华东师大版九年级下册二次函数选择填空练习题(无答案)

第26章 二次函数一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 1．下面的函数是二次函数的是( )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝x 2＋2xC ．y ＝x 2D ．y ＝2x2．对于函数y ＝5x 2，下列结论正确的是( ) A ．y 随x 的增大而增大 B ．图象开口向下 C ．图象关于y 轴对称D ．无论x 取何值，y 的值总是正的3．在同一平面直角坐标系内，将函数y ＝2x 2＋4x －3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新图象的顶点坐标是( )A.()－3，－6B.()1，－4C.()1，－6D.()－3，－44．一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线呈一条抛物线，如果网球距离地面的高度h (米)关于运行时间t (秒)的函数关系式为h ＝－180t 2＋15t ＋1(0≤t ≤20)，那么网球到达最高点时距离地面的高度是( )A ．1米B ．1.5米C ．1.6米D ．1.8米 5．二次函数的图象如图26－Z －1所示，则其表达式是( )图26－Z －1A ．y ＝－x 2＋2x ＋3 B ．y ＝x 2－2x －3 C ．y ＝－x 2－2x ＋3 D ．y ＝－x 2－2x －36．如图26－Z －2，边长为4个单位的正方形ABCD 的边AB 与等腰直角三角形EFG 的斜边FG 重合，△EFG 以每秒1个单位的速度沿BC 向右匀速运动(保持FG ⊥BC )，当点E 运动到CD 边上时△EFG 停止运动．设△EFG 的运动时间为t 秒，△EFG 与正方形ABCD 重叠部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致为( )图26－Z－2 图26－Z－3二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)7．已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上的两点，该抛物线的顶点坐标是________．8．如图26－Z－4，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________．图26－Z－49．如图26－Z－5所示，二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，则能使y1>y2成立的x的取值范围是____________．图26－Z－510．汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式是s＝1100v2，在一辆车速为100 km/h 的汽车前方80 m处，发现停放着一辆故障车，此时刹车________有危险(填“会”或“不会”)．11．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图26－Z－6所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为____________．图26－Z－612．如图26－Z－7是抛物线y1＝ax2＋bx＋c的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x 轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b.其中正确的结论是________．(只填写序号)图26－Z－7三、解答题(本大题共4小题，共52分)13．(12分)如图26－Z－8，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3)．(1)求该二次函数的关系式；(2)画出该二次函数的图象．图26－Z－814．(12分)已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？15．(14分)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(0<x≤90，且x 为整数)的售价与销售量的相关信息分别如图26－Z－9和下表，已知每件商品的进价为30元，设该商品每件的售价为y(单位：元)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)．(1)求出w与x之间的函数关系式．(2)销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润．(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．16．(14分)如图26－Z－10所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，连结AD，P是线段AD上的一个动点(不与点A，D 重合)．经过点P作y轴的垂线，垂足为E，连结AE.(1)求抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点D的坐标；(2)如果点P的坐标为(x，y)，△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求S的最大值；(3)在(2)的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连结EF，把△FPE 沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出点P′的坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．图26－Z－10教师详解详析作者说卷1．[解析] B A 项，y ＝3x ＋1是一次函数，故本选项不符合题意； B 项，y ＝x 2＋2x ，符合二次函数的定义，故本选项符合题意； C 项，y ＝x2是一次函数，故本选项不符合题意；D 项，y ＝2x是反比例函数，故本选项不符合题意．故选B.2．[解析] C ∵二次函数y ＝5x 2中a >0，∴二次函数图象开口向上，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，对称轴为y 轴，无论x 取何值，y 的值总是非负数．故选C.3．[解析] C 二次函数y ＝2x 2＋4x －3配方得y ＝2(x 2＋2x )－3＝2(x 2＋2x ＋1－1)－3＝2(x ＋1)2－5，将抛物线y ＝2(x ＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的表达式为y ＝2(x ＋1－2)2－5＝2(x －1)2－5，将抛物线y ＝2(x －1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的表达式为y ＝2(x －1)2－5－1＝2(x －1)2－6，此时的二次函数图象的顶点坐标为(1，－6)．4．[解析] D h ＝－180t 2＋15t ＋1＝－180(t 2－16t ＋64－64)＋1＝－180(t －8)2＋1.8.故选D.5．[解析] A 设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，把(0，3)代入，得a ·1·(－3)＝3，解得a ＝－1，所以抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)(x －3)，即y ＝－x 2＋2x ＋3.故选A. 6．[解析] B 如图①，当0≤t <2时，等腰直角三角形EFG 与正方形ABCD 重叠部分为梯形MNGF ，其下底FG ＝4，高PQ ＝t ，∴EP ＝EQ －PQ ＝2－t ，∴上底MN ＝2(2－t )，∴S ＝12[2(2－t )＋4]·t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ＜2)，其图象为开口向下的抛物线对称轴(直线t ＝2)左侧的一部分；如图②，当2≤t ≤4时，等腰直角三角形EFG 与正方形ABCD 重叠部分为等腰直角三角形EFG 本身，其面积S ＝12×4×2＝4(2≤t ≤4)，其图象为平行于x 轴的一条线段；如图③，当4<t ≤6时，等腰直角三角形EFG 与正方形ABCD 重叠部分为等腰直角三角形EMN ，此时PQ ＝HQ －HP ＝t －4，EP ＝EQ －PQ ＝2－(t －4)＝6－t ，MN ＝2EP ＝2(6－t )，∴S ＝12×2(6－t )·(6－t )＝(t －6)2(4＜t ≤6)，其图象为开口向上的抛物线对称轴(直线t ＝6)左侧的一部分．故选B. 7．[答案] (1，4)[解析] 方法一：把A (0，3)和B (2，3)的坐标代入函数关系式，得c ＝3和3＝－22＋2b ＋3，解得b ＝2，c ＝3，∴抛物线的函数关系式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴该抛物线的顶点坐标为(1，4)． 方法二：把A (0，3)和B (2，3)的坐标代入函数关系式，得c ＝3和3＝－22＋2b ＋3，解得b ＝2，c ＝3，∴抛物线的函数关系式为y ＝－x 2＋2x ＋3，由顶点坐标公式⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ， 可得顶点坐标为(1，4)．方法三：由点A 与点B 的纵坐标相同，可知抛物线的对称轴为直线x ＝0＋22＝1，故－b2×（－1）＝1，∴b ＝2.又∵c ＝3，故抛物线的函数关系式为y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ＝1时，y ＝－1＋2＋3＝4，故顶点坐标为(1，4)．8．[答案] (1＋2，2)或(1－2，2)[解析] ∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，把x ＝0代入 y ＝－x 2＋2x ＋3得y ＝3，点C 的坐标为(0，3)．∵点D (0，1)，线段CD 的中点的坐标为(0，2)，把y ＝2代入y ＝－x2＋2x ＋3，得 －x 2＋2x ＋3＝2，解这个一元二次方程得x 1＝1＋2，x 2＝1－2，则点P 的坐标为(1＋2，2)或(1－2，2)．9．[答案] x <－2或x >8[解析] 通过观察图象可以看出，y 1>y 2的图象分为两部分，即当x <－2时或x >8时．同样我们也可以看出当y 1<y 2时－2<x <8. 10．[答案] 会[解析] 把v ＝100代入s ＝1100v 2，得汽车刹车距离s ＝100＞80，因此会有危险． 11．[答案] x 1＝－1，x 2＝3[解析] 由图象可知抛物线过点(3，0)，将其坐标代入函数关系式，得m ＝3，解方程－x 2＋2x ＋3＝0可得另一个交点的坐标为(－1，0)． 12．[答案] ②⑤[解析] ①根据函数图象开口方向、对称轴、与y 轴交点的位置可知a ＜0，b ＞0，c ＞0，故abc ＜0；②根据函数图象的顶点坐标，得方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1；③根据抛物线的对称性知，抛物线与x 轴的另一个交点是(－2，0)；④根据函数图象知，当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＝3，而x (ax ＋b )＋c ＝ax 2＋bx ＋c ≤3, ∴x (ax ＋b )≤a ＋b .故正确的结论是②⑤. 13．解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a －b ＋c ＝－1，a ＋b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝2，所以该二次函数的关系式为y ＝－x 2＋2x ＋2. (2)略．14．解：(1)证明：证法一：因为()－2m 2－4(m 2＋3)＝－12<0，所以方程x 2－2mx ＋m 2＋3＝0没有实数根，所以不论m 为何值，函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3的图象与x 轴没有公共点． 证法二：因为a ＝1＞0， 所以该函数的图象开口向上．又因为y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3＝(x －m )2＋3≥3，所以该函数的图象在x 轴的上方， 所以不论m 为何值，函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3的图象与x 轴没有公共点． (2)y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3＝(x －m )2＋3.把函数y ＝(x －m )2＋3的图象沿y 轴向下平移3个单位后，得到函数y ＝(x －m )2的图象，它的顶点坐标是(m ，0)，因此，这个函数的图象与x 轴只有一个公共点．所以把函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3的图象沿y 轴向下平移3个单位后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点．15．解：(1)当0<x <50时，设每件商品的售价y 与时间x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，且k ≠0)．∵直线y ＝kx ＋b 经过点(0，40)，(50，90)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝40，50k ＋b ＝90，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝40，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝x ＋40(0<x <50，且x 为整数)，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋40（0<x <50，且x 为整数），90（50≤x ≤90，且x 为整数）.由数据可知每天的销售量p 与时间x 成一次函数关系，设每天的销售量p 与时间x 之间的函数关系式为p ＝mx ＋n (m ，n 为常数，且m ≠0)． ∵直线p ＝mx ＋n 过点(60，80)，(30，140)，∴⎩⎪⎨⎪⎧60m ＋n ＝80，30m ＋n ＝140，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝200， ∴p ＝－2x ＋200.将(1，198)，(90，20)分别代入上式均成立， ∴p ＝－2x ＋200(0<x ≤90，且x 为整数)．当0<x <50时，w ＝(y －30)p ＝(x ＋40－30)(－2x ＋200)＝－2x 2＋180x ＋2019， 当50≤x ≤90时，w ＝(90－30)(－2x ＋200)＝－120x ＋12019. 综上所述，每天的销售利润w 与时间x 之间的函数关系式为w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2000（0<x <50，且x 为整数），－120x ＋12000（50≤x ≤90，且x 为整数）. (2)当0<x <50时，w ＝－2x 2＋180x ＋2019＝－2(x －45)2＋6050. ∵a ＝－2<0且0<x <50， ∴当x ＝45时，w 最大值＝6050. 当50≤x ≤90时，w ＝－120x ＋12019. ∵k ＝－120<0，∴w 随x 的增大而减小， ∴当x ＝50时，w 最大值＝6000. ∵6050>6000，∴销售该商品第45天时，当天的销售利润最大，最大利润为6050元． (3)24天．16．解：(1)∵抛物线过点A (－3，0)，B (1，0)， ∴设其函数关系式为y ＝a (x ＋3)(x －1)． 将点C 的坐标代入关系式，得a ＝－1，即抛物线所对应的函数关系式为y ＝－(x ＋3)(x －1)＝－x 2－2x ＋3，顶点D 的坐标为(－1，4)．(2)如图①，过点A 作AH ⊥EP 交EP 的延长线于点H . ∵A (－3，0)，D (－1，4)，∴直线AD 所对应的函数关系式为y ＝2x ＋6，∴S ＝12AH ·EP ＝－12xy ＝－x (x ＋3)＝－(x ＋32)2＋94，自变量x 的取值范围是－3＜x ＜－1.当x ＝－32时，S 取得最大值，最大值为94.(3)当S 取到最大值时，点P 的坐标为(－32，3)，且点E 与点C 重合．如图②所示，过点P ′作x 轴的垂线交x 轴于点N ，交PE 的延长线于点M . ∵PE ＝1.5，PF ＝3，且△FPE ≌△FP ′E ，∴P′F＝PF＝3，P′E＝PE＝1.5.设点P′的坐标为(m，n)，可得ME＝m，MP′＝3－n，NP′＝n，NF＝m＋1.5. 易证△MEP′∽△NP′F，∴MENP′＝MP′NF＝EP′P′F＝1.53，即mn＝3－nm＋1.5＝12，解得m＝0.9，n＝1.8，∴P′(0.9，1.8)．当x＝0.9时，y＝－x2－2x＋3＝－0.81－1.8＋3＝0.39≠1.8，∴点P′不在抛物线y＝－x2－2x＋3上．。

