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高考数学题型精讲：函数问题题型与方法_题型归纳
高考数学题型精讲：函数问题题型与方法函数的概念
函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义.复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用.具体要求是：
1.深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系.
2.系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法.在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用.
3.通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识,高中物理，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础.本部分的难点首先在于克服函数就是解析式的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导.其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合.。
第9讲 隐函数及其求导法则讲授内容一 、 隐函数概念在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如12+=x y ，xy e u xyz sin =这种形式的函数称为显函数。
但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式或方程组所确定。
这种形式的函数我们称为隐函数。
本节主要介绍由一个方程0),(=y x F 所确定的隐函数及其求导法；若由．．0),(=y x F 确定的隐函数为．．．．．．．)(x f y =.,J y I x ∈∈则成立恒等式．．．．．．.,0))(,(I x x f x F ∈≡ 例如方程 01=-+y xy ，当x 定义在),1()1,(+∞---∞ 上时，可得隐函数)(x f y =，即.11xy +=由方程122=+y x 能确定一个定义在[]1,1+-上，函数值不小于0的隐函数21xy -=；又能确定另一个定义在[]1,1+-上，函数值不大于0的隐函数21x y --=。
方程.022=++c y x 当0>c 时，就不能确定任何函数()x f ，使得[].0)(22≡++c x f x 而只有当0≤c 时，才能确定隐函数。
因此，我们必须研究方程0),(=y x F 在什么条件下才能确定隐函数。
倘若方程0),(=y x F 能确定隐函数，一般并不都像前面的一些例子那样，能从方程中解出y ，并用自变量x 的算式来表示（即使),(y x F 是初等函数）。
对于方程.0sin 21=--y x y 可以证明确实存在一个定义在),(+∞-∞上的函数)(x f ，使得,0)(sin 21)(≡+-x f x x f 但这函数)(x f 却无法用x 的算式来表达。
如果进一步要求上述隐函数)(x f y =（或)(y g x =）在点0P 可微，则在F 为可微的假设下，通过方程0),(=y x F 在点0P 处对x 求导，依链式法则得到可得到以下结论。
第9讲 对数与对数函数1。
对数概念 如果a x =N (a>0，且a ≠1），那么x 叫作以a 为底N的 ,记作x=log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数，log a N 叫作对数式 性质底数的限制：a 〉0，且a ≠1对数式与指数式的互化：a x=N⇔负数和零没有log a 1=log a a=1对数恒等式：a log a N= 运算法则 log a （M ·N ）=a>0，且a ≠1，M 〉0，N>0log a M N = log a M n= (n ∈R)换底公式 换底公式：log a b=log c blog ca（a 〉0,且a ≠1，c 〉0，且c ≠1,b 〉0)推论：lo g a mb n = ，log a b= 1log ba2.对数函数的概念、图像与性质概念 函数y=log a x (a 〉0，a ≠1）叫作 函数 底数a>1 0<a<1 图像定义域(续表）值域性质 过定点 ，即x=1时,y=0在区间(0,+∞)上 是 函数在区间（0,+∞)上是 函数3。
反函数 指数函数y=a x(a>0,且a ≠1)与对数函数 互为反函数,它们的图像关于直线 对称。
常用结论1.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x 对称. 2。
只有在定义域上单调的函数才存在反函数.题组一 常识题1。
[教材改编］ 化简log a b log b c log c a 的结果是 . 2。
[教材改编］ 函数f （x ）=log 2(2—x )的定义域是 . 3。
［教材改编] 若函数y=f (x ）是函数y=2x 的反函数,则f (2)= .4.[教材改编] 函数y=lo g 1√2（x 2-4x+5）的单调递增区间是 。
题组二 常错题◆索引:对数的性质及其运算掌握不到位；忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质；忽略对底数的讨论致误.5.有下列结论：①lg （lg 10）=0;②lg(ln e)=0;③若lg x=1,则x=10；④若log 22=x ，则x=1；⑤若log m n ·log 3m=2，则n=9.其中正确结论的序号是 .6。
重难点第9讲函数定义域、解析式与值域8大题型——每天30分钟7天掌握函数定义域、解析式与值域8大题型【命题趋势】函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。
函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。
在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥(21,)n k k N *=+∈其中中.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
二、抽象函数及定义域求法1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型.下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).解析 根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型. 答案 ①2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是________(填序号).解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，总产量增加，故①正确，③错误. 答案 ①3.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元.解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20， B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15， t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 104.