导入_一元二次方程的应用PPT教学课件

根据题意，得 × − ×

整理，得 − + = ，
= ，
解得 = ， = ．
∴ 经过 或 时，△ 的面积等于 ．
图形问题
4.现要在一个长为 、宽为 的矩形花园
中修建等宽的小道（阴影部分），剩余的地方种
植花草．如图所示，要使种植花草的面积为

− =
为_______________.

平均变化率问题
7.某市285个社区为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号
召，积极开展了垃圾分类的工作.第一季度已有60个社区实现垃圾分类，
第二、三季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为，
要在第三季度将所有社区都进行垃圾分类，则下列方程正确的是( D )
，那么小道的宽度应是( B )
A.
B.
C..
D.
5.如图，把小圆形场地的半径增加 得到大圆形场地，场地
+
面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为___________．
6.
《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率
六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几
15.某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售
价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克.
经市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售单价（元）之
间的函数关系如图所示：
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
解：设与之间的函数关系式为 = + .
售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已

34
运用求根公式就可以解每一个具体的一元二 次方程，取得一通百通的效果，于是解一元二次 方程的算法如下：
35
一元二次方程
是否可以
直接用因式分解法或直接开
平方法
写成一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)
解两个一元一次方程
计算b2-4ac
b2-4ac≥0
用求根公式：
x b
b24ac 2a
无实数解
36
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中考 试题
营销问题
例：课本P30 B4T
例1 某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天
可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商 场决定采取适当的降价措施，扩大销量，增加盈利，减少库存. 经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可 多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么 每件童装应降价多少元？
27
例6 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2
万册，平均每年增长的百分率是多少？
解: 设平均每年增长的百分率是x.
根据题意，得 5(x+1)2 = 7.2. 整理，得 x2+2x -0.44=0. 解得，x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：该校图书馆的藏书平均每年增长的百
本课内容 一元二次方程的应用 1.3 第一课时
学习目标： 1、能运用一元二次方程解决一些简单
的代数问题 2、一元二次方程的根的判别式的应用
1
一、建立一元二次方程模型解数与代数问题
例1 当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-2与
一元一次多项式2x-1的值相等？
例2 当y取什么值时，一元二次多项式

a (1 x)
a (1 x)2 a (1 x)n
例2.根据如下图的统计图，求2008到2010年，
我国风电新增装机容量的平均年增长率（精确 到0.1%)
例2.根据如下图的统计图，求2008到20ห้องสมุดไป่ตู้0年，我国风电新增装
机容量的平均年增长率（精确到0.1%)
解：设2008到2010年我国风电新增装机容量的平均年增长率x,
特别注意：列一元二次方程解应用题时，由于所得根
一般有两个，所以要检验这两个根是否符合问题的要求。
例1.某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的
盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均 单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均 单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应 该植多少株?
由题意可以列出方程，得615（1+
解这个方程，得
x)2=1893
1893 x2 1 75.4% 615
1893 x2 1 (不合题意，舍去）
小结：
1、平均增长（降低）率公式：
a(1+x)2=b
2、注意： 解这类问题列出的方程一般 用 直接用开平方法
布置作业：
1.作业本(1分册2.2(3)（p.10-11.)
2.课时特训A类做第1到14题；
B类做第1到8题；
C类做1到6题(p.25-27.)
3+x=4， 3+x=5
答：每盆应该植4或5株
练习：书38页作业题1 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120 元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算， 若每箱降价1元，每天可多售出2箱．如果要使每天销售饮料获 利14000元，问每箱应降价多少元？ 直接设元法 此题利用的数量关系是： 销售每箱饮料的利润×销售总箱数=销售总利润， 解：设要使每天销售饮料获利14000元，每箱应降价x元， 依据题意列方程得， （120-x）（100+2x）=14000， 整理得x2-70x+1000=0， 解得x1=20，x2=50； 答：每箱应降价20元或50元，可使每天销售饮料获利14000元 同时为了减少库存，那应降价多少？ 当x=20时，每天可售出100+2x=140箱。 当x=50时，每天可售出100+2x=200箱。 ∵200>140, ∴应降价50元。

