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26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一、单选题1．抛物线，，共有的性质是（）A．开口方向相同B．开口大小相同C．当时，随的增大而增大D．对称轴相同2．下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③，④y＝3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是( )A．③①②④B．②③①④C．④②①③D．④①③②3．函数y＝kx﹣k与y＝kx2的图象大致是( )A．B．C．D．4．若抛物线的开口向下，则m的值为( )A．B．C．3D．﹣35．对于抛物线y＝x2与y＝﹣x2，下列命题中错误的是( )A．两条抛物线关于x轴对称B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线各自关于y轴对称D．两条抛物线没有公共点6．下列函数中,当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（）A．y= x B．y=C．y=x-1D．y=x27．已知原点是抛物线y＝(m＋1)x2的最高点，则m的范围是( )A．m＜－1B．m＜1C．m＞－1D．m＞－28．如图，分别过点P n(n，0)(n为正整数)作x轴的垂线，交二次函数(x＞0)的图象于点A n，交直线(x＞0)于点B n，则的值为（）A．B．2C．D．二、填空题9．抛物线在y轴的左侧部分是________的．（填“上升”或“下降”）10．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为_____．11．二次函数，点在函数图象上，当时，(填“﹥”或“﹤”)．12．二次函数的图象开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是______．13．二次函数有最低点，则m=__________三、解答题14．若二次函数的图象开口向下，求m的值．晓丽的解题过程如下：（解）∵是二次函数，（第一步）∴，解得或．（第二步）请问晓丽的解题过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误，写出正确的解题过程．15．在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象并回答下列问题：x…01………………………（1）抛物线的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______；（2）抛物线与抛物线的图象关于______轴对称；（3）抛物线，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点．16．已知是关于x的二次函数.(1)求满足条件的k的值；(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？参考答案1．D解析：分别利用二次函数的性质判断开口方向，得出最值以及增减性，进而判断即可．∵抛物线，，中的＞0,8＞0，-5＜0，不相等，故开口方向和大小不同，A,B错误；∵中，当时，随的增大而减小，故C错误；∵抛物线，，的对称轴都是轴，故D正确故选D.【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．2．A解析：二次函数的解析式中a的绝对值越小，开口方向越大，根据以上特点得出即可．解：∵1＜|﹣2|＜3，∴抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④，故选：A．【点拨】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：二次函数的解析式中，a的绝对值越小，开口方向越大．3．B解析：由选项中的二次函数图象可得k＞0，可判定出一次函数的正确图象．解：由选项中的二次函数图象可得k＞0，所以y＝kx﹣k过一，三，四象限．故选：B．【点拨】本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，解题的关键是熟记二次函数及一次函数的图象的特征．4．B解析：根据二次函数的二次项的系数小于零开口向下，二次项的次数为二，可得方程，根据解方程，可得答案．解：的开口向下，∴且，∴且m＜﹣3，∴m＝，故选：B．【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数开口向下，可得二次项的系数小于0，指数是二次，注意把不符合条件的舍去．5．D解析：把抛物线y=x2沿x轴对称得到抛物线y=-x2；或把抛物线y=x2沿原点旋转180°得到抛物线y=-x2，则可对A.C进行判断；利用二次函数的性质对B.D进行判断．解：两个函数的顶点坐标都是(0，0)，二次项的系数互为相反数，说明一个开口向上，一个开口向下．故两条抛物线的交点为原点，两条抛物线关于x轴对称且两条抛物线关于原点对称．故选：D．【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数决定抛物线的开口方向及大小是解题的关键，注意数形结合．6．B解析：根据题意x＞0时，y值随x值增大而减小，选择合适的函数满足条件即可.A.、正比例函数y=的图象在一、三象限内，y随x的增大而增大；故本选项错误；B.反比例函数y=中的1＞0，所以y随x的增大而减小；故本选项正确；C.一次函数y=x-1的图象，y随x的增大而增大；故本选项错误；D.二次函数y=x2的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞0时)，y随x的增大而增大；故本选项错误；故选B．【点拨】本题综合考查了二次函数、一次函数、正比例函数及反比例函数的性质．解答此题时，应牢记函数图象的单调性．7．A解析：∵原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，∴m+1＜0，即m＜-1．故选A．8．A解析：根据题意写出A n、B n的坐标，然后可得到，从而，然后进行计算即可．解：由题意可知A n、P n、B n的横坐标相同，∵P n(n，0)，∴B n(n，)，A n(n，)，∴，，∴故选：A．本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标，代数式的化简，得出是解题的关键．9．下降解析：根据的图象即可求解．∵a<0，开口向上∴抛物线在y轴的左侧部分是下降．故答案为下降．【点拨】此题主要考查二次函数的图象，解题的关键是熟知的图象特点．10．m＞1．解析：直接利用二次函数的性质得出m－1的取值范围进而得出答案．∵抛物线y=（m－1）x2有最低点，∴m－1＞0，解得：m＞1．故答案为：m＞1．【点拨】本题考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．11．＜解析：根据二次函数确定抛物线对称轴，开口方向，增减性，再结合已知条件即可求解．解：由二次函数得，抛物线对称轴为y轴，开口向下，y轴左侧，y随x增大而增大，再y轴右侧，y随x增大而减小，∴当时，＜．故答案为：＜【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟知特殊二次函数的性质是解题关键．12．开口向下y轴(0，0)根据二次函数的性质：当时，抛物线的开口向下，顶点式：，，是常数，，其中为顶点坐标，对称轴为：．解：函数中，∵，∴抛物线的开口向下，∵，∴对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)，故答案为：开口向下，y轴，(0，0)．【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键．13．2解析：根据函数为二次函数求出m，再根据函数有最低点，确定m取值范围，进而求出m即可．解：∵函数是二次函数，∴，∴，∵二次函数有最低点，∴m＞0，∴．故答案为：2【分析】本题考查了二次函数的概念和性质，熟知概念和性质是解题关键．14．晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误．正确的解题过程见解析．解析：根据二次函数的定义及开口方向进行求解判断即可．解：晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误．正确的解题过程如下：∵是二次函数，∴，解得或，∵抛物线图象开口向下，∴，解得，∴．【点拨】本题考查二次函数的定义与图象性质，熟练掌握定义及图象性质是解题的关键．15．列表、画图象，如图所示,见解析；（1）向上y轴向下y轴；（2）x；（3）≠> 低> 高．解析：根据画函数图象的步骤：列表，根据表中提示先填好表格的数，再描点，根据表中提供的对应数值作为点的坐标描点，最后用平滑的曲线连接各点可得函数的图象；（1）根据所画的与图象可得答案；（2）根据所画的与图象可得答案；（3）根据所画的与图象可得答案；列表如下：x…01……404……0……0……0…描点：将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点．连线：用平滑的曲线连接，如图所示：（1）根据所画的函数与的图象可得：抛物线的开口方向向上，对称轴是轴，顶点坐标是．抛物线的开口方向向下，对称轴是y轴，顶点坐标是；故答案为：向上y轴向下y轴（2）由图象可得：抛物线与抛物线的图象关于轴对称；故答案为：x．（3）由图象可得：抛物线，当x≠ 0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x>0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最低点．抛物线，当x>0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最高点．故答案为：≠> 低> 高．【点拨】本题考查的是画函数的图象，及根据图象总结函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．16．(1)k=±2； (2) 见解析； (3)见解析.解析：（1）直接利用二次函数定义得出符合题意的k的值；（2）抛物线有最低点，所以开口向上，k+1大于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质，即可得最低点的坐标和函数的单调区间；（3）函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，然后根据二次函数性质可求得最大值和函数单调区间．(1) 根据二次函数的定义得解得k=±2.∴当k=±2时，原函数是二次函数.(2) 根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，∴k+1＞0，即k＞-1，根据第(1)问得：k=2.∴该抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大.(3) 根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，∴k+1＜0，即k＜-1，根据第(1)问得：k=-2.∴该抛物线的解析式为，顶点坐标为(0，0)，∴当k=-2时，函数有最大值为0. 当x＞0时，y随x的增大而减小.【点拨】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质是解题关键，是基础题型．。
2017-2018学年（新课标）华东师大版九年级下册26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y的值随x的增大而减小3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，2）4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小6．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或27．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A．6 B．5 C．4 D．38．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）A．y轴B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3二．填空题（共6小题）9．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是_________ ．10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是_________ （填“上升”或“下降”）．11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是_________ ．12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线_________ ．13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是_________ ．14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m= _________ ．三．解答题（共6小题）15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．18．如图，已知抛物线y=x 2﹣x ﹣6，与x 轴交于点A 和B ，点A 在点B 的左边，与y 轴的交点为C ．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin ∠OCB 的值；（3）若点P （m ，m ）在该抛物线上，求m 的值．19．若二次函数y=a 1x 2+b 1x+c 1的图象记为C 1，其顶点为A ，二次函数y=a 2x 2+b 2x+c 2的图象记为C 2，其顶点为B ，且满足点A 在C 2上，点B 在C 1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有 _________ 个；（2）①求二次函数y=x 2+3x+2与x 轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y=x 2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a 1与a 2满足的数量关系．20．已知二次函数y=﹣x 2+2x+3图象的对称轴为直线．（1）请求出该函数图象的对称轴；（2）在坐标系内作出该函数的图象；（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：二次函数的性质．分析：先根据题意判断出二次函数的对称轴方程，再令x=0求出y的值，进而可得出结论．解答：解：∵二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0）的对称轴为直线x=﹣=﹣=＞0，∴其顶点坐标在第一或四象限，∵当x=0时，y=2，∴抛物线一定经过第二象限，∴此函数的图象一定不经过第三象限．故选C．点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．2抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y的值随x的增大而减小考点：二次函数的性质．分析：结合抛物线的解析式和二次函数的性质，逐项判断即可．解答：解：∵y=2x2，y=x2开口向上，∴A不正确，∵y=﹣2x2，开口向下，∴有最高点，∴C不正确，∵在对称轴两侧的增减性不同，∴D不正确，∵三个抛物线中都不含有一次项，∴其对称轴为y轴，∴B正确，故选B．点评：本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、最值、增减性等基础知识是解题的关键．3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，2）考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的顶点式可求得其顶点坐标．解答：解：∵y=2x2+1=2（x﹣0）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（0，1），故选B．点评：本题主要考查抛物线的顶点坐标，掌握顶点式方程y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点考点：二次函数的性质．专题：常规题型．分析：根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．解答：解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向下．5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．6．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A． 0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2考点：二次函数的性质．专题：数形结合；分类讨论；方程思想．分析：分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数．解答：解：分三种情况：点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0．故方程x2+bx+c=1的解的个数是0，1或2．故选：D．点评：考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．7．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A． 6 B．5 C．4 D． 3考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．故选：D．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．8．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）A． y轴B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的顶点式y=（x﹣h）2+k，对称轴为直线x=h，得出即可．解答：解：抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是直线x=1．故选：C．点评：本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易忽略的地方．二．填空题（共6小题）9．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是 1 ．考点：二次函数的性质．分析：由对称轴是y轴可知一次项系数为0，可求得m的值．解答：解：∵y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，∴m﹣1=0，解得m=1，故答案为：1．点评：本题主要考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴为y轴其一次项系数为0是解题的关键．10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是上升（填“上升”或“下降”）．考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．解答：解：∵y=2x2﹣1，∴其对称轴为y轴，且开口向上，∴在y轴右侧，y随x增大而增大，∴其图象在y轴右侧部分是上升，故答案为：上升．点评：本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是直线x=2 ．考点：二次函数的性质．分析：根据点A、B的纵坐标相等判断出A、B关于对称轴对称，然后列式计算即可得解．解答：解：∵点A（0，5）、B（4，5）的纵坐标都是5相同，∴抛物线的对称轴为直线x==2．故答案为：直线x=2．点评：本题考查了二次函数的性质，观察出A、B是对称点是解题的关键．12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线x=2 ．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．解答：解：对称轴为直线x=﹣=﹣=2，即直线x=2．故答案为：x=2．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴公式，需熟记．13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是a＜﹣3 ．考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限可以确定不等式的开口方向，从而确定a的取值范围．解答：解：∵抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3，故答案为：a＜﹣3．点评：考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限．14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m= 8 ．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的对称轴公式列方程求解即可．解答：解：由题意得，﹣=2，解得m=8．故答案为：8．点评：本题考查了二次函数的性质，熟记对称轴的求法是解题的关键．三．解答题（共6小题）15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．考点：二次函数的图象．分析：首先利用描点法作出y=2x2的图象，然后向上移动1个单位得到y=2x2+1的图象即可；解答：解：列表得：﹣2 ﹣1 0 1 2y=2x28 2 0 2 8y=2x2+1 9 3 1 3 9点评：本题考查了二次函数的图象，解题的关键是正确的列表、描点．16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣（x ﹣1）2+的顶点．解答：解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A （2，0）．解得：h=1，a=﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′点的坐标为（1，），∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．考点：二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．分析：（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得答案；（2）根据函数值为0，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得m的值，根据m的值，可得代数式的值．解答：解：A、y=x2﹣x﹣1=x2﹣x+﹣1﹣=（x﹣）2﹣，顶点坐标是（，﹣），对称轴是x=；（2）当y=0时x2﹣x﹣1=0，解得x=，x=，当m=时，m2+=（）2+===3，当m=时，m2+=（）2===3，m2+=3．点评：本题考查了二次函数的性质，配方法的顶点式解析式，函数值为0时得一元二次方程，注意把符合条件的分别代入求值．18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．考点：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．分析：（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得抛物线的顶点；（2）根据函数值为0，可得B点坐标，根据自变量为0，可得C点坐标，根据勾股定理，可得BC的长，根据正弦的意义，可得答案；（3）根据图象上的点的坐标满足函数解析式，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．解答：解：（1）∵，∴抛物线的顶点坐标为（，）；（2）令x 2﹣x ﹣6=0，解得x 1=﹣2，x 2=3，∴点B 的坐标为（3，0），又点C 的坐标为（0，﹣6）， ∴，∴；（3）∵点P （m ，m ）在这个二次函数的图象上， ∴m 2﹣m ﹣6=m ， 即m 2﹣2m ﹣6=0， 解得，．点评：本题考查了二次函数的性质，配方法可把一般式转化成顶点式，图象上点的坐标满足函数解析式．19．若二次函数y=a 1x 2+b 1x+c 1的图象记为C 1，其顶点为A ，二次函数y=a 2x 2+b 2x+c 2的图象记为C 2，其顶点为B ，且满足点A 在C 2上，点B 在C 1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有 无数 个； （2）①求二次函数y=x 2+3x+2与x 轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y=x 2+3x+2的“伴侣二次函数”． （3）试探究a 1与a 2满足的数量关系． 考点： 二次函数的性质． 专题： 新定义．分析：（1）根据伴侣二次函数的定义，可得答案；（2）①根据函数值为0，可得函数与x 轴的交点的横坐标就是，可得答案；②根据伴侣二次函数的定义，顶点坐标，可得伴侣二次函数；（3）根据伴侣二次函数的顶点在对方的图象上，二元一次方程组，根据解方程组，可得答案． 解答：解：（1）无数；（2）①令y=0，即x 2+3x+2=0． 解得：x 1=﹣1，x 2=﹣2．∴二次函数y=x 2+3x+2与x 轴的交点坐标为（﹣2，0），（﹣1，0）． （3分） ②∵y=x 2+3x+2=（x+）2﹣∴顶点坐标为（﹣，﹣）．设以（﹣2，0）为顶点且经过（﹣，﹣）的抛物线的函数关系式为 y=a （x+2）2，将x=﹣，y=﹣代入y=a （x+2）2得 a=﹣1．∴二次函数y=x 2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为 y=﹣（x+2）2=﹣x 2﹣4x ﹣4，同理可求以（﹣1，0）为顶点且经过（﹣，﹣）的抛物线的函数关系式． 即二次函数y=x 2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为 y=﹣（x+1）2=﹣x 2﹣2x ﹣1；（3）设y=a 1（x+m ）2+n ，其顶点为（﹣m ，n ）； y=a 2（x+h ）2+k ，其顶点为（﹣h ，k ）． 根据“伴侣二次函数”定义可得∴a 1（﹣h+m ）2=﹣a 2（﹣m+h ）2． 当﹣h ≠m 时，a 1=﹣a 2当﹣h=m 时，a 1、a 2为任意不为零的实数． 点评：本题考查了二次函数的性质，伴侣二次函数的顶点在对方的图象上是解题关键．20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．（1）请求出该函数图象的对称轴；（2）在坐标系内作出该函数的图象；（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．考点：二次函数的性质；二次函数的图象．分析：（1）根据对称轴的公式，可得答案；（2）根据画函数图象的方法，可得抛物线的图象；（3）根据直线与抛物线相切，可得交点是一个，可得答案．解答：解：（1）；（2）图象（3）因为抛物线的对称轴是x=1，点p （1，5）当过点p 且与y 轴平行的直线满足与抛物线只有一个交点所以直线x=1为所求直线当过点p 的直线不与y 轴平行时，设直线的解析式为y=kx+b ，令﹣x 2+2x+3=kx+b整理得﹣x 2+（2﹣k ）x+3﹣b=0由题意得△=（2﹣k ）2+4（3﹣b ）=0 即：k 2﹣4k+16﹣4b=0又因为y=kx+b ，过点p （1，5）所以5=k+b所以k 2﹣4=0解得k=±2，当k=2时，b=3；当k=﹣2时，b=7所以解析式为y 1=2x+3，y 2=﹣2x+7，所以满足条件的直线有三条：直线x=1；y 1=2x+3，y 2=﹣2x+7．点评： 本题考查了二次函数的性质，a ＜0时，图象开口向下，对称轴是x=﹣．。
