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1. 求下列信号的离散傅里叶变换。
()()(01).n x n a u n a a =<<为实数，解：1()()()(),1jwjwnjwnjw n jwn n n X e x n ea n eae ae ∞∞∞----=-∞=-∞=-∞====-∑∑∑幅度谱为21/21(),(12cos )jw X e a a w =+- 相位谱为sin ()arg ()arctan.1cos jw a ww X e a wφ==--2.求1, 1;().0, 1.n n x n Z n ≥⎧=⎨<⎩ 的变换解：该序列是一个右边序列，由定义得11().n n X z z n∞-==∑因为11211d ()11()(), 1.d n n n n X z n z z z z n z z ∞∞----===-=-=>-∑∑ 则()ln ln(1)ln.1z X z z z z=--=-3.求长度为N 的有限长序列00()(), 0x n n n n N δ=-<<的DFT.解：由定义得21()()()N jnk NN n X k x n eR k π--==∑2100()()N jnk NN n n n eR k πδ--==-∑02(),jn k NN eR k π-=其中()N R k 为矩形序列.4. 已知x(n )是N 点有限长序列，X(k)=DFT[x(n)].现将长度变为rN 点的有限长序列y(n)，(), 01;()0, 1.x n n N y n N n rN ≤≤-⎧=⎨≤≤-⎩ 试求rN 点的DFT[y(n)]与X(k)的关系. 解：由21()[()](),01,N jnk Nn X k DFT x n x n ek N π--===≤≤-∑可得(1)1()[()]()()r N N nk nkrNrN n n Y k DFT y n y n Wx nW --=====∑∑ 210(),,0,1,, 1.k N j n N rn k x n eX k lr l N ar π--=⎛⎫====- ⎪⎝⎭∑所以在一个周期内，()Y k 的抽样点数是()X k 的r 倍，相当于在()X k 的每两个之间插入1r -个其他的数值（比一定为零），而当k 为r 的整数l 倍时，()Y k 与k X r ⎛⎫⎪⎝⎭相等.5.已知X(k)，Y(k )是两个N 点的实序列x(n)，y(n)的DFT 值，今需要从X(k)，Y(k)求x(n)，y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个N 点IFFT 运算一次完成. 解：依据题意()(),()(),x n X k y n Y k ⇔⇔取序列()()(),Z k X k jY k =+对()Z k 作N 点IFFT 可得序列()z n .又根据DFT 的性质[][][]IDFT ()()IDFT ()IDFT ()()().X k jY k X k j Y k x n jy n =+=+=+由原题可知，(),()x n y n 都是实序列.再根据()()()z n x n jy n =+，可得[]()Re ()x n z n =以及[]()Im ().y n z n =6.如果一台计算机的速度为平均每次复乘5 μs ，每次复加0.5 μs ，用它来计算512点的DFT[x(n)]，问：直接计算需要多长时间？用FFT 需要多长时间？解：（1）直接计算 复乘所需时间62621510510512 1.31072();T N s --=⨯⨯=⨯⨯=复加所需时间6620.510(1)0.510512(5121)0.130816().T N N s --=⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯-=所以12 1.441536().T T T s =+=（2）用FFT 计算 复乘所需时间66122512510log 510log 5120.01152();22N T N s --=⨯⨯=⨯⨯= 复加所需时间662220.510log 0.510512log 5120.002304().T N N s --=⨯⨯=⨯⨯=所以120.013824().T T T s =+=。
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn=-，()Im i 0n=；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w ++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcosisin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根． 解：πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ． 9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
