椭圆问题使用伸缩变换的条件

伸缩变换与圆变椭圆
葛桂华
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2011(000)009
【摘要】1．例题及教学预期相比较以前所用的教材，在《普通高中课程标准实验教科书选修2—1数学》（江苏教育出版社）第27页，就圆锥曲线中椭圆部分增加了下面的例题：
【总页数】2页(P6-7)
【作者】葛桂华
【作者单位】苏州大学附属中学,215006
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.圆的性质——椭圆问题伸缩变换
2.椭圆与圆的伸缩变换
3.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用
4.借助伸缩变换化圆解椭圆
5.伸缩变换之椭圆与圆
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《椭圆与圆的伸缩变换》小朋友们，今天我要给你们讲讲椭圆和圆的伸缩变换，这可有趣啦！你们看，圆就像一个超级圆滚滚的皮球，每一处到中心点的距离都一样长。

那椭圆呢？它有点特别，不像圆那么圆圆的，而是有点扁扁的或者长长的。

比如说，我们有一个圆，然后像变魔术一样把它拉长或者压扁，它就变成椭圆啦。

就好像我们吹气球，本来气球是圆圆的，要是我们轻轻拉一拉，它就不再是标准的圆，有点像椭圆了呢。

再想想，我们吃的甜甜圈，有的就是椭圆形状的。

椭圆和圆的伸缩变换是不是很神奇呀？其实，在我们的生活中，也能看到很多椭圆和圆的伸缩变换哦。

比如马路上的井盖，大多数是圆的，但有时候也能看到一些椭圆形的井盖呢。

小朋友们，你们记住椭圆和圆的伸缩变换了吗？《椭圆与圆的伸缩变换》嘿，小伙伴们！今天咱们来聊聊椭圆与圆的伸缩变换。

圆，大家都很熟悉吧？就像我们玩的皮球，圆圆的，可好看啦！那椭圆呢？它就像是被人轻轻捏了一下的圆。

比如说，我们画一个圆，然后把它的左右两边往中间挤一挤，或者把上下两边拉长，它就变成椭圆啦。

想象一下，妈妈做的煎饼，如果是圆圆的，那就是圆。

要是不小心被压了一下，变得有点扁，那就成了椭圆。

还有我们的操场跑道，外圈是椭圆的，内圈的足球场有时候就是圆的。

椭圆和圆的伸缩变换是不是很有意思？以后我们看到椭圆和圆，就可以想想它们是怎么变来变去的啦！《椭圆与圆的伸缩变换》小朋友们，咱们一起来认识椭圆与圆的伸缩变换哟！圆，就像一个完美的小太阳，到处都一样圆。

