2017届高考数学(文)一轮对点训练:17-2不等式的证明.doc
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高考一轮复习不等式质及证明不等式性质及证明1.不等式的性质比较两实数大小的方法——求差比较法0a b a b >⇔->;0a b a b =⇔-=;0a b a b <⇔-<。
定理1:若a b >,则b a <;若b a <,则a b >.即a b >⇔b a <。
说明:把不等式的左边和右边交换,所得不等式与原不等式异向,称为不等式的对称性。
定理2:若a b >,且b c >,则a c >。
说明:此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数;定理2称不等式的传递性。
定理3:若a b >,则a c b c +>+。
说明:(1)不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向;(2)定理3的证明相当于比较a c +与b c +的大小,采用的是求差比较法;(3)定理3的逆命题也成立;(4)不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边。
定理3推论:若,,a b c d a c b d >>+>+且则。
说明:(1)推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出;(2)这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即:两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;(3)同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;异向不等式:两个不等号方向相反的不等式定理4.如果b a >且0>c ,那么bc ac >;如果b a >且0<c ,那么bc ac <。
推论1:如果0>>b a 且0>>d c ,那么bd ac >。
说明:(1)不等式两端乘以同一个正数,不等号方向不变;乘以同一个负数,不等号方向改变;(2)两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向;(3)推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。
专题13 不等式、推理与证明1.【2019年高考全国I 卷文数】古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12(12≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm ,头顶至脖子下端的长度为26 cm ,则其身高可能是A .165 cmB .175 cmC .185 cmD .190 cm【答案】B【解析】方法一:如下图所示. 依题意可知:11,22AC AB CD BC ==, ① 腿长为105 cm 得,即>105CD ,164.892AC CD =>, 64.89105169.89AD AC CD =+>+=,所以AD >169.89.②头顶至脖子下端长度为26 cm , 即AB <26,42.07BC =<, =+<68.07AC AB BC ,110.15CD=<,+<68.07+110.15=178.22AC CD,所以<178.22AD.综上,169.89<<178.22AD.故选B.方法二:设人体脖子下端至肚脐的长为x cm,肚脐至腿根的长为y cm,则262611052xx y+==+,得42.07cm, 5.15cmx y≈≈.又其腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故选B.【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取类比法,利用转化思想解题.2.【2019年高考全国III卷文数】记不等式组6,20x yx y+≥⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D.命题:(,),29p x y D x y∃∈+≥;命题:(,),212q x y D x y∀∈+≤.下面给出了四个命题①p q∨②p q⌝∨③p q∧⌝④p q⌝∧⌝这四个命题中,所有真命题的编号是A.①③B.①②C.②③D.③④【答案】A【解析】根据题中的不等式组可作出可行域,如图中阴影部分所示,记直线1: 2+9,l y x=-2: =2+12l y x-,由图可知,(,),29,(,),212x y D x y x y D x y ∃∈+∃∈+>…, 所以p 为真命题,q 为假命题, 所以p ⌝为假命题,q ⌝为真命题,所以p q ∨为真命题,p q ⌝∨为假命题,p q ∧⌝为真命题,p q ⌝∧⌝为假命题, 所以所有真命题的编号是①③.故选A.【名师点睛】本题将线性规划和不等式,命题判断综合到一起,解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断.3.【2019年高考北京卷文数】在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ,其中星等为m k 的星的亮度为E k (k =1,2).已知太阳的星等是−26.7,天狼星的星等是−1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 A . 1010.1B . 10.1C . lg10.1D . 10–10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选:A .【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.4.【2019年高考天津卷文数】设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……,则目标函数4z x y =-+的最大值为 A .2 B .3C .5D .6【答案】D【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距, 故目标函数在点A 处取得最大值. 由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩,得(1,1)A -,所以max 4(1)15z =-⨯-+=. 故选C.【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围.即:一画,二移,三求. 5.【2019年高考天津卷文数】设x ∈R ,则“05x <<”是“|1|1x -<”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】11x -<等价于02x <<,故05x <<推不出11x -<; 由11x -<能推出05x <<,故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件. 故选B .【名师点睛】充要条件的三种判断方法: (1)定义法:根据p ⇒q ,q ⇒p 进行判断;(2)集合法:根据由p ,q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断;(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.6.【2019年高考浙江卷】若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩,则32z x y =+的最大值是A . 1-B . 1C . 10D . 12【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示. 因为32z x y =+,所以3122y x z =-+. 平移直线3122y x z =-+可知,当该直线经过点A 时,z 取得最大值. 联立两直线方程可得340340x y x y -+=⎧⎨--=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩. 即点A 坐标为(2,2)A ,所以max 322210z =⨯+⨯=.故选C.【名师点睛】解答此类问题,要求作图要准确,观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度,也有可能在解方程组的过程中出错. 7.【2019年高考浙江卷】若0,0ab >>,则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时,a b +≥当且仅当a b =时取等号,则当4a b +≤时,有4a b ≤+≤,解得4ab ≤,充分性成立;当=1, =4a b 时,满足4ab ≤,但此时=5>4a+b ,必要性不成立,综上所述,“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有,一是基本不等式掌握不熟,导致判断失误;二是不能灵活的应用“赋值法”,通过特取,a b 的值,从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 8.【2018年高考北京卷文数】设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则A .对任意实数a ,(2,1)A ∈B .对任意实数a ,(2,1)A ∉C .当且仅当a <0时,(2,1)A ∉D .当且仅当32a ≤时,(2,1)A ∉ 【答案】D【解析】点(2,1)在直线1x y -=上,4ax y +=表示过定点(0,4),斜率为a -的直线,当0a ≠ 时,2x ay -=表示过定点(2,0),斜率为1a的直线,不等式2x ay -≤表示的区域包含原点,不等式4ax y +>表示的区域不包含原点.直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直.显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时,不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1),故排除A ;点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-,当32a -<-,即32a >时,4ax y +>表示的区域包含点(2,1),此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1),故排除B ;当直线4ax y +=的斜率32a -=-,即32a =时,4ax y +>表示的区域不包含点(2,1),故排除C ,故选D.【名师点睛】本题主要考查线性规划问题,考查考生的数形结合思想、化归与转化思想以及逻辑推理能力和运算求解能力,考查的核心素养是直观想象、数学运算. 9.