2017年11月浙江省新高考学业水平考试数学试卷与解析PDF

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。

每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均你不得分。

） 1.已知集合A=｛1,2,3｝，B ｛1,3,4,｝，则A ∪B=A.｛1,3｝B.｛1,2,3｝C.｛1,3,4｝D.｛1,2,3,4｝ 2.已知向量a=（4,3），则|a|=A.3B.4C.5D.7 3.设θ为锐角，sin θ=31，则cos θ= A.32 B.32 C.36 D.3224.log 241= A.-2 B.-21 C.21D.2 5.下面函数中，最小正周期为π的是A.y=sin xB.y=cos xC.y=tan xD.y=sin 2x6.函数y=112++-x x 的定义域是 A.(-1,2] B.[-1,2] C.(-1,2) D.[-1,2) 7.点（0,0）到直线x +y-1=0的距离是 A.22 B.23 C.1 D.2 8.设不等式组⎩⎨⎧-+-0＜420＞y x y x ，所表示的平面区域为M ，则点（1,0）（3,2）（-1,1）中在M内的个数为A.0B.1C.2D.3 9.函数f(x )=x ·1n|x |的图像可能是10.若直线l 不平行于平面a ，且a l ⊄则A.a 内所有直线与l 异面B.a 内只存在有限条直线与l 共面C.a 内存在唯一的直线与l 平行D.a 内存在无数条直线与l 相交11.图（1）是棱长为1的正方体ABCD —A1B1C1D1截去三棱锥A1—AB1D1后的几何体，将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图（2）的集合体的正视图为（1） （2） （第11题图）2222 22222222222212.过圆x 2=y 2-2x-8=0的圆心，且与直线x=2y=0垂直的直线方程是 A.2x=y=2=0 B.x=2y-1=0 C.2x=y-2=0 D.2x-y-2=013.已知a,b 是实数，则“|a|＜1且|b|＜1”是“a 2+b 2＜1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.设A ，B 为椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的点，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1k 2.若k 1·k 2=-43，则该椭圆的离心率为 A.41 B.31 C.21D.2315.数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =23a n -n ·n ∈N ﹡,则下列为等比数列的是 A.{a n +1} B.{a n -1} C.{S n +1} D.{S n -1} 16.正实数x ，y 满足x+y=1，则yx y 11++的最小值是A.3+2B.2+22C.5D.211 17.已知1是函数f (x )=a x 2+b x +c(a ＞b ＞c)的一个零点，若存在实数0x ，使得f (0x ) ＜0,则f (x )的另一个零点可能是A.0x -3B.0x -21C.0x +23D.0x +2 18.等腰直角△ABC 斜边BC 上一点P 满足CP ≤41CB ，将△CAP 沿AP 翻折至△C ′AP ，使两面角C ′—AP —B 为60°记直线C ′A ，C ′B ，C ′P 与平面APB 所成角分别为a ，β，γ，则 A.a ＜β＜γ B.a ＜γ＜β C.β＜a ＜γ D.γ＜a ＜β 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数 学本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.参考公式：球的表面积公式椎体的体积公式24πS R =1h3V S = 球的体积公式其中S 代表椎体的底面积24π3V R =h 表示椎体的高其中R 表示球的半径 台体的体积公式柱体的体积公式()b b1h +3a a V S S S =h V S =其中的a S ，b S 分别表示台体的 h 表示柱体的高上、下底面积h 表示台体的高选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}-1<1Q=02P x x x x =<<<，，那么PUQ = A .(-1，2)B .(0，1)C .(-1，0)D .(1，2)2.椭圆2214x y+=的离心率是AB C .23 D .593.某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是第3题图A .π+12B .π+32C .3π+12D .3π+32 4.若x ，y 满足约束条件0+-30-20x x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤，则z 2x y =+的取值范围是A .[0]6,B .[0]4,C .[6+)∞,D .[4+)∞,5.若函数2()=f x x ax b ++在区间[0]1，上的最大值是M ，最小值是m ，则-m M A .与a 有关，且与b 有关 B .与a 有关，但与b 无关 C .与a 无关，且与b 无关D .与a 无关，但与b 有关6.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是465"+2"S S S >的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.函数()y f x =的导函数()y f x'=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是第7题图毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）ABCD8.已知随机变量i ξ满足i 1()i P p ξ==，i ()01P pi ξ==-，12i =，.若12201p p <<<，则 A .12E()E()ξξ＜，12D()D()ξξ＜ B .12E()E()ξξ＜，12D()D()ξξ＞ C .12E()E()ξξ＞，12D()D()ξξ＜ D .12E()E()ξξ＞，12D()D()ξξ＞9.如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==.分别记二面角––D PR Q ，––D PQ R ，––D QR P 的平面角为αβγ，，，则A .γαβ<<B .αγβ<<C .αβγ<<D .βγα<<10.如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ＝＝＝，3CD ＝，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB ＝，2I OB OC ＝，3I OC OD ＝，则A .123I I I <<B .132I I I <<C .312I I I <<D .213I I I <<非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6=S ________.12.已知a b R ∈，，2i 34i a b +=+（）(i 是虚数单位)，则22a b +=________，ab =________.13.已知多项式()()5432123453212=x x x a x a x a x a x a +++++++，则4=a ________，5=a ________.14.已知ABC △，4AB AC ==，2BC =.点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连接CD ，则BDC △的面积是________，cos BDC ∠=________.15.已知向量a ,b 满足1=a ，2=b ，则+-a +b a b 的最小值是________，最大值是________.16.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法.(用数字作答)17.已知a ∈R ，函数4()f x x a a x =+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是________.三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分)已知函数()22()sin cos 23sin cos R f x x x x x x =--∈.(I)求2()3f π的值； (II)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.（第9题图）（第10题图）数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）19.(本题满分15分) 如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点. (I)证明：CE ∥平面PAB ；(II)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.20.(本题满分15分)已知函数(1()e 2x f x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭≥.(I)求()f x 的导函数；(II)求()f x 在区间1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）21.(本题满分15分)如图，已知抛物线2x y =，点1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，3924B ⎛⎫⎪⎝⎭，，抛物线上的点()12,32P x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜＜，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(I )求直线AP 斜率的取值范围；(II )求PA PQ 的最大值.22.(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈. 证明：当*N n ∈时， (I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤； (III )1-21122n n n x -≤≤.2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】A【解析】根据集合的并集的定义,得2(1)PUQ =-，. 2.【答案】B【解析】根据题意知,3a =,b2=,则c=∴椭圆的离心率c e a =故选B . 3.【答案】A【解析】由几何体的三视图可得,该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的,故该几何体的体积1111ππ3+213=+132322V =⨯⨯⨯⨯⨯⨯,故选A .4.【答案】D数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z 2x y =+,得1y=22zx -+,∴2z 是直线1=22z y x -+在y 轴上的截距,根据图形知,当直线1=22z y x -+过A 点时,2z取得最小值.由20+30x y x y -=⎧⎨-=⎩,得2x =,1y =,即21A （，）,此时,4z =,∴4x ≥,故选D .5.【答案】B【解析】22()=++b 24a af x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,①当012a ≤-≤时,min ()=m =()2a f x f -{}{}2max +b ()max (0)(1)max b ++b 4a f x M f f a =-===，，1，∴22max 1+44a a M m a ⎧⎫-=+⎨⎬⎩⎭，与a 有关,与b 无关；②当02a-＜时,()f x 在[]01，上单调递增,∴(1)(0)1M m f f a -==+-与a 有关,与b 无关；③当12a-＞时,()f x 在[]01，上单调递减,∴(0)(1)1f f M m a -=---=与a 有关,但与b 无关,故选B . 6.【答案】C【解析】因为{}n a 为等差数列,所以46111+=466151021a a a S S d d d +++=+,512=1020a S d +,465+2=S S S d -,所以4650+2d S S S ⇔＞＞,故选C .7.【答案】D【解析】根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相反,因此函数()f x 在这些零点处取得极值,排除A 、B ；记导函数()f x '的零点从左到右分别为123x x x ，，,又在()1x -∞，()0f x '＜,在()12x x ，上()0f x '＞,所以函数()f x 在()1x -∞，上单调递减,排除C ,故选D .8.【答案】A【解析】根据题意得,1()i E p ξ=，11(-)i i p D p ξ=（），12i =，,∵12102p p ＜＜＜,∴12()()E E ξξ＜,令()f x 在102（，）上单调递增,所以12(p )(p )f f ＜,即12()()D D ξξ＜,故选A . 9.【答案】B【解析】如图1,设O 是点D 在底面ABC 的射影,过O 作OE PR ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥,垂足分别为E 、F 、G ,连接ED 、FD 、GD ,易得ED PR ⊥,∴OED ∠就是二面角D PR Q --的平面角,∴=OED α∠,tan =OD OE α,同理tan =OD OF β,tan =ODOGγ.底面的平面图如图2所示,以P 为原点建立平面直角坐标系,不妨设2AB =,则0,1)A（,,0)B （1,C （,O （,∵AP PB =,2BQ CRQC RA ==,∴13Q（,23R （-,则直线RP的方程为y =,直线PQ的方程为y =,直线RQ的方程为y ,根据点到直线的距离公式,知OE,OF =,13OG =,∴OE OG OF ＞＞,∴tan tan tan αγβ＜＜,又α，β，γ为锐角,∴αγβ＜＜，故选B .10.【答案】C【解析】如图所示,四边形ABCE 是正方形,F 为正方形的对角线的交点,易得AO ＜AF ,而90AFB ∠=︒,∴AOB ∠与COD ∠为钝角,AOD ∠与BOC ∠为锐角,根据题意,12()cos 0I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA AOB -=-=-==∠＜,∴12I I ＜,同理得23I I＞,作AG BD ⊥于G ,又AB AD =,∴OB BG GD OD =＜＜,而OA AF FC OC =＜＜,数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）∴OA OB OC OD ＜,而cos =cos 0AOB COD ∠∠＜,∴OA OB OC OD ＞,即13I I ＞,∴312I I I ＜＜,故选C .非选择题二.填空题. 11.【答案】332【解析】如图,单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成,所以,正六边形的面积61333=61=222S ⨯⨯⨯. 12.【答案】5 2【解析】∵222+2bi 2i 34i a a b ab =-+=+（）,∴22324a b ab ⎧-=⎨=⎩,∴21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩,∴225a b +=,2ab =.13.【答案】16 4【解析】由题意知4a 为含x 的项的系数,根据二项式定理得222233143232121216a C C C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,5a 是常数项,所以3322532124a C C =⨯⨯⨯=.14.【答案】152104【解析】在ABC △中,4AB AC ==,2BC =,由余弦定理得2222224241cos ABC=22424AB BC AC AB BC +-+-==⨯⨯∠,则15sin ABC=sin 4CBD =∠∠,所以BDC 115=BD BCsin 22S CBD =△∠.因为2BD BC ==,所以12CDB ABC =∠∠,则cos 110cos =24ABC CDB +=∠∠. 15.【答案】425【解析】解法一：()()()222222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b++-=++-++-=+++-=10+2a b a b+-,而()()223a b a b a b a b a b +-+-=-=≥,∴()216a b a b ++-≥,即4a b a b ++-≥,即a b a b ++-的最小值为4.又()()2222522a b a ba b a b a b +-++-=+=≤,∴a b a b ++-的最大值为25.解法二：由向量三角不等式得,()()24a b a b a b a b b ++-+--==≥,又()()2222522a b a ba b a b a b ++-++-=+=≤,∴a b a b ++-的最大值为25.16.【答案】660【解析】分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有448655C C -=种不同的选法；第二步,从4人中选出队长、副队长各1人,有2412A =种不同的选法.根据分步乘法计数原理知共有55 12 660⨯=种不同的选法.17.【答案】(92⎤-∞⎥⎦，【解析】∵[]1,4x ∈,∴[]44,5x x +∈,①当92a ≤时,max ()=555f x a a a a -+=-+=,符合题意,②当分92a ＞时,max ()=4245f x a a a -+=-=,∴92a =(矛盾),故a 的取值范围是(92⎤-∞⎥⎦，.三、解答题.数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）18.【答案】（Ⅰ）2π()23f = （Ⅱ）()f x 的的单调递增区间是()π2ππ,π63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】(Ⅰ)由2π3sin32=,2π1cos 32=-,222π3131()2332222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得2π()23f =. (Ⅱ)由22cos2cos sin x x x =-与sin22sin cos x x x =得π()cos 23sin 22sin 26f x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期是π.由正弦函数的性质得ππ3π2π22π262k x k +++≤≤,k Z ∈, 解得π2πππ63k x k ++≤≤,k Z ∈,所以()f x 的的单调递增区间是()π2ππ,π63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.19.【答案】(Ⅰ)如图,设PA 中点为F ,连接EF ,FB .因为E 、F 分別为PD ,PA 中点,所以EF AD ∥且1=2EF AD ,又因为BC AD ∥,1=2BC AD ,所以EF BC ∥且=EF BC ,即四边形BCEF 为平行四边形,所以CE BF ∥,因此CE ∥平面PAB . （Ⅱ）直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28【解析】(Ⅰ)如图,设PA 中点为F ,连接EF ,FB .因为E 、F 分別为PD ,PA 中点,所以EF AD ∥且1=2EF AD ,又因为BC AD ∥,1=2BC AD ,所以EF BC ∥且=EF BC ,即四边形BCEF 为平行四边形,所以CE BF ∥,因此CE ∥平面PAB . (Ⅱ)分别取BC ,AD 的中点为M ,N .连接PN 交EF 于点Q ,连接MQ .因为E 、F 、N 分别是PD ,PA ,AD 的中点,所以Q 为EF 中点,在平行四边形BCEF中,MQ CE ∥.由PAD ∆为等腰直角三角形得PN AD ⊥. 由DC AD ⊥,N 是AD 的中点得BN AD ⊥. 所以AD ⊥平面PBN ,由BC AD ∥得BC ⊥平面PBN ,那么平面PBC ⊥平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线,垂足为H ,连接MH .MH 是MQ 在平面PBC 上的射影,所以QMH ∠是直线CE 与平面PBC 所成的角.设1CD =.在PCD △中,由2PC =,1CD =,2PD =得2CE =,在PBN △中,由1PN BN ==,3PB =得14QH =,在t R MQH △中,14QH =,2MQ =,所以2sin =8MQH ∠,所以,直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28.20.【答案】(Ⅰ)因为()121121x x x '--=--,()e e x x --'=-, 所以()()()1212e 11()1e 21e 22121x x xx x f x x x x x x ------⎛⎫⎛⎫'=----=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭＞.(Ⅱ)由()()1212e ()=021x x x f x x ----'=-,解得1x =,52x =. 因为又()()21211e 02x f x x -=--≥,数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）所以()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,e 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】(Ⅰ)因为(1x '=-,()e e x x --'=-,所以(()12e 1()1e e 2x x xx f x x x ----⎛⎫'=-=⎪ ⎭⎝＞.(Ⅱ)由()12e ()x x f x --'=,解得1x =,52x =. 因为又())211e 02x f x -=≥,所以()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,e 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.【答案】（Ⅰ）()1,1-（Ⅱ）2716【解析】(Ⅰ)设直线AP 的斜率为k ,2114122x k x x -==-+, 因为1322x -＜＜,所以直线AP 斜率的取值范围是()1,1-.(Ⅱ)联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是()224321Q k k x k -++=+.因为)1x+12PA k ⎫==+⎪⎭,)2xQPQ x -=所以()()311PA PQ k k =--+. 令()()()311f k k k =--+, 因为()()2()421f k k k '=--+,所以()f k 在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增,1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,因此当12k =时,PA PQ 取得最大值2716.22.【答案】(Ⅰ)用数学归纳法证明：0n x ＞. 当1n =时,110x =＞. 假设n k =时,0k x ＞,那么+1n k =时,若10k x +≤,则()110=+ln 1+0k k k x x x ++≤＜,矛盾,故10k x +＞. 因此()n 0N*x n ∈＞.所以()111=+ln 1+n n n n x x x x +++＞. 因此()10N*n n x x n +∈＜≤. (Ⅱ)由()11=+ln 1+n n n x x x ++得,()()2111111x -4=+2=22ln 1+n n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-++.记函数()()()2()22ln 1+0f x x x x x x =-++≥,()()22()ln 1+001x xf x x x x +'=++＞≥,函数()f x 在[)0+∞，上单调递增,所以()(0)=0f x f ≥,因此 ()()211111x 22ln 1+=()n n n n n x x x f x +++++-++≥0,故()112N*2n n n n x x x x n ++-≤∈. (III )因为()11111x ln 1+2n n n n n n x x x x x +++++=+≤+=, 所以112n n x -≥. 由1122n n n n x x x x ++-≥得111112022n n x x +⎛⎫--⎪⎝⎭≥＞,数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）所以1-21111111-22=2222n n n n n x x x --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥…≥, 故212n n x -≤.综上,()1211N*22n n n x n --∈≤≤.【解析】(Ⅰ)用数学归纳法证明：0n x ＞. 当1n =时,110x =＞. 假设n k =时,0k x ＞,那么+1n k =时,若10k x +≤,则()110=+ln 1+0k k k x x x ++≤＜,矛盾,故10k x +＞. 因此()n 0N*x n ∈＞.所以()111=+ln 1+n n n n x x x x +++＞. 因此()10N*n n x x n +∈＜≤. (Ⅱ)由()11=+ln 1+n n n x x x ++得,()()2111111x -4=+2=22ln 1+n n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-++.记函数()()()2()22ln 1+0f x x x x x x =-++≥,()()22()ln 1+001x x f x x x x +'=++＞≥,函数()f x 在[)0+∞，上单调递增,所以()(0)=0f x f ≥,因此 ()()211111x 22ln 1+=()n n n n n x x x f x +++++-++≥0,故()112N*2n n n n x x x x n ++-≤∈. (III )因为()11111x ln 1+2n n n n n n x x x x x +++++=+≤+=, 所以112n n x -≥. 由1122n n n n x x x x ++-≥得111112022n n x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥＞, 所以1-21111111-22=2222n n n n n x x x --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥…≥,故212n n x -≤.综上,()1211N*22n n n x n --∈≤≤.。