第26章二次函数达标测试卷一、选择题(每题3分，共24分)1．下列函数中，是二次函数的是()A．y＝5x2B．y＝22－2x C．y＝2x2－3x3＋1 D．y＝1 x22．抛物线y＝3(x－1)2＋8的顶点坐标为()A．(1，8) B．(－1，8) C．(－1，－8) D．(1，－8) 3．某商场第1年销售计算机5 000台，设平均每年的销售量增长率为x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数表达式为()A y＝5 000(1＋2x)B y＝5 000(1＋x)2C y＝5 000(1－2x)D y＝5 000(1－x)2 4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x2保持不动，将x轴向上平移1个单位(y轴不动)，则在新坐标系下抛物线的表达式是()A．y＝2x2＋1 B．y＝2x2－1 C．y＝2(x－1)2D．y＝2(x＋1)2 5．已知点A(2，y1)、B(3，y2)、C(－1，y3)均在抛物线y＝ax2－4ax＋c(a ＞0)上，则y1、y2、y3的大小关系为()A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3D．y2＜y3＜y1 6．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象为()7．若二次函数y＝－x2＋mx在－2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是()A．－2 5或6 B．2 5或6 C．－92或6 D．－92或－2 5 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝13x2经过平移得到抛物线y＝ax2＋bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为83，则a，b的值分别为()A.13，43 B.13，－23 C.13，－43D．－13，43(第8题) (第13题) (第14题)二、填空题(每题3分，共18分)9．已知点P⎝ ⎛⎭⎪⎫a，12在抛物线y＝2x2上，则a等于________．10．抛物线y＝x2＋6x＋c与x轴有且只有1个公共点，则c＝________．11．某小型无人机着陆后滑行的距离s(米)关于滑行的时间t(秒)的函数表达式是s＝－0.25t2＋10t，那么无人机着陆后滑行__ _秒才能停下来．12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，x与y的部分对应值如下表：则不等式ax2＋bx＋c＞－3的解集为________．13．如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC，分别交抛物线y1＝x2(x≥0)与y2＝14x2(x≥0)于点B、C，则BC的长是________．14．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论：①ac＜0；②a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④b2－4ac＜0.其中正确的是___(填序号)三、解答题(第15，16题每题5分，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22题10分，其余每题12分，共78分)15．一抛物线以(－1，9)为顶点，且经过x轴上一点(－4，0)，求该抛物线的表达式及抛物线与y轴的交点坐标．16．如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过坐标原点，且与x轴交于点A(－2，0)．(1)求此二次函数的表达式；(2)结合图象，直接写出满足y＞0的x的取值范围．(第16题)17．一名男生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系式y＝－112x2＋23x＋53.(1)求铅球离手时的高度；(2)求铅球推出的最大距离．18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝－2x2＋bx＋c的图象经过点A(－2，4)和点B(1，－2)．(1)求这个二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；(2)平移该二次函数的图象，使其顶点恰好落在原点的位置上，请直接写出平移方法．19．某网店正在热销一款电子产品，其成本为每件10元，销售过程中发现，该商品每天的销量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该款电子产品的销售单价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(第19题)20．如图，已知抛物线y＝ax2＋(a－1)x＋3(a≠0)与x轴交于A、B(1，0)两点，与y轴交于点C.(1)点C的坐标为________；(2)将抛物线y＝ax2＋(a－1)x＋3平移，使平移后的抛物线仍经过点B，与x轴的另一个交点为B′，且点B′的坐标为(3，0)，求平移后的抛物线的表达式．(第20题) 21．现有一面12米长的墙，某农户计划用28米长的篱笆靠墙围成一个如图所示的矩形养鸡场ABCD.(1)若矩形养鸡场的面积为90平方米，求所用的墙长AD；(2)求矩形养鸡场的最大面积．(第21题)22．如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标为A(2 3，0)、C(0，2)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B、C.(1)求该抛物线的表达式；(2)将矩形OABC绕原点O顺时针旋转一个角度α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，当矩形的顶点A的对应点A′落在抛物线的对称轴上时，求此时点A′的坐标．(第22题)23．某班数学兴趣小组对函数y ＝x 2－2|x |的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下表：其中m ＝__________；(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；(3)(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有__________个交点，对应的方程x 2－2|x |＝0有__________个实数根；②方程x 2－2|x |＝2有__________个实数根；③关于x 的方程x 2－2|x |＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是__________．(第23题)答案一、1.A 2.A 3.B 4.B5．A 【点拨】∵y ＝ax 2－4ax ＋c ，且a ＞0， ∴图象开口向上，对称轴是直线x ＝－－4a2a ＝2， ∴x ≥2时，y 随x 的增大而增大，∵C (－1，y 3)关于直线x ＝2的对称点是(5，y 3)，2＜3＜5，∴y 1＜y 2＜y 3. 6．C7．C 【点拨】∵y ＝－x 2＋mx ，∴图象开口向下，对称轴为直线x ＝－m 2×（－1）＝m2.①当m 2≤－2，即m ≤－4时，函数在x ＝－2时取得最大值5，∴－4－2m ＝5，解得m ＝－92；②当m2≥1，即m ≥2时，函数在x ＝1时取得最大值5， ∴－1＋m ＝5，解得m ＝6.③当－2＜m 2＜1，即－4＜m ＜2时，函数在x ＝m 2时取得最大值5，∴－m 24＋m 22＝5，解得m ＝2 5(舍去)或m ＝－2 5(舍去)．综上所述，m 的值为－92或6.8．C 【点拨】如图，设平移后所得新抛物线的对称轴和两抛物线分别相交于点A 和点B ，连结OA 、OB ，(第8题)∴S 阴影＝S △OAB .由题意得a ＝13，∴y ＝ax 2＋bx ＝13x 2＋bx ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3b 22－3b 24，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3b 2，－3b 24，∴点B 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3b 2，3b 24，∴AB ＝3b 22，点O 到AB 的距离为－3b2，∴S △AOB ＝12×3b 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3b 2＝83，解得b ＝－43.二、9.12或－12 10.9 11.2012．0＜x ＜2 13.2 14.①②③三、15.解：设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)2＋9，将(－4，0)代入y ＝a (x ＋1)2＋9， 得0＝9a ＋9，解得a ＝－1， ∴抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)2＋9.令x ＝0，则y ＝8，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0，8)．16．解：(1)把(0，0)和(－2，0)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧c ＝0，－4－2b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝0，∴二次函数的表达式为y ＝－x 2－2x . (2)－2＜x ＜0.17．解：(1)令x ＝0，则y ＝53.∴铅球离手时的高度为53 m.(2)当y ＝0时，－112x 2＋23x ＋53＝0， 解得x 1＝10，x 2＝－2(不合题意，舍去)， ∴铅球推出的最大距离是10 m.18．解：(1)∵二次函数y ＝－2x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－2，4)和点B (1，－2)．∴⎩⎨⎧－2×4－2b ＋c ＝4，－2×1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝4， ∴这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2－4x ＋4. ∵y ＝－2x 2－4x ＋4＝－2(x ＋1)2＋6， ∴顶点坐标为(－1，6)．(2)(答案不唯一)将该二次函数图象先向右平移1个单位，再向下平移6个单位． 19．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将(20，100)，(25，50)代入，得 ⎩⎨⎧20k ＋b ＝100，25k ＋b ＝50，解得⎩⎨⎧k ＝－10，b ＝300， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋300. (2)设该款电子产品的销售利润为w 元，根据题意得w ＝(x －10)(－10x ＋300)＝－10x 2＋400x －3 000＝－10(x －20)2＋1 000， ∵－10＜0，∴x ＝20时，w 最大，为1 000.答：该款电子产品的销售单价为20元时，每天销售利润最大，最大利润是1 000元． 20．解：(1)(0，3)(2)∵抛物线y ＝ax 2＋(a －1)x ＋3与x 轴交于点B (1，0)，∴a ＋a －1＋3＝0，∴a ＝－1，∴y ＝－x 2－2x ＋3.设平移后的抛物线表达式为y ＝－(x ＋h )2＋k ， ∵平移后的抛物线经过点B (1，0)和点B ′(3，0)， ∴⎩⎨⎧－（1＋h ）2＋k ＝0，－（3＋h ）2＋k ＝0，解得⎩⎨⎧h ＝－2，k ＝1， ∴平移后的抛物线表达式为y ＝－(x －2)2＋1.21．解：(1)设所用的墙长AD 为x 米，则AB 的长为28－x2米，由题意可得x ·28－x2＝90，解得x 1＝18(舍去)，x 2＝10.答：所用的墙长AD 为10米． (2)设AB 为a 米，面积为S 平方米， 则S ＝a (28－2a )＝－2(a －7)2＋98， ∵0＜28－2a ≤12，∴8≤a ＜14，∴当a ＝8时，S 取得最大值，此时S ＝96， 答：矩形养鸡场的最大面积是96平方米．22．解：(1)∵A (2 3，0)，C (0，2)，∴易得B (2 3，2)． 把点C 和点B 的坐标代入y ＝－x 2＋bx ＋c ， 得⎩⎨⎧c ＝2，－12＋2 3b ＋c ＝2，解得⎩⎨⎧b ＝2 3，c ＝2， ∴该抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2 3x ＋2. (2)设对称轴与x 轴交于点D ，∴易得OD ＝3， 又∵OA ′＝OA ＝2 3，∴A ′D ＝（2 3）2－（3）2＝3，∴A ′(3，－3)． 23．解：(1)0 (2)如图．(3)①函数y ＝x 2－2|x |的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大． (4)①3；3 ②2 ③－1<a <0(第23题)【点拨】(3)题答案不唯一．24. 解：(1)由题意得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0c ＝3，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝94，c ＝3，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－34x 2＋94x ＋3.(2)设直线BC 对应的函数表达式为y ＝kx ＋d ，则⎩⎨⎧4k ＋d ＝0，d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，d ＝3，∴y ＝－34x ＋3.设D (m ，－34m 2＋94m ＋3)(0＜m ＜4)．过点D 作DM ⊥x 轴交BC 于点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－34m ＋3，DM ∥OC ，∴DM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m 2＋94m ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ＋3＝－34m 2＋3m ，∠DME ＝∠OCB ，又∵∠DEM ＝∠BOC ＝90°，∴△DEM ∽△BOC ， ∴DE OB ＝DMBC .∵OB ＝4，OC ＝3，∴BC ＝5，∴DE ＝45DM ，∴DE ＝－35m 2＋125m ＝－35(m －2)2＋125(0<m <4)．当m ＝2时，DE 取得最大值，最大值是125. (3)存在．∵F 为AB 的中点， ∴OF ＝32，∴tan ∠CFO ＝OCOF ＝2.如图，过点B 作BG ⊥BC ，交CD 的延长线于点G ，过点G 作GH ⊥x 轴，垂足为H .(第24题)①若∠DCE ＝∠CFO ，则tan ∠DCE ＝GBBC ＝2， ∴BG ＝10.易得△GBH ∽△BCO ，∴GH BO ＝HB OC ＝GBBC ，∴GH ＝8，BH ＝6，∴G (10，8)． 设直线CG 对应的函数表达式为y ＝px ＋n ，11∴⎩⎨⎧n ＝3，10p ＋n ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，n ＝3，∴直线CG 对应的函数表达式为y ＝12x ＋3，令12x ＋3＝－34x 2＋94x ＋3，解得x ＝73或x ＝0(舍去)． ②若∠CDE ＝∠CFO ，同理可得BG ＝52，GH ＝2，BH ＝32，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫112，2.易得直线CG 对应的函数表达式为y ＝－211x ＋3，令－211x ＋3＝－34x 2＋94x ＋3，解得x ＝10733或x ＝0(舍去)．综上所述，点D 的横坐标为73或10733.12。