【2018年高考天津卷文数】设x ∈R ,则“38x >”是“||2x >”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解不等式x 3>8可得x >2,求解绝对值不等式|x |>2可得x >2或x <−2,据此可知:“x 3>8”是“|x|>2” 的充分而不必要条件.故选A.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.【2018年高考天津卷文数】设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩,,,,则目标函数35z x y =+的最大值为 A .6B .19C .21D .45【答案】C【解析】绘制不等式组52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩,,,表示的平面区域如图所示,结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值,联立直线方程得51x y x y +=⎧⎨-+=⎩,可得点A 的坐标为()2,3A ,据此可知目标函数的最大值为:max 35325321z x y =+=⨯+⨯=.本题选择C 选项.【名师点睛】求线性目标函数z =ax +by (ab ≠0)的最值,当b >0时,直线过可行域且在y 轴上截距最大时,z 值最大,在y 轴截距最小时,z 值最小;当b <0时,直线过可行域且在y 轴上截距最大时,z 值最小,在y 轴上截距最小时,z 值最大.11.【2017年高考天津卷文数】设x ∈R ,则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由20x -≥,可得2x ≤,由|1|1x -≤,可得111x -≤-≤,即02x ≤≤, 因为{}{}022x x x x ≤≤⊂≤,所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件,故选B .【名师点睛】判断充要关系的的方法:①根据定义,若,/p q q p ⇒⇒,那么p 是q 的充分而不必要条件,同时q 是p 的必要而不充分条件,若p q ⇔,那么p 是q 的充要条件,若,//p q q p ⇒⇒,那那么p 是q 的既不充分也不必要条件;②当命题是以集合的形式给出时,那就看包含关系,若:p x A ∈,:q x B ∈,若A 是B 的真子集,那么p 是q 的充分而不必要条件,同时q 是p 的必要而不充分条件,若A B =,那么p 是q 的充要条件,若没有包含关系,那么p 是q 的既不充分也不必要条件;③命题的等价性,根据互为逆否命题的两个命题等价,将“p 是q ”的关系转化为“q ⌝是p ⌝”的关系进行判断.12.【2017年高考天津卷文数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==,则,,的大小关系为A .a b c <<B .b a c <<C .c b a <<D .c a b <<【答案】C【解析】由题意可得221(log )(log 5)5a f f =-=,且22log 5log 4.12>>,0.8122<<,所以0.822log 5log 4.12>>,结合函数的单调性,可得0.822(log 5)(log 4.1)(2)f f f >>,即a b c >>,即c b a <<.故选C .【名师点睛】比较大小是高考的常见题型,指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数,借助指数函数和对数函数的图象,利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较,要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性,数形结合进行大小比较或解不等式.13.【2017年高考全国I 卷文数】设x ,y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A .0B .1C .2D .3【答案】D【解析】如图,作出不等式组表示的可行域,则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值,故max 303z =+=,故选D .【名师点睛】本题主要考查线性规划问题,首先由不等式组作出相应的可行域,并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确a bc定目标函数的最值取法或值域范围.14.【2017年高考浙江卷】若x ,y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的取值范围是A .[0,6]B .[0,4]C .[6,)+∞D .[4,)+∞【答案】D【解析】如图,可行域为一开放区域,所以直线过点(2,1)时取最小值4,无最大值,选D .【名师点睛】本题主要考查线性规划问题,首先由不等式组作出相应的可行域,作图时,可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+(或y kx b ≥+),“≤”取下方,“≥”取上方,并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15.【2017年高考全国II 卷文数】设,x y 满足约束条件2+330,2330,30,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值是A .15-B .9-C .1D .9【答案】A【解析】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B --处取得最小值,最小值为min 12315z =--=-.故选A.【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16.【2017年高考全国II卷文数】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲、丁两人一人优秀一人良好,乙看到丙的成绩则知道自己的成绩,丁看到甲的成绩则知道自己的成绩,即乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).17.【2017年高考北京卷文数】若,x y满足3,2,,xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y+的最大值为A.1 B.3 C.5 D.9 【答案】D【解析】如图,画出可行域,2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线,当2z x y =+过点()3,3C 时,目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=,故选D.【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域,将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为:一画、二移、三求.常见的目标函数类型有:(1)截距型:形如z ax by =+.求这类目标函数的最值时常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式:a zy x b b=-+,通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值;(2)距离型:形如()()22z x a y b =-+-;(3)斜率型:形如y bz x a-=-,而本题属于截距形式.18.【2017年高考山东卷文数】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是A .-3B .-1C .1D .3 【答案】D【解析】画出约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的可行域,如图中阴影部分所示,平移直线20x y +=,可知当其经过直线250x y -+=与2y =的交点(1,2)-时,2z x y =+取得最大值,为max 1223z =-+⨯=,故选D.z b【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是:“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点,并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域.当不等式中带等号时,边界为实线;不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤:①画出约束条件对应的可行域;②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解;③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值. 19.【2017年高考山东卷文数】已知命题p :,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q :若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是A .p q ∧B .p q ∧⌝C .p q ⌝∧D .p q ⌝∧⌝ 【答案】B【解析】由0x =时210x x -+≥成立知p 是真命题,由221(2),12<->-可知q 是假命题,所以p q ∧⌝是真命题,故选B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.20.【2019年高考全国II 卷文数】若变量x ,y 满足约束条件23603020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤,,,则z =3x –y 的最大值是____________.【答案】9【解析】画出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,阴影部分表示的三角形ABC 区域,根据直线30x y z --=中的z 表示纵截距的相反数,当直线3z x y =-过点3,0C ()时,z 取最大值为9.【名师点睛】本题考查线性规划中最大值问题,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取图解法,利用数形结合思想解题.搞不清楚线性目标函数的几何意义致误,从线性目标函数对应直线的截距观察可行域,平移直线进行判断取最大值还是最小值.21.【2019年高考全国II 卷文数】中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.(本题第一空2分,第二空3分.)