2017年11月浙江省数学学考试卷1．已知集合{}321，，=A ，{}431，，=B ，则=B A A ．{}31， B ．{}321，， C ．{}431，， D ．{}4321，，， 2．已知向量()43，== A ．3 B ．4 C ．5 D ．7 3．已知θ为锐角，31sin =θ，则=θcosA ．32 B ．32C ．36D ．322 4．=41log 2A ．2-B ．21-C ．21D ．2 5．下列函数中，最小正周期为π的是A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y tan =D ．2sin xy = 6．函数112++-=x x y 的定义域是 A ．(]21，- B ．[]21，- C ．()21，- D ．[)21，- 7．点()00，到直线01=-+y x 的距离是 A ．22 B ．23 C ．1 D ．2 8．设不等式组⎩⎨⎧<-+>-0420y x y x ，所表示的平面区域为M ，点()01，，()23，，()11，-中在M 内的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9．函数()x x x f ln ⋅=的图像可能是A B C D10．若直线l 不平行于平面α，且α⊄l ，则A ．α内的所有直线与l 异面B ．α内只存在有限条直线与l 共面C ．α内存在唯一直线与l 平行D ．α内存在无数条直线与l 相交()∙()∙()∙()∙11．图（1）是棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -截去三棱锥111D AB A -后的几何体，将其绕着棱1DD 逆时针旋转45°，得到如图（2）的几何体的正视图为（1） （2）A B C D12．过圆08222=--+x y x 的圆心，且与直线02=+y x 垂直的直线方程是 A ．022=+-y x B ．012=-+y x C ．022=-+y x D ．022=--y x13．已知b a ，是实数，则“1<a 且1<b ”是“122<+b a ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．设A ，B 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的点，直线PB PA ，的斜率分别为21k k ，，若4321-=⋅k k ，则该椭圆的离心率为 A ．41 B ．31 C ．21D ．2315．数列{}n a 的前n 项和n S 满足*23N n n a S n n ∈-=，，则下列为等比数列的是 A ．{}1+n a B ．{}1-n a C ．{}1+n S D ．{}1-n S1D D1A16．正实数y x ，，满足1=+y x ，则yx y 11++的最小值是 A ．23+ B ．222+ C ．5 D ．21117．已知1是函数()()2f x ax bx c a b c =++>>的一个零点，若存在实数0x ，使得()00f x <，则()f x 的另一个零点可能是A ．03x -B ．012x -C ．032x + D ．02x + 18．等腰直角ABC ∆斜边CB 上的一点P 满足14CP CB ≤．将C A P ∆沿AP 翻折至'C AP ∆，使二面角'C AP B --为60．记直线'C A ，'C B ，'C P 与平面APB 所成角分别为α，β，γ，则A ．αβγ<<B ．αγβ<<C ．βαγ<<D ．γαβ<<二、填空题19．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若*21n a n n N =-∈，，则1a =____，3S =____．20．双曲线221916x y -=的渐近线方程是 ． 21．若不等式211x a x -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围是 ．22．正四面体A BCD -的棱长为2，空间动点P 满足2PB PC +=，则AP AD ⋅的取值范围是 ．三、解答题23．在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知1cos =2A ． （1）求角A 的大小；（2）若23b c ==，，求a 的值； （3）求2sin cos 6B B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最大值．2NM，的任意一点，直线MQ与x轴、1=y的下方，求12SS-的最小值．Rt∈．（1）求()()22hg-的值（用t表示）（2）定义在[)∞+，1上的函数()x f如下：()()[)()[)()212221g x x k kf x k Nh x x k k*⎧∈-⎪=∈⎨∈+⎪⎩，，，，，，若()x f在[)m，1上是减函数，当实数m最大时，求t的范围.。