26.2二次函数的图像与性质同步练习一．选择题1．抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标是（）A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（﹣2，0）D．（﹣2，0）、（1，0）2．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（）A．x＝﹣3B．x＝﹣1C．x＝﹣2D．x＝43．A（﹣2，y1）B（1，y2）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的两点，则y1，y2的大小关系（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y2＞y1D．无法判断4．下列对二次函数y＝2（x﹣1）2的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．在对称轴左侧y随x的增大而增大D．顶点（1，0）5．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，且此图象过A（﹣1，1）、B（2，﹣1）两点，则结论正确的是（）A．y的最大值小于0B．当x＝3时，y的值小于0C．当x＝1时，y的值大于1D．当x＝0时，y的值大于16．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法不正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1）B．图象的对称轴在y轴的左侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．函数的最小值为﹣37．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的部分对应值列表如下：x…﹣2﹣1012…y…﹣2.5﹣5﹣2.5517.5…则代数式16a﹣4b+c的值为（）A．17.5B．5C．﹣5D．﹣17.58．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值是0，那么代数式|a|+4ac﹣b2的化简结果是（）A．a B．﹣a C．0D．19．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（2﹣m，n）、D（m，n）（y1≠n）则下列命题正确的是（）A．若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2B．若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＜|1﹣x2|C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＜0D．若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；③4a+2b+c＜0，④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＞m（am+b）（其中m）．其中说法正确的是（）A．①②④⑤B．①②④C．①④⑤D．③④⑤二．填空题11．二次函数y＝﹣x2+20x图象的对称轴是．12．如图，抛物线y＝x2与直线y＝x交于O，A两点，将抛物线沿射线OA方向平移个单位．在整个平移过程中，抛物线与直线x＝3交于点D，则点D经过的路程为．13．已知关于x的二次函数y＝mx2﹣2x+1，当x＜时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围为．14．当1≤x≤2时，二次函数y＝（x﹣h）2+3有最小值4，则h的取值为．15．如图，点A1、A2、A3、…、A n在抛物线y＝x2图象上，点B1、B2、B3、…、B n在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△A n B n﹣1B n都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2020B2019B2020的腰长＝．三．解答题16．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点．（1）求抛物线解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，请直接写出y的取值范围．17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…（1）根据以上信息，可知抛物线开口向；对称轴为；（2）直接写出抛物线的表达式．（3）请在图中画出所求的抛物线．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．（1）求抛物线的对称轴；（2）①过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m的取值范围．参考答案一．选择题1．解：令x＝0，则y＝﹣2，∴抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．故选：B．2．解：抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝2（x ﹣1+3）2﹣3，即y＝2（x+2）2﹣3，其对称轴是直线x＝﹣2．故选：C．3．解：∵A（﹣2，y1）B（1，y2）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的两点，∴y1＝﹣4+4+2＝2，y2＝﹣1﹣2+2＝﹣1，∴y1＞y2，故选：A．4．解：∵二次函数y＝2（x﹣1）2，∴该函数图象开口向上，故选项A错误；对称轴是直线x＝1，故选项B错误；在对称轴左侧y随x的增大而减小，故选项C错误；顶点坐标为（1，0），故选项D正确；故选：D．5．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（﹣1，1）、B（2，﹣1）两点，∴y的最大值大于1，故选项A错误；当x＝3时，y的值小于0，故选项B正确；当x＝1时，y的值小于1，故选项C错误；当x＝0时，y的值小于1，故选项D错误；故选：B．6．解：∵二次函数y＝2x2+4x﹣1，∴当x＝0时，y＝﹣1，即图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1），故选项A正确；该函数的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，即图象的对称轴在y轴的左侧，故选项B正确；当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故选项C不正确；该函数的最小值为＝﹣3，故选项D正确；故选：C．7．解：∵x＝0和x＝﹣2时y的值相同都是﹣2.5，∴点（﹣2，﹣2.5）和点（0，﹣2.5）关于二次函数的对称轴对称，∴对称轴为：x＝＝﹣1∴点（﹣4，17.5）和点（2，17.5）关于二次函数的对称轴对称，∴x＝﹣4时对应的函数值y＝17.5，∴16a﹣4b+c＝17.5故选：A．8．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最大值，∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的开口方向向下，即a＜0；又∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值是0，∴＝0，∴4ac﹣b2＝0，∴|a|+4ac﹣b2＝﹣a+0＝﹣a．故选：B．9．解：∵抛物线过点A（m，n），C（2﹣m，n）两点，∴抛物线的对称轴为x＝＝1，若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项A错误，若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＞|1﹣x2|，故选项B错误，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＞0，故选项C错误，若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD，故选项D正确．故选：D．10．解：①∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线x＝﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∴abc＜0．故①正确；②∵由①中知b＝﹣a，∴a+b＝0，故②正确；③∵抛物线经过点（2，0），∴当x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0．故③错误；④∵（﹣，y1）关于对称轴x＝的对称点的坐标是（，y1），又∵当x＞时，y随x的增大而减小，＜，∴y1＜y2．故④正确；⑤∵抛物线的对称轴x＝，∴当x＝时，y有最大值，∴a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠）．∵a＝﹣b，∴b＞m（am+b）（其中m≠），故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②④⑤．故选：A．二．填空题11．解：∵y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，∴二次函数图象的对称轴是直线x＝10．故答案为直线x＝10．12．解：由题意，抛物线沿着射线AB平移个单位时，向右平移4个单位，向上平移4个单位，设平移后的顶点为（a，a），则平移后的解析式为y＝（x﹣a）2+a，当x＝3时，y＝a2﹣5a+a2，∴a＝时，y有最小值，最小值＝，∵抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），此时D的坐标为（3，9），∴平移后抛物线的顶点坐标为（4，4），平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2+4，此时D′（3，5），∵点D经过的路径为D→M→D′，M（3，），∴路径长为：（9﹣）+（5﹣）＝，故答案为．13．解：由当x＜时，y的值随x的增大而减小可知，抛物线开口向上，m＞0，且对称轴≥，解得m≤5，故答案为：0＜m≤5．14．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤2，x＝1时，y取得最小值4，可得：（1﹣h）2+3＝4，解得：h＝0或h＝2（舍）；②若1≤x≤2＜h，当x＝2时，y取得最小值4，可得：（2﹣h）2+3＝4，解得：h＝3或h＝1（舍）；③若1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为3，不是4，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为0或3，故答案为：0或3．15．解：作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E．∵△A1B0B1、△A2B1B2都是等腰直角三角形，∴B1C＝B0C＝DB0＝A1D，B2E＝B1E．设A1（a，b），则a＝b，将其代入解析式y＝x2得：∴a＝a2，解得：a＝0（不符合题意）或a＝1，由勾股定理得：A1B0＝，∴B1B0＝2，过B1作B1N⊥A2F，设点A（x2，y2），可得A2N＝y2﹣2，B1N＝x2＝y2﹣2，又点A2在抛物线上，所以y2＝x22，（x2+2）＝x22，解得x2＝2，x2＝﹣1（不合题意舍去），∴A2B1＝2，同理可得：A3B2＝3，A4B3＝4，…∴A2020B2019＝2020，∴△A2020B2019B2020的腰长为：2020．故答案为2020．三．解答题16．解：（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）∵当x＝0时，y＝﹣3；当x＝3时，y＝x2﹣2x﹣3＝9﹣6﹣3＝0，∴当0＜x＜3时，y的取值范围为﹣4≤x＜0．17．解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；故答案为：上，直线x＝1；（2）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得：解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故答案为y＝x2﹣2x﹣3；（3）描点、连线画出抛物线图象如图：．18．解：（1）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1；（2）①把y＝2代入y＝mx2+2mx﹣3m+2得mx2+2mx﹣3m+2＝2，解得x＝1或﹣3，∴M（﹣3，2）；N（1，2）；②当抛物线开口向上时，如图1，抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，1），（﹣1，1），（0，1），将（﹣2，1）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝，将（﹣1，0）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝，结合图象可得＜m≤．当抛物线开口向下时，如图2，则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，3），（﹣1，3），（0，3），将（0，3）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝﹣，将（﹣1，4）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝﹣，结合图象可得﹣≤m＜﹣．综上，m的取值范围为．。

