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第三章：流体的流动一、学习要求1、理解理想流体、稳定流动、流线、流管、速度梯度、粘滞系数等基本概念。
2、掌握流体连续性方程和伯努利方程的意义和应用。
3、掌握泊肃叶公式的内涵和适用条件。
4、理解雷诺数及斯托克司定律在医学中的应用。
5、了解层流和湍流的概念及判断标准。
6、了解心脏做功、体内的血流速度及血压分布。
二、推荐学习方法1．体会物理模型的创建方法，重点体会在不同场合选择不同物理模型的依据和理由。
例如，理想流体（绝对不可压缩，完全没有粘滞性的流体），这一概念建立的依据是液体和气体的流动时，很多时候体积变化和摩擦耗能都很少，可以忽略不计，用理想模型使分析简洁，带来的误差又很小。
在应用此模型的时候，一定要注意实际现象中存在的体积变化和摩擦是否可以忽略。
如液体在粗管内流动，比如开口很大的容器底部开一小孔，求小孔处流速，由于水的可压缩性小，体积变化可忽略，容器大，流动时速度梯度小，内摩擦力可忽略，可应用伯努利方程；但如果在开孔处联结一较长细管，水在细管中流动时，粘滞性不可忽略，则要考虑伯肃叶定律；即使管道较粗，如管道较长，比如远距离输油、输水管道，求流量时也要考虑粘滞性。
2．严格遵循各物理规律的应用条件。
连续性原理是同一流管的不同截面处流速的关系，不可比较不同的流管；柏努利方程要在同一流线上使用，比较流体中两点的流速并应用柏努利方程时，一定要用一条流线将二者联系起来；在应用伯肃叶定理时一定要强调水平圆管中的层流。
三、解题指导2-1 有人认为从连续性方程来看管子愈粗流速愈小，而从泊肃叶定律来看管子愈粗流速愈大，两者似有矛盾，你认为如何？为什么？提示：两者所针对的对象是否一样？答：不矛盾，连续性原理指的是同一流管不同截面处的流速关系，截面大处流速小，而泊肃叶定律指出管子愈粗流速愈大是针对不同的流管。
两者没有可比性。
思考：连续性原理和泊肃叶定律的适用条件分别是什么？2-2为什么一个装有烟囱的火炉，烟囱越高通风的效果越好？（即烟从烟囱中排出的速度越大）提示：高空和低空空气的流动状态有无区别？答：由于高处空气的流动速度快，根据柏努利定律，烟囱顶端的气压低，底端气压高，从而推动空气挟带烟尘向烟囱顶部运动，促进通风。
流体力学第三章课后习题答案流体力学第三章课后习题答案流体力学是研究流体运动和流体力学性质的学科。
在学习流体力学的过程中，课后习题是巩固知识和提高理解能力的重要环节。
本文将为大家提供流体力学第三章的课后习题答案，帮助读者更好地掌握流体力学的相关知识。
1. 一个液体的密度为1000 kg/m³，重力加速度为9.8 m/s²，求其比重。
解答：比重定义为物体的密度与水的密度之比。
水的密度为1000 kg/m³，所以比重为1。
因此，该液体的比重也为1。
2. 一个物体在液体中的浮力与物体的重力相等，求物体在液体中的浸没深度。
解答：根据阿基米德原理，物体在液体中的浮力等于物体所排除液体的重量。
浮力的大小等于液体的密度乘以物体的体积乘以重力加速度。
物体的重力等于物体的质量乘以重力加速度。
根据题目条件，浮力等于重力，所以液体的密度乘以物体的体积等于物体的质量。
浸没深度可以通过浸没体积与物体的底面积之比来计算。
3. 一个圆柱形容器中盛有液体，容器的高度为10 cm，直径为5 cm，液体的密度为800 kg/m³，求液体的压强。
解答：液体的压强等于液体的密度乘以重力加速度乘以液体的深度。
容器的高度为10 cm，所以液体的深度为10 cm。
重力加速度为9.8 m/s²，所以液体的压强为800 kg/m³乘以9.8 m/s²乘以0.1 m，即784 Pa。
4. 一个水龙头的出水口半径为2 cm，水流速度为10 m/s，求水龙头出水口附近的压强。
解答：根据质量守恒定律，水流速度越大，压强越小。
根据伯努利定律，水流速度越大，压强越小。
因此，水龙头出水口附近的压强较小。
5. 在一个垂直于水平面的圆柱形容器中，盛有密度为900 kg/m³的液体。
容器的半径为10 cm，液体的高度为20 cm。
求液体对容器底部的压力。
解答：液体对容器底部的压力等于液体的密度乘以重力加速度乘以液体的高度。
吴望一《流体力学》第三章习题参考答案1．解：CV CS d V s dt tτϕϕδτδτϕδ∂=+⋅∂⎰⎰⎰ 由于t 时刻该物质系统为流管，因而侧面上ϕ的通量＝0，于是（1）定常流动0t ϕ∂=∂，222111dV d V d dt τϕδτϕσϕσ=-⎰，设流速正方向从1端指向2端。
（2）非定常流动222111CV d V d V d dt t τϕϕδτδτϕσϕσ∂=+-∂⎰⎰2．解：取一流体微团，设其运动方程为(,,,)(,,,)(,,,)x x a b c t y y a b c t z z a b c t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，由质量守恒得，在0t =和t 时刻()(),,,0,,,a b c dadbdc a b c t dxdydz ρρ=利用积分变换可知()(),,,,x y z dxdydzJ dadbdc a b c ∂==∂（雅可比行列式），于是 ()(),,(,,,0)(,,,),,x y z a b c dadbdc a b c t dadbdc a b c ρρ∂=∂()()()(),,,,,0,,,,,x y z a b c a b c t a b c ρρ∂=∂3．（控制体内流体质量的增加率）＝－（其表面上的质量通量）（2）球坐标系下选取空间体元（控制体）2sin r r δτθδδθδϕ=。