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400. 答案 205.(2015·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝a e －bt (cm 3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ， ∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ， 则t ＝24，所以再经过16 min. 答案 166.A ，B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出.A 从甲地自东向西行驶.B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km h ，B 的速度是 16 km h ，经过________小时，AB 间的距离最短.解析 设经过x h ，A ，B 相距为y km ，则y ＝（145－40x ）2＋（16x ）2(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258. 答案 2587.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________.解析设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝100＋0.5x＋x（x＋1）x＝x＋100x＋1.5，由基本不等式得y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号.答案108.(2015·北京卷改编)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是________(填序号).①消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；②以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多；③甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油；④某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.解析根据图象所给数据，逐个验证选项.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故①错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故②错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故③错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故④对.答案④二、解答题9.(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型. (1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).将其分别代入y ＝ax 2＋b， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎨⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)， 则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x 3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t 4，t ∈[5，20].②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t 5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数.从而，当t＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15 3.答：当t＝102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米.10.(2015·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解(1)每吨平均成本为yx(万元).则yx＝x5＋8 000x－48≥2x5·8 000x－48＝32，当且仅当x5＝8 000x，即x＝200时取等号.∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元.(2)设年获得总利润为R(x)万元.则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8 000＝－x25＋88x－8 000＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210).∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为________元.解析 设在进价基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元， 日均销售量为480－40(x －1)＝520－40x (桶)，则y ＝(520－40x )x －200＝－40x 2＋520x －200，0＜x ＜13.当x ＝6.5时，y 有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润. 答案 11.512.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________.解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20.得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 答案 x ＝15，y ＝1213.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件.当x ≤ 20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资).解析 当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *).当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润.答案 y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 1614.(2016·淮安调研) 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元.(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解 设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 （14≤P ≤20），－32P ＋40 （20＜P ≤26），代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2P ＋50）（P －14）×100－5 600 （14≤P ≤20），⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40（P －14）×100－5 600（20＜P ≤26）， (1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20＜P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元. 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元. (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫.。