【答案】261【解析】【答案】261【解析】由图可知第一层(包括上底面)与第三层(包括下底面)各有9个面,计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18826+=个面.如图,设该半正多面体的棱长为x ,则AB BE x ==,延长CB 与FE 交于点G ,延长BC 交正方体棱于H ,由半正多面体对称性可知,BGE △为等腰直角三角形,,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==,1x ∴==,1.【名师点睛】本题立意新颖,空间想象能力要求高,物体位置还原是关键,遇到新题别慌乱,题目其实很简单,稳中求胜是关键.立体几何平面化,无论多难都不怕,强大空间想象能力,快速还原图形.22.【2019年高考北京卷文数】若x ,y 满足2,1,4310,x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩则y x -的最小值为__________,最大值为__________. 【答案】3-;1【解析】根据题中所给约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示.设z y x -=,则=+y x z ,求出满足在可行域范围内z 的最大值、最小值即可,即在可行域内,当直线=+y x z 的纵截距最大时,z 有最大值,当直线=+y x z 的纵截距最小时,z 有最小值.由图可知,当直线=+y x z 过点A 时,z 有最大值,联立24310x x y =⎧⎨-+=⎩,可得23x y =⎧⎨=⎩,即(2,3)A , 所以max 321z =-=;当直线=+y x z 过点(2,1)B -时,z 有最小值, 所以min 123z =--=-.【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识、基本技能的考查.23.【2019年高考天津卷文数】设0,0,24x y x y >>+=,则(1)(21)x y xy++的最小值为__________. 【答案】92【解析】(1)(21)2212525x y xy y x xy xy xy xy xy++++++===+.因为0,0,24x y x y >>+=,所以24x y +=≥2,02xy ≤<≤,当且仅当22x y ==时取等号成立.又因为192255=22xy +≥+⨯, 所以(1)(21)x y xy ++的最小值为92.【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.24.【2019年高考北京卷文数】李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x =10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为__________. 【答案】①130 ;②15.【解析】①10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元.所以x 的最大值为15.【名师点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景,创设问题情境,考查学生身边的数学,考查学生的数学建模素养.25.【2018年高考浙江卷】若,x y 满足约束条件0,26,2,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则3z x y =+的最小值是___________,最大值是___________. 【答案】−2 8【解析】作0,26,2x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域,如图中阴影部分所示,则直线3z x y =+过点A (2,2)时z 取最大值8,过点B (4,−2)时z 取最小值−2.【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化,即用数形结合的思想解题.需要注意的是: 一、准确无误地作出可行域;二、画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错; 三、一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得. 26.【2018年高考北京卷文数】若x ,y 满足12x y x +≤≤,则2y−x 的最小值是_________.【答案】3【解析】作出可行域,如图,则直线2z y x =-过点A (1,2)时,z 取最小值3.【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是: 一、准确无误地作出可行域;二、画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三、一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 解本题时,先作出可行域,再根据目标函数与可行域关系,确定最小值取法.27.【2018年高考全国I 卷文数】若x ,y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,则32z x y =+的最大值为_____________. 【答案】6【解析】根据题中所给的约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,画出其对应的可行域,如图所示:由32z x y =+可得3122y x z =-+,画出直线32y x =-,将其上下移动,结合2z的几何意义,可知当直线过点B 时,z 取得最大值, 由220x y y --=⎧⎨=⎩,解得()2,0B ,此时max 3206z =⨯+=,故答案为6.【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,之后根据目标函数的形式,判断z 的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、距离型,根据不同的形式,应用相应的方法求解.28.【2018年高考全国III 卷文数】(2018新课标Ⅲ文科)若变量x y ,满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,,则13z x y =+的最大值是________. 【答案】3【解析】作出约束条件23024020x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,,表示的可行域如下图所示.由图可知目标函数在直线240x y -+=与2x =的交点(2,3)处取得最大值3. 故答案为3.【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是:“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点,并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域.当不等式中带等号时,边界为实线;不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤:①画出约束条件对应的可行域;②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解;③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值.29.【2018年高考全国II 卷文数】若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,,, 则z x y =+的最大值为__________.【答案】9【解析】不等式组25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,,表示的可行域是以()()()5,4,1,2,5,0A B C为顶点的三角形区域,如下图所示,目标函数z x y =+的最大值必在顶点处取得,易知当5,4x y ==时,max 9z =.【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,之后根据目标函数的形式,判断z 的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、距离型,根据不同的形式,应用相应的方法求解. 30.【2018年高考天津卷文数】(2018天津文科)已知,a b ∈R ,且360a b -+=,则128ab +的最小值为 . 【答案】14【解析】由a −3b +6=0可知a −3b =−6,且2a +18b =2a +2−3b ,因为对于任意x ,2x >0恒成立,结合基本不等式的结论可得:2a +2−3b ≥2×√2a ×2−3b =2×√2−6=14.当且仅当{2a =2−3b a −3b =6,即{a =3b =−1 时等号成立. 综上可得2a +18b 的最小值为14.【名师点睛】利用基本不等式求最值时,要灵活运用以下两个公式: ①22,,2a b a b ab ∈+≥R ,当且仅当a b =时取等号;②,a b +∈R ,a b +≥,当且仅当a b =时取等号.解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件,同时求最值时注意“1的妙用”.31.【2018年高考江苏卷】在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为___________. 【答案】9【解析】由题意可知,S △ABC =S △ABD +S △BCD ,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120°=12a ×1×sin60°+12c ×1×sin60°,化简得ac =a +c,1a+1c=1,因此4a +c =(4a +c )(1a +1c )=5+ca +4a c≥5+2√c a ⋅4a c=9,当且仅当c =2a =3时取等号,则4a +c 的最小值为9.【名师点睛】线性规划问题是高考中常考考点,主要以选择或填空的形式出现,基本题型为给出约束条件求目标函数的最值,主要结合方式有:截距型、斜率型、距离型等. 32.【2017年高考上海卷】不等式11x x->的解集为________ 【答案】(),0-∞ 【解析】 由题意,不等式11x x ->,得111100x x x->⇒<⇒<, 所以不等式的解集为(),0-∞.【名师点睛】本题考查解不等式,能正确化简不等式是解决该题的关键.33.【2017年高考北京卷文数】能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a +b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为___________. 【答案】−1,−2,−3(答案不唯一)【解析】()123,1233->->--+-=->-,矛盾,所以−1,−2,−3可验证该命题是假命题. 