巧求初相角

初相角初相角在物理学中，相位是反映交流电任何时刻的状态的物理量。

比如正弦交流电流，它的公式是i=Isinωt=Isin2πft。

随着时间的推移，交流电流可以从零变到最大值，从最大值变到零，又从零变到负的最大值，从负的最大值变到零。

在三角函数中2πft相当于角度，它反映了交流电任何时刻所处的状态，是在增大还是在减小，是正的还是负的等等。

因此把2πft叫做相位，或者叫做相。

在t等于零时且初相ψ不等于零时，公式应为：i=Isin(ωt+ψ)=Isin(2πft+ψ)。

那么2πft+ψ叫做相位，ψ叫做初相位，或者叫做初相。

初相是自正弦量零点开始到t=0所经历的电角度，所以初相与计时起点无关。

什么是初相角浏览次数：880次悬赏分：0|提问时间：2010-6-15 20:19 |提问者：wangyc2188请通俗一点，最好有列子推荐答案在物理学中，相位是反映交流电任何时刻的状态的物理量。

比如正弦交流电流，它的公式是i=Isinωt=Isin2πft。

随着时间的推移，交流电流可以从零变到最大值，从最大值变到零，又从零变到负的最大值，从负的最大值变到零。

在三角函数中2πft相当于角度，它反映了交流电任何时刻所处的状态，是在增大还是在减小，是正的还是负的等等。

因此把2πft叫做相位，或者叫做相。

在t等于零时且初相ψ不等于零时，公式应为：i=Isin(ωt+ψ)=Isin(2πft+ψ)。

那么2πft+ψ叫做相位，ψ叫做初相位，或者叫做初相在简谐振动中，在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f表示，频率的2π倍叫角频率，即ω=2πf。

在国际单位制中，角频率的单位也是弧度/秒。

频率是描述物体振动快慢的物理量，所以角频率也是描述物体振动快慢的物理量。

频率、角频率和周期的关系为ω = 2πf = 2π/t。

在简谐振动中，角频率与振动物体间的速度 v 的关系为v =ωasin( ωt + φ )。

以上可以看出，圆周运动中的角速度ω与简谐振动中的角频率ω，虽然单位相同且都有ω = 2π/t的相同形式，但它们并不是同一个物理量。

巧求初相角求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角?初相角有几个?下面通过错解剖析，介绍四种方法.如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)，｜ϕ｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式.错解：由图知：A ＝5由23252πππ=-=T 得T ＝3π，∴ω＝T π2＝32 ∴y ＝5sin(32x ＋ϕ) 将(π，0)代入该式得：5sin(32π＋ϕ)＝0 由sin(32π＋ϕ)＝0，得32π＋ϕ＝k π ϕ＝k π－32π (k ∈Z ) ∵｜ϕ｜＜π，∴ϕ＝－32π或ϕ＝3π ∴y ＝5sin(32x －32π)或y ＝5sin(32x ＋3π) 分析：由题意可知，点(4π，5)在此函数的图象上，但在y ＝5sin(32x －32π)中，令x ＝4π，则y ＝5sin(6π－32π)＝5sin(－2π)＝－5，由此可知：y ＝5sin(32x －32π)不合题意. 那么，问题出在哪里呢?我们知道，已知三角函数值求角，在一个周期内一般总有两个解，只有在限定的范围内才能得出惟一解.正解一：(单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上 ∴32π＋ϕ∈［2π＋2k π，32π＋2k π］(k ∈Z ) 由sin(32π＋ϕ)＝0得32π＋ϕ＝2k π＋π∴ϕ＝2k π＋3π (k ∈Z ) ∵｜ϕ｜＜π，∴ϕ＝3π 正解二：(最值点法)将最高点坐标(4π，5)代入y ＝5sin(32x ＋ϕ)得5sin(6π＋ϕ)＝5 ∴6π＋ϕ＝2k π＋2π ∴ϕ＝2k π＋3π (k ∈Z )取ϕ＝3π 正解三：(起始点法)函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ωx +ϕ=0解得的，故只要找出起始点横坐标x 0,就可以迅速求得角ϕ.由图象求得x 0=-2x ,∴ϕ=-ωx 0=-32 (-2π)=3π. 正解四：(平移法)由图象知，将y =5sin(32x )的图象沿x 轴向左平移2π个单位，就得到本题图象，故所求函数为y ＝5sin 32(x ＋2π)，即y ＝5sin(32x ＋3π).。