26.1二次函数同步练习一、选择题 1.函数432-+=x xy ( )A ．一次函数B ．二次函数C ．正比例函数D ．反比例函数答案：B解析：解答：因为函数中二次项的系数03≠，函数形式符合二次函数． 故选：B ．分析：根据二次函数的定义形如c bx axy ++=2，()0≠a 判断函数是否是二次函数．2．在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） A ．2xy =B ．21xy = C ．2kx y = D ．x k y 2=答案：A解析：解答：A.符合二次函数定义形式，是二次函数；B.是分式方程，故B 错误；C.当k =0时，不是函数，故C 错误；D.当k =0是常函数，故D 错误． 故选：A ．分析：根据二次函数的定义形如c bx axy ++=2，()0≠a 是二次函数．3.对于任意实数m ,下列函数一定是二次函数的是( ) A ．()221xm y -=B ．()221xm y +=C ．()221x m y +=D ．()221x my -=答案：C解析：解答：A.当m =1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误；B.当m =-1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误；C.无论m 取何值，12+m 总大于或等于1，即无论m 取何值，12+m 都不等于0，符合二次函数概念，是二次函数，故正确． 故选：C ．分析：根据二次函数的定义形如c bx axy ++=2，()0≠a 是二次函数．4. 二次函数532+=x y 的二次项系数是( ) A.3 B.2 C.5 D.0 答案：A解析：解：二次函数532+=x y 的二次项系数是3，一次项系数是0．故选：A ．分析：本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．5．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ．22=+x xyB ．0222=+-y x C ．21xy =D ．02=-x y答案：B解析：解：A.整理为y=22x x x-+不是二次函数，故A 错误； B.0222=+-y x变形，得1212+=x y ，是二次函数，故B 正确；C.分母中含自变量，不是二次函数，故C 错误；D.y 的指数是2，y 不是x 的二次函数，故此选项错误． 故选：B ．分析：整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可． 6．下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．x y 2=B ．()()312-+=x x yC ．23-=x yD ．xx y 12+=答案：B 解析：解：A.xy 2=是反比例函数，故本选项错误； B.()()6423122--=-+=x xx x y ，是二次函数，故本选项正确；C.23-=x y 是一次函数，故本选项错误；D.xx x x y 112+=+=，不是二次函数，故本选项错误．故选：B ．分析：根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．7．已知函数()5621--+=m m xm y 是二次函数，则m 等于（ ）A ．7B ．-2或7C ．﹣1D ．以上都不对答案：A 解析：解：∵()5621--+=m m xm y 是二次函数，∴2562=--m m ，∴m =7或m =﹣1（舍去）． 故选A ．分析：根据二次函数的定义列出关于m 的方程，求出m 的值即可． 8．下列函数是二次函数的是（ ） A ．12+=x y B ．12+-=x y C ．22+=x y D ．221-=x y答案：C解析：解：A.12+=x y ，是一次函数，故此选项错误； B.12+-=x y ，也是一次函数，故此选项错误； C.22+=x y 是二次函数，故此选项正确；D.221-=x y ，是一次函数，故此选项错误． 故选：C ．分析：直接根据二次函数的定义判定即可． 9．下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．32-=x yB ．()221x x y -+=C ．x x y 722-= D ．22x y -= 答案：C解析：解：A.函数32-=x y 是一次函数，故本选项错误； B.由原方程化简，得12+=x y ，属于一次函数，故本选项错误； C.函数x x y 722-=符合二次函数的定义；故本选项正确；D.22xy -=不是整式；故本选项错误． 故选:C ．分析：二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数．二次函数可以表示为c bx axy ++=2，()0≠a ．10．下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ）A ．x xy +=21 B ．c bx ax y ++=2 C ．()227+-=x x y D ．()()121-+=x x y答案：D解析：解答：解：A.x xy +=21中未知数的最高次数不是2，故本选项错误； B.c bx axy ++=2二次项系数a =0时，c bx ax y ++=2不是二次函数，故本选项错误；C.∵()()4914121--=-+=x x x y ，即4914--=x y ，没有二次项，故本选项错误；D.由原方程得，122--=x x y ，符合二次函数的定义，故本选项正确．故选：D ．分析：根据二次函数的定义解答． 11．已知函数①45-=x y ，②x x t 6322-=，③38223+-=x x y ，④1832-=x y ，⑤2132+-=xx y ，其中二次函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：解：①45-=x y ，③38223+-=x xy ，⑤2132+-=xx y 不符合二次函数解析式， ②x x t6322-=，④1832-=x y 符合二次函数解析式，有两个． 故选B ．分析：首先去掉不是整式的函数，再利用二次函数的定义条件判定即可． 12.下列函数关系中，可以看做二次函数c bx ax y++=2，()0≠a 模型的是（）A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B.我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D.圆的周长与圆的半径之间的关系 答案：C解析：解：A.距离一定，汽车行驶的速度与行驶的时间的积是常数，即距离，速度与时间成反比例关系；B.设原来的人口是a ，x 年后的人口数是y ，则()x a y%11+=，是正比例函数；C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）是二次函数．D.设半径是r ，则周长r C π2=，是一次函数关系．故选C ．分析：根据实际问题中的数量关系及二次函数的模型，逐一判断． 13.若函数()1222--+=m m xm m y是二次函数,那么m 的值是( )A.2B.-1或3C.3D.1-答案：C 解析：解：∵()1222--+=m m x m my 是二次函数，∴2122=--m m ，∴m =3或m =-1． 当m =-1时02=+m m ，所以m =3故选C ．分析：根据二次函数的定义列出关于m 的方程，求出m 的值即可． 14.下列函数中,是二次函数的是( ) A.182+=x yB.18+=x yC.x y 8=D.28xy =答案：A解析：解答：A 符合二次函数定义形式，是二次函数；B 一次函数，故B 错误；C 是反比例函数，故C 错误；D 不符合二次函数定义形式，故D 错误． 故选：A ．分析：根据二次函数的定义形如c bx ax y ++=2，()0≠a 是二次函数．15.若()222--=m xm y 是二次函数,则m 等于( ) A ．2B ．-2C ．±2D ．不能确定答案：B解析：解答：根据二次函数的定义,得222=-m ,解得m =2或m =-2,又2-m ≠0,即m ≠2,故当m =-2时,这个函数是二次函数. 故选：B ．分析：根据二次函数的定义可得答案． 二、填空题 16. 关于x 的函数()()m x m x m y +-++=112,当m =0时,它是________函数;当m =-1时,它是________函数. 答案：二次|一次解析：解答：当m =0时,函数关系式可化为x x y -=2,是一个二次函数;当m =-1时,函数关系式可化为12--=x y,是一次函数．分析：将m =0和m =1分别代入等式中再进行判断． 17．已知()ax x a y++=21是二次函数，那么a 的取值范围是_________答案：a ≠﹣1解析：解答：根据二次函数的定义可得a +1≠0， 即a ≠﹣1．分析：根据二次函数的定义条件列出不等式求解即可． 18．已知()322-++=x x a y是关于x 的二次函数，则常数a 应满足的条件是_________．答案：a ≠﹣2 解析：解答：由()322-++=x x a y 是关于x 的二次函数，得02≠+a ．解得a ≠﹣2， 故答案为：a ≠﹣2． 分析：根据形如c bx ax y ++=2，()0≠a 是二次函数，可得答案．19．已知()kk xk y ++=22是二次函数，则k 的值为_________．答案：1解析：解答：∵()kk xk y ++=22是二次函数，∴22=+k k 且k +2≠0，解得k =1，故答案为：1．分析：利用二次函数的定义列方程求解即可． 20．已知方程02=++cy bx ax（0≠a ，b 、c 为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为_________，成立的条件是_________，是 _________函数． 答案：x cbx c a y --=2|a ≠0，c ≠0|二次． 解析：解答：整理得函数表达式为x cbx c a y --=2，成立的条件是a ≠0，c ≠0，是二次函数． 故答案为：x cbx c a y --=2；a ≠0，c ≠0；二次． 分析：函数通常情况下是用x 表示y ．注意分母不为0，二次项的系数不为0． 三、解答题 21.已知函数()35112-+-=+x xm y m y 是二次函数，求m 的值． 答案：解答：()35112-+-=+x xm y m 是二次函数，得21012m m ì-?ïïíï+=ïî解得m =﹣1．解析：本题考查了二次函数的定义，注意二次项的系数不等于零，二次项的次数是2． 分析：根据二次函数是c bx ax y ++=2的形式，可得答案．22. 已知函数()2222+-+=m m xm my ．(1)当函数是二次函数时,求m 的值． 答案：解答：(1)依题意,得2222=+-m m ,解得m =2或m =0; 又02≠+m m ,解得m ≠0且m ≠-1;因此m =2.(2)当函数是一次函数时,求m 的值． 答案：解答：依题意,得1222=+-m m ,解得m =1; 当m =1时,02≠+m m ,因此m =1.解析：本题考查了二次函数和一次函数的定义，注意二次项的系数不等于零，二次项的次数是2，所以令2222=+-m m 且02≠+m m 即可．同理第二问令1222=+-m m 即可求解.分析：根据二次函数是c bx ax y ++=2,()0≠a 的形式，可得答案．23．己知()m xm y m ++=21是关于x 的二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．求：（1）m 的值． 答案：解答：（1）∵()m xm y m ++=21是关于x 的二次函数，∴22=m ，解得m =，∵当x ＞0时，y 随x 的增大而减小， ∴m+1＜0，m =﹣，m =（不符合题意，舍）；（2）求函数的最值．答案：解答：当x =0时，y 最大=m =﹣．解析：（1）根据()m xm y m ++=21是关于x 的二次函数，可得22=m ，再由当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，可得m +1＜0，从而得出m 的值； （2）根据顶点坐标即可得出函数的最值．分析：本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数的性质． 24．已知()()212232m x m x m my m x +-+-=--是x 的二次函数，求出它的解析式．答案：解答：根据二次函数的定义可得：2122=--m m ，且02≠-m m ，解得 m =3或m =﹣1； 当m =3时，962+=xy ；当m =﹣1时，1422+-=x x y ；综上所述，该二次函数的解析式为：962+=x y 或1422+-=x x y ．解析：本题考查二次函数的定义．一般地，形如c bx axy ++=2,()0≠a 的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．c bx ax y ++=2,()0≠a 也叫做二次函数的一般形式．分析：根据二次函数的定义列出不等式求解即可．25．函数()()31--=x kx y ，当k 为何值时，y 是x 的一次函数？当k 为何值时，y 是x 的二次函数？答案：解答：∵()()()313333122++-=+--=--=x k kx x kx kx x kx y ，∴k =0时，y 是x 的一次函数，k ≠0时，y 是x 的二次函数．解析：利用一次函数与二次函数的定义分别分析得出即可．。

