2014年秋新人教版九年级上第21章一元二次方程数学活动课件

（2）一元二次方程地二次项、二次项系数、一次项、一次 项系数、常数项等都是针对一般形式而言的。
（3)指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符 号
?
2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它 们的二次项系数、一次项系数和常数项：
1）
2）（x-2）(x+3)=8
3)
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
• [例2] 将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项、一次项 和常数项及它们的系数：
3x(x 1) 5(x 2)
（1）一元二次方程地一般形式不是唯一地，但习 惯上都把二次项地系数化为正整数。
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
.选择题 1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次 方程则m的值为＿＿＿ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
一元二次方程解的概念
❖方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的未知数的 值就叫方程的解。只含有一个未知 数的方程的解也叫做根
例4 已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，

练习
7.关于的方程 2m2 m可x能m1是 一3x元 6二次方程吗？
8.若关于x的一元二次方程 (m 1)x2 的2常x 数m项2 为1 0，0 求m的值是多少？
练习
9.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一般形式 ①一个长方形的宽比长少3，面积是75，求长方形的长x
②两个连续偶数的积为168，求较小的偶数x
作业布置
7.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x. （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x. （3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x.
作业布置
8.已知关于x的方程(m²-1)x²-(m+1)x+m=0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系 数、一次项系数及常数项。
例8.若x=3是方程x2+kx=0的一个根，试求常数k的值？
练习
1. 在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2 ② 7 0 ax③2 bx c 0④ x 2x 5 x2 1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 2 x2m1 是10关x 于m的一0 元二次方程，则m的值应为（ ）
3.下列各数是方程 1 (x2 解 2的) 是 2（ ） 3
A、6 B、2 C、4 D、0
作业布置
4.如果关于x的方程 m 3xm是27关 x于x3的一0 元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3 B．3 C．-3 D．都不对 5.以-2为根的一元二次方程是（ ） A．x²+2x-x=0 B．x²-x-2=0 C．x²+x+2=0 D．x²+x-2=0 6.方程3(x-1)²=5(x+2)的二次项系数________；一次项系数_________；常数项 _________.