【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题,一般采用举反例排除法.解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证,答案不唯一.34.【2017年高考北京卷文数】某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(ⅰ)男学生人数多于女学生人数; (ⅱ)女学生人数多于教师人数; (ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为_________. ②该小组人数的最小值为_________.【答案】6 12【解析】设男生人数、女生人数、教师人数分别为a b c 、、, 则*2,,,c a b c a b c >>>∈N . ①max 846a b b >>>⇒=,②min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++=【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙,解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力,同时注意不等式关系以及正整数这个条件.35.【2017年高考天津卷文数】若,a b ∈R ,0ab >,则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥=,(前一个等号成立的条件是222a b =,后一个等号成立的条件是12ab =,两个等号可以同时成立,当且仅当2224a b ==时取等号). 【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式:①22,,2a b a b ab ∈+≥R ,当且仅当a b =时取等号;②,a b +∈R ,a b +≥,当且仅当a b =时取等号.解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件,同时求最值时注意“1的妙用”. 36.【2017年高考山东卷文数】若直线1(00)x ya b a b+=>,>过点(1,2),则2a +b 的最小值为___________.【答案】8 【解析】由直线1(00)x ya b a b+=>,> 过点(1,2)可得121a b +=,所以1242(2)()448b a a b a b aba b +=++=++≥+=.当且仅当4b a a b=,即4,2b a ==时等号成立.【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条。
第二节 不等式的证明一、基础知识1.基本不等式(1)定理1:如果a ,b ∈R ,那么a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立.(2)定理2:如果a ,b >0,那么a +b2≥ab ,当且仅当a =b 时,等号成立,即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.(3)定理3:如果a ,b ,c ∈R +,那么a +b +c 3≥3abc ,当且仅当a =b =c 时,等号成立.2.比较法(1)作差法的依据是:a -b >0⇔a >b .(2)作商法:若B >0,欲证A ≥B ,只需证AB ≥1.3.综合法与分析法(1)综合法:一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立.(2)分析法:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义,公理或已证明的定理,性质等),从而得出要证的命题成立.考点一 比较法证明不等式[典例] 已知函数f (x )=⎪⎪⎪⎪x -12+⎪⎪⎪⎪x +12,M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ;(2)证明:当a ,b ∈M 时,|a +b |<|1+ab |.[解] (1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x ,x ≤-12,1,-12<x <12,2x ,x ≥12.当x ≤-12时,由f (x )<2,得-2x <2,解得x >-1;当-12<x <12时,f (x )<2恒成立;当x ≥12时,由f (x )<2,得2x <2,解得x <1.所以f (x )<2的解集M ={x |-1<x <1}.(2)证明:由(1)知,当a ,b ∈M 时,-1<a <1,-1<b <1,从而(a +b )2-(1+ab )2=a 2+b 2-a 2b 2-1=(a 2-1)(1-b 2)<0.因此|a +b |<|1+ab |. [题组训练]1.当p ,q 都是正数且p +q =1时,求证:(px +qy )2≤px 2+qy 2. 解:(px +qy )2-(px 2+qy 2)=p 2x 2+q 2y 2+2pqxy -(px 2+qy 2)=p (p -1)x 2+q (q -1)y 2+2pqxy .因为p +q =1,所以p -1=-q ,q -1=-p .所以(px +qy )2-(px 2+qy 2)=-pq (x 2+y 2-2xy )=-pq (x -y )2.因为p ,q 为正数,所以-pq (x -y )2≤0,所以(px +qy )2≤px 2+qy 2.当且仅当x =y 时,不等式中等号成立. 2.求证:当a >0,b >0时,a a b b≥(ab )+2a b .证明:∵a ab b(ab )+2a b =⎝⎛⎭⎫a b -2a b,∴当a =b 时,⎝⎛⎭⎫a b -2a b =1,当a >b >0时,ab >1,a -b 2>0,∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b >1,当b >a >0时,0<ab <1,a -b 2<0,∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1,∴a a b b ≥(ab ) +2a b.考点二 综合法证明不等式[典例] (2017·全国卷Ⅱ)已知a >0,b >0,a 3+b 3=2.证明: (1)(a +b )(a 5+b 5)≥4; (2)a +b ≤2.[证明] (1)(a +b )(a 5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b +b 6=(a 3+b 3)2-2a 3b 3+ab (a 4+b 4)=4+ab (a 2-b 2)2≥4. (2)∵(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3=2+3ab (a +b )≤2+3(a +b )24(a +b )=2+3(a +b )34, ∴(a +b )3≤8,因此a +b ≤2.[解题技法] 综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系,合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键;(2)在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时,要注意性质成立的前提条件.[题组训练]1.设a ,b ,c ,d 均为正数,若a +b =c +d ,且ab >cd ,求证:a +b >c +d . 证明:因为(a +b )2=a +b +2ab ,(c +d )2=c +d +2cd .由题设a +b =c +d ,ab >cd 得(a +b )2>(c +d )2.因此 a +b >c +d . 2.(2018·湖北八校联考)已知不等式|x |+|x -3|<x +6的解集为(m ,n ). (1)求m ,n 的值;(2)若x >0,y >0,nx +y +m =0,求证:x +y ≥16xy .解:(1)由|x |+|x -3|<x +6,得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3,x +x -3<x +6或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <3,3<x +6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,-x +3-x <x +6, 解得-1<x <9,∴m =-1,n =9.(2)证明:由(1)知9x +y =1,又x >0,y >0,∴⎝⎛⎭⎫1x +1y (9x +y )=10+y x +9xy ≥10+2y x ×9xy=16, 当且仅当y x =9x y ,即x =112,y =14时取等号,∴1x +1y≥16,即x +y ≥16xy .考点三 分析法证明不等式[典例] (2019·长春质检)设不等式||x +1|-|x -1||<2的解集为A . (1)求集合A ;(2)若a ,b ,c ∈A ,求证:⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-abc ab -c >1.[解] (1)由已知,令f (x )=|x +1|-|x -1|=⎩⎪⎨⎪⎧2,x ≥1,2x ,-1<x <1,-2,x ≤-1,由|f (x )|<2,得-1<x <1,即A ={x |-1<x <1}. (2)证明:要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-abc ab -c >1,只需证|1-abc |>|ab -c |,即证1+a 2b 2c 2>a 2b 2+c 2,即证1-a 2b 2>c 2(1-a 2b 2),即证(1-a 2b 2)(1-c 2)>0, 由a ,b ,c ∈A ,得-1<ab <1,c 2<1,所以(1-a 2b 2)(1-c 2)>0恒成立.综上,⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-abc ab -c >1.[解题技法] 分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.(2)注意从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.(3)注意恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语. [题组训练]1.已知a >b >c ,且a +b +c =0,求证:b 2-ac <3a .证明:由a >b >c 且a +b +c =0,知a >0,c <0.要证b 2-ac <3a ,只需证b 2-ac <3a 2. ∵a +b +c =0,∴只需证b 2+a (a +b )<3a 2,即证2a 2-ab -b 2>0,即证(a -b )(2a +b )>0, 即证(a -b )(a -c )>0.