第三章 流体运动学
3-1解：质点的运动速度
10
3
1014,1024,1011034=
-=-==-=
w v u 质点的轨迹方程
10
31,52,103000t
wt z z t vt y y t ut x x +=+=+=+=+
=+= 3-2 解：
2
/12/12/3222
/12/12/3220375.0232501.02501.00375.0232501.02501.00
t t t dt d dt y d a t t t dt d dt x d a a y x z =⨯⨯=⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯===⨯⨯=⎪⎭⎫
⎝⎛⨯===
由5
01
.01t x +=和10=A x ,得
19.1501.011001.015
25
2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=A x t 故
206
.00146.0146.00,146.0,014619.150375.02
2
222
2/1=++=++=====⨯=z
y
x
z x y x a a a a a a a a
3-3解：当t=1s 时，点A （1,2）处的流速
()(
)
s
m s m yt xt v s m s m y xt u /1/1211/5/221122
2
-=⨯-⨯=-==⨯+⨯=+=
流速偏导数
112221121,1,/12,1,/1-----=-=∂∂==∂∂==∂∂=∂∂==∂∂==∂∂s t y
v
s t x v s m t t v s y
u s t x u s m x t u
点A(1,2)处的加速度分量
()[]()()[]2
22/11151/3/21151s m y v v x v u t v Dt Dv a s m s m y
u
v x u u t u Dt Du a y x -⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂===⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂==
3-4解：(1)迹线微分方程为
dt u
dy dt u dx ==, 将u,t 代入，得
()tdt
dy dt y dx =-=1
利用初始条件y(t=0)=0,积分该式，得
2
2
1t y =
将该式代入到式（a ）,得dx=(1-t 2/2)dt.利用初始条件x(t=0)=0,积分得
36
1t t x -=
联立（c ）和（d ）两式消去t,得过（0,0）点的迹线方程
023
49222
3=-+-x y y y (2)流线微分方程为=.将u,v 代入，得
()tdx dy y t
dy
y dx =-=-11或 将t 视为参数，积分得
C xt y y +=-
2
2
1 据条件x(t=1)=0和y(t=1)=0,得C=0.故流线方程为
xt y y =-
2
2
1 3-5 答：
()()，满足满足
002,0001=+-=∂∂+∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂k k z
w y v x u z
w y v x u
()()()
()，满足，满足
0000402232
22
2
22
=++=∂∂+∂∂+∂∂=+-+
+=
∂∂+∂∂+∂∂z
w y v x u y
x
xy
y
x
xy
z
w y
v x
u
()()()()()()处满足，其他处不满足
仅在，不满足，满足，满足
满足
，满足
0,41049000018001760000522==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=++=∂∂++∂∂=++-=∂∂++
∂∂=++=∂∂+∂∂+∂∂y y y
v x u y
v x u u r r u r u r
k r k u r r u r u z
w y
v x
u r r r r
θ
θθθ
3-6 解：
max 02042020max 20320max 202
0max 20202
1422211
10
00
u r r r r u dr r r r r u rdrd r r u r udA r V r r
A r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰⎰πππππ
3-7 证：设微元体abcd 中心的速度为u r ,u θ。单位时间内通过微元体各界面的流体体积分别为
()dr d u u cd dr d u u ab d dr r dr r u u bc rd dr r u u ad r r r
r ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∂∂+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∂∂-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∂∂+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∂∂-2,22,2θθθθθθθθθ
θ面面面面
根据质量守恒定律，有
()02222=⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-++⎪⎭⎫ ⎝⎛
∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-dr d u u dr d u u d dr r dr r u u rd dr r u u r r r r θθθθθθθθθ
θ
