211一元二次方程(第一课时)课件

教法学法
教材分析
学情分析 教学目标 重点难点
教法学法 教学步骤 教学过程 板书设计
学法：
已有知识
观察 合作 分析 思考 运用 自主探究 自我建构
新学知识
教法：
启发探究式 小组合作交流 多媒体辅助教学
教学步骤
教材分析
学情分析 教学目标 重点难点 教法学法
教学步骤 教学过程 板书设计
创设情境 导入新课 对比探究 归纳新知 小试牛刀 当堂反馈 运用新知 解决问题 限时训练 自检自查 课堂小结 回归目标
分式方程
一元二次方程
再认识
实际问题
二 次 函 数 知 识
学情分析
学情分析
知识与技能
整式乘法
一元一次方程的概念 和实际应用 二元一次方程组的概念 和实际应用 分式方程的概念和实 际应用
情感与素养
较为活泼，对新事物好奇心强 具备一定的数学表达能力 学生的学习迁移能力有待提高 数学抽象概括能力有待提高
教学目标
教材分析 学情分析 教学目标 重点难点 教法学法 教学步骤
教学过程
板书设计
(1) 了解一元二次方程的概念及其一般形式，并会判断一元二次方程的 二次项系数、一次项系数和常数项；
(2) 引导学生分析实际问题中的数量关系，类比一元一次方程的概念， 学生自己抽象出一元二次方程的概念；
(3) 对概念中的关键词进行辨析，解决辨析题巩固一元二次方程的概念；
教材分析 学情分析 教学目标 重点难点 教法学法 教学步骤
教学过程 板书设计
二、对比探究——归纳新知
说设计
Q1：你能否将所列方程进行化简整理？
① x2+10x-900=0 ② x2-75x+350=0 ③ x2-x-56=0

21.1 一元二次方程
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动1
问题：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一 个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖长方体 盒子.如果要制作的无盖长方体盒子底面积为3600cm²,那么铁皮 各角应切去边长为多少cm的正方形?
(2)为什么要限制a≠0，b、c可以为0吗？
(3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数是1吗？为什么？
总结一元二次方程的特殊形式：
当c=0时， ax2 bx 0a 0 当b=0时， ax2 c 0a 0 当b=0,c=0时， ax 2 0a 0
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
例4 若关于x的方程 (m 1)x2 x c x2 是一元二次 方程，求m的取值范围. 【解题过程】
解：原方程整理得（m 2）x2 x c 0, 因其是一元二次方程，所以m-2≠0， 即m≠2.
【思路点拨】先将原方程化为一般形式，再根据一元二次 方程的二次项系数不能为0，求出m的范围.
一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0(a 0)
其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项．
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动4 一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0)
问题： (1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
重点、难点知识★▲
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
练习4：若关于x的方程 (m 1)xm2 1 x c 0 是一元二次 方程，求m的值. 【解题过程】

第30页，共36页。
课内练习
1.下列(xiàliè)方程中是一元二次方程的为( C )
（A）、x2+3x= 2
x2
（B）、2(X-1)+3x=2
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
第31页，共36页。
把一元二次方程（x-√5 ）（x+√5 ）+（2x-1）2 =0 化为一般形式(xíngshì)，正确的是（A ）
③未知数的最高次数是2。
一元二次 方程是刻 画现实世 界的一种 数学模型
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。
第5页，共36页。
例1：判断(pànduàn)下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
第36页，共36页。
第17页，共36页。
3 4x x 2 25 43x 2 x 1 8x 3
3 4xx 2 25
一般(yībān) 式：
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
4 3x 2x 1 8x 3
一般式： 3x2 7x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
第18页，共36页。
第16页，共36页。
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中(qízhōng)的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得
3x2－3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般 形式：
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.

