()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ； ③()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c ． 三．数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 ①||cos θ⋅=⋅=e a a e a ．②0⊥⇔⋅=a b a b ．③当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b ．特别地，2||⋅=a a a 或||=a ． ④cos ||||θ⋅=a ba b (||||0)≠a b ．⑤||||||⋅a b a b ≤． 四．数量积的坐标运算已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||a b a b ⋅≤.（2）当0a ≠时，由0a b ⋅=不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0a b ⋅=. 当0a ≠时，且a b a c ⋅=⋅时，也不能推出一定有b c =，当b 是与a 垂直的非零向量，c 是另一与a 垂直的非零向量时，有0a b a c ⋅=⋅=，但b c ≠.（3）数量积不满足结合律，即a b c b c a ⋅≠⋅()()，这是因为a b c ⋅()是一个与c 共线的向量，而b c a ⋅()是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以a b c ⋅()不一定等于b c a ⋅()，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当0a b ⋅>且(0)a b λλ≠>（或0a b ⋅<，且(0))a b λλ≠< 【方法技巧与总结】(1)b 在a 上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．(2)数量积的运算要注意0a =时，0a b ⋅=，但0a b ⋅=时不能得到0a =或0b =，因为a ⊥b 时，也有0a b ⋅=． (3)根据平面向量数量积的性质：||a a a =⋅，cos ||||a ba b θ⋅=，0a b a b ⊥⇔⋅=等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．(4)若a 、b 、c 是实数，则ab ac b c =⇒=(0a ≠)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a 、b 、c 满足a b a c ⋅=⋅（0a ≠），则不一定有=b c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． (5)数量积运算不适合结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，这是由于()a b c ⋅⋅表示一个与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此()a b c ⋅⋅与()a b c ⋅⋅不一定相等．【题型归纳目录】题型一：平面向量的数量积运算 题型二：平面向量的夹角 题型三：平面向量的模长题型四：平面向量的投影、投影向量 题型五：平面向量的垂直问题 题型六：建立坐标系解决向量问题 【典例例题】题型一：平面向量的数量积运算例1．（2022·全国·模拟预测（理））在ABC 中，π3ABC ∠=，O 为ABC 的外心，2BA BO ⋅=，4BC BO ⋅=，则BA BC ⋅=（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B 【解析】 【分析】设,AB BC 的中点为D,E ，将2BA BO ⋅=，变为2BD BO ⋅，根据数量积的几何意义可得||1BD =，同理求得||BC ，根据数量积的定义即可求得答案. 【详解】如图，设,AB BC 的中点为D,E ，连接OD,OE ,则,OD AB OE BC ⊥⊥ ,故2BA BO ⋅=，即22||||cos 2BD BO BD BO OBD ⋅=⋅∠= , 即2||1,||1BD BD ==，故||2BA =,4BC BO ⋅=，即22||||cos 4BE BO BE BO OBE ⋅=⋅∠= ,即2||2,||2BE BE ==，故||22BC =故1||||cos 22BA BC BA BC BAC ⋅=⋅∠=⨯=故选：B例2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，点M 在线段AH 上，满足()82+⋅=MB MC AH MB MC ⋅=（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由()82+⋅=MB MC AH 2MH =，由AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，可得28HC HB AH ⋅==，然后对()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+化简可求得结果因为AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH = 所以0,0AH HB AH HC ⋅=⋅=,28HC HB AH ⋅==, 因为()82+⋅=MB MC AH所以()82MH MH A HB HC H +⋅=++ 所以282MH AH HB AH HC AH ⋅+⋅+⋅= 所以42MH AH ⋅=， 所以42MH AH ⋅= 所以2MH =，所以()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+ 2MH MH HC HB MH HC HB =+⋅+⋅+⋅2cos MH HC HB π=+⋅ 228(1)4=+⨯-=-,故选：A例3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ， 又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，故选：C.例4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，正六边形ABCDEF 中，2AB =，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，则AP AB ⋅=______．【答案】2 【解析】 【分析】找到向量的模长和夹角，带入向量的数量积公式即可. 【详解】在正六边形中，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，60PAB ︒=∴∠，且2AP AB ==, 1cos602222AP AB AP AB ︒∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：2.例5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知向量,,a b c 满足0,||1,||3,||4a b c a b c ++====，则a b ⋅=_________．【答案】3 【解析】 【分析】由0a b c ++=，得a b c +=-，两边平方化简可得答案 【详解】由0a b c ++=，得a b c +=-， 两边平方，得2222a a b b c +⋅+=， 因为134a b c ===，，， 所以12916a b +⋅+=，得·3a b =. 故答案为：3.例6．（2022·陕西·模拟预测（理））已知向量()1,a x =，()0,1b =，若25a b +=，则⋅=a b __________ 【答案】0或4-##4-或0. 【解析】 【分析】由向量模长坐标运算可求得x ，由向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】()21,2a b x +=+，(21a b x ∴+=+0x =或4x =-；当0x =时，()1,0a =，0a b ∴⋅=；当4x =-时，()1,4a =-，044a b ∴⋅=-=-； 0a b ∴⋅=或4-.故答案为：0或4-.例7．（2022·上海徐汇·二模）在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，若点P 是ABC 所在平面上一点，且满足AP AB AC λ=+，1BP CP ⋅=-，则实数λ的值为______________． 【答案】1或14【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把BP CP ，用AB AC ，表示出来，再用1BP CP ⋅=-建立方程，解出λ的值. 【详解】由AP AB AC λ=+，得AP AB AC λ-=，即BP AC λ=， (1)CP AP AC AB AC λ=-=+-，在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒， 所以2((1))(1))BP CP AC AB AC AC AB AC λλλλλ⋅=⋅+-=⋅+-22cos1204(1)451λλλλλ=+-=-=-， 即24510λλ-+=，解得1λ=或14λ= 所以实数λ的值为1或14. 故答案为：1或14. 例8．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形ABCD 中，11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====，则AC DB ⋅值为__________． 【答案】94【解析】 【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有22D AC DB C CB ⋅=-，再由1313AE BC DC AF DC BC⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩结合数量积运算律，即可得结果. 【详解】由题设可得如下图：,AC AD DC DB DC CB =+=+，而AD CB =-，所以22D AC DB C CB ⋅=-， 又11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====， 所以1313AE AD DE BC DC AF AB BF DC BC ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩，则22222143921639BC BC DC DC DC BC DC BC ⎧+⋅+=⎪⎪⎨⎪+⋅+=⎪⎩，故228()29DC BC -=，可得2294DC BC -=，即94AC DB =⋅. 故答案为：94例9．（2022·福建省福州第一中学三模）过点M 的直线与22:(3)16C x y -+=交于A ，B 两点，当M 为线段AB中点时，CA CB ⋅=___________. 【答案】-8 【解析】 【分析】由题意可得M 在C 内，又由M 为线段AB 中点AB CM ⊥，由两点间距离公式得2CM =＝12AC ,进而求得120ACB ∠=︒，再由向量的数量积公式计算即可得答案. 【详解】解：因为点M 在22:(3)16Cx y -+=内， 所以当M 为线段AB 中点时，AB CM ⊥，又因为C 的半径为4,2CM =＝12AC ,所以60ACM ∠=°， 所以120ACB ∠=︒，所以，CA CB ⋅=||||cos120CA CB ︒＝144()82⨯⨯-=-.故答案为：-8.例10．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量a 与b 不共线，且()2a a b ⋅+=，1a =，若()()22a b a b -⊥+，则()b a b ⋅-=___________. 【答案】3- 【解析】 【分析】由()2a a b ⋅+=得1a b ⋅=，由()()22a b a b -⊥+得2b =，即可求解结果． 【详解】由()212a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅=得1a b ⋅=由()()22a b a b -⊥+得()()222240a b a b a b -⋅+=-=，所以2b = 则()2143b a b b a b ⋅-=⋅-=-=- 故答案为：3-例11．（2022·全国·高三专题练习（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11 【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．