∵a >b >c ,∴a -b >0,a -c >0,∴(a -b )(a -c )>0显然成立, 故原不等式成立. 2.已知函数f (x )=|x +1|.(1)求不等式f (x )<|2x +1|-1的解集M ; (2)设a ,b ∈M ,求证:f (ab )>f (a )-f (-b ). 解:(1)由题意,|x +1|<|2x +1|-1,①当x ≤-1时,不等式可化为-x -1<-2x -2,解得x <-1; ②当-1<x <-12时,不等式可化为x +1<-2x -2,此时不等式无解;③当x ≥-12时,不等式可化为x +1<2x ,解得x >1.综上,M ={x |x <-1或x >1}.(2)证明:因为f (a )-f (-b )=|a +1|-|-b +1|≤|a +1-(-b +1)|=|a +b |, 所以要证f (ab )>f (a )-f (-b ),只需证|ab +1|>|a +b |,即证|ab +1|2>|a +b |2, 即证a 2b 2+2ab +1>a 2+2ab +b 2,即证a 2b 2-a 2-b 2+1>0,即证(a 2-1)(b 2-1)>0. 因为a ,b ∈M ,所以a 2>1,b 2>1,所以(a 2-1)(b 2-1)>0成立,所以原不等式成立. [课时跟踪检测]1.已知△ABC 的三边a ,b ,c 的倒数成等差数列,试用分析法证明:∠B 为锐角.证明:要证∠B 为锐角,只需证cos B >0,所以只需证a 2+c 2-b 2>0,即a 2+c 2>b 2,因为a 2+c 2≥2ac , 所以只需证2ac >b 2,由已知得2ac =b (a +c ).所以只需证b (a +c )>b 2,即a +c >b ,显然成立. 所以∠B 为锐角.2.若a >0,b >0,且1a +1b =ab .(1)求a 3+b 3的最小值;(2)是否存在a ,b ,使得2a +3b =6?并说明理由.解:(1)由ab =1a +1b ≥2ab,得ab ≥2,仅当a =b =2时等号成立.故a 3+b 3≥2a 3b 3≥42,仅当a =b =2时等号成立.所以a 3+b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知,2a +3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6,从而不存在a ,b ,使得2a +3b =6. 3.(2019·南宁模拟)(1)解不等式|x +1|+|x +3|<4; (2)若a ,b 满足(1)中不等式,求证:2|a -b |<|ab +2a +2b |.解:(1)当x <-3时,|x +1|+|x +3|=-x -1-x -3=-2x -4<4,解得x >-4,所以-4<x <-3; 当-3≤x <-1时,|x +1|+|x +3|=-x -1+x +3=2<4恒成立,所以-3≤x <-1; 当x ≥-1时,|x +1|+|x +3|=x +1+x +3=2x +4<4,解得x <0,所以-1≤x <0. 综上,不等式|x +1|+|x +3|<4的解集为{x |-4<x <0}.(2)证明:因为4(a -b )2-(ab +2a +2b )2=-(a 2b 2+4a 2b +4ab 2+16ab )=-ab (b +4)(a +4)<0, 所以4(a -b )2<(ab +2a +2b )2,所以2|a -b |<|ab +2a +2b |.4.(2018·武昌调研)设函数f (x )=|x -2|+2x -3,记f (x )≤-1的解集为M . (1)求M ;(2)当x ∈M 时,求证:x [f (x )]2-x 2f (x )≤0.解:(1)由已知,得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -1,x ≤2,3x -5,x >2.当x ≤2时,由f (x )=x -1≤-1,解得x ≤0,此时x ≤0;当x >2时,由f (x )=3x -5≤-1,解得x ≤43,显然不成立.故f (x )≤-1的解集为M ={x |x ≤0}.(2)证明:当x ∈M 时,f (x )=x -1,于是x [f (x )]2-x 2f (x )=x (x -1)2-x 2(x -1)=-x 2+x =-⎝⎛⎭⎫x -122+14. 令g (x )=-⎝⎛⎭⎫x -122+14,则函数g (x )在(-∞,0]上是增函数,∴g (x )≤g (0)=0.故x [f (x )]2-x 2f (x )≤0. 5.(2019·西安质检)已知函数f (x )=|2x -1|+|x +1|. (1)解不等式f (x )≤3;(2)记函数g (x )=f (x )+|x +1|的值域为M ,若t ∈M ,求证:t 2+1≥3t+3t .解:(1)依题意,得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-3x ,x ≤-1,2-x ,-1<x <12,3x ,x ≥12,∴f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤-1,-3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧-1<x <12,2-x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12,3x ≤3,解得-1≤x ≤1, 即不等式f (x )≤3的解集为{x |-1≤x ≤1}.(2)证明:g (x )=f (x )+|x +1|=|2x -1|+|2x +2|≥|2x -1-2x -2|=3, 当且仅当(2x -1)(2x +2)≤0,即-1≤x ≤12时取等号,∴M =[3,+∞).t 2+1-3t -3t =t 3-3t 2+t -3t =(t -3)(t 2+1)t ,∵t ∈M ,∴t -3≥0,t 2+1>0,∴(t -3)(t 2+1)t≥0,∴t 2+1≥3t+3t .6.(2019·长春质检)已知函数f (x )=|2x -3|+|3x -6|. (1)求f (x )<2的解集;(2)若f (x )的最小值为T ,正数a ,b 满足a +b =12,求证:a +b ≤T .解:(1)f (x )=|2x -3|+|3x -6|=⎩⎪⎨⎪⎧-5x +9,x <32,-x +3,32≤x ≤2,5x -9,x >2.作出函数f (x )的图象如图所示.由图象可知,f (x )<2的解集为⎝⎛⎭⎫75,115.(2)证明:由图象可知f (x )的最小值为1,由基本不等式可知a +b2≤ a +b2= 14=12, 当且仅当a =b 时,“=”成立,即a +b ≤1=T . 7.已知函数f (x )=|2x -1|-⎪⎪⎪⎪x +32. (1)求不等式f (x )<0的解集M ;(2)当a ,b ∈M 时,求证:3|a +b |<|ab +9|.解:(1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧52-x ,x <-32,-3x -12,-32≤x ≤12,x -52,x >12.当x <-32时,f (x )<0,即52-x <0,无解;当-32≤x ≤12时,f (x )<0,即-3x -12<0,得-16<x ≤12;当x >12时,f (x )<0,即x -52<0,得12<x <52.综上,M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪-16<x <52. (2)证明:要证3|a +b |<|ab +9|,只需证9(a 2+b 2+2ab )<a 2b 2+18ab +81,即证a 2b 2-9a 2-9b 2+81>0,即证(a 2-9)(b 2-9)>0.因为a ,b ∈M ,所以-16<a <52,-16<b <52,所以a 2-9<0,b 2-9<0,所以(a 2-9)(b 2-9)>0,所以3|a +b |<|ab +9|. 8.已知函数f (x )=m -|x +4|(m >0),且f (x -2)≥0的解集为[-3,-1]. (1)求m 的值;(2)若a ,b ,c 都是正实数,且1a +12b +13c=m ,求证:a +2b +3c ≥9.解:(1)法一:依题意知f (x -2)=m -|x +2|≥0,即|x +2|≤m ⇔-m -2≤x ≤-2+m .由题意知不等式的解集为[-3,-1],所以⎩⎪⎨⎪⎧-m -2=-3,-2+m =-1,解得m =1.法二:因为不等式f (x -2)≥0的解集为[-3,-1],所以-3,-1为方程f (x -2)=0的两根,即-3,-1为方程m -|x +2|=0的两根,所以⎩⎪⎨⎪⎧m -|-3+2|=0,m -|-1+2|=0,解得m =1.(2)证明:由(1)可知1a +12b +13c=1(a ,b ,c >0),所以a +2b +3c =(a +2b +3c )⎝⎛⎭⎫1a +12b +13c =3+⎝⎛⎭⎫a 2b +2b a +⎝⎛⎭⎫a 3c +3c a +⎝⎛⎭⎫2b 3c +3c2b ≥9,当且仅当a =2b =3c ,即a =3,b =32,c =1时取等号.。
2017高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.2 不等式的解法对点训练 理1.设集合M ={0,1,2},N ={x |x 2-3x +2≤0},则M ∩N =( )A .{1}B .{2}C .{0,1}D .{1,2}答案 D解析 ∵M ={0,1,2},N ={x |x 2-3x +2≤0}={x |1≤x ≤2},∴M ∩N ={0,1,2}∩{x |1≤x ≤2}={1,2}.故选D.2.当x ∈[-2,1]时,不等式ax 3-x 2+4x +3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[-5,-3]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-6,-98 C .[-6,-2]D .[-4,-3]答案 C解析 ∵当x ∈[-2,1]时,不等式ax 3-x 2+4x +3≥0恒成立,即当x ∈[-2,1]时,不等式ax 3≥x 2-4x -3(*)恒成立.(1)当x =0时,a ∈R . (2)当0<x ≤1时,由(*)得a ≥x 2-4x -3x 3=1x -4x 2-3x 3恒成立. 设f (x )=1x -4x 2-3x 3,则f ′(x )=-1x 2+8x 3+9x 4=-x 2+8x +9x 4=-x -x +x 4.当0<x ≤1时,x -9<0,x +1>0,∴f ′(x )>0,∴f (x )在(0,1]上单调递增.当0<x ≤1时,可知a ≥f (x )max =f (1)=-6.(3)当-2≤x <0时,由(*)得a ≤1x -4x 2-3x 3. 令f ′(x )=0,得x =-1或x =9(舍).∴当-2≤x <-1时,f ′(x )<0,当-1<x <0时,f ′(x )>0,∴f (x )在[-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增.