电磁学
在电磁学中，一元二次方程被用来描述电场和磁场的行为。
量子力学
在量子力学中，一元二次方程被用来描述粒子的能量和波函数。
04
CATALOGUE
一元二次方程的拓展知识
一元高次方程的概念
一元高次方程的定义
一元高次方程是指含有一个未知数，且未知数的最高次数为n次的方程。其中n 大于等于3。
一元高次方程的标准形式
使用说明
在使用公式法时，需要注意判 别式的定义域，以及根号中的
数值必须是非负数。
因式分解法
总结词
详细描述
通过因式分解将一元二次方程转化为两个 一次方程，从而求解。
因式分解法是一种基于因式分解的一元二 次方程求解方法，通过因式分解将一元二 次方程转化为两个一次方程，从而求解。
公式示例
使用说明
对于方程 $ax^2 + bx + c = 0$，通过因 式分解可以得到 $(x + m)(x + n) = 0$，进 而得到 $x = -m$ 或 $x = -n$。
牛顿迭代法
通过牛顿迭代公式，逐步逼近一元高次方程的解 。
一元高次方程的应用举例
求解实际问题中的一元高次方程
01
例如，求解一个工程问题的数学模型，该模型包含一个一元高
次方程。
在物理学中的应用
02
例如，在研究物体的运动时，需要求解一个一元高次方程来描
述物体的轨迹。
在经济学中的应用
03
例如，在研究商品价格与需求量的关系时，需要求解一个一元
配方法例题解析
总结词
配方法是解一元二次方程的一种常用方法，通过配方将二 次方程转化为一次方程，从而求解出方程的根。
详细描述

102＋112＋122＝132＋142.
你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方 和等于后两个数的平方和吗？
如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那 么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意， 你能列出怎样的方程？
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地 面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯 子的底端滑动多少米？
（来自《点拨》）
知3－练
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计， 2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年 均增长率为x，则下列方程中正确的是( ) A．20(1＋2x)＝28.8 B．28.8(1＋x)2＝20 C．20(1＋x2)＝28.8 D． 20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
油利画用的长面方积形与的整面个积挂公 图式的和面油积画．面积与整个
90+2x
挂图面积之间的关系
解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40.
列（方来程自《点拨》）
总结
知3－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要 根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐 含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润 公式等)进行列方程．
到右依次填写28,18,10,4. （4）通过分析表格中的数值，估计方程的解，对表格中所填数值
的分析应至少包括以下两个方面：①表格中，当x的值从小到 大变化时，（8-2x)(5-2x）的值逐渐减小，经历了从大于 18到等于18再到小于18的过程. ②由表格可知，当x=1时， （8-2x)(5-2x）-18，由方程的解得意义，可以得出“x-1是 方程，（8-2x)(5-2x）-18的解得结论，从而所求宽度为1 m.

解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程 6000 (1 x)2 3600
解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 得乙种药品成本年平均下降率为 0.225.
两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产 品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量， 成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变 化状况．
(60－x－40)
100＋x×20 2
＝2
240，
化简，得 x2－10x＋24＝0，
解得 x1＝4，x2＝6； 答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元；
(2)由(1)可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元，因为要尽 可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元，此时，售
价为 60－6＝54(元)，5640×100%＝90%.
问题3 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生 产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
甲种药品成本的年平均下降额为 (5 000 - 3 000) ÷ 2 = 1 000（元），
2．某糖厂 2014年食糖产量为 a 吨，如果在以后两 年平均减产的百分率为 x，那么预计 2015 年的产量将是
ห้องสมุดไป่ตู้___a_(_1_-x_)__．2016年的产量将是___a_(1___x_)_2_．
问题2 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？ 两年后：
变化后的量 = 变化前的量 1 x2
乙种药品成本的年平均下降额为 (6 000 - 3 600 )÷ 2 = 1 200（元）．