椭圆呢，就像是圆变了个样子。

比如说，有一个大大的圆气球，我们抓住两边轻轻拉一拉，它就不再是原来的圆，变成椭圆啦。

还有我们用的镜子，有的是圆圆的，有的是椭圆的。

就好像镜子也会变魔术一样。

再想想看，公园里的湖，有的是圆圆的，有的是椭圆的。

椭圆和圆的伸缩变换是不是很神奇呀？希望小朋友们以后能多多发现生活中椭圆和圆的伸缩变换哟！。

椭圆及其标准方程——椭圆与圆的伸缩变换教学设计如图2.2-5，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作X轴的垂线段PD，DP在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？解：设点M的坐标为(x,y),,点P的坐标为(x0,y0),则x=x0,y=y0.2因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上，所以,,,,,,,,,,,,,,x02+y02=4,,,,,,,,,①,,,,,,,,把x0=x,y0=2y,带入方程①，得x2+4y2=4,,即,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+y2=1,,,,,,,x24所以点M的轨迹是一个椭圆.思考：通过这道题你能发现椭圆与圆之间的关系吗？（圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.）二、新知探究如何将椭圆与圆进行相互转化？圆x 2+y 2=a2转化为椭圆x′2a2+y′2b2=1(a>b>0）椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)转化为圆x’2+y’2=1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,xyO设变换{x′=xy′=aby即{x=x′y=bay′带入圆方程为：x′2a2+y′2b2=1设变换{x′=xay′=yb得圆方程为：x′2+y′2=1 xy O伸缩变换的性质1.伸缩变换将点映射到点，直线对应直线；A、B、C在直线l上，伸缩变化后对应点A′、B′、C′在对应直线l′;3.共线三点的相对位置不变，即同一直线上两线段的长度之比不变；X轴，则变换后仍垂直X轴，否者变换将直线的斜率变成原来的ba倍；5.两条平行直线变换后任为平行直线；6.两相交（相切、相离）曲线仍变为两相交（相切、相离）曲线；7.三角形变为三角形，面积由S变为abs′.三、实例演练例1、利用伸缩变换证明关于椭圆x 2a2+y2b2=1，a>b>0的性质:设A,B为椭圆上两点，线段AB中点为C，则一般地，有k OC∙k AB=−b2a2.方法一:点差法设A(x1，y1),B(x2，y2),AB中点C(x0，y0)，则有：2x0=x1+x2,y0=y1+y2又A(x1，y1),B(x2，y2)在椭圆上，所以有x12a2+y12b2=1,,,,,,x22a2+y22b2=1两式相减得：b2(x12−x22)+a2(y12−y22)=0即y12−y22x12−x12=(y1−y2)(y1+y2)(x1−x2)(x1+x2)=(y1−y2)∙2y0(x1−x2)∙2x=k AB∙k OC=−b2a2,(x1≠x2)所以k OC∙k AB=−b2a2方法2：伸缩变换证明C’y′x′O′证明：设变换{x ′=xa y′=y b得圆方程为：x′2+y′2=1在圆当中根据垂径定理有：k O′C′∙k A′B′=−1 所以ab k OC ∙ab k AB =-1所以有k OC ∙k AB=−b 2a2例2、已知A 、B 为椭圆x 22+y 2=1上不同的两点，求①AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）.解：设变换{x ′=x√2y′=y得圆方程为：x′2+y′2=1S △A‘O‘B’=12|O’A′|∙|O’B′|∙sin∠A′O′B′≤12, 当∠A′O′B′=90°时取等.S △AOB =abS △A‘O‘B’≤√22所以△AOB 面积的最大值为√22.变式：已知椭圆方程为x 22+y 2=1，若P 点为直线l :x =2,过点P 做直线l 0切椭圆于点A ，求△AOP 面积S 的最小值.B ’A′x yOABB ’ y ′x ′O′ A ’l 0l′l′0A ’y ′x ′O′H ′ xyOAPl解：设变换{x ′=x√2y′=y得圆方程为：x′2+y′2=1，l′：x′=√22=√2如图,O′A′⊥P′A′S △P‘O‘A’=12|P’A′|∙|O’A′|=12√|O′P′|2−1≥12√(√2)2−1=12 当O′P′⊥l′于H′时取等. 所以S △AOP =abS △A‘O‘P’≥√22 所以△AOP 面积的最小值为√22.P ’。

椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式是描述椭圆在平面上进行伸缩变换的数学
公式。

伸缩变换是一种线性变换，可以将椭圆按照一定比例同时沿着两个方向进行拉伸或压缩，从而得到一个新的椭圆。

椭圆的伸缩变换公式可以表示为矩阵形式，即：
【a b】【x'】【h】
【c d】 X 【y'】 = 【k】
其中，a、b、c、d是矩阵的四个元素，x'和y'是变换前的椭圆上的一点的坐标，h和k是变换后椭圆上对应点的坐标。

椭圆的伸缩变换公式还可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。

如果椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，则其伸缩变换的特征值为a和b，对应的特征向量为椭圆上的两个不同的点。

椭圆的伸缩变换公式是计算机图形学、计算机动画等领域的重要数学工具，在各种图形处理和图形生成算法中都有广泛的应用。

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利用伸缩变换
解决圆锥曲线中的
线性问题
作者：赵呈海
天津市第一〇二中学
指导教师：马萍天津市第一〇二中学
严虹天津市第一〇二中学
纪洪伟天津市第一〇二中学
张倩天津市第一〇二中学
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题
赵呈海天津市第一〇二中学
摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。