①为一元一次方程；2020年源自0月2日②为一元二次方程？
6
讨论：一元二次方程的一般形式： ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0) 中，只限制了a≠0，那么b、c的值如何考 虑？（若b、c中的一个或两个也为0时会 怎样）
2020年10月2日
7
例4.判断下列方程是否一元二次方程，并
说明理由。
(3) 9(2x－1)2= 16 (4) (x－1)2=x－1
2020年10月2日
5
例2.方程(m－5)(m－3)xm－2+(m－3)x+5=0 中，当m为何值时，此方程为一元二次方 程？
解：若此方程为一元二次方程，则有：
m22
m5m30
例3. m为何值时，方程
(m－1)x2+2mx+(m－2)=0为
2020年10月2日
1
问题一
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房 之间，开辟面积为900平方米的一块长 方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿 地的长和宽各为多少？
解：设长方形绿地的宽为x米， 可得 方
程：
x(x＋10)＝900
整理可得：
x2＋10x－900=0. （1）
2020年10月2日
2
问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预 计到明年年底增加到7.2万册.求这两年 的年平均增长率.
(1) 2x2－x－3√=0 (2)(3) √t2=0
× 1.(5) x2－2y－1=0
(7) x2 3x 2
× (8)(39x) 2 460 × x
2020年10月2日
(2) y y2 0
× 4 × (4) x3－x2=1
× (6)1 3 0 x2

因所为以：x左=-边1是=方右程边的解。 当x=0时，左边=02 -2=-2 右边=0
因为：左边≠右边
所以x=0不是方程的解。
一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等 的未知数的值叫一元二次方程的解或根。
17
练一练
1、判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：
（1）x2-3x+2=0
(x1=1 x2=2 x3=3)
（2） ? 2x2 ? 5x ? 3 ? 0.答：a=-2, b=-5, c= 3.
（3） 3x2 ? 5x ? 2. ? 3x2 ? 5x ? 2 ? 0.
答：a=3, b=-5, c= 2.
? （4） 2x ? 1?3?x ? 2?? 3. ? 6x2 ? 4x? 3x? 2 ? 3,
? 6x2 ? x? 5 ? 0.
2001
2002
2003 年份
5
4、一个包装盒的表面展开图如图，包装盒的容积为 750cm3.请列出关于 x的方程.
30
x
x
单位：cm
15
15x（30-2x）÷2=750
x2-
15x+50=0
6
观察所列方程
（1） x2+5x=150. (2) x 2 ? 3 x ? 4
(3)6700 ? 13400 x ? 6700 x2 ? 9200
的二次项系数、一次项系数和常数项：
方程
一般形式
3x2=5x-1
3x25x+1=0
(x+2)(x -1)=6 x2+x-8=0
二次项 系数
3
1
一次项 系数
-5
常数项
1
1 -8
4-7x2=0

解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程

102＋112＋122＝132＋142.
你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方 和等于后两个数的平方和吗？
如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那 么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意， 你能列出怎样的方程？
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地 面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯 子的底端滑动多少米？
（来自《点拨》）
知3－练
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计， 2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年 均增长率为x，则下列方程中正确的是( ) A．20(1＋2x)＝28.8 B．28.8(1＋x)2＝20 C．20(1＋x2)＝28.8 D． 20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
油利画用的长面方积形与的整面个积挂公 图式的和面油积画．面积与整个
90+2x
挂图面积之间的关系
解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40.
列（方来程自《点拨》）
总结
知3－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要 根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐 含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润 公式等)进行列方程．
到右依次填写28,18,10,4. （4）通过分析表格中的数值，估计方程的解，对表格中所填数值
的分析应至少包括以下两个方面：①表格中，当x的值从小到 大变化时，（8-2x)(5-2x）的值逐渐减小，经历了从大于 18到等于18再到小于18的过程. ②由表格可知，当x=1时， （8-2x)(5-2x）-18，由方程的解得意义，可以得出“x-1是 方程，（8-2x)(5-2x）-18的解得结论，从而所求宽度为1 m.