例12．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH 组成的．若E 为线段BF 的中点，则AF BC ⋅=______．【答案】4 【解析】 【分析】利用数量积的几何意义求解. 【详解】 解：如图所示：设CF x =，由题可得2BF x =， 所以()2225x x +=， 解得1x =．过F 作BC 的垂线，垂足设为Q ， 故24AF BC BQ BC BF ⋅=⋅==， 故答案为：4． 【方法技巧与总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路． （2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a 在向量b 方向上的投影为||a bb ⋅． （4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：222()2a b a ab b ±=±+；a b ±()a b c ab ac +=+公式都可通用 异：整式：a b a b ⋅=±，a 仅仅表示数；向量：cos a b a b θ⋅=±（θ为a 与b 的夹角） 22222cos ma nb m a mn a b n b θ±=±+，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．ma nb ma nb ma nb -≤±≤+，通常是求ma nb ±最值的时候用． 题型二：平面向量的夹角例13．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知非零向量a →，b →满足a b a →→→-=，a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，则a→与b →夹角为______． 【答案】4π##45 【解析】 【分析】根据已知求出2=a a b →→→，||b a →→，即得解. 【详解】解：因为a b a →→→-=，所以22222,2a b a b a b a b →→→→→→→→+-=∴=.因为a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，所以22=0,=aa b a a b a a b →→→→→→→→→⎛⎫--=∴ ⎪⎝⎭， 所以22=2||b a b a →→→→∴，.设a →与b →夹角为θ，所以22cos =2|||||a ba ba b a θ→→→→→→→==. 因为[0,]θπ∈，所以4πθ=.例14．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量||1b =，向量(1,3)a =，且|2|6a b -=，则向量,a b 的夹角为___________. 【答案】2π##90 【解析】【分析】由|2|6a b -=两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量,a b 的夹角 【详解】因为(1,3)a =，所以(21+a =因为|2|6a b -=，所以2222+26a ab b -=，又||1b =，所以426b -⋅+=，所以0a b ⋅=， 向量,a b 的夹角为θ,则cos 0a b θ⋅= 所以cos 0θ=，则2πθ=.故答案为：2π. 例15．（2022·湖北武汉·模拟预测）两不共线的向量a ，b ，满足3a b =，且t R ∀∈，a tb a b -≥-，则cos ,a b =（ ）A ．12 B C ．13D 【答案】C 【解析】 【分析】由a tb a b -≥-两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断0∆≤，整理后可知∆只能为0，即可解得答案. 【详解】 解：由题意得：t R ∀∈，a tb a b -≥-t R ∴∀∈，2222222a t b ta b a b a b +-⋅≥+-⋅即222226cos ,6cos ,0t b t b a b b b a b --+≥ 0b ≠t R ∴∀∈，26cos ,16cos ,0t t a b a b --+≥()221Δ36cos ,46cos ,136cos ,03a b a b a b ⎛⎫∴=--=-≤ ⎪⎝⎭1cos ,03a b ∴-=，即1cos ,3a b =故选：C例16．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量()2,2a t =，()2,5b t =---，若向量a 与向量a b +的夹角为钝角，则t 的取值范围为（ ） A ．()3,1- B ．()()3,11,1---C ．()1,3-D ．111,,322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出a b +的坐标，求得当a 与a b +共线时12t =，根据向量a 与向量a b +的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案. 【详解】因为(23)a b t +=--，，又a 与a b +的夹角为钝角， 当a 与a b +共线时，162(2)0,2t t t ---==， 所以()0a a b ⋅+<且a 与a b +的不共线，即2230t t --<且12t ≠， 所以111322t ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 故选：D ．例17．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知向量()cos30,sin 210a =︒-︒，(3,1)b =-，则a 与b 夹角的余弦值为_________． 【答案】12-【解析】 【分析】化简向量a ，根据向量的模的公式，数量积公式和向量的夹角公式求解. 【详解】由()cos30,sin210a =︒-︒知31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故31(1122a b ⋅=⨯+⨯=-，||1a =，||2b =，记a 与b 的夹角为θ，则11cos 122||||a b a b θ⋅-===-⨯⨯．故答案为：12-.例18．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例19．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-=，则向量b 与向量a b -夹角的余弦值为（ ）A ．B ．0C D 【答案】A 【解析】 【分析】根据0a b ⋅=，设(1,0)a =，(0,)b t =，根据()()0a b a b +⋅-=求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解. 【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a =，(0,)b t =，则(1,)a b t +=，(1,)a b t -=-， 因为()()0a b a b +⋅-=，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a bb a b b a b ⋅-<->=⋅-2==，故选：A.例20．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量a ，b 满足3a b a b -=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】 【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得； 【详解】解：因为a ，b 为单位向量，所以1a b ==， 又3a b a b -=+，所以()()223a b a b -=+，即()2222232a a b b a a b b -⋅+=+⋅+，所以()22240a a b b +⋅+=，即()22240a a b b+⋅+=，所以12a b ⋅=-， 所以1cos ,2a ba b a b ⋅==-⋅，因为[],0,a b π∈，所以2,3a b π=；故选：C例21．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=，则,a b a -=（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出()a b a ⋅-和b a -，然后利用向量的夹角公式可求出结果 【详解】因为a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=， 所以()2211a b a a b a ⋅-=⋅-=-=，222()252b a b a b a b a -=-=-⋅+=-=所以()1cos ,2a b a a b a a b a⋅--===-， 因为[],0,πa b a -∈， 所以π,4a b a -=， 故选：B例22．（2022·全国·模拟预测（理））已知平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，若||5a =，则a 与a b +的夹角的余弦值为（ ）A B C D ．12【答案】A 【解析】 【分析】利用向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，利用数量积求得向量,a b 的模长及数量积，然后利用平面向量夹角公式求得结果. 【详解】平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，则()()0a b a b +⋅-=且||2||a b a b +=-，得22a b =，又||5a =，则||||5a b ==，将||2||a b a b +=-平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得=3a b ⋅，222|=216a b a a b b +|+⋅+=,则4a b +=，设a 与a b +的夹角为θ，则()25+3cos =54a ab aa ba a ba a bθ⋅++⋅===⨯++ 故选：A.例23．（多选题）（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知单位向量,a b 的夹角为120︒,则以下说法正确的是（ ） A ．||1a b += B ．(2)a b a +⊥C ．3cos ,2a b b 〈-〉= D ．2a b +与2a b +可以作为平面内的一组基底【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可 【详解】据题意221,1,11cos1202a b a b ︒==⋅=⨯⨯=-因为2221()211212a b a b a b ⎛⎫+=++⋅=++⨯-= ⎪⎝⎭所以||1a b +=,所以A 对因为21(2)21202a b a a a b ⎛⎫+⋅=+⋅=+⨯-= ⎪⎝⎭,所以(2)a b a +⊥,所以B 对.因为222213()1,()2322a b b a b b a b a b a b -⋅=⋅-=--=--=++⋅=所以3()2cos ,||||31a b b a b b a b b --⋅〈-〉===-⋅⨯所以C 错因为2a b +与2a b +不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以D 正确 故选：ABD例24．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(,1)c λ=-，R λ∈，则（ ） A ．若(2)a b c +⊥，则4λ= B ．若a tb c =+，则6t λ+=- C ．a b μ+的最小值为D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(,1)-∞- 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示判断A ，利用向量坐标的表示可判断B ，利用向量的模长的坐标公式及二次函数的性质可判断C ，利用向量数量积的坐标表示及向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】对于A ，因为2(1,4)a b +=，(,1)c λ=-，(2)a b c +⊥，所以14(1)0λ⨯+⨯-=，解得4λ=，所以A 正确. 对于B ，由a tb c =+，得(3,2)(2,1)(,1)(2,1)t t t λλ-=+-=+-，则32,21,t t λ-=+⎧⎨=-⎩解得93t λ=-⎧⎨=⎩，故6t λ+=-，所以B 正确.