21.1 一元二次方程初中数学九年级上册 RJ学习目标1．理解一元二次方程的概念，会判断一个方程是不是一元二次方程．2．会将一元二次方程化为一般形式，知道各项的名称．3．了解一元二次方程的根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的根．判断下列式子是不是一元一次方程：32 x=31 42 x=一元一次方程1.只含有一个未知数;2.未知数的次数都是1;3.等号两边都是整式.2540x x+-= 7154x y-=+知识回顾设雕像下部高x m ，可得方程：解：雕像上部的高度AC ，下部的高度BC 应有如下关系：问题1 在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感. 按此比例，要设计一座2 m 高的人体雕像，那么雕像的下部应设计为多高？A CB 2 x x 2=2(2−x )，,2AC BC BC =即 .2=2BC AC 课堂导入整理得 .x 2+2x −4=0 ①由方程①可得雕像的下部应设计的高度.问题2 如图，有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？3 600 100 50xx (100-2x )x x(50-2x ) ？解：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为(100−2x) cm，宽为(50−2x) cm．根据方盒的底面积为3 600 cm2，得:(100−2x)(50−2x)=3 600．整理，得 4x2−300x+1 400=0．化简，得x2−75x+350=0 ．②由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸．50x3 600100x x (100-2x)x (50-2x)问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？解:全部比赛的场数为4×7=28．设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共有 场.)1(21 x x 列方程 12 x （x−1）=28 ，整理，得12 x ²− 12 x =28 ，化简，得x ²− x =56 ．③ 由方程③可以得出参赛队数.1.这些方程的等号两边都是整式；2.方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2．③x 2−x =56②x 2−75x +350=0 ①x 2+2x −4=0 观察由上面的问题得到的方程有什么特点？像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．知识点1新知探究知识点2新知探究一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：a x 2 + b x +c = 0(a ≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．为什么要规定a ≠0呢？b ,c 呢？a=0，二次项为0，就不是二次了，b ，c 可以取任意数.注意：指出方程各项的系数时要带上前面的符号．跟踪训练新知探究例1 判断下列关于x的方程是不是一元二次方程.符合一元二次方程的概念.含有两个未知数，不是一元.不是整式方程.a 的取值不确定，若a =0，则不是一元二次方程.(1)(2)(3)(4)32+7=0；22−3+1=0；32−4+6=0；B 2−B +=0；例2 若方程 (m+2)x|m|−3mx+1＝0 是关于x 的一元二次方程，则 ( )A．m≠±2B．m＝2　C．m＝−2D．m＝±2B解：一元二次方程的概念m+2≠0未知数的最高次数是2二次项系数不为0m=2|m|=2化一般式的步骤：去分母→去括号→移项（等号右边0）→合并同类项→确定a,b,c (注意带前面的符号).例3 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．2(1)34x x -=()()(2)2341x x -+=21(3)132x x +-=2340x x --=222250x x +-=22390x x --=a =1,b =-3,c =-4.a =2 ,b =-3,c = -9.a =2,b =2,c =-25.知识点3新知探究使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．判断一个数是不是一元二次方程的根的方法：将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个方程的根．跟踪训练新知探究例4 下列哪些数是一元二次方程x2-4x+3＝0 的解？ -1， 0， 1， 3．1. 已知关于x 的方程(a 2-1)x 2+(a +1)x =2.(1)当a 取何值时，此方程为一元一次方程？(2)当a 取何值时，此方程为一元二次方程？随堂练习解: 将原方程化成一般式为：(a 2-1)x 2+(a +1)x-2=0(1)要使原方程为一元一次方程,则需解得a =1.(2)要使原方程为一元二次方程,则需a 2-1≠0，即a ≠±1.2−1=0,+1≠0,2.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)一个圆的面积是 6.28 cm2，求半径；(2)一个直角三角形的两条直角边相差 3 cm，面积是 9 cm2，求较长的直角边.解：(1)设圆的半径为x cm，根据题意，得πx2=6.28，化为一般形式为 πx2-6.28=0．(2)设较长直角边的长为x cm，则较短直角边的长为 (x-3) cm，根据题意，得12x(x-3)=9,化为一般形式为x2-3x-18=0．3.若 2n(n≠0) 是关于x 的方程x2-2mx+2n=0 的根，则m-12n 的值为．解：∵ 2n(n≠0) 是关于x 的方程x2-2mx+2n=0 的根，∴ (2n)2-2m×2n+2n=0，∴2n(2n-2m+1)=0，∵n≠0，∴2n-2m+1=0，化简得m-n= 1．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)只含有一个未知数未知数的最高次数是2是整式方程一元二次方程的一般形式一元二次方程的解（根）一元二次方程的概念课堂小结1.（2020•枣庄中考）已知关于x 的一元二次方程(a-1)x 2-2x+a 2-1=0有一个根为x =0,则a = .解: 把x =0代入(a -1)x 2-2x +a 2-1=0,得a 2-1=0，解得a =±1.∵(a -1)x 2-2x +a 2-1＝0是关于x 的一元二次方程，∴a -1≠0，∴a =-1．对接中考-12.如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽 6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面面积是 32 cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意可列方程为( ) A．10×6-4×6x=32 B．(10-2x)(6-2x)=32 C．(10-x)(6-x)=32D．10×6-4x2=32B谢谢观看 Thank You。

还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0

2
③
由方程③可以得出参赛队数．
x2+2x-4=0
x2－75x+350=0
?
一元二次方程是 刻画现实世界的 一种数学模型
x x 56
2
特点:
①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2。
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。
课堂练习
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出 其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
1
5x2 1 4x；
一般式： 5x 2
2 4x2 81；
1 5x2 1 4x
4 x 1 0.
二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.
2 4x2 81
2
2
2
-4
1 2 -1 0 1-m
4 0 -1 -5 -m -10
2
3
4 m-3 3
2
3x(x-1)=5(x+2)
-8
例4.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横 拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个 醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚 好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
全部比赛共4×7＝28场 设应邀请x个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，由于甲队对乙
队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共
列方程
1 x x 1 28 2
1 2 1 x x 28 2 2
1 x x 1场． 2
整理，得
化简，得
x x 56
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长 为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm，根据 方盒的底面积为3600cm2，得

各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为
１００－，２宽ｘ为
５０－２ｘ
得方程：
（１００－２ｘ）·（５０－２ｘ）＝３６００
整理得 ： ４ｘ２－３００ｘ＋１４.００＝０ ①.
自学指导
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队 之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程 计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀 请多少个队参赛？
x＋3＝±5 （降次）
即 x＋3＝5 或 x＋3＝ －5 解一次方程，得： x1＝ 2 ，x2＝ －
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元
二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的 是为了降次，把一元二次方程转化为两个一 元一次方程．
自学指导
自学自2：学解2下：列解方下程列：方程：
((13))((4313xx))2234－＋xx22－＋11＝611x＝65＋x；5＋1；61(＝26)(＝942.()9x4.－(x－1)21－)2－9＝9＝0；0；
(2)2(x2－1)＝3y
(3)2x2－3x－1＝0 (5)(x＋3)2＝(x－3)2
(4) 1 2 ＝0 x2 x
(6)9x2＝5－4x
解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是.
2．若x＝2是方程 ax24x50的一个根， 求a的值.
解：∵x＝2是 ax24x50方程的一个根
自学指导
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为150方体形状的盒子 的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，
根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
10 ·6x2=1500
由此可得：x2=25