利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。

深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。

关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。

我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。

对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。

但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。

所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。

于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。

这就是解析几何（坐标几何）。

解析几何，高考永恒的重点、难点。

圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。

圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。

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利用伸缩变换巧解椭圆问题
作者：杜盛伙
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第01期
伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容.椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆.笔者在文［1］中利用伸缩变换探究了
椭圆有以下三个性质：
性质1 直线仍变成直线，斜率为原来的
性质2 平行于横轴（或在横轴上）的线段仍平行于横轴（或在横轴上）且长度为原来的
1a，平行于纵轴（或在纵轴上）的线段仍平行于纵轴（或在纵轴上）且长度为原来的
性质3 三角形仍变成三角形，面积为原来的
本文将利用伸缩变换巧解椭圆中的一些问题
参考文献
［1］杜盛伙.伸缩变换下椭圆的几个性质及运用［J］.福建中学数学，2010（3）
［2］李建明.圆性质在圆锥曲线中的推广［J］.数学教学，2007（6）
(责任编辑金铃）。

巧用伸缩变换妙解椭圆问题程涛;刘少平;邹鹏【摘要】通过伸缩变换将椭圆转化为单位圆,把直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系,借助圆丰富的几何性质来避开繁琐的代数运算,简化解题过程,从而实现椭圆问题圆解决.【期刊名称】《河北理科教学研究》【年(卷),期】2016(000)004【总页数】5页(P1-5)【关键词】伸缩变化;转化;内在联系;简化;性质【作者】程涛;刘少平;邹鹏【作者单位】湖北省仙桃八中 433000;湖北省仙桃八中 433000;湖北省仙桃八中433000【正文语种】中文纵观近年各地高考试题中椭圆与直线相关问题，往往要将椭圆和直线方程联立、消元，然后运用根与系数关系、判别式、弦长公式等来求解，运算量大，耗时多，学生稍有差错就会出错，导致前功尽弃，这就引发了笔者的思考和关注，此类问题可否寻找合理的方法，来避开繁琐计算，达到简洁求解的目的，考虑到椭圆与圆的内在联系，联想选修内容中的伸缩变换，能否将椭圆与直线的问题转化为圆与直线的问题，借助圆的几何性质来处理呢？对于椭圆=1(a>b>0)经过进行伸缩变换，椭圆可化为单位圆x′2+y′2=1，该变换具有如下性质：2.1 直线Ax+By+C=0在伸缩变换作用下变为Aax′+Bby′+C=0，斜率为原来的倍.2.2 变换后共线三个点的二条线段的比值和变换前的比值一样.2.3 两相交(相切、相离)的曲线变换后仍然为两相交(相切、相离)的曲线，两平行直线变换后仍为平行直线.2.4 封闭图形在变换前的面积S与变换后的面积S′满足S.3.1椭圆化圆，利用垂径定理求解斜率问题例1 已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点且不平行坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)若l过点,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.(2015年全国高考题)证明：(1)作伸缩变换，则椭圆9x2+y2=m2变为圆(x′)2+(y′)2=1，如图1和2所示，由伸缩变换性质可知，，由垂径定理易知O′M′⊥A′B′，∴KO′M′·KA′B′=-1，即，∴KOM·KAB=-9为定值.(2)若四边形OAPB能为平行四边形，由伸缩变换性质可知，对应的四边形O′A′P′B′也为平行四边形，则M′为O′P′的中点，联想M′为AB中点，由垂径定理知：O′到A′B′距离，又直线l过,m)，那么l′则过(1，1)，设l′的斜率为k′，则其直线方程为，解得.∴直线l的斜率.∴有符合条件的直线l存在，其斜率为.