26.2二次函数的图像与性质同步练习一．选择题1．抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标是（）A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（﹣2，0）D．（﹣2，0）、（1，0）2．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（）A．x＝﹣3B．x＝﹣1C．x＝﹣2D．x＝43．A（﹣2，y1）B（1，y2）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的两点，则y1，y2的大小关系（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y2＞y1D．无法判断4．下列对二次函数y＝2（x﹣1）2的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．在对称轴左侧y随x的增大而增大D．顶点（1，0）5．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，且此图象过A（﹣1，1）、B（2，﹣1）两点，则结论正确的是（）A．y的最大值小于0B．当x＝3时，y的值小于0C．当x＝1时，y的值大于1D．当x＝0时，y的值大于16．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法不正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1）B．图象的对称轴在y轴的左侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．函数的最小值为﹣37．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的部分对应值列表如下：x…﹣2﹣1012…y…﹣2.5﹣5﹣2.5517.5…则代数式16a﹣4b+c的值为（）A．17.5B．5C．﹣5D．﹣17.58．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值是0，那么代数式|a|+4ac﹣b2的化简结果是（）A．a B．﹣a C．0D．19．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（2﹣m，n）、D（m，n）（y1≠n）则下列命题正确的是（）A．若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2B．若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＜|1﹣x2|C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＜0D．若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；③4a+2b+c＜0，④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＞m（am+b）（其中m）．其中说法正确的是（）A．①②④⑤B．①②④C．①④⑤D．③④⑤二．填空题11．二次函数y＝﹣x2+20x图象的对称轴是．12．如图，抛物线y＝x2与直线y＝x交于O，A两点，将抛物线沿射线OA方向平移个单位．在整个平移过程中，抛物线与直线x＝3交于点D，则点D经过的路程为．13．已知关于x的二次函数y＝mx2﹣2x+1，当x＜时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围为．14．当1≤x≤2时，二次函数y＝（x﹣h）2+3有最小值4，则h的取值为．15．如图，点A1、A2、A3、…、A n在抛物线y＝x2图象上，点B1、B2、B3、…、B n在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△A n B n﹣1B n都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2020B2019B2020的腰长＝．三．解答题16．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点．（1）求抛物线解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，请直接写出y的取值范围．17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…（1）根据以上信息，可知抛物线开口向；对称轴为；（2）直接写出抛物线的表达式．（3）请在图中画出所求的抛物线．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．（1）求抛物线的对称轴；（2）①过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m的取值范围．参考答案一．选择题1．解：令x＝0，则y＝﹣2，∴抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．故选：B．2．解：抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝2（x ﹣1+3）2﹣3，即y＝2（x+2）2﹣3，其对称轴是直线x＝﹣2．故选：C．3．解：∵A（﹣2，y1）B（1，y2）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的两点，∴y1＝﹣4+4+2＝2，y2＝﹣1﹣2+2＝﹣1，∴y1＞y2，故选：A．4．解：∵二次函数y＝2（x﹣1）2，∴该函数图象开口向上，故选项A错误；对称轴是直线x＝1，故选项B错误；在对称轴左侧y随x的增大而减小，故选项C错误；顶点坐标为（1，0），故选项D正确；故选：D．5．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（﹣1，1）、B（2，﹣1）两点，∴y的最大值大于1，故选项A错误；当x＝3时，y的值小于0，故选项B正确；当x＝1时，y的值小于1，故选项C错误；当x＝0时，y的值小于1，故选项D错误；故选：B．6．解：∵二次函数y＝2x2+4x﹣1，∴当x＝0时，y＝﹣1，即图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1），故选项A正确；该函数的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，即图象的对称轴在y轴的左侧，故选项B正确；当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故选项C不正确；该函数的最小值为＝﹣3，故选项D正确；故选：C．7．解：∵x＝0和x＝﹣2时y的值相同都是﹣2.5，∴点（﹣2，﹣2.5）和点（0，﹣2.5）关于二次函数的对称轴对称，∴对称轴为：x＝＝﹣1∴点（﹣4，17.5）和点（2，17.5）关于二次函数的对称轴对称，∴x＝﹣4时对应的函数值y＝17.5，∴16a﹣4b+c＝17.5故选：A．8．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最大值，∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的开口方向向下，即a＜0；又∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值是0，∴＝0，∴4ac﹣b2＝0，∴|a|+4ac﹣b2＝﹣a+0＝﹣a．故选：B．9．解：∵抛物线过点A（m，n），C（2﹣m，n）两点，∴抛物线的对称轴为x＝＝1，若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项A错误，若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＞|1﹣x2|，故选项B错误，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＞0，故选项C错误，若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD，故选项D正确．故选：D．10．解：①∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线x＝﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∴abc＜0．故①正确；②∵由①中知b＝﹣a，∴a+b＝0，故②正确；③∵抛物线经过点（2，0），∴当x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0．故③错误；④∵（﹣，y1）关于对称轴x＝的对称点的坐标是（，y1），又∵当x＞时，y随x的增大而减小，＜，∴y1＜y2．故④正确；⑤∵抛物线的对称轴x＝，∴当x＝时，y有最大值，∴a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠）．∵a＝﹣b，∴b＞m（am+b）（其中m≠），故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②④⑤．故选：A．二．填空题11．解：∵y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，∴二次函数图象的对称轴是直线x＝10．故答案为直线x＝10．12．解：由题意，抛物线沿着射线AB平移个单位时，向右平移4个单位，向上平移4个单位，设平移后的顶点为（a，a），则平移后的解析式为y＝（x﹣a）2+a，当x＝3时，y＝a2﹣5a+a2，∴a＝时，y有最小值，最小值＝，∵抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），此时D的坐标为（3，9），∴平移后抛物线的顶点坐标为（4，4），平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2+4，此时D′（3，5），∵点D经过的路径为D→M→D′，M（3，），∴路径长为：（9﹣）+（5﹣）＝，故答案为．13．解：由当x＜时，y的值随x的增大而减小可知，抛物线开口向上，m＞0，且对称轴≥，解得m≤5，故答案为：0＜m≤5．14．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤2，x＝1时，y取得最小值4，可得：（1﹣h）2+3＝4，解得：h＝0或h＝2（舍）；②若1≤x≤2＜h，当x＝2时，y取得最小值4，可得：（2﹣h）2+3＝4，解得：h＝3或h＝1（舍）；③若1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为3，不是4，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为0或3，故答案为：0或3．15．解：作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E．∵△A1B0B1、△A2B1B2都是等腰直角三角形，∴B1C＝B0C＝DB0＝A1D，B2E＝B1E．设A1（a，b），则a＝b，将其代入解析式y＝x2得：∴a＝a2，解得：a＝0（不符合题意）或a＝1，由勾股定理得：A1B0＝，∴B1B0＝2，过B1作B1N⊥A2F，设点A（x2，y2），可得A2N＝y2﹣2，B1N＝x2＝y2﹣2，又点A2在抛物线上，所以y2＝x22，（x2+2）＝x22，解得x2＝2，x2＝﹣1（不合题意舍去），∴A2B1＝2，同理可得：A3B2＝3，A4B3＝4，…∴A2020B2019＝2020，∴△A2020B2019B2020的腰长为：2020．故答案为2020．三．解答题16．解：（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）∵当x＝0时，y＝﹣3；当x＝3时，y＝x2﹣2x﹣3＝9﹣6﹣3＝0，∴当0＜x＜3时，y的取值范围为﹣4≤x＜0．17．解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；故答案为：上，直线x＝1；（2）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得：解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故答案为y＝x2﹣2x﹣3；（3）描点、连线画出抛物线图象如图：．18．解：（1）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1；（2）①把y＝2代入y＝mx2+2mx﹣3m+2得mx2+2mx﹣3m+2＝2，解得x＝1或﹣3，∴M（﹣3，2）；N（1，2）；②当抛物线开口向上时，如图1，抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，1），（﹣1，1），（0，1），将（﹣2，1）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝，将（﹣1，0）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝，结合图象可得＜m≤．当抛物线开口向下时，如图2，则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，3），（﹣1，3），（0，3），将（0，3）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝﹣，将（﹣1，4）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝﹣，结合图象可得﹣≤m＜﹣．综上，m的取值范围为．。
华师大新版九年级下学期《26.2 二次函数的图象与性质》2019年同步练习卷一．选择题（共46小题）1．二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则m、n的大小关系为（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定2．如果二次函数中函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：那么这个二次函数的图象的对称轴是直线（）A．x＝0B．C．D．x＝13．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限上述结论中正确的是（）A．①④B．②④C．③④D．②③4．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线（）A．x＝0B．x＝1C．x＝1.5D．x＝25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表所示下列说法错误的是（）A．图象开口向下B．抛物线的对称轴是直线x＝2C．b2﹣4ac＞0D．当1＜x＜3时，y＜66．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：当y＜6时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x≤3C．x＜1或x＞0D．x＜1或x＞3 7．将抛物线y＝x2向左平移3个单位，得到新抛物线的函数关系式是（）A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2 8．将二次函数y＝2x2的图象先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得图象的解析式为（）A．y＝2（x﹣4）2+3B．y＝2（x+4）2﹣3C．y＝2（x+4）2+3D．y＝2（x﹣4）2﹣39．把抛物线y＝﹣（）得到抛物线y＝﹣﹣1．A．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向石平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度10．将抛物线y＝2（x+1）2+1向右平移2个单位长度，所得到的抛物线与直线y＝3的交点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，3）或（﹣4，3）D．（2，3）或（0，3）11．已知抛物线y＝x2+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是（）A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝x2+1D．y＝x2+512．将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2﹣4B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2x2﹣313．如果将抛物线y＝x2+4x+1平移，使它与抛物线y＝x2+1重合，那么平移的方式可以是（）A．向左平移2个单位，向上平移4个单位B．向左平移2个单位，向下平移4个单位C．向右平移2个单位，向上平移4个单位D．向右平移2个单位，向下平移4个单位14．把抛物线y＝2（x﹣3）2+k向下平移1个单位长度后经过点（2，3），则k的值是（）A．2B．1C．0D．﹣115．在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的位置如图所示，抛物线y＝ax2﹣2ax经过A，B，则下列说法不正确的是（）A．抛物线的开口向上B．抛物线的对称轴是x＝1C．点B在抛物线对称轴的左侧D．抛物线的顶点在第四象限16．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+1的图象经过点A，B，对系数a和b判断正确的是（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＞017．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＞0；②16a+4b+c＝0；③若m＞n＞0，则x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值；④点（﹣，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④18．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（）A．y1B．y2C．y3D．y419．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．abc＜0B．2a+b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜0 20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞021．如图，小明从二次函数y＝ax2+bx+c图象中看出这样四条结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的是（）A．①②④B．②④C．①②③D．①②③④22．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b（a，b都不为0）的图象的相对位置可以是（）A．B．C．D．23．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；⑤2a﹣b＝0；⑥b2﹣4ac＞0．下列结论一定成立的是（）A．①②④⑥B．①②③⑥C．②③④⑤⑥D．①②③④24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b ＞0；③abc＜0；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+b+c＞0．其中正确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个25．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且过点（3，0），下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③2a+b＞0；④b2﹣4ac＞0；正确的有（）个．A．1B．2C．3D．426．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A．函数有最小值B．当﹣1＜x＜2时，y＞0C．a+b+c＜0D．当x＜，y随x的增大而减小28．已知二次函数y＝x2﹣6x+m（m是实数），当自变量任取x1，x2时，分别与之对应的函数值y1，y2满足y1＞y2，则x1，x2应满足的关系式是（）A．x1﹣3＜x2﹣3B．x1﹣3＞x2﹣3C．|x1﹣3|＜|x2﹣3|D．|x1﹣3|＞|x2﹣3| 29．抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标是（1，3），点A（2，y1），B（3，y2）在抛物线上，则下列大小比较正确的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法比较y1，y2的大小30．已知抛物线y＝x2﹣4x+3，当0≤x≤m时，y的最小值为﹣1，最大值为3，则m的取值范围为（）A．m≥2B．0≤m≤2C．2≤m≤4D．m≤431．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（0，1），（4，0），当该二次函数的自变量分别取x1，x2（0＜x1＜x2＜4）时，对应的函数值是y1，y2，且y1＝y2，设该函数图象的对称轴是x＝m，则m的取值范围是（）A．0＜m＜1B．1＜m≤2C．2＜m＜4D．0＜m＜432．已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）均在抛物线y＝﹣2（x+1）2+3上，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c33．二次函数y＝x2﹣2x，若点A（﹣1，y1），B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定34．已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+4x﹣1B．y＝x2+4x﹣2C．y＝﹣2x2+4x+1D．y＝2x2+4x+135．将二次函数y＝x2﹣4x+3通过配方可化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x+2）2+3D．y＝（x+2）2﹣1 36．二次函数y＝3x2+2x的图象的对称轴为（）A．x＝﹣2B．x＝﹣3C．D．37．关于二次函数y＝（x+1）2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．经过原点C．对称轴右侧的部分是下降的D．顶点坐标是（﹣1，0）38．将抛物线y＝+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2x2+1B．y＝﹣2x2﹣1C．D．39．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（）A．它的图象经过点（﹣1，﹣2）B．它的图象的对称轴是直线x＝2C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当x＝0时，y有最大值为040．抛物线y＝x2﹣9与y轴的交点坐标是（）A．（﹣9，0）B．（0，﹣9）C．（3，0）D．（0，3）41．已知（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2 42．二次函数y＝（x﹣2）2+3，当0≤x≤5时，y的取值范围为（）A．3≤y≤12B．2≤y≤12C．7≤y≤12D．3≤y≤743．将抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移3个单位得抛物线y＝﹣（x+2）2+3，则（）A．a＝﹣1，b＝﹣8，c＝﹣10B．a＝﹣1，b＝﹣8，c＝﹣16C．a＝﹣1，b＝0，c＝0D．a＝﹣1，b＝0，c＝644．抛物线y＝x2+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝0D．直线y＝145．下列关于抛物线y＝3（x﹣1）2+1的说法，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x＝﹣1C．顶点坐标是（﹣1，1）D．有最小值y＝146．二次函数y＝﹣（x﹣3）2+1的最大值为（）A．1B．﹣1C．3D．﹣3二．填空题（共4小题）47．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是．48．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值如下表所示：下面有四个论断：①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，﹣3）；②b2﹣4ac＝0；③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3；④m＝﹣3．其中，正确的有．49．写出抛物线y＝2（x﹣1）2图象上一对对称点的坐标，这对对称点的坐标可以是．50．函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（2，4），则2b﹣c的值为．华师大新版九年级下学期《26.2 二次函数的图象与性质》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共46小题）1．二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则m、n的大小关系为（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，再比较点（0，m）和（3，n）到直线x＝1的距离大小，然后根据二次函数的性质得到m、n的大小关系．【解答】解：当x＝﹣2和x＝4时，y＝﹣7，所以点（﹣2，﹣7）和点（4，﹣7）为对称点，所以抛物线的对称轴为直线x＝1，而抛物线开口向下，点（0，m）到直线x＝1的距离比点（3，0）到直线x＝1的距离要小，所以m＞n．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．2．如果二次函数中函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：那么这个二次函数的图象的对称轴是直线（）A．x＝0B．C．D．x＝1【分析】由图表可知，x＝0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可【解答】解：∵x＝0、x＝2时的函数值都是3相等，∴此函数图象的对称轴为直线x＝＝1．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．3．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限上述结论中正确的是（）A．①④B．②④C．③④D．②③【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线x＝＝1，故②错误，抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①错误，当y＝0时，x＝0或x＝2，故m的值为0，故③正确，当y≤0时，x的取值范围是0≤x≤2，故④正确，故选：C．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线（）A．x＝0B．x＝1C．x＝1.5D．x＝2【分析】利用二次函数的对称性，结合对应点坐标变化得出其对称轴即可．【解答】解：由表知当x＝0和x＝3时，y＝3，∴该抛物线的对称轴是直线x＝，即x＝1.5，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的对称性，本题属于基础题型．5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表所示下列说法错误的是（）A．图象开口向下B．抛物线的对称轴是直线x＝2C．b2﹣4ac＞0D．当1＜x＜3时，y＜6【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【解答】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线x＝＝2，故选项B正确，该函数的顶点坐标是（2，7），有最大值，开口向下，故选项A正确，该函数与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，故选项C正确，当1＜x＜3时，6＜y≤7，故选项D错误，故选：D．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：当y＜6时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x≤3C．x＜1或x＞0D．x＜1或x＞3【分析】由二次函数图象上点的坐标（1，6）和（3，6），利用二次函数的性质可得出二次函数图象的对称轴，进而可得出顶点坐标，结合二次函数图象的顶点坐标，即可找出y ＜6时x的取值范围．【解答】解：∵当x＝1时，y＝6；当x＝3时，y＝6，∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，∴二次函数图象的顶点坐标是（2，7），∴当y＜6时，x＜1或x＞3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标．7．将抛物线y＝x2向左平移3个单位，得到新抛物线的函数关系式是（）A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：将抛物线y＝x2向左平移3个单位，得到新抛物线的函数关系式是：y＝（x+3）2．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移移规律是解题关键．8．将二次函数y＝2x2的图象先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得图象的解析式为（）A．y＝2（x﹣4）2+3B．y＝2（x+4）2﹣3C．y＝2（x+4）2+3D．