【关键字】数学2017年11月浙江省普通高校招生学考科目考试数学卷一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。

每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均你不得分。

）1.已知集合A=｛1,2,3｝，B=1,3,4,｝，则A∪B= ( )A.｛1,3｝B.｛1,2,3｝C.｛1,3,4｝D.｛1,2,3,4｝2.已知向量=（4,3），则= ( )A.3B.4C.5D.73.设为锐角，，则= ( )A. B. C. D.4.= ( )A.-2B.-C.D.25.下面函数中，最小正周期为的是( )A.y=sinB.y=cosC.y=tanD.y=sin6.函数y=的定义域是( )A.(-1,2]B.[-1,2]C.(-1,2)D.[-1,2)7.点到直线的距离是( )A. B. C.1 D.8.设不等式组，所表示的平面区域为M，则点（1,0）（3,2）（-1,1）中在M内的个数为( )A.0B.1C.2D.39.函数=·1n||的图像可能是( )A. B. C. D.10.若直线不平行于平面，且则( )A.内所有直线与异面B.内只存在有限条直线与共面C.内存在唯一的直线与平行D.内存在无数条直线与相交11.图（1）是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1截去三棱锥A1—AB1D1后的几何体，将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图（2）的集合体的正视图为( )（1）（2）（第11题图）A. B. C. D. 12.过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 ( ) A. B. C. D.13.已知是实数，则“且”是“”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.设A ，B 为椭圆=1（）的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的点，直线PA ，PB 的斜率分别为，若，则该椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D. 15.数列的前项和满足，则下列为等比数列的是( ) A. B. C. D.16.正实数满足，则的最小值是 ( ) A.3+ B.2+2 C.5 D. 17.已知1是函数的一个零点，若存在实数，使得＜0，则()的另一个零点可能是 ( ) A. B. C.+ D.+218.等腰直角△ABC 斜边CB 上一点P 满足CP≤CB ，将△CAP 沿AP 翻折至△C′AP ，使两面角C′—AP —B 为60°。

浙江省2017年11月普通高中学业水平考试一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。

每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。

） 1.已知集合A=｛1,2,3｝，B ｛1,3,4,｝，则A ∪B=A.｛1,3｝B.｛1,2,3｝C.｛1,3,4｝D.｛1,2,3,4｝ 解析：容易，考察集合. 2.已知向量a=（4,3），则|a|=A.3B.4C.5D.7 解析：容易，考察向量. 3.设θ为锐角，sin θ=31，则cos θ= A.32 B.32 C.36 D.322解析:容易，考察三角函数. 4.log 241= A.-2 B.-21 C.21D.2 解析：容易，考察对数.5.下面函数中，最小正周期为π的是A.y=sin xB.y=cos xC.y=tan xD.y=sin 2x 解析：容易，考察正余弦三角函数性质.6.函数y=112++-x x 的定义域是 A.(-1,2] B.[-1,2] C.(-1,2) D.[-1,2)解析：容易，考察函数的定义.7.点（0,0）到直线x +y-1=0的距离是 A.22 B.23 C.1 D.2解析：容易，考察点到直线的距离公式.8.设不等式组⎩⎨⎧-+-0＜420＞y x y x ，所表示的平面区域为M ，则点（1,0）（3,2）（-1,1）中在M内的个数为A.0B.1C.2D.3 解析：容易，考察平面区域．9.函数f(x )=x ·1n|x |的图像可能是10.若直线l 不平行于平面a ，且a l ⊄则A.a 内所有直线与l 异面B.a 内只存在有限条直线与l 共面C.a 内存在唯一的直线与l 平行D.a 内存在无数条直线与l 相交 解析：容易，考察点线面之间的位置关系．11.图（1）是棱长为1的正方体ABCD —A1B1C1D1截去三棱锥A1—AB1D1后的几何体，将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图（2）的集合体的正视图为（1） （2） （第11题图）2222 2222 2222 222212.过圆x 2=y 2-2x-8=0的圆心，且与直线x=2y=0垂直的直线方程是A.2x=y=2=0B.x=2y-1=0C.2x=y-2=0D.2x-y-2=0 解析：本题主要考察直线与圆的位置关系．13.已知a,b 是实数，则“|a|＜1且|b|＜1”是“a 2+b 2＜1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：本题考察的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，平面向量数量积的性质及其运算律，向量方法判断两个平面向量之间的平行关系．14.设A ，B 为椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的点，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1k 2.若k 1·k 2=-43，则该椭圆的离心率为 A.41 B.31 C.21D.23解析：本题主要考察椭圆离心率的运算． 15.数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =23a n -n ·n ∈N ﹡,则下列为等比数列的是 A.{a n +1} B.{a n -1} C.{S n +1} D.{S n -1} 解析：本题主要考察通项与前ｎ项和的递推公式解决问题． 16.正实数x ，y 满足x+y=1，则yx y 11++的最小值是 A.3+2 B.2+22 C.5 D.211解析：本题考察不等式的性质，正确掌握不等式的性质是解决该问题的关键．17.已知1是函数f (x )=a x 2+b x +c(a ＞b ＞c)的一个零点，若存在实数0x ，使得f (0x )＜0,则f (x )的另一个零点可能是 A.0x -3 B.0x -21 C.0x +23D.0x +2解析：本题考察函数的定义域，以及恒成立问题解法，对a 进行分类讨论转化为值域问题是解决问题的关键．18.等腰直角△ABC 斜边BC 上一点P 满足CP ≤41CB ，将△CAP 沿AP 翻折至△C ′AP ，使两面角C ′—AP —B 为60°记直线C ′A ，C ′B ，C ′P 与平面APB 所成角分别为a ，β，γ，则 A.a ＜β＜γ B.a ＜γ＜β C.β＜a ＜γ D.γ＜a ＜β 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。