巧数角的方法巧数角，顾名思义，就是指能够被一个非常简单的正整数除尽的角度。

与其他角度不同，巧数角能够被完美地划分成一个或多个相等的部分，这使得我们在进行角度测量和角度运算时非常方便。

在本文中，我们将探讨一些常见的巧数角及其相关的计算方法。

一、30度角30度角是最基本的巧数角之一，它可以被3整除，因此可以被划分为三个相等的部分。

我们可以利用这一特性，快速、准确地计算出一些相关问题的答案。

比如说，我们要计算正三角形的内角和，可以将它分割为3个相等的30度角，然后利用三角形内角和等于180度的公式，求出三个角的度数之和，即：3 × 30 = 90三角形内角和 = 180三个角的度数之和 = 180 - 90 = 90因此正三角形的内角和为90度。

当我们需要将一个60度角划分为两个相等的部分时，也可以利用30度角的特性。

我们只需要将60度角的两条边之一与一个30度角的边平行，然后连接另一个30度角的两条边，就可以得到两个相等的30度角。

二、45度角45度角可以被2整除，因此也是一个巧数角。

它可以被划分为两个相等的部分，即22.5度角。

45度角在几何学中广泛应用，它可以用来构造等腰直角三角形、正方形等。

当我们需要将一个90度角划分为两个相等的部分时，也可以利用45度角的特性。

我们只需要将90度角的两条边之一与一个45度角的边平行，然后连接另一个45度角的两条边，就可以得到两个相等的45度角。

三、60度角60度角可以被6整除，因此它可以被划分为六个相等的部分，即10度角。

60度角也是一个非常重要的巧数角，它在等边三角形、正六边形等几何图形中经常出现。

当我们需要将一个120度角划分为两个相等的部分时，也可以利用60度角的特性。

我们只需要将120度角的两条边之一与一个60度角的边平行，然后连接另一个60度角的两条边，就可以得到两个相等的60度角。

四、72度角72度角可以被5整除，因此它可以被划分为五个相等的部分，即14.4度角。

2013高一第二学期数学课程函数y=A sin(ωx +φ的图象(2、三角函数模型的简单应用一、知识温故:1.用五点法画y =A sin(ωx +φ一个周期内的简图时,要找五个特征点如下表所示x0-φω π2-φω π-φω 3π2-φω 2π-φω ωx +φ0 π2π 3π2 2π y =A sin(ωx +φ 0A-A2.函数y =sin x 的图象变换得到y =A sin(ωx +φ的图象的步骤3.当函数y =A sin(ωx +φ(A >0,ω>0,x ∈[0,+∞表示一个振动时,A 叫做振幅,T =2πω叫做周期,f =1T叫做频率,ωx +φ叫做相位,φ叫做初相.4.图象的对称性函数y =A sin(ωx +φ(A >0,ω>0的图象是轴对称也是中心对称图形,具体如下: (1函数y =A sin(ωx +φ的图象关于直线x =x k (其中ωx k +φ=k π+π2,k ∈Z 成轴对称图形.(2函数y =A sin(ωx +φ的图象关于点(x k,0(其中ωx k +φ=k π,k ∈Z 成中心对称图形. 一种方法在由图象求三角函数解析式时,若最大值为M ,最小值为m ,则A =M -m2,k =M +m2,ω由周期T 确定,即由2πω=T 求出,φ由特殊点确定. 一个区别由y =sin x 的图象变换到y =A sin (ωx +φ的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换,平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换再相位变换,平移的量是|φ|ω(ω>0个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言,即x 本身加减多少值,而不是依赖于ωx 加减多少值.两个注意作正弦型函数y =A sin(ωx +φ的图象时应注意: (1首先要确定函数的定义域;(2对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函数的图象.二、经典范例:考点1:作函数y =A sin(ωx +φ的图象①“五点法”――设X x ωϕ=+,令X =0,3,,,222ππππ求出相应的x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。