y＝2（x﹣4）2﹣3【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得图象的解析式为：y＝2（x﹣4）2+3．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移移规律是解题关键．9．把抛物线y＝﹣（）得到抛物线y＝﹣﹣1．A．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向石平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度【分析】先确定抛物线y＝﹣的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝﹣﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣1），然后利用（0，0）平移得到点（﹣1，﹣1）的过程得到抛物线的平移过程．【解答】解：抛物线y＝﹣的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝﹣﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣1），因为点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到点（﹣1，﹣1），所以把抛物线y＝﹣向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到抛物线y＝﹣﹣1．故选：B．【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．10．将抛物线y＝2（x+1）2+1向右平移2个单位长度，所得到的抛物线与直线y＝3的交点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，3）或（﹣4，3）D．（2，3）或（0，3）【分析】先把y＝2（x+1）2+1向右平移2个单位长度得到y＝2（x﹣1）2+1，再求其与y＝3的交点即可．【解答】解：将抛物线y＝2（x+1）2+1向右平移2个单位长度后，所得到的抛物线为y＝2（x﹣1）2+1当该抛物线与直线y＝3相交时，2（x﹣1）2+1＝3解得：x1＝0，x2＝2则所得到的抛物线与直线y＝3的交点坐标是：（0，3），（2，3）故选：D．【点评】本题为二次函数图象问题，考查了二次函数图象平移以及函数图象求交点问题，解答时需要注意求函数图象平移后解析式的解题技巧．11．已知抛物线y＝x2+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是（）A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝x2+1D．y＝x2+5【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向左平移2个单位所得直线的解析式为：y＝（x+2）2+3；故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．12．将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2﹣4B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2x2﹣3【分析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”．【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，得以新的抛物线的表达式是，y＝2（x﹣2+1）2﹣3，即y＝2（x﹣1）2﹣3，故选：C．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，由y＝ax2平移得到y＝a（x﹣h）2+k，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式即可．13．如果将抛物线y＝x2+4x+1平移，使它与抛物线y＝x2+1重合，那么平移的方式可以是（）A．向左平移2个单位，向上平移4个单位B．向左平移2个单位，向下平移4个单位C．向右平移2个单位，向上平移4个单位D．向右平移2个单位，向下平移4个单位【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+1＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，3），抛物线y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），∴顶点由（﹣2，3）到（0，1）需要向右平移2个单位再向上平移4个单位．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．14．把抛物线y＝2（x﹣3）2+k向下平移1个单位长度后经过点（2，3），则k的值是（）A．2B．1C．0D．﹣1【分析】把点坐标代入y＝2（x﹣3）2+k﹣1解方程即可得到结论．【解答】解：设抛物线y＝2（x﹣3）2+k向下平移1个单位长度后的解析式为y＝2（x﹣3）2+k﹣1，把点（2，3）代入y＝2（x﹣3）2+k﹣1得，3＝2（2﹣3）2+k﹣1，∴k＝2，故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题关键．15．在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的位置如图所示，抛物线y＝ax2﹣2ax经过A，B，则下列说法不正确的是（）A．抛物线的开口向上B．抛物线的对称轴是x＝1C．点B在抛物线对称轴的左侧D．抛物线的顶点在第四象限【分析】由于抛物线y＝ax2﹣2ax的常数项为0，所以图象经过原点，根据对称轴为直线x ＝＝1，可知抛物线开口向上，点B在对称轴的右侧，顶点在第四象限．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax，∴x＝0时，y＝0，∴图象经过原点，又∵对称轴为直线x＝＝1，∴抛物线开口向上，点B在对称轴的右侧，顶点在第四象限．即A、B、D正确，C错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴是直线x＝﹣．当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x ＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x 的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+1的图象经过点A，B，对系数a和b判断正确的是（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＞0【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+1的图象经过点A，B，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+1可知图象经过点（0，1），∵二次函数y＝ax2+bx+1的图象还经过点A，B，则函数图象如图所示，∴a＜0，﹣＞0，∴b＞0，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、不等式的性质，利用数形结合是解题的关键．17．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＞0；②16a+4b+c＝0；③若m＞n＞0，则x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值；④点（﹣，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的性质可对③进行判断；抛物线的对称性得出点（﹣2，0）的对称点是（4，0），由c＝﹣8a即可得出﹣＝4，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），∴16a+4b+c＝0，故②正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴横坐标是1﹣n的点的对称点的横坐标为1+n，∵若m＞n＞0，∴1+m＞1+n，∴x＝1+m时的函数值小于x＝1﹣n时的函数值，故③错误；∵抛物线的对称轴为﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+c，∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，∴c＝﹣8a，∴﹣＝4，∵点（﹣2，0）的对称点是（4，0），∴点（﹣，0）一定在此抛物线上，故④正确，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．18．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（）A．y1B．y2C．y3D．y4【分析】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．【解答】解：由图象可知：抛物线y1的顶点为（﹣2，﹣2），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y1＝（x+2）2﹣2；抛物线y2的顶点为（0，﹣1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y2＝x2﹣1；抛物线y3的顶点为（1，1），与y轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y3＝（x﹣1）2+1；抛物线y4的顶点为（1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣1），根据待定系数法求得y4＝2（x ﹣1）2﹣3；综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y1故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键．19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．abc＜0B．2a+b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜0【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；对称轴x＝﹣＞0，所以b＜0；所以abc＞0；由图象可知：0＜﹣＜1，所以﹣b＜2a，即2a+b＞0；由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＝b2﹣4ac＞0；由图可知：当x＝1时，y＜0，所以a+b+c＜0；故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞0【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．21．如图，小明从二次函数y＝ax2+bx+c图象中看出这样四条结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的是（）A．①②④B．②④C．①②③D．①②③④【分析】由开口方向可判断①，结合对称轴的位置可判断②，由与y轴的交点可判断③，由图象与x轴的交点个数可判断④，则可求得答案．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，故①正确；∵对称轴在y轴的左侧，∴﹣＜0，且a＞0，∴b＞0，故②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，故③不正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故④正确；综上可知正确的有3个，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）来说，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．22．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b（a，b都不为0）的图象的相对位置可以是（）A．B．C．D．【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，b＜0．由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，相矛盾，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，相矛盾，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，相矛盾，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象与系数的关系．23．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；⑤2a﹣b＝0；⑥b2﹣4ac＞0．下列结论一定成立的是（）A．①②④⑥B．①②③⑥C．②③④⑤⑥D．①②③④【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①正确，方程0＝ax2+bx+c的根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故③正确，∵该抛物线的对称轴是直线x＝＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故④错误，﹣＝1，得2a+b＝0，故⑤错误，∵抛物线与x轴两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故⑥正确，故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b ＞0；③abc＜0；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+b+c＞0．其中正确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】由二次函数的开口方向，对称轴x＞1，以及二次函数与y的交点在x轴的下x方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝﹣＝1.5＞1，∴2a+b＞0，故②正确；∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，∴abc＞0，故③错误；∵x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④正确∵x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，故⑤正确；故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解答此题的关键．25．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且过点（3，0），下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③2a+b＞0；④b2﹣4ac＞0；正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线对称轴方程得到b＝﹣2a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则可对②进行判断；利用b＝﹣2a可对③进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，所以②错误；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以③错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以④正确．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．26．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定解答．。
九数下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质同步练习（附答案华东师大版）九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质同步练习（附答案华东师大版）下载文档九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质同步练习（附答案华东师大版）26.2.1 二次函数y= 的图象与性质一．选择题1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A． B． C．D．2．函数y=ax2+1与y= （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B. C． D.3．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A． B．C． D.4．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图，则一次函数y=mx+n 与反比例函数y= 的图象可能是（）C. D.二．填空题5．下列函数，当x＞0时，y随x的增大而减小的是．(填序号)（1）y=﹣x+1，（2）y=2x，（3），（4）y=﹣x2．6．如图，抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），则抛物线的对称轴是；若y＞2，则自变量x的取值范围是．7．如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形三．解答题8．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于点（0，3）．（1）求出m的值并画出这条抛物线.（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标.（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？9．分别在同一直角坐标系内，描点画出y= x2+3与y= x2的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标．参考答案一．1．C 2．B 3．D 4.C二．5．（1）（4）6．x= 0＜x＜1 7．2三．8．解：（1）由抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3），得m=3．∴抛物线为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4．列表得：x ﹣1 0 1 2 3y 0 3 4 3 0图象如右图．（2）由﹣x2+2x+3=0，得x1=﹣1，x2=3．∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4∴抛物线的顶点坐标为（1，4）．（3）由图象可知：当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．（4）由图象可知：当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．9．解：抛物线y= x2+3的开口方向向上，顶点坐标是（0，3），对称轴是y轴，且经过点（3，6）和（﹣3，6）.抛物线y= x2的开口方向向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴，且经过点（3，3）和（﹣3，3），26.2.2 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质1．如图，将抛物线y＝13x2向________平移________个单位得到抛物线y＝13x2＋2；将抛物线y＝13x2向________平移________个单位得到抛物线y＝13x2－2.2．将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的关系式为( )A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)23．不画出图象，回答下列问题：(1)函数y＝4x2＋2的图象可以看成是由函数y＝4x2的图象通过怎样的平移得到的？(2)说出函数y＝4x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)如果要将函数y＝4x2的图象经过适当的平移，得到函数y＝4x2－5的图象，应怎样平移？4．抛物线y＝－12x2－6的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________；当x________时，y有最________值，其值为________；当x________0时，y 随x的增大而增大，当x________0时，y随x的增大而减小．①y＝－x＋1，②y＝2x，③y＝－2x，④y＝－x2.6．已知点(－1，y1)，－12，y2都在函数y＝12x2－2的图象上，则y1______y2.(填“>”“ ”或“＝”)7．二次函数y＝2x2＋1，y＝－2x2－1，y＝12x2－2的图象的共同特征是( )A．对称轴都为y轴B．顶点坐标相同C．开口方向相同D．都有最高点8．二次函数y＝－x2＋1的图象大致是( )9．二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( )A．抛物线开口向下B．抛物线经过点(2，3)C．抛物线的对称轴是直线x＝1D．抛物线的顶点坐标是(0，－3)10．已知二次函数y＝ax2＋c有最大值，其中a和c分别是方程x2－2x－24＝0的两个根，试求该二次函数的关系式．11．在同一坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是( )12．从y＝2x2－3的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是( ) A．－1≤y≤5B．－5≤y≤5C．－3≤y≤5D．－2≤y≤113．已知函数y＝x2＋1（x≥－1），2x（x －1），则下列函数图象正确的是( )14．已知二次函数y＝ax2＋k的图象上有A(－3，y1)，B(1，y2)两点，且y2 A．a>0 B．aC．a≥0D．a≤015．小华同学想用“描点法”画二次函数y＝ax2＋c的图象，取自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表：x …－2 －1 0 1 2 …y … 11 2 －1 2 5 …由于粗心，小华算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x＝________．16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋4与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线y＝14x2于点B，C，则BC的长为________．17．能否适当地上下平移函数y＝12x2的图象，使得到的新图象过点(4，－2)？18．已知抛物线y＝12x2，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若△ABC是直角三角形，则原抛物线应向下平移几个单位？19．已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2－4的一个交点坐标为(3，5)．(1)求抛物线所对应的函数关系式；(2)求抛物线与x轴的交点坐标；(3)如果直线y＝kx＋b经过抛物线y＝ax2－4与x轴的交点，试求该直线所对应的函数关系式．参考答案1．上 2 下 22．A3．解：(1)函数y＝4x2＋2的图象可以看成是由函数y＝4x2的图象向上平移2个单位得到的．(2)函数y＝4x2＋2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，2)．(3)将函数y＝4x2的图象向下平移5个单位得到函数y＝4x2－5的图象．4．下(0，－6) y轴(或直线x＝0) ＝0 大－6 >x的增大而增大，不符合题意；③y＝－2x，在每一个象限，y随x的增大而增大，不符合题意；④y＝－x2，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x的增大而减小，符合题意．故答案为①④.6．> [解析] 抛物线y＝12x2－2，当x7．A 8.B 9.D10．解：解方程x2－2x－24＝0，得x1＝－4，x2＝6.因为函数y＝ax2＋c有最大值，所以a＜0.而a和c分别是方程x2－2x－24＝0的两个根，所以a＝－4，c＝6，所以该二次函数的关系式是y＝－4x2＋6.11．D [解析] A项，由n2≥0，可知直线与y轴的交点在原点或y轴的正半轴上，错误．B项，由二次函数y＝x2＋m的二次项系数为1，可知二次函数图象的开口向上，错误．C项，由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，可知m＜0，由直线可知，－可知，－m＞0，即m12. C [解析] 如图，根据y＝2x2－3的图象，分析可得，当x＝0时，y取得最小值，且最小值为－3；当x＝2时，y取得最大值，且最大值为2×22－3＝5.故选C.13．C [解析] y＝x2＋1，图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)，当x≥－1时，B，C，D正确；y＝2x，图象在第一、三象限，当x＜－1时，C正确．故选C.14．A [解析] ∵二次函数y＝ax2＋k的图象关于y轴对称，∴点A(－3，y1)的对称点(3，y1)在二次函数图象上．∵当横坐标115．2 [解析] 根据表格给出的各点坐标可得出，该函数图象的对称轴为直线x ＝0，进而可得函数关系式为y＝3x2－1，则当x＝2与x＝－2时取值相同，为11.故这个算错的y值所对应的x＝2.16．8 [解析] ∵抛物线y＝ax2＋4与y轴交于点A，∴点A的坐标为(0，4)．当y＝4时，14x2＝4，解得x＝±4，∴点B的坐标为(－4，4)，点C的坐标为(4，4)，∴BC ＝4－(－4)＝8.17．解：能．设将函数y＝12x2的图象向上平移c个单位后，所得新图象过点(4，－2)，所得新图象为抛物线y＝12x2＋c.将(4，－2)代入y＝12x2＋c，得－2＝12×16＋c，c＝－10，∴将函数y＝12x2的图象向下平移10个单位后，所得新图象过点(4，－2)．18．解：设将抛物线y＝12x2向下平移b(b＞0)个单位，得到的抛物线的关系式为y＝12x2－b.不妨设点A在点B的左侧，由题意可得A(－2b，0)，B(2b，0)，C(0，－b)．∵△ABC是直角三角形，∴OB＝OC＝OA，即2b＝b，解得b＝0(舍去)或b＝2，∴若△ABC是直角三角形，则原抛物线应向下平移2个单位.19．解：(1)将交点坐标(3，5)代入y＝ax2－4，得9a－4＝5，解得a＝1.故抛物线所对应的函数关系式为y＝x2－4.(2)在y＝x2－4中，令y＝0可得x2－4＝0，解得x1＝－2，x2＝2.故抛物线与x轴的交点坐标为(－2，0)和(2，0)．(3)需分两种情况进行讨论：①当直线y＝kx＋b经过点(－2，0)时，由题意可知－2k＋b＝0，3k＋b＝5，解得k＝1，b＝2，故该直线所对应的函数关系式为y＝x＋2；②当直线y＝kx＋b经过点(2，0)时，由题意可知2k＋b＝0，3k＋b＝5，解得k ＝5，b＝－10，故该直线所对应的函数关系式为y＝5x－10.26.2.3二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质1．将抛物线y＝x2向________平移________个单位得到抛物线y＝(x＋5)2；将抛物线y＝x2向________平移________个单位得到抛物线y＝(x－5)2.2．下列方法可以得到抛物线y＝25(x－2)2的是( )A．把抛物线y＝25x2向右平移2个单位B．把抛物线y＝25x2向左平移2个单位C．把抛物线y＝25x2向上平移2个单位D．把抛物线y＝25x2向下平移3．顶点是(－2，0)，开口方向、形状与抛物线y＝12x2相同的抛物线是( )A．y＝12(x－2)2 B．y＝12(x＋2)2C．y＝－12(x－2)2 D．y＝－12(x＋2)2知识点2 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质4．抛物线y＝12(x＋3)2的开口向______；对称轴是直线________；当x＝______时，y有最______值，这个值为________；当x________时，y随x的增大而减小．5．对于任意实数h，抛物线y＝(x－h)2与抛物线y＝x2( )A．开口方向相同B．对称轴相同C．顶点相同D．都有最高点6．关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法中正确的是( )A．其图象开口向上B．其图象的对称轴是直线x＝3C．其图象的顶点坐标是(0，3)D．当x>－3时，y随x的增大而减小7．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－32(x－1)2的图象大致是( )8．