伸缩变换下的椭圆

例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用”
陈启南
【期刊名称】《中学数学研究（华南师范大学）：上半月》
【年(卷),期】2016(0)8
【摘要】“伸缩变换”是高中数学选修的内容，借助伸缩变换，可以实现椭圆与
圆的互化．笔者发现近年高考试题中一些椭圆问题，用常规方法处理，不仅运算过程繁琐，而且难度系数颇高．若考虑利用伸缩变换，将椭圆转为圆来求解，可以拓宽解题思路，达到化繁为简，事半功倍的效果．
【总页数】3页(P13-15)
【关键词】椭圆问题;伸缩变换;高考试题;巧用;高中数学;难度系数;解题思路;化繁为简
【作者】陈启南
【作者单位】广东省梅县东山中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.例谈坐标伸缩变换在解题中的应用 [J], 胡浩鑫
2.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用 [J], 张文海
3.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例 [J], 杨瑞强
4.让椭圆“圆”形毕露——浅谈伸压变换在高考椭圆问题中的应用 [J], 魏国兵
5.例谈伸缩变换在解高考题中的应用 [J], 张文玲
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椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式是指，对于一个椭圆，如果我们对它进行伸缩变换，那么它的面积和周长会如何变化。

具体来说，设椭圆的长轴和短轴分别为a和b，而伸缩因子分别为k1和k2，那么经过伸缩变换后，椭圆的面积和周长分别变为：
面积：S' = πabk1k2
周长：L' = 2πb√((k1^2 + k2^2)/2)
其中，π是圆周率。

这个公式对于许多涉及到椭圆的问题都有很大的用处，例如在图像处理中，对椭圆进行伸缩变换可以实现图像的拉伸或压缩，从而达到改变图像尺寸和形状的目的。

此外，在数学教学和研究中，椭圆的伸缩变换公式也是一个重要的基础知识，它可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的相关概念和定理。