2017年11月浙江省新高考数学试卷一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B=（）A．{1，3}B．{1，2，3}C．{1，3，4}D．{1，2，3，4}2．（3分）已知向量=（4，3），则||=（）A．3 B．4 C．5 D．73．（3分）设θ为锐角，sinθ=，则cosθ=（）A．B．C．D．4．（3分）log2=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．25．（3分）下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=sin6．（3分）函数y=的定义域是（）A．（﹣1，2]B．[﹣1，2]C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）7．（3分）点（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离是（）A．B．C．1 D．8．（3分）设不等式组所表示的平面区域为M，则点（1，0），（3，2），（﹣1，1）中在M内的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．（3分）函数f（x）=x•ln|x|的图象可能是（）A．B．C．D．10．（3分）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内的所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一直线与l平行D．α内存在无数条直线与l相交11．（3分）图（1）是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥A1﹣AB1D1后的几何体，将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图（2）的几何体的正视图为（）A．B．C．D．12．（3分）过圆x2+y2﹣2x﹣8=0的圆心，且与直线x+2y=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣y+2=0 B．x+2y﹣1=0 C．2x+y﹣2=0 D．2x﹣y﹣2=013．（3分）已知a，b是实数，则“|a|＜1且|b|＜1”是“a2+b2＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）设A，B为椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1•k2=﹣，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．15．（3分）数列{a n}的前n项和S n满足S n=a n﹣n，n∈N*，则下列为等比数列的是（）A．{a n+1}B．{a n﹣1}C．{S n+1}D．{S n﹣1}16．（3分）正实数x，y满足x+y=1，则的最小值是（）A．3+B．2+2C．5 D．17．（3分）已知1是函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的一个零点，若存在实数x0．使得f（x0）＜0．则f（x）的另一个零点可能是（）A．x0﹣3 B．x0﹣C．x0+D．x0+218．（3分）等腰直角△ABC斜边CB上一点P满足CP≤CB，将△CAP沿AP翻折至△C′AP，使二面角C′﹣AP﹣B为60°，记直线C′A，C′B，C′P与平面APB所成角分别为α，β，γ，则（）A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．β＜α＜γ D．γ＜α＜β二.填空题19．（6分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a n=2n﹣1，n∈N*，则a1=，S3=．20．（3分）双曲线﹣=1的渐近线方程是．21．（3分）若不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R，则实数a的取值范围是．22．（3分）正四面体A﹣BCD的棱长为2，空间动点P满足||=2，则的取值范围是．三.解答题23．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=．（1）求角A的大小；（2）若b=2，c=3，求a的值；（3）求2sinB+cos（）的最大值．24．（10分）如图，抛物线x2=y与直线y=1交于M，N两点，Q为该抛物线上异于M，N的任意一点，直线MQ与x轴、y轴分别交于点A，B，直线NQ与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求M，N两点的坐标；（2）证明：B，D两点关于原点O的对称；（3）设△QBD，△QCA的面积分别为S1，S2，若点Q在直线y=1的下方，求S2﹣S1的最小值．25．（11分）已知函数g（x）=﹣t•2x+1﹣3x+1，h（x）=t•2x﹣3x，其中x，t∈R．（1）求g（2）﹣h（2）的值（用t表示）；（2）定义[1，+∞）上的函数f（x）如下：f（x）=（k∈N*）．若f（x）在[1，m）上是减函数，当实数m取最大值时，求t的取值范围．2017年11月浙江省新高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B=（）A．{1，3}B．{1，2，3}C．{1，3，4}D．{1，2，3，4}【解答】解：集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B={1，2，3，4}．故选：D．2．（3分）已知向量=（4，3），则||=（）A．3 B．4 C．5 D．7【解答】解：因为向量=（4，3），则||==5；故选C．3．（3分）设θ为锐角，sinθ=，则cosθ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵θ为锐角，sinθ=，则cosθ==，故选：D．4．（3分）log2=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【解答】解：log2=log21﹣log24=﹣2．故选：A．5．（3分）下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=sin【解答】解：y=sinx，y=cosx的周期是2π，y=sin的周期是4π，y=tanx的周期是π；故选：C．6．（3分）函数y=的定义域是（）A．（﹣1，2]B．[﹣1，2]C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）【解答】解：由题意得：，解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]，故选：A．7．（3分）点（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离是（）A．B．C．1 D．【解答】解：点（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离d==．故选：A．8．（3分）设不等式组所表示的平面区域为M，则点（1，0），（3，2），（﹣1，1）中在M内的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：不等式组所表示的平面区域为M，点（1，0），代入不等式组，不等式组成立，所以（1，0），在平面区域M内．点（3，2），代入不等式组，不等式组不成立，所以（3，2），不在平面区域M 内．点（﹣1，1），代入不等式组，不等式组不成立，所以（﹣1，1），不在平面区域M内．故选：B．9．（3分）函数f（x）=x•ln|x|的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=x•ln|x|是奇函数，排除选项A，C；当x=时，y=，对应点在x轴下方，排除B；故选：D．10．（3分）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内的所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一直线与l平行D．α内存在无数条直线与l相交【解答】解：由题意可知直线l与平面α只有1个交点，设l∩α=A，则α内所有过A点的直线与l都相交，故选D．11．（3分）图（1）是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥A1﹣AB1D1后的几何体，将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图（2）的几何体的正视图为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体正视图的轮廓是长方形，底面对角线DB′在正视图的长，棱CC1在正视图中的投影为虚线，D1A，B1A在正视图中为虚线；故该几何体的正视图为B．故选：B12．（3分）过圆x2+y2﹣2x﹣8=0的圆心，且与直线x+2y=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣y+2=0 B．x+2y﹣1=0 C．2x+y﹣2=0 D．2x﹣y﹣2=0【解答】解：圆的圆心为（1，0），直线x+2y=0的斜率为﹣，∴所求直线的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．故选D．13．（3分）已知a，b是实数，则“|a|＜1且|b|＜1”是“a2+b2＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“|a|＜1且|b|＜1”，不一定能推出“a2+b2＜1，例如a=b=0.8，即充分性不成立，若a2+b2＜1一定能推出a|＜1且|b|＜1，即必要性成立，故“|a|＜1且|b|＜1”是“a2+b2＜1”的必要不充分条件，故选：B．14．（3分）设A，B为椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1•k2=﹣，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（x0，y0），则由P在椭圆上可得y02=•b2，①∵直线AP与BP的斜率之积为﹣，∴=﹣，②把①代入②化简可得=，∴=，∴离心率e=．故选：C．15．（3分）数列{a n}的前n项和S n满足S n=a n﹣n，n∈N*，则下列为等比数列的是（）A．{a n+1}B．{a n﹣1}C．{S n+1}D．{S n﹣1}【解答】解：根据题意，数列{a n}满足S n=a n﹣n，①，则有S n=a n﹣1﹣n+1，②，﹣1=（a n﹣a n﹣1）﹣1，即a n=3a n﹣1+2，③①﹣②可得：S n﹣S n﹣1+1），对③变形可得：a n+1=3（a n﹣1即数列{a n+1}为等比数列，故选：A．16．（3分）正实数x，y满足x+y=1，则的最小值是（）A．3+B．2+2C．5 D．【解答】解：正实数x，y满足x+y=1，则==2+≥2+2=2．当且仅当x==2﹣时取等号．故选：B．17．（3分）已知1是函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的一个零点，若存在实数x0．使得f（x0）＜0．则f（x）的另一个零点可能是（）A．x0﹣3 B．x0﹣C．x0+D．x0+2【解答】解：∵1是函数f（x）=ax2+bx+c的一个零点，∴a+b+c=0，∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，且|a|＞|b|，得，函数f（x）=ax2+bx+c的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x=﹣，则＜＜，画出函数大致图象如图：当0≤，函数的另一零点x1∈[﹣1，0），x0∈（﹣1，1），则x0﹣3∈（﹣4，﹣2），∈（，），∈（，），x0+2∈（1，3）；当﹣＜＜0，函数的另一零点x1∈（﹣2，﹣1），x0∈（﹣2，1），则x0﹣3∈（﹣5，﹣2），∈（，），∈（﹣，），x0+2∈（0，3）．综上，f（x）的另一个零点可能是．故选：B．18．（3分）等腰直角△ABC斜边CB上一点P满足CP≤CB，将△CAP沿AP翻折至△C′AP，使二面角C′﹣AP﹣B为60°，记直线C′A，C′B，C′P与平面APB所成角分别为α，β，γ，则（）A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．β＜α＜γ D．γ＜α＜β【解答】解：以A为原点建立平面直角坐标系如图所示：过C作CM⊥AP，垂足为H，使得CH=MH，设MH的中点为N，∵二面角C′﹣AP﹣B为60°，∴C′在平面ABC上的射影为N．连接NP，NA，NB．显然NP＜NA．设AC=AB=1，则CH=sin∠PAC，∴CN=CH=sin∠PAC，∴N到直线AC的距离d=CN•sin∠ACN＜sin∠PAC，∵CP≤，∴sin∠PAC≤．∴d＜，即N在直线y=下方，∴NA＜NB．设C′到平面ABC的距离为h，则tanα=，tanβ=，tanγ=，∵NP＜NA＜NB，∴tanγ＞tanα＞tanβ，即γ＞α＞β．故选C．二.填空题19．（6分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a n=2n﹣1，n∈N*，则a1=1，S3= 9．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，a n=2n﹣1，n∈N*，∴a1=2×1﹣1=1，a2=2×2﹣1=3，a3=2×3﹣1=5，∴S3=1+3+5=9．故答案为：1，9．20．（3分）双曲线﹣=1的渐近线方程是．【解答】解：∵双曲线的方程﹣=1，∴a2=9，b2=16，即a=3，b=4，则双曲线的渐近线方程为，故答案为：．21．（3分）若不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0．+∞）．【解答】解：令f（x）=|2x﹣a|+|x+1|，∵不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R，∴f（）≥1，且f（﹣1）≥1，∴|+1|≥1，且|﹣2﹣a|≥1，∴a≤﹣4或a≥0．即实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣4]∪[0．+∞）故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[0．+∞）22．（3分）正四面体A﹣BCD的棱长为2，空间动点P满足||=2，则的取值范围是[0，4] ．【解答】解：设BC的中点为M，则||=|2|=2，∴||=1，即P在以M为球心，以1为半径的球面上．以M为原点建立如图所示的空间坐标系如图所示：则A（，0，），D（，0，0），设P（x，y，z），则=（x﹣，y，z﹣），=（，0，﹣），∴=x﹣z+2，∵P在以M为球心，以1为半径的球面上，∴x2+y2+z2=1，∵0≤y2≤1，0≤x2+z2≤1．令x﹣z+2=m，则直线x﹣z+2﹣m=0与单位圆x2+z2=1相切时，截距取得最值，令=1，解得m=0或m=4．∴的取值范围是[0，4]．三.解答题23．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=．（1）求角A的大小；（2）若b=2，c=3，求a的值；（3）求2sinB+cos（）的最大值．【解答】解：（1）△ABC中，∵cosA=，∴A=．（2）若b=2，c=3，则a===．（3）2sinB+cos（）=2sinB+cosB﹣sinB=sinB+cosB=sin（B+），∵B∈（0，），∴B+∈（，），故当B+=时，2sinB+cos（）取得最大值为．24．（10分）如图，抛物线x2=y与直线y=1交于M，N两点，Q为该抛物线上异于M，N的任意一点，直线MQ与x轴、y轴分别交于点A，B，直线NQ与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求M，N两点的坐标；（2）证明：B，D两点关于原点O的对称；（3）设△QBD，△QCA的面积分别为S1，S2，若点Q在直线y=1的下方，求S2﹣S1的最小值．【解答】解：（1）由得或∴M，N两点的坐标为M（﹣1，1），N（1，1）（2）设点Q的坐标为（），直线MQ的方程为：y=（x0﹣1）（x+1）+1，令x=0，得点B坐标为（0，x0），直线NQ的方程为：y=（（x0+1）（x﹣1）+1，令x=0，得点D坐标为（0，﹣x0），∴B，D两点关于原点O的对称．