已知函数y＝－(x－1)2的图象上的两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1______y2.(填“ ”“>”或“＝”)9．在平面直角坐标系中画出函数y＝－12(x－3)2的图象．(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)说明该函数图象与二次函数y＝－12x2的图象的关系；(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小．10．如图是二次函数y＝a(x－h)2的图象，则直线y＝ax＋h不经过的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．已知二次函数y＝－(x－h)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小．当x＝0时，y的值为( )A．－1 B．－9 C．1 D．912．将抛物线y＝ax2－1平移后与抛物线y＝a(x－1)2重合，抛物线y＝ax2－1上的点A(2，3)同时平移到点A′的位置，那么点A′的坐标为( )A．(3，4) B．(1，2) C．(3，2) D．(1，4)13．已知抛物线y＝a(x－h)2的形状及开口方向与抛物线y＝－2x2相同，且顶点坐标为(－2，0)，则a＋h＝________．14．二次函数y＝a(x－h)2的图象如图所示，若点A(－2，y1)，B(－4，y2)是该图象上的两点，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)15．若点A－134，y1，B－54，y2，C14，y3为二次函数y＝(x－2)2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为____________．16．已知直线y＝kx＋b经过抛物线y＝－12x2＋3的顶点A和抛物线y＝3(x－2)2的顶点B，求该直线的函数关系式．17．已知二次函数y＝(x－3)2.(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值．(2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)位于对称轴右侧的抛物线上，且x1(3)抛物线y＝(x＋7)2可以由抛物线y＝(x－3)2平移得到吗？如果可以，请写出平移的方法；如果不可以，请说明理由．18．一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2的形状相同，对称轴与抛物线y＝12(x ＋2)2的对称轴相同，且顶点在x轴上，求这条抛物线所对应的函数关系式．19．已知抛物线y＝13x2如图所示．(1)抛物线向右平移m(m>0)个单位后，经过点A(0，3)，试求m的值；(2)画出(1)中平移后的图象；物线的对称轴上找出一点P，使BP＋CP的值最小，并求出点P的坐标．参考答案1．左 5 右 52．A [解析] 根据平移规律“左加右减”，得抛物线y＝25(x－2)2可以由抛物线y＝25x2向右平移2个单位得到．3．B [解析] ∵开口方向、形状与抛物线y＝12x2相同，∴a＝12.∵抛物线的顶点是(－2，0)，4．上x＝－3 －3 小0 －35．A [解析] 抛物线y＝(x－h)2与抛物线y＝x2，A．a＝1＞0，都开口向上，此说法正确；B．抛物线y＝(x－h)2的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝x2的对称轴为直线x＝0，说法错误；C．抛物线y＝(x－h)2的顶点是(h，0)，抛物线y＝x2的顶点是(0，0)，说法错误；D．a＞0，都有最低点，说法错误．故选A.6．D [解析] 由a＝－2＜0，可知图象开口向下，故A错误；y＝－2(x＋3)2＝因为图象开口向下，对称轴为直线x＝－3，所以当x＞－3时，y随x的增大而减小，故D正确．故选D.7．D [解析] 抛物线y＝－32(x－1)2的对称轴是直线x＝1，可排除选项B和C；直线y＝－x＋1交y轴于点(0，1)，排除选项A.选项D满足题意．故选D.8．> [解析] 因为二次项系数为－1，小于0，所以在对称轴直线x＝1的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴直线x＝1的右侧，y随x的增大而减小．因为a>2>1，所以y1>y2.故答案为“>”．9．解：图略．(1)该函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为(3，0)．(2)二次函数y＝－12(x－3)2的图象是由二次函数y＝－12x2的图象向右平移3个单位得到的．(3)当x>3时，y随x的增大而减小．10．B [解析] 由图象可知a>0，h11．B [解析] 由题意知二次函数y＝－(x－h)2的图象的对称轴为直线x＝－3，故h＝－3.把h＝－3代入二次函数y＝－(x－h)2可得y＝－(x＋3)2，当x＝0时，y ＝－9.故选B.12．A [解析] ∵抛物线y＝ax2－1的顶点坐标是(0，－1)，抛物线y＝a(x－1)2的顶点坐标是(1，0)，∴将抛物线y＝ax2－1向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y＝a(x－1)2，∴将点A(2，3)向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点A′的坐标为(3，4)．故选A.13．－414．＝[解析] 由图象可知抛物线的对称轴为直线x＝－3，所以点A和点B关于对称轴对称，所以y1＝y2.15．y1＞y2＞y3 [解析] ∵二次函数y＝(x－2)2的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∴当x＜2时，y随x的增大而减小，又∵－134＜－54＜14＜2，∴y1＞y2＞y3.16．解：抛物线y＝－12x2＋3的顶点A的坐标为(0，3)，抛物线y＝3(x－2)2的顶点B的坐标为(2，0)．∵直线y＝kx＋b经过点A，B，∴b＝3，2k＋b＝0，解得k＝－32，b＝3，∴该直线的函数关系式为y＝－32x＋3.17．解：(1)因为a＝1>0，所以该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为(3，0)；当x＝3时，y最小值＝0，没有最大值．(2)因为当x>3时，y随x的增大而增大．又因为3(3)可以．将抛物线y＝(x－3)2向左平移10个单位可以得到抛物线y＝(x＋7)2.18．解：根据题意设这条抛物线所对应的函数关系式为y＝a(x－k)2.∵这条抛物线的形状与抛物线y＝2x2的形状相同，∴|a|＝2，即a＝±2.又∵这条抛物线的对称轴与抛物线y＝12(x＋2)2的对称轴相同，∴k＝－2，∴这条抛物线所对应的函数关系式为y＝2(x＋2)2或y＝－2(x＋2)2.19．解：(1)平移后得到的抛物线对应的函数关系式为y＝13(x－m)2，把(0，3)代入，得3＝13(0－m)2，解得m1＝3，m2＝－3.因为m>0，所以m＝3.(2)如图所示．32，34，点C的坐标为(6，3)，点P为直线BC与抛物线y＝13(x－3)2的对称轴(直线x＝3)的交点．设直线BC所对应的函数关系式为y＝kx＋b，则32k＋b＝34，6k ＋b＝3，解得k＝12，b＝0，即直线BC所对应的函数关系式为y＝12x，当x＝3时，y＝32，因此点P的坐标为3，32.26.2.4二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质1．二次函数y＝－3x－42＋2的图象是由抛物线y＝－3x2先向________(填“左”或“右”)平移________个单位，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位得到的．2．将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的A．y＝2(x－3)2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5C．y＝2(x－3)2＋5 D．y＝2(x＋3)2－53．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是( )A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位4．在同一平面直角坐标系内，将抛物线y＝(x－2)2＋5先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标为( )A．(4，4) B．(4，6)C．(0，6) D．(0，4)5．抛物线y＝3(x－2)2＋3的开口________，顶点坐标为________，对称轴是________；当x>2时，y随x的增大而________，当x6.如图所示为二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，则a________0，h________0，k________0.(填“＞”“＜”或“＝”)7．二次函数y＝(x－2)2－1的图象不经过的象限为( )C．第三象限D．第四象限8．设二次函数y＝(x－3)2－4的图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )A．(1，0) B．(3，0)C．(－3，0) D．(0，－4)9．已知二次函数y＝－(x＋1)2＋2，则下列说法正确的是( )A．其图象开口向上B．其图象与y轴的交点坐标为(－1，2)C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．其图象的顶点坐标是(－1，2)10．二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象如图所示．(1)求b，k的值；(2)二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象经过怎样的平移可以得到二次函数y＝－x2的图象？11．已知二次函数y＝34(x－1)2－3.(1)画出该函数的图象，并写出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的变(2)函数y有最大值还是最小值？并写出这个最大(小)值；(3)设函数图象与y轴的交点为P，求点P的坐标．12．若抛物线y＝(x－1)2＋2不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线的关系式变为( )A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5C．y＝x2－1 D．y＝x2＋413．如图，将函数y＝12(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面A．y＝12(x－2)2－2 B．y＝12(x－2)2＋7C．y＝12(x－2)2－5 D．y＝12(x－2)2＋414．已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是图26－2－21中的( )15．已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数y的最大值为－1，则h的值为( )A．3或6 B．1或6C．1或3 D．4或616．已知二次函数y＝－(x＋k)2＋h，当x＞－2时，y随x的增大而减小，则k 的取值范围是________．17．已知抛物线y＝x＋m－12＋m＋2的顶点在第二象限，试求m的取值范围．18．如图，抛物线y＝－(x－1)2＋4与y轴交于点C，顶点为D.(1)求顶点D的坐标；(2)求△OCD的面积．(1)求出该抛物线与y轴的交点C的坐标；(2)求出该抛物线与x轴的交点A，B的坐标；(3)如果抛物线的顶点为D，试求四边形ABCD的面积．参考答案1．右 4 上 2再向下平移5个单位所得对应点的坐标为(3，－5)，所以平移后得到的抛物线的表达式为y＝2(x－3)2－5.故选A.3．B [解析] 由抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”可以得出，应先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．所以选B.4．D5．向上(2，3) 直线x＝2 增大减小 2 小 36．> >7．C [解析] 根据题意可得该函数图象的顶点坐标为(2，－1)，与y轴交于(0，3)，且开口向上，故抛物线不经过第三象限，故选C.8．B [解析] 由题意可知二次函数的图象的对称轴为直线x＝3，所以点M的横坐标为3，对照选项可知选B.9．D [解析] ∵y＝－(x＋1)2＋2，∴二次函数的图象开口向下，顶点坐标为(－1，2)，对称轴为x＝－1，故A错误，D正确；当x＜－1时，y随x的增大而增大，当x ＞－1时，y随x的增大而减小，故C错误；在y＝－(x＋1)2＋2中，令x＝0可得y ＝1，∴图象与y轴的交点坐标为(0，1)，故B错误．故选D.10．解：(1)由图象可得二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象的顶点坐标为(1，3)．因为二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象的顶点坐标为(b，k)，所以b＝1，k＝3.(2)把二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位可得到二次函数y＝－x2的图象(其他平移方法合理也可)．11．解：(1)画函数图象略．∵a＝34＞0，∴图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－3)．当x1时，y随x的增大而增大．(2)∵a＝34＞0，∴函数y有最小值，最小值为－3.(3)令x＝0，则y＝34×(0－1)2－3＝－94，所以点P的坐标为0，－94.12．C [解析] ∵y＝(x－1)2＋2，∴原抛物线的关系式变为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.故选C.13．D [解析] 连结AB，A′B′，则S阴影＝S四边形ABB′A′.由平移可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A，B′B交x轴于点M，N.因为A(1，m)，B(4，n)，所以MN＝4－1＝3.因为S▱ABB′A′＝AA′·MN，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，即函数y＝12(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移了3个单位，所以新图象的函数表达式为y＝12(x－2)2＋4.14．A [解析] 由二次函数的图象开口向上得a＞0.因为－c是二次函数图象顶点的纵坐标，所以c＞0.所以一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．15．B [解析] 如图，当h＜2时，有－(2－h)2＝－1，解得h1＝1，h2＝3(舍去)；当2≤h≤5时，y＝－(x－h)2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有－(5－h)2＝－1，解得h3＝4(舍去)，h4＝6.综上所述，h的值为1或6.故选B.16．k≥2[解析] 抛物线的对称轴为直线x＝－k，因为a＝－1＜0，所以抛物线开口向下，所以当x＞－k时，y随x的增大而减小．又因为当x＞－2时，y随x的增大而减小，所以－k≤－2，所以k≥2.17．解：因为y＝x＋m－12＋m＋2＝[x－(－m＋1)]2＋(m＋2)，所以抛物线的顶点坐标为(－m＋1，m＋2)．因为抛物线的顶点在第二象限，所以－m＋10，即m>1，m>－2，所以m>1.18．解：(1)顶点D的坐标为(1，4)．(2)把x＝0代入y＝－(x－1)2＋4，得y＝3，所以△OCD的面积为12×3×1＝32.19．解：(1)当x＝0时，y＝－9，所以点C的坐标为(0，－9)．(2)当y＝0时，3x＋12－12＝0，解得x1＝－3，x2＝1，所以点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(1，0)．(3)由抛物线所对应的函数关系式可知点D的坐标为(－1，－12)，设对称轴与x 轴交于点E，则点E的坐标为(－1，0)，所以S四边形ABCD＝S△ADE＋S梯形OCDE ＋S△BOC＝12×2×12＋12×1×(9＋12)＋12×1×9＝27.26.2.5二次函数y=a +bx+c的图象与性质1．已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D.第四象限2.抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y= x2共有的性质是（）A．开口向下 B．对称轴是y轴 C.都有最低点 D.y的值随x的增大而减小3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A.（2，1） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A.开口向下 B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D.与x轴有两个交点5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值 B.对称轴是直线x= C．当x＜，y随x的增大而减小 D.当﹣1＜x＜2时，y＞0二．填空题6．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是（填“上升”或“下降”）．7．二次函数y=x2﹣4x﹣5图象的对称轴是直线．。
新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质部分练习题姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________一、选择题（每小题10分,共30分）1. 将抛物线2x y =向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得新抛物线对应的函数表达式为 【 】 （A ）()122++=x y （B ）()122-+=x y（C ）()122+-=x y （D ）()122--=x y2. 将抛物线()312+-=x y 向左平移1个单位,得到的抛物线与y 轴的交点坐标是 【 】（A ）（0 , 2） （B ）（0 , 3） （C ）（0 , 4） （D ）（0 , 7）3. 抛物线321532-⎪⎭⎫⎝⎛+-=x y 的顶点坐标是 【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--3,21 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21 （D ）⎪⎭⎫⎝⎛-3,214. 抛物线322++=x x y 的对称轴是 【 】 （A ）直线1=x （B ）直线1-=x （C ）直线2-=x （D ）直线2=x5. 在平面直角坐标系中,将抛物线221x y -=先向下平移1个单位长度,再向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为 【 】（A ）23212---=x x y （B ）21212-+-=x x y （C ）23212-+-=x x y （D ）21212---=x x y6. 关于抛物线()212--=x y ,下列说法错误的是 【 】（A ）顶点坐标为()2,1- （B ）对称轴是直线1=x（C ）开口向上 （D ）当1>x 时,y 随x 的增大而减小7. 如图所示,把抛物线2x y =沿直线x y =向右平移2个单位后,其顶点在直线上的A 处,平移后的抛物线解析式是 【 】（A ）()112-+=x y （B ）()112++=x y（C ）()112+-=x y （D ）()112--=x y第 7 题图8. 关于二次函数1422-+=x x y ,下列说法正确的是 【 】 （A ）图象与y 轴的交点坐标为（0 , 1） （B ）图象的对称轴在y 轴的右侧 （C ）当0<x 时,y 的值随x 值的增大而减小 （D ）y 的最小值为3-9. 抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 【 】 （A ）（7,2-） （B ）（2 , 7） （C ）（2 ,25-） （D ）（2 ,9-）10. 已知二次函数()12+-=h x y ,在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则h 的值为 【 】 （A ）1或5- （B ）1-或5 （C ）1或3- （D ）1或3 二、填空题（每小题3分,共30分）11. 抛物线()5232+-=x y 的顶点坐标为_________.12. 将抛物线2x y =向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为________________.13. 用配方法将二次函数982--=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式为________________.14. 抛物线132+-=x x y 的顶点坐标为_________. 15. 抛物线x x y 92+-=的最大值为_________.16. 将抛物线()2432+-=x y 向右平移1个单位,再向下平移3个单位,平移后抛物线的解析式是________________. 17. 已知点()1,4y A ,()2,2y B,()3,2y C -都在二次函数()122--=x y 的图象上,则321,,y y y 的大小关系是__________.18. 抛物线m x x y +-=22与x 轴只有一个交点,则m 的值为_________.19. 已知点()11,y x A ,()22,y x B 为函数()3122+--=x y 图象上的两点,若121>>x x ,则21,y y 的大小关系是__________.20. 如图,把抛物线221x y =平移得到抛物线m ,抛物线m 经过点()0,8-A 和原点O （0 , 0）,它的顶点为P ,它的对称轴与抛物线221x y =交于点Q ,则图中阴影部分的面积为_________.三、解答题（共60分） 21.（10分）已知抛物线()31432--=x y . （1）写出抛物线的开口方向、对称轴;（2）函数y 有最大值还是最小值?并求出这个最值;（3）设抛物线与y 轴的交点为P ,与x 轴的交点为Q ,求直线PQ 的函数表达式.22.（10分）已知二次函数的图象以()4,1-A 为顶点,且过点()5,2-B . （1）求该函数的关系式;（2）求该函数的图象与坐标轴的交点坐标.23.（10分）已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为()1,4-,与y 轴交于点（0 , 3）,求这条抛物线的函数表达式.24.（10分）如图,在平面直角坐标系中,把抛物线2x y =向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线()k h x y +-=2.所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）,与y轴交于点C ,顶点为D . （1）求k h ,的值; （2）判断△ACD 的形状.yxDC BA O25.（10分）已知抛物线22212-+-=x x y . （1）写出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标; （2）求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标;（3）在（2）中,设抛物线与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,若以点A 为顶点的抛物线经过点B ,请你求出这条抛物线的解析式,并指出其开口方向和函数的最值.26.（10分）已知二次函数m x x y ++=22的图象1C 与x 轴有且只有一个公共点. （1）求1C 的顶点坐标;（2）将1C 向下平移若干个单位后,得抛物线2C ,如果2C 与x 轴的一个交点为()0,3-A ,求2C 的函数关系式,并求2C 与x 轴的另一个交点坐标;（3）若()1,y n P ,()2,2y Q 是1C 上的两点,且21y y >,求实数n 的取值范围.新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质练习题参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共30分）11. （2 , 5） 12. ()522-+=x y 13. ()2542--=x y 14. ⎪⎭⎫⎝⎛-45,2315.481 16. ()1532--=x y 17. 312y y y << 18. 1 19. 21y y < 20. 32三、解答题（共60分） 21.（10分）已知抛物线()31432--=x y . （1）写出抛物线的开口方向、对称轴; （2）函数y 有最大值还是最小值?并求出这个最值;（3）设抛物线与y 轴的交点为P ,与x 轴的交点为Q ,求直线PQ 的函数表达式. 解:（1）开口向上,对称轴为直线1=x ; ……………………………………………2分 （2）函数y 有最小值,最小值为3-=y ; ……………………………………………4分 （3）令0=x ,则()49310432-=--⨯=y ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P ……………………………5分令0=y ,则()031432=--x 解之得:3,121=-=x x∴()0,1-Q 或Q （3 , 0）……………………………………………6分 设直线PQ 的函数表达式为b kx y +=当⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P ,()0,1-Q 时⎪⎩⎪⎨⎧=+--=049b k b 解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4949b k∴直线PQ 的函数表达式为4949--=x y ; ……………………………………………8分当⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P , Q （3 , 0）时⎪⎩⎪⎨⎧=+-=0349b k b 解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4943b k∴直线PQ 的函数表达式为4943-=x y …………………………………………10分 综上所述,直线PQ 的函数表达式为4949--=x y 或4943-=x y . 22.（10分）已知二次函数的图象以()4,1-A 为顶点,且过点()5,2-B . （1）求该函数的关系式;（2）求该函数的图象与坐标轴的交点坐标. 解:（1）由题意可设该函数的关系式为()k h x a y +-=2∵其顶点为()4,1-A ∴4,1-==k h……………………………………………2分 ∴()412--=x a y把()5,2-B 代入()412--=x a y 得:()54122-=--⨯a解之得:1-=a……………………………………………4分 ∴该函数的关系式为()412---=x y ;（2）令0=x ,则()54102-=---=y∴该函数的图象与y 轴的交点为()5,0-;……………………………………………7分 令0=y ,则()0412=---x∴()412-=-x∴方程无实数解∴该函数的图象与x 轴无交点.…………………………………………10分 23.（10分）已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为()1,4-,与y 轴交于点（0 , 3）,求这条抛物线的函数表达式.解:由题意可设该抛物线为()k h x a y +-=2∵其顶点坐标为()1,4- ∴1,4-==k h……………………………………………4分 ∴()142--=x a y把（0 , 3）代入()142--=x a y 得:()31402=--⨯a……………………………………………6分 解之得:41=a …………………………………………10分 ∴这条抛物线的函数表达式为()14412--=x y . 24.（10分）如图,在平面直角坐标系中,把抛物线2x y =向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线()k h x y +-=2.所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）,与y 轴交于点C ,顶点为D . （1）求k h ,的值; （2）判断△ACD 的形状.解:（1）平移后,抛物线的解析式为()412-+=x y……………………………………………3分 ∴4,1-=-=k h ;……………………………………………5分 （2）令0=y ,则()0412=-+x解之得:1,321=-=x x ∵点A 在点B 的左边 ∴()0,3-A ,B （1 , 0）……………………………………………6分 ∴3=OA令0=x ,则()34102-=-+=y∴()3,0-C……………………………………………7分 ∴3=OC∴OC OA =∴△AOC 为等腰直角三角形∴︒=∠45ACO∵点D 为抛物线()412-+=x y 的顶点∴()4,1--D……………………………………………8分 过点D 作y DE ⊥轴 ∴4,1==OE DE∴134=-=-=OC OE CE ∴CE DE =∴△DCE 为等腰直角三角形∴︒=∠45DCE∴︒=︒-︒-︒=∠904545180ACD ∴△ACD 为直角三角形.…………………………………………10分 25.（10分）已知抛物线22212-+-=x x y . （1）写出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;（2）求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标; （3）在（2）中,设抛物线与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,若以点A 为顶点的抛物线经过点B ,请你求出这条抛物线的解析式,并指出其开口方向和函数的最值. 解:（1）()222212221--=-+-=x x x y ……………………………………………1分 开口向下,对称轴为直线2=x ,顶点坐标为（2 , 0）;……………………………………………4分 （2）令0=y ,则()02212=--x 解之得:2=x∴抛物线与x 轴的交点为（2 , 0）……………………………………………5分 令0=x ,则()220212-=-⨯-=y ∴抛物线与y 轴的交点为()2,0-;……………………………………………6分 （3）由题意可设抛物线的解析式为k ax y +=2∵其顶点为A ()2,0- ∴2-=k……………………………………………7分 ∴22-=ax y把B （2 , 0）代入22-=ax y 得:024=-a 解之得:21=a……………………………………………8分∴2212-=x y开口向上,函数的最小值为2-.…………………………………………10分 26.（10分）已知二次函数m x x y ++=22的图象1C 与x 轴有且只有一个公共点. （1）求1C 的顶点坐标;（2）将1C 向下平移若干个单位后,得抛物线2C ,如果2C 与x 轴的一个交点为()0,3-A ,求2C 的函数关系式,并求2C 与x 轴的另一个交点坐标;（3）若()1,y n P ,()2,2y Q 是1C 上的两点,且21y y >,求实数n 的取值范围.解:（1）()11222-++=++=m x m x x y∵其图象1C 与x 轴有且只有一个公共点 ∴01=-m ∴1=m……………………………………………3分∴()21+=x y∴1C 的顶点坐标为()0,1-;……………………………………………4分（2）设2C 的函数关系式为()k x y ++=21把()0,3-A 代入()k x y ++=21得:()0132=++-k解之得:4-=k∴2C 的函数关系式为()412-+=x y……………………………………………7分 令0=y ,则()0412=-+x解之得:1,321=-=x x∴2C 与x 轴的另一个交点坐标为（1 , 0）; ……………………………………………8分 （3）2>n 或4-<n .…………………………………………10分。