对于C ，因为(3,2)(2,1)(23,2)a bμμμμ+=-+=-+，所以a b μ+==则当45μ=时，a b μ+取得最小值，为，所以C 正确. 对于D ，因为(1,3)a b +=-，2(4,1)b c λ+=+，向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角， 所以()(2)1(4)310a b b c λ⋅+=-⨯+⨯++>，解得1λ<-；当向量a b +与向量2b c +共线时，113(4)0λ-⨯-⨯+=，解得133λ=-， 所以λ的取值范围是1313,,133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确.故选：ABC.例25．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知1e ，2e 是单位向量，122a e e =-，123b e e =+，若a b ⊥，则1e ，2e 的夹角的余弦值为（ ）A ．35B ．12C ．13D ．15【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】由题意知121e e ==，()()22121212122303250a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=⇒--⋅=，即1215e e ⋅=，所以121cos 5e e ⋅=. 故选：D.例26．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则a b -与a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出a b ⋅，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由a b a b +=-得：22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得0a b ⋅=，因此，22()1cos ,2||||2||a b a a a b a b a a b a a -⋅-⋅〈-〉===-，而,[0,π]a b a 〈-〉∈，解得π,3a b a 〈-〉=， 所以a b -与a 的夹角为3π. 故选：B例27．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3【答案】C 【解析】 【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅=，从而得到0a b ⋅=，得到a 与b 的夹角. 【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+，因为向量a ，b 为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅=. 因为0λ≠，所以0a b ⋅=，即a 与b 的夹角为π2. 故选：C【方法技巧与总结】 求夹角，用数量积，由||||cos a b a b 得121222221122cos||||x x y y a b a b xyx y ，进而求得向量,a b 的夹角.题型三：平面向量的模长例28．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，9b c -=，则a =______． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知条件可得出a b c =--，根据平面向量的数量积可求得22b c +、b c ⋅的值，结合平面向量的数量积可求得a 的值. 【详解】由已知可得a b c =--，则()()()()()()22220a b a c b c b c b c b c -⋅-=--⋅--=+⋅+=， 即222250b c b c ++⋅=，因为9b c -=，则22281b c b c +-⋅=，所以，2245b c +=，18b c ⋅=-，因此，()2222229a a b c b c b c ==--=++⋅=，故3a =.故答案为：3.例29．（2022·辽宁沈阳·三模）已知平面向量,,a b c 满足1,1,0,1a c a b c a b ==++=⋅=-，则b =_______．【解析】【分析】由题意得c a b =--，直接平方即得结果. 【详解】由0a b c ++=可得c a b =--，两边同时平方得2222c a a b b =+⋅+，1,1,1a c a b ==⋅=-，2112b ∴=-+，解得2b =..例30．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+a b .故选：D例31．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||2b c a --=，则|c |的可能取值有（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得(1,1)c a b x y --=--，进而由向量模的计算公式可得22(1)(1)4x y -+-=，分析可得C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，设OA a =，OB b =，OC c =，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OB 的方向为y 轴的正方向建立坐标系， 则(1,0)A ，(0,1)B ，设(,)C x y ，则(1,1)c a b x y --=--，若||2b c a --=，则有22(1)(1)4x y -+-=，则C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，设(1,1)为点M ，则||OM =||||||r OM OC r OM -+， 即22||22OC +，则||c 的取值范围为22⎡⎣；故选：D ．例32．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量a ，b 满足2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=（ ）AB C D ．3【答案】C 【解析】 【分析】 由()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+求解.【详解】解：因为2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π， 所以()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+，==，故选：C例33．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知非零向量a ，b 的夹角为6π，()||3,a a a b =⊥-，则||b =___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由平面向量的数量积的运算性质求解即可 【详解】由()a a b ⊥-得22π3()||||||||cos3||062a ab a a b a a b b ⋅-=-⋅=-⋅=-=， 解得||2b =. 故答案为：2例34．（2022·全国·高三专题练习）已知三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，且||1a =，||2b =，||3c =，求|23|a b c -+．9 【解析】【分析】由三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等得 ,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0，再分别计算求解即可 【详解】因为三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，所以,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0 ．当,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒时，2|23|(23)a b c a b c -+=-+222||||9||4126a b c b b c a c a =++-⋅+⋅-⋅==当,,,0a b b c c a 〈〉=〈〉=〈〉=︒，即a ，b ，c 共线时． |23|2||||3||2299a b c a b c -+=-+=-+=∣∣．9例35．（2022·全国·高三专题练习）已知2=a ，3b =，a 与b 的夹角为120，求a b +及a b -的值． 【答案】7a b +=，19a b -=. 【解析】 【分析】利用向量数量积定义可求得a b ⋅，由向量数量积的运算律可求得2a b +和2a b -，由此可得结果. 【详解】cos ,6cos1203a b a b a b ⋅=⋅<>==-，22224697a b a a b b ∴+=+⋅+=-+=，222246919a b a a b b -=-⋅+=++=，7a b ∴+=，19a b -=.例36．（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量(0,1)=a ,(,3)b t =，若,a b 的夹角为π3，则||b =___________.【答案】【解析】 【分析】根据平面向量的夹角公式可求出结果. 【详解】 由πcos3||||a b a b ⋅=⋅,得132||b ,得||23b =.故答案为：【方法技巧与总结】 求模长，用平方，2||a a .题型四：平面向量的投影、投影向量例37．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））设a ，b 是两个非零向量，AB a =，CD b =，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，得到11A B ，则11A B 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.如下图，已知扇形AOB 的半径为1，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，则弧AB 的中点C 的坐标为________；向量CO 在OB 上的投影向量为________ .【答案】12⎫⎪⎪⎝⎭3()4- 【解析】 【分析】由已知，根据给到的OA ，OB 先求解OA 与OB 的夹角，然后再利用点C 是弧AB 的中点，即可求解出AOC ∠，从而求解点C 的坐标；根据前面求解出的点C 的坐标，写出OB 和CO ，先计算向量CO 在OB 上的投影，然后根据OB 即可写出向量CO 在OB 上的投影向量. 【详解】由已知，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，所以112cos ,112OA OB OA OB OA OB ===⨯， 所以π3AOB ∠=，因为点C 为弧AB 的中点，所以π6AOC ∠=， 扇形AOB 的半径为1，所以弧AB 满足的曲线参数方程为cos π()sin 3xy αααα=⎧≤≤⎨=⎩为参数，0， 所以中点C 的坐标为πcos 6π1sin 62x y ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，所以C的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，12CO ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，12OB ⎛=⎝⎭， 向量CO 在OB 上的投影为3441CO OB OB-== 因为12OB ⎛= ⎝⎭，所以向量CO 在OB 上的投影向量为3()4-.故答案为：12⎫⎪⎪⎝⎭；3()4- 例38．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知向量,,(3,1),||2,(2)3a b a b a b b ==-⋅=，则b 在a 方向上的投影为_________ 【答案】54【解析】 【分析】根据向量数量积性质和向量投影定义求解即可． 【详解】因为(3,1)a =，||2b =，所以2||1(2a =+，22b =，因为(2)3a b b -⋅=，所以222223a b b b a b b a b ⋅-⋅=⋅-=⋅-=，所以52a b ⋅=， 所以b 在a 方向上的投影为5||4a b a ⋅=， 故答案为：54． 例39．