（3）由（2）得|BD|=2|x0|，S1=|BD||x0|=x02．在直线MQ的方程中令y=0，得点A坐标为（，0），在直线NQ的方程中令y=0，得点C坐标为（，0），∴|AC|=||=，S2═|AC||x02|=∴令t=1﹣x02，﹣1＜x0＜1，可得t∈（0，1]则S2﹣S1=2t+﹣3≥2﹣3当且仅当t=时，即时取等号．综上所述，S2﹣S1的最小值为2﹣3．25．（11分）已知函数g（x）=﹣t•2x+1﹣3x+1，h（x）=t•2x﹣3x，其中x，t∈R．（1）求g（2）﹣h（2）的值（用t表示）；（2）定义[1，+∞）上的函数f（x）如下：f（x）=（k∈N*）．若f（x）在[1，m）上是减函数，当实数m取最大值时，求t的取值范围．【解答】解：（1）g（2）﹣h（2）=﹣8t﹣27﹣（4t﹣9）=﹣12t﹣18．（2）∵f（x）是[1，m）上的减函数，∴g（2）≥h（2），h（3）≥g（3），g（4）≥h（4），∴，解得﹣≤t≤﹣，而g（4）﹣h（4）=﹣48t﹣162=﹣48（t+4）＜0，∴g（4）＜h（4），与g（4）≥h（4）矛盾，∴m≤4．当﹣≤t≤﹣时，显然h（x）在[2，3）上为减函数，故只需令g（x）在[1，2）和[3，4）上为减函数即可．设1≤x1＜x2，则g（x1）﹣g（x2）=2[t+（）]﹣2[t+（）]，∵（）+t＞t+（）+t≥0，2＞2＞0，∴2[t+（）]＞2[t+（）]，即g（x1）＞g（x2），∴当﹣≤t≤﹣时，g（x）在[1，+∞）上单调递减，符合题意．综上，m的最大值为4，此时t的范围是[﹣，﹣]．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2017年11月浙江省数学学考试卷解析1．已知集合{}321，，=A ，{}431，，=B ，则=B A A ．{}31， B ．{}321，， C ．{}431，， D ．{}4321，，， 【解析】本题考查集合的简单运算，根据集合并集的运算法则可得{}4321，，，=B A ，故选D ．2．已知向量()43，== A ．3 B ．4 C ．5 D ．754322=+=，故选C ． 3．已知θ为锐角，31sin =θ，则=θcosA ．32 B ．32C ．36D ．322 【解析】本题考查同角三角函数的关系与三角函数值的符号，首先已知θ为锐角，可得0cos >θ，根据31sin =θ和1sin cos 22=+θθ，可得322cos =θ，故选D ． 4．=41log 2A ．2-B ．21-C ．21D ．2 【解析】本题考查对数的运算法则，易得()22log 41log 222-==-，故选A ． 5．下列函数中，最小正周期为π的是A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y tan =D ．2sin x y = 【解析】本题考查三角函数的最小正周期，A ，B 选项的最小正周期为π2，C 选项的最小正周期为π，而D 选项的最小正周期为ππ4212==T ，故选C ．6．函数112++-=x x y 的定义域是 A ．(]21，- B ．[]21，- C ．()21，- D ．[)21，- 【解析】本题考查函数的定义域，易得⎩⎨⎧>+≥-0102x x ，解得(]21，-∈x ，故选A ．7．点()00，到直线01=-+y x 的距离是 A ．22 B ．23 C ．1 D ．2 【解析】本题考查点到直线的距离公式，运用公式可得221110022=+-+=d ，故选A ． 8．设不等式组⎩⎨⎧<-+>-0420y x y x ，所表示的平面区域为M ，点()01，，()23，，()11，-中在M 内的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】本题考查简单的线性规划运用，而且考查的是点是否在可行域内，故可采取代入的点的方式，点()01，代入得⎩⎨⎧<-+⨯>-04012001符合，故点()01，在M 内，若不符合，则不在M 内，同理，可得()23，，()11，-中不在M 内，故选B ． 9．函数()x x x f ln ⋅=的图像可能是A B C D【解析】本题考查函数的图像与性质，不难发现()()()x f x x x f -=--=-ln ，()x f 为奇函数，故排除A ，C 选项，当()0ln 10<∈x x ，，，故B 选项不符，故选D ，函数图像题常用的方法就是函数奇偶性与特殊点结合使用．10．若直线l 不平行于平面α，且α⊄l ，则A ．α内的所有直线与l 异面B ．α内只存在有限条直线与l 共面C ．α内存在唯一直线与l 平行D ．α内存在无数条直线与l 相交 【解析】本题考查空间线面关系，已知直线l 不平行于平面α，且α⊄l ，可得l 与α相交，且α内存在无数条直线与l 相交（共面），α内不存在直线与l 平行，α内的无数直线与l 异面，但并非所有，故选D ．()∙()∙()∙()∙11．图（1）是棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -截去三棱锥111D AB A -后的几何体，将其绕着棱1DD 逆时针旋转45°，得到如图（2）的几何体的正视图为（1） （2）A B C D【解析】本题考查了几何体的三视图，由正方体的几何性质可得正视图为一矩形，并且1AD 和1AB 看得见，用实线表示，1CC 看不见用虚线表示，故选B ．12．过圆08222=--+x y x 的圆心，且与直线02=+y x 垂直的直线方程是 A ．022=+-y x B ．012=-+y x C ．022=-+y x D ．022=--y x【解析】本题考察了圆的标准方程与直线解析式．由圆的方程可得圆心坐标为)0,1(，化简02=+y x 得21-=k ，因为两直线互相垂直，故211=-=kk ，设直线的点斜式为)1(20-=-x y ，化简为一般式得022=--y x ，故选D ．1D D1A13．已知b a ，是实数，则“1<a 且1<b ”是“122<+b a ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】本题考察了逻辑用语和不等式的内容．当“9.09.0==b a ，”时，162.1281.022>=⨯=+b a ，故是不充分条件；1122<-<b a ，1<a ，同理1<b ，所以选B ．14．设A ，B 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的点，直线PB PA ，的斜率分别为21k k ，，若4321-=⋅k k ，则该椭圆的离心率为 A ．41 B ．31 C ．21D ．23【解析】本题主要考察了椭圆的几何性质和离心率的意义，对于选择题可以采取一定的技巧，点P 取特殊位置),0(b ，a b k a b k -==21,，432221-=-=a b k k ，所以21=e ，选C15．数列{}n a 的前n 项和n S 满足*23N n n a S n n ∈-=，，则下列为等比数列的是 A ．{}1+n a B ．{}1-n a C ．{}1+n S D ．{}1-n S 【解析】本题主要考察了数列里的通项的求法． 当1=n 时，123111-==a S a ，21=a ， 当2≥n 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=-=--)1(232311n a n a S S a n n n n n ，得231+=-n n a a 令)(31k a k a n n +=+-，得1=k ．故数列{}1+n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以131-=-n n a ．故{}1+n a 为等比数列，选A16．正实数y x ，，满足1=+y x ，则yx y 11++的最小值是 A ．23+ B ．222+ C ．5 D ．211【解析】本题主要考察了基本不等式里“1的代入”．将y x +=1代入yx y 11++，得22222222+=⨯+≥++=++++yxx y y x x y y y x x y y x ，故选B17．已知1是函数()()2f x ax bx c a b c=++>>的一个零点，若存在实数0x ，使得()00f x <，则()f x 的另一个零点可能是A ．03x -B ．012x -C ．032x + D ．02x + 【解析】由于a b c >>，0a b c ++=，可得0a >，0c <，则另一零点20x <，应在区间()0x -∞，内，所以答案应在A 、B 中选择．那么接下来的选择，我们只需考虑到本题是单选题，答案只有一个，所以造成的结果就是()f x 的另一个零点肯定是距离0x 比较近的，那么很显然的，选B ．18．等腰直角ABC ∆斜边CB 上的一点P 满足14CP CB ≤．将C A P∆沿AP 翻折至'C AP ∆，使二面角'C AP B --为60．记直线'C A ，'C B ，'C P 与平面APB 所成角分别为α，β，γ，则A ．αβγ<<B ．αγβ<<C ．βαγ<<D ．γαβ<< 【解析】本题考察的是我们的空间想象能力．如图，翻折之后，我们不难发现题中所求的三个线面角，有一个共同的对边，那么比较大小的时候，我们仅需关心各自的一个对边即可，对边越长，角越小，这里，很显然，'''C P C A C B <<（可以根据特殊位置来观察得到），故而有βαγ<<，选B ．AB19．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若*21n a n n N =-∈，，则1a =____，3S =____．【解析】本题考查等差数列，告诉了通项公式，可以把前三项一一列举出来.1319a S ==，，当然通过首项和公比也可．20．双曲线221916x y -=的渐近线方程是 ． 【解析】本题考查双曲线渐近线，本题焦点在x 轴，直接令220916x y -=即可，可得43y x =±． 21．若不等式211x a x -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】本题考察绝对值不等式，可采用零点分区间法，也可利用函数()21f x x a x =-++，则题意等价于()()min min 112a f x f f ⎧⎫⎛⎫=-≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，恒成立，代入得min 12=1022a aa ⎧⎫+++≥⎨⎬⎩⎭，，得(][)40a ∈-∞-+∞，，． 22．正四面体A BCD -的棱长为2，空间动点P 满足2PB PC +=，则AP AD ⋅的取值范围是 ．【解析】由2PB PC +=易知，动点P 的运动轨迹为以BC 中点为球心，1为半径的球上，如图故()AP AD AM MP AD AM AD MP AD ⋅=+⋅=⋅+⋅[]222cos 22cos 042AD MA MD MP AD θθ+-=+⋅⋅=+∈，．DB23．在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知1cos =2A ． （1）求角A 的大小；（2）若23b c ==，，求a 的值； （3）求2sin cos 6B B π⎛⎫++⎪⎝⎭的最大值． 【解析】（1）由题意可得：角A 为三角形的内角，1cos =2A ，可得=3A π∠． （2）由余弦定理得：2221cos =22b c a A bc +-=，求得a = （3）由题得：32sin cos =sin 626B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已求角=30A ∠，203B π∴<<∠5666B πππ⇒<+<，当3B π=24．如图，抛物线y x =2与直线1=y 交于N M ，两点，Q 为该抛物线上异于N M ，的任y 轴分别交于D C ，． 1=的下方，求12S S -的【解析】（1）联立⎩⎨⎧==，，12y y x 可得⎩⎨⎧==11y x ，或11x y =-⎧⎨=⎩，故()()1111，，，N M -. （2）不妨设()00y x Q ，，因点Q 在抛物线上，可得200x y =，即()200x x Q ，，MQ 的斜率1110020+=--=x x x ，可得直线MQ 的方程为：()()1110++-=x x y .令0=x ，可得点()00x B ，.同理可得直线NQ 的方程为：()()1110+-+=x x y ，令0=x ，可得点()00x D -，. 因此D B ，两点关于原点O 对称.（3）MQ :()()1110++-=x x y ，令0=y ，可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0100，x x A ，同理可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0100，x x C 2200001211x x x x x x AC -=+--=. 因此200122121x x x x BD S Q =⋅⋅=⋅⋅=， 24020202021122121x x x x x y AC S Q -=⋅-⋅=⋅⋅=. 所以202040121x x x S S --=-，因点Q 在1=y 下方的抛物线上，可得110<<-x ，因此22040202040202040121211x x x x x x x x x S S --=--=--=-，设t x =-201，可得 32231212-≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-t t S S ，当且仅当t t 12=时取得最小值，即22±=t 时，因110<<-x ，可得10≤<t ，故22=t 时12S S -可取得最小值322-． 点评：此题相对高考的解析几何要简单很多，第（2）小问只要设点表示就可以做出来，第（3）小问的函数关系成绩相对中上的同学基本都能列出来，只要不怕麻烦就行，而最值也是只要换元就能用最基本的基本不等式解决.25．已知函数()1132++-⋅-=x x t x g ，()x x t x h 32-⋅=，其中R t x ∈，．（1）求()()22h g -的值（用t 表示）（2）定义在[)∞+，1上的函数()x f 如下： ()()[)()[)()212221g x x k k f x k N h x x k k *⎧∈-⎪=∈⎨∈+⎪⎩，，，，，，若()x f 在[)m ，1上是减函数，当实数m 最大时，求t 的范围. 解析：（1）()2783221212--=-⋅-=++t t g ，()9432222-=-⋅=t t h ，()()()()181********--=----=-∴t t t h g .（2）若2>m 时，根据()x f 在[)m ，1上是减函数以及分段函数的性质可得 ()()22h g ≥，可得23-≤t ，若3>m 时，根据()x f 在[)m ，1上是减函数以及分段函数的性质可得 ()()33g h ≥，可得49-≥t ，即3>m 时，2349-≤≤-t .若4>m 时，根据()x f 在[)m ，1上是减函数以及分段函数的性质可得 ()()44h g ≥，可得827-≤t ，因4>m ，则3>m 也满足，即t 也满足 2349-≤≤-t ，这与827-≤t 没有公共部分，故4>m 不成立，即4≤m . 当4=m 时，则t 必满足2349-≤≤-t . 故0<t ，易知()x h 在[)∞+，1上单调递减，故在[)32，也单调递减.任取[)∞+∈，，121x x ，且21x x <， 则()()11112122113232+++++⋅+-⋅-=-x x x x t t x g x g ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++t t x x x x 11111122232232因[)∞+∈，，121x x ，21x x <，2349-≤≤-t ， 211111333902224x x t t t t +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+>+≥+≥+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 0221112>>++x x .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∴++++t t x x x x 11111122232232， ()()021>-∴x g x g ，()x g ∴在[)∞+，1上是减函数，故在()x g 在[)21，和[)43，上也是减函数，综上所述，()x f 在[)m ，1上是减函数，实数m 的最大值为4，此时t 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2349，． 点评：此题的第一小问很基础，相应绝大部分学生都能做出来，第二小问有一定难度，只有大胆猜想才能发现其中的规律，并小心求证才能得到所求结论.。