2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；

答：共有10个队参加了比赛.
当堂小练
3. 一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对 调后得到一个两位数,这两个两位数之积是2296, 则这个两位数是多少？
解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为(10-x), 原数为10x+(10-x)=9x+10. 对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x. 依题意(9x+10)(100-9x)=2296. 解得 x1=8, x2=2. 当x=8时，这个两位数是82；当x=2时，这个两位数是28.
∴每千克核桃应降价6元. 此时,售价为60-6=54(元) ， 54 ×100%=90%.
60
答: 该店应按原售价的九折出售.
课堂小结
增长率问题 平 均 变 化 率 问 题 降低率问题
a(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为 增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量.
a(1-x)2=b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低 后的量.注意 1 与 x 位置不可调换.
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时
学习目标
1.会分析实际问题中的数量关系并会列一元二次方程.
（重点）
2.正确分析问题中的数量关系.
（难点）
3.会找出实际问题中的相等关系并建模解决问题.
新课导入
知识回顾
1.解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
A．560(1＋x)2＝315
B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315
D．560(1－x2)＝315
新课讲解
2 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利 润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意 列方程为( D ) A．25(1＋x)2＝82.75 B．25＋50x＝82.75 C．25＋25(1＋x)2＝82.75 D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75

它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部
分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方
盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切
去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
3600
50㎝
为 (50-2x)cm . 根据方盒的底面积为3600cm2,
一元二次方程解的概念
❖方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的未知数的 值就叫方程的解。只含有一个未知 数的方程的解也叫做根
例4 已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。
分析：一根为2即x＝2,只需把x＝2代入 原方程。
思考:
• 你能否说出下列方程的解 （根） ? • 1) • 2) • 3)
是同一场比赛,所以全部比赛共
场.
即
x2 x 56 0
学校图书馆去年年底有图书5万册，估计到明年
年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
析：设这两年的年平均增长率为x，
去年年底的图书数是5万册，
则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；
明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，
即 5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.
一.复习 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫方程 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，并且未知数的最 高次数为1的整式方程 3.什么叫分式方程？ 分母中含有未知数的方程
学习目标
1.理解一元二次方程的概念，根据一元二 次方程的一般 式，确定各项系数 2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题 3.理解一元二次方程解的概念，并能解决相 关问题

x(x 1) 10. 2
解得 x1＝5，x2＝−4(舍去)．∴ x＝5.
答：共有 5 个人参加聚会．
归纳 握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了 一次，所以要在总数的基础上除以 2.
【变式题】某中学组织初三学生开展足球比赛，以班为
单位，采用主客场赛制 (即每两个班之间都进行两场比 赛)，计划安排 72 场比赛，则共有多少个班级参赛？ 解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场
第 2 轮传染后人数 x(x + 1) + x + 1
根据示意图，列表如下：
传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1
1 + x = (1 + x)1 1 + x + x(1 + x) = (1 + x)2
解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
根据题意，得 (1 + x)2 = 121.
小 分
支
支
x
…… 支干
x2 = −12 (不合题意，舍去).
x
答：每个支干长出 11 个小分支.
主干 1
交流讨论 1. 在分析引例和例 1 中的数量关系时它们有何区别？
每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2. 解决这类传播问题有什么经验和方法？ （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
A. x2 = 1980 C. 1 x(x - 1) = 1980
2
B. x(x + 1) = 1980 D. x(x - 1) = 1980
2. 有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支

…… 三角点阵中，从上往下有无数多行，其中第一行有 1 个点，第二行有 2 个点……第 n 行有 n 个点……
1．创设情境，发现规律
前 1 行的点数和：1 前 2 行的点数和：3 前 3 行的点数和：6 前 4 行的点数和：10
……
前 n 行的点数和：？
1．创设情境，发现规律
……
用试验的方法，由上而下 逐行相加其点数，可以得到结 果，但是当 n 很大的时候，我 们怎么简捷地得出答案呢？
前 n 行的点数和： 1+2+3+…+（ n-2）+（
n-1）+n=n（n2+1）
．
2．动脑思考，解决问题
假设三角点阵中前 n 行的点数和为 300，求 n 的值． n（n2+1）= 300
n 2 + n - 600 = 0
解方程： n 1 = 24， n 2 = -25（舍去）．
2．动脑思考，解决问题
九年级 上册
数学活动
课件说明
• 本课探究三角点阵中前课件说明
• 学习目标： 1．探究发现三角点阵中前 n 行的点数规律，并能用 于计算； 2．掌握从特殊到一般，从个别到整体地观察、分析 问题的方法，建立数学模型解决问题，培养应用 意识．
1．创设情境，发现规律
三角点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗？如果能， 求出 n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
n（n2+1）= 600
n 2 + n - 1 200 = 0 方程无整数根，所以不存在点数和为 600 的情况．
3．拓展延伸
如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为 2， 4，6，…，2n，…，你能探究出前 n 行的点数和满足什 么规律吗？这个三角形点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗？如果能，求出 n；如果不能，试用一元二次方程说 明道理．