单位时间内该空间内流体质量的增量为2sin r r t tρρδτθδδθδϕ∂∂=∂∂ 该控制体表面上的质量通量：以r e 和－r e 为法向的两个面元上的质量通量为()2sin |sin |sin r r r r r r v r v r r v r r r rδρρδθθδϕρδθθδϕδδθδϕθ+∂-+=∂以e θ和－e θ为法向的两个面元上的质量通量为()sin sin |sin |v v rr v rr r r θθθθθδθρθρδθδϕρδθδϕδδθδϕθ+∂-+=∂以e ϕ和－e ϕ为法向的两个面元上的质量通量为()||v v r r v r r r r ϕϕϕϕϕδϕρρδθδρδθδδδθδϕϕ+∂-+=∂ 所以()()()22sin sin sin 0r v r v vr r r t rϕθρρρθρθθθϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂即()()()22sin 110sin sin r v r v v t r r r rϕθρρρθρθθθϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ （3）柱坐标系下选取空间体元（控制体）r r z δτδθδδ= 单位时间内该空间内流体质量的增量为 ()r r z r r z t tρδδθδρδδθδ∂∂=∂∂该控制体表面上的质量通量为()()()r z rv v v r z r z r r z r zθρρρδδθδδδθδδδθδθ∂∂∂++∂∂∂ 所以()()()0r z rv v v r r t r zθρρρρθ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 即()()()0r z v r v v t r r r zθρρρρθ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ （4）极坐标系下选取面元（控制体）s r r δδθδ=，可认为该面元对应以该面元为底面的单位高度的柱体。
第三章流体动力学基础本章是流体动力学的基础。
主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。
此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。
第一节流体流动的基本概念1.流线（1）流线的定义流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。
图3-1为流线谱中显示的流线形状。
（2）流线的作法：在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。
流线是欧拉法分析流动的重要概念。
图3-1 图3-2（3）流线的性质（图3-3）a.同一时刻的不同流线，不能相交。
图3-3因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。
b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。
（4）流线的方程（图3-4）根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4设d s为流线上A处的一微元弧长:u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。
所以即展开后得到：——流线方程（3-1）（或用它们余弦相等推得)2.迹线(1)迹线的定义迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
图3-5中烟火的轨迹为迹线。
(2)迹线的微分方程（3-2）式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。
第三章 流体运动学3-1解：质点的运动速度1031014,1024,1011034=-=-==-=w v u 质点的轨迹方程1031,52,103000twt z z t vt y y t ut x x +=+=+=+=+=+= 3-2 解：2/12/12/3222/12/12/3220375.0232501.02501.00375.0232501.02501.00t t t dt d dt y d a t t t dt d dt x d a a y x z =⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===由501.01t x +=和10=A x ,得19.1501.011001.015252=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A x t 故206.00146.0146.00,146.0,014619.150375.0222222/1=++=++=====⨯=zyxz x y x a a a a a a a a3-3解：当t=1s 时，点A （1,2）处的流速()()sm s m yt