求二次函数的解析式已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3),且方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根,求二次函数f(x)的解析式.[思维引导]由不等式f(x)>-2x的解集为(1,3),可先把f(x)表示出来,再利用方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根求出a,从而求出f(x)的解析式.[解答]因为f(x)+2x>0的解集为(1,3),所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0.于是f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0.②因为方程②有两个相等的实数根,所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,即5a2-4a-1=0,解得a=1或a=-.又a<0,所以a=-.将a=-代入①,得f(x)的解析式为f(x)=-x2-x-.[精要点评]二次函数、一元二次不等式和一元二次方程之间具有非常密切的关系.一元二次不等式的解集的端点就是其对应的一元二次方程的根,也就是二次函数与x轴的交点.因而在解题时要充分利用它们之间的关系.【题组强化·重点突破】1. 已知某二次函数图象的顶点是(1,-3),且过点P(2,0),那么此函数的解析式是.[答案]y=3x2-6x[解析]待定系数法求解析式.2. (xx·大同模拟)已知二次函数f(x)=x2-2bx+a,满足f(x)=f(2-x),且方程f(x)-=0有两个相等的实数根,求函数f(x)的解析式.[解答]由f(x)=f(2-x),得对称轴x=1,所以b=1,由方程f(x)-=0,即x2-2x+=0有两个相等的实数根,得Δ=4-4×=0,解得a=4.所以f(x)=x2-2x+4.3. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(0)=-1,对任意的x∈R都有f(x)≥x-1,且f=f,求函数f(x)的解析式.[解答]由f(x)=ax2+bx+c(a≠0)及f(0)=-1,得c=-1.又对任意的x∈R,有f=f,所以f(x)图象的对称轴为直线x=-,则-=-,a=b.又对任意的x∈R都有f(x)≥x-1,即ax2+(b-1)x≥0对任意的x∈R成立,所以故a=b=1.所以f(x)=x2+x-1.二次函数的图象和性质(xx·镇江模拟)已知a∈R,函数f(x)=x2-2ax+5.(1) 若不等式f(x)>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;(2) 若a>1,且函数f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数a的值.[思维引导](1) 通过恒等变换将x2-2ax+5>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,等价转换为2a<x+对x>0恒成立,然后求出实数a的取值范围; (2) 利用函数的单调性和函数f(x)的定义域和值域的关系求出实数a的值.[解答](1) 因为x2-2ax+5>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,所以2a<x+对x>0恒成立.因为x>0,所以x+≥2,当且仅当x=,即x=时取等号,所以=2,所以2a<2,即a<.故实数a的取值范围是(-∞,).(2) 因为f(x)=x2-2ax+5的图象的对称轴为x=a(a>1),所以f(x)在[1,a]上为减函数,所以f(x)的值域为[f(a),f(1)],而已知值域为[1,a],所以解得a=2.(xx·屯溪一中)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在[0,3]上有最大值4和最小值1,求a,b的值.[解答]g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a>0,对称轴为x=1,所以g(x)在区间[0,3]上是先减后增,且g(x)min =g(1),g(x)max=g(3),故即解得一元二次方程实根的分布问题已知函数f(x)=x2-(2a-1)x+a2-2与x轴非负半轴至少有一个交点,求实数a的取值范围.[思维引导]本题可从韦达定理的角度进行考虑,也可从函数的角度进行探究.[解答]方法一:由题意知关于x的方程x2-(2a-1)x+a2-2=0至少有一个非负实数根,设其根为x1,x2,则或解得-≤a≤,故实数a的取值范围是.方法二:由题意知f(0)≤0或,解得-≤a≤,故实数a的取值范围是.[精要点评]利用一元二次方程根的分布规律来解题时,首先应考虑实际问题中包含几种根的分布情况,利用数形结合的思想,再针对各种情况列出符合的条件,进一步求解出结果.(xx·江苏模拟)若关于x的方程x2+2kx-1=0的两根x1,x2满足-1≤x1<0<x2<2,求k的取值范围.[解答]构造函数f(x)=x2+2kx-1,因为关于x的方程x2+2kx-1=0的两根x1,x2满足-1≤x1<0<x2<2,所以即解得-<k≤0.故k的取值范围是.二次函数的实际应用(xx·泸州模拟)机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.(1) 写出y与x之间的函数关系式;(2) 从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值)?[思维引导](1) 根据“利润=总收入-维修保养费用-购进数控机床的费用”求出y与x之间的函数关系式;(2) 解关于x的函数不等式.[解答](1) 依题意得y=50x--98=-2x2+40x-98(x∈N*).(2) 由-2x2+40x-98>0,得10-<x<10+,7<<8,所以2<10-<3,17<10+<18.又因为x∈N*,所以3≤x≤17,故从第3年开始盈利.经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数,且日销售量近似地满足g(t)=-t+(1≤t≤100,t∈N).前40天价格为f(t)=t+22(1≤t≤40,t∈N),后60天价格为f(t)=-t+52(41≤t≤100,t∈N),试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值.[规范答题]当1≤t≤40,t∈N时,S(t)=g(t)f(t)==-t2+2t+=-(t-12)2+,所以768=S(40)≤S(t)≤S(12)=. (6分)当41≤t≤100,t∈N时,S(t)=g(t)f(t)==t2-36t+=(t-108)2-,所以8=S(100)≤S(t)≤S(41)=. (12分)所以S(t)的最大值为,最小值为8. (14分)1. 已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈(-∞,-1)时,它是单调减函数;当x∈(-1,+∞)时,它是单调增函数,那么实数m=.