26.2 二次函数的图形与性质同步测试题一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 将y=x2+6x+7化为y=a(x−ℎ)2+k的形式，ℎ，k的值分别为（）A.3，−2B.−3，−2C.3，−16D.−3，−16x2都有的性质是()2. 抛物线y=3x2，y=−3x2，y=13A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小3. 抛物线y=−2x2−12x−23的顶点坐标是()A.(3,−5)B.(3,5)C.(−3,−5)D.(−3,5)4. 对于二次函数y=x2−2mx−3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=−1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为−3．其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.45. 已知抛物线y=ax2−2ax−1(a≠0)，下列四个结论：①当a>0时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；②函数图象的对称轴是x=−1；③当a=1时，图象经过点(−1, 2)；④当a=−2时，函数图象与x轴没有交点，其中正确的共有（）A.4个B.3个C.2个D.1个6. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝−1．且过点(0.5, 0)，有下列结论：①abc>0；②a−2b+4c＝0；③25a−10b+4c＝0；④3b+2c>0；⑤a−b≥m(am−b)．其中所有正确的结论是（）A.①②③B.①③④C.①②③⑤D.①③⑤7. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1, 0)，B(5, 0)，下列说法正确的是()A.c<0B.b2−4ac<0C.a−b+c<0D.图象的对称轴是直线x=38. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.a>0b<0c>0B.a<0b<0c>0C.a<0b>0c<0D.a<0b>0c>09. 抛物线y＝−3(x−1)2+2的对称轴是（）A.x＝1B.x＝−1C.x＝2D.x＝−210. 如果点A(1, 3)，B(m, 3)是抛物线y=a(x−4)2+ℎ上两个不同的点，那么m的值为()A.4B.5C.6D.7二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 二次函数y=ax2+6x+a的最大值是8，则a=________．12. 抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，对称轴是直线x＝1，A(−2, y1)，B(0, y2)，C(2, y3)在该抛物线上，则y1，y2，y3大小的关系是________．13. 已知抛物线的顶点为(−1, −3)，与y轴的交点为(0, −5)，则此抛物线的解析式是________．14. 二次函数y＝−(x−1)2+8的最大值是________．15. 用配方法把y＝x2+2x+4化为y＝a(x+ℎ)2+k的形式为________．16. 抛物线y=ax2+bx+c过点A(1, 0)，B(3, 0)，则此抛物线的对称轴是直线x=________．17. 如果二次函数y＝x2+bx+c配方后为y＝(x−2)2+1，那么c的值为________．18. 点A(2, y1)、B(3, y2)是二次函数y=−x2+2x+m的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1________y2（填“>”、“<”、“=”）．19. 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−1, 2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中−2<x1<−1，0<x2<1，下列结论：①a−b+c=2；②abc>0；③4a−2b+c<0；④2a−b<0．其中正确的是________．20. 小颖同学想用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，取自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表：y值所对应的x=________．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分，）21. 已知二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A(3, −4)．（1）求a的值；（2）求此函数图象抛物线的顶点坐标；（3）直接写出函数y随自变量增大而减小的x的取值范围．)，(1,6)三点，直线l的解析22. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象C经过(−5,0)，(0,52式为y=2x−3．（1）求抛物线C的解析式；（2）判断抛物线C与直线l有无公共点；（3）若与直线l平行的直线y=2x+m与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标．23. 已知抛物线y=ax2经过点A(−2, 4)．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）判断点B(−√3, −3)是否在此抛物线上；（3）若图象上有两点M(x1, y1)、N(x2, y2)，其中|x1|<|x2|，则y1________y2（在横线上填“<”“=”或“>”）．24. 已知二次函数y=x2−2x+c的部分图象如图所示．（1）求c的取值范围；（2）若抛物线经过点(0, −1)，试确定抛物线y=x2−2x+c的函数表达式．25. 如图，抛物线y1=x2−2与直线y2=x+4交于A，B两点.(1)求A，B两点的坐标；(2)当y1<y2时，直接写出自变量x的取值范围．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝−x2+2bx+b2+1的对称轴与x轴交于点A，将点A向左平移b个单位，再向上平移3−b2个单位，得到点B．（1）求点B的坐标（用含b的式子表示）；（2）当抛物线经过点(0, 2)，且b>0时，求抛物线的表达式；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合图象，直接写出b的取值范围．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：∵ y=x2+6x+7=x2+6x+9−9+7=(x+3)2−2，∵ ℎ=−3，k=−2．故选：B．2.【答案】B【解答】解：在y=3x2中，可知其开口向上，对称轴为y轴，有最低点；在y=−3x2中，可知其开口向下，对称轴为y轴，有最高点；x2中，可知其开口向上，对称轴为y轴，有最低点；在y=13∵ 三抛物线共有的性质是对称轴为y轴.故选B.3.【答案】C【解答】解：∵ y=−2x2−12x−23=−2(x+3)2−5，∵ 抛物线的顶点坐标为(−3,−5).故选C.4.【答案】B【解答】解：①∵ △=(−2m)2−4×1×(−3)=4m2+12>0，∵ 它的图象与x轴有两个公共点，故本小题正确；②∵ 当x≤1时y随x的增大而减小，≥1，∵ 对称轴直线x=−−2m2×1解得m≥1，故本小题错误；③∵ 将它的图象向左平移3个单位后过原点，∵ 平移前的图象经过点(3, 0)，代入函数关系式得，32−2m⋅3−3=0，解得m=1，故本小题错误；④∵ 当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，=1006，∵ 对称轴为直线x=4+20082=1006，∵ −−2m2×1解得m=1006，∵ 函数关系式为y=x2−2012x−3，当x=2012时，y=20122−2012×2012−3=−3，故本小题正确；综上所述，结论正确的是①④共2个．故选B．5.【答案】C【解答】∵ 抛物线y=ax2−2ax−1(a≠0)，∵ 当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，故①正确，=1，故②错误，函数图象的对称轴是直线x=−−2a2a当a=1时，y=x2−2x−1，当x=−1时，y=2，故③正确，当a=−2时，y=−2x2+4x−1，当y=0时，−2x2+4x−1=0，则△=42−4×(−2)×(−1)=8>0，故当a=−2时，函数图象与x轴有两个交点，故④错误，6.【答案】D【解答】由抛物线的开口向下可得：a<0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b<0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，∵ abc>0，故①正确；=−1，可得b＝2a，直线x＝−1是抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以−b2aa−2b+4c＝a−4a+4c＝−3a+4c，∵ a<0，∵ −3a>0，∵ −3a+4c>0，即a−2b+4c>0，故②错误；∵ 抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是x ＝−1．且过点(12, 0)，∵ 抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(−52, 0)，当x =−52时，y ＝0，即a(−52)2−52b +c ＝0， 整理得：25a −10b +4c ＝0，故③正确；∵ b ＝2a ，a +b +c <0，∵ 12b +b +c <0，即3b +2c <0，故④错误；当x ＝−1时，a −b +c ≥am 2−bm +c ，∵ a −b ≥m(am −b)，故⑤正确；7.【答案】D【解答】解：A ，由于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与y 轴交于正半轴，所以c >0，故A 错误； B ，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有2个交点，所以b 2−4ac >0，故B 错误； C ，当x =−1时，y >0，即a −b +c >0，故C 错误；D ，因为A(1, 0)，B(5, 0)，所以对称轴为直线x =1+52=3，故D 正确． 故选D .8.【答案】D【解答】解：∵ 抛物线开口向下，∵ a <0；又∵ 抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∵ x =−b 2a >0，∵ b >0，而抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∵ c >0．故选D ．9.【答案】A【解答】令x−1＝0，则x＝1．10.【答案】D【解答】解：点A(1, 3)，B(m, 3)是抛物线y=a(x−4)2+ℎ上两个不同的点，得(1, 3)与(m, 3)关于对称轴x=4对称，m−4=4−1，解得m=7.故选D.二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】−1【解答】解：，当a<0时，二次函数有最大值，其公式为y max=4ac−b24a=8，整理可得a2−8a−9=0，∵ 4a2−624a解得a=9（舍去）或a=−1，故答案为：−1．12.【答案】y1>y2＝y3【解答】∵ 抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，对称轴是直线x＝1，∵ 抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，∵ x取−2时所对应的点离对称轴最远，x取0与2时所对应的点离对称轴一样近，∵ y1>y2＝y3．13.【答案】y=−2x2−4x−5【解答】解：根据题意设y=a(x+1)2−3，将(0, −5)代入得：a−3=−5，解得：a=−2，则抛物线解析式为y=−2(x+1)2−3=−2x2−4x−5．故答案为：y=−2x2−4x−514.【答案】8【解答】∵ y＝−(x−1)2+8，∵ 此函数的顶点坐标是(1, 8)，即当x＝1时，函数有最大值8．15.【答案】y＝(x+1)2+3【解答】y＝x2+2x+4＝(x2+2x+1)+3＝(x+1)2+3，即y＝(x+1)2+3．16.【答案】2【解答】解：∵ 点A(1, 0)，B(3, 0)的纵坐标相等，∵ A、B两点是抛物线上的两个对称点，=2．∵ 对称轴是直线x=1+3217.【答案】5【解答】∵ y＝(x−2)2+1＝x2−4x+4+1＝x2−4x+5，∵ c的值为5．18.【答案】<【解答】解：∵ 二次函数y=x2+2x+m的图象的对称轴是x=−1，在对称轴的右面y随x的增大而增大，∵ 点A(2, y1)、B(3, y2)是二次函数y=x2+2x+m的图象上两点，2<3，∵ y1<y2．故答案为：<．19.【答案】①②③④【解答】解：∵ 该函数图象的开口向下，∵ a<0；<0，∵ a<0，−b2a∵ b<0，∵ 抛物线和y轴的交点是(0, 2)，∵ c>0，∵ abc>0，故②正确；∵ 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−1, 2)，∵ a−b+c=2，故①正确；根据图象知，当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0；故③正确；<0，∵ 对称轴−1<x=−b2a∵ 2a−b<0，故④正确；故答案为①②③④．20.【答案】2【解答】解：根据表格给出的各点坐标可得出，该函数的对称轴为直线x=0，求得函数解析式为y=3x2−1，则x=2与x=−2时应取值相同，故这个算错的y值所对应的x=2．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：（1）∵ 二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A(3, −4)，∵ 9a+12+2=−4，∵ a=−2；（2）∵ y=−2x2+4x+2=−2(x−1)2+4，∵ 顶点坐标为(1, 4)；（3）∵ y=−2x2+4x+2中，a=−2<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，∵ 当x>1时，函数y随自变量增大而减小．【解答】解：（1）∵ 二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A(3, −4)，∵ 9a+12+2=−4，∵ a=−2；（2）∵ y=−2x2+4x+2=−2(x−1)2+4，∵ 顶点坐标为(1, 4)；（3）∵ y=−2x2+4x+2中，a=−2<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，∵ 当x>1时，函数y随自变量增大而减小．22.【答案】【解答】此题暂无解答23.【答案】<．【解答】解：（1）∵ 抛物线y=ax2经过点A(−2, 4)．∵ 4=(−2)2a，∵ a=1，∵ 抛物线的函数关系式为（2）∵ 当x=−√3时，y=(−√3)2=3，∵ 点B(−√3, −3)不在此抛物线上．（3）∵ 抛物线y=x2的对称轴为y轴，图象上有两点M(x1, y1)、N(x2, y2)，其中|x1|<|x2|，∵ M(x1, y1)比N(x2, y2)离y轴要近，而抛物线开口向上，∵ y1<y2．24.【答案】解：（1）∵ 抛物线与y轴的交点在x轴下方，∵ c <0；（2）∵ 抛物线经过点(0, −1)，∵ c =−1，∵ 抛物线解析式为y =x 2−2x −1．【解答】解：（1）∵ 抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∵ c <0；（2）∵ 抛物线经过点(0, −1)，∵ c =−1，∵ 抛物线解析式为y =x 2−2x −1．25.【答案】解：(1)解方程组{y =x 2−2,y =x +4,解得：{x 1=3,y 1=7,和{x 2=−2,y 2=2,即A 的坐标为(−2,2)，B 的坐标为(3,7).(2)当y 1<y 2时，自变量x 的取值范围是−2<x <3.【解答】解：(1)解方程组{y =x 2−2,y =x +4,解得：{x 1=3,y 1=7,和{x 2=−2,y 2=2,即A 的坐标为(−2,2)，B 的坐标为(3,7).(2)当y 1<y 2时，自变量x 的取值范围是−2<x <3. 26.【答案】由题意得抛物线y ＝−x 2+2bx +b 2+1的对称轴为x =−2b −2=b ， ∵ 点A 坐标为(b, 0)，∵ 点B 坐标为(0, 3−b 2)把(0, 2)代入y ＝−x 2+2bx +b 2+1中，解得b ＝±1．∵ b >0，∵ b ＝1．∵ 抛物线的表达式为y＝−x2+2x+2；当抛物线过点B时，抛物线AB有一个公共点，∵ b2+1＝3−b2∵ b＝±1，如图：当b>1时，抛物线与线段AB无交点；当b＝1时，抛物线与线段AB有一个交点；当−1<b<1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＝−1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b<−1时，抛物线与线段AB无交点．∵ 若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则−1≤b≤1．【解答】=b，由题意得抛物线y＝−x2+2bx+b2+1的对称轴为x=−2b−2∵ 点A坐标为(b, 0)，∵ 点B坐标为(0, 3−b2)把(0, 2)代入y＝−x2+2bx+b2+1中，解得b＝±1．∵ b>0，∵ b＝1．∵ 抛物线的表达式为y＝−x2+2x+2；当抛物线过点B时，抛物线AB有一个公共点，∵ b2+1＝3−b2∵ b＝±1，如图：当b>1时，抛物线与线段AB无交点；当b＝1时，抛物线与线段AB有一个交点；当−1<b<1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＝−1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b<−1时，抛物线与线段AB无交点．∵ 若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则−1≤b≤1．。
26.2.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一、单选题1．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ ）A．y=-6x2+3x+4B．y=-2x2+3x-4C．y=x2+2x-4D．y=2x2+3x-42．已知点在抛物线上，则的值为（）A．B．C．2D．3．某函数图象刚经过（1，1），该函数的解析式可以是（）A．B．C．D．4．已知抛物线经过和两点，则的值为（）A．B．C．D．5．如果A(-2，n)，B(2，n),C(4，n+12)这三个点都在同一个函数的图象上，那么这个函数的解析式可能是( )A．B．C．D．6．已知二次函数的图象经过（1,3），（0,1）两点，则b，c的值为（）A．，B．，C．，D．，7．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）A．-11B．-2C．1D．-58．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点，且，，．则下列判断中正确的是( )A．此抛物线的解析式为B．当时，随着的增大而增大C．此抛物线与直线只有一个交点D．在此抛物线上的某点，使的面积等于，这样的点共有三个9．如图，已知二次函数在坐标平面上的图象经过、两点．若，，则的值可能为（）A．1B．3C．5D．7二、填空题10．写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式：_______．11．已知二次函数的图象经过(-1.0)、(3.0)、(0、3)三点，那么这个二次函数的解析式为______．12．已知抛物线y=ax2+bx+8经过点（3，2），则代数式3a+b+8的值为______．13．抛物线经过点（，）、（，）两点，则关于的一元二次方程的解是______________．三、解答题14．已知二次函数的图象过点P（2，0），对称轴x=4，顶点在直线y=x﹣1．（1）求顶点坐标；（2）求二次函数的解析式．15．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．（1）画出关于点O成中心对称的，并写出点B1的坐标；（2）求出以点B1为顶点，并经过点B的二次函数关系式.16．已知二次函数（）与一次函数的图象相交于A.B两点，如图所示，其中．（1）请求出以上两个函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）求的面积．参考答案1．D解析：利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，得：解得所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4．故选：D【点拨】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识．2．C解析：把点代入，求解即可.解：把点代入，得：解得：a=2故选：C【点拨】本题考查待定系数法，正确代入求值是本题的解题关键.3．A解析：把分别代入四个选项中的解析式，即可判断．解：A．把代入得，故函数经过点；B．把代入得，故函数不经过点；C．把代入得，故函数不经过点；D．把代入得，故函数不经过点；故选：A．本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．4．C解析：将分别代入抛物线中，转化为解关于n、b的二元一次方程组，由代入消元法解题即可．将代入中得，把①代入②，解得，把代入①得故选：C．【点拨】本题考查抛物线解析式的求法，其中涉及二元一次方程组的解法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．D解析：分析给出的三个点的特点，可知A,B关于y轴对称，所以排除关于原点对称的函数A，B选项，然后再利用函数的增减性可得出答案.∵A(-2，n)，B(2，n)∴点A与点B关于y轴对称∵、的图象都关于原点对称∴选项A,B错误∵由B(2，n)、C(4，n+12)得，在对称轴右侧y随x增大而增大∴a＞0∴选择D：【点拨】本题主要考查函数的增减性和对称性，掌握函数的图象和性质是解题的关键.6．B解析：把（1,3），（0,1）两点坐标代入y=x2+bx+c得到关于B.c的方程组，然后解方程组即可把（1,3），（0,1）代入得，解得所以选B.【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．7．D解析：由已知可得函数图象关于y轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，根据正确的数据求出函数的解析式，进而可得答案．解：由已知中的数据，可得函数图象关于y轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，故函数的顶点坐标为（0，1），y=ax2+1，当x=±1时，y=a+1=-2，故a=-3，故y=-3x2+1，当x=±2时，y=4a+1=-11，故错误的数值为-5，故选D．【点拨】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．8．C解析：利用CO=2AO，而CO=BO，AB=3，可得出AO=1，BO=OC=2，即可求出二次函数的解析式，由二次函数的对称轴，可得出当x＞0时，y随着x的增大而先减小再增大，由二次函数的最小值为-，可得此抛物线与直线y=-只有一个交点，由△MAB的面积等于4，得出M到x轴的距离为，这样的点共有2个．即可选出答案.解：∵CO=2AO，而CO=BO，AB=3，∴AO=1，BO=OC=2，即A（-1，0），B（2，0），C（0，-2），∴二次函数的解析式为y=x2-x-2，故A错误．∵二次函数的对称轴为x=，∴当x＞0时，y随着x的增大而先减小再增大，故B错误．∵此二次函数的最小值为-，∴此抛物线与直线y=-只有一个交点，C正确．∵要使△MAB的面积等于4，须使M到x轴的距离为，这样的点共有2个，故B错误．故选C.【点拨】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解.9．D解析：先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于抛物线过（0，5）、（10，8）两点．若a<0，0<h<10，则点（0，5）到对称轴的距离大于点（10，8）到对称轴的距离，所以h-0>10-h，然后解不等式后进行判断．∵抛物线的对称轴为直线x=h,而(0,5)、(10,8)两点在抛物线上，∴h−0>10−h，解得h>5.故答案选D.【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系. 10．等解析：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，根据开口向上，a＞0，可取a=1，将(0，1)代入得出c=1，即可得出二次函数表达式．设二次函数的表达式为(a≠0)，∵图象为开口向上，且经过(0，1)，∴a＞0，c=1，∴二次函数表达式可以为：(答案不唯一)．故答案为：(答案不唯一)．【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，得出a的符号和c=1是解题关键．11．解析：求函数的解析式的方法是待定系数法，可以设函数的解析式是y=ax2+bx+c，把(-1.0)、(3.0)、(0、3)三点的坐标代入就得到一个关于A.B.c的方程组，就可以求出函数的解析式．解：设：函数的解析式是：y=ax2+bx+c，把(-1,0)，(3,0)和(0,3)三点的坐标代入得到：，解得：，因而函数的解析式是：，故答案为．【点拨】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．12．6．解析：由抛物线y=ax2+bx+8经过点（3，2），代入得a与b的关系3a+b=-2，再整体代入求代数式的值即可．由抛物线y=ax2+bx+8经过点（3，2），将点（3，2）代入抛物线的：2=9a+3b+8，整理得：3a+b+2=0，当3a+b=-2时，代数式3a+b+8=-2+8=6，则代数式3a+b+8的值为6，故答案为：6．【点拨】本题考查代数式的值问题，掌握利用抛物线过点来解决式子的值，会利用式子的值解决问题是关键．13．，解析：由题意可得关于A.B.c的方程组，解方程组用含a的式子表示出B.c，然后把B.c代入到一元二次方程组进行求解即可得．依题意，得：，解得：，所以，关于x的一元二次方程a(x－2)2＋c＝2b－bx为：，即：，化为：，解得：，，故答案为，．【点拨】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键．14．（1）顶点坐标为（4，3）；（2）y=﹣（x﹣4）2+3．解析：(1)直接由对称轴x=4，顶点在直线y=x﹣1，可得顶点坐标.(2) 设二次函数的解析式为：y=a（x﹣4）2+3,代入P点坐标可求得二次函数的解析式.解：（1）∵对称轴x=4，顶点在直线y=x﹣1，∴y=3，∴顶点坐标为（4，3）；（2）设二次函数的解析式为：y=a（x﹣4）2+3，把点P（2，0）代入得，a（2﹣4）2+3=0，解得：a=﹣，∴二次函数的解析式为：y=﹣（x﹣4）2+3．【点拨】本题主要考查二次函数的对称轴的求法及待定系数法求二次函数解析式.15．（1）图见解析，点；（2）.解析：(1) 先由条件求出A点的坐标, 再根据中心对称的性质求出、的坐标, 最后顺次连接、, △OAB关于点O成中心对称的△就画好了,可求出B1点坐标.(2) 根据(1) 的结论设出抛物线的顶点式, 利用待定系数法就可以直接求出其抛物线的解析式.（1）如图，点.（2）设二次函数的关系式是，把（4，2）代入上式得，，即二次函数关系式是.【点拨】本题主要考查中心对称的性质，及用待定系数法求二次函数的解析式，难度不大.16．（1）一次函数表达式为，二次函数表达式为；（2）(2，-4)；（3）解析：（1）代入点A的坐标可求出直线与抛物线的解析式；（2）两个函数解析式联立即可求解B点坐标；（3）设AB交y轴于点G，过B作BH⊥OG于点H，利用S△OAB=OG•|A的横坐标|+OG•|点B 的横坐标|，求解即可．（1）一次函数的图象相过点，，解得一次函数表达式为，∵y=ax2过点A(-1，-1),∴-1=a×(-1)2，解得a= -1∴二次函数的解析式为（2）由一次函数与二次函数联立可得解得，∴B(2，-4)（3）设AB交y轴于点G，过B作BH⊥OG于点H在y=-x-2中，令x=0，得y= -2∴由（2）得BH=2∴S△OAB=S△AOG+S△BOG=×2×1+×2×2=1+2=3．【点拨】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，题目较为基础，难度较低，解题的关键是正确的求出点B 的坐标．。