已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =（ ） （A ）23-(B) 23 (C)－ 12 (D) 122π3，于是f(0)【解析】选B.由图象可得最小正周期为＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称，所以f(2π3)＝－f(π2)＝23.如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值 为（ ） （A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2π【解析】选A.函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称4232k ππφπ∴⋅+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6πφ=. 已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图像如图所示，则 ϕ=________________【解析】由图可知，()544,,2,1255T x πωπϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭把代入y=sin 有： 89,510ππϕϕ⎛⎫+∴= ⎪⎝⎭1=sin已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭。

【解析】由图象知最小正周期T ＝32（445ππ-）＝32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4π时，f （x ）＝0，即2φπ+⨯43sin(）＝0，可得4πφ=，所以，712f π⎛⎫=⎪⎝⎭2)41273sin(ππ+⨯＝0。

）已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.(Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[,]122x ππ∈，求()f x 的值域.【解析】（1）由最低点为2(,2)3M π-得A=2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π，即T π=，222T ππωπ===由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin(故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126k πϕπ∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππϕϕ∈∴==+故（2）7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈ 当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=即2x π=时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]把函数y ＝cos(3x ＋4π)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( )A.向右平移4π B.向左平移4πC.向右平移12π D.向左平移12π 分析：三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象，此题是已知变换前后的函数，求变换方式的逆向型题目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且须x 的系数相同.解：∵y ＝cos(3x ＋4π)＝sin(4π－3x )＝sin ［－3(x －12π)］ ∴由y ＝sin ［－3(x -12π)］向左平移12π才能得到y ＝sin(－3x )的图象.答案：D4.将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移3π，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( )A.y ＝sin(2x ＋3π) B.y ＝sin(2x －3π) C.y ＝sin(2x ＋32π) D.y ＝sin(2x －32π)分析：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法.解：y ＝f (x )可由y ＝sin x ，纵坐标不变，横坐标压缩为原来的1/2，得y =sin2x ;再沿x 轴向左平移3π得y ＝sin2(x ＋3π)，即f (x )＝sin(2x ＋32π).若函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－8π对称，则a ＝–1. 分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.解：∵x 1＝0，x 2＝－4π是定义域中关于x ＝－8π对称的两点 ∴f (0)＝f (－4π) 即0＋a ＝sin(－2π)＋a cos(－2π) ∴a ＝－1若对任意实数a ，函数y ＝5sin(312+k πx －6π)(k ∈Ｎ)在区间［a ，a ＋3］上的值45出现不少于4次且不多于8次，则k 的值是( )A.2B.4C.3或4D.2或3分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：先求出与k 相关的周期T 的取值范围，再求k .解：∵T ＝3)3(,1263122=-++=+a a k k ππ又因每一周期内出现45值时有2次，出现4次取2个周期，出现45值8次应有4个周期.∴有4T ≥3且2T ≤3即得43≤T ≤23，∴43≤126+k ≤23解得23≤k ≤27，∵k ∈Ｎ，∴k ＝2或3.巧求初相角求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角?初相角有几个?下面通过错解剖析，介绍四种方法.如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)，｜ϕ｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式. 错解：由图知：A ＝5由23252πππ=-=T 得T ＝3π，∴ω＝T π2＝32∴y ＝5sin(32x ＋ϕ)将(π，0)代入该式得：5sin(32π＋ϕ)＝0 由sin(32π＋ϕ)＝0，得32π＋ϕ＝k π ϕ＝k π－32π(k ∈Z )∵｜ϕ｜＜π，∴ϕ＝－32π或ϕ＝3π∴y ＝5sin(32x －32π)或y ＝5sin(32x ＋3π)分析：由题意可知，点(4π，5)在此函数的图象上，但在y ＝5sin(32x －32π)中，令x ＝4π，则y ＝5sin(6π－32π)＝5sin(－2π)＝－5，由此可知：y ＝5sin(32x －32π)不合题意.那么，问题出在哪里呢?我们知道，已知三角函数值求角，在一个周期内一般总有两个解，只有在限定的范围内才能得出惟一解.正解一：(单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上∴32π＋ϕ∈［2π＋2k π，32π＋2k π］(k ∈Z )由sin(32π＋ϕ)＝0得32π＋ϕ＝2k π＋π ∴ϕ＝2k π＋3π(k ∈Z )∵｜ϕ｜＜π，∴ϕ＝3π正解二：(最值点法)将最高点坐标(4π，5)代入y ＝5sin(32x ＋ϕ)得5sin(6π＋ϕ)＝5 ∴6π＋ϕ＝2k π＋2π ∴ϕ＝2k π＋3π (k ∈Z )取ϕ＝3π正解三：(起始点法)函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ωx +ϕ=0解得的，故只要找出起始点横坐标x 0,就可以迅速求得角ϕ.