∴x ∈[-2,0)时,f (x )min =f (-1)=-1-4+3=-2.∴可知a ≤f (x )min =-2.综上所述,当x ∈[-2,1]时,实数a 的取值范围为-6≤a ≤-2.故选C.3.已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),若不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <12或x >3,则f (e x)>0(e 是自然对数的底数)的解集是( )A .{x |x <-ln 2或x >ln 3}B .{x |ln 2<x <ln 3}C .{x |x <ln 3}D .{x |-ln 2<x <ln 3}答案 D解析 解法一:依题意可得f (x )=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12(x -3)(a <0),则f (e x )=a ⎝⎛⎭⎪⎫e x -12(e x -3)(a <0),由f (e x )=a ⎝⎛⎭⎪⎫e x -12(e x -3)>0,可得12<e x <3,解得-ln 2<x <ln 3,选D. 解法二:由题知,f (x )>0的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <3,令12<e x <3,得-ln 2<x <ln 3,故选D.4.已知函数f (x )=x 2+mx -1,若对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0成立,则实数m 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,0 解析 要满足f (x )=x 2+mx -1<0对于任意x ∈[m ,m +1]恒成立,只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m <0,f m +,即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2-1<0,m +2+m m +-1<0, 解得-22<m <0.。
2017年高考数学试题分类汇编:不等式1〔2017文〕0x ≥,0y ≥,且x +y =1,如此22x y +的取值X 围是__________.【考点】3W :二次函数的性质.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;51 :函数的性质与应用. 【分析】利用条件转化所求表达式,通过二次函数的性质求解即可.【解答】解:x ≥0,y ≥0,且x+y=1,如此x 2+y 2=x 2+〔1﹣x 〕2=2x 2﹣2x+1,x ∈[0,1],如此令f 〔x 〕=2x 2﹣2x+1,x ∈[0,1],函数的对称轴为:x=,开口向上, 所以函数的最小值为:f 〔〕==.最大值为:f 〔1〕=2﹣2+1=1. 如此x 2+y 2的取值X 围是:[,1]. 故答案为:[,1].【点评】此题考查二次函数的简单性质的应用,考查转化思想以与计算能力.2〔2017某某〕a ∈R ,函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5,如此a 的取值X 围是___________.【考点】3H :函数的最值与其几何意义.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;51 :函数的性质与应用. 【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a ≤5且a ≤5,进而解绝对值不等式可知2a ﹣5≤x+≤5,进而计算可得结论.【解答】解:由题可知|x+﹣a|+a≤5,即|x+﹣a|≤5﹣a,所以a≤5,又因为|x+﹣a|≤5﹣a,所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a,所以2a﹣5≤x+≤5,又因为1≤x≤4,4≤x+≤5,所以2a﹣5≤4,解得a≤,故答案为:〔﹣∞,].【点评】此题考查函数的最值,考查绝对值函数,考查转化与化归思想,注意解题方法的积累,属于中档题.3〔2017新课标Ⅲ文数〕[选修4—5:不等式选讲]〔10分〕f x=│x+1│–│x–2│.函数()f x≥1的解集;〔1〕求不等式()f x≥x2–x +m的解集非空,某某数m的取值X围.〔2〕假如不等式()【考点】R4:绝对值三角不等式;R5:绝对值不等式的解法.【专题】32 :分类讨论;33 :函数思想;4C :分类法;4R:转化法;51 :函数的性质与应用;5T :不等式.【分析】〔1〕由于f〔x〕=|x+1|﹣|x﹣2|=,解不等式f〔x〕≥1可分﹣1≤x≤2与x>2两类讨论即可解得不等式f〔x〕≥1的解集;,设g〔x〕=f〔x〕﹣x2+x,分x≤1、﹣1〔2〕依题意可得m≤[f〔x〕﹣x2+x]max=,从而可得m的取值X围.<x<2、x≥2三类讨论,可求得g〔x〕max【解答】解:〔1〕∵f〔x〕=|x+1|﹣|x﹣2|=,f〔x〕≥1,∴当﹣1≤x≤2时,2x﹣1≥1,解得1≤x≤2;当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;综上,不等式f〔x〕≥1的解集为{x|x≥1}.〔2〕原式等价于存在x∈R使得f〔x〕﹣x2+x≥m成立,,设g〔x〕=f〔x〕﹣x2+x.即m≤[f〔x〕﹣x2+x]max由〔1〕知,g〔x〕=,当x≤﹣1时,g〔x〕=﹣x2+x﹣3,其开口向下,对称轴方程为x=>﹣1,∴g〔x〕≤g〔﹣1〕=﹣1﹣1﹣3=﹣5;当﹣1<x<2时,g〔x〕=﹣x2+3x﹣1,其开口向下,对称轴方程为x=∈〔﹣1,2〕,∴g〔x〕≤g〔〕=﹣+﹣1=;当x≥2时,g〔x〕=﹣x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=<2,∴g〔x〕≤g〔2〕=﹣4+2+3=1;综上,g〔x〕=,max∴m 的取值X 围为〔﹣∞,].【点评】此题考查绝对值不等式的解法,去掉绝对值符号是解决问题的关键,突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用,属于难题.4〔2017新课标Ⅲ理数〕.[选修45:不等式选讲]〔10分〕函数f 〔x 〕=│x +1│–│x –2│. 〔1〕求不等式f 〔x 〕≥1的解集;〔2〕假如不等式f 〔x 〕≥x 2–x +m 的解集非空,求m 的取值X 围.解:〔1〕当1x ≤-时()()()1231f x x x =-++-=-≤无解当12x -<<时()1(2)212111f x x x x x x =++-=--≥≥∴12x <<当2x ≥时()1(2)3312f x x x x =+--=>∴≥综上所述()1f x ≥的解集为 [1,)+∞.〔2〕原式等价于存在x R ∈,使2()f x x x m -+≥成立,即 2max [()]f x x x m -+≥ 设2()()g x f x x x =-+由〔1〕知 2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时,2()3g x x x =-+-5〔2017新课标Ⅱ文〕[选修4−5:不等式选讲]〔10分〕330,0,2a b a b >>+=.证明:〔1〕55()()4a b a b ++≥; 〔2〕2a b +≤. 【解析】〔1〕()()()()()5565562333344222244++=+++=+-++=+-≥a b ab a ab a b ba b a b ab a b ab a b〔2〕因为()()()()()33223233323+3+3+2++244a +=+++=+≤=+b a a b ab b ab a b a b a b a b所以()3+8≤a b ,因此a+b ≤2.6〔2017新课标Ⅱ理〕[选修4—5:不等式选讲]〔10分〕330,0,2a b a b >>+=.证明:〔1〕55()()4a b a b ++≥; 〔2〕2a b +≤. 【解析】〔1〕()()()()()5565562333344222244++=+++=+-++=+-≥a b ab a ab a b ba b a b ab a b ab a b〔2〕因为()()()()()33223233323+3+3+2++244a +=+++=+≤=+b a a b ab b ab a b a b a b a b所以()3+8≤a b ,因此a+b ≤2.7〔2017新课标Ⅰ文数〕[选修4—5:不等式选讲]〔10分〕函数f 〔x 〕=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. 〔1〕当a =1时,求不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集;〔2〕假如不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集包含[–1,1],求a 的取值X 围.解:〔1〕当1a =时,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①当1x <-时,①式化为2340x x --≤,无解;当11x -≤≤时,①式化为220x x --≤,从而11x -≤≤;当1x >时,①式化为240x x +-≤,从而11712x -+<≤. 所以()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-<≤. 〔2〕当[1,1]x ∈-时,()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一,所以(1)2f -≥且(1)2f ≥,得11a -≤≤.所以a 的取值X 围为[1,1]-.8〔2017新课标Ⅰ理数〕设x 、y 、z 为正数,且235x y z==,如此A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z【考点】72:不等式比拟大小.【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质与应用;59 :不等式的解法与应用. 【分析】x 、y 、z 为正数,令2x =3y =5z =k >1.lgk >0.可得x=,y=,z=.可得3y=,2x=,5z=.根据==,>=.即可得出大小关系.另解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=,y=,z=.==>1,可得2x>3y,同理可得5z>2x.【解答】解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.如此x=,y=,z=.∴3y=,2x=,5z=.∵==,>=.∴>lg>>0.∴3y<2x<5z.另解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.如此x=,y=,z=.∴==>1,可得2x>3y,==>1.可得5z>2x.综上可得:5z>2x>3y.