26.1二次函数(A 卷)(100分 60分钟)一、选择题:(每题4分,共28分)1.若函数2221()m m y m m x --=+是二次函数,那么m 的值是A.2B.-1或3C.3D.1-2.满足函数y=x 2-4x-4的一个点是( )A.(4,4)B.(3,-1);C.(-2,-8)D. 1171,24⎛⎫- ⎪⎝⎭3.无论m 为何实数,二次函数y=x 2-(2-m)x+m 的图象总是过定点( )A.(1,3)B.(1,0);C.(-1,3)D.(-1,0)4.在函数中,自变量x 的取值范围是( ) A.x≠1 B.x>0; C.x>0且x≠1 D.x≥0且x≠15.在直角坐标系中,坐标轴上到点P(-3,-4)的距离等于5的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.在函数中,自变量x 的取值范围是( )A.x>-2且x≠-3;B.x>-2且x≠3;C.x≥-2且x≠±3;D.x≥-2且x≠3 7.下列函数中,是二次函数的是( )A.y=8x 2+1 B.y=8x+1; C.y=8x D.y=28x二、填空题:(每题5分,共45分)y=-x+2x>1y=x 2-1≤x ≤1y=x+2x<-1输入x 值(1) (2) (3)8.形如_______________的函数叫做二次函数.9.如图1所示,某校小农场要盖一排三间长方形的羊圈,打算一面利用一堵旧墙, 其余各面用木棍围成栅栏,该校计划用木棍围出总长为24m 的栅栏. 设每间羊圈的B ACDx B 长为xm.(1)请你用含x 的关系式来表示围成三间羊圈所利用的旧墙的总长度L=_______,三间羊圈的总面积S=____________;(2)S 可以看成x 的_________,这里自变量x 的取值范围是_________; (3)请计算,当羊圈的长分别为2m 、3m 、4m 和5m 时,羊圈的总面积分别为_____、_____、______、______,在这些数中,x 取_____m 时,面积S 最大.10.如图2所示,长方体的底面是边长为xcm 的正方形,高为6cm,请你用含x 的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S=________,长方体的体积为V=__________,各边长的和L=__________,在上面的三个函数中,_______是关于x 的二次函数.11.根据如图3所示的程序计算函数值. (1)当输入的x 的值为23时,输出的结果为________; (2)当输入的数为________时,输出的值为-4.12.如图4所示,要用总长为20m 的铁栏杆,一面靠墙, 围成一个矩形的花圃, 若设AB 的长为xm,则矩形的面积y=_______________.13.某商店将每件进价为8元的某种商品每件10元出售,一天可销出约100件. 该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件,将这 种商品的售价降低x 元时, 则销售利润y=_________.14.函数中,自变量x 的取值范围是___________.15.y=(m 2-2m-3)x 2+(m-1)x+m 2是关于x 的二次函数要满足的条件是_______.16.如图5所示,有一根长60cm 的铁丝,用它围成一个矩形,写出矩形面积S(cm 2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式____________. 三、解答题:(27分)17.(12分)心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间满足函数关系y=-0.1x 2+2.6x+43(0≤x≤30),y 的值越大,表示接受能力越强.(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力y 的值是多少?(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.18.(15分)已知正方形的周长是Ccm,面积是Scm 2.(1)求S 与C 之间的函数关系式;(2)当S=1cm 2时,求正方形的边长;(3)当C 取什么值时,S≥4cm 2?BRACD PGl26.1 二次函数(B 卷)(100分 90分钟)一、学科内综合题:(每题6分,共18分)1.如图所示,在直角梯形ABCD 中,∠A=∠D=90°,截取AE=BF=DG=x.已知AB=6,CD=3,AD=4.求四边形CGEF 的面积S 关于x 的函数表达式和x 的取值范围.x x BF ACD E x G2.如图所示,在△ABC 中是AC 上与A 、C 不重合的一个动点,过P 、B 、C 的⊙O 交AB 于D.设PA=x,PC 2+PD 2=y,求y 与x 的函数关系式,并确定x 的取值范围.3.如图所示,有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR,PQ= PR= 3cm, QR=8cm,点B 、C 、Q 、R 在同一条直线L 上,当C 、Q 两点重合时,等腰三角形PQR 以1cm/ 秒的速度沿直线L 按箭头所示的方向开始匀速运动,t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR重合部分的面积为Scm 2.解答下列问题:(1)当t=3时,求S 的值;(2)当t=5时,求S 的值;(3)当5≤t≤8时,求S 与t 之间的函数关系式.BRA CD PQ lB HRAC D PQ G l二、学科间综合题:(7分)4.一个人的血压与其年龄及性别有关,对女性来说,正常的收缩压p(毫米汞柱) 与年龄x(岁)大致满足关系式p=0.01x 2+0.05x+107;对男性来说,正常的收缩压p( 毫米汞柱)与年龄x(岁)大致满足关系式p=0.006x 2-0.02x+120.(1)利用公式计算你的收缩压;(2)如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱,那么她的年龄大概是多少岁?(1毫米汞柱=133.3224帕)(3)如果一个男性的收缩压为130毫米汞柱,那么他的年龄大概是多少岁?三、应用题:(每题9分,共36分)5.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=12厘米,点P在线段AB上,P从点A 开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动.点E为线段BC的中点,点Q从E点开始,沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动.如果P、Q同时分别从A、E出发,写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式,求出t的取值范围.QA6.某化工材料经销公司购进了一批化工原料共7000千克, 购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现,单价定为70元时,日均销售60千克;单价每降低1元,每天多售出2千克. 在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).设销售单价为x元,日均获利为y元.请你求出y关于x的二次函数关系式,并注明x的取值范围.7.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m=162-3x. 请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式.8.某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品, 规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件.试销时,发现销售量y(件)与销售价x(元/件)的关系可近似看作一次函数y=kx+b(k≠0),如图所示.(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元, 试用销售单价表示毛利润S./件)四、创新题:(每题10分,共20分) (一)教材中的变型题9.(教材P4第3题变题)已知二次函数y=ax 2+(km+c),当x=3时,y=15;当x=-2时,y=5,试求y 与x 之间的函数关系式.(二)多变题10.如图所示,在边长为4的正方形EFCD 上截去一角,成为五边形ABCDE, 其中AF=2,BF=1,在AB 上取一点P,设P 到DE 的距离PM=x,P 到CD 的距离PN=y,试写出矩形PMDN 的面积S 与x 之间的函数关系式.FEB ACD PN五、中考题:(19分)11.(2002,昆明,8分)某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌, 广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边长为x 米,面积为S 平方米.(1)求出S 与x 之间的函数关系式,并确定自变量x 的取值范围.(2)为使广告牌美观、大方,要求做成黄金矩形,请你按要求设计,并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元)12.(2004,黄冈,11分)心理学家研究发现,一般情况下, 学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力逐步增强, 中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知, 学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系式:224100(0100)240(1020)7380(2040)t y t y t t t ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩(1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较, 何时学生的注意力更集中?(2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,为了效果较好,要求学生的注意力最低达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?26.1 二次函数(C 卷)(30分 45分钟)一、实践题:(10分)1.某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,并投入资金1500万元进行批量生产.已知生产每件产品的成本为40元, 在销售过程中发现,当销售单价定为100元时,年销售时为20万件;销售单价每增加10元, 年销售量将减少1万件.设第一年销售单价为x 元,销售量为y 万件,获利(年获利=年销售额-生产成本-投资)为z 万元.(1)试写出y 与x 之间的函数关系式;(不必写出x 的取值范围) (2)试写出z 与x 之间的函数关系式;(不必写出x 的取值范围)(3)计算销售单价为160元时的获利,并说明同样的获利,销售单价还可以定为多少元?相应的销售量分别为多少万件?二、竞赛题:(每题10分,共20分)2.已知:如图所示,BD 为⊙O 的直径,且BD=8,DM 是圆周的14,A 为DM 上任意一点, 取AC=AB,交BD 的延长线于C,连结OA,并作AE⊥BD 于E,设AB=x,CD=y. (1)写出y 关于x 的函数关系式; (2)当x 为何值时,CA 是⊙O 的切线?(3)当CA 与⊙O 相切时,求tan∠OAE 的值.EBM ACD O3.如图所示,△ABC 中,BC=4,∠B=45°,AB=、N 分别是AB 、AC 上的点,MN∥BC.设MN=x,△MNC 的面积为S.(1)求出S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.(2)是否存在平行于BC 的线段MN,使△MNC 的面积等于2?若存在,请求出MN 的长; 若不存在,请说明理由.二次函数A 卷答案:一、1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.D 7.A二、8.y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 为常数,a≠0)9.(1)-4x+24;-4x 2+24x (2)二次函数;0<x<6(3)32m 2;36m 2;32m 2;20m 2;310.24x;6x 2;8x+24;V=6x 211.(1)49(2)6或-6 12.y=-2x 2+20x(0<x<10)13.y=-100x 2+100x+200(0≤x≤2) 14.x>3且x≠5 15.m≠-1且m≠316.S=-x 2+30x(0<x<30)三、17.解:(1)当x=10时,y=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1×102+2.6×10+43=59.(2)当x=8时,y=0.1x 2+2.6x+43=-0.1×82+2.6×8+43=57.4, ∴用8分钟与用10分钟相比,学生的接受能力减弱了;当x=15时,y=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1×152+2.6×15+43=59.5. ∴用15分钟与用10分钟相比,学生的接受能力增强了.18.解:(1)S=221416C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)当S=1时,由 2116S C =,得1=2116C , ∴C=4或C=-4(舍去).∴C=4,∴正方形边长为1cm. (3)∵S=2116C ,∴欲使S≥4,需2116C ≥4,∴C 2≥64. ∴C≥8或C≤-8(舍去),∴C≥8.B 卷答案: 一、1.解:S=S 梯形ABCD -S △EGD -S △EFA -S △BCF =12×(3+6)×4-12x(4-x)- 12x(6-x)-12×4x =x 2-7x+18∵0 30 40 60 xxxx>⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪->⎩∴0<x<3,故S=x2-7x+18(0<x<3).2.解:∵AB=∴AB22 =48,AC2=62=36,BC22=12.∴AB2=AC2+BC2.∴△ABC为直角三角形,且∠A=30°.连结PB,则PB为⊙O的直径.∴PD⊥AB.∵在Rt△APD中,∠A=30°,PA=x,∴PD=12x,∴y=PC2+PD2=(6-x)2+22x⎛⎫⎪⎝⎭=254x-12x+36(0<x<6).3.解:(1)作PE⊥QR于E,∵PQ=PR,∴QE=RE=12QR=12当t=3时,QC=3,设PQ 与DC相交于点G.∵PE∥DC,∴△QCG∽△QEP,∴234QEPSS∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,∵S△QEP=12×4×3=6,∴S=2327648⎛⎫⨯=⎪⎝⎭(cm2)(2)当t=5时,CR=3.设PR与DC交于G,由△RCG∽△REP可求出S△RCG=278,∴S=S△PBR-S△RCG=12-278=698(cm2)(3)当5≤t≤8时,如答图所示,QB=t-5,RC=8-t. 设PQ 交AB 于点H,由△QBH ∽△QEP,得S △QBH =23(5)8t -.设PR 交CD 于G,由△PCG∽△REP,得S △RCG =38(8-t)2.∴S=12-23(5)8t --23(8)8t -=2339171448t t -+-即关系式为S=2339171448t t -+-.二、4.解:(1)根据解答者的性别、年龄实事求是地代入即可.(2)把p=120代入p=0.01x 2+0.05x+107,得120=0.01x 2+0.05x+107.解得x 1≈-39(舍去),x 2=34. 故该女性的年龄大约为34岁.(3)把p=130代入p=0.006x 2-0.02x+120,得130=0.006x 2-0.02x+120. 解得x 1≈-39(舍去),x 2=43. 故该男性的年龄大约为43岁. 三、5.解:∵PB=6-t,BE+EQ=6+t,∴S=12PB ·BQ=12PB ·(BE+EQ) = 12(6-t)(6+t)=-12t 2+18.∴S=-12t 2+18(0≤t≤6).6.解:若销售单价为x 元,则每千克降低(70-x)元,日均多销售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意,得 y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x2+260x-6500(30≤x≤70). 即y=-2x2+260x-6500(30≤x≤70).7.解:由题意,得每件商品的销售利润为(x-30)元,那么m 件的销售利润为y=m(x-30).又∵m=162-3x,∴y=(x -30)(162-3x),即y=-3x 2+252x-4860.∵x -30≥0,∴x≥30.又∴m≥0,∴162-3x≥0,即x≤54. ∴30≤x≤54.∴所求关系式为y=-3x 2+252x-4860(30≤x≤54).8.解:(1)由图象可知,当x=600时,y=400;当x=700时,y=300,代入y=kx+b中,得400600 300700k bk b=+⎧⎨=+⎩解得k=-1,b=1000∴y=-x+1000(500≤x≤800)(2)销售总价=销售单价×销售量=xy,成本总价=成本单价×销售量=500y,代入毛利润公式,得S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)=-x2+1500x-500000.∴S=-x2+1500x-500000(500≤x≤800)四、(一)9.解:把x=3,y=15;x=-2,y=5分别代入y=ax2+(xm+c),得9()15 4()5 a km ca km c++=⎧⎨++=⎩解得a=2,km+c=-3, ∴y=2x2-3.(二)10.解:如答图,S矩形PNDM=xy,且2≤x≤4.延长NP交EF于G,显然PG∥BF.故PG AGBF AF=,即4212y x--=,∴y=-12x+5,∴S=xy=-12x2+5x,即S=-12x2+5x(2≤x≤4).五、11.解:(1)由矩形的一边长为x米,得另一边长为1222x-⎛⎫⎪⎝⎭米,即(6-x)米,∴S=x(6-x)=-x2+6x,即S=-x2+6x,其中0<x<6.(2)设此黄金矩形的长为x米,宽为y米,则由题意,得2()6x y x yx y⎧=+⎨+=⎩,解得39xy⎧=⎪⎨=-⎪⎩即当把矩形的长设计为3米时,矩形将成为黄金矩形,此时S=xy=(3)(9-2);可获得的设计费为2)×1000≈8498(元).12.解:(1)当t=5时,y=195,当t=25时,y=205.∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中.(2)当0<t≤10时,y=-t 2+24t+100=-(t-12)2+244,该图的对称轴为t=12, 在对称轴左侧,y 随x 的增大而增大,所以,当t=10时,y 有最大值240.当10<t≤20时,y=240.当20<t≤40时,y=-7t+380,y 随x 的增大而减小,故此时y<240.所以,当t=20时,y 有最大值240.所以,讲课开始后10分钟时,学生的注意力最集中,能持续10分钟.(3)当0<t≤10,令y=-t 2+24t+100=180,∴t=4.当20<t≤40时,令=-7t+380=180,∴t=28.57.所以,老师可以经过适当安排,能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.二次函数C 卷答案:一、1.解:(1)y=20-10010x -×1=-0.1x+30. (2)z=y ·x-40y-500-1500=(30-0.1x)x-40(30-0.1x)-2000=30x-0.1x 2-1200+4x-2000=-0.1x 2+34x-3200.(3)当x=160时,z=-0.1x 2+34x-3200=-0.1×1602+34×160-3200=-320.把z=- 320代入z=-0.1x 2+34x-3200,得-320=-0.1x 2+34x-3200,x 2-340x+28800=0,∴(x -160) (x-180)=0.∴x=160或x=180.当x=160时,y=-0.1x+30=-0.1×160+30=14(万件);当x=180时,y=-0.1x+30=-0.1×180+30=12(万件).二、2.解:(1)∵OA=OB,AB=AC,∴△AOB 和△ABC 是等腰三角形.∴∠B=∠BAO=∠C.∴△AOB∽△BAC. ∴AB OB BC AB=, 即 48x y x =+, ∴y=2184x -∵A 为MD 上任意一点,BM≤AB≤BD,而=∴∴y=2184x - ((2)若OA⊥CA,则AC 为⊙O 的切线,即当OC 2=OA 2+AC 2时,OA⊥CA,∴(4+y)2=42+ x 2,即y 2+8y=x 2.由y=14x 2-8和y 2+8y=x 2两式可得y=4,∴x=即当,CA 是⊙O 的切线.(3)由(2)得是⊙O 的切线,此时y=4,而OE=BE-OB=12∴tan∠OAE=OE AE =. 3.解:(1)过点A 作AD⊥BC 于D,则有sin450=3=. 设△MNC 的MN 边上的高为h,∵MN∥BC,∴343x h -=. ∴h=1234x -, ∴S=12MN ·h=21123332482x x x x -=-+, 即S=23382x x -+ (0<x<4). (2)若存在这样的线段MN,使S △MNC =2,则方程 23382x x -+=2必有实根, 即3x 2-12x+16=0 必有实根.但△=(-12)2-4×3×16=-48<0,说明此方程无实根,所以不存在这样的线段MN.。