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））已知向量()1,2a =-，()3,b t =，且a 在b 上的投影等于1-，则t =___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据投影定义直接计算可得，注意数量积符号. 【详解】因为a 在b 上的投影等于1-，即cos ,1a b a a b b⋅〈〉==-1=-，且320t -<，解得4t =.故答案为：4例40．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知||2a =，b 在a 上的投影为1，则a b +在a 上的投影为（ ）A ．-1B ．2C ．3D 【答案】C 【解析】 【分析】先利用b 在a 上的投影为1求出a b ⋅，然后可求a b +在a 上的投影. 【详解】因为||2a =，b 在a 上的投影为1，所以1||a ba ⋅=，即2ab ⋅=； 所以a b +在a 上的投影为()24232||||a b a aa b a a +⋅+⋅+===；故选：C.例41．（2022·四川成都·三模（理））在ABC 中，已知7π12A ∠=，π6C ∠=，AC =BA在BC 方向上的投影为（ ）．A ．B ．2CD ．【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和及正弦定理求得4B π∠=、2AB =，再根据向量投影的定义求结果.【详解】由题设4B π∠=，则sin sin AB AC C B=，可得122AB ==， 所以向量BA 在BC 方向上的投影为||cos 2BA B ==故选：C例42．（2022·广西桂林·二模（文））已知向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的投影公式直接计算即可． 【详解】向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为2||cos ,21||a b a a b b ⋅-<>===-， 故选：B ．例43．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，a 与b 的夹角为6π，3a =，则c 在b 上的正射影的数量为（ ）A ．12-B ．C ．12D 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答. 【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅=，即c b a b ⋅=⋅，又a 与b 的夹角为6π，3a =， 所以c 在b 上的正射影的数量3||cos ,||cos 62||||c b a b c c b a b b π⋅⋅〈〉====故选：D例44．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知单位向量,a b 满足||1a b -=，则a 在b 方向上的投影向量为（ ）A ．12bB ．12b -C ．12aD ．12a -【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式，即可求解. 【详解】22221a b a a b b -=-⋅+=，因为1==a b ，所以12a b ⋅=， 所以a 在b 方向上的投影向量为12a b b b b b ⋅⋅=. 故选：A例45．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-，则a 在b 方向上的投影向量为（ ）A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ．12⎛- ⎝⎭D ．12⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】解：因为平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-， 所以a 在b方向上的投影向量为22cos 13(1,3)(2a b a b b bbπ⋅⋅⋅⋅=⋅-=- ，故选：C题型五：平面向量的垂直问题例46．（2022·海南海口·二模）已知向量a ，b 的夹角为45°，2a =，且2a b ，若()a b b λ+⊥，则λ=______． 【答案】-2 【解析】 【分析】先利用数量积的运算求解b ，再利用向量垂直数量积为0即可求解. 【详解】因为cos 452a b a b ⋅=︒=得2b =， 又因为()a b b λ+⊥，所以()2240a b b a b b λλλ+⋅=⋅+=+=，所以2λ=-． 故答案为：-2.例47．（2022·广东茂名·二模）已知向量a =（t ，2t ），b ＝（﹣t ，1），若（a ﹣b ）⊥（a +b ），则t ＝_____． 【答案】12±【解析】 【分析】由（a ﹣b ）⊥（a +b ），由垂直向量的坐标运算可得出a b =，再由模长的公式即可求出t . 【详解】因为（a ﹣b ）⊥（a +b ），所以()()0a b a b -⋅+=，所以220a b -=，则a b =，所以22241t t t +=+，所以12t =±.故答案为：12±．例48．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知向量()1,1a =-，()1,b m =，若()3a b a +⊥，则m =______．【答案】13【解析】 【分析】根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算即可求解. 【详解】()()23,3030a b a a b a aa b +⊥∴+⋅=⇒+⋅= ，所以()123103m m +-+=⇒=故答案为：13例49．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量1e 与2e 的夹角为3π，若122a e e =+，12b e me =+，且a b ⊥，则实数m =（ ） A ．45-B ．45 C ．54-D ．54【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得221122(2)20e m e e m e ++⋅+=，结合已知即可求m 的值.【详解】由题意1222121122)()(220()2a b e me m e e m e e e e ⋅=⋅+=++⋅++=， 又1e 与2e 的夹角为3π且为单位向量， 所以22021m m +++=，可得45m =-.故选：A例50．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知向量(22,4),1,cos 2⎛⎫=-= ⎪⎝⎭a b θ，其中(0,π)θ∈，若a b ⊥，则sin θ=___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算坐标表示公式、特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即14cos0cos22θθ-+=⇒=，因为(0,π)θ∈，所以π(0,)22θ∈，因此ππ242θθ=⇒=，所以sin 1θ=， 故答案为：1例51．（2022·全国·模拟预测（文））设向量()2,1a =，()1,b x =-，若()a b a ⊥-，则b =___________.【答案】【解析】 【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解 【详解】()3,1b a x -=--，由题意得()0a b a ⋅-=，即610x -+-=，得7x =149b =+=.故答案为：【方法技巧与总结】121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=题型六：建立坐标系解决向量问题例52．（2022·山东淄博·三模）如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（ ）A ．15-B ．13-C ．13D ．15【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积； 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ， 又3CE =，8CB =，12AB =，则10CF =，即310CE FC =，即710FE FC =， 则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭， 则,552851EA ⎛⎫=-⎪⎝⎭，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．例53．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））在边长为2的正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，则AC DE ⋅=（ ） A ．2 B ．2-C ．4-D ．4【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，用向量法即可 【详解】在平面直角坐标系中以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立坐标系，则()0,0A ，()0,2D ，()2,2C ，()2,1E ，所以()()2,22,1422AC DE ⋅=⋅-=-=， 故选：A例54．（2022·江苏·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，(4,1)AB =，(2,3)DC =，(2,)AC m =-，若0E A F C =⋅，则实数m 的值是（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得分别求出AD 和BC 的坐标，再分别求出AE 和BF 的坐标，EF EA AB BF =++，再利用数量积坐标运算求解即可. 【详解】根据题意得：(4,3)AD CD CA AC DC m =-=-=--，(6,1)BC AC AB m =-=--, 因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，所以13(2,)22m AE AD -==-，11(3,)22m BF BC -==-， 所以()3,2EF EA AB BF =++=，又0E A F C =⋅，即()2320m -⨯+⨯=，解得3m =. 故选：D.例55．（2022·四川南充·三模（理））在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB =，3AC =，2AM MC =，12AN AB =，CN 与BM 交于点P ，则cos BPN ∠的值为（ ）A B ．C ．D 【答案】D 【解析】 【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【详解】解：建立如图直角坐标系，则(0,2),(0,1),(3,0),(2,0)B N C M , 得(3,1),(2,2)CN MB =-=-,所以co 10s CN MB CN P BB N M ⋅===⋅∠ 故选：D.例56．（多选题）（2022·山东聊城·三模）在平面四边形ABCD 中，1AB BC CD DA DC ===⋅=，12⋅=BA BC ，则（ ） A ．1AC = B ．CA CD CA CD +=-C ．2AD BC = D ．BD CD ⋅=【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给的条件，判断出四边形ABCD 内部的几何关系即可. 【详解】因为1AB BC CD ===，1cos 2BA BC BA BC B ⋅==，可得3B π=，所以ABC 为等边三角形，则1AC = ，故A 正确；因为1CD =，所以21CD =，又1DA DC ⋅=，所以2CD DA DC =⋅ ，得()20DC DA DC DC DC DA DC AC -⋅=⋅-=⋅=，所以AC CD ⊥，则CA CD CA CD +=-，故B 正确； 根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误； 建立如上图所示的平面直角坐标系，则1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，12BD ⎫=⎪⎪⎝⎭，3122CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以BD CD ⋅=，故D 正确； 故选：ABD.例57．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量a b c ，，满足2222a b a b c c =-=-==，则可能成立的结果为（ ） A ．