解法三:对k取特殊值,也可以比拟出大小关系.应当选:D.【点评】此题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.9〔2017新课标Ⅰ理数〕.[选修4—5:不等式选讲]〔10分〕函数f 〔x 〕=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. 〔1〕当a =1时,求不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集;〔2〕假如不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集包含[–1,1],求a 的取值X 围.【解析】〔1〕当1a =时,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①10〔2017某某文〕假如a ,b ∈R ,0ab >,如此4441a b ab++的最小值为 .【考点】7F :根本不等式.【专题】34 :方程思想;4R :转化法;5T :不等式.【分析】【方法一】两次利用根本不等式,即可求出最小值,需要注意不等式等号成立的条件是什么.【方法二】将拆成+,利用柯西不等式求出最小值.【解答】解:【解法一】a,b∈R,ab>0,∴≥==4ab+≥2=4,当且仅当,即,即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=〞;∴上式的最小值为4.【解法二】a,b∈R,ab>0,∴=+++≥4=4,当且仅当,即, 即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=〞;∴上式的最小值为4.故答案为:4.【点评】此题考查了根本不等式的应用问题,是中档题.11〔2017某某理〕假如,a b ∈R ,0ab >,如此4441a b ab++的最小值为___________. 【答案】4【解析】442241414a b a b ab ab+++≥≥,当且仅当21a b ==时取等号 12〔2017某某文〕假如直线1(00)x y a b a b+=>,> 过点〔1,2〕,如此2a +b 的最小值为 .【答案】8〔7〕〔2017某某理〕假如0a b >>,且1ab =,如此如下不等式成立的是 〔A 〕()21log 2a b a a b b +<<+〔B 〕()21log 2a b a b a b<+<+〔C 〕()21log 2a b a a b b +<+<〔D 〕()21log 2a b a b a b +<+< 【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2a b a b a b ><<∴<+>= 12112log ()a b a a b a a b b b+>+>+⇒+>+,所以选B.13〔2017某某〕某公司一年购置某种货物600吨,每次购置x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,如此x 的值是 ▲ .【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯,当且仅当900x x=,即30x =时等号成立.14(2017年某某卷)[选修4-5:不等式选讲]〔本小题总分为10分〕,,,a b c d 为实数,且22224,16,a b c d +=+=证明:8.ac bd +≤ 【解析】由柯西不等式可得22222()()()a b c d ac bd ++≥+, 即2()41664ac bd +≤⨯=,故8ac bd +≤.15〔2017理〕能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.假如a >b >c ,如此a +b >c 〞是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为______________________________.【考点】FC :反证法.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4O :定义法;5L :简易逻辑.【分析】设a,b,c是任意实数.假如a>b>c,如此a+b>c〞是假命题,如此假如a>b>c,如此a+b≤c〞是真命题,举例即可,此题答案不唯一【解答】解:设a,b,c是任意实数.假如a>b>c,如此a+b>c〞是假命题,如此假如a>b>c,如此a+b≤c〞是真命题,可设a,b,c的值依次﹣1,﹣2,﹣3,〔答案不唯一〕,故答案为:﹣1,﹣2,﹣3【点评】此题考查了命题的真假,举例说明即可,属于根底题.16.〔2017•新课标Ⅲ文数〕设x,y满足约束条件如此z=x﹣y的取值X围是〔〕A.[﹣3,0]B.[﹣3,2]C.[0,2]D.[0,3]【考点】7C:简单线性规划.【专题】11 :计算题;31 :数形结合;35 :转化思想;5T :不等式.【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解目标函数的X围即可.【解答】解:x,y满足约束条件的可行域如图:目标函数z=x﹣y,经过可行域的A,B时,目标函数取得最值,由解得A〔0,3〕,由解得B〔2,0〕,目标函数的最大值为:2,最小值为:﹣3,目标函数的取值X围:[﹣3,2].应当选:B.【点评】此题考查线性规划的简单应用,目标函数的最优解以与可行域的作法是解题的关键.。
2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知集合A={x|x<2},B={x|3﹣2x>0},则( )A.A∩B={x|x<}B.A∩B=∅C.A∪B={x|x<}D.A∪B=R2.(5分)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别是x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A.x1,x2,…,x n的平均数B.x1,x2,…,x n的标准差C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数3.(5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A.i(1+i)2B.i2(1﹣i)C.(1+i)2D.i(1+i)4.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.B.C.D.5.(5分)已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x 轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )A.B.C.D.6.(5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )A.B.C.D.7.(5分)设x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为( )A.0B.1C.2D.38.(5分)函数y=的部分图象大致为( )A.B.C.D.9.(5分)已知函数f(x)=lnx+ln(2﹣x),则( )A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称10.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+211.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,a=2,c=,则C=( )A.B.C.D.12.(5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,]∪[4,+∞)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2017年高考试题分类汇编(不等式)考点1 解不等式或不等式的证明 考法1 解不等式1.(2017·全国卷Ⅰ·文科)已知集合{}2A x x =<,{}320B x x =->,则A .32AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ B.A B =∅C .32A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ D.A B R =2.(2017·全国卷Ⅰ·理科)已知集合{}1A x x =<,{}31x B x =<,则 A.{|0}A B x x =< B.A B R = C.{|1}A B x x => D.A B =∅ 3.(2017·全国卷Ⅰ·理科)函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A .[2,2]-B .[1,1]-C .[0,4]D .[1,3] 4.(2017·天津卷·文科)设x ∈R ,则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考法2不等式的证明1.(2017·全国卷Ⅰ·理科)设,,x y z 为正数,且235x y z ==,则 A .235x y z << B .523z x y << C .352y z x << D .325y x z <<2.(2017·天津卷·理科)已知奇函数()f x 在R 上是增函数,()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-,0.8(2)b g =,(3)c g =,则,,a b c 的大小关系为A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a << 3.(2017·北京卷·文科)能够说明“设,,a b c 是任意实数.若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_____________.4.(2017·山东卷·理科)已知命题p :任意0x >,ln(1)0x +>;命题q :若a b >,则22a b >.下列命题为真命题的是A .p q ∧B .p q ∧⌝C .p q ⌝∧D .p q ⌝∧⌝5.(2017·山东卷·理科)若0a b >>,且1ab =,则下列不等式成立的是A .21log ()2a b a a b b +<<+B .21log ()2a b a b a b <+<+C .21log ()2a b a a b b +<+<D .21log ()2a ba b a b +<+<6.(2017·山东卷·文科)已知命题p :存在x R ∈:210x x -+≥;命题q :若22a b <,则a b <.下列命题为真命题的是A.p q ∧B.C.p q ⌝∧D.p q ⌝∧⌝ 考点2 简单线性规划1.(2017·全国卷Ⅰ·理科)设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则32z x y =-的最小值为 .2.