二次函数练习一、填空题1、抛物线21(2)43y x =++可以通过将抛物线y ＝ 向 平移 个单位、再向 平移 个单位得到。

2、抛物线21(4)72y x =+-的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，它的开口向 ，在对称轴的左侧，即当x< 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即当x> 时，y 随x 的增大而 ；当x= 时，y 的值最 ，最 值是 。

3、已知y=x 2+x －6，当x=0时，y= ；当y=0时，x= 。

4、直线y=2x+4与y 轴交点的坐标为 ，与x 轴交点的坐标为 。

5、抛物线217322y x x =+-与y 轴交点的坐标为 ，与x 轴交点的坐标为 。

6、抛物线y=(x+3)2－25与y 轴交点的坐标为 ，与x 轴交点的坐标为 。

7、当k 的值为 时，关于x 的一元二次方程x 2+kx+k+3=0有两个相等的实数根。

8、将抛物线y=3x 2向左平移6个单位，再向下平移7个单位所得新抛物线的解析式为 。

9、若抛物线y=ax 2－3ax+a 2－2a 经过的点，则a 的值为 。

10、若抛物线2132y x mx =++的对称轴是直线x=4，则m 的值为 。

11、抛物线与x 轴的公共点是（－1,0），（3,0），则这条抛物线的对称轴是 。

12、若抛物线经过点（－6,5）（2,5），则其对称轴是 。

13、已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （－2,7），B （6,7），C （3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是 。

二、选择题1、在同一坐标系中，直线y=kx+b 与抛物线y=kx 2+b 的图象大致是 。

三、计算题1、通过配方将下列函数写成y=a(x －h)2+k 的形式：（1）216172y x x =-+- （2）y=4x 2―24x+26 (3)2144y x x =-++ （4) y=(x+2)(1－2x)四、简答题1、已知二次函数y=x 2+4x+c 2－5c －3，当x ＝－4时，y=3，求c 的值。

26. 1二次函数练习题一、选择题1、下列函数中是二次函数的是（）A. y = x+*B. y = 3 （x — 1）2C. y= （x +1）"―x2D. y=Z —xZ X2、一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为s = 5t2+2t,则当t = 2秒吋，该物体所经过的路程为（）A. 24 米B. 48 米C. 12 米D. 14 米3、已知函数y二（m+2）一？是二次函数，则山等于（）A. ±2B. 2C. - 2D. ±14、如图，正方形ABCD的边长为1, E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE丄EF.设BE二x, DF二y,则y是x的函数，函数关系式是（）A. y二x+1B. y二x - 1C. y=x? - x+1D. y二x'- x - 15、如图，四边形ABCD 中,ZBAD=ZACB=906 , AB=AD, AC=4BC,设CD 的长为x,四边形ABCD二、填空题1、下列函数是二次函数的有___________________ 0①y = x2-}-\；②y = 2x（3-x）；③『=丄％-巧兀2 ；④ y = ax2 +hx + c；⑤2y = x2 -（x+2）（x-3）2、函数y= （m-2）x2+mx-3（m为常数）.当m ___ 时，该函数为二次函数；当m _____ 时，该函数为一次函数.3、y =（血+ 1）#宀"一3兀+ 1是二次函数，则m的值为4、二次函数y = -x 2 3 4 5十bx 十3 •当x=2时，y=3,则这个二次函数解析式为 ______________5、如图，在一幅长50cm,宽30cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂 画，设整个挂画总面积为ycm 2,金色纸边的宽为xcm,则y 与x 的关系式是 _______________________ .2 已知一个二次函数，当无=0时，y = Q ；当兀=一1时，y = ~；当x = 2时，y 二丄，8 2 求这个二次函数的解析式。

