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改进GM（1，1）在沉降变形预测中的应用分析在传统GM（1，1）模型的基础上，本文建立了自适应GM（1，1）模型与残差修正GM（1，1）模型并讨论了两种改进模型各自优点。
利用传统GM（1，1）模型、自适应GM（1，1）模型以及残差修正GM（1，1）模型对某隧道监测点进行沉降变形分析与预测。
标签：传统GM（1，1）自适应GM（1，1）残差修正高铁隧道变形预测1引言高速铁路是由各种性质迥异的构筑物和轨道构成的，它们相互作用，共同构成了刚度均匀的线路结构。
隧道作为其中的一部分，其建设施工过程和运营中的安全性是由轨道线路下的沉降变化存在较大的随机性和模糊性，所以沉降过程是一种灰色过程。
灰色GM （1，1）模型[1]以其显著的优势被广泛应用于高速铁路隧道沉降变形评估与预测中，但由于模型的局限性，在应用过程中遇到了预测精度不理想的情况。
为此，本文依据新建贵广高铁某隧道的沉降变形实测资料，改进传统灰色GM（1，1）模型，建立自适应GM（1，1）模型与残差修正GM（1，1）模型，并对原始沉降监测数据进行变性分析与预测，通过实例数据计算结果对比分析，得出自适应GM（1，1）模型与残差修正GM（1，1）模型在一定程度上均提高了原模型的预测精度，且残差修正GM（1，1）模型对传统GM（1，1）模型的误差修正效果更好，预测精度更高。
2 GM（1，1）模型灰色系统就是指既含有已知的又含有未知的或非确知的信息系统[2]。
灰色系统理论通过对较少或不确定的表示系统行为特征的信息作生成变换来建立灰色模型，以此来正确把握系统运行行为和演化规律。
GM（1，1）模型是一个只需一个灰色数列且适用于变形预测分析的模型。
GM（1，1）预测模型的建立过程如下：令x（0）为某一监测点各期的等间隔非负原始数据序列：式中n为序列长度，k=1，2，…，n。
对原始序列进行一次累加生成，得到光滑的生成数列（记x（1）=AGOx（0））：对（2）时间求导建立GM（1，1）一阶线性灰微分方程，即GM（1，1）预测模型的白化方程：式中a，b为待定常数。
Internal Combustion Engine & Parts• 89 •基于残差修正G M(1，1)模型的汽车交通事故预测研究吕鹏伟;赵长利;李方媛(山东交通学院汽车工程学院，济南250023)摘要：汽车交通事故影响因素众多，运用灰色理论对汽车交通事故建立预测模型正好适合只考虑时间序列因素，而不考虑其他 因素的影响。
本文针对我国汽车交通事故统计数据建立事故次数、死亡人数、受伤人数、直接财产损失的残差修正GM(1,1)模型，然 后对我国“十三五”计划期间的汽车交通事故进行预测。
在此预测基础上，研究结果可为交通管理部门作出科学合理的决策提供可靠依据。
关键词：汽车交通事故;GM(1,1);残差修正模型；预测0引言汽车改变了人类的历史进程，它给人类带来舒适和便 捷的同时，也给人类生活带来一些负面影响，交通事故就 是其中最严重、危害最大的负面效应。
汽车交通事故造成 大量财产损失和车辆损失，同时也造成严重的人员伤亡，严重影响人们的生活，因此我国政府投入了大量的人力、物力、财力，降低交通事故损失。
针对汽车交通事故造成的不良影响，交通管理部门实 行了各种措施，成绩显著，使得我国汽车交通事故的次数、死亡人数、受伤人数、直接经济损失四个指标均成下降趋 势。
为了帮助有关部门详细掌握交通行业的发展状况，可以利用一定的数学手段，采用合理的预测方法，对未来汽 车交通事故进行统计分析。
由于路况、天气、行驶条件等多种原因影响汽车交通 事故的发生，所以假设运用概率统计理论中线性回归的传 统方法对其进行预测，误差较大。
而灰色GM(1，1)模型具 有“所需样本少、不需要计算统计特征量”等特点，以“部分 信息已知、部分信息未知”的小样本“贫信息”的不确定问 题为研究对象，通过对“部分”已知原始数据的处理和灰色 模型的建立来发现、掌握系统发展规律，对系统的未来发 展状态作出科学的定量预测。
因此，将该预测方法用于我 国汽车交通事故的预测非常可行。
一．GM(1,1)预测模型应用举例灰色预测是基于GM(1,1)预测模型的预测，按其应用的对象可有四种类型： (1) 数列预测。
这类预测是针对系统行为特征值的发展变化所进行的预测。
(2) 灾变预测。
这类预测是针对系统行为的特征值超过某个阙值的异常值将在何时出现的预测。
(3) 季节灾变预测。
若系统行为的特征有异常值出现或某种事件的发生是在一年中的某个特定的时区，则该预测为季节性灾变预测。
(4) 拓扑预测。
这类预测是对一段时间内系统行为特征数据波形的预测。
例1（数列预测）：设原始序列)679.3,390.3,337.3,278.3,874.2())5(),4(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0()0(==x x x x x X试用GM(1,1)模型对)0(X 进行模拟和预测，并计算模拟精度。