由图象求得x 0=-2x,∴ϕ=-ωx 0=-32 (-2π)=3π.正解四：(平移法)由图象知，将y =5sin(32x )的图象沿x 轴向左平移2π个单位，就得到本题图象，故所求函数为y ＝5sin 32(x ＋2π)，即y ＝5sin(32x ＋3π).【基础知识精讲】1.用五点法作y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的图像时，我们采用换元法，将ωx+φ看成y=sinx 中的x ，模仿y=sinx 的五点法来作.ωx 1+φ=0⇒x 1=-ωΦ,ωx 2+φ=2π⇒x 2=ωπΦ-2ωx 3=π⇒x 3=ωπΦ-,ωx 4+φ=23π⇒x 4=ωπΦ-23,ωx 5+φ=2π⇒x 5=ωπΦ-2.即五点(-ωΦ,0),( ωπΦ-2,A),( ωπΦ-,0).(ωπΦ-23,-A).( ωπΦ-2,0)2.函数y=Asin(ωx+φ)的图像与y=sinx 的图像关系.(1)振幅变换函数y=Asinx(A ＞0,且A ≠1)的图像，可以看作是y=sinx 图像上所有点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换，它实质上是纵向的伸缩.(2)周期变换函数y=sin ωx(ω＞0,且ω≠1)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上各点的横坐标都缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的，由y=sinx 的图像变换为y=sin ωx 的图像，其周期由2π变ωπ2.这种变换叫做周期变换.它实质上是横向的伸缩.(3)相位变换函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位而得到的.这种由y=sinx 的图像变换为y=sin(x+φ)的图像的变换，使相位x 变为x+φ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换.应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由y=sinx 的图像得到y=Asin(ωx+φ)+k 的图像.事实上，设f 、t 、h 分别表示相位变换，周期变换，振幅变换，则变换作图法共有以下不同的程序.(1)f →t →h;(2)f →g →t(3)t →h →f;(4)t →f →h;(5)h →f →t;(6)h →t →f3.y=Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0)与振动在物理学中，y=Asin(ωt+φ)(A ＞0,ω＞0),其中t ∈［0，+∞)，表示简谐振动的运动方程.这时参数A ，ω，φ有如下物理意义.A 称为振幅，它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离.T=ωπ2称为周期，它表示振动一次所需的时间(亦即函数y 的最小正周期).f=T 1= πω2称为振动的频率，它表示单位时间内往复振动的次数，ωt+φ叫做相位，当t=0时的相位，即φ称为初相.4.函数图像的对称变换一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、平移、伸缩等)得到与其图像有关函数的图像，叫做函数的初等变换.前面的平移、伸缩变换均属初等变换. 对称变换主要指下面几种：(1)函数y=-f(x)的图像与y=f(x)的图像关于x 轴对称. (2)函数y=f(-x)的图像与y=f(x)的图像关于y 轴对称. (3)函数y=f(-x)的图像与y=-f(x)的图像关于原点对称.(4)函数y=f -1(x)(或x=f(y))的图像与y=f(x)的图像关于直线y=x 对称. 【重点难点解析】重点：用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的简图及三角函数的图像变换. 难点：三角函数的图像变换.即由y=sinx 的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的过程. 关键：理解A 、ω、φ的对图像变化所起的作用.例1 函数y=3cos(2x -4π)的图像可以由y=sinx 的图像经过怎样的变换得到?解：y=3cos(2x -4π)=3sin ［2π+( 2x -4π)］=3sin(2x +4π).先将y=sinx 的图像向右平移4π个单位，得到y 1=sin(x+4π)的图像.再将y 1的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y 2=sin(2x +4π)的图像.再将y 2的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，就得到所求函数的图像.评析：这种图像变换的顺序通常是先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换.本题中若将相位变换与周期变换的顺序交换，得到的结果将是y=3sin(2x +8π)而不是y=3sin(2x +4π).例2 用五点法作出函数y=4sin(2x +3π)在一个周期内的简图.解：函数y=4sin(2x +3π)的振幅A=4，周期T=4π,令2x +3π=0,得初始值x 0=-32π(初始值指图像由x 轴下方向上经过x 轴时的横截距).列表：2x +3π2π π23π 2πx-32π3π34π37π310πy4-4评注：注意到五点的横坐标是从x 0开始，每次增加周期的41，即x i =x i-1+4T(i=1,2,3,4)可简化x 的五个值的运算.例3 设三角函数f(x)=sin(5k x+3π)(k ≠0).(1)写出f(x)的最大值M ，最小值m 和最小正周期T ；(2)试求最小正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M ，一个值是m.解：(1)M=1,m=-1,T=52k π=kπ10.(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m ，而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M 与一个值m ，必须且只须f(x)的周期≤1，即kπ10≤1,｜k ｜≥10π=31.4,可见，k=32就是这样的最小整数.例4 已知正弦数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0)的一个周期的图像如图所示，试求函数的解析式.分析：求函数的解析式，就是确定解析式中A ，ω，φ的值.由图像中三个已知点的坐标列出A ，ω，φ的方程组求解.若令X=ωx+φ,要注意x 0=-25π是初始值，对应于X=0,x=-π时对应于X=π.∴函数解析式为y=2sin(32x+35π).【难题巧解点拔】例1 指出将y=sinx 的图像变换为y=sin(2x+3π)的图像的两种方法.思路1 x →2x →2(x+6π)=2x+3π.解法 1 y=sinx 纵坐标不变横坐标缩短为原来的−−−−−−−−−−→−21y=sin2x −−−−−−−→−π单位向左平移6y=sin［2(x+6π)］=sin(2x+3π).思路2 x →x+3π→2x+3π.