34b =B ．54b =C ．34b c ⋅= D ．54b c ⋅=【答案】BCD 【解析】 【分析】不妨设()10C ，，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，利用坐标法，即可求解. 【详解】对于选项A 、B ，由题意2=a ，1c =，1a b b c -=-=，设OA a =，OB b =，OC c =，不妨设()10C ，，如图，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足1AB =， 圆C 方程是22(1)1x y -+=.当B 在圆C 上运动时，由AB OB OA +≥，得1OB ≥，当且仅当O ，A ，B 三点共线时取等号，又由图易知2OB ≤，即12b ≤≤，故选项A 不满足，选项B 满足；对于选项C 、D ，设()B x y ，，则()()10b c x y x ⋅=⋅=，，， 由22221(1)1x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12B x ∴≥， 又2B x ≤.即122x ≤≤. 122b c ⎡⎤∴⋅∈⎢⎥⎣⎦，，选项C ，D 满足.故选：BCD例58．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则（ ）A ．20OB OE OG ++=B ．22OA OD ⋅=- C ．4AH EH += D ．4+=+AH GH 【答案】ABC【分析】分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立的平面直角坐标系，作AM HD ⊥，结合向量的坐标运算，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为正八边形ABCDEFGH ，所以AOH HOG AOB EOF FOG ∠∠∠∠∠====DOE COB COD =∠=∠=∠360458==， 作AM HD ⊥，则OM AM =，因为2OA =，所以OM AM =(A ，同理可得其余各点坐标，()0,2B -，E ，(G ，()2,0D ，()2,0H -，对于A (02(2),2222)0OE OG ++=++--++=，故A 正确；对于B 中，(2(0OA OD ⋅=-⨯+⨯=-B 正确；对于C 中，(2AH =-，(2EH =-，(4,0)AH EH +=-，所以(4AH EH +=-=，故C 正确；对于D 中，(2AH =-，(2GH =-，(4AH GH +=-+，(4AH GH =-+=-D 不正确.故选：ABC.例59．（2022·江苏南京·模拟预测）在ABC 中，0AB AC ⋅=，3AB =，4AC =，O 为ABC 的重心，D 在边BC 上，且AD BC ⊥，则AD AO ⋅______． 【答案】9625【解析】根据O 为ABC 的重心，得到()13=+AO AB AC ，再由0AB AC ⋅=和AD BC ⊥，利用等面积法求得AD ，进而得到DB ，方法一：利用基底法求解；方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】解：因为O 为ABC 的重心， 所以()13=+AO AB AC ， 因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，则5BC =，因为AD BC ⊥，所以1122ABC S AB AC AD BC =⋅=⋅△， 即1134522AD ⨯⨯=⨯， 所以125AD =，在Rt ADB 中，95DB =． 方法一：因为925=+=+AD AB BD AB BC ， ()9916252525=+-=+AB AC AB AC AB ， 所以()191632525⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭AD AO AB AC AC AB ，221916963252525⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭AC AB ． 方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0AC =，()0,3AB =，由方法一可知9163648,25252525AD AC AB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()14,133AO AB AC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以136489513252525AD AO ⋅=⨯+⨯=．例60．（2022·北京·北大附中三模）已知正方形ABCD 的边长为2,E 是BC 的中点，点P 满足2AP AE AD =-，则PD =___________；PE PD ⋅=___________.【答案】 10 【解析】 【详解】解：以A 为原点，AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系， 所以()()()0,0,2,0,2,1A B E ，()0,2D ，设(),P x y ，所以()()(),,2,1,2,0AP x y AE AD ===，因为2AP AE AD =-，所以()()4,0,4,2P PD =-，所以25PD = 又()2,1PE =-，所以10PE PD ⋅=.故答案为：10.例61．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，2CE EB =，2CF FD =，若线段EF 上存在一点M ，使得5162AM AB AD =+，则||AM =__________，若点N 为线段BD 上一个动点，则AN MN ⋅的取值范围为__________.【答案】73 371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系，通过坐标运算先求M 坐标然后可得||AM ，再用坐标表示出AN MN ⋅，由二次函数性质可得所求范围. 【详解】因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，以BD 、AC 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，因为2AB =，60BAD ∠=︒，所以1,OB OD OC OA ====则(0,(1,0),(1,0)A B D -，设((,0)M m N n 43(1,3),(1,3),(,),(,3),3AB AD AM m AN n ==-==因为5162AM AB AD =+，所以51((62m =+-解得13m =，所以17||93AM =又1(,3MN n =-所以21137()1()3636AN MN n n n ⋅=--=--因为11n -≤≤，所以当16n =时，AN MN ⋅有最小值3736-， 当1n =-时，AN MN ⋅有最大值13，所以AN MN ⋅的取值范围为371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：73，371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

第3讲 平面向量平面向量的概念与线性运算 自主练透 夯实双基 1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[题组通关]1．(2015·高考全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →A [解析] AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.2．已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时，λ的取值不可能为( )A ．1B ．0C ．－1D ．2B [解析] 由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得，AB →＝tAC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1，故λ≠0.3．(2016·广州综合测试(一))在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则m n＝( )A ．－3B ．－13C.13D ．3A [解析] 过点A 作AE ∥CD ，交BC 于点E ，则BE ＝2，CE ＝4，所以mBA →＋nBC →＝CD→＝EA →＝EB →＋BA →＝－26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →，所以m n ＝1－13＝－3.4．(2016·广州综合测试(一))设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34B [解析] 因为CP →＝2P A →，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △P AB S △PBC ＝|P A →||CP →|＝12.平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．平面向量的数量积 共研典例 类题通法 1．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则： (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.(1)(2016·合肥第二次质量检测)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2，且a ⊥(a－2b )，则|b |＝( )A.2 B ．2 C ．2 2D ．4(2)(2016·高考天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B.18C.14D.118【解析】 (1)由a ⊥(a －2b )得，a·(a －2b )＝|a|2－2a·b ＝0，则|a －b |＝（a －b ）2＝|a |2－2a·b ＋|b|2＝|b |＝2，选项B 正确．(2)法一：如图，建立平面直角坐标系，则A (0，32)，B (－12，0)，C (12，0)，E (0，0)，D (－14，34)，由DE →＝2EF →，得F (18，－38)，则AF →＝(18，－538)，BC →＝(1，0)，所以AF →·BC→＝18.法二：AF →·BC →＝(AD →＋32DE →)·BC →＝(12AB →＋34AC →)·BC →＝12AB →·BC →＋34AC →·BC →＝－14＋38＝18.【答案】 (1)B (2)B(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路 ①直接利用数量积的定义； ②建立坐标系，通过坐标运算求解．(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．[题组通关]1．(2016·重庆适应性测试(二))设单位向量e 1，e 2的夹角为2π3，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－3e 2，则b 在a 方向上的投影为( )A ．－332B ．－ 3 C. 3D.332A [解析] 依题意得e 1·e 2＝1×1×cos2π3＝－12，|a |＝（e 1＋2e 2）2＝e 21＋4e 22＋4e 1·e 2＝3，a ·b ＝(e 1＋2e 2)·(2e 1－3e 2)＝2e 21－6e 22＋e 1·e 2＝－92，因此b 在a 方向上的投影为a ·b |a |＝－923＝－332，选A.2．(2016·福建省毕业班质量检测)在△ABC 中，A ＝π3，AB ＝2，AC ＝3，CM →＝2MB →，则AM →·BC →＝( )A ．－113B ．－43C.43D.113C [解析] 因为AM →＝AC →＋CM →＝AC →＋23CB →＝AC →＋23(AB →－AC →)＝13AC →＋23AB →，所以AM →·BC→＝⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →·(AC →－AB →)＝13×32－23×22＋13AB →·AC →＝13＋13×3×2cos π3＝43，故选C.平面向量与三角函数的综合问题 共研典例 类题通法已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cosA ，sinB )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．