2017年11月浙江数学学考一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。

）1.已知集合A=｛1,2,3｝，B ｛1,3,4,｝，则A ∪B= （ ）A.｛1,3｝B.｛1,2,3｝C.｛1,3,4｝D.｛1,2,3,4｝ 2.已知向量a=（4,3），则|a|= （ ）A.3B.4C.5D.7 3.设θ为锐角，sinθ=31，则cosθ=（ ）A.32B.32C.36D.3224.log 241=（ ）A.-2B.-21C.21D.2 5.下面函数中，最小正周期为π的是（ ）A.y=sin xB.y=cos xC.y=tan xD.y=sin 2x6.函数y=112++-x x 的定义域是（ ）A.(-1,2]B.[-1,2]C.(-1,2)D.[-1,2)7.点（0,0）到直线x +y-1=0的距离是（ ） A.22 B.23 C.1 D.2 8.设不等式组⎩⎨⎧-+-0＜420＞y x y x ，所表示的平面区域为M ，则点（1,0）（3,2）（-1,1）中在M 内的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.函数f(x )=x ·1n|x |的图像可能是（ ）10.若直线l 不平行于平面α，且α⊄l 则（ ）A.α内所有直线与l 异面B.α内只存在有限条直线与l 共面C.α内存在唯一的直线与l 平行D.α内存在无数条直线与l 相交11.图（1）是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1截去三棱锥A 1—AB 1D 1后的几何体，将其绕着棱DD 1逆时针旋转45°，得到如图（2）的几何体的正视图为 （ ）2222222222222222A. B. C. D. 12.过圆x 2+y 2-2x-8=0的圆心，且与直线x+2y=0垂直的直线方程是 （ ）A.2x-y+2=0B.x+2y-1=0C.2x+y-2=0D.2x-y-2=013.已知a,b 是实数，则“|a|＜1且|b|＜1”是“a 2+b 2＜1”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.设A ，B 为椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的点，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1,k 2.若k 1k 2=-43，则该椭圆的离心率为 （ ）A.41 B.31 C.21D.2315.数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =23a n -n, n ∈N ﹡,则下列为等比数列的是（ ）A.{a n +1}B.{a n -1}C.{S n +1}D.{S n -1} 16.正实数x ，y满足x+y=1，则yx y 11++的最小值是（ ）A.3+2B.2+22C.5D.21117.已知1是函数f (x )=a x 2+b x +c(a ＞b ＞c)的一个零点，若存在实数0x ，使得f (0x )＜0,则f (x )的另一个零点可能是 ( )A.0x -3B.0x -21C.0x +23D.0x +2 18.等腰直角△ABC 斜边BC 上一点P 满足CP ≤41CB ，将△CAP 沿AP 翻折至△C ′AP ，使二面角C ′—AP —B 为60°记直线C ′A ，C ′B ，C ′P 与平面APB 所成角分别为α，β，γ， 则 （ ）A.α＜β＜γB.α＜γ＜βC.β＜α＜γD.γ＜α＜β 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。