根据题意，得 系数化为1得，
7200（1+x)2=8712 （1+x)2=1.21
直接开平方得，
1+x=1.1, 1+x=-1.1
则
x1=0.1, x2=-1.1,
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
能力提升 菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分 菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对 价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
讲授新课
一 利用一元二次方程解决营销问题
例1 ：新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为 2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商 场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多 少元?
分析：本题的主要等量关系是： 每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量 = 5000元. 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是（2900 - x）元，每
当x = 50 时 , 应进台灯数：600- 10（50 - 40）=500 （个）.
当x = 80 时 , 应进台灯数：600- 10（80 - 40）=200 （个）.
2.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千 克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,
分析 ：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作
小明，其传染示意图如下：
第2轮
第1轮 小明
1
2 •••
x
注意：不要 忽视小明的 二次传染
小明
第1轮传染后人数x+1 第2轮传染后人数x（x+1）

验 检验根的准确性及是否符合实际意义。
练习1
雁荡山大龙湫景区，经过试验发现每天的门票收益 与门票价格成一定关系.当票价为40元/人时，平均 每天来的人数是380，当票价每增加1元时，平均每 天就减少2人。要使每天的门票收入达到24000元， 票价应定多少元？（列出方程即可）
票价×人数=门票收入
直接设票价的 价格为x元， 你会求吗？
加1元 加x元 (40+x)
少2人 少2x人 (380-2x) =24000
想一想
探究2
1、去年的产量为5万吨，今年比去年增长了20%， 今年的产量是多少
今年比去年增长了20%，应理解为； 今年是去年的（1+20%）倍
所以:今年的产量=去年的产量x(1+20%)
想一想
探究2
2、一件价格为200元的商品连续两次降价，每次降价 的百分数为15%，降价后的商品价格是多少？
率都是x，那么一年后的销售收入将达到__a__(1_x) _万
元（用代数式表示）
（2）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长
率都是x，那么两年后的销售收入将达到__a(1 x)2____
万元（用代数式表示）
达标测评
1、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建 设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平 方米。 设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平 均增长率为x ，则可列方程为___4_（__1_+_x_)_2_=_7____.
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为
a(1 x)
二次增长后的值为 a(1 x)2
依次类推,n次增长后的值为 a(1 x)n
（2）降低率问题
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为 a(1 x)

2、教学目标
知识目标： 能用一元二次方程解决简单的几何 型应用问题。
能力目标： 进一步提高数学建模的能力，培养学 生动手操作、观察归纳能力，培养学 生问题意识能力。
情感目标： 帮助学生体验数学学习活动中的成功 与快乐，使他们认识到数学来源于生 活，在生活中学习数学，学好数学更 好地为生活服务。
3、重难点分析：
）
又AC=AC （
）
所以△ABC≌△CDA （
）
所以： AB=CD，AD=B 平（行四边形的）性质定理：平行四边形 的两组对边分别相等。
❖（1）定义、命题、公理、定理的概 念。
❖（2）命题的真假。
❖（3）命题的形式与命题的题设和结 论。
(4) 说明一个命题是假命题,只需举 一反例
❖
（假）
3、圆的切线垂直于圆的半径。 （假）
4、等腰三角形的底角必是锐角。 （真）
5、正数与负数的和仍是负数。
（假）
6、一个数的平方必是正数。
（假）
7、一个三角形的两个角、一边和另一三角形的两个
角、一边分别相等的三角形全等。
（假）
阅读理解
阅读教材P93第二段及以后的内 容并回答下列内容： ❖ 1、公理与定理有什么区别？ ❖ 2、公理与定理有什么相同的？ 有什么作用？ 3、你能说出一个学过的定理吗？
小考卷2
一、把下面的命题改写成“如果……那 么……”的形式。 1、两直线平行，同旁内角互补。 2、同圆的半径相等。 3、有两个角相等的两个三角形相似。 4、等角的补角相等。 5、圆是轴对称图形，又是中心对称图形。
小考卷3
判断下列命题的真假：
细心！
1、相等的两角是对顶角。 （假）
2、若XY=0，则X=0。

难
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数


n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10