(2017·全国卷Ⅲ·理科)若x ,y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则z 34x y=-的最小值为____.3.(2017·全国卷Ⅲ·文科)设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z x y =-的取值范围是A.[]3,0-B.[]3,2-C.[]0,2D.[]0,34.(2017·北京卷·文理科)若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则2x y +的最大值为 A.1 B.3 C.5 D.95.(2017·全国卷Ⅱ·文理科)设x ,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是A .15-B .9-C .1D .96.(2017·天津卷·理科)设变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩,则目标函数z x y =+的最大值为A.23B.1C.32D.3 7.(2017·山东卷·理科)已知,x y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最大值是A .0B .2C .5D .68.(2017·山东卷·文科)已知,x y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则2z x y =+的最大值是A.3-B.1-C.1D.39.(2017·浙江卷)若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+->⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的取值范围是A.[]0,6B.[]0,4C.[)6,+∞D.[)4,+∞10.(2017·全国卷Ⅰ·文科)设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,则z x y =+的最大值为A .0B .1C .2D .3 考点3 不等式选讲1.(2017·全国卷Ⅰ·文理科)已知函数2()4f x x ax =-++,()11g x x x =++-. (Ⅰ)当1a =时,求不等式()()f x g x ≥的解集;(Ⅱ)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,求a 的取值范围.2.(2017·全国卷Ⅱ·文理科)已知0a >,0b >,332a b +=,证明: (Ⅰ)55()()4a b a b ++≥; (Ⅱ)2a b +≤.3.(2017·全国卷Ⅲ·文理科)已知函数()12f x x x =+--. (Ⅰ)求不等式()1f x ≥的解集;(Ⅱ)若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空,求m 的取值范围.。
第二节不等式的证明A组基础题组1.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤;(2)++≥1.2.设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M.(1)证明:<;(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小.3.(2017湖南湘中名校联考)已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求+的最大值.4.已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d.求证:++≥.B组提升题组1.求证:+++…+<2.2.设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证:(1)a+b+c≥;(2)++≥(++).3.(2017四川成都第二次诊断性检测)已知函数f(x)=4-|x|-|x-3|.(1)求不等式f≥0的解集;(2)若p,q,r为正实数,且++=4,求3p+2q+r的最小值.4.已知a是常数,对任意实数x,不等式|x+1|-|2-x|≤a≤|x+1|+|2-x|都成立.(1)求a的值;(2)设m>n>0,求证:2m+≥2n+a.答案精解精析A组基础题组1.证明(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.2.解析(1)证明:记f(x)=|x-1|-|x+2|,则f(x)=由题意,令-2<-2x-1<0,得-<x<,则M=.所以≤|a|+|b|<×+×=.(2)由(1)得a2<,b2<.因为|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=(4a2-1)(4b2-1)>0,所以|1-4ab|2>4|a-b|2,故|1-4ab|>2|a-b|.3.解析(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则解得a=-3,b=1.(2)利用柯西不等式,可得+=(+)≤·=·=2,当且仅当=,即t=2时等号成立.所以+的最大值为2.4.证明证法一:因为(a-d)=[(a-b)+(b-c)+(c-d)]≥3·3=9 ,当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,所以++≥.证法二:因为(a-d)=[(a-b)+(b-c)+(c-d)]≥·+·+·2=9,当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,所以++≥.B组提升题组1.证明因为<=-,所以+++…+<1++++…+=1+++…+=2-<2.2.证明(1)由于a,b,c>0,因此要证a+b+c≥,只需证明(a+b+c)2≥3.即证a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,而ab+bc+ca=1,故只需证明a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca).即证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.而这可以由ab+bc+ca≤++=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)证得. 所以原不等式成立.(2)++=.在(1)中已证a+b+c≥,因此要证原不等式成立,只需证明≥++,即证a+b+c≤1,因为a=≤,b≤,c≤,所以a+b+c≤ab+bc+ca(当且仅当a=b=c=时等号成立).所以原不等式成立.3.解析(1)f=4--≥0.根据绝对值的几何意义,得+表示点(x,0)到A,B两点的距离之和.接下来找出到A,B的距离之和为4的点.将点A向左移动个单位到点A1(-2,0),这时有|A1A|+|A1B|=4;同理,将点B向右移动个单位到点B1(2,0),这时有|B1A|+|B1B|=4.∴+≤4,即f≥0的解集为[-2,2].(2)令a1=,a2=,a3=.由柯西不等式,得·(++)≥. 即(3p+2q+r)≥9.∵++=4,∴3p+2q+r≥,当且仅当===,即p=,q=,r=时,取等号.∴3p+2q+r的最小值为.4.解析(1)令f(x)=|x+1|-|2-x|,则f(x)=∴f(x)的最大值为3.∵对任意实数x,|x+1|-|2-x|≤a都成立,即f(x)≤a恒成立,∴a≥3.令h(x)=|x+1|+|2-x|,则h(x)=∴h(x)的最小值为3.∵对任意实数x,|x+1|+|2-x|≥a都成立,即h(x)≥a恒成立,∴a≤3,∴a=3.(2)证明:由(1)知a=3.∵2m+-2n=(m-n)+(m-n)+,且m>n>0, ∴(m-n)+(m-n)+≥3=3, ∴2m+≥2n+a.。
1.设a ,b ,m ,n ∈R ,且a 2+b 2=5,ma +nb =5,则
m 2+n 2的最小值为________.
答案 5 解析 由柯西不等式:a 2+b 2·m 2+n 2≥ma +nb , ∴m 2+n 2≥55
= 5. 2.设a ,b ,c ,d 均为正数,且a +b =c +d ,证明:
(1)若ab >cd ,则a +b >c +d ; (2)a +b >c +d 是|a -b |<|c -d |的充要条件.
证明 (1)因为(a +b )2=a +b +2ab ,(c +d )2=c +d +2cd ,
由题设a +b =c +d ,ab >cd 得(a +b )2>(c +d )2. 因此a +b >c +d .
(2)①若|a -b |<|c -d |,则(a -b )2<(c -d )2,即(a +b )2-4ab <(c +d )2-4cd .因为a +b =c +d ,所以ab >cd .
由(1)得a +b >c +d . ②若a +b >c +d ,则(a +b )2>(c +d )2,
即a +b +2ab >c +d +2cd .
因为a +b =c +d ,所以ab >cd .
于是(a -b )2=(a +b )2-4ab <(c +d )2-4cd =(c -d )2.
因此|a -b |<|c -d |. 综上,a +b >c +d 是|a -b |<|c -d |的充要条件.
3.设a >0,b >0,且a +b =1a +1b
.证明: (1)a +b ≥2;
(2)a 2+a <2与b 2+b <2不可能同时成立.
证明 由a +b =1a +1b =a +b ab
,a >0,b >0,得ab =1. (1)由基本不等式及ab =1,有a +b ≥2ab =2,即a +b ≥2,当且仅当a =b =1时等号成立.
(2)假设a 2+a <2与b 2+b <2同时成立,则由a 2+a <2及a >0得0<a <1;同理,0<b <1,从而ab <1,这与ab =1矛盾.故a 2+a <2与b 2+b <2不可能同时成立.
4.已知x >0,y >0,证明:(1+x +y 2)(1+x 2+y )≥9xy .
证明 由基本不等式
⎩⎨⎧ 1+x +y 2≥331·x ·y 21+x 2+y ≥331·x 2·y
分别当且仅当x =y 2=1,x 2=y =1时,“=”成立.
因此(1+x +y 2)(1+x 2+y )≥93x 3y 3=9xy ,
当且仅当x =y =1时,“=”成立.
5.已知定义在R 上的函数f (x )=|x +1|+|x -2|的最小值为a .
(1)求a 的值;
(2)若p ,q ,r 为正实数,且满足p +q +r =a ,求证:p 2+q 2+r 2≥3. 解 (1)∵|x +1|+|x -2|≥|(x +1)-(x -2)|=3,
当且仅当-1≤x ≤2时,“=”成立,
∴f (x )的最小值等于3,即a =3.
(2)证明:由(1)知,p +q +r =3,又p ,q ,r 是正实数,
∴(p 2+q 2+r 2)(12+12+12)≥(p ×1+q ×1+r ×1)2=(p +q +r )2=9. 即p 2+q 2+r 2≥3.。