2021年11月浙江省新高考学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共18小题，每题3分，共54分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕集合{1，2，3}，{1，3，4}，那么A∪〔〕A．{1，3} B．{1，2，3} C．{1，3，4} D．{1，2，3，4} 2．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕向量=〔4，3〕，那么〔〕A．3 B．4 C．5 D．73．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕设θ为锐角，θ=，那么θ=〔〕A．B．C．D．4．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕2=〔〕A．﹣2 B．﹣C．D．25．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕以下函数中，最小正周期为π的是〔〕A．B．C．D．6．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕函数的定义域是〔〕A．〔﹣1，2] B．[﹣1，2] C．〔﹣1，2〕D．[﹣1，2〕7．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕点〔0，0〕到直线﹣1=0的距离是〔〕A．B．C．1 D．8．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕设不等式组所表示的平面区域为M，那么点〔1，0〕，〔3，2〕，〔﹣1，1〕中在M内的个数为〔〕A．0 B．1 C．2 D．39．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕函数f〔x〕•的图象可能是〔〕A．B．C．D．10．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕假设直线l不平行于平面α，且l⊄α，那么〔〕A．α内的所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一直线与l平行D．α内存在无数条直线与l相交11．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕图〔1〕是棱长为1的正方体﹣A1B1C1D1截去三棱锥A1﹣1D1后的几何体，将其绕着棱1逆时针旋转45°，得到如图〔2〕的几何体的正视图为〔〕A．B．C．D．12．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕过圆x22﹣2x﹣8=0的圆心，且与直线20垂直的直线方程是〔〕A．2x﹣2=0 B．2y﹣1=0 C．2﹣2=0 D．2x﹣y﹣2=013．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕a，b是实数，那么“＜1且＜1〞是“a22＜1〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕设A，B为椭圆〔a＞b＞0〕的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的点，直线，的斜率分别为k1，k2，假设k1•k2=﹣，那么该椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．15．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕数列{}的前n项和满足﹣n，n∈N*，那么以下为等比数列的是〔〕A．{1} B．{﹣1} C．{1} D．{﹣1}16．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕正实数x，y满足1，那么的最小值是〔〕A．3+B．2+2C．5 D．17．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕1是函数f〔x〕2〔a＞b＞c〕的一个零点，假设存在实数x0．使得f〔x0〕＜0．那么f〔x〕的另一个零点可能是〔〕A．x0﹣3 B．x0﹣C．x0+D．x0+218．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕等腰直角△斜边上一点P满足≤，将△沿翻折至△C′，使二面角C′﹣﹣B为60°，记直线C′A，C′B，C′P与平面所成角分别为α，β，γ，那么〔〕A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．β＜α＜γ D．γ＜α＜β19．〔6分〕〔2021•浙江学业考试〕设数列{}的前n项和为，假设2n﹣1，n∈N*，那么a1= ，S3= ．20．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕双曲线﹣=1的渐近线方程是．21．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕假设不等式|2x﹣1|≥1的解集为R，那么实数a的取值范围是．22．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕正四面体A﹣的棱长为2，空间动点P满足2，那么的取值范围是．23．〔10分〕〔2021•浙江学业考试〕在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．〔1〕求角A的大小；〔2〕假设2，3，求a的值；〔3〕求2〔〕的最大值．24．〔10分〕〔2021•浙江学业考试〕如图，抛物线x2与直线1交于M，N两点，Q为该抛物线上异于M，N的任意一点，直线与x 轴、y轴分别交于点A，B，直线与x轴，y轴分别交于点C，D．〔1〕求M，N两点的坐标；〔2〕证明：B，D两点关于原点O的对称；〔3〕设△，△的面积分别为S1，S2，假设点Q在直线1的下方，求S2﹣S1的最小值．25．〔11分〕〔2021•浙江学业考试〕函数g〔x〕=﹣t•21﹣31，h 〔x〕•2x﹣3x，其中x，t∈R．〔1〕求g〔2〕﹣h〔2〕的值〔用t表示〕；〔2〕定义[1，+∞〕上的函数f〔x〕如下：f〔x〕=〔k∈N*〕．假设f〔x〕在[1，m〕上是减函数，当实数m取最大值时，求t 的取值范围．2021年11月浙江省新高考学业水平考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共18小题，每题3分，共54分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕集合{1，2，3}，{1，3，4}，那么A∪〔〕A．{1，3} B．{1，2，3} C．{1，3，4} D．{1，2，3，4} 【分析】根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合{1，2，3}，{1，3，4}，那么A∪{1，2，3，4}．应选：D．【点评】此题考察了并集的定义与运算问题，是根底题．2．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕向量=〔4，3〕，那么〔〕A．3 B．4 C．5 D．7【分析】根据平面向量的模长公式计算可得．【解答】解：因为向量=〔4，3〕，那么5；应选C．【点评】此题考察了平面向量的模长计算；属于根底题．3．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕设θ为锐角，θ=，那么θ=〔〕A．B．C．D．【分析】根据同角三角函数的根本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得θ的值．【解答】解：∵θ为锐角，θ=，那么θ，应选：D．【点评】此题主要考察同角三角函数的根本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于根底题．4．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕2=〔〕A．﹣2 B．﹣C．D．2【分析】直接利用对数运算法那么化简求解即可．【解答】解：221﹣24=﹣2．应选：A．【点评】此题考察对数的运算法那么的应用，考察计算能力．5．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕以下函数中，最小正周期为π的是〔〕A．B．C．D．【分析】求出函数的周期，即可判断选项．【解答】解：，的周期是2π，的周期是4π，的周期是π；应选：C．【点评】此题考察三角函数的周期的求法，是根底题．6．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕函数的定义域是〔〕A．〔﹣1，2] B．[﹣1，2] C．〔﹣1，2〕D．[﹣1，2〕【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是〔﹣1，2]，应选：A．【点评】此题考察了求函数的定义域问题，考察二次根式的性质，是一道根底题．7．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕点〔0，0〕到直线﹣1=0的距离是〔〕A．B．C．1 D．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点〔0，0〕到直线﹣1=0的距离．应选：A．【点评】此题考察了点到直线的距离公式，考察了推理能力与计算能力，属于根底题．8．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕设不等式组所表示的平面区域为M，那么点〔1，0〕，〔3，2〕，〔﹣1，1〕中在M内的个数为〔〕A．0 B．1 C．2 D．3【分析】验证点的坐标是否满足不等式组，即可得到结果．【解答】解：不等式组所表示的平面区域为M，点〔1，0〕，代入不等式组，不等式组成立，所以〔1，0〕，在平面区域M内．点〔3，2〕，代入不等式组，不等式组不成立，所以〔3，2〕，不在平面区域M内．点〔﹣1，1〕，代入不等式组，不等式组不成立，所以〔﹣1，1〕，不在平面区域M内．应选：B．【点评】此题考察线性规划的应用，点的坐标与可行域的关系，是根底题．9．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕函数f〔x〕•的图象可能是〔〕A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可．【解答】解：函数f〔x〕•是奇函数，排除选项A，C；当时，，对应点在x轴下方，排除 B；应选：D．【点评】此题考察函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．10．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕假设直线l不平行于平面α，且l⊄α，那么〔〕A．α内的所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一直线与l平行D．α内存在无数条直线与l相交【分析】根据线面相交得出结论．【解答】解：由题意可知直线l与平面α只有1个交点，设l ∩α，那么α内所有过A点的直线与l都相交，应选D．【点评】此题考察了空间线面位置关系，属于根底题．11．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕图〔1〕是棱长为1的正方体﹣A1B1C1D1截去三棱锥A1﹣1D1后的几何体，将其绕着棱1逆时针旋转45°，得到如图〔2〕的几何体的正视图为〔〕A．B．C．D．【分析】正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，结合三视图的作法，即可判断出其正视图．【解答】解：由题意可知几何体正视图的轮廓是长方形，底面对角线在正视图的长为，棱1在正视图中的投影为虚线，D1A，B1A在正视图中为实线；故该几何体的正视图为B．应选：B【点评】此题考察三视图与几何体的关系，从正视图的定义可以判断出题中的正视图，同时要注意能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．12．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕过圆x22﹣2x﹣8=0的圆心，且与直线20垂直的直线方程是〔〕A．2x﹣2=0 B．2y﹣1=0 C．2﹣2=0 D．2x﹣y﹣2=0【分析】求出圆心坐标和直线斜率，利用点斜式方程得出直线方程．【解答】解：圆的圆心为〔1，0〕，直线20的斜率为﹣，∴所求直线的方程为2〔x﹣1〕，即2x﹣y﹣2=0．应选D．【点评】此题考察了直线方程，属于根底题．13．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕a，b是实数，那么“＜1且＜1〞是“a22＜1〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进展判断即可．【解答】解：“＜1且＜1〞，不一定能推出“a22＜1，例如0.8，即充分性不成立，假设a22＜1一定能推出＜1且＜1，即必要性成立，故“＜1且＜1〞是“a22＜1〞的必要不充分条件，应选：B．【点评】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，比拟根底．14．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕设A，B为椭圆〔a＞b＞0〕的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的点，直线，的斜率分别为k1，k2，假设k1•k2=﹣，那么该椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．【分析】由题意可得A〔﹣a，0〕，B〔a，0〕，设P〔x0，y0〕，由题意可得的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得．【解答】解：由题意可得A〔﹣a，0〕，B〔a，0〕，设P〔x0，y0〕，那么由P在椭圆上可得y02=•b2，①∵直线与的斜率之积为﹣，∴=﹣，②把①代入②化简可得=，∴=，∴离心率．应选：C．【点评】此题考察椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，属中档题．15．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕数列{}的前n项和满足﹣n，n∈N*，那么以下为等比数列的是〔〕A．{1} B．{﹣1} C．{1} D．{﹣1}【分析】根据题意，将﹣n作为①式，由此可得﹣1﹣1﹣1，②，将两式相减，变形可得3﹣1+2，③，进而分析可得1=3〔﹣1+1〕，结合等比数列的定义分析即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{}满足﹣n，①，那么有﹣1﹣1﹣1，②，①﹣②可得：﹣﹣1=〔﹣﹣1〕﹣1，即3﹣1+2，③对③变形可得：1=3〔﹣1+1〕，即数列{1}为等比数列，应选：A．【点评】此题考察数列的递推公式以及等比数列的判定，关键是求出数列{}的通项公式．16．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕正实数x，y满足1，那么的最小值是〔〕A．3+B．2+2C．5 D．【分析】利用“1〞的代换，然后利用根本不等式求解即可．【解答】解：正实数x，y满足1，那么2+≥2+2=2．当且仅当2﹣时取等号．应选：B．【点评】此题考察根本不等式在最值中的应用，考察计算能力．17．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕1是函数f〔x〕2〔a＞b＞c〕的一个零点，假设存在实数x0．使得f〔x0〕＜0．那么f〔x〕的另一个零点可能是〔〕A．x0﹣3 B．x0﹣C．x0+D．x0+2【分析】由题意可得a＞b＞c，那么a＞0，c＜0，且＞，得，然后分类分析得答案．【解答】解：∵1是函数f〔x〕2的一个零点，∴0，∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，且＞，得，函数f〔x〕2的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为﹣，那么＜＜，画出函数大致图象如图：当0≤，函数的另一零点x1∈[﹣1，0〕，x0∈〔﹣1，1〕，那么x0﹣3∈〔﹣4，﹣2〕，∈〔，〕，∈〔，〕，x0+2∈〔1，3〕；当﹣＜＜0，函数的另一零点x1∈〔﹣2，﹣1〕，x0∈〔﹣2，1〕，那么x0﹣3∈〔﹣5，﹣2〕，∈〔，〕，∈〔﹣，〕，x0+2∈〔0，3〕．综上，f〔x〕的另一个零点可能是．应选：B．【点评】此题考察根的存在性及根的个数判断，考察数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．18．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕等腰直角△斜边上一点P满足≤，将△沿翻折至△C′，使二面角C′﹣﹣B为60°，记直线C′A，C′B，C′P与平面所成角分别为α，β，γ，那么〔〕A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．β＜α＜γ D．γ＜α＜β【分析】建立坐标系，找出C′在平面上的射影N，判断N到A，B，P三点的距离大小得出结论．【解答】解：以A为原点建立平面直角坐标系如下图：过C作⊥，垂足为H，使得，设的中点为N，∵二面角C′﹣﹣B为60°，∴C′在平面上的射影为N．连接，，．显然＜．设1，那么∠，∴∠，∴N到直线的距离•∠＜∠，∵≤，∴∠≤．∴d＜，即N在直线下方，∴＜．设C′到平面的距离为h，那么α=，β=，γ=，∵＜＜，∴γ＞α＞β，即γ＞α＞β．应选C．【点评】此题考察了空间角的大小比拟，属于中档题．19．〔6分〕〔2021•浙江学业考试〕设数列{}的前n项和为，假设2n﹣1，n∈N*，那么a1= 1 ，S3= 9 ．【分析】由2n﹣1，n∈N*，依次求出数列的前3项，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{}的前n项和为，2n﹣1，n∈N*，∴a1=2×1﹣1=1，a2=2×2﹣1=3，a3=2×3﹣1=5，∴S3=1+3+5=9．故答案为：1，9．【点评】此题考察数列的首项和前3项和的求法，考察数列的通项公式、前n项和公式等根底知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是根底题．20．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕双曲线﹣=1的渐近线方程是．【分析】根据双曲线的渐近线方程即可得到结论．【解答】解：∵双曲线的方程﹣=1，∴a2=9，b2=16，即3，4，那么双曲线的渐近线方程为，故答案为：．【点评】此题主要考察双曲线渐近线的判断，根据双曲线的方程确定a，b是解决此题的关键．比拟根底．21．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕假设不等式|2x﹣1|≥1的解集为R，那么实数a的取值范围是〔﹣∞，﹣4]∪[0．+∞〕．【分析】令f〔x〕2x﹣1|，由不等式|2x﹣1|≥1的解集为R可得：f〔〕≥1，且f〔﹣1〕≥1，进而得到答案．【解答】解：令f〔x〕2x﹣1|，∵不等式|2x﹣1|≥1的解集为R，∴f〔〕≥1，且f〔﹣1〕≥1，∴1|≥1，且|﹣2﹣≥1，∴a≤﹣4或a≥0．即实数a的取值范围是：〔﹣∞，﹣4]∪[0．+∞〕故答案为：〔﹣∞，﹣4]∪[0．+∞〕【点评】此题考察的知识点是绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，难度中档．22．〔3分〕〔2021•浙江学业考试〕正四面体A﹣的棱长为2，空间动点P满足2，那么的取值范围是[0，4] ．【分析】建立空间中坐标系，设P〔x，y，z〕，求出关于x，y，z的表达式，根据2得出x，y，z的范围，利用简单线性规划得出答案．【解答】解：设的中点为M，那么22，∴1，即P在以M为球心，以1为半径的球面上．以M为原点建立如下图的空间坐标系如下图：那么A〔，0，〕，D〔，0，0〕，设P〔x，y，z〕，那么=〔x﹣，y，z﹣〕，=〔，0，﹣〕，∴﹣2，∵P在以M为球心，以1为半径的球面上，∴x222=1，∵0≤y2≤1，0≤x22≤1．令x﹣2，那么直线x﹣2﹣0与单位圆x22=1相切时，截距取得最值，令=1，解得0或4．∴的取值范围是[0，4]．【点评】此题考察了平面向量的数量积运算，属于中档题．23．〔10分〕〔2021•浙江学业考试〕在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．〔1〕求角A的大小；〔2〕假设2，3，求a的值；〔3〕求2〔〕的最大值．【分析】〔1〕根据，求得A的值．〔2〕由题意利用余弦定理，求得a的值．〔3〕利用两角和差的三角公式化简解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得2〔〕的最大值．【解答】解：〔1〕△中，∵，∴．〔2〕假设2，3，那么．〔3〕2〔〕=2﹣〔〕，∵B∈〔0，〕，∴∈〔，〕，故当时，2〔〕取得最大值为．【点评】此题主要考察根据三角函数的值求角，余弦定理，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于根底题．24．〔10分〕〔2021•浙江学业考试〕如图，抛物线x2与直线1交于M，N两点，Q为该抛物线上异于M，N的任意一点，直线与x 轴、y轴分别交于点A，B，直线与x轴，y轴分别交于点C，D．〔1〕求M，N两点的坐标；〔2〕证明：B，D两点关于原点O的对称；〔3〕设△，△的面积分别为S1，S2，假设点Q在直线1的下方，求S2﹣S1的最小值．【分析】〔1〕由得M，N两点的坐标为M〔﹣1，1〕，N〔1，1〕〔2〕设点Q的坐标为〔〕，得点B坐标为〔0，x0〕，点D 坐标为〔0，﹣x0〕，可得B，D两点关于原点O的对称．〔3〕由〔2〕得20|，S1002．在直线的方程中令0，得点A坐标为〔，0〕，在直线的方程中令0，得点C坐标为〔，0〕，S2═02，令1﹣x02，t∈〔0，1]，那么S2﹣S1=2﹣3≥2﹣3即可．【解答】解：〔1〕由得或∴M，N两点的坐标为M〔﹣1，1〕，N〔1，1〕〔2〕设点Q的坐标为〔〕，直线的方程为：〔x0﹣1〕〔1〕+1，令0，得点B坐标为〔0，x0〕，直线的方程为：〔〔x0+1〕〔x﹣1〕+1，令0，得点D坐标为〔0，﹣x0〕，∴B，D两点关于原点O的对称．〔3〕由〔2〕得20|，S1002．在直线的方程中令0，得点A坐标为〔，0〕，在直线的方程中令0，得点C坐标为〔，0〕，∴，S2═02∴令1﹣x02，﹣1＜x0＜1，可得t∈〔0，1]那么S2﹣S1=2﹣3≥2﹣3当且仅当时，即时取等号．综上所述，S2﹣S1的最小值为2﹣3．【点评】此题考察了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考察了计算能力，属于中档题．25．〔11分〕〔2021•浙江学业考试〕函数g〔x〕=﹣t•21﹣31，h 〔x〕•2x﹣3x，其中x，t∈R．〔1〕求g〔2〕﹣h〔2〕的值〔用t表示〕；〔2〕定义[1，+∞〕上的函数f〔x〕如下：f〔x〕=〔k∈N*〕．假设f〔x〕在[1，m〕上是减函数，当实数m取最大值时，求t的取值范围．【分析】〔1〕直接代数计算；〔2〕根据g〔2〕≥h〔2〕，h〔3〕≥g〔3〕求出t的范围，判断g〔4〕与h〔4〕的大小关系即可得出m的最大值，判断g〔x〕和h〔x〕的单调性得出t的范围．【解答】解：〔1〕g〔2〕﹣h〔2〕=﹣8t﹣27﹣〔4t﹣9〕=﹣12t ﹣18．〔2〕∵f〔x〕是[1，m〕上的减函数，∴g〔2〕≥h〔2〕，h〔3〕≥g〔3〕，g〔4〕≥h〔4〕，∴，解得﹣≤t≤﹣，而g〔4〕﹣h〔4〕=﹣48t﹣162=﹣48〔4〕＜0，∴g〔4〕＜h〔4〕，与g〔4〕≥h〔4〕矛盾，∴m≤4．当﹣≤t≤﹣时，显然h〔x〕在[2，3〕上为减函数，故只需令g〔x〕在[1，2〕和[3，4〕上为减函数即可．设1≤x1＜x2，那么g〔x1〕﹣g〔x2〕=2[〔〕]﹣2[〔〕]，∵〔〕＞〔〕≥0，2＞2＞0，∴2[〔〕]＞2[〔〕]，即g〔x1〕＞g〔x2〕，∴当﹣≤t≤﹣时，g〔x〕在[1，+∞〕上单调递减，符合题意．综上，m的最大值为4，此时t的范围是[﹣，﹣]．【点评】此题考察了分段函数的单调性，属于中档题．。