【解】 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理，得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ， 即c 2－2c －3＝0. 因为c ＞0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217.又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.破解平面向量与“三角”交汇题的关键：一是巧“化简”，即活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；二是会“转化”，把向量共线、向量垂直形式出现的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘积之间的关系”；三是活用“两定理”，有关解三角形的关键是正确分析边角关系，由于边与角可谓形影不离的“好姐妹”，在正、余弦定理的帮助下，边角互化，即可妙解三角形．[跟踪训练](2016·合肥市第二次质量检测)已知m ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，1，n ＝(cos x ，1)． (1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解] (1)由m ∥n 得，sin ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos x ＝0， 展开变形可得，sin x ＝3cos x ， 即tan x ＝ 3.(2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋34， 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得，－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以当x ∈[0，π]时， f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. 课时作业1．(2016·高考全国卷甲)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．8D [解析] 由向量的坐标运算得a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b )⊥b ，得(a ＋b )·b ＝12－2(m－2)＝0，解得m ＝8，故选D.2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，c ＝(1，－2)，若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ的值为( )A ．－2B ．－13C ．－1D ．－23C [解析] 由题知λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)，又λa ＋b 与c 共线，所以－2(λ＋2)－2λ＝0，所以λ＝－1.3．(2016·山西省第二次四校联考)已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3B [解析] 因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝22，所以〈a ，b 〉＝π4. 4．(2016·唐山市统一考试)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( )A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → B [解析] 因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B. 5．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →C [解析] 因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.6．在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( ) A ．－94B.94C.274 D ．－274B [解析] 依题意得|CD →|＝32，CD →·AB →＝0，CD →·CB →＝CD →·(CA →＋AB →)＝CD →·CA →＋CD →·AB→＝CD →·CA →＝|CA →|·|CD →|·cos 60°＝3×32×12＝94，故选B.7.在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则DE →·BF →＝( ) A ．－52B.32 C ．－4D ．－2C [解析] 通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．所以DE →＝(2，－1)，BF →＝(－1，2)，所以DE →·BF →＝－4.8．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－t BC →|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C [解析] 在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA →－t BC →|≥|AC →|，得BA →2－2t BA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.9．(2016·海口市调研测试)已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF .若AE →·BF →＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5B [解析] 依题意得AE →＝AB →＋BE →＝12BC →－BA →，BF →＝BC →＋1λBA →，因此AE →·BF →＝⎝⎛⎭⎫12BC →－BA →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λBA →＝12BC →2－1λBA →2＋⎝⎛⎭⎫12λ－1BC →·BA →，于是有⎝⎛⎭⎫12－1λ×62＋⎝⎛⎭⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3，选B.10．(2016·石家庄市第一次模考)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1，0)B [解析] 由题意可得OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B 正确．11．已知等腰△OAB 中，|OA |＝|OB |＝2，且|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么OA →·OB →的取值范围是( )A ．[－2，4)B ．(－2，4)C ．(－4，2)D ．(－4，2]A [解析] 依题意，(OA →＋OB →)2≥13(OB →－OA →)2，化简得OA →·OB →≥－2，又根据三角形中，两边之差小于第三边，可得|OA →|－|OB →|<|AB →|＝|OB →－OA →|，两边平方可得(|OA →|－|OB →|)2<(OB →－OA →)2，化简可得OA →·OB →<4，所以－2≤OA →·OB →<4.12．称d(a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )B [解析] 由于d(a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．13．(2016·南昌市第一次模拟测试)已知向量a ＝(1，3)，向量a ，c 的夹角是π3，a ·c ＝2，则|c |等于________．[解析] 因为向量a ＝(1，3)，所以向量|a |＝2，又向量a ，c 的夹角是π3，a·c ＝2，所以|c |＝a·c|a |cos π3＝22×12＝2.[答案] 214．(2016·合肥市第一次教学质量检测)已知等边△ABC 的边长为2，若BC →＝3BE →，AD →＝DC →，则BD →·AE →＝________．[解析] 如图所示，BD →·AE →＝(AD →－AB →)·(AB →＋BE →)＝⎝⎛⎭⎫12AC →－AB →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13AC →－13AB →＝⎝⎛⎭⎫12AC→－AB →·⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →＝16AC →2－23AB →2＝16×4－23×4＝－2. [答案] －215．已知圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________．[解析] 因为AB →＋AC →＝2AO →，所以O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形．在△AOC 中，有|OA →|＝|AC →|，所以∠B ＝30°.由定义，向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝23×32＝3. [答案] 316．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________． [解析] 由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32，故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos 5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝⎝⎛⎭⎫32e 1－12e 2·⎝⎛⎭⎫12e 1－32e 2＝32－e 1·e 2＝0，所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1)．故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.[答案] π2。

新高考数学平面向量多选题之知识梳理与训练及答案一、平面向量多选题1．已知向量(22cos m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是 （ ）A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的周期为πC ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数 【答案】ABD 【分析】运用数量积公式及三角恒等变换化简函数()f x ，根据性质判断. 【详解】解：()22cos 2cos221f x m n x x x x =⋅==+2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 当6x k ππ=+，()k Z ∈时，()f x 的最大值为3，选项A 描述准确；()f x 的周期22T ππ==,选项B 描述准确； 当512x π=时，2sin 2116x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项C 描述不准确；当,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,626x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数，选项D 描述准确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.2．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）A ．||1a b +=B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC 【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ． 【详解】 对于A ：()2222+2||+cos13a b a ba b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，c OC =的最大值为13+3222+A b B O MC a M +==+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．