(a 1)x2 x a 2 1 0
- 有一个根为0，则 a =___1__.
谢谢各位聆听！
y 1
（7）
2x 3
y 4
0
（分式方程）
（8）x(x 5) 2
（二元一次方程）
归纳
定义：等号两边都是整式，只含有一个 未知数（一元），并且未知数的最高次数 是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
定义：使方程左右两边相等的未知数的 值就是这个一元二次方程的解，一元二次 方程的解也叫做一元二次方程的根。
教学内容分析
本节课是人教版数学九年级上第二十 一章《一元二次方程》的第一节课： 一元二次方程及其解的定义。本节课 内容虽然简单，但它是学生今后学习 一元二次方程的解法的基础；而且， 它是向学生渗透自主探究其它方程的 通法和思路的典型例子。
学生情况分析
学生已经学习了整式方程中的一元一 次方程、二元一次方程以及一类可化 为一元一次方程的分式方程；对方程 及其解的定义已经有了较深刻的认识。
22 2
应用新知
33
巩固新知
45
课堂小结
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题
下列方程中，请指出哪些是已经学过的方程， 这些方程的名称是什么？
（1）4x 3 1
（2）3x 2y 5
（一元一次方程）
（二元一次方程）
5 （3）2x
4 0 （y 分式方程）
（4）3 y 4 7 （一元一次方程）
（5）3x2 5x 4 0 （6）12 3 5
教学目标
理解一元二次方程的概念；掌握一元 知识技能 二次方程的一般形式，正确认识二次
项系数、一次项系数和常数项；
经历由观察、类比、归纳和猜想等手 过程方法 段概括出新概念的过程；体会类比、

练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解： 3和-2.
你注意到了吗？一元 二次方程可能不止一 个根.
例4：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求
2a2+4a+2018的值.
解：由题意得 a2 2a 2 0 即a2 2a 2
2a2 4a 2018 2(a2 2a) 2018 2 2 2018 2022
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意 观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数 式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
×
x2=0
5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a 9 4
6.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
解：将x=0代入方程m2-4=0，
解：由题意得 a b c 0 即a 12 b 1 c 0 ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方 程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? x=2
课堂小结
概念
一 元 二 一般形
次方程
式
根

（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方 形的边长x；
（2）一个矩形长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全 长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x；
（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差 2，求较长的直角边长x．
课堂小结
程的一般形式，并写出其中的二次二项次系项数、，二一次
项系数及常数项．
解：去括号，得
次项系数、 一次项、一 次项系数、
3x2－3x=5x+10. 常数项都是
移项，合并同类项，得一元包二括次符方号
程的一般形式：
的
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常 数项为－10.
精讲点拨
一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多 三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二 次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列： 特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的 整式方程叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx c 0 的形式,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
作业： P4 习题第4~6题
整理，得
化简，得
③
由方程③可以得出参赛队数，全部比赛共4×7＝28场.
合作探究 形成知识
① ② ③
这三个方程都不是一元一次方程.那么这三个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？
特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.

它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什 么不同吗？
探究1
如图，有一块矩形铁皮，长100cm。宽50cm， 在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周 突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制 作的无盖方盒的底面积为3600cm²，那么铁皮各角 应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为 （100-2x）cm，宽为（50-2x）cm，
请问：
（1）这次排球赛共安排 28
场；
（2）若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它 x-1
个
队各比赛一场，这样应共有x(x-1)
场比赛；
（3）由此可列出的方程为 1 x(x 1) 28 ，
2
化简得 x²-x-56=0
。
归纳总结
1.一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并
且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程称为
-56 -54 -50 -44 -36 -26 -14 0
可以发现，当x=8时，x²-x-56=0，所以x=8是方程x²-x-56=0的解，一元二次方程 的解也叫做一元二次方程的根.
思考
1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？
的根. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程
2.方程x²-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？
解：由题意有|m|=2且m+2≠0, ∴m=2,
因此原一元二次方程为4x²+3x+2=0.
例2 将方程3x（x-1）=5（பைடு நூலகம்+2）化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中二次项系数、一次 项系数及常数项.
解：去括号，得3x²-3x=5x+10，移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为： 3x²-8x-10=0