华东师大版数学九年级下册第26章二次函数单元测试题一、选择题1．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( )A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋22．把抛物线y＝－x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的抛物线所对应的函数表达式为( )A．y＝－(x＋1)2＋3 B．y＝－(x＋1)2－3C．y＝－(x－1)2＋3 D．y＝－(x－1)2－33. 二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表：x …－5 －4 －3 －2 －1 0 …y … 4 0 －2 －2 0 4 …下列说法正确的是()A．抛物线的开口向下B．当x＞－3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是－2D．抛物线的对称轴是x＝－5 24．若抛物线y＝2x2＋3上有三点A(1，y1)，B(5，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( )A．y2＜y1＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y15．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是( )A．－1＜x＜5 B．x＜－1且x＞5 C．x＜－1或x＞5 D．x＞56．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价( )A．5元 B．10元 C．15元 D．20元7．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为( )A．－3 B．3 C．－9 D．08．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：①abc＜0；②2a＋b＝0；③a－b＋c＞0；④4a－2b＋c＜0.其中正确的是( )A．①② B．只有① C．③④ D．①④9. 如图，坐标平面上，二次函数y＝－x2＋4x－k的图形与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0.若△ABC与△ABD的面积比为1∶4，则k值为何？()A．1 B. 12 C.43 D.4510．如图，正方形ABCD的边长为3 cm，动点P从B点出发以3 cm/s的速度沿着边BC－CD－DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发以1 cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动，设P点运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象是( )二、填空题11．已知函数y＝(m－1)xm2＋1＋4x－3是二次函数，则该二次函数图象的顶点是______________．12．用一根长为12 cm的细铁丝围成一个矩形，则围成的矩形中，面积最大为_________．13．已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是___________．14．某学习小组为了探究函数y＝x2－|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列x…－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 …y… 2 0.75 0 －0.25 0 －0.25 0 m 2 …15.如图，二次函数y＝23x2－13x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A(－1，m)，B(n，n)，直线AB与y轴交于点C，则△AOB的面积是____．16．如图，隧道的截面是抛物线，且抛物线的表达式为y＝－18x2＋3.5，一辆车高 2.5m，宽4 m，该车____通过该隧道．(填“能”或“不能”)17．某校的围墙上端由一段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图．其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏AB之间，按相同的间距0.2 m用5根立柱加固，拱高OC为0.6 m，则一段栅栏所需立柱的总长度是______．(精确到0.1 m)18. 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)经过点(－1，0)和(m，0)，且1＜m＜2，当x＜－1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a＋b＞0；③若点A(－3，y1)，点B(3，y2)都在抛物线上，则y1＜y2；④a(m－1)＋b＝0；⑤若c≤－1，则b2－4ac≤4a.其中结论错误的是________．(只填写序号)三、解答题19．已知抛物线y＝x2＋bx＋6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为(3，0)，与y轴相交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)求△ABC的面积．20．抛物线y＝x2－2x＋c经过点(2，1)．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)将抛物线y＝x2－2x＋c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A，B两点，如果AB＝2，求新抛物线的表达式．21．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．(1)求m的值和二次函数的表达式；(2)求二次函数图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；(3)请直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．22. 某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20千克．(1)设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；(2)若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？23．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.如图，矩形EFGH的边GH在BC 边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点K.(1)求EFAK的值；(2)设EH＝x，矩形EFGH的面积为S.求S与x的函数表达式，并求S的最大值．24．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下面的宽度为20 m，拱顶距离水面4 m.(1)在如图的直角坐标系中，求出该抛物线所对应的二次函数表达式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时桥下水面的宽度为d(m)，试求d与h之间的函数关系式；(3)设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18 m．问：水深超过多少时，就会影响过往船只在桥下顺利航行？25. 已知，m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，如图所示．(1)求这个抛物线的表达式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．答案:一、1---10 DADCC ABDDC二、11. (1，－1)12. 9cm213. k≤414. 0.7515. 216. 能17. 2.3m18. ③⑤点拨：易得①的结论正确；∵抛物线过点(－1，0)和(m，0)，且1＜m＜2，∴0＜－b2a＜1 2，∴12＋b2a＝a＋b2a＞0，∴a＋b＞0，所以②的结论正确；∵点A(－3，y1)到对称轴的距离比点B(3，y2)到对称轴的距离远，∴y1＞y2，所以③的结论错误；∵抛物线过点(－1，0)，(m，0)，∴a－b＋c＝0，am2＋bm＋c＝0，∴am2－a＋bm＋b＝0，a(m＋1)(m－1)＋b(m＋1)＝0，∴a(m－1)＋b＝0，所以④的结论正确；∵4ac－b24a＜c，而c≤－1，∴4ac－b24a＜－1，∴b2－4ac＞4a，所以⑤的结论错误三、19. 解：(1)y＝x2－5x＋6 (2)∵抛物线的表达式y＝x2－5x＋6，∴A(2，0)，B(3，0)，C(0，6)，∴S△ABC ＝12×1×6＝320. 解：(1)把(2，1)代入y＝x2－2x＋c得4－4＋c＝1，解得c＝1，所以抛物线表达式为y＝x2－2x＋1，顶点坐标为(1，0) (2)y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，抛物线的对称轴为直线x＝1，而新抛物线与x轴交于A，B两点，AB＝2，所以A(0，0)，B(2，0)，所以新抛物线的表达式为y＝x(x－2)，即y＝x2－2x21. 解：(1)m＝－1，y2＝x2－2x－3 (2)C(1，－4)，当x≤1时，y随x 的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大(3)－1＜x＜222. 解：(1)根据题意得y＝(200＋20x)(6－x)＝－20x2－80x＋1200 (2)令y＝－20x2－80x＋1200中y＝960，则有960＝－20x2－80x＋1200，即x2＋4x－12＝0，解得x＝－6(舍去)或x＝2.答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元23. 解：(1)EFAK＝BCAD＝32(2)由(1)知EF8－x＝32，∴EF＝12－32x，∴S＝EH·EF＝12x－32x2＝－32(x－4)2＋24，当x＝4时，Smax＝2424. 解：(1)设抛物线所对应的表达式为y＝ax2，把(－10，－4)代入得y＝－125x2(2)由(1)得y＝－125x2，将(d2，－4＋h)代入得－4＋h＝－125(d2)2，求得d＝104－h (3)当x＝9时，y＝－125×92＝－8125，∴4＋2－8125＝6925，即当水深超过6925m时，就会影响船只在桥下顺利航行25. 解：(1)∵m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m＝－1，n ＝－3，∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A(m ，0)，B(0，n)．∴⎩⎨⎧1－b ＋c ＝0，c ＝－3，∴⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝－3，∴抛物线表达式为y ＝x 2－2x －3 (2)令y ＝0，则x 2－2x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3，∴C(3，0)，∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴顶点坐标D(1，－4)，过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB ＝OC ＝3，∴BE ＝DE ＝1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝∠DBE ＝45°，∴∠CBD ＝90°，∴△BCD 是直角三角形(3)如图，∵B(0，－3)，C(3，0)，∴直线BC 表达式为y ＝x －3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P(t ，t －3)，M(t ，t 2－2t －3)，过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵PQ ＝2，QF ＝1，当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM ＝t －3－(t 2－2t －3)＝－t 2＋3t ，∴S ＝12PM ·QF ＝12(－t 2＋3t)＝－12t 2＋32t ；当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t ＞3时，PM ＝t 2－2t －3－(t －3)，∴S ＝12PM ·QF ＝12(t 2－3t)＝12t 2－32t。

华东师大版九年级数学下册第26章二次函数章末单元复习提高练习题一、选择题1.抛物线y＝(x－1)2＋3的顶点坐标是(A)A.(1，3)B.(－1，3)C.(－1，－3)D.(1，－3)2.下列关于二次函数y＝－x2－4x＋4的图象与性质的说法中，正确的是(D)A.该抛物线与y轴的交点坐标是(0，－4)B.当x＝2时，该函数有最大值8C.该抛物线与x轴没有交点D.当x＞－2时，y随x的增大而减小3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P(a，bc)在(C)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确是(C)A.abc＞0B.2a＋b<0C.3a＋c<0D.ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根5.一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的表达式为(B)A.y＝－2(x－1)2＋3B.y＝－2(x＋1)2＋3C.y＝－(2x＋1)2＋3D.y＝－(2x－1)2＋36.若抛物线y＝mx2－8x－8和x轴有交点，则m的取值范围是(C)A.m＞－2B.m≥－2C.m≥－2且m≠0D.m＞－2且m≠07.若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是(B)A.y1＞y2＞y3B.y1＞y3＞y2C.y2＞y1＞y3D.y3＞y1＞y28.已知二次函数y ＝－x 2＋2bx ＋c ，当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是(D)A.b>1B.b<1C.b≥1D.b≤19.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0).下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(B)A.10 mB.15 mC.20 mD.22.5 m10.小轩从如图所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a＋b ＋c＜0；③b＋2c ＞0；④4ac－b 2＞0；⑤a＝32b.你认为其中正确信息的个数为(B)A.2B.3C.4D.5二、填空题11.将抛物线y ＝－5x 2先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，可以得到新的抛物线是：y ＝－5x 2－50x －128.12.已知点A(－2，m)，B(2，n)都在抛物线y ＝x 2＋2x －t 上，则m 与n 的大小关系是m ＜n.(填“＞”“＜”或“＝”)13.已知二次函数的图象过A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(4，0)，点C 在y 轴正半轴上，且AB ＝OC ，则二次函数的表达式为y ＝－54(x ＋1)(x －4). 14.如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A ，B 两点，桥拱最高点C 到AB 的距离为9 m ，AB ＝36 m ，D ，E 为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E 到直线AB 的距离为7 m ，则DE 的长为48m.15.若抛物线y ＝x 2－2x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m 的值为1.16.如图，直线y ＝mx ＋n 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x 的不等式mx ＋n ＜ax 2＋bx ＋c 的解集是－1＜x ＜4.17.已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3，当－2≤x≤2时，对应的函数值y 的取值范围为－5≤y≤4.18.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式y<0的解集是x>5或x<－1.19.已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝5的一个根是2，且二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝2，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，5).20.如图1，点E ，F ，G 分别是等边三角形ABC 三边AB ，BC ，CA 上的动点，且始终保持AE ＝BF ＝CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，y 关于x 的函数图象大致为图2所示，则等边三角形ABC 的边长为2.三、解答题21.如图，已知抛物线y ＝12x 2－4x ＋7与直线y ＝12x 交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧). (1)求A ，B 两点的坐标；(2)求抛物线顶点C 的坐标，并求△ABC 的面积.解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2－4x ＋7，y ＝12x.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝72. ∴A(2，1)，B(7，72). (2)∵y＝12x 2－4x ＋7＝12(x －4)2－1， ∴顶点坐标为C(4，－1).过点C 作CD∥x 轴交直线AB 于点D.∵y＝12x ，令y ＝－1，则12x ＝－1， 解得x ＝－2.∴D(－2，－1).∴CD＝6.∴S △ABC ＝S △BCD －S △ACD＝12×6×(72＋1)－12×6×(1＋1) ＝7.5.22.如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 互相垂直，AC ＋BD ＝10，当AC ，BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？最大是多少？解：设AC ＝x ，四边形ABCD 面积为S ，则BD ＝10－x ，S ＝12x(10－x)＝－12x 2＋5x ＝－12(x －5)2＋252. ∵－12＜0，∴抛物线开口向下. ∴当x ＝5时，S 最大＝252， 即当AC ＝5，BD ＝5时，四边形ABCD 的面积最大，最大值为252.23.由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品.某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元.经过一段时间的销售发现，每月的销售量y(台)与销售单价x(元)的关系为y ＝－2x ＋1 000.(1)该公司每月的利润为w 元，写出利润w 与销售单价x 的函数关系式；(2)若要使每月的利润为40 000元，销售单价应定为多少元？(3)公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？ 解：(1)由题意得：w ＝(x －200)y ＝(x －200)(－2x ＋1 000)＝－2x 2＋1 400x －200 000.(2)令w ＝－2x 2＋1 400x －200 000＝40 000，解得x ＝300或x ＝400，故要使每月的利润为40 000元，销售单价应定为300元或400元.(3)w ＝－2x 2＋1 400x －200 000＝－2(x －350)2＋45 000，当x ＝250时，w ＝－2×2502＋1 400×250－200 000＝25 000.故最高利润为45 000元，最低利润为25 000元.24.如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中A 点坐标为(－3，0)，与y 轴交于点C ，点D(－2，－3)在抛物线上.(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P ，求出PA ＋PD 的最小值；(3)若抛物线上有一动点P ，使△ABP 的面积为6，求P 点坐标.解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－3，0)，D(－2，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9－3b ＋c ＝0，4－2b ＋c ＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－3. ∴二次函数的表达式为y ＝x 2＋2x －3.(2)∵抛物线对称轴为直线x ＝－1，D(－2，－3)，C(0，－3)，∴C，D 关于直线x ＝－1对称，连结AC 与对称轴的交点就是点P.此时PA ＋PD ＝PA ＋PC ＝AC ＝OA 2＋OC 2＝32＋32＝3 2.(3)设点P 的坐标为(m ，m 2＋2m －3)，令x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1.∴点B 的坐标为(1，0).∴AB＝4.∵S △PAB ＝6，∴12×4·|m 2＋2m －3|＝6. ∴m 2＋2m －6＝0或m 2＋2m ＝0.∴m＝0或－2或－1＋7或－1－7.∴点P 的坐标为(0，－3)或(－2，－3)或(－1＋7，3)或(－1－7，3)..25.(1)已知点P(x ，y)，A(0，1)，直线l ：y ＝－1，连结AP ，若点P 到直线l 的距离与PA 的长相等，请求出y 与x 的关系式；(2)若将(1)中A 点坐标改为(1，0)，直线l 变为x ＝－1，试求出y 与x 的关系式，并在平面直角坐标系中利用描点法画出其图象，你能发现什么？解：(1)∵P(x，y)，A(0，1)， ∴PA＝x 2＋（y －1）2.∵P(x，y)，直线l ：y ＝－1，∴点P 到直线l 的距离为|y ＋1|.∵点P 到直线l 的距离与PA 的长相等， ∴x 2＋（y －1）2＝|y ＋1|，化简，得y ＝14x 2. (2)∵P(x，y)，A(1，0)，∴PA＝（x －1）2＋y 2.∵P(x，y)，直线l ：x ＝－1，∴点P 到直线l 的距离为|x ＋1|.∵点P 到直线l 的距离与PA 的长相等， ∴（x －1）2＋y 2＝|x ＋1|.化简，得x ＝14y 2. 利用描点法作出图象如图所示.发现：该图象为开口向右的抛物线.。