[答案]-4[解析]函数图象的对称轴方程为x=-1,即-=-1,所以m=-4.2. 函数f(x)=2x2-6x+1在区间[-1,1]上的最小值为,最大值为. [答案]-3 9[解析]配方,结合图象的对称轴与区间的关系直接求最值.3. (xx·江苏模拟)已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是[2,3],那么不等式x2-bx-a<0的解集是.[答案][解析]由题意知方程ax2-bx-1=0的根分别为x1=2,x2=3,所以由根与系数的关系得2+3=5=,2×3=6=-,解得a=-,b=-,则不等式x2-bx-a<0即为x2+x+<0,解得-<x<-.4. (xx·蚌埠模拟)对于任意实数x,函数f(x)=(5-a)x2-6x+a+5恒为正值,则a的取值范围是.[答案](-4,4)[解析]显然5-a≠0,即a≠5,由题意得解得-4<a<4.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第17-18页).p39277 996D 饭32302 7E2E 縮~37491 9273 鉳8727752 6C68 汨}33472 82C0 苀28730 703A 瀺/33919 847F 葿i。
2019-2020 年中考数学第二轮复习专题讲解函数及图象一、总述函数及其图象是初中数学的重要内容。
函数与许多知识有深刻的内在联系，关联着丰富的几何知识，又是进一步学习的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样，开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位。
二、复习目标1、理解平面直角坐标的有关概念，知道各象限及坐标轴上的点的坐标特征，能确定一点关于x 轴、 y 轴或原点的对称点的坐标。
2、会从不同角度确定自变量的取值范围。
3、会用待定系数法求函数的解析式。
4、明确一次函数、二次函数和反比例函数的图象特征，知道图象形状、位置与解析式系数之间的关系。
5、会用一次函数和二次函数的知识解决一些实际问题。
三、知识要点初等函数一次函数图函二次函数像反比例函数数综性概质研究方法定义解析式合念运平面直角坐标系点的坐标特征用( 一 ) 平面直角坐标系中，x 轴上的点表示为(x ， 0) ； y 轴上的点表示为(0 ， y) ；坐标轴上的点不属于任何象限。
( 二) 一次函数解析式： y = kx + b(k、b是常数，k≠0)，当 b = 0 时，是正比例函数。
(1)当 k ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大；(2)当 k ＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小。
( 三) 二次函数1、解析式：(1)一般式： y = ax 2+ bx + c (a≠0);(2)顶点式： y = a ( x–m )2+ n ，顶点为 (m , n);(3)交点式： y = a (x– x 1 ) ( x－x2 ) ，与 x 轴两交点是 (x 1,0) ， (x 2,0) 。
2、抛物线位置由 a、 b、 c 决定。
(1)a 决定抛物线的开口方向： a＞ 0开口向上 ;a ＜ 0 开口向下。
(2)c决定抛物线与y 轴交点的位置：①c ＞ 0 图象与 y 轴交点在 x 轴上方；② c ＝ 0 图象过原点；③ c ＜ 0 图象与 y 轴交点在 x 轴下方。
函数题型分析及解题方法1. 函数题型的概述函数题型是数学题中的一类常见题型，要求学生通过给定的条件和已知的函数，推导出未知的函数表达式或确定函数的性质。
函数题型包括但不限于函数的图像、定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性等性质的求解和分析。
2. 解题方法总结在解答函数题型时，我们可以采用以下几种常见的解题方法：2.1 函数图像的求解对于函数图像的求解，我们可以通过以下步骤进行：1. 根据已知条件确定函数的定义域和值域；2. 确定函数的对称性，如奇偶性、周期性等；3. 根据已知的函数特点，如零点、极值点等，画出函数的大致图像；4. 根据已知条件进一步细化函数图像的细节，如确定函数的增减区间、凹凸区间等。
2.2 函数性质的求解对于函数性质的求解，我们可以采用以下几种常见的解题方法：1. 根据函数的定义，确定函数的奇偶性。
奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，偶函数满足$f(-x)=f(x)$；2. 利用函数的定义和求导的方法，确定函数的单调性。
在区间$(a,b)$上，函数$f(x)$严格单调递增的条件是$f'(x)>0$，严格单调递减的条件是$f'(x)<0$；3. 利用函数的定义和求导的方法，确定函数的凹凸性。
在区间$(a,b)$上，函数$f(x)$严格凹的条件是$f''(x)<0$，严格凸的条件是$f''(x)>0$。
2.3 函数题型的特殊解法有些函数题型可能存在特殊的解法，我们可以尝试以下方法来解决：1. 利用已知函数的性质进行等式推导；2. 运用已知函数的性质进行函数的迭代求解；3. 借助数学工具进行数值求解，如利用计算机软件进行函数绘图和求解。
3. 实例分析为了更好地理解函数题型的解题方法，我们来看一个实例。
例题：已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2-2$，求函数$f(x)$的定义域、值域、奇偶性、单调性和凹凸性。
第9讲 函数问题的题型与方法三、函数的概念函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．Ⅰ 深化对函数概念的认识例1．下列函数中，不存在反函数的是 （ ）分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法。
此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D ，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D 中函数不存在反函数．于是决定本题选D ．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．例1．（重庆市）函数)23(log 21-=x y 的定义域是（ D ）A 、[1,)+∞B 、23(,)+∞ C 、23[,1] D 、23(,1] 例2．（天津市）函数123-=x y （01<≤-x ）的反函数是（ D ） A 、)31(log 13≥+=x x y B 、)31(log 13≥+-=x x y C 、)131(log 13≤<+=x x y D 、)131(log 13≤<+-=x x y也有个别小题的难度较大，如例3．（北京市）函数,,(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断：①若P M ⋂=∅，则f P f M ()()⋂=∅ ②若P M ⋂≠∅，则f P f M ()()⋂≠∅ ③若P M ⋃=R ，则()()f P f M ⋃=R ④若P M R ⋃≠，则()()f P f M ⋃≠R 其中正确判断有（ B ）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个分析：若P M ⋂≠∅，则只有}0{=⋂M P 这一种可能．②和④是正确的．Ⅱ 系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法1．求函数定义域的基本类型和常用方法由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x 的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字例2．已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：分析：x 的函数f(x 2)是由u=x 2与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u ＜2，即0＜x 2＜2．求x 的取值范围．解：(1)由0＜x 2＜2， 得说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类型的综合．求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域。