华师大新版九年级（下）中考题同步试卷：26.2 二次函数的图象与性质（02）一、选择题（共17小题）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）2．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x＝﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x＝2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x＝﹣2的右侧3．对于二次函数y＝﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x＝1；②设y1＝﹣x12+2x1，y2＝﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（）A．1B．2C．3D．44．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝﹣2的是（）A．y＝（x+2）2B．y＝2x2﹣2C．y＝﹣2x2﹣2D．y＝2（x﹣2）2 5．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（）A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）B．顶点坐标是（1，﹣3）C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）D．当x＜0时，y随x的增大而减小6．若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A．m＞1B．m＞0C．m＞﹣1D．﹣1＜m＜07．设二次函数y＝（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）8．如图，反比例函数y＝的图象经过二次函数y＝ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a＝b+2k B．a＝b﹣2k C．k＜b＜0D．a＜k＜09．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m＝﹣1B．m＝3C．m≤﹣1D．m≥﹣110．二次函数y＝x2+4x﹣5的图象的对称轴为（）A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝2D．x＝﹣211．已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数12．数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数y＝x2+1与y＝的交点的横坐标x0的取值范围是（）A．0＜x0＜1B．1＜x0＜2C．2＜x0＜3D．﹣1＜x0＜0 13．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（）A．B．C．D．14．下列三个函数：①y＝x+1；②；③y＝x2﹣x+1．其图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（）A．0B．1C．2D．315．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是（）A．y≥3B．y≤3C．y＞3D．y＜316．在同一平面坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．17．一次函数y＝ax+b（a≠0）、二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（）A．b＝2a+k B．a＝b+k C．a＞b＞0D．a＞k＞0二、填空题（共10小题）18．抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标是．19．定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＜x2时，都有y1＜y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有（填上所有正确答案的序号）①y＝2x；②y＝﹣x+1；③y＝x2（x＞0）；④y＝﹣．20．下列函数（其中n为常数，且n＞1）①y＝（x＞0）；②y＝（n﹣1）x；③y＝（x＞0）；④y＝（1﹣n）x+1；⑤y＝﹣x2+2nx（x＜0）中，y的值随x的值增大而增大的函数有个．21．二次函数y＝﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是．22．二次函数y＝x2+2x的顶点坐标为，对称轴是直线．23．函数y＝x2+2x+1，当y＝0时，x＝；当1＜x＜2时，y随x的增大而（填写“增大”或“减小”）．24．已知二次函数y＝（x﹣2）2+3，当x时，y随x的增大而减小．25．二次函数y＝x2﹣2x+3图象的顶点坐标为．26．对于两个二次函数y1，y2，满足y1+y2＝2x2+2x+9．当x＝m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．27．二次函数y＝x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（，）．三、解答题（共3小题）28．已知点A（﹣2，n）在抛物线y＝x2+bx+c上．（1）若b＝1，c＝3，求n的值；（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣4，请画出点P （x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．29．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x﹣1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．30．已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1．（1）求证：2a+b＝0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．华师大新版九年级（下）中考题同步试卷：26.2 二次函数的图象与性质（02）参考答案一、选择题（共17小题）1．D；2．D；3．C；4．A；5．B；6．B；7．B；8．D；9．D；10．D；11．D；12．B；13．A；14．C；15．B；16．D；17．D；二、填空题（共10小题）18．（﹣1，2）；19．①③；20．3；21．（1，﹣2）；22．（﹣1，﹣1）；x＝﹣1；23．﹣1；增大；24．＜2；25．（1，2）；26．y2＝（x+）2+3；y2＝（x﹣）2+3；27．2；﹣7；三、解答题（共3小题）28．；29．；30．；。
初中数学华东师范大学九年级下册第二十六章26.2.1. 二次函数y=ax2的图象与性质随堂练习一、单选题1．给出下列四个函数：①y＝﹣x；②y＝x；③y＝x2，x＜0时，y随x的增大而减小的函数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（ ）A．抛物线开口向下B．抛物线的顶点坐标为（2，6）C．抛物线的对称轴是直线x=6D．抛物线经过点（0，10）3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ）A．b＞0，c＞0B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＞0D．b＜0，c＜0．4．已知抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c，则下列说法中错误的是（ ）A．a确定抛物线的形状与开口方向B．若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变C．若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变D．若将抛物线C沿直线l：y=x+2平移，则a、b、c的值全变5．下列各点中，在二次函数y=-x2的图象上的是（ ）A．B．C．D．6．与抛物线y=―12x2+3x―5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（ ）A．y=―14x 2+32x―52B．y=―12x2―7x+8C．y=12x2+6x+10D．y=―x2+3x―57．如图，二次函数y=a x2+bx的图象经过点A，B，C，则判断正确是（ ）A．a>0,b>0B．a<0,b<0C．a>0, b<0D．a<0, b>08．已知物体下落高度h关于下落时间t的函数关系式h＝1gt2，则此函数的图象为（ ）2A．B．C．D．二、填空题9．若抛物线y=a x2+bx+c（a≠0）的示意图如图所示，则a 0，ba 0，ca 0（填“ >”，“＝”或“ <”）．10．若点A（1，n）在二次函数的图象上，则点A关于抛物线对称轴的对称点的坐标是 ，这两点间的线段被对称轴 ．11．二次函数y=x2的图象开口方向是 （填“向上”或“向下”）.12．写出一个开口向上，顶点是坐标原点的二次函数的解析式： .13．当a>0时，二次函数y=a x2―2x―1的图象开口向 14．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是 ．三、解答题15．已知抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如图所示，试确定a，b，c，b2－4ac及a+b+c 的符号．16．由于x2≥0，所以x2有最小值0，从而x2+1有最小值1．据此请求出（1）x2﹣2的最小值；（2）x2﹣4x+1的最小值；（3）﹣x2+3x+2有最大值还是最小值呢？请你求出这个最大或最小值来．17．在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)．(1)当k＝－2时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围．(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．参考答案与试题解析1．B2．D3．D4．D5．A6．B7．A8．A9．＞；＜；＜10．；垂直平分11．向上12．y=2x213．上14．m＞115．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴C＜0．又∵对称轴在y轴左侧，∴ab＞0．∵a＞0，∴b＞0．∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2－4ac＞0．∵当x=1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0．16．解：（1）x2﹣2的最小值为﹣2；（2）x2﹣4x+1=（x﹣2）2﹣3，所以x2﹣4x+1的最小值为﹣3；（3）﹣x2+3x+2=﹣（x﹣32）2+174，所以﹣x2+3x+2有最大值，最大值为174．17．解：(1)因为k＝－2，所以A(1，－2)，设反比例函数为y＝k1x ，因为点A在函数的图象上，所以－2＝k11，解得k1＝－2，反比例函数解析式为y＝－2x.(2)由y ＝k(x 2＋x －1)＝k x +－54k ，得抛物线对称轴为直线x ＝－12，当k>0时，反比例函数不存在y 随着x 的增大而增大的取值范围，所以k<0，此时，当x<0或x>0时，反比例函数值y 随着x 的增大而增大；当x≤－12时，二次函数值y 随着x 的增大而增大，所以自变量x 的取值范围是x≤－12.(3)由题(2)得点Q 的坐标为（-12，-54k ），因为AQ ⊥BQ ，点O 是AB 的中点，所以OQ ＝12AB ＝OA ，得14＋2516k 2＝12＋k 2，解得k ＝±233.。
九年级下册第26章第2节26.2.3求二次函数的表达式课时练习一、单选题（共15题）1.如图，观察二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，下列结论：①a +b +c ＞0，②2a +b ＞0，③b 2-4ac ＞0，④ac ＞0． 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④ 答案:C解析：解答：由图象可知当x =1时，y ＜0， ∴a +b +c ＜0， 故①不正确； 由图象可知0＜-2ba＜1， ∴2ba＞-1， 又∵开口向上， ∴a ＞0， ∴b ＞-2a ， ∴2a +b ＞0， 故②正确；由图象可知二次函数与x 轴有两个交点， ∴方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根， ∴△＞0，即b 2-4ac ＞0， 故③正确；由图象可知抛物线开口向上，与y 轴的交点在x 轴的下方， ∴a ＞0，c ＜0， ∴ac ＜0，故④不正确；综上可知正确的为②③， 选C ．分析: 令x =1代入可判断①；由对称轴x =-2ba的范围可判断②；由图象与x 轴有两个交点可判断③；由开口方向及与x 轴的交点可分别得出a 、c 的符号，可判断④2.已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ ） A ．y =-6x 2+3x +4 B ．y =-2x 2+3x -4 C ．y =x 2+2x -4 D ．y =2x 2+3x -4 答案:D解析：解答：设所求函数的解析式为y =ax 2+bx +c ， 把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，得：541a b c c a b c -+-⎪⎩+⎪-+⎧⎨＝＝＝解得234a b c ⎪⎪-⎧⎨⎩＝＝＝所求的函数的解析式为y =2x 2+3x -4． 选D分析: 利用待定系数法即可求出抛物线的解析式3.如果抛物线y =x 2-6x +c -2的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于（ ） A ．8 B ．14 C ．8或14 D ．-8或-14 答案:C解析：解答: 根据题意()()24426c ---=±3，解得c =8或14． 选C ．分析: 根据题意，知顶点的纵坐标是3或-3，列出方程求出解4. 某抛物线的顶点坐标为（1，-2），且经过（2，1），则抛物线的解析式为（ ） A.y =3x 2-6x -5 B ．y =3x 2-6x +1 C ．y =3x 2+6x +1 D ．y =3x 2+6x +5 答案:B解析：解答: ∵抛物线的顶点坐标为（1，-2），且经过（2，1）， ∴设抛物线的解析式为y =a （x -1）2-2， 把（2，1）代入得：1=a （2-1）2-2，解得：a=3，∴y=3（x-1）2-2=3x2-6x+1，选B分析: 设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-2，把（2，1）代入得出1=a（2-1）2-2，求出a 5.与y=2（x-1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y=1+12x2B．y=（2x+1）2 C．y=（x-1）2D．y=2x2答案:D解析：解答: y=2（x-1）2+3中，a=2．选D．分析: 抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同6.已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上，则c等于（）A．4 B．8 C．-4 D．16答案:D解析：解答: 根据题意，得()24841c--⨯=0，解得c=16．选D．分析: 顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是07.若二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（）A．y=-（x-2）2-1 B．y=-12（x-2）2-1C．y=（x-2）2-1 D．y=12（x-2）2-1答案:C解析：解答: 设这个二次函数的解析式为y=a（x-h）2+k ∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），∴二次函数的解析式为y=a（x-2）2-1，把（0，3）分别代入得a=1，所以y=（x-1）2-1．选C分析: 根据二次函数的顶点式求解析式8.二次函数的图象如图，则它的解析式正确的是（）A．y=2x2-4x B．y=-x（x-2）C．y=-（x-1）2+2 D．y=-2x2+4x答案:D解析：解答: 根据图象得：抛物线的顶点坐标为（1，2），设抛物线解析式为y=a（x-1）2+2，将（2，0）代入解析式得：0=a+2，解得：a=-2，则抛物线解析式为y=-2（x-1）2+2=-2x2+4x．选D分析: 根据图形得出抛物线的顶点坐标为（1，2），设出抛物线的顶点形式，讲（2，0）代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式9.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线y=-2x2相同，则y=ax2+bx+c的函数关系式为（）A．y=-2x2-x+3 B．y=-2x2+4x+5C．y=-2x2+4x+8 D．y=-2x2+4x+6答案:D解析：解答：根据题意a=-2，所以设y=-2（x-x1）（x-x2），求出解析式y=-2（x+1）（x-3），即是y=-2x2+4x+6．选D分析: 抛物线y=ax2+bx+c的形状与抛物线y=-2x2相同，a=-2．y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），利用交点式求表达式10.若抛物线y=x2-x-2经过点A（3，a），则a的值是（）A．2 B．4 C．6 D．8答案:B解析：解答: 将A点横坐标x=3代入抛物线解析式y=x2-x-2，得：a=32-3-2=4．选B ．分析: 将A 点横坐标代入抛物线解析式y =x 2-x -2即可求得a 的值11.若所求的二次函数图象与抛物线y =2x 2-4x -1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（ ） A ．y =-x 2+2x +4 B ．y =-ax 2-2ax -3（a ＞0） C ．y =-2x 2-4x -5 D ．y =ax 2-2ax +a -3（a ＜0） 答案:D解析：解答：抛物线y =2x 2-4x -1的顶点坐标为（1，-3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，-3），且抛物线开口向下． A.抛物线开口向下，顶点坐标是（1，5），故选项错误； B.抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3a -3），故选项错误； C.抛物线开口向下，顶点坐标是（-1，-3），故选项错误； D.抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3），故选项正确． 选D ．分析: 先由顶点公式（-2b a,244ac b a ）求出抛物线y =2x 2-4x -1的顶点坐标为（1，-3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，-3），且抛物线开口向下．再分别确定选项中的顶点坐标和开口方向12.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）A ．y =x 2-2x +3B ．y =x 2-2x -3C ．y =x 2+2x -3D ．y =x 2+2x +3 答案:B解析：解答: 根据题意，图象与y 轴交于负半轴，故c 为负数，又四个选项中，B 、C 的c 为-3，符合题意，故设二次函数的表达式为y =ax 2+bx +c ， 抛物线过（-1，0），（0，-3），（3，0），所以3930 a b cca b c-+-⎩+⎪⎪+⎧⎨＝＝＝解得a=1，b=-2，c=-3，这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3．选B分析: 根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数13.已知函数y=ax2+bx+z的图象如图所示，那么函数解析式为（）A．y=-x2+2x+3 B．y=x2-2x-3 C．y=-x2-2x+3 D．y=-x2-2x-3 答案:A解析：解答: 由图知：抛物线经过点（-1，0），（3，0），（0，3）；设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），则有：a（0+1）（0-3）=3，a=-1；即：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3，选A．分析: 此题有两种解法：①直接用待定系数法求解；②用排除法：首先根据抛物线与y轴交点坐标，可判断出抛物线解析式的常数项为3，因此B、D可以被排除；然后将A点坐标代入A、C进行验证14.如果抛物线y=-x2+bx+c经过A（0，-2），B（-1，1）两点，那么此抛物线经过（）A．第一、二、三、四象限B．第一、二、三象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限答案:D解析：解答: ∵抛物线y=-x2+bx+c经过A（0，-2），B（-1，1）两点，∴211cb c---+⎧⎨⎩＝＝解得24cb⎩-⎧⎨＝＝，；∴该抛物线的解析式是：y=-x2-4x-2=-（x+2）2-2，∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（-2，2），与y轴的交点是（0，-2），∴该抛物线经过第二、三、四象限．选D．分析: 利用待定系数法求得该抛物线的解析式，然后根据解析式求得该抛物线与y轴的交点坐标、顶点坐标，从而推知该抛物线所经过的象限15.已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（）A.y=2x2+x+2 B．y=x2+3x+2 C．y=x2-2x+3 D．y=x2-3x+2答案：D解析：解答：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得：2420a b cca b c+++⎧⎪⎪⎩+⎨＝＝＝，解之得123acb⎪⎪-⎧⎨⎩＝＝＝所以该函数的解析式是y=x2-3x+2．选D分析:本题已知了抛物线上三点的坐标，可直接用待定系数法求解二、填空题（共5题）16.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0）、（3，0）和（0，2），当x=2时，y的值为_______答案：2然后把x=2代入解析式17.已知一个二次函数具有性质①图象不经过三、四象限；②点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：__________答案:y=14x2（答案不唯一）解析：解答: 依题意设解析式是y=ax2把（2，1）代入就得到a=1 4故解析式是y=14x2．分析：图象不经过三、四象限则函数的开口一定向上，并且顶点一定在x轴或x轴上方；当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大则函数的对称轴一定是y轴或在y轴的左侧，因而可以写出一个对称轴是y轴，顶点是原点的二次函数18.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x=-1对称，且AB=6，顶点在函数y=2x的图象上，则这个二次函数的表达式为_______答案:y=29x2+49x-169解析：解答: ∵对称轴为直线x=-1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=6，∴直线与x轴交于（-4，0），（2，0），顶点的横坐标为-1，∵顶点在函数y=2x的图象上，∴y=2×（-1）=-2，∴顶点坐标为（-1，-2），设二次函数的解析式为y=a（x+1）2-2，把（2，0）代入得，0=9a-2，解得，a=29∴y=29（x+1）2-2=29x2+49x-169∴这个二次函数的表达式为y=29x2+49x-169答案为y=29x2+49x-169分析: 利用二次函数y=x2+bx+c的对称轴为直线x=-1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=6，利用抛物线的对称性可求A、B两点的坐标，根据顶点在函数y=2x的图象上，求得顶点坐标，然后利用待定系数法求得解析式19.若函数y=（m2-4）x4+（m-2）x2的图象是顶点在原点，对称轴是y轴的抛物线，则m=_________答案: -2解析：解答: ∵函数y=（m2-4）x4+（m-2）x2的图象是顶点在原点，∴244acab-＝0，∴m=±2，又∵对称轴是y轴，∴m≠2，∴m=-2．答案为m=-2分析：可把它看为y关于x2的二次函数，由题意函数y=（m2-4）x4+（m-2）x2的图象是顶点在原点，根据顶点坐标公式可以求出m值20.二次函数图象过点（-3，0）、（1，0），且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为____ 答案:y=-x2-2x+3解析：解答: ∵二次函数图象过点（-3，0）、（1，0），且顶点的纵坐标为4，∴顶点横坐标为-1，即顶点坐标为（-1，4），设抛物线解析式为y=a（x+1）2+4，将x=1，y=0代入得：a=-1，则抛物线解析式为y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3．故答案为：y=-x2-2x+3分析: 由已知两点坐标得出顶点横坐标，进而确定出顶点坐标，设出抛物线的顶点形式，将已知一点代入求出a的值，即可确定出解析式三、解答题（共5题）21.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（-1，-1）、B（0，2）、C（1，3）；求二次函数的解析式答案:解答: 设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，∵点A，B，C在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，∴将A（-1，-1）、B（0，2）、C（1，3）代入二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，得132a b ca b cc-+-++⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝解得，a=-1，b=2，c=2．∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+2．解析：分析：根据点A，B，C在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，点的坐标满足方程的关系，将A （-1，-1）、B （0，2）、C （1，3）代入y =ax 2+bx +c 得a =-1，b =2，c =2．从而得出二次函数的解析式为y =-x 2+2x +222.已知二次函数图象经过（1，0），（2，0）和（0，2）三点，求该函数图象的关系式 答案: 解答: 设：函数的解析式是：y =ax 2+bx +c ， 把（1，0），（2，0）和（0，2）三点的坐标代入得到：02420a b c c a b c +++⎧⎪⎪⎩+⎨＝＝＝ 解得：132a b c ⎧⎪⎪⎩-⎨＝＝＝因而函数的解析式是：y =x 2-3x +2分析: 求函数的解析式的方法是待定系数法，可以设函数的解析式是y =ax 2+bx +c ，把（1，0），（2，0）和（0，2）三点的坐标代入就得到一个关于a 、b 、c 的方程组，就可以求出函数的解析式23.若二次函数y =ax 2的图象经过点（-1，2），求二次函数y =ax 2的解析式 答案：解答：∵二次函数y =ax 2的图象经过点（-1，2）， ∴代入得：2=a ×（-1）2， 解得：a =2，即二次函数y =ax 2的解析式是y =2x 2，分析: 把（-1，2）代入二次函数的解析式y =ax 2得出2=a ×（-1）2，求出a 后代入 24.一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y =-2x 2相同，求这个函数解析式 答案：解答：图象顶点坐标为（2，1） 可以设函数解析式是y =a （x -2）2+1又∵形状与抛物线y =-2x 2相同即二次项系数绝对值相同 则|a |=2因而解析式是：y =-2（x -2）2+1或y =2（x -2）2+1， 分析: 已知顶点坐标利用顶点式求解比较简单 25.二次函数的图象如图所示，求解析式第11页 共11页答案：解答：由图象可知，抛物线对称轴是直线x =1，与y 轴交于（0，3），与x 轴交于（-1，0）设解析式为y =ax 2+bx +c ，3012c a b b c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪⎪-+⎩＝＝解得123a b c ⎧-⎪⎨⎪⎩＝＝＝． 解析式为：y =-x 2+2x +3分析: 根据图象可知，抛物线对称轴是直线x =1，与y 轴交于（0，3），与x 轴交于（-1，0），设出一般式，列出方程组求出系数。