解法2y=sinx −−−−−−−→−π单位向左平移3y=sin(x+3π)纵坐标不变横坐标缩短为原来的−−−−−−−−−−→−21y=sin(2x+3π).说明：在解法1中，先伸缩，后平移.在解法2中，先平移，后伸缩.表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的(即6π和3π)，但由于伸缩变换的影响，所以实质上都是一致的.例2 函数f(x)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移2π个单位，所得到的曲线是y=21sinx 的图像，试求函数y=f(x)的解析式.分析：这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”(所谓“逆变换”，即将以上变换倒过来，由y=21sinx 变换到y=f(x);二是代换法，即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换分两步得：y=Asin ［2ω(x+2π)+φ］,它就是y=21sinx ，即可求得A 、ω、φ的值.解法1：问题即是将y=21sinx 的图像先向右平移2π个单位，得y=21sin(x-2π);再将横坐标压缩到原来的21，得y=21sin(2x-2π),即y=-21cos2x.这就是所求函数f(x)的解析式.例2 已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)的一段曲线(如下图)，试求解析式.解：(1)因为A=3，T=π,ω=2,φ=-ωx 0=-2(-52π)=54π,所以y=3sin(2x+54π).(2)A=2,当x=0时，y=1,所以2sin φ=1,又｜φ｜＜2π，所以φ=4π,当x=1211π时，y=0，即2sin(ω·1211π+4π)=0,所以ω=1121,所以y=2sin(1121x+4π).评析：若已知曲线与x 轴的交点的坐标，先确定ω=T π2；若已知曲线与y 轴的交点的坐标，先确定φ；若先确定ω则有φ=-ωx 0,其中x 0是离y 轴最近的递增区间的中心点的横坐标.1.如图，是正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的一个周期的图像. (1)写出f(x)的解析式；(2)若g(x)与f(x)的图像关于直线x=2对称，写出g(x)的解析式.2.试说明y=cosx 的图像经怎样的变换可得到y=3cos(3x+2π)+1的图像?3.已知y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为32π，最小值为-2，且过点(95π，0)，求它的表达式.1.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,｜φ｜＜2π)的图像在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0，2)和(x 0+3π，-2). (Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)y=f(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的31(纵坐标不变)，然后再将所得图像向x 轴正方向平移3π个单位，得到函数y=g(x)的图像.写出函数y=g(x)的解析式并用列表作图的方法画出y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图像. 例2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin （ωx+φ)型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．y 13ππ3解：（1）T= 13π3－ π3=4π． ∴ω=2πT = 12．又A=3，由图象可知 所给曲线是由y=3sin x 2沿x 轴向右平移 π3而得到的． ∴解析式为 y=3sin 12 (x －π3)．(2)设（x ，y)为y=3sin(12 x －π6）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2π的对称点应为（4π－x ，y)，故与y=3sin(12 x －π6）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin ［12（4π－x)－ π6］=－3sin(12 x ＋π6）． 点评 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sin ωx 的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）|φ|ω个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值，并求出此时x 的值．分析 由于f （x ）的表达式较复杂，需进行化简．解 y=sin 2x+cos 2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+π4)+2 当2x+π4=2k π+π2， 即x=k π+π8 (k ∈Z)时，y max = 2 +2 ．点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= a 2+b 2sin （x+φ）．例2 若θ∈［－π12, π12］，求函数y=cos(π4+θ）+sin2θ的最小值． 分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．解 y=cos(π4+θ)－cos ［2(θ+π4)］=cos(π4+θ)－［2cos 2(θ+π4)－1］=－2cos 2(θ+π4)+cos(π4+θ)+1 =－2［cos 2(θ+π4)－12cos(θ+π4)］+1 =－2［cos(θ+π4)－14］2+98． ∵θ∈［－π12, π12］， ∴θ＋π4∈［π6，π3］． ∴12≤cos(θ+π4)≤ 3 2， ∴y 最小值 = 3 －12． 点评 （1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx ，cosx 的有界性，通过换元转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint 和y=Acost 的单调性求出最值．例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．分析 由于sinx+cosx 与sinxcosx 可以相互表示，所以令sinx+cosx=t ，则原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题．解 令t=sinx+cosx ，则y=t+t 2+1=(t+12)2+34，且t ∈［－ 2 ， 2 ］， ∴y min =34 ，y max =3+ 2 ．点评 注意sinx+cosx 与sinxcosx 的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某个区间上的最值问题．【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k 型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx 与sinxcosx 的关系，令sinx+cosx=t ，则sinxcosx=t 2－12． y=sinxcosx+sinx+cosx ，求x ∈［0，π3］时函数y 的最大值。