2．求函数值域的基本类型和常用方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．3．求函数解析式举例例3．已知xy ＜0，并且4x 2-9y 2=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．分析： 4x2-9y2=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？所以因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题：(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．四、函数的性质、图象(一)函数的性质函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．1．对函数单调性和奇偶性定义的理解例4．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A．说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零．2．复合函数的性质复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集．复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：(1)单调性规律如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．(2)奇偶性规律若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．例5．若y=loga(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（）A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使loga(2-ax)有意义，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使loga (2-ax)在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=logau，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=loga(2-ax)定义域的子集．解法一：因为f(x)在［0，1］上是x的减函数，所以f(0)＞f(1)，即loga 2＞loga(2-a)．解法二：由对数概念显然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= logau 应为增函数，得a＞1，排除A，C，再令故排除D，选B．说明：本题为1995年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确．3．函数单调性与奇偶性的综合运用例6．甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km／h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km／h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶．分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决．故所求函数及其定义域为但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckm／h，所以(2)的解决需要论函数的增减性来解决．由于v1v2＞0，v2-v1＞0，并且又S＞0，所以即则当v=c时，y取最小值．说明：此题是1997年全国高考试题．由于限制汽车行驶速度不得超过c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大．（二）函数的图象1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．1．作函数图象的一个基本方法例7．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|．分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，当x＜2时，即x-2＜0时，这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；当0＜x＜1时，lgx＜0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7)说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象．在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想．2．作函数图象的另一个基本方法——图象变换法．一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等)，得到另一个与之相关的图象，这就是函数的图象变换．在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．(1)平移变换函数y=f(x+a)(a≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位而得到；函数y=f(x)+b(b≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位而得到．(2)伸缩变换函数y=Af(x)(A＞0，A≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)成原来的A倍，横坐标不变而得到．函数y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上而得到．(3)对称变换函数y=-f(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图形而得到．函数y=f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到．函数y=-f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到．函数y=f-1(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图形而得到。