- 1 -。

55 55A *M * M *B *M *B* 25 ⋅ M *B*2 5 5 21 22 33x x 2 yy伸缩变换下椭圆的几个性质及应用再探李芋宏李晓菁西南大学数学与统计学院（400715）文[1]介绍了伸缩变换下椭圆的几个性质及应用．受其启发，笔者发现伸缩变换是仿射变换的特 解 作仿射变换 x *= x ， y *= 3y ，则椭圆 x+ 9 例，仿射变换不仅能解决文[1]中椭圆的定值问题， 最值问题，存在型问题，经过探究笔者发现仿射变 y 2 =51 变换为 x2 + y 2 = 9 ，点 A ， B ， M (0 ，- 2) 分别 换也能触及椭圆的参数取值范围问题，中点弦问题 与双曲线的定值问题，特拟文介绍之．变换为点 A * ， B * ， M *(0 ，- ¸ 6) ．5 ¸1．仿射变换根据性质（2），由 AM = λ M B ，有 ¸ ¸ 1.1 仿射变换的定义平面上点 A ( x ，y ) 与 A * (x * ，y * ) 之间的变换A *M * = λ M *B * ， （1）由圆的相交弦定理：x *= a x + a y + a A *M *M *B *= C *M *M *D* = 9 ， （2）111213 且 a a - a a≠ 0 称为仿射变5y *= a x + a y + a11 2212 21其中点C * ，D * 是圆与 y 轴的交点且在圆中亦有换．点 A 和 A * 为一对对应点．1.2 仿射变换的性质(3 -6)2 ≤ M *B * 2≤ (3 + 6)2 ，（3）性质（1）仿射变换将直线变换为直线．由（1）（2）得性质（2）仿射变换将共线三点变换为共线三点， 并保持点分线段的比不变．性质（3）仿射变换保持变换前后两个三角形的 A *M * M *B * = λ M *B * 29面积 S 和 S * 之比不变，即 S * = (a a - a a ) S ．⇒ λ =⇒ λ =．11 2212 21性质（4）仿射变换保持直线与二次曲线的位置 结合（3）得9 - 4 ≤ λ ≤ 9 + 4 ．关系不变．性质（5）仿射变换将平行直线变换为平行直线． 现以一些例子来加以说明仿射变换在椭圆与双说明 本例利用仿射变换，结合圆的相交弦定理得到了结论，运算量大幅度减小．2.2 求中点弦所在直线的方程曲线中的应用．2．仿射变换的应用 22例 2 已知点 P (1，1) 为椭圆 + 4 2= 1 内一个定2.1 求参数的取值范围点，过点 P 的弦 AB 被点 P 平分，求弦 AB 所在直线22例 1 已知椭圆 + 9 5 = 1 ，点 A ， B 是椭圆上. .的方程．分析 作仿射变换 x * = x ， y * =2 y ．将椭圆变的相异的两点，点 M (0 ，- 2) 满足 AM = λ MB ，求实 数λ 的取值范围．换为圆 x 2 + y 2 = 4 ，点 P (1，1) ， A ， B 分别变换为P * (1， 2) ， A * ， B * ．由性质（2）和圆的性质可知分析 作仿射变换 x * = x ， y * =3y ，则将椭圆5点 P * 是线段 A *B * 的中点，可得OP * ⊥ A *B * ，由此可 确定 k * *，然后由所作仿射变换确定 k AB ，进而确定变换为圆 x 2 + y 2= 9 ，点 A ，B ，M (0 ，- 2) 分别变换为点 A * ，B * ，M *(0 ，- 6) ．根据题意 A ，B ，M 三A B直线的方程．解 作仿射变换 x * = x ， y * =2 y ，则椭圆变换** *为圆 x 2 + y 2= 4 ，点 P (1，1) ， A ， B 分别变换为点共线，则由性质（2） A ， B ， M 三点共线，且 ¸ ¸P * (1， 2) ， A * ， B * ．A *M * = λ M *B * ，结合圆的相交弦定理可得λ 的取值范围．由仿射变 换性质 (2) 并结合圆 的性质得2 n a 1a 2 …a n n b 1b 2 …b na 1b 2 A BOPA B□ A B OC2k abOP *⊥ A *B *，所以 k* *⋅ kOP *= -1 且 k *= ，由所 x * y * = k 2 ，点 A ， B ， C 分别变换为 A * ， B * ， C * ，作的仿射变换可推知 k * *= 2k AB ，由此知 k AB = - 1 ．2由性质（ 4 ）则平行四边形 ABOC 变换为矩形 A *B *OC * ．所以弦 AB 所在的直线方程为 x + 2 y - 3 = 0 ．而在反比例函数 x * y * = k 2 上知 S□ A *B *OC *= k 2 ，由说明 本例的一般解法为点差法．2.3 定值问题 性质（3）知 S * * *= 2ab S ❑ ABOC ，反求得 S ❑ ABOC = 2例 已知双曲线 x 2 - y 2= 1(a > 0 ，b >，过（定值）结论得证．3a 2b 20)总之，以上三例利用仿射变换或将椭圆化为圆， 双曲线上任意一点 A 作平行于渐近线的两条直线，分别交与点 B ， C ．求证所作的两条直线与渐近线 所围成的平行四边形的面积为定值ab ．2分析 此题应用常规解法较为复杂．试作仿射变 换 x * = k x - k y ， x * = k x + ky （ k 是不为 0 的实数）结合圆的性质和有关定理得到了结论；或将双曲线变换为反比例函数的图象，结合反比例函数的性质解答了问题．应该指出，不是所有椭圆和双曲线的问题都适合利用仿射变换来解决．不难发现仿射变换一般不 能保持变换前后角度大小，线段长度不变．但仿射 abab化简得 x * y * = k 2 （这是我们熟悉的反比例函数）．点A ，B ，C 分别变换为 A * ，B * ，C * ，平行四边形 ABOC 变换为矩形 A *B *OC * ，结合性质（3）可得结论．解 作仿射变换 x *= k x - k y ， x *= k x + ky （ ka b a b变换作为一个视角，从不同的角度理解和认识椭圆和双曲线对我们也大有裨益．参考文献[1] 杜盛伙．伸缩变换下椭圆的几个性质及应用[J]．福建中学数学，2010 （3），9-11是不为 0 的实数）则经简单的推算双曲线变换为一个重要不等式的证明及应用黄尚鹏湖北省监利县朱河中学（433325）1．不等式的提出假设当 n = k (k ≥ 2) 时，原不等式成立，即设 a 1 ，a 2 ，…，a n ；b 1 ，b 2 ，…，b n (n ≥ 2) 是二组正实 (a + b )(a + b )…(a + b )数，证明：≥ ( k aa …a + k ，1 2 k ≥当且仅当 1 = 2 = … = k 时，等号成立．当且仅当 a 1 = a 2 = … = an 时，等号成立．b 1 b 2 b kb 1 b 2 b n那么当 n = k +1 时，由2．不等式的证明(a 1 + b 1)(a 2 + b 2 )…(a k + b k )(a k +1 + b k +1)(k +a 1a 2 …a k +1证法（一） 用数学归纳法和配项法 ++1 bb …b k -1当 n = 2 时，原不等式1 2k +1k k -1(a 1 + b 1)(a 2 + b 2 ) a 1a 2 + ≥ ( ka 1a 2 …a k kb 1b 2 …b k ) [ ka k +1(k +1a 1a 2 …a k +1 )b 1b 2≥ a a + b b )2（1）11221 21 2⇔ a 1b 2 + a 2b 1 ≥ 2 ⇔ ( - 2≥ 0 ，当且仅当 ab = a b ，即 a 1 = a2 时，等号成立．1 2 2 1b 1 b 2k b 1b 2 …b kn(a 1 + b 1)(a 2 + b 2 )…(a n + b n ) + kb (k +1 b b …b k +11 2k +1)k -1 k= ( k a 1a 2 …a k + k b 1b 2 …b k k [ ka (a a …a k +1 1 2 k +1 k -1 )k +1a 1a 2b 1b 2a 2b 1 + kb (b b …b k +1 1 2k +1k -1)k +1 ]k。