华师大新版九年级下学期《26.2 二次函数的图象与性质》同步练习卷一．选择题（共24小题）1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．42．如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．3．已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A．（﹣3，7）B．（﹣1，7）C．（﹣4，10）D．（0，10）4．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．5．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．6．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或7．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c，则P的取值范围是（）A．﹣3＜P＜﹣1B．﹣6＜P＜0C．﹣3＜P＜0D．﹣6＜P＜﹣3 8．在同一平面坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④11．二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（）①bc＞0；②2a﹣3c＜0；③2a+b＞0；④ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0；⑤a+b+c＞0；⑥当x＞1时，y随x增大而减小．A．2B．3C．4D．512．在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有（）A．1个B．1个或2个C．1个或2个或3个D．1个或2个或3个或4个13．一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（）A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0D．a＞k＞0 14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个15．解：∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，∴矩形ABCD关于坐标原点对称，∵A点C点是对角线上的两个点，∴A点、C点关于坐标原点对称，∴C点坐标为（﹣2，﹣1）；∴透明纸由A点平移至C点，抛物线向左平移了4个单位，向下平移了2个单位；∵透明纸经过A点时，函数表达式为y=x2，∴透明纸经过C点时，函数表达式为y=（x+4）2﹣2=x2+8x+14A．y=x2+8x+14B．y=x2﹣8x+14C．y=x2+4x+3D．y=x2﹣4x+3 16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则（）A．M＞0B．M＜0C．M=0D．M的符号不能确定17．已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（）A．﹣2B．0C．2D．2.518．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜c；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．419．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣3B．k＞﹣3C．k＜3D．k＞320．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，Q（2，k）是该抛物线上一点，且AQ⊥BQ，则ak的值等于（）A．﹣1B．﹣2C．2D．321．二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（）A．0＜t＜1B．0＜t＜2C．1＜t＜2D．﹣1＜t＜1 22．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2，则a，b，c，d的大小关系是（）A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c 23．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2B．y=x2﹣x+2C．y=x2+x﹣2D．y=x2+x+2 24．二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x﹣2）2+4二．填空题（共14小题）25．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．26．如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为．27．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是．28．若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是．29．直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB 时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为．30．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b c（用“＞”或“＜”号填空）31．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是．32．若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是．33．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是．34．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c=．35．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO=，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．36．抛物线y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为．37．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象同时满足下列条件：①不经过第二象限；②与坐标轴有且仅有两个交点．这样的二次函数解析式可以是．38．用配方法将抛物线y=x2+2x+1化成y=（x+h）2+k的形式是．三．解答题（共12小题）39．已知抛物线y=a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）．（1）求a的值；（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．40．已知A（1，0）、B（0，﹣1）、C（﹣1，2）、D（2，﹣1）、E（4，2）五个点，抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）经过其中的三个点．（1）求证：C、E两点不可能同时在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上；（2）点A在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上吗？为什么？（3）求a和k的值．41．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标；（2）阴影部分的面积S=；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．42．已知：关于x的方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0．（1）当a取何值时，二次函数y=ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1的对称轴是x=﹣2；（2）求证：a取任何实数时，方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0总有实数根．43．如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．44．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．45．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）求此二次函数的解析式及点B的坐标；=3，请直接写出点P的坐标．（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP46．已知反比例函数y=的图象与二次函数y=ax2+x﹣1的图象相交于点（2，2）（1）求a和k的值；（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？47．已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．48．推理运算：二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移个单位，使得该图象的顶点在原点．49．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．（1）求b和c的值；（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此抛物线上．50．已知点（2，7）在函数y=ax2+b（a，b为常数）的图象上，且当x=时，y=5．（1）求a、b的值；（2）如果点（，m）与（n，17）也在函数图象上，求m，n的值．华师大新版九年级下学期《26.2 二次函数的图象与性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，可判断①；根据对称轴是x=﹣1，可得x=﹣2、0时，y的值相等，所以4a﹣2b+c＞0，可判断③；根据﹣=﹣1，得出b=2a，再根据a+b+c＜0，可得b+b+c＜0，所以3b+2c＜0，可判断②；x=﹣1时该二次函数取得最大值，据此可判断④．【解答】解：∵图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，①正确；∵﹣=﹣1，∴b=2a，∵a+b+c＜0，∴b+b+c＜0，3b+2c＜0，∴②是正确；∵当x=﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，③错误；∵由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值，∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．∴m（am+b）＜a﹣b．故④正确∴正确的有①②④三个，故选：C．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是能看懂图象，利用数形结合的思想解答．2．如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．【解答】解：A、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；C、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；D、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．3．已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A．（﹣3，7）B．（﹣1，7）C．（﹣4，10）D．（0，10）【分析】把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理，然后根据非负数的性质列式求出a、b，再求出点A的坐标，然后求出抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可．【解答】解：∵点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，∴（a﹣2b）2+4×（a﹣2b）+10=2﹣4ab，a2﹣4ab+4b2+4a﹣8b+10=2﹣4ab，（a+2）2+4（b﹣1）2=0，∴a+2=0，b﹣1=0，解得a=﹣2，b=1，∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4，2﹣4ab=2﹣4×（﹣2）×1=10，∴点A的坐标为（﹣4，10），∵对称轴为直线x=﹣=﹣2，∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，坐标与图形的变化﹣对称，把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键．4．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象的性质先确定出a、b、c的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质即可做出判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴由于y轴的左侧；∴a与b同号，∴b＜0，∵抛物线经过原点，所以c=0．∵b＜0，c=0，∴直线y=bx+c经过二、四象限和坐标原点．∵b＜0，∴反比例函数的图象，位于二、四象限．故选：A．【点评】本题主要考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的性质，掌握相关性质是解题的关键．5．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【解答】解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．6．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=m，①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，解得m=﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，此时，m2+1=4，解得m=﹣，m=（舍去）；③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，解得m=2，综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．7．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c，则P的取值范围是（）A．﹣3＜P＜﹣1B．﹣6＜P＜0C．﹣3＜P＜0D．﹣6＜P＜﹣3【分析】利用二次函数图象的开口方向和对称轴求出a＞0，b＜0，a+b+c＜﹣3，把x=﹣1代入求出b=a﹣3，把x=1代入得出P=a+b+c=2a﹣6，求出2a﹣6的范围即可．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），∴0=a﹣b+c，﹣3=c，∴b=a﹣3，∵当x=1时，y=ax2+bx+c=a+b+c，∴P=a+b+c=a+a﹣3﹣3=2a﹣6，∵顶点在第四象限，a＞0，∴b=a﹣3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3，∴﹣6＜2a﹣6＜0，即﹣6＜P＜0．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象的性质，根据图象过（﹣1，0）和点（0，﹣3）得出a与b的关系，以及当x=1时a+b+c=P是解决问题的关键．8．在同一平面坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=，与y轴的交点坐标为（0，c）．【解答】解：解法一：逐项分析A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；解法二：系统分析当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，一次函数图象过一、二、三象限．当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，对称轴x=＜0，这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，一次函数图象过二、三、四象限．故选：D．【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，（故②错误）；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；∵对称轴为直线x=2，∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c 的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y 轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a﹣b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．11．二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（）①bc＞0；②2a﹣3c＜0；③2a+b＞0；④ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0；⑤a+b+c＞0；⑥当x＞1时，y随x增大而减小．A．2B．3C．4D．5【分析】根据抛物线开口向上可得a＞0，结合对称轴在y轴右侧得出b＜0，根据抛物线与y轴的交点在负半轴可得c＜0，再根据有理数乘法法则判断①；再由不等式的性质判断②；根据对称轴为直线x=1判断③；根据图象与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧判断④；由x=1时，y＜0判断⑤；根据二次函数的增减性判断⑥．【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号即b＜0，∵抛物线与y轴的交点在负半轴，∴c＜0，∴bc＞0，故①正确；②∵a＞0，c＜0，∴2a﹣3c＞0，故②错误；③∵对称轴x=﹣＜1，a＞0，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故③正确；④由图形可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧，即方程ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0，故④正确；⑤由图形可知x=1时，y=a+b+c＜0，故⑤错误；⑥∵a＞0，对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x增大而增大，故⑥错误．综上所述，正确的结论是①③④，共3个．故选：B．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．12．在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有（）A．1个B．1个或2个C．1个或2个或3个D．1个或2个或3个或4个【分析】根据关于原点对称的关系，可得C2，根据直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点，可得答案．【解答】解：函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，C2图象是y=﹣x2﹣2x；a非常小时，直线y=a（a为常数）与C1没有交点，与C2有一个交点，所以直线y=a（a为常数）与C1、C2有一个交点；直线y=a经过C1的顶点时，与C2有一个交点，共有两个交点；直线y=a（a为常数）与C1有两个交点时，直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有3个交点．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，先求出C2的图象，再求出交点个数．13．一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（）A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0D．a＞k＞0【分析】根据函数图象知，由一次函数图象所在的象限可以确定a、b的符号，且直线与抛物线均经过点A，所以把点A的坐标代入一次函数或二次函数可以求得b=2a，k的符号可以根据双曲线所在的象限进行判定．【解答】解：∵根据图示知，一次函数与二次函数的交点A的坐标为（﹣2，0），∴﹣2a+b=0，∴b=2a．∵由图示知，抛物线开口向上，则a＞0，∴b＞0．∵反比例函数图象经过第一、三象限，∴k＞0．A、由图示知，双曲线位于第一、三象限，则k＞0，∴2a+k＞2a，即b＜2a+k．故A选项错误；B、∵k＞0，b=2a，∴b+k＞b，即b+k＞2a，∴a=b+k不成立．故B选项错误；C、∵a＞0，b=2a，∴b＞a＞0．故C选项错误；D、观察二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）图象知，当x=﹣=﹣=﹣1时，y=﹣k＞﹣=﹣=﹣a，即k＜a，∵a＞0，k＞0，∴a＞k＞0．故D选项正确；故选：D．【点评】本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象．解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息．14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】观察图象判断出a、b、c的符号，即可得出结论①正确，利用对称轴公式x＞﹣1，可得结论②错误；利用平方差公式，可得结论③正确，利用图象法可以判断出④正确；【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵﹣＜0，∴b＞0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，故①正确，∵﹣＞﹣1，a＞0，∴b＜2a，∴2a﹣b＞0，故②错误，∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，∴a+c＞﹣b，∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴（a+c）2﹣b2=（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，∴b2＞（a+c）2，故③正确，∵点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，观察图象可知y1＞y2，故④正确．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．15．解：∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，∴矩形ABCD关于坐标原点对称，∵A点C点是对角线上的两个点，∴A点、C点关于坐标原点对称，∴C点坐标为（﹣2，﹣1）；∴透明纸由A点平移至C点，抛物线向左平移了4个单位，向下平移了2个单位；∵透明纸经过A点时，函数表达式为y=x2，∴透明纸经过C点时，函数表达式为y=（x+4）2﹣2=x2+8x+14A．y=x2+8x+14B．y=x2﹣8x+14C．y=x2+4x+3D．y=x2﹣4x+3【分析】先由对称计算出C点的坐标，再根据平移规律求出新抛物线的解析式即可解题．【解答】解：∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，∴矩形ABCD关于坐标原点对称，∵A点C点是对角线上的两个点，∴A点、C点关于坐标原点对称，∴C点坐标为（﹣2，﹣1）；∴透明纸由A点平移至C点，抛物线向左平移了4个单位，向下平移了2个单位；∵透明纸经过A点时，函数表达式为y=x2，∴透明纸经过C点时，函数表达式为y=（x+4）2﹣2=x2+8x+14【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则（）A．M＞0B．M＜0C．M=0D．M的符号不能确定【分析】根据图象特征，首先判断出M中的各代数式的符号，然后去绝对值．【解答】解：因为开口向下，故a＜0；当x=﹣2时，y＞0，则4a﹣2b+c＞0；当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；因为对称轴为x=＜0，又a＜0，则b＜0，故2a+b＜0；又因为对称轴x=﹣＞﹣1，则b＞2a∴2a﹣b＜0；∴M=4a﹣2b+c﹣a﹣b﹣c+2a+b+b﹣2a=3a﹣b，因为2a﹣b＜0，a＜0，∴3a﹣b＜0，即M＜0，故选：B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．17．已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（）A．﹣2B．0C．2D．2.5【分析】首先求出k的取值范围，进而利用二次函数增减性得出k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值求出即可．【解答】解：∵m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，∴m，n，k最小为0，当n=0时，k最大为：，∴0≤k，∵2k2﹣8k+6=2（k﹣2）2﹣2，∴a=2＞0，∴k≤2时，代数式2k2﹣8k+6的值随k的增大而减小，∴k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值为：2×（）2﹣8×+6=2.5．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法以及二次函数增减性等知识，根据二次函数增减性得出k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值是解题关键．18．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜c；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x的交点情况结合起来分析问题．【解答】解：①、因为图象与x轴两交点为（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，对称轴x==﹣，则对称轴﹣＜﹣＜0，且a＜0，∴a＜b＜0，由抛物线与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，得c＞0，即a＜b＜c，①正确；②、设x2=﹣2，则x1x2=，而1＜x1＜2，∴﹣4＜x1x2＜﹣2，∴﹣4＜＜﹣2，∴2a+c＞0，4a+c＜0．