初相角，怎样求
作者：潘梅耘
来源：《新高考·数学基础》2019年第04期
求初相角是高中数学学习中的一个重要知识点，也是一个难点，涉及求初相、相位、求三角函数解析式、分析图象性质、图象变化等问题.就“怎样求初相角”这个话题，本文与同学们进行一些交流.
一、初相位（角）的概念
错因将两种情形的图象作出就知，后一情形对应的图象与前一情形对应的图象关于x轴
对称，振幅周期完全一致，但走势却不同，结合题中图象知前一情形正确，后一情形是增解，
应舍去（也可由函数的单调性舍解）.因此找点的坐标代入解析式确定φ的值时，应避开平衡位置上的点，而找峰点或谷点，以避免增解.
2.“五点法”求初相角——简化五点横坐标之一置换求解
根据简化五点作图理论，置换出五点的横坐标之一，即可求出φ的值，此法可简称为“五点法”.
评析待定初相位时，既要思考过点，义要思考点所在的单调区间或五点中按序的第几个点，整体思考解出初相位.
3.“变换法”求初相角——利用初相位为0时的图象变换求解
评析图象的平移的方向和平移量的大小均是易错点，尤其在周期变换前后的平移量更易搞错，希望同学们细心解答.
尽管求解初相角的题型很多，但求解的方法总可归结到“方程法”、“五点法”、“变换法”三种方法之一.
建议优先考虑“五点法”中的五点横坐标之一（一般选起点）求初相角.
在做题中建议优先利用圖象直观求解与初相角有关的问题，特别是对称性问题.
此外同学们要注意周期变换与平移变换的顺序对平移量的影响，有两种方法，即法一：先相位，再周期;法二：先周期，再相位（注意平移量的不同），体会相位角变换的本质.
最后必须指出，方法虽多，但使用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中。