华东师大版初三数学下册同步练习：26一、选择题1．下列函数：①y＝x2＋1；②y＝1x2＋1；③y＝x2＋1；④y＝x＋1；⑤y＝(x＋1)2－x2；⑥y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)；⑦y＝3(x－1)2＋1；⑧y＝x＋1x；⑨y＝1x2＋x.其中y是x的二次函数的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是()A．1，－3，5 B．1，3，5 C．5，3，1 D．5，－3，13．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有()①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系；②x个球队参加竞赛，每两个队之间竞赛一场，则竞赛的场次y与x之间的函数关系；③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系；④若一辆汽车以120 km/h的速度匀速行驶，则汽车行驶的里程y(km)与行驶时刻x(h)之间的函数关系．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若函数y＝(a－1)xa2＋1＋x－3是关于x的二次函数，则a的值是( )A．1 B．－1 C．±1 D．05．若等边三角形的边长为x，则它的面积y与x之间的函数关系式是( )A．y＝12x(x＞0) B．y＝32x2(x＞0)C．y＝34x2(x＞0) D．y＝33x2(x＞0)6．共享单车为市民出行带来了方便．某单车公司第一个月投放a辆单车，打算第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x之间的函数关系式是() A．y＝a(1＋x)2 B．y＝a(1－x)2C ．y ＝(1－x)2＋aD ．y ＝x2＋a7．某种品牌服装的进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查发觉，每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，则y 关于x 的函数关系式为( )A ．y ＝－12x2＋10x ＋1200(0≤x<60)B ．y ＝－12x2－10x ＋1250(0<x<60)C ．y ＝－12x2＋10x ＋1250(0<x<60)D ．y ＝－12x2＋10x ＋1250(x ≤60)二、填空题8．下列属于二次函数的有________．(填序号) (1)S ＝πR2；(2)C ＝2πR ；(3)V ＝a3；(4)S ＝12ab ；(5)d ＝n （n －2）2. 链接听课例1归纳总结9．将二次函数y ＝2(x ＋1)2－3化为一样形式为________________．10．已知二次函数y ＝x2＋kx －8，当x ＝2时，y ＝－8，则k ＝________．11．(1)已知关于x 的函数y ＝(m2－m)x2＋(m －1)x ＋m ＋1，若那个函数是二次函数，则m________；(2)已知函数y ＝(k ＋2)xk2＋k －4是关于x 的二次函数，则k ＝________．12．2021·常德如图K －1－1，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形ABCD 的边上．若设AE ＝x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式为________．图K －1－113．某产品每件的成本为10元，试销时期每件产品的销售单价x(元/件)与日销售量y(件)之间的关系如下表．按照如此的规律可得，日销售利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式是________(不必写出自变量的取值范畴)．三、解答题14．依照下面的条件列出函数关系式(不要求写出自变量的取值范畴)，并判定列出的函数是不是二次函数．(1)假如两个数中，一个数比另一个数大5，那么这两个数的乘积p是较大的数m的函数；(2)一个半径为10 cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余部分的面积S(cm2)是方孔边长x(cm)的函数；(3)有一块长为60 m，宽为40 m的矩形绿地，打算在它的四周相同的宽度内种植草坪，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S(m2)是草坪宽度a(m)的函数.链接听课例1归纳总结15．若函数y＝(a－1)xb＋1＋x2＋1是关于x的二次函数，试讨论a，b 的取值范畴．16．如图K－1－2，在正方形ABCD中，AB＝2，M为正方形ABCD 的边CD上的动点(与点C，D不重合)，连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交于点F.设CM＝x，△MDF的面积为y，求y与x之间的函数关系式．(不必写出自变量的取值范畴，提示：在BC上截取CH＝CM，连接MH)图K－1－217．快乐果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.2021年快乐果园预备多种一些橙子树以提高产量，然而假如多种树，那么树与树之间的距离就会减小，每一棵树所接收的阳光也会减少．依照体会估量，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量？(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)假假如园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范畴)．(4)依照(3)观看表中的数字，你明白增种多少棵橙子树，能够使果园橙子的总产量最多吗？链接听课例2归纳总结1．[解析] B ①和⑦符合题意．2．[解析] D ∵函数y ＝1－3x ＋5x2是二次函数，∴a ＝5，b ＝－3，c ＝1.3．[解析] C ①依题意，得y ＝x2，属于二次函数关系，故符合题意；②依题意，得y ＝12x(x －1)＝12x2－12x ，属于二次函数关系，故符合题意；③依题意，得y ＝6x2，属于二次函数关系，故符合题意；④依题意，得y ＝120x ，属于一次函数关系，故不符合题意．综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．4．[解析] B 依题意，得a2＋1＝2且a －1≠0，解得a ＝－1.故选B.5．[解析] C 由等边三角形的边长为x ，可求得它任意边上的高为32x ，因此它的面积y ＝12·x ·32x ＝34x2(x>0)．6．[解析] A 设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，依题意得第三个月投放单车a(1＋x)2辆，则y ＝a(1＋x)2，故选A.7．[解析] A 由题意，得y ＝(210－150－x)×⎝ ⎛⎭⎪⎫20＋12x ＝－12x2＋10x ＋1200(0≤x<60)．8．[答案] (1)(5)9．[答案] y ＝2x2＋4x －110．[答案] －211．[答案] (1)≠0且m ≠1 (2)2或－3[解析] (1)要使函数是二次函数，则二次项系数不能等于零. ∵m2－m ≠0，∴m ≠0且m ≠1，即当m ≠0且m ≠1时，那个函数是二次函数．(2)由题意可得k2＋k －4＝2且 k ＋2≠0，解得k ＝2或k ＝－3.12．[答案] y ＝2x2－4x ＋4(0<x<2)[解析] 如图所示，∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝2，∴∠1＋∠2＝90°.∵四边形EFGH为正方形，∴∠HEF＝90°，EH＝EF，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3，∴△AHE≌△BEF，∴AE＝BF＝x，AH＝BE＝2－x.在Rt△AHE中，由勾股定理，得EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(2－x)2＝2x2－4x＋4，即y＝2x2－4x＋4(0＜x ＜2)．故答案为y＝2x2－4x＋4(0<x<2)．13．[答案] w＝－10x2＋500x－4000[解析] 由表中数据易得y与x之间的函数关系式为y＝250－10(x－15)＝－10x＋400，故日销售利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式为w＝(x－1 0)y＝(x－10)(－10x＋400)＝－10x2＋500x－4000.14．解：(1)这两个数的乘积p与较大的数m之间的函数关系式为p＝m(m－5)＝m2－5m，是二次函数．(2)剩余部分的面积S(m2)与方孔边长x(cm)之间的函数关系式为S＝10 0π－4x2，是二次函数．(3)郁金香的种植面积S(m2)与草坪宽度a(m)之间的函数关系式为S＝(6 0－2a)(40－2a)＝4a2－200a＋2400，是二次函数．15．解：①由b＋1＝2，解得b＝1，由a－1＋1≠0，解得a≠0.∴当a≠0，b＝1时，函数是关于x的二次函数．②由b＋1＝1或b＋1＝0，得b＝0或b＝－1，∴当b＝0或b＝－1，a取全体实数时，函数是关于x的二次函数．③当a ＝1，b 为全体实数时，y ＝x2＋1是二次函数．16．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ＝BC ，∠C ＝∠CDA ＝90°＝∠ADE.∵DF 平分∠ADE ，∴∠ADF ＝12∠ADE ＝45°，∴∠MDF ＝90°＋45°＝135°.如图，在BC 上截取CH ＝CM ，连接MH ，则△MCH 是等腰直角三角形，BH ＝MD ，∴∠CHM ＝∠CMH ＝45°，∴∠BHM ＝135°，∴∠1＋∠BMH ＝45°，∠BHM ＝∠MDF.∵MF ⊥BM ，∴∠FMB ＝90°，∴∠2＋∠BMH ＝45°，∴∠1＝∠2.在△BHM 与△MDF 中，∵∠1＝∠2，BH ＝MD ，∠BHM ＝∠MDF ，∴△BHM ≌△MDF ，∴BH ＝MD ＝2－x ，S △MDF ＝S △BHM ，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝12x(2－x)＝－12x2＋x.17．解：(1)变量有果园里面的橙子树的棵数和果园的总产量．(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有(100＋x)棵橙子树，这时平均每棵树结(600－5x)个橙子．(3)果园橙子的总产量y ＝(100＋x)(600－5x)＝－5x2＋100x ＋60000.(4)由上表可知，当x 取10时，y 取得最大值，即增种10棵橙子树时，能够使果园橙子的总产量最多．[素养提升] [答案] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x2＋8（0≤x ≤4），－12x2＋8x －24（4＜x ≤8）[解析] 在点P ，Q 的运动过程中，当0≤x ≤4时，y ＝S △ABD －S △A PQ ＝12×4×4－12x2＝－12x2＋8；当4＜x ≤8时，y ＝S △CBD －S △CPQ ＝12×4×4－12(8－x)2＝－12x2＋8x －24.。