3．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ） A ．||||a b = B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD 【分析】根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果. 【详解】 对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确； 对于D ，又2cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.4．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）A ．当0x =时，[]2,3y ∈B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x y -的最大值为1- 【答案】BCD 【分析】利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确. 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++1153(2)222OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确 故选：BCD 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.5．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b ⊥，则tan 2θ=B ．若b 在a 上的投影为12-，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得||||||a b a b +=+D ．a b 3【答案】BCD 【分析】若a b ⊥，则tan 2θ=-A 错误； 若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确； 2cos sin a b θθ+==3)θϕ+， a b 3D 正确.【详解】若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan 2θ=-A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若2()2a b a b a b =+22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ，故D 正确，故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅，则223()||||2a ab a a b a⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,2||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.7．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）A ．()0a b c -⋅= B ．()0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=D ．2a b c ++=【答案】ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()00a b c a a +-⋅=⋅=，B对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则()0a c b a --⋅=，C 选项正确；对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.8．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π 【答案】CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a ba b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD.本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.9．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ） A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD 【分析】通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确． 【详解】对A ，当0a = 时，可得到A 不成立； 对B ，//a b 时，有326k =-，1k ∴=-，故B 正确． 对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形，a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．对D ，22()()()()110||||||||||||a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．10．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）A ．1-B ．113C ．32+ D ．32【答案】BCD 【分析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k =若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得k =综合可得，k 的值可能为21133,,,3322+- 故选：BCD 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.。

专题06平面向量1．【高考全国Ⅱ卷文数5】已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A ．b a 2+B ．ba +2C ．ba 2-D ．ba -2【答案】D【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可．【解析】由已知可得：11cos 601122⋅=︒=⨯⨯=a b a b ．A ：∵215(2)221022+⋅=⋅+=+⨯=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；B ：∵21(2)221202+⋅=⋅+=⨯+=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；C ：∵213(2)221022-⋅=⋅-=-⨯=-≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；D ：∵21(2)22102-⋅=⋅-=⨯-=b b b a b b ，∴本选项符合题意．故选D ．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记向量垂直的充要条件．2．【高考全国Ⅲ卷理数6】已知向量,a b 满足5,6,6==⋅=-a b a b ，则cos ,+=a a b （）A ．3531-B ．3519-C ．3517D ．3519【答案】D【思路导引】计算出()a ab ⋅+ 、a b + 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+> 的值．【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= ．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+-⨯+，因此()1919cos ,5735a a b a a b a a b⋅+<+>===⨯⋅+ ．故选D ．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是熟记夹角公式．新高考3．【高考山东卷7】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A【思路导引】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果．【解析】解法一：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ．解法二：如图，建立平面直角坐标系A xy -，由题意知(0,0)A ，(2,0)B ，C ，(F -，设(,)P x y ，则13x -<<，∵(,)(2,0)2AP AB x y x ⋅=⋅= ，∴226x -<<，∴AP AB ⋅的取值范围是(2,6)-．【专家解读】本题的特点是注重向量的应用，本题考查了平面向量数量积运算，考查平面向量数量积的几何意义，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是理解平面向量数量积的定义．3．【高考全国Ⅰ卷文数14】设向量()(),,,11124m m =-=+-a b ，若⊥a b ，则m =．【答案】5【思路导引】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果．【解析】由a b ⊥r r可得0a b ⋅= ，又∵(1,1),(1,24)a b m m =-=+- ，∴1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了考查了平面向量垂直充要条件的坐标形式，考查平面向量积的应用，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是熟记平面向量垂直充要条件的坐标形式．4．【高考全国Ⅰ卷理数14】设,a b 为单位向量，且1+=a b ，则-=a b ．【答案】【思路导引】整理已知可得：+=a b ，再利用,a b为单位向量即可求得21⋅=-a b ，对-a b 变形可得：-=a b 【解析】∵,a b 为单位向量，∴1==a b，∴1+====b a ，解得：21⋅=-a b，∴-===b a【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了考查了平面向量模长的计算，考查平面向量积的应用，考查转化与化归思想，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是向量模的计算公式及转化能力．一、考向分析：二、考向讲解考查内容解题技巧向量的线性运算1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较，观察可知所求．3、平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略（1）向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．（2）求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．（3）求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．向量的数量积1、数量积公式a·b＝|a||b|cosθ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a·b＝x1x2＋y1y2求解，较为简捷、明了．2．平面向量夹角的求法（1）若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cosθ＝a·b|a||b|(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．（2）在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现．3．平面向量的模的解题方法(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|＝x2＋y2．(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再开方求解．向量与解析几何向量与平面几何综合问题的解法1．坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．2．