02
理解一元二次方程的解 法，并能够灵活运用。
03
通过练习题巩固所学知 识，提高解题能力。
04
为下节课学习一元二次 方程的应用做好准备。
感谢您的观看
THANKS
一元二次方程(第一课时 )ppt课件
目 录
• 引言 • 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的根的性质 • 课堂练习与解答 • 总结与回顾
01
引言
课程背景
01
一元二次方程是初中数学的重要 内容，是代数知识的基础之一。
02
通过学习一元二次方程，学生可 以加深对代数概念的理解，提高 解决实际问题的能力。
进阶练习题
总结词
提高解题能力
详细描述
进阶练习题是在基础练习题的基础上进行提升，难度有所增加。这些题目需要学生灵活 运用一元二次方程的知识点，提高解题能力和思维灵活性。
综合练习题
总结词
综合运用知识
详细描述
综合练习题是将一元二次方程与其他知识点 进行综合运用，题目难度较大，需要学生具 备较高的思维能力和综合运用知识的能力。 这类题目有助于培养学生的思维能力和创新 能力。
学习目标
掌握一元二次方程的 标准形式和一般形式 。
能够运用配方法求解 一元二次方程。
理解一元二次方程的 解的概念和解的判别 式。
02
一元二次方程的定义
一元二次方程的数学定义
总结词
一元二次方程是只含有一个未知 数，且未知数的最高次数为2的方 程。
详细描述
一元二次方程的标准形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程表示 一个未知数 x 的二次方程，其中 x 的最高次数是2。根与系数的关系根 Nhomakorabea系数的关系

u一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一 元二次方程的解（又叫做根）
练一练：下面哪些数是方程 2 – – 6 = 0 的解 -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解： 3和-2
你注意到了吗？一元 二次方程可能不止一 个根
例4：已知a是方程 22－2=0 的一个实数根, 求 2a24a2019的值
讲授新课
一 一元二次方程的概念
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各 切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一 个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那 么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为 cm,则盒底的长为（100－2cm, 宽为50－2cm,根据方盒的底面 积为3600cm2,得
2由∣a ∣1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程2a-42－2ba=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
想一想 为什么一般形式中a2bc=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当a=0时
b＋c = 0
当a≠0，b= 0当时a，≠ 0 ， c = 0 时 当 ，a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
a2＋c = 0 a2＋b = 0
a2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意
实
数
典例精析
x23x20 x23x20 1
3y2 12 3y 3y22 3y10 3

观察
这两个方程有什么共同点？ x2-70x+825＝0．
x2+5x-150＝0．
x2 x 56 0
方程中未知数 的个数、次数各是 多少？
1．一元二次方程的概念 只含有__一__个___未知数，并且未知数的最高次数是___2____ 的___整__式___方程，叫做一元二次方程． 注意：一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数； (2)未知数的最高次数是 2；(3)是整式方程．
用一块长80cm，宽60cm的薄钢片， 在四个角上截去四个相同的小正方形，然 后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒 子．试求出截去的小正方形的边长。
由题意可 知截取后的底 面积。故应根 据面积找相等 关系解题。
解：设小正方形边长为xcm，则盒子
底面的长、宽分别为(80-2x)cm、(60-
2x)cm，则有(80-2x)(60-2x)＝1500.
知识点 3 一元二次方程的解(难点) 【例 3】 已知关于 x 的一元二次方程(m－1)x2＋3x－5m＋4 ＝0 有一根为 2，求 m 的值． 思路点拨：一根为 2 即 x＝2 为方程的解，故只需把 x＝2 代入原方程． 解：把 x＝2 代入(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0，得 4(m－1)＋6－5m＋4＝0.解得 m＝6.
【跟踪训练】
5．已知 1 是关于 x 的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0 的
一个根，则 m 的值是( B )
A．1
B．－1
C．0
D．无法确定
6．如果 2 是一元二次方程 x2＋2x＝c 的一个根，那么常数
c 是( D )
A．2
B．－4
C．6
D．8
7．如果关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的二 次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：－1 必是该方 程的一个根．