求三角函数初相在学习三角函数时，一个重要的概念就是初相，初相指的是三角函数图像与横轴交点的位置，能够影响到函数图像的周期和形态。

因此，在求解三角函数初相时必须掌握一定的方法和技巧。

一、正弦函数的初相正弦函数的标准式为y=Asin(ωx+φ)+k，其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相，k为y轴上的截距。

对于正弦函数来说，初相指的是在x轴上的第一个正弦函数图像的左端点对应的x值。

求解正弦函数初相的一个方法就是观察函数图像和周期。

由于正弦函数在一个周期内从0到2π再回到0，因此只需找到一个周期内的两个特殊点，然后计算它们之间的距离，再把这个距离除以相应的函数系数即可。

另外，还可以用公式φ=arcsin(y0/A)-ωx0来求解。

其中，y0为图像上第一个极小值点的y坐标，x0为对应的x坐标。

二、余弦函数的初相余弦函数的标准式为y=Acos(ωx+φ)+k，其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相，k为y轴上的截距。

对于余弦函数来说，初相指的是在x轴上的第一个余弦函数图像的最高点对应的x值。

与求解正弦函数初相类似，求解余弦函数初相也可以通过观察函数图像和周期得到。

由于余弦函数在一个周期内从1到-1再回到1，因此只需找到一个周期内的两个特殊点，然后计算它们之间的距离，再把这个距离除以相应的函数系数即可。

另外，还可以用公式φ=arccos(y0/A)-ωx0来求解。

其中，y0为图像上第一个极大值点的y坐标，x0为对应的x坐标。

三、正切函数的初相正切函数的标准式为y=Atan(ωx+φ)+k，其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相，k为y轴上的截距。

对于正切函数来说，初相指的是在x轴上的第一个切线与x轴交点的x值。

求解正切函数初相可以用公式φ=arctan(y0/A)-ωx0，其中y0为函数图像上第一个切线斜率为正无穷的位置对应的y值，x0为对应的x值。

另外，由于正切函数的周期是π/ω，因此也可以通过求周期来求出初相，即φ=π/2-ωl。

怎样根据正余弦型曲线的特征求初相ϕ？根据正弦型函数()sin y A x b ωϕ=++的图像特征求解析式是一类常考不衰的题型，如2010年高考题中就出现了数次。

它有时以选择题的形式出现，此时要尽可能用排除法求解；但是以填空题或者解答题的形式出现也有可能，此时其难度往往集中在初相ϕ的确定上，根据已知条件的不同又分为两类，第一类是已知点为“纯零点型”的，那么我们一般都是从寻找“五点法”的第一个零点,0ϕω⎛⎫-⎪⎝⎭作为突破口，注意从图像的升降趋势找准第一个零点的位置；第二类是“非纯零点型”的，即已知点不全在x 轴上的，此时求初相ϕ的值相对容易一些。

求A 与ω的值都不会难，此时要写出初步的解析式，以便用待定系数法求ϕ。

一般地，题目都会规定A ＞0，如果没有规定，也先假设A ＞0解下去。

若对初相ϕ的范围未给出限制，则习惯上尽量取一个绝对值比较小的值，如ϕ＜2T 。

【问题1】如图为电流I 与时间t 的关系式()sin I A t ωϕ=+ 在一个周期内的图像，请写出这个解析式。

【解析】：由图像知，A=300，最小正周期 T=111215030050⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴2100T πωπ==， 此时()300sin 100I t πϕ=+……（*）图像上的第一零点（图像开始上升的零点）为1,0300⎛⎫-⎪⎝⎭，将其代入（*）式中，得11000300πϕ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，∴3πϕ=， ∴所求解析式为300sin 1003I t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭。

其中ϕ的值也可以这样求：100100100100100t t t ϕϕπϕππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 比较图像得：11003003ϕπϕπ-=-⇒=。

这个方法体现了用“五点法”的第一个零点求ϕ的值的思想，是最具一般性的思想。

【问题2】（2005全国高考Ⅰ第17题）设函数()()sin 2f x x ϕ=+（π-＜ϕ＜0），()y f x =的一条对称轴是直线8x π=。