基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．平面向量基本定理用平面向量基本定理解决问题1．实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2．一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．3．要熟练运用平面几何的一些性质定理．共线向量1．两平面向量共线的充要条件有两种形式①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②a∥b(b≠0)⇔a＝λb．2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．考查平面向量基本定理：【例1】（2021·广东高州一模）如图所示的 ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE =uuu r（）A ．1136BA BC--B ．1163BA BC--C ．5163BA BC--D ．5163BA BC-+【答案】B【解析】依题意，11111113233263DE DA AE AC BA BC BA BA BA BC =+=--=-+-=--，故选B ．考查共线向量【例1】（2021·四川宜宾一模）如图，ABC 是等边三角形，ADC 是等腰直角三角形，90ADC ∠=︒，线段,AC BD 交于点O ，设BC = a ，BA = b，用a ，b 表示OD uuu r 为（）A ．OD =3366a b +B ．OD =3333a b -+C ．OD = 3366a b-+D ．OD = 3333a b+【答案】A【解析】由题意,AB BC AD DC ==，所以BAD 与BCD △全等，则BAO 与BCO 全等，所以AO OC =，所以O 为AC 的中点，则BO AC ⊥，在直角BOC 中，60OCB ∠=︒，所以OB =ADC是等腰直角三角形，则OD OC =，所以OB =，即BO =，又在等边三角形ABC 中，()()1122BO BA BC a b =+=+ ，所以()3313333266OD BO a b a b ==+=+，故选A ．【名师点睛】关键点睛：本题考查利用基底向量来表示平面向量，解答本题的关键的由几何图形的性质得到OB =，从而BO = ，再根据()()1122BO BA BC a b =+=+得出答案，属于中档题．考查线性运算：【例1】若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM 与△ABC 的面积比为()A ．15B ．25C ．35D ．925【答案】C【解析】AB 的中点为D ，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2．如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且＝35，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35．考查数量积：【例1】（2021·安徽淮北一模）已知,A B 是圆22:1O x y +=上的两个动点，AB =，32OC OA OB =-，M 为线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为（）A ．14B ．12C ．34D ．32【答案】A【解析】,A B 是圆22:4O x y +=上的两个动点，1OA OB ∴==，又AB =，即22AB =，即2cos 2ABBAO OA ∠== ，即6∠=BAO π，2263AOB πππ∴∠=-⨯=，M 是线段AB 的中点，1122OM OA OB ∴=+，()113222OM OC OA OB OA OB ⎛⎫∴⋅=+- ⎪⎝⎭223122OA OB OA OB =-+⋅ 223121111cos 223π=⨯-+⨯⨯⨯14=，故选A ．【名师点睛】关键点点睛：本题解题的关键是：利用,A B在圆上以及AB =得到23AOB π∠=．【例2】已知1,,AB AC AB AC t t ⊥== ，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+，则PB PC ⋅的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】考查向量与三角函数：【例1】设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则1110()k k k a a +=⋅∑ 的值为【答案】93【解析】20111(1)(1)(1)(cos ,sin cos )(cos ,sin cos )666666k k k k k k k k a a ππππππ++++⋅=+⋅+ 2(1)3321(21)cos sin cos cos sin cos 66664626k k k k k ππππππππ++++=++=++因此11103312934k k k a a +=⋅=⨯=∑ 【例2】（2021·贵溪一中月考）如图所示，A 、B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，()0AOP θθπ∠=<<，点C 坐标为()2,0-，平行四边形OAQP 的面积为S ．（1）求t =OA ⋅OQ +S 的最大值；（2）若//CB OP，求sin 23πθ⎛⎫-⎪⎝⎭．【答案】（1）1+；（2）4sin 2310πθ-⎛⎫-=⎪⎝⎭．【分析】（1）由三角函数的定义得出点()cos ,sin P θθ，计算出点Q 的坐标，利用三角恒等变换思想结合平面向量数量积的坐标运算以及平行四边形的面积公式可得出t 关于θ的表达式，利用正弦函数的有界性可得出t 的最大值；（2）由//CB OP以及同角三角函数的基本关系可得出关于sin θ、cos θ的方程组，结合0θπ<<可求得sin θ、cos θ的值，利用二倍角的正弦、余弦公式以及两角差的正弦公式可求得sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【解析】（1）由已知，得()1,0A 、()0,1B 、()cos ,sin P θθ，因为四边形OAQP 是平行四边形，所以()1cos ,sin OQ OA OP θθ=+=+ ，所以1cos OA OQ θ⋅=+．又平行四边形OAQP 的面积为sin sin S OA θθ=⋅=，所以1cos sin 14OA OQ S πθθθ⎛⎫⋅+=++=++ ⎪⎝⎭．又0θπ<<，则5444πππθ<+<，所以当42ππθ+=时，OA OQ S ⋅+ 的最大值为1（2）由题意，知()2,1CB = ，(cos ,sin )OP θθ= ，因为//CB OP，得cos 2sin θθ=，又0θπ<<，结合22sin cos 1θθ+=得5sin 5θ=，cos 5θ=，4sin 22sin cos 5θθθ∴==，23cos 22cos 15θθ=-=，所以4sin 2sin 2cos cos 2sin 33310πππθθθ-⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭．【名师点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）．考查向量与解析几何：【例1】已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若120MF MF ⋅< ，则y 0的取值范围是（A ）（-33，33）（B ）（-36，36（C ）（223-，223）（D ）（233-，233）【答案】A【解析】【例2】（2021·陕西宝鸡一模）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，且以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第四象限交点为P ，1PF 交双曲线左支于Q ，若12FQ QP =，则双曲线的离心率为（）A．12+B．C．12+D【答案】A【解析】12(,0),(,0)F c F c -，圆方程为222x y c +=，由222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，由222+=a b c ，0,0x y ><，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，即(,)P a b -，设Q(x 0，y 0)，由12FQ QP = ，0000(,)2(,)a x b y x c y ---=+，得023a cx -=，03b y =-，因为Q 在双曲线上，∴2222(2)199a c b a b --=，2(12)10e -=，解得1012e +=（1102e =舍去），故选A ．【名师点睛】关键点点睛：解题关键是找到关于,,a b c 的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得P 点坐标，由向量线性关系得Q 点坐标，代入双曲线方程可得．考查向量与解三角形：【例1】（2021海南海南中学高三月考）已知向量3sin 22a x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，(sin ,cos )b x x = ，()f x a b =⋅．（1）求f(x)的最大值及f(x)取最大值时x 的取值集合M ；（2）在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，若24C M π+∈，求ab的取值范围．【解析】（1）()cos ,a x x =，∴()21333sin cos sin2sin222232f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅=-=--=-⎪⎝⎭ －，()f x ∴的最大值为12-，此时2x 2,32k πππ-=+即512x k π=π+，k z ∈，5,12M x x k k z ππ⎧⎫∴==+∈⎨⎬⎩⎭．（2）24C M π+∈，52412C k πππ∴+=+，23C k ππ=+，()0,C π∈ ，3C π∴=，∴231sin()cos sin sin 31322tan sin sin cos 22B B B a A B b B B B π-+====+，锐角△ABC 中，62B ππ<< ，∴3tan 3B >，∴3a b >，即a b 的取值范围为23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．【名师点睛】本题考查三角形中的取值范围，解题的关键是将所求利用正弦定理以及角的关系化为31tan 22a Bb =+，利用角的范围求解．平面向量的数量积的解题方法例1如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若·＝2，则·的值是________．解析：方法一坐标法．以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x ，2)．故＝(2，0)，＝(x ，2)，＝(2，1)，＝(x －2，2)，∴·＝(2，0)·(x ，2)＝2x ．又·＝2，∴x ＝1．∴＝(1－2，2)．∴·＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝2．方法二用，表示，是关键．设＝x ，则＝(x －1)．·＝·(＋)＝·(＋x )＝x 2＝2x ，又∵·＝2，∴2x ＝2，∴x ＝22．∴＝＋＝·＝(＋)·＝＋1222＋12×4＝2．【例2】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为()2022年高考数学提分专题A．2－1B．1C．2D．2解析：法一：由题意知a2＝b2＝c2＝1，又a·b＝0，∵(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2≤0，∴a·c＋b·c≥c2＝1，∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c)≤1，∴|a＋b－c|≤1．方法二设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1．又a＋b－c＝(1－x，1－y)，∴|a＋b－c|＝(1－x)2＋(1－y)2＝(x－1)2＋(y－1)2＝3－2(x＋y)≤1．小结：(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：①直接利用数量积的定义；②建立坐标系，通过坐标运算求解．(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．11。