xt v s m s m y xt u /1/1211/5/2211222-=⨯-⨯=-==⨯+⨯=+=流速偏导数112221121,1,/12,1,/1-----=-=∂∂==∂∂==∂∂=∂∂==∂∂==∂∂s t yvs t x v s m t t v s yu s t x u s m x t u点A(1,2)处的加速度分量()[]()()[]222/11151/3/21151s m y v v x v u t v Dt Dv a s m s m yuv x u u t u Dt Du a y x -⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂===⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂==3-4解：(1)迹线微分方程为dt udy dt u dx ==, 将u,t 代入，得()tdtdy dt y dx =-=1利用初始条件y(t=0)=0,积分该式，得221t y =将该式代入到式（a ）,得dx=(1-t 2/2)dt.利用初始条件x(t=0)=0,积分得361t t x -=联立（c ）和（d ）两式消去t,得过（0,0）点的迹线方程023492223=-+-x y y y (2)流线微分方程为=.将u,v 代入，得()tdx dy y tdyy dx =-=-11或 将t 视为参数，积分得C xt y y +=-221 据条件x(t=1)=0和y(t=1)=0,得C=0.故流线方程为xt y y =-221 3-5 答：()()，满足满足002,0001=+-=∂∂+∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂k k zw y v x u zw y v x u()()()()，满足，满足000040223222222=++=∂∂+∂∂+∂∂=+-++=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u yxxyyxxyzw yv xu()()()()()()处满足，其他处不满足仅在，不满足，满足，满足满足，满足0,41049000018001760000522==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=++=∂∂++∂∂=++-=∂∂++∂∂=++=∂∂+∂∂+∂∂y y yv x u yv x u u r r u r u rk r k u r r u r u zw yv xu r r r rθθθθ3-6 解：max 02042020max 20320max 2020max 2020214222111000u r r r r u dr r r r r u rdrd r r u r udA r V r rA r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰⎰πππππ3-7 证：设微元体abcd 中心的速度为u r ,u θ。
单位时间内通过微元体各界面的流体体积分别为()dr d u u cd dr d u u ab d dr r dr r u u bc rd dr r u u ad r r rr ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-2,22,2θθθθθθθθθθ面面面面根据质量守恒定律，有()02222=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-++⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-dr d u u dr d u u d dr r dr r u u rd dr r u u r r r r θθθθθθθθθθ略去高阶无穷小项（dr ）2和drd ,且化简，得01=∂∂++∂∂θθu r r u r u r r 3-8 解：送风口流量s m s m Q /2.0/52.02.033=⨯⨯=断面1-1处的流量和断面平均流速sm A Q V s m s m Q Q /5.05.06.0/6.0/2.03311331⨯===⨯==断面2-2处的流量和断面平均流速s m s m A Q V s m s m Q Q /6.1/5.05.04.0,/4.0/2.02222332=⨯===⨯== 断面3-3处的流量和断面平均流速s m s m A Q V s m Q Q /8.0/5.05.02.0,/5.0333=⨯==== 3-9解：分叉前干管的质量流量为Q m0=V 0。