评注：由伸缩变换将椭圆化成圆后，借助圆中垂径定理使问题简洁获解，避免了繁杂、冗长的运算，体现了高考“多考一点想，少考一点算”的思想.3.2 椭圆化圆，利用圆幂定理解决相关线段问题例2 如图3，已知椭圆=1(a>b>0)，过椭圆左顶点A(-a,0)的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，求证OP,AR成等比数列.(清华大学自主招生试题)证明：作伸缩变换,椭圆化成圆∥,∴,∴(xp,yp)=λ(-xA,yR),∴,∴.从而O′P′∥A′R′，要证成等比数列⟺|AQ|·|AR|=2|OP|2⟺⟺|xQ+a|·|xA|=2|xP|2⟺⟺|A′Q′|·|A′R′|=2|O′P′|2(*)设|O′R′|=S，由圆幂定理可得|Q′R′|·|A′R′|=(s+1)(s-1)=s2-1.又s2+12=|A′R′|2=(|A′Q′|+|Q′R′|)·|A′R′|=|A′Q′|·|A′R′|+|Q′R′|·|A′R′|=|A′Q′|·|A′R′|+s 2-1∴|A′Q′|·|A′R′|=2=2|O′P′|2即(*)式成立,∴成等比数列评注：把椭圆化成圆后，利用圆幂定理，可以揭示线段之间内在联系，简化了传统算法中联立方程求点的坐标和线段长的繁难运算.3.3 椭圆化圆，借助弦长公式求解例3 已知椭圆的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率.(2)如图5，AB是圆的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程.(2015年陕西高考题)解：(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0，则原点O到该直线的距离，由得，解得离心率.(2)由(1)知椭圆E的方程为，作伸缩变换后圆的方程为x′2+y′2=1，如图6所示，∵M(-2,1)为AB的中点，则为A′B′中点，在圆O′中，弦长又A′B′⊥O′M′，∴KA′B′·KO′M′=-1,KA′B′=1,∴.∴.又,∴解得：b2=3.故所求椭圆E的方程为.评注：通过椭圆化圆，借助圆的弦长公式，易求出|A′B′|表达式，再利用伸缩变化中坐标与斜率各自的变化关系，寻找两弦长之间关系，解题过程简单明了.3.4 椭圆化圆，借助直线与圆相切的性质求解例4 已知椭圆=1(其中a>b>0)的一个焦点为，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动点p(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的2条切线互相垂直，求点P的轨迹方程.(2014年广东高考题)解(略)(2)如图7和8，设点A、P、B在伸缩变换下对应点分别是为A′,P′,B′，则).故.直线P′A′,P′B′与圆0′相切，设过点P′的圆的切线方程为，即6kx-6y+3y0-2kx0=0，圆心距，即.由根与系数关系化简得，故点P的轨迹方程为x2+y2=13.评注：本题通过伸缩变换将直线与椭圆相切转化为直线与圆相切，借助圆心到切线的距离为半径来求解，巧妙避开解析几何中的联立消元.3.5 椭圆化圆，利用圆中角的关系求解例5 已知直线x-2y+2=0经过椭圆=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别相交于M，N两点.(1)求椭圆C的方程.(2)求线段MN的长度最小值.解：(1)易求椭圆(2)作伸缩变换，则椭圆变成单位圆C′：x′2+y′2=1，直线变成直线，若l′与x′轴交于C′，令∠C′B′N′=α(α为锐角)，则∠A′B′S′=α，而A′B′为圆直径，∴∠A′S′B′=90°，则∠A′M′C′=α于是评注：椭圆化圆后，借助圆中角的关系，使问题完美解决，几乎没有计算量.3.6 椭圆化圆，利用点在圆内的性质求解例6 已知椭圆+y2=1上两个不同的点A、B关于直线对称.(1)求实数m的取值范围.(2)求△AOB面积的最大值(o为坐标原点).(2015浙江高考题)解：作伸缩变换把椭圆化成单位圆x′2+y′2=1，直线化成.设l与AB交于H点，则H为AB中点，由伸缩变换性质易知H′为A′B′中点，∵l⊥AB,∴KAB·Kl=-1.则伸缩变换性质易知.∵,∴,又O′H′⊥A′B′,∴KO′H′·KA′B′=-1,∴设H′(s,t),则，又H′在l′上，.即,∴.又H在圆x′2+y′2=1内，∴s2+t2<1,即,解得或.(2)在单位圆中由三角形面积公式可得,当时，S△A′O′B′有最大值,即,此时即由(1)知符合题意,又，∴.评注：椭圆化圆后，H′为A′B′中点，由垂径定理可求得O′H′的斜率，进而确定点H′横纵坐标关系，根据点H′在圆内构建不等关系来求m的范围.同时椭圆化圆后，为求△A′O′B′面积最大值提供极大方便，从而使问题简捷获解.借助伸缩变换把隐藏在椭圆中的圆充分挖掘出来，利用圆丰富的平面几何性质解决问题，不仅使问题的解决过程大大简化，而且圆与椭圆的互化，可以让我们领略知识之间并不是孤立，促使我们在研究问题时用联系的观点来学习数学，把看似孤立的知识点统一起来，这对于我们构建知识网络，提升数学思维具有重要意义.。