∴②③正确④、由抛物线过（﹣2，0），则4a﹣2b+c=0，而c＜2，则4a﹣2b+2＞0，即2a﹣b+1＞0．④正确．故选：D．【点评】此题考查了二次函数根与系数的关系，若二次函数y=ax2+bx+c的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．还考查了点与函数的关系，若点在函数上，将点的坐标代入函数即可求得．19．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣3B．k＞﹣3C．k＜3D．k＞3【分析】先根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，即可得出|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围．【解答】解：∵当ax2+bx+c≥0，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，∴此时y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c，∴此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分的图象，∵当ax2+bx+c＜0时，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，∴此时y=|ax2+bx+c|=﹣（ax2+bx+c）∴此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象，∵y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点纵坐标是﹣3，∴函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3，∴y=|ax2+bx+c|的图象如右图，∵观察图象可得当k≠0时，函数图象在直线y=3的上方时，纵坐标相同的点有两个，函数图象在直线y=3上时，纵坐标相同的点有三个，函数图象在直线y=3的下方时，纵坐标相同的点有四个，∴若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则函数图象应该在y=3的上边，故k＞3，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，根据图象得出k的取值范围．20．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，Q（2，k）是该抛物线上一点，且AQ⊥BQ，则ak的值等于（）A．﹣1B．﹣2C．2D．3【分析】设抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（x1，0），（x2，0），且x2＞x1，根据射影定理得k2=2（x1+x2）﹣4﹣x1x2，再由根与系数的关系得x1+x2=﹣，x1x2=，通过整理可得到关于k，a，b的方程，利用整体思想求ak的值即可．【解答】解：设抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，A、B点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x2＞x1，∵k2=（x1﹣2）（2﹣x2）=2（x1+x2）﹣4﹣x1x2∴x1+x2=﹣，x1x2=∴﹣﹣4﹣=k2•=k2又∵4a+2b+c=k∴﹣ak2=4a+2b+c∴k=﹣ak2∴ak=﹣1．故选：A．【点评】根据AQ⊥BQ和Q点的坐标特点，利用射影定理和根与系数的关系结合整体思想解答．21．二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（）A．0＜t＜1B．0＜t＜2C．1＜t＜2D．﹣1＜t＜1【分析】由二次函数的解析式可知，当x=1时，所对应的函数值y=t=a+b+1．把点（﹣1，0）代入y=ax2+bx+1，a﹣b+1=0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出t=a+b+1的变化范围．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（﹣1，0），∴易得：a﹣b+1=0，a＜0，b＞0，由a=b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，由b=a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，∴由①+②得：﹣1＜a+b＜1，在不等式两边同时加1得0＜a+b+1＜2，∵a+b+1=t代入得0＜t＜2，∴0＜t＜2．故选：B．【点评】此题考查了点与函数的关系，解题的关键是画草图，利用数形结合思想解题．22．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2，则a，b，c，d的大小关系是（）A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c 【分析】图中函数均以原点为顶点，y轴为对称轴，根据开口宽窄和方向解答．【解答】解：由二次函数y=ax2的性质知，（1）抛物线y=ax2的开口大小由|a|决定．|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．（2）抛物线y=ax2的开口方向由a决定．当a＞0时，开口向上，抛物线（除顶点外）都在x轴上方；当a＜0时，开口向下，抛物线（除顶点外）都在x轴下方．根据以上结论知：a＞b＞0，0＞c＞d．故选：A．。
26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一、单选题1．抛物线的对称轴是（）A．直线B．直线C．直线D．直线2．抛物线的开口方向和顶点坐标分别是( )A．向上，B．向下，C．向下，D．向上，3．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么（）A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜04．已知二次函数y＝a(x－1)2＋3，当x＜1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是( )A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜05．二次函数的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．6．用配方法将化成的形式为：A．B．C．D．7．要得到二次函数y=-x2+2x-2的图象，需将y=-x2的图象（）A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位8．函数与抛物线的图象可能是（）．A．B．C．D．9．已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（ ）A．k＞B．k≥且k≠0C．k＜D．k＞且k≠0 10．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＜0）经过点(0，2)，且关于直线x＝﹣1对称，（x1，0）是抛物线与x轴的一个交点，有下列结论，其中结论错误的是（）A．方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2B．若x1＝2，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)C．若m＝4时，方程ax2＋bx＋c＝m有两个相等的实数根，则a＝﹣2D．若≤x≤0时，2≤y≤3，则a＝二、填空题11．抛物线的开口方向向______，对称轴是__________，最高点的坐标是_________，函数值得最大值是________．12．把抛物线变为的形式是________．13．抛物线的最高点为（-1，-3），则b+c=____________。
（新课标）华东师大版九年级下册26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y的值随x的增大而减小3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，2）4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞06．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或27．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A．6 B．5 C．4 D．38．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）A．y轴B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3二．填空题（共6小题）9．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是_________ ．10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是_________ （填“上升”或“下降”）．11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是_________ ．12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线_________ ．13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是_________ ．14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m= _________ ．三．解答题（共6小题）15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．19．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有_________ 个；（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．（1）请求出该函数图象的对称轴；（2）在坐标系内作出该函数的图象；（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：二次函数的性质．分析：先根据题意判断出二次函数的对称轴方程，再令x=0求出y的值，进而可得出结论．解答：解：∵二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0）的对称轴为直线x=﹣=﹣=＞0，∴其顶点坐标在第一或四象限，∵当x=0时，y=2，∴抛物线一定经过第二象限，∴此函数的图象一定不经过第三象限．故选C．点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．2抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y的值随x的增大而减小考点：二次函数的性质．分析：结合抛物线的解析式和二次函数的性质，逐项判断即可．解答：解：∵y=2x2，y=x2开口向上，∴A不正确，∵y=﹣2x2，开口向下，∴有最高点，∴C不正确，∵在对称轴两侧的增减性不同，∴D不正确，∵三个抛物线中都不含有一次项，∴其对称轴为y轴，∴B正确，故选B．点评：本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、最值、增减性等基础知识是解题的关键．3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，2）考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的顶点式可求得其顶点坐标．解答：解：∵y=2x2+1=2（x﹣0）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（0，1），故选B．点评：本题主要考查抛物线的顶点坐标，掌握顶点式方程y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点考点：二次函数的性质．专题：常规题型．分析：根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．解答：解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向下．5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．6．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A． 0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2考点：二次函数的性质．专题：数形结合；分类讨论；方程思想．分析：分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数．解答：解：分三种情况：点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0．故方程x2+bx+c=1的解的个数是0，1或2．故选：D．点评：考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．7．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A． 6 B．5 C．4 D． 3考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．故选：D．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．8．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）A． y轴B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的顶点式y=（x﹣h）2+k，对称轴为直线x=h，得出即可．解答：解：抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是直线x=1．故选：C．点评：本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易忽略的地方．二．填空题（共6小题）9．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是 1 ．考点：二次函数的性质．分析：由对称轴是y轴可知一次项系数为0，可求得m的值．解答：解：∵y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，∴m﹣1=0，解得m=1，故答案为：1．点评：本题主要考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴为y轴其一次项系数为0是解题的关键．10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是上升（填“上升”或“下降”）．考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．解答：解：∵y=2x2﹣1，∴其对称轴为y轴，且开口向上，∴在y轴右侧，y随x增大而增大，∴其图象在y轴右侧部分是上升，故答案为：上升．点评：本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是直线x=2 ．考点：二次函数的性质．分析：根据点A、B的纵坐标相等判断出A、B关于对称轴对称，然后列式计算即可得解．解答：解：∵点A（0，5）、B（4，5）的纵坐标都是5相同，∴抛物线的对称轴为直线x==2．故答案为：直线x=2．点评：本题考查了二次函数的性质，观察出A、B是对称点是解题的关键．12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线x=2 ．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．解答：解：对称轴为直线x=﹣=﹣=2，即直线x=2．故答案为：x=2．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴公式，需熟记．13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是a＜﹣3 ．考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限可以确定不等式的开口方向，从而确定a的取值范围．解答：解：∵抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3，故答案为：a＜﹣3．点评：考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限．14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m= 8 ．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的对称轴公式列方程求解即可．解答：解：由题意得，﹣=2，解得m=8．故答案为：8．点评：本题考查了二次函数的性质，熟记对称轴的求法是解题的关键．三．解答题（共6小题）15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．考点：二次函数的图象．分析：首先利用描点法作出y=2x2的图象，然后向上移动1个单位得到y=2x2+1的图象即可；解答：解：列表得：﹣2 ﹣1 0 1 2y=2x28 2 0 2 8y=2x2+1 9 3 1 3 9点评：本题考查了二次函数的图象，解题的关键是正确的列表、描点．16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．解答：解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A （2，0）．解得：h=1，a=﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′点的坐标为（1，），∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．考点：二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．分析：（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得答案；（2）根据函数值为0，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得m的值，根据m的值，可得代数式的值．解答：解：A、y=x2﹣x﹣1=x2﹣x+﹣1﹣=（x﹣）2﹣，顶点坐标是（，﹣），对称轴是x=；（2）当y=0时x2﹣x﹣1=0，解得x=，x=，当m=时，m2+=（）2+===3，当m=时，m2+=（）2===3，m2+=3．点评：本题考查了二次函数的性质，配方法的顶点式解析式，函数值为0时得一元二次方程，注意把符合条件的分别代入求值．18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．考点：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．分析：（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得抛物线的顶点；（2）根据函数值为0，可得B点坐标，根据自变量为0，可得C点坐标，根据勾股定理，可得BC的长，根据正弦的意义，可得答案；（3）根据图象上的点的坐标满足函数解析式，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．解答：解：（1）∵，∴抛物线的顶点坐标为（，）；（2）令x2﹣x﹣6=0，解得x1=﹣2，x2=3，∴点B的坐标为（3，0），又点C的坐标为（0，﹣6），∴，∴；（3）∵点P（m，m）在这个二次函数的图象上，∴m2﹣m﹣6=m，即m2﹣2m﹣6=0，解得，．点评：本题考查了二次函数的性质，配方法可把一般式转化成顶点式，图象上点的坐标满足函数解析式．19．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有无数个；（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．考点：二次函数的性质．专题：新定义．分析：（1）根据伴侣二次函数的定义，可得答案；（2）①根据函数值为0，可得函数与x轴的交点的横坐标就是，可得答案；②根据伴侣二次函数的定义，顶点坐标，可得伴侣二次函数；（3）根据伴侣二次函数的顶点在对方的图象上，二元一次方程组，根据解方程组，可得答案．解答：解：（1）无数；（2）①令y=0，即x2+3x+2=0．解得：x1=﹣1，x2=﹣2．∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（﹣1，0）．（3分）②∵y=x2+3x+2=（x+）2﹣∴顶点坐标为（﹣，﹣）．设以（﹣2，0）为顶点且经过（﹣，﹣）的抛物线的函数关系式为y=a（x+2）2，将x=﹣，y=﹣代入y=a（x+2）2得a=﹣1．∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为y=﹣（x+2）2=﹣x2﹣4x﹣4，同理可求以（﹣1，0）为顶点且经过（﹣，﹣）的抛物线的函数关系式．即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1；（3）设y=a1（x+m）2+n，其顶点为（﹣m，n）；y=a2（x+h）2+k，其顶点为（﹣h，k）．根据“伴侣二次函数”定义可得∴a1（﹣h+m）2=﹣a2（﹣m+h）2．当﹣h≠m时，a1=﹣a2当﹣h=m时，a1、a2为任意不为零的实数．点评：本题考查了二次函数的性质，伴侣二次函数的顶点在对方的图象上是解题关键．20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．（1）请求出该函数图象的对称轴；（2）在坐标系内作出该函数的图象；（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．考点：二次函数的性质；二次函数的图象．分析：（1）根据对称轴的公式，可得答案；（2）根据画函数图象的方法，可得抛物线的图象；（3）根据直线与抛物线相切，可得交点是一个，可得答案．解答：解：（1）；（2）图象（3）因为抛物线的对称轴是x=1，点p（1，5）当过点p且与y轴平行的直线满足与抛物线只有一个交点所以直线x=1为所求直线当过点p的直线不与y轴平行时，设直线的解析式为y=kx+b，令﹣x2+2x+3=kx+b整理得﹣x2+（2﹣k）x+3﹣b=0由题意得△=（2﹣k）2+4（3﹣b）=0即：k2﹣4k+16﹣4b=0又因为y=kx+b，过点p（1，5）所以5=k+b所以k2﹣4=0解得k=±2，当k=2时，b=3；当k=﹣2时，b=7所以解析式为y1=2x+3，y2=﹣2x+7，所以满足条件的直线有三条：直线x=1；y1=2x+3，y2=﹣2x+7．点评：本题考查了二次函数的性质，a＜0时，图象开口向下，对称轴是x=﹣．。
华师大新版九年级（下）中考题同步试卷：26.2 二次函数的图
象与性质（10）
一、选择题（共8小题）
1．二次函数y＝x2﹣4x+5的最小值是（）
A．﹣1B．1C．3D．5
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345
y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：
（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；
（2）当时，y＜0；
（3）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）
A．3B．2C．1D．0
3．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x+1）2+4B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x﹣1）2+2 4．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）
A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣6
5．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y＝﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）
A．y＝x2﹣x﹣2B．y＝x2﹣x+2C．y＝x2+x﹣2D．y＝x2+x+2
6．已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1＝2k+n＝1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（）
A．﹣2B．0C．2D．2.5
7．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或
8．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A．B．C．1D．0
二、填空题（共6小题）
9．把二次函数y＝x2﹣12x化为形如y＝a（x﹣h）2+k的形式．
10．抛物线y＝x2+1的最小值是．
11．函数y＝（x﹣1）2+3的最小值为．
12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c＝．13．已知二次函数y＝x2+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是．14．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为．
三、解答题（共14小题）
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．
16．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线．
（1）求m、n的值；
（2）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，P A：PB＝1：5，求一次函数的表达式．
17．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
18．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．（1）求此抛物线的解析式．
（2）若直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．
19．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x＝﹣3，请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式．
（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣．
20．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．
21．在关于x，y的二元一次方程组中．
（1）若a＝3．求方程组的解；
（2）若S＝a（3x+y），当a为何值时，S有最值．
22．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
23．如图，抛物线y＝a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD ∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形COBD的面积．
24．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x＝2．（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△P AB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
26．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．
27．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．28．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．
华师大新版九年级（下）中考题同步试卷：26.2 二次函
数的图象与性质（10）
参考答案
一、选择题（共8小题）
1．B；2．B；3．D；4．C；5．A；6．D；7．C；8．A；
二、填空题（共6小题）
9．y＝（x﹣6）2﹣36；10．1；11．3；12．﹣2；13．y＝x2﹣7x+12；14．6；
三、解答题（共14小题）
15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；。