设分叉后叉管的质量流量分别为Q m1和Q m2,则有21210,m m m m m Q Q Q Q Q =+=故ρπρπρπ222112100200214482V d V d V d Q Q Q m m m =====解得s m s m d v d V /05.18/24.245262.22550212100201=⨯⨯⨯⨯==ρρs m s m d v d V /25.22/3.240262.22550222200202=⨯⨯⨯⨯==ρρ 3-10 解：()()021210,01=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==∂∂==∂∂=k k y v x u yv xu xyyy xx εεε角变形速率线变形速率()()()()()()22222222222222222222221212,22y x x y y x x y y x x y y u x v y x xyy v y xxyxu yyyy xx +-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=+-=∂∂=+=∂∂=εεε角变形速率线变形速率()()22221210,03xy=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==∂∂==∂∂=y u x v yv xu yy xx εεε角变形速率线变形速率3-11解：线变形速率4212,42122-=⨯⨯-=∂∂==⨯⨯==∂∂=yv xy x u yy xx εε 角变形速率()()23221212212221212222=⨯++-⨯=++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=y x y x y u x v xy ε 涡量()()7221212222222-=⨯---⨯=+--=∂∂-∂∂=Ωy x y x yux v z 3-12 解：()无旋流,00000001⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=∂∂-∂∂=Ω=-=∂∂-∂∂=Ω=-=∂∂-∂∂=Ωk k y u x v x wz u z v y w z yx ()无旋流,00002⎩⎨⎧=-=Ω=Ω=Ωz y x()()()无旋流,0032222222222⎪⎩⎪⎨⎧=+--+-=Ω=Ω=Ωy x x y y x x y z y x ()有旋流,004⎩⎨⎧-=-=Ω=Ω=Ωααz y x()无旋流,05=Ω=Ω=Ωz y x ()无旋流,06=Ω=Ω=Ωz y x()()()无旋流得,022072222222222⎪⎩⎪⎨⎧=+--+-=∂∂-∂∂=Ω=Ω=Ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=y xxyky x xyk y u x v y x ky v y x kx u z y x ()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+--+-=∂∂-∂∂=Ω=Ω=Ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=无旋流得,00822222222222222y x x y k y x x y k y u x v y x kx v y x ky u z y x （9）和（10）不满足连续方程，不代表流场3-13 解：任意半径r 的圆周是一条封闭流线，该流线上 线速度u θ=0r,速度环量2022r ru πωπθ==Γ(2)半径r+dr 的圆周封闭流线的速度环量为()202dr r d +=Γ+Γπω得()()20020202422dr rdr r dr r d d πωπωπωπω+=-+=Γ-Γ+Γ=Γ忽略高阶项20dr 2，得drdr d 04πω≈Γ（3）设涡量为，它在半径r 和r+dr 两条圆周封闭流线之间的圆环域上的积分为d 。
因为在圆环域上可看作均匀分布，得Γ=Ωd dA z将圆环域的面积dA=2rdr 代入该式，得rdr d rdr z 042πωπ=Γ=Ω可解出=2+dr/r 。
忽略无穷小量dr/r ，最后的涡量02ω=Ωz3-14 解：由u r 和u θ=Cr,得0,,,0,,=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=-=yvC x v C y u x u Cx v Cy u 依据式（3-5a ）和（3-5b ）,有()yC Cx C Cy y v v x v u a x C C Cx y yu v x u ua y x 220..0.-=+-=∂∂+∂∂=-=-+-=∂∂+∂∂=可见，a r =-C 2(x 2+y 2)1/2=- u 2θ/r,a θ=0。
显然，a r 代表向心加速度。
（2）由u r =0和u θ=C/r,得()()()()42424222424222424422422422222,,2,,ry C r Cxy r Cx r y x C r Cy y v v x v u a r xCr xy C r Cx r Cxy r Cx y u v x u ua r Cxyy v r y x C x v r x y C y u r Cxy x u r Cx v r Cy u y x =+--=∂∂+∂∂=-=-+-=∂∂+∂∂==∂∂-=∂∂-=∂∂=∂∂=-=可见，a r =-C 2(x 2+y 2)1/2=- u 2θ/r,a θ=0。
显然，a r 代表向心加速度。
3-15 解：当矩形abcd 绕过O 点的z 向轴逆时针旋转时，在亥姆霍兹分解式（3-36）中，只有转动，没有平移，也没有变形。
故有dx v v dy u u z d z d ωω+=-=,其中，称是z 向角速率。
据题意，=/4rad/s.（2）因为矩形abdc 的各边边长都保持不变，故没有线变性；ab 边和ac 边绕过O 点的Z 轴转动，表明没有平移运动；对角线倾角不变，表明没有旋转运动。