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。

每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均你不得分。

）1.已知集合A=｛1,2,3｝，B ｛1,3,4,｝，则A ∪B= A.｛1,3｝B.｛1,2,3｝C.｛1,3,4｝D.｛1,2,3,4｝2.已知向量a=（4,3），则|a|= A.3B.4 C.5D.73.设θ为锐角，sin θ=31，则cos θ=A.32B.32C.36D.3224.log 241=A.-2B.-21C.21D.25.下面函数中，最小正周期为π的是 A.y=sin x B.y=cos x C.y=tan x D.y=sin 2x6.函数y=112++-x x 的定义域是 A.(-1,2]B.[-1,2]C.(-1,2)D.[-1,2) 7.点（0,0）到直线x +y-1=0的距离是 A.22B.23C.1D.28.设不等式组⎩⎨⎧-+-0＜420＞y x y x ，所表示的平面区域为M ，则点（1,0）（3,2）（-1,1）中在M内的个数为A.0B.1 C.2D.3 9.函数f(x )=x ·1n|x |的图像可能是 10.若直线l 不平行于平面a ，且a l ⊄则A.a 内所有直线与l 异面B.a 内只存在有限条直线与l 共面C.a 内存在唯一的直线与l 平行D.a 内存在无数条直线与l 相交 11.图（1）是棱长为1的正方体ABCD —A1B1C1D1截去三棱锥A1—AB1D1后的几何体，将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图（2）的集合体的正视图为 （1）（2） （第11题图）12.过圆x 2=y 2-2x-8=0的圆心，且与直线x=2y=0垂直的直线方程是A.2x=y=2=0B.x=2y-1=0C.2x=y-2=0D.2x-y-2=013.已知a,b 是实数，则“|a|＜1且|b|＜1”是“a 2+b 2＜1”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 14.设A ，B为椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的点，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1k 2.若k 1·k 2=-43，则该椭圆的离心率为A.41B.31C.21D.2315.数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =23a n -n ·n ∈N ﹡,则下列为等比数列的是A.{a n +1}B.{a n -1}C.{S n +1}D.{S n -1} 16.正实数x ，y 满足x+y=1，则yx y 11++的最小值是A.3+2B.2+22C.5D.21117.已知1是函数f (x )=a x 2+b x +c(a ＞b ＞c)的一个零点，若存在实数0x ，使得f (0x )＜0,则f (x )的另一个零点可能是 A.0x -3B.0x -21C.0x +23D.0x +218.等腰直角△ABC 斜边BC 上一点P 满足CP ≤41CB ，将△CAP 沿AP 翻折至△C ′AP ，使两面角C ′—AP —B 为60°记直线C ′A ，C ′B ，C ′P 与平面APB 所成角分别为a ，β，γ，则A.a ＜β＜γB.a ＜γ＜βC.β＜a ＜γD.γ＜a ＜β 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。