解：第一步：对)0(X 进行一次累加，得)558.16,897.12,489.9,152.6,874.2()1(=X 第二步：对)0(X 作准光滑性检验。
由)1()()()1()0(-=k x k x k ρ得5.029.0)5(,5.036.0)4(,54.0)3(<≈<≈≈ρρρ。
当k>3时准光滑条件满足。
第三步：检验)1(X 是否具有准指数规律。
由)(1)1()()()1()1()1(k k x k x k ρσ+=-=得29.1)5(,36.1)4(,54.1)3()1()1()1(≈≈≈σσσ当k>3时，5.0],5.1,1[)()1(<=∈δσk ，准指数规律满足，故可对)1(X 建立GM(1,1)模型。
第四步：对)1(X 作紧邻均值生成，得)718.14,184.11,820.7,513.4()1(=Z于是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=679.3390.3337.3278.3)5()4()3()2(,1718.141184.111820.71513.41)5(1)4(1)3(1)2()0()0()0()0()1()1()1()1(x x x x Y z z z z B 第五步：对参数列T b a ],[ˆ=α进行最小二乘估计。
得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-0653.30372.0)(ˆ1Y B B B T T α 第六步：确定模型0653.30372.0)1()1(=-x dtdx 及时间响应序列402151.82276151.85))1(()1(ˆ0372.0)0()1(-=+-=+-k ak e abe a b x k x 第七步：求)1(X 的模拟值)5558.16,9422.12,4605.9,1060.6,8704.2())5(ˆ),4(ˆ),3(ˆ),2(ˆ),1(ˆ(ˆ)1()1()1()1()1()1(==x x x x x X第八步：还原求出)0(X 的模拟值。
由)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()1()1()0(k x k x k x a k x-+=+=+ 得)6136.3,4817.3,3545.3,2320.3,8740.2())5(ˆ),4(ˆ),3(ˆ),2(ˆ),1(ˆ(ˆ)0()0()0()0()0()0(==x x x x x X第九步：检验误差。
由下表可算出残差平方和：误差检验表第十步：预测)1(ˆ)0(+k x......8928.3)7(ˆ1991.24402151.82276151.85)7(ˆ7505.3)6(ˆ3063.20402151.82276151.85)6(ˆ)0(60372.0)1()0(50372.0)1(==-===-=⨯⨯xe xxe x例2 （灾变预测）：某企业生产用原料属受自然灾害影响较大的农产品。
一般来说，自然灾害的发生有其偶然性，但对历史数据的整理，仍可发现一定的规律性。
为尽量减少生产不受自然灾害的影响，该企业希望了解影响原料供应的规律性并提前做好原料储备，所收集数据见下表，并规定每亩平均收获量小于320千克时为欠收年份，将影响原料的正常供应，现应用灰色灾变预测来预测下次发生欠收的年份。
初始序列)0(ω。
本例初始序列：)17,14,10,8,3()0(=ω 一次累加生成序列：)52,35,21,11,3()1(=ω)1(ω的紧邻均值生成序列：)5.43,28,16,7()1(=Z 第二步：按)1(Z 建GM(1,1)模型。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=1714108)5()4()3()2(,15.43128116171)5(1)4(1)3(1)2()0()0()0()0()1()1()1()1(ωωωωY z z z z B⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-25834.625361.0)(ˆ1Y B B B a TT67702.2467702.27])([)1(25361.0)0()1(-=+-=+-t at e abe a b t t ωω 第三步：预测当t=6时，684.73)6(ˆ)1(=ω6848.21)6(ˆ)0(=ω因此，下次发生收获量小于320千克的年份为：2011年至2012年，即四至五年后将出现欠收年份。
其他预测类型见参考书。
二．残差GM(1,1)模型当GM(1,1)模型精度不符合要求时，可使用残差序列建立GM(1,1)模型，对原来模型进行修正，以提高精度。
定义4 设))(),...,2(),1(()0()0()0()0(n εεεε=其中，)()()0(k x k =ε-)(ˆ)1(k x为)1(X 的残差序列。