=4探索探索与与研研究究所以△O'M'F'∽△O'D'M',∠O'D'M'=∠O'M'F'，同理可得△O'N'F'∽△O'D'N',∠O'D'N'=∠O'N'F',故O'D'可平分∠M ′D ′N ′，即D ′M ′，D ′N 关于x 轴对称.解答本题，需对椭圆作伸缩变换，将问题转化为圆的问题，根据圆的等角定理和全等三角形的性质进行求解，即可快速求得问题的答案.利用我们熟悉的圆的几何性质进行求解，能大大简化计算.例3.已知椭圆E :x 22+y 2=1，O 为坐标原点，直线l 与E 交于A 、C 两点，以OA 、OC 为邻边作平行四边形OABC ，点B 恰好在E 上，试问：平行四边形OABC 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由.图5解：作伸缩变换：ìíîx ′=x,y ′=2y,椭圆x 22+y 2=1变换为圆：x ′2+y ′2=2，如图5、6.由伸缩变换图形的性质可知，O'A'B'C'仍为平行四边形，但此时OA =OC ，则O'A'B'C'为菱形，所以S △ABC =2S O'A'B'C'，显然△O′A ′B ′是正三角形，则S O'A'B'C'=2S △O ′A ′B ′=2)2=3，故S △ABC =12S O'A'B'C'作伸缩变换，可将椭圆化为圆，但平行四边形仍为平行四边形.而平行四边形O'A'B'C'的邻边为圆的半径，即可判定O'A'B'C'为菱形，进而根据菱形的对称性以及三角形的面积公式，求得平行四边形OABC 的面积.例4.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，P 、Q 是椭圆C 上的两点，且直线OP 与OQ 的斜率之积为-34（O 为坐标原点），点D 为射线OP 上一点，且 OP =PD ，若直线DQ 与椭圆C交于点E ，设 QC =λED (λ>0).求λ的值以及求四边形OPEQ 的面积.图7解：作伸缩变换：ìíîïïx ′=x,y ′=23y,椭圆x 242+y 232=1变换为圆：x ′2+y ′2=4，如图7、8，因为k OP ·k OQ =-34，由伸缩变换图形的性质得k O ′P ′·k O ′Q ′=-1，得O'P'⊥O'Q'，由伸缩变换图形的性质可知，P'仍为O'D'的中点，延长D'O'交圆O'于G'，连接G'O'，P'E'，如图8，D'图8由圆的割线定理可得D'P'⋅D'G'=D'E'⋅D'Q'，即D'E'=35D'Q'，而 QE =23 ED ，则λ=23，所以S O'P'E'Q'=S△D'O'Q'-S △D'P'E'=710S △P'O'Q ′=710×12×4×2=145，故S OPEQ O'P'E'Q'=735.作伸缩变换后，由k OP ·k OQ =-b 2a2可得OP ⊥OQ ，即可根据三角形的面积公式求得S △D'O'Q'.由圆的割线定理，可得出D'P'⋅D'G'=D'E'⋅D'Q'，从而求得λ的值.通过伸缩变换，将椭圆化为圆，就能将复杂的椭圆问题转化为简单的圆的问题.这也说明了数学知识之间是有联系的，并不是孤立的.在解题时，同学们要善于把握问题的本质，将所学的知识融会贯通起来，进行合理的转化.这样就能有效地避免繁琐的计算，达到事半功倍的效果.（作者单位:江苏省扬中高级中学）探索探索与与研研究究51。