巧用伸缩变换解决椭圆问题
单云涛
【期刊名称】《中学生数理化（学研版）》
【年(卷),期】2012(000)002
【摘要】伸缩变换是高中数学课程中新增内容,《普通高中数学课程标准》要求：＂了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况＂.在伸缩变换下,平面
图形要发生相应的变化.如圆在伸缩变换下可变成椭圆,而椭圆在伸缩变换下又可变
成圆.圆是我们相当熟悉的图形,它的许多性质的推导和证明都比较容易,在圆中研究图形的某种性质然后再还原到椭圆中,从而得到椭圆的相应性质,这往往要比直接在
椭圆中进行计算和证明简单得多.
【总页数】1页(P18-18)
【作者】单云涛
【作者单位】河南省鹿邑县第三高级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.巧用伸缩变换妙解椭圆问题
2.巧用伸缩变换解决椭圆问题
3.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用
4.巧用伸缩变换妙解椭圆问题
5.例谈
伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用”
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利用伸缩变换
解决圆锥曲线中的
线性问题
作者：赵呈海
天津市第一〇二中学
指导教师：马萍天津市第一〇二中学
严虹天津市第一〇二中学
纪洪伟天津市第一〇二中学
张倩天津市第一〇二中学
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题
赵呈海天津市第一〇二中学
摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。

利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。

深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。

关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。

我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。

对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。

但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。

所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。

于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。

这就是解析几何（坐标几何）。

解析几何，高考永恒的重点、难点。

圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。

圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。

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利用伸缩变换巧解椭圆问题
作者：杜盛伙
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第01期
伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容.椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆.笔者在文［1］中利用伸缩变换探究了
椭圆有以下三个性质：
性质1 直线仍变成直线，斜率为原来的
性质2 平行于横轴（或在横轴上）的线段仍平行于横轴（或在横轴上）且长度为原来的
1a，平行于纵轴（或在纵轴上）的线段仍平行于纵轴（或在纵轴上）且长度为原来的
性质3 三角形仍变成三角形，面积为原来的
本文将利用伸缩变换巧解椭圆中的一些问题
参考文献
［1］杜盛伙.伸缩变换下椭圆的几个性质及运用［J］.福建中学数学，2010（3）
［2］李建明.圆性质在圆锥曲线中的推广［J］.数学教学，2007（6）
(责任编辑金铃）。

利用伸缩变换巧解椭圆问题
杜盛伙
【期刊名称】《中学教学参考》
【年(卷),期】2012(000)002
【摘要】伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容．椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆．笔者在文[1]中利用伸缩变换探究了椭圆有以下三个性质：
【总页数】1页(P35-35)
【作者】杜盛伙
【作者单位】福建宁化第一中学,365400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.活用伸缩变换巧解椭圆问题
2.利用坐标变换巧解解析几何椭圆问题
3.利用伸缩变换巧解椭圆最值问题
4.活用伸缩变换巧解椭圆问题
5.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题作者：赵呈海天津市第一〇二中学指导教师：马萍天津市第一〇二中学严虹天津市第一〇二中学纪洪伟天津市第一〇二中学张倩天津市第一〇二中学利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题赵呈海天津市第一〇二中学摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。

利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。

深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。

关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。

我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。

对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。

但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。

所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。

于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。

这就是解析几何（坐标几何）。

解析几何，高考永恒的重点、难点。

圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。

圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。

“数、形翻译”的能力是解析几何的核心素养。

这是因为，归根结底，解析几何还是在研究几何问题。

在利用坐标方法解决几何问题时，我们一般要把几何关系“翻译”成代数的语言。

这种“翻译”能力的建立，要求学生对坐标系有深刻的理解，灵活运用代数与几何间的各种“桥梁”将二者建立联系、相互表达。

在高中范围内，学生可以通过练习不断培养这种能力，逐渐丰富“翻译”的经验。

坐标方法固然优点重重，但是在使用“代数化”思路解决问题的程序中无法避免地会伴随计算的问题。

计算往往是圆锥曲线这一难点的切实所在。