若存在k 0，满足 1.的符号一致；)(,)0(0k k k ε≥∀ 2.40≥-k n ，则称|))(||,...,)1(||,)((|)0(0)0(0)0(n k k εεε+ 为可建模残差尾段，仍记为))(),...,1(),(()0(0)0(0)0()0(n k k εεεε+=命题1 设))(),...,1(),(()0(0)0(0)0()0(n k k εεεε+=为可建模残差尾段，其一次累加序列))(),...,1(),(()1(0)1(0)1()1(n k k εεεε+= 的GM(1,1)模型的时间响应式为0)]([0)0()1(,))(()1(ˆ0k k a b e a b k k k k a ≥+-=+--εεεεεεε则残差尾段的模拟序列为))(ˆ),...,1(ˆ),(ˆ(ˆ)0(0)0(0)0()0(n k k εεεε+= 其中0)]([0)0()0(,))()(()1(ˆ0k k e a b k a k k k a ≥--=+--εεεεεε定义5 若用)0(ˆε修正)1(ˆX 则称修正后的时间响应式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-±+-<+-=+----0)]([0)0()0(0)0()1(,))(())1((,))1(()1(ˆ0k k ea b k a a b e a b x k k a b e a b x k x k k a ak ak εεεεε 为残差修正GM(1,1)模型，简称残差GM(1,1)。
其中残差修正值)]([0)0()0(0))()(()1(ˆk k a e a b k a k ----=+εεεεεε的符号应与残差尾段)0(ε的符号保持一致。
定义6 若)1()0()1()1()0())1()(1()1(ˆ)(ˆ)(ˆ----=--=k a a e abx e k x k x k x则相应的残差修正时间响应式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-±--<--=+----0)]([0)0()0(0)0()0(,))(())1()(1(,))1()(1()1(ˆ0k k ea b k a e a b x e k k e a b x e k x k k a ak a ak a εεεεε 称为累减还原式的残差修正模型。
例题 湖北省云梦县油菜发病率数据为)15,17,5.15,18,14,21,35,45,40,25,40,20,6())13(),...,8(),7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0(==x x x x x x x x x X建立GM(1,1)模型，得时间响应式为999.573999.567)1(ˆ06486.0)1(+-=+-k e k x作累减还原，得 )4768.176478.188974.192307.216534.221719.247900.255192.273682.293308.314303.336704.35()}(ˆ{ˆ132)0()0(，，，，，，，，，，，==k x X检验其精度：列出误差检验表误差检验表)4768.2,6478.1,3974.4,2307.3,6534.8())13(),12(),11(),10(),9(()0()0()0()0()0()0(-----==εεεεεε此为可建模残差尾段，去绝对值，得)4768.2,6478.1,3974.4,2307.3,6534.8()0(=ε建立GM(1,1)模型，得)0(ε的一次累加序列)1(ε的时间响应式：7.3224)1(ˆ)9(16855.0)1(+-=+--k e k ε其导数还原值为)9(16855.0)9(16855.0)0(0452.4)24)(16855.0()1(ˆ----=--=+k k e e k ε由k ak a e e ab x e k x k x k x06486.0)0()1()1()0(0614.38))1()(1()(ˆ)1(ˆ)1(ˆ--=--=-+=+可得累减还原式残差修正模型为⎩⎨⎧≥-<=+----9,0452.40614.389,0614.38)1(ˆ)9(16855.006486.006486.0)0(k e e k e k x k k k 其中，)1(ˆ)0(+k ε的符号与原始残差序列的符号一致。
按此模型，可对k=10,11,12,13四个模拟值进行休整，修正后的精度如下表：模要求，若对残差精度仍不满意，就只有考虑采用其它模型或对原始数据序列进行适当取舍。
三．GM(1,1)模型群在实际建模中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。
我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。
一般来说，去不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1,1)模型，选择不同的数据，参数a,b 的值也不一样。
这种变化